2019年高考数学复习题汇编(真题+答案)

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2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题03 导数及其应用 (含解析).docx

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题03 导数及其应用 (含解析).docx

专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1, 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式,从而求解,属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ,设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立,则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时,/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时,/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄,即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时,f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时,h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时,〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知,a 的取值范围是[0,e ]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题,分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值,然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ,函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点;当 x>0 时,y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时,y>0, y=f (x) -ax-b 在[0, +oo)上单调递增, 则y =f -ax-b 最多有一个零点,不合题意;当a+l>0,即°>-1时,令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增, 令WVO 得用[0, d+1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点.根据题意,函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点,在[0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图:b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程,导数的应用.当兀V0时,y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点;当空0时,y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画出函数的草图,从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准,是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点,则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x (x〉0),得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -(x>0)切于(x0,x0+—),x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2(x0=-A/2舍去),x o曲线y = x + -(x>o)±,点P(V2,3A/2)到直线x+y = o的距离最小,最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离,渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法,利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnr上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e, -l)(e 为自然对数的底数),则点A的坐标是▲.【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标,得到切线方程,然后求解方程得到横坐标的值,可得切点坐标.设点A(x0,y0),则y Q =lnx0.又# =丄,X则曲线y = InX在点A处的切线为y - %=丄(X —勺),即yin”。

【高考真题】2019高考数学(文理科)13套及答案详解

【高考真题】2019高考数学(文理科)13套及答案详解
目录
2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 001 2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .006 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .021 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 029 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 034 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 043 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 048 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 056 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 062 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 073 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 078 2019 考数学北京卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .088 2019 考数学北京卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 093 2019 考数学北京卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 2019 考数学北京卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2019 考数学 卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 2019 考数学 卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2019 考数学 卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 2019 考数学 卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2019年高考数学真题合集(含解析)

2019年高考数学真题合集(含解析)
解 析 因 为'*/01"#!""#!(*"#!"%!!#")*#!"#!("!! 所以 (%)%'!故选 .! 2!答 案 .
解析设某人身高为 *34!脖子下端至肚脐的长度为+34!
则由腿长为!#534!可 得*!&#!5#5%槡5"&!&#!'!6!解 得 *
%!'$!6$#! 由 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 "'34!
$#!$本小题满分 !$ 分 %已 知 函 数 *$#%'9/:#(1:$!0#%# *7$#%为 *$#%的导数!证明,
$ % $!%*7$#%在区间 (!#$ 存在唯一极大值点-
$$%*$#%有 且 仅 有 $ 个 零 点 !
第 !4 题 图
$!!$本小题满分!$分%为治疗 某 种 疾 病#研 制 了 甲/乙 两 种 新 药#希望知道哪种新药更有效#为 此 进 行 动 物 试 验!试 验 方 案如下,每一轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验!对 于 两只白鼠#随机选一只施以甲 药#另 一 只 施 以 乙 药!一 轮 的 治疗结果得出后#再 安 排 下 一 轮 试 验!当 其 中 一 种 药 治 愈 的白鼠比另一 种 药 治 愈 的 白 鼠 多 ) 只 时#就 停 止 试 验#并 认为治愈只数多的药更有效!为 了 方 便 描 述 问 题#约 定,对 于每轮试验#若施以甲药的白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未
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2019年高考数学(理)真题汇编:专题03 导数及其应用

2019年高考数学(理)真题汇编:专题03 导数及其应用

专题03 导数及其应用1、【2019高考全国Ⅲ理数】已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+,则( )A .e,1a b ==-B .e,1a b ==C .1e 1,a b -==D .1,e 1b a -==-2、【2019高考全国Ⅲ理数】设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>,已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论: ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A .①④B .②③C .①②③D .①③④3、【2019高考天津卷理数】已知R a ∈,设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为( ) A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e4、【2019高考全国Ⅰ理数】曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 5、【2019高考浙江卷】已知R a ∈,函数3()f x ax x =-,若存在R t ∈,使得2|(2)()|3f t f t +-≤,则实数a 的最大值是____. 6、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点,则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是__________7、【2019高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线ln y x =上,且该曲线在点A 处的切线经过点(e,1)--(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是_________8、【2019高考北京卷理数】设函数f (x )=e x+a e −x(a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________.9、【2019高考全国Ⅰ理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:1.()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点; 2.()f x 有且仅有2个零点.10、【2019高考全国Ⅱ理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.1.讨论()f x 的单调性,并证明()f x 有且仅有两个零点;2.设0x 是()f x 的一个零点,证明曲线ln y x =在点00l (,)n A x x 处的切线也是曲线exy =的切线.11、【2019高考全国Ⅲ理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. 1.讨论()f x 的单调性;2.是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1?若存在,求出,a b 的所有值;若不存在,说明理由.12、【2019高考天津卷理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.1.求()f x 的单调区间;2.当,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣π⎦π时,证明()()02f x g x x ⎛⎫π+-≥ ⎪⎝⎭;3.设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m ⎛⎫+π+π ⎝π⎪⎭内的零点,其中N n ∈,证明20022sin cos n n n x x e x -ππ+-π<-.13、【2019高考浙江卷】已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>1.当34a =-时,求函数()f x 的单调区间;2.对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注:e 2.71828=⋯为自然对数的底数.14、【2019高考江苏卷】设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为()f x 的导函数.1.若a b c ==,(4)8f =,求a 的值;2.若,a b b c ≠=,且()f x 和'()f x 的零点均在集合{3,1,3}-中,求()f x 的极小值;3.若0,01,1a b c =<≤=,且()f x 的极大值为M ,求证:427M ≤. 15、【2019高考北京卷理数】已知函数321()4f x x x x =-+. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程; (Ⅱ)当[2,4]x ∈-时,求证:6()x f x x -≤≤;(Ⅲ)设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ,记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M (a ),当M (a )最小时,求a 的值.答案以及解析1答案及解析: 答案:D解析:详解:'ln 1,xy ae x =++1'|12x k y ae ===+= 1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-,故选D .2答案及解析: 答案:D解析:()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,在[0,2]π有且仅有5个零点.02x ∴≤≤π,12555wx w ππ≤+≤π+,1229510w ≤<,④正确.如图213,,x x x 为极大值点为3个,①正确;极小值点为2个或3个.∴②不正确.当010x π<<时,5105w wx f πππ<+<+π,当2910w =时,2920491051001001002w +=+=<ππππππ. ∴③正确,故选D .3答案及解析: 答案:C解析:首先(0)0f ≥,即0a ≥, 当01a ≤≤时,2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->,当1a <时,(1)10f =>,故当0a ≥时,2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立; 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立,即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立, 令()ln xg x x =,则2ln 1'()(ln )x g x x -=,易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点, 故max()()g x g e e ==,所以a e ≤。

2019高考数学试题精编(有答案)精品教育.doc

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2019 年高考数学试题精编(有答案)一、选择题:本大题共7 小题,每小题 5 分,共35 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数i+i2 在复平面内表示的点在A. 第一象限高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设xR,则xe的一个必要不充分条件是A. xB.x1C. xD.x33. 若f(x)=2cos -sin x ,则f() 等于A. -sinB. -cosC. -2sin -cosD. -3cos4. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z1, z2不能比较大小;②虚数不能比较大小;③z1, z2是虚数.A. ①②③B. ②①③C.②③①D.③②①5. 若a=(1 ,,2) ,b=(2 ,-1,1) ,a 与b 的夹角为60,则的值为A. 17 或-1B.-17 或1C.-1D.16. 设F1, F2是椭圆+=1(a5)的两个焦点,且|F1F2|=8,弦AB 过点卩1,则厶ABF2的周长为A. 10B. 20C. 2D.47. 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-2)f(x)0 ,则必有A. f(-3)+f(3)2f(2)B. f(-3)+f(7)2f(2)C. f(-3)+f(3)2f(2)D. f(-3)+f(7)2f(2)二、填空题:本大题共6 个小题,每小题5 分,共30 分. 请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8. 复数10 的值是.9. 用反证法证明命题:若x,y0,且x+y2,贝V,中至少有一个小于2 时,假设的内容应为.10. 已知等差数列{an} 中,有=成立. 类似地,在等比数列{bn}中,有成立.11. 曲线y=sin x 在[0 ,] 上与x 轴所围成的平面图形的面积为.12. 已知函数f(x)=x(x-c)2 在x=2处有极大值,则c的值为.13. 正整数按下列方法分组:{1} ,{2,3,4} ,{5,6,7,8,9} ,{10,11,12,13,14,15,16} ,,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03,13} ,{13,23} ,{23,33} ,{33,43},记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn= .三、解答题:本大题共3 小题,共35 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.14. ( 本小题满分11 分)已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b 的图象关于原点成中心对称,试判断f(x) 在区间[-4 ,5] 上的单调性,并求出f(x) 在区间[-4 ,5] 上的最值.15. ( 本小题满分12 分)已知数列{an} 满足Sn+an=2n+1.(1) 写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论.16. ( 本小题满分12 分)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AC=AB=BC=2PA平面ABCD E,F分别是BC, PC的中点.(1) 证明:AE⑵若H为PD上一点,且AHPD EH与平面PAD所成角的正切值为,求二面角E-AF-C 的余弦值.必考试卷口一、选择题:本大题共1 个小题,每小题5 分,满分5 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)的图像如图,若两个正数a,b 满足f(2a+b)1 ,且f(4)=1 ,则的取值范围是A.B. (5 ,+)C. (- ,3)D.二、填空题:本大题共1 个小题,每小题5 分,共 5 分. 请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2. 设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k) ,且f(0)=6 ,则k= .三、解答题:本大题共3 小题,共40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.3. ( 本小题满分13 分)某电视生产企业有A、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为a、mln(b+1) 万元(m0且为常数). 已知该企业投放总价值为10 万元的A、 B 两种型号的电视机,且A、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1) 请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;(2) 求当投放B 型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?4. (本小题满分13 分)已知椭圆C: +=1(aO)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T: (x+2)2+y2=r2(r0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1) 求椭圆C的方程;(2) 求的最小值,并求此时圆T 的方程;(3) 设点P是椭圆C上异于M, N的任意一点,且直线MR NP 分别与x轴交于点R S,O为坐标原点,求证:为定值.5. (本小题满分14 分)已知函数f(x)=ex ,xR.(1) 若直线y=kx+1 与f(x) 的反函数的图象相切,求实数k 的值;⑵设x0,讨论曲线y=与直线y=m(m0)公共点的个数;(3) 设函数h 满足x2h(x)+2xh(x)= ,h(2)= ,试比较h(e) 与的大小.湖南师大附中2019 届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷I又•••函数f(x)在[-4,5]上连续.f(x) 在(-3,3) 上是单调递减函数,在(-4 ,-3) 和(3,5) 上是单调递增函数.(9 分)f(x) 的最大值是54,f(x) 的最小值是-54.(11 分)15. 解:(1)a1= ,a2=,a3=,. 猜测an=2-(5 分)(2) ①由(1) 已得当n=1 时,命题成立;(7 分)②假设n=k 时,命题成立,即ak=2- ,(8 分)当n=k+1 时,a1+a2++ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1 ,且a1+a2++ak=2k+1-ak2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3 ,2ak+1=2+2- ,ak+1=2- ,即当n=k+1 时,命题成立.(11 分)根据①②得nN+时,an=2-都成立.(12分)16. (1)证明:由AC=AB=BC可得△ ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC.又BC// AD 因此AEAD.因为PA平面ABCD AE平面ABCD所以PAAE.而PA平面PAD AD平面PAD且PAAD=A所以AE平面PAD.又PD平面PAD所以AEPD.(5 分)(2) 解:因为AHPD,由(1)知AE平面PAD则EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt △ EAH 中,AE=此时tanEHA===,在Rt△ AOE中,EO=AEsin 30= , AO=AEcos 30=又F 是PC的中点,在Rt△ ASO中,SO=AOsin 45=,又SE===,在Rt△ ESO中,cosESO===即所求二面角的余弦值为.(12 分)解法二:由(1)知AE, AD, AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC, PC的中点,所以A(0,0,0) , B(, -1,0) , C(, 1,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2) ,E(, 0,0) ,F,所以=(, 0,0) ,所以cos 〈m,〉===.因为二面角E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为.(12分)一、选择题1. D【解析】由图像可知f(x) 在(- , 0) 递减, 在(0 , +)递增, 所以f(2a+b)1即2a+b4,原题等价于,求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域,利用直线斜率的意义可得.二、填空题2. -1 【解析】思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x (x+k)(x+2k) 故f(0)=-6k3 ,又f(0)=6 ,故k=-1.三、解答题3. 解:(1)设投放B型电视机的金额为x万元,则投放A型电视机的金额为(10-x) 万元,农民得到的总补贴f(x)=(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-+1 ,(19).(5 分)( 没有指明x 范围的扣 1 分)(2)f(x)=-== ,令y=0,得x=10m-1(8 分)1 若10m-11 即02 若110m-19 即3若10m-19即ml,贝U f(x)在[1,9]是增函数,当x=9时,f(x)有最大值.因此,当0当当m1时,投放B型电视机9万元,农民得到的总补贴最大.(13分)4. 解:(1) 依题意,得a=2,e==,c=,b==1; 故椭圆C 的方程为+y2=1.(3 分)⑵方法一:点M与点N关于x轴对称,设M(x1,y1) ,N(x1,-y1) ,不妨设y10.由于点M在椭圆C上,所以y=1-.(*)(4 分)由已知T(-2,0) ,则=(x1+2 ,y1) ,=(x1+2 ,-y1) ,=(x1+2 ,y1)(x1+2 ,-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cos , sin ),N(2cos ,-sin ) ,不妨设sin 0 ,由已知T(-2,0) ,则=(2cos +2 ,sin )(2cos +2 ,-sin )=(2cos+2)2-sin2=5cos2+8cos +3=52-.(6 分)故当cos =- 时,取得最小值为- ,此时M,又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=.故圆T 的方程为:(x+2)2+y2=.(8 分)⑶方法一:设P(x0,yO),则直线MP的方程为:y-y0=(x-x0) ,令y=0,得xR=,同理:xS=,(10 分)故xRxS=(**)(11 分)又点M与点P在椭圆上,故x=4(1-y) ,x=4(1-y) ,(12分)代入(**) 式,得:xRxS===4. 所以===4 为定值.(13 分) 方法二:设M(2cos ,sin ) ,N(2cos ,-sin ) ,不妨设sin0, P(2cos , sin ),其中sin sin . 则直线MP的方程为:y-sin=(x-2cos ) ,令y=0,得xR=, 同理:xS=,(12 分)故xRxS===4.所以===4 为定值.(13 分)5. 解:(1)f 的反函数g(x)=ln x. 设直线y=kx+1 与g(x)=ln x 相切于点P(x0 ,y0) ,则x0=e2,k=e-2. 所以k=e-2.(3 分) ⑵当x0, mO时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)的公共点个数即方程f(x)=mx2 根的个数. 由f(x)=mx2m= ,令v(x)=v(x)= ,则v(x) 在(0,2) 上单调递减,这时v(x)(v(2) ,+v(x) 在(2 ,+) 上单调递增,这时v(x)(v(2) ,+).v(2)=.v(2) 是y=v(x) 的极小值,也是最小值.(5 分) 所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m0)公共点的个数,讨论如下:当m时,有0个公共点;当m=寸,有1个公共点;当m时有2个公共点;(8分)(3) 令F(x)=x2h(x) ,则F(x)=x2h(x)+2xh=所以h=,故h===令G(x)=ex-2F(x) ,则G(x)=ex-2F(x)=ex-2= 显然,当0当x2 时,G(x)0 ,G(x) 单调递增;所以,在(0 ,+) 范围内,G(x) 在x=2 处取得最小值G(2)=0. 即x0 时,ex-2F(x)0.故在(0 ,+) 内,h(x)0 ,所以h(x) 在(0 ,+) 单调递增,又因为h(2)== ,h(2)所以h(e).(14 分) 高考数学试题由查字典数学网收集整理!!!第11页。

2019年高考数学真题分类汇编:集合.doc

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2019 年高考数学真题分类汇编专题 01:集合一、单选题1.(2019?浙江)已知全集 U={-1 ,0,1,2,3} ,集合 A={0,1,2} ,B={-1 ,0,1} ,则=()A. {-1}B. {0 ,1}C. {-1 ,2,3}D. {-1 , 0,1,3}【答案】 A2.(2019?天津)设集合,则()A.{2}B.{2 ,3}C.{-1 ,2,3}D.{1 ,2,3,4}【答案】 D3.(2019?全国Ⅲ)已知集合 A={-1 ,0,1,2} ,B={x|x 2≤1} ,则 A∩B= ()A.{-1 ,0,1}B.{0,1}C.{-1 ,1}D.{0,1,2}【答案】 A4.(2019?卷Ⅱ)已知集合 A={x|x>-1} ,B={x|x<2} ,则 A∩B=()A. (-1 ,+∞)B. ( - ∞, 2)C.( -1 ,2)D.【答案】 C5. (2019?卷Ⅱ)设集合 A={x|x 2-5x+6>0} ,B={ x|x-1<0},则A∩B= ()A.(- ∞, 1)B.(-2,1)C.(-3 ,-1)D.(3,+∞)【答案】 A6. (2019?北京)已知集合A={x|-1<x<2} ,B={x|x>1} ,则 AUB= ()A. (-1 ,1)B. (1,2)C.(-1 ,+∞)D.(1,+∞)【答案】 C7.(2019?卷Ⅰ)已知集合 U=,A=,B=则=()A. B.C. D.【答案】 C8. (2019?卷Ⅰ)已知集合M=,N=,则M N=()A. B.C. D.【答案】 C9.(2019?全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并成为中国古典小说四大名著。

某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】 C二、填空题10. (2019?江苏)已知集合,,则________.【答案】。

2019年普通高考数学真题汇编答案解析(精)

2019年普通高考数学真题汇编答案解析(精)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编一、选择题(共17题)1.(安徽卷)如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A .2B .1C .2-D .3- 解:当直线2x y t -=过点(0,-1)时,t 最大,故选B 。

2.(安徽卷)直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点,则a 的取值范围是A.1)- B.1) C.(1) D.1) 解:由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ,且0a >,选A 。

3.(福建卷)已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则a 等于 (A )2 (B )1 (C )0 (D )1-解析:两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直,则(2)1a a +=-,∴ a =-1,选D.4.(广东卷)在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35x ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析:由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--, (1)当43<≤s 时可行域是四边形OABC ,此时,87≤≤z (2)当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时,8max =z ,故选D.5.(湖北卷)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部&边界组成。

若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z =x +my 取得最小值,则m = A .-2 B .-1 C .1 D .4 解:依题意,令z =0,可得直线x +my =0的斜率为-1m,结合可行域可知当直线x +my =0与直线AC 平行时,线段AC 上的任意一点都可使目标函数z =x +my 取得最小值,而直线AC 的斜率为-1,所以m =1,选C6.(湖南卷)若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是( )x +yA.[,124ππ] B.[5,1212ππ] C.[,]63ππD.[0,]2π解析:圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=,∴圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则圆心到直线的距离应小于等于2, ∴2()4()1a ab b ++≤0,∴ 2()2ab --+≤()a k b=-,∴ 22k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ,,选B.7.(湖南卷)圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A .36B . 18 C. 26 D . 25 解析:圆0104422=---+y x y x 的圆心为(2,2),半径为32,圆心到直线014=-+y x 的距离=2,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =62,选C. 8.(江苏卷)圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是(A )x -y =0 (B )x +y =0 (C )x =0 (D )y =0【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -++=与相切1=,由排除法,选C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

高考数学2019真题汇编-立体几何(解析版)

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专题04 立体几何1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .68π B .64π C .62πD .6π【答案】D 【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,EF PB ∴∥,EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ,∴PB ⊥平面PAC ,2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===,P ABC ∴-为正方体的一部分,22226R =++=,即364466,π62338R V R =∴=π=⨯=π,故选D .解法二:设2PA PB PC x ===,,E F 分别为,PA AB 的中点,EF PB ∴∥,且12EF PB x ==,ABC △为边长为2的等边三角形,3CF ∴=, 又90CEF ∠=︒,213,2CE x AE PA x ∴=-==,AEC △中,由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯,作PD AC ⊥于D ,PA PC =,D 为AC 的中点,1cos 2AD EAC PA x∠==,2243142x x x x+-+∴=, 221221222x x x ∴+=∴==,,,2PA PB PC ∴===, 又===2AB BC AC ,,,PA PB PC ∴两两垂直,22226R ∴=++=,62R ∴=,344666338V R ∴=π=π⨯=π,故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理,得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长,进而补体成正方体解决. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 A .α内有无数条直线与β平行 B .α内有两条相交直线与β平行 C .α,β平行于同一条直线 D .α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知:α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件,由面面平行性质定理知,若αβ∥,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件,故选B .【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,,a b a b αβ⊂⊂∥,则αβ∥”此类的错误.3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则A .BM =EN ,且直线BM ,EN 是相交直线B .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C .BM =EN ,且直线BM ,EN 是异面直线D .BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示,作EO CD ⊥于O ,连接ON ,BD ,易得直线BM ,EN 是三角形EBD 的中线,是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ,连接BF ,平面CDE ⊥平面ABCD ,,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ,EO ∴⊥平面ABCD ,MF ⊥平面ABCD ,MFB ∴△与EON △均为直角三角形.设正方形边长为2,易知3,12EO ON EN ===,,35,,722MF BF BM ==∴=,BM EN ∴≠,故选B .【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题.4.【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是A.158 B.162C.182 D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体——棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体积,常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二,一是不能正确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算.5.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P–AC–B的平面角为γ,则A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<β【答案】B【解析】如图,G 为AC 中点,连接VG ,V 在底面ABC 的投影为O ,则P 在底面的投影D 在线段AO 上,过D 作DE 垂直于AC 于E ,连接PE ,BD ,易得PE VG ∥,过P 作PF AC ∥交VG 于F ,连接BF ,过D 作DH AC ∥,交BG 于H ,则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠,结合△PFB ,△BDH ,△PDB 均为直角三角形,可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=,即αβ>; 在Rt △PED 中,tan tan PD PDED BDγβ=>=,即γβ>,综上所述,答案为B.【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角,未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法. 6.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践,利用3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体,其中O 为长方体的中心,E ,F ,G ,H 分别为所在棱的中点,16cm 4cm AB =BC =, AA =,3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得,214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形, ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ,∴3112312cm 3O EFGHV -=⨯⨯=. 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=, 所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=,其质量为0.9132118.8g ⨯=.【名师点睛】本题考查几何体的体积问题,理解题中信息联系几何体的体积和质量关系,从而利用公式求解.根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积,再求出模型的质量即可.7.【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为__________.【答案】40【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体,则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 【名师点睛】本题首先根据三视图,还原得到几何体,再根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.8.【2019年高考北京卷理数】已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.【答案】如果l ⊥α,m ∥α,则l ⊥m (如果l ⊥α,l ⊥m ,则m ∥α也对) 【解析】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题: (1)如果l ⊥α,m ∥α,则l ⊥m ,正确;(2)如果l ⊥α,l ⊥m ,则m ∥α,是不正确的,有可能m 在平面α内;但是已知了直线在平面外,故正确。

(完整word)2019年高考试题汇编理科数学--数列,推荐文档

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解答: 13,设等比数列公比为q3、25•- (ag )ag••• q 3• S 121 …S 53(1)证明:a nb n 是等比数列,a n b n 是等差数列;(2 )求a n 和b n 的通项公式. 答案: (1) 见解析 1 x n 11 x n 1(2)a n () n,b n () n2222解析:(1)将 4a n 1 3a n b n 4 , 4b n 1 3b n a n 4 相加可得 4a n1 4b n 1 3a n 3b n a n b n ,11 整理可得a n 1 b n 1丄(a n b n ),又玄1 Q 1,故a . b n 是首项为1,公比为1的等比数列22将 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 13b n a n 4 作差可得 4a n14b n13a n 3b n a . b n 8,整理可得a n 1 b n 1a nb n 2,又a 1 Q 1,故a .b n 是首项为1,公差为2的等差数列1 1A. a n 2n 5B.3n 3n 10 CS2n 28nD.S n■In 2 2n 2答案:A解析:S 4 4冃 6d 0a 1 3 5, S n2依题意有 可得 a nn 4n .3S 31 4d 5 d 2 n(2019全国1理)9•记S n 为等差数列 a n 的前n 项和•已知S 40 , a 5 5,则(2(2019全国1理)14.记S n 为等比数列 a n 的前 n 项和,a 436,则 S5答案: S 51213 2019全国2理)19.已知数列a n 和b n满足a 10 , 4a n 1 3a n b n 4, 4b n 1 3b n a n 4.-31 2 3436(2)由a n b n是首项为1 ,公比为?的等比数列可得a n b n ()"①;由a n bn 是首项为1公差为2的等差数列可得a n b n 2n 1②;【解析】 【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得 a 5的值,进一步研究数列中正项 ?负项的变化规律,得到和的最小值.【详解】等差数列 a n 中,8s 5a 3 10,得a 3 2& 3,公差da 3 a ?1, a§% 2d 0,由等差数列a n 的性质得n 5时,a n 0, n 6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为10.①②相加化简得a n(!)n n 1,①②相减化简得b n 2 2(2019全国3理)5.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且a s 3a 3 4印,则a ?()A. 16B. 8 答案: C解答:C. 4D.设该等比数列的首项 a i ,公比由已知得,4a©3dq 24a i , 因为a 0且q 0, 则可解得2,又因为 a i (1q 3) 15,即可解得c 1,则4.(2019全国3理)14.记S n 为等差数列 a n 的前n 项和,若q0, a 2 3a ,则 3°S 5答案:4解析:设该等差数列的公差为d 2a 1 a 1 0,d 0 ,10 a 1 a 10S 0____________2S 55 a 1 a 522 2a 1 9d3 4.2a 1 4d 5d(2019北京理)10.设等差数列 的前n 项和为S n,若a 2=-3 ,S s =-10,则a s = ,S n 的最小值为【答案】 (1). 0. (2). -10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式?求和公式?等差数列的性质,难度不大,注重重要知识?基础知识?基本运算能力的考查a i (2019北京理)20.已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i l<i2<・・Vm),若a h a2则称新数列a h, a i2, , a m为{a n}的长度为m的递增子列•规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列;(H)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m o,长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0.若p<q,求证:a m°<a n°;(川)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等若{ a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s -, 且长度为S末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个(s=1 , 2,…),求数列{a n}的通项公式.【答案】(I )1,3,5,6.(n )见解析; (川)见解析.【解析】【分析】(I )由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可;(n )利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可;(川)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式,然后证明通项公式满足题中所有的条件即可•【详解】(I )满足题意的一个长度为4的递增子列为:1,3,5,6.(n)对于每一个长度为q的递增子列a n a2丄a q,都能从其中找到若干个长度为p的递增子列色总丄a p,此时a p a q ,设所有长度为q的子列的末项分别为:a q, ,a q2,a q3 ,L ,所有长度为p的子列的末项分别为:a p1,a p2,a p3,L ,则a n0 min a q1,a q2,a q3,L ,注意到长度为P的子列可能无法进一步找到长度为q的子列,故a m0 min a p1,a p2,a p3,L ,据此可得:a m0a n0n 1, n为偶数(川)满足题意的一个数列的通项公式可以是a n 斗才来朴2,1,4,3,6,5,8,7,L ,n 1,n为奇数面说明此数列满足题意很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等.长度为s 的递增子列末项的最小值为2s-1,下面用数学归纳法证明长度为s 末项为2s-1 的递增子列恰有2s 1个s 1,2,L :当n 1 时命题显然成立,假设当n k时命题成立,即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有21个,则当n k 1时,对于n k 时得到的每一个子列a s1,a s2,L ,a s k 1,2k 1,可构造:aq,a s2丄,a s「2k 1,2 k 1 1和a5^,a S2,L ,a^l,2k,2 k 1 1两个满足题意的递增子列,则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有 2 2k 12k2k 1 1个,n 1, n为偶数综上可得,数列a n、,卄沁.2,1,4,3,6,5,8,7,L是一个满足题意的数列的通项公式•n 1, n为奇数注:当s 3时,所有满足题意的数列为:2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5 ,当s 4 时,数列2,3,5 对应的两个递增子列为:2,3,5,7 和2,3,6,7 .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.2019天津理) 19.设a n 是等差数列,b n 是等比数列.已知a1 4,b1 6,b2 2a2 2,b3 2a3 4.(I)求a n和b n的通项公式;(n)设数列q满足G 1,c n X 2 J 2「其中k Nn 1 n b k,n 2k ,i )求数列a2n c2n1 的通项公式;2nii )求a i c i n Ni1答案】(I )a n 3n 1 ; b n 3 2n(n )(i )a2n c2n 1 9 4n1 (ii )* 2n 1n 1 *aqnN 27 25 2 n 12 nNi 1【解析】 【分析】(I )由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可; (n )结合(I )中的结论可得数列a 2n c 2n 1的通项公式,结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等2n价变形,结合等比数列前n 项和公式可得aG 的值.i 12 4 d 26 2d,解得2 4 2d 4 12 4d故a n 4 (n 1) 33n1 ,b n6 2n13 2n.所以,a n的通项公式为 a n 3n 1 , b n的通项公式为b n3 2n (n )( i ) a 2n C 2n 1 a ?n b n 1 3 2n 1 3 2n 19 4n 1所以,数列 a ?n c?n1 的通 项公式 :为a2nc 2n 19 4n 12n 2n2n2n(ii )a &a i a C i 1a ia c 2i1i 1i 1i 1i 12n 2n 1n2 n4-39 412i 14 1 4n3 ?2 n5 2n 19n1 427 _2n•1J 112N*25 2n n【点睛】本题主要考查等差数列 ?等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列 求和的基本方法以及运算求解能力.【详解】(I )设等差数列a n 的公db n 的公比为q .依题意得6q6q 2(2019上海)18•已知数列{a n } , a 1 3,前n 项和为S n •(1)若{an }为等差数列,且 a 4 15, 求S n ;(2)若{a n }为等比数列,且 lim n S n 12,求公比 q 的取值范围 【解答】解:(1) Q a 4 a 3d 3 3d 15 ,d 4 ,n(n 1),S n 3n4 2n 2 n;2lim S n 存在,nlim 3(^ 2 ,n1 q 1 q3 4公比q 的取值范围为(1 , 0) (0 , 3).42综上,d -或者d3Hm S n存在, lim S n n (2019上海)21.已知等差数列{务}的公差d (0, ],数列{b n }满足 b n sin (a n ),集合 S x|xb n ,n2 、(1 )若a 1 0,d 一,求集合 30,d —,3{乜,0, △.2 2根据三角函数线,①等差数列 {a n }的终边落在y 轴的正负半轴上时,集合S 恰好有两个元素,此时此时d —,3(2)若a 1,求d 使得集合 2 S 恰好有两个(3)若集合S 恰好有三个元素: b n T b n , T 是不超过7的正整数,求 T 的所有可能的值.【解答】解:(1) Q 等差数列{a n }的公差d (0,],数列{b n }满足 b n sin (a n ),集合 S x|xb n ,n当a 1集合S (2) Q,数列{b n }满足 b n sin (a .),2集合S x|x N *恰好有两个元素,如图:②a 1终边落在OA 上,要使得集合 S 恰好有两个元素,可以使 a 2, a 3的终边关于y 轴对称,如图OB , OC ,(3)①当T 3 时,b n 3 b n,集合S {bl,b2, b3},符合题意.②当T 4 时,b n 4 b n ,sin(a n 4d) sina. a n 4d a n 2k ,或者a n 4d 2k a n ,4d a n 2k,又k 1,2当k1时满足条件,此时S {,1, 1}.③当T 5时,b n 5b n,si n(a n5d)sina n,故k1,2.当k1时,S{sin—,1,sin}满足题意1010④当T 6时,b n 6b n,sin (an6d)sina n,a na n等差数列{a n}的公差d (0,],故a n5d a n 2k ,或者a n 5d 2k a n,因为 d (0 ,所以6d a n 2k 或者a n 6d 2k a n,d (0,1 , 2, 3.1时,S {-^O, —3},满足题意.2 2⑤当T 7 时,b n 7 b n,si n(a n 7d) si na n si na n,所以a n 7d a n 2k ,或者a n 7d 2k a n,d (0,故k 1 , 2, 31时,因为b i ~b7对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n 2 ,d m 7,不符合条件.k 2时,因为b i~b7对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n 2 ,d n不是整数,不符合条件.k 3时,因为bi ~ b7对应着3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有a m a n—,或者d7—,此时,m n均不是整数,不符合题意.7综上,T3,4,5,6.(2019江苏)8.已知数列{a n}( n N*)是等差数列,S n是其前n项和若a2^ 兎0,S9 27 ,则Q的值是 _____________________ 【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.a 2a 5CBa 1 d a-i 4d7d 0【详解】由题意可得:9 8S99a 1 9 8d227解得: a 1 51 ,则 S 8 8a 1 8 7d40 28 216.d 22【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应 用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建a 1, d 的方程组.(2019江苏)20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M—数列”.(1)已知等比数列{a n }满足:a ?a 4 a 5,a 3 4a ? 4印 0 ,求证:数列{a n }为“M—数列”;u . 1 2 2(2)已知数列{b n }满足:b 1 1,S b b ,其中S 为数列{b n }的前n 项和.S n b n b n 1① 求数列{b n }的通项公式;② 设m 为正整数,若存在 “M—数列” {} (n € N *),对任意正整数k ,当k 呦 时,都有C k b k q 1成立,求m 的 最大值.【答案】(1)见解析; (2[① b n = n n N * :② 5. 【解析】 【分析】(1 )由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论; (2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列,据此即可确定其通项公式;②由①确定b k 的值,将原问题进行等价转化,构造函数,结合导函数研究函数的性质即可求得【详解】(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1^0, q 丰0.因此数列{a n }为M —数列”1 22 (2) ①因S n—,所以b nb nbn11 2 2由b| 1,S 1th 得1 1 ,则 b 22.1由2 2 得 S nb n b n 1m 的最大值.a 2&4 a s由a 3 4a : 4ci|。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f <D .(20)10000f <2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = . 3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.4.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .535.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a .考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞3.(2019∙江苏∙高考真题)函数y =的定义域是 .考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =-B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( )A .b c a >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x=-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减8.(2019∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 A .12y x =B .y =2x -C .12log y x =D .1y x=9.(2019∙全国∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,∞+单调递减,则A .233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B .233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C .23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D .23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x xy x -=+D .||sin 4e x x xy +=2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数,则=a ( )A .2-B .1-C .1D .25.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1-B .0C .12D .16.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .538.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数,则=a .10.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x --B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减13.(2019∙北京∙高考真题)设函数f (x )=cos x +b sin x (b 为常数),则“b =0”是“f (x )为偶函数”的 A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件14.(2019∙全国∙高考真题)设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当x <0时,f (x )=A .e 1x --B .e 1x -+C .e 1x ---D .e 1x --+考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .12.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f < D .(20)10000f <【答案】B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2==f f , 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确. 故选:B.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ,再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = .【详细分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .【答案】1【详细分析】根据给定条件,把12x =代入,利用指数、对数运算计算作答.【答案详解】函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为:14.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【详细分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a . 【答案】2【详细分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程,解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =, 故答案为:2.考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 【答案】()(],00,1-∞⋃【详细分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可;【答案详解】解:因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩,解得1x ≤且0x ≠,故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃;故答案为:()(],00,1-∞⋃2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+ B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞【答案】B【详细分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,再解不等式组即可. 【答案详解】由题知:0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选:B3.(2019∙江苏∙高考真题)函数y =的定义域是 . 【答案】[1,7]-.【详细分析】由题意得到关于x 的不等式,解不等式可得函数的定义域. 【答案详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤, 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点评】求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞ B .[1,0]- C .[1,1]- D .[0,)+∞【答案】B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤, 即a 的范围是[1,0]-.故选:B.2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =- B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=【答案】C【详细分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC ,举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误;对于B ,因为2x y =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减, 所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误; 对于C ,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确;对于D ,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====,显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选:C.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( )A .b c a >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>【答案】A【详细分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--,则()g x 开口向下,对称轴为1x =,4112⎛-= ⎝⎭,而22491670-=+=>,所以41102222⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭,即1122->-由二次函数性质知g g <,因为4112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭,而22481682)0-=+-=-=-<,即1122-<-,所以()(22g g >,综上,(((222g g g <<, 又e x y =为增函数,故a c b <<,即b c a >>. 故选:A.4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞【答案】D【详细分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答. 【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥,所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 【答案】D【详细分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ,()f x x =-为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,()2f x x =在(),0∞-为减函数,不合题意,舍.对于D ,()f x =R 上的增函数,符合题意, 故选:D.6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数【答案】C【详细分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,等价于对于任意两个不相等的实数12x x <,总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选:C7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x=-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【详细分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠,利用定义可得出函数()f x 为奇函数, 再根据函数的单调性法则,即可解出.【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠,其关于原点对称,而()()f x f x -=-, 所以函数()f x 为奇函数. 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增,而331y x x-==在()0,+?上单调递减,在(),0-?上单调递减,所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增.故选:A .【名师点评】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质,属于基础题. 8.(2019∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 A .12y x = B .y =2x -C .12log y x =D .1y x=【答案】A【详细分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【答案详解】函数122,log xy y x -==, 1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减, 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增,故选A .【名师点评】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性,注重对重要知识、基础知识的考查,蕴含数形结合思想,属于容易题.9.(2019∙全国∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,∞+单调递减,则A .233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C .23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D .23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由已知函数为偶函数,把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,转化为同一个单调区间上,再比较大小.【答案详解】()f x 是R 的偶函数,()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭.223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ,又()f x 在(0,+∞)单调递减,∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选C .【名师点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性,解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+ B .22cos 1x x y x +=+ C .e 1x xy x -=+D .||sin 4e x x xy +=【答案】B【详细分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ,设()22e 1x xf x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R , 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称, 则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D ,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141eϕ+=,()sin141e ϕ---=, 则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误. 故选:B.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .【答案】0【详细分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数,故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=,故0a =, 故答案为:0.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .【答案】2【详细分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求得2a =,再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数,定义域为R ,所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭,则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝,故2a =,此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++, 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==, 又定义域为R ,故()f x 为偶函数, 所以2a =. 故答案为:2.4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数,则=a ( )A .2-B .1-C .1D .2【答案】D【详细分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数,则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---, 又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x --=,即()1e e a x x -=, 则()1x a x =-,即11a =-,解得2a =. 故选:D.5.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1- B .0C .12D .1【答案】B【详细分析】根据偶函数性质,利用特殊值法求出a 值,再检验即可. 【答案详解】因为()f x 为偶函数,则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+,,解得0a =, 当0a =时,()21ln21x x x f x -=+,()()21210x x -+>,解得12x >或12x <-,则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭,关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-, 故此时()f x 为偶函数. 故选:B.6.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 【答案】 12-; ln 2.【详细分析】根据奇函数的定义即可求出. 【答案详解】[方法一]:奇函数定义域的对称性 若0a =,则()f x 的定义域为{|1}x x ≠,不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义,则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+,函数()f x 为奇函数,定义域关于原点对称,111a ∴+=-,解得12a =-, 由(0)0f =得,102ln b +=,2b ln ∴=,故答案为:12-;2ln .[方法二]:函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=- 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]:因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数,所以其定义域关于原点对称. 由101a x+≠-可得,()()110x a ax -+-≠,所以11a x a +==-,解得:12a =-,即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞,再由()00f =可得,ln 2b =.即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--,在定义域内满足()()f x f x -=-,符合题意. 故答案为:12-;ln 2.7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【详细分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.【答案】()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)【详细分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =,则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===,满足①, ()34f x x '=,0x >时有()0f x ¢>,满足②, ()34f x x '=的定义域为R ,又()()34f x x f x ''-=-=-,故()f x '是奇函数,满足③.故答案为:()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数,则=a .【答案】1【详细分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-,故()()322x xf x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=,时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x xa --,故1a =, 故答案为:110.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x -- B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++【答案】B【详细分析】分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++,对于A ,()2112f x x--=-不是奇函数; 对于B ,()211f x x-=+是奇函数; 对于C ,()21122f x x +-=-+,定义域不关于原点对称,不是奇函数; 对于D ,()2112f x x ++=+,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选:B【名师点评】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃【答案】D【详细分析】首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数()f x 在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式,最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =, 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =,所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时,()0f x >,当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时,()0f x <, 所以由(10)xf x -≥可得:0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤,所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃, 故选:D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题. 12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【详细分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数,排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减,从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭,关于坐标原点对称,又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x \为定义域上的奇函数,可排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--,()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭,2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,()ln f μμ=在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知:()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,D 正确.故选:D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断;判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根据()f x -与()f x 的关系得到结论;判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.13.(2019∙北京∙高考真题)设函数f (x )=cos x +b sin x (b 为常数),则“b =0”是“f (x )为偶函数”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【答案详解】0b = 时,()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数;()f x 为偶函数时,()=()f x f x -对任意的x 恒成立,()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ,得0bsinx =对任意的x 恒成立,从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件,故选C.【名师点评】本题较易,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.14.(2019∙全国∙高考真题)设f (x )为奇函数,且当x ≥0时,f (x )=e 1x -,则当x <0时,f (x )=A .e 1x --B .e 1x -+C .e 1x ---D .e 1x --+【答案】D【详细分析】先把x <0,转化为‐x>0,代入可得()f x -,结合奇偶性可得()f x . 【答案详解】()f x 是奇函数, 0x ≥时,()1x f x e =-.当0x <时,0x ->,()()1x f x f x e -=--=-+,得()e 1x f x -=-+.故选D .【名师点评】本题考查分段函数的奇偶性和解析式,渗透了数学抽象和数学运算素养.采取代换法,利用转化与化归的思想解题.考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【详细分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出.【答案详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++= .由于22除以6余4, 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .[方法二]:【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=,联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=,可设()cos f x a x ω=,则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==,解得1cos 2ω=,取3πω=,所以()2cos3f x x π=,则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()2cos 3f x xπ=符合条件,因此()f x 的周期263T ππ==,()()02,11f f ==,且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==,所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=, 由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法;法二:作为选择题,利用熟悉的函数使抽象问题具体化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质解题,简单明了,是该题的最优解.2.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =【答案】B【详细分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数,由已知条件得出()10f =,结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-, 因为函数()21f x +为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以,()()11f x f x -=-+, 所以,()()()311f x f x f x +=-+=-,即()()4f x f x =+, 故函数()f x 是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选:B.3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52【答案】D【详细分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件,可以确定出函数解析式()222f x x =-+,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案.【答案详解】[方法一]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路一:从定义入手.9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [方法二]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数()f x 的周期4T =. 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:D .【名师点评】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【详细分析】A 选项,先详细分析出函数的极值点为0,x x a ==,根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行详细分析;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,则()(2)f x f b x =-为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增, (0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值, 由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <, 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确; B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减, ,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-, 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立, 于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误; D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=, 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 故选:AD【名师点评】结论名师点评:(1)()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-;(2)()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=;(3)任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是()0f x ''=的解,即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=【答案】BC【详细分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]:对称性和周期性的关系研究对于()f x ,因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①,所以()()3f x f x -=,所以()f x 关于32x =对称,则(1)(4)f f -=,故C 正确; 对于()g x ,因为(2)g x +为偶函数,(2)(2)g x g x +=-,(4)()g x g x -=,所以()g x 关于2x =对称,由①求导,和()()g x f x '=,得333333222222fx f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以()()30g x g x -+=,所以()g x 关于3(,0)2对称,因为其定义域为R ,所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合()g x 关于2x =对称,从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误;若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.[方法二]:【最优解】特殊值,构造函数法.由方法一知()g x 周期为2,关于2x =对称,故可设()()cos πg x x =,则()()1sin ππf x x c =+,显然A ,D 错误,选BC. 故选:BC. [方法三]:因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)(2)g x g x +=-, 所以()()3f x f x -=,(4)()g x g x -=,则(1)(4)f f -=,故C 正确;函数()f x ,()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称,又()()g x f x '=,且函数()f x 可导,所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()(4)()3g x g x g x -==--,所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=,所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误;若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.【点评】方法一:根据题意赋值变换得到函数的性质,即可判断各选项的真假,转化难度较高,是该题的通性通法;方法二:根据题意得出的性质构造特殊函数,再验证选项,简单明了,是该题的最优解. 3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【详细分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称, 所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-, 因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=, 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-, 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- , ()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-. 因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=, 联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R , 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选:D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【详细分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【答案详解】sin x 可以为负,所以A 错; 1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称; 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错; ()f x ∴关于直线2x π=对称,故C 错,D 对故选:D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本详细分析判断能力,属中档题.。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)

历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)

历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编 考点01 利用导数求函数单调性,求参数(2)若不等式()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.考点02 恒成立问题1.(2023年全国新高考Ⅱ卷(文))(1)证明:当01x <<时,sin x x x x 2-<<; (2)已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.2.(2020年全国高考Ⅱ卷(文)数学试题)已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+.(1)当a e =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若不等式()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.3.(2019∙全国Ⅰ卷数学试题)已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ,f ′(x )为f (x )的导数. (1)证明:f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x [0∈,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围.4.(2019年全国高考Ⅱ卷(文))已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明: (1)()f x 存在唯一的极值点;(2)()=0f x 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时,求b的取值范围;(i)当0(ii)求证:22e+>.a b4.(2021年全国高考Ⅰ卷数学试题)已知函数f(x)=2sin x-x cos x-x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;∈,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.(2)若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性,求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛:函数的最值问题,而不同方程的根的性质,注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4.(2022∙全国新高考Ⅱ卷(文))已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式,然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性;当时,的解为:当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时,单调递增;时,单调递减;时,单调递增;综上可得:当时,在当时,在解得:,则,()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上,曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题,和过曲线外一点所做曲线的切线问题,注。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题11 算法初步(含解析)

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理):专题11 算法初步(含解析)

专题11 算法初步1.【2019年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出S 的值为A .5B .8C .24D .29【答案】B【分析】根据程序框图,逐步写出运算结果即可.【解析】1,2S i ==;11,1225,3j S i ==+⨯==;8,4S i ==,结束循环,输出8S =.故选B .【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体. 2.【2019年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图,输出的s 值为A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【解析】初始:1s =,1k =,运行第一次,2212312s ⨯==⨯-,2k =,运行第二次,2222322s ⨯==⨯-,3k =,运行第三次,2222322s ⨯==⨯-,结束循环,输出2s =,故选B .【名师点睛】本题考查程序框图,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .12A A =+ B .12A A =+C .112A A=+D .112A A=+【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、分析与解决问题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图结构,即可找出作出选择.【解析】初始:1,122A k ==≤,因为第一次应该计算1122+=12A +,1k k =+=2; 执行第2次,22k =≤,因为第二次应该计算112122++=12A +,1k k =+=3, 结束循环,故循环体为12A A=+,故选A .【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为12A A=+.4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于A .4122- B .5122-C .6122-D .7122-【答案】C【分析】根据程序框图,结合循环关系进行运算,可得结果. 【解析】输入的ε为0.01,11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件; 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件;⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<满足条件,结束循环;输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-,故选C .【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算,根据计算精确度确定数据分析. 5.【2019年高考江苏卷】下图是一个算法流程图,则输出的S 的值是______________.【答案】5【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【解析】执行第一次,1,1422x S S x =+==≥不成立,继续循环,12x x =+=; 执行第二次,3,2422x S S x =+==≥不成立,继续循环,13x x =+=; 执行第三次,3,342xS S x =+==≥不成立,继续循环,14x x =+=;执行第四次,5,442xS S x =+==≥成立,输出 5.S =【名师点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构;(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题;(3)按照题目的要求完成解答并验证.6.【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】在如图所示的计算1592017++++L 的程序框图中,判断框内应填入的条件是A .2017?i ≤B .2017?i <C .2013?i <D .2021?i ≤【答案】A【解析】由题意结合流程图可知当2017i =时,程序应执行S S i =+,42021i i =+=, 再次进入判断框时应该跳出循环,输出S 的值;结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是2017?i ≤.故选A .7.【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】根据如图所示的程序框图,当输入的x 值为3时,输出的y 值等于A .1B .eC .1e -D .2e -【答案】C【解析】由题3x =,231x x =-=-,此时0x >,继续运行,1210x =-=-<,程序运行结束,得1e y -=,故选C .8.【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷(六)】执行如图所示的程序框图,则输出的值为A .4B .5C .6D .7【答案】C【解析】由题可得3,27,315,431,563,6S i S i S i S i S i ==→==→==→==→==, 此时结束循环,输出6i =,故选C .9.【山东省济宁市2019届高三二模】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于A .30B .31C .62D .63【答案】B【解析】由流程图可知该算法的功能为计算123412222S =++++的值,即输出的值为512341(12)122223112S ⨯-=++++==-.故选B .10.【辽宁省大连市2019届高三第二次模拟考试】执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数x 值的个数为A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】根据程序框图的含义,得到分段函数221,2log ,2x x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,分段解出关于x 的方程,即可得到可输入的实数x 值的个数.【解析】根据题意,该框图的含义是:当2x ≤时,得到函数21y x =-;当2x >时,得到函数2log y x =, 因此,若输出的结果为1时,若2x ≤,得到211x -=,解得x = 若2x >,得到2log 1x =,无解,因此,可输入的实数x 的值可能为2个.故选B . 11.【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图所示的程序框图所实现的功能是A .输入a 的值,计算2021(1)31a -⨯+的值B .输入a 的值,计算2020(1)31a -⨯+的值C .输入a 的值,计算2019(1)31a -⨯+的值D .输入a 的值,计算2018(1)31a -⨯+的值 【答案】B【解析】由程序框图,可知1a a =,132n n a a +=-,由i 的初值为1,末值为2019, 可知,此递推公式共执行了201912020+=次,又由132n n a a +=-,得113(1)n n a a +-=-,得11(1)3n n a a --=-⨯即1(1)31n n a a -=-⨯+,故2021120202021(1)31(1)31a a a -=-⨯+=-⨯+,故选B . 12.【山西省2019届高三考前适应性训练(二模)】执行如图所示的程序框图,则输出x 的值为A.2-B.1 3 -C.12D.3【答案】A【分析】根据程序框图进行模拟运算得到x的值具备周期性,利用周期性的性质进行求解即可.【解析】∵12x=,∴当1i=时,13x=-;2i=时,2x=-;3i=时,3x=,4i=时,12x=,即x的值周期性出现,周期数为4,∵201850442=⨯+,则输出x的值为2-,故选A.【名师点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,结合条件判断x的值具备周期性是解决本题的关键,属于中档题.13.【青海省西宁市第四高级中学、第五中学、第十四中学三校2019届高三4月联考】若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是A .5B .4C .3D .2【答案】B【分析】模拟执行循环结构的程序得到n 与i 的值,计算得到2n =时满足判断框的条件,退出循环,输出结果,即可得到答案.【解析】模拟执行循环结构的程序框图, 可得:6,1n i ==, 第1次循环:3,2n i ==; 第2次循环:4,3n i ==; 第3次循环:2,4n i ==,此时满足判断框的条件,输出4i =.故选B .【名师点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,其中解答中根据给定的程序框图,根据判断框的条件推出循环,逐项准确计算输出结果是解答的关键,着重考查了考生的运算与求解能力,属于基础题.14.【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研】下图是一个算法流程图.若输出 的值为4,则输入x 的值为______________.【答案】1-【解析】当1x ≤时,由流程图得3y x =-, 令34y x =-=,解得1x =-,满足题意. 当1x >时,由流程图得3y x =+, 令34y x =+=,解得1x =,不满足题意. 故输入x 的值为1-.15.【北京市人大附中2019届高三高考信息卷(三)】执行如图所示的程序框图,若输入x 值满足24x -<≤,则输出y 值的取值范围是______________.【答案】[3,2]-【解析】根据输入x 值满足24x -<≤,利用函数的定义域,分成两部分:即22x <<﹣和24x ≤≤,当22x <<﹣时,执行23y x =- 的关系式,故31y -≤<,当24x ≤≤时,执行2log y x =的关系式,故12y ≤≤. 综上所述:[3,2]y ∈-,故输出y 值的取值范围是[3,2]-.。

2019年高考数学13套试卷及解析答案

2019年高考数学13套试卷及解析答案
目录
2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 001 2019 考数学 卷 I 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .006 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016 2019 考数学 卷 I 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .021 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 029 2019 考数学 卷 II 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 034 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 043 2019 考数学 卷 II 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 048 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 056 2019 考数学 卷 III 理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 062 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 073 2019 考数学 卷 III 文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 078 2019 考数学北京卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .088 2019 考数学北京卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 093 2019 考数学北京卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 2019 考数学北京卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2019 考数学 卷理科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 2019 考数学 卷理科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2019 考数学 卷文科 题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 2019 考数学 卷文科 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2019 考数学浙江卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2019 考数学江苏卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 2019 考数学上海卷 题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解

2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、(2019年高考全国I 卷文理科5)函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A .B .C .D .答案:D解析:因为)()(x f x f -=-,所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ,124412)2(22>+=+=πππππf ,故选D 2、(2019年高考全国I 卷理科11)关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④C .①④D .①③答案:C解析:由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-,故①正确;),2(ππ∈x 时,x x x x f sin 2sin sin )(=+=,函数递减,故②错误;],0[π∈x 时,x x x x f sin 2sin sin )(=+=,函数有2个零点,0)()0(==πf f ,而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ,所以函数有且只有3个零点,故③错误;函数为偶函数,只需讨论0>x ,N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时,x x x x f sin 2sin sin )(=+=,最大值为2,N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时,0sin sin )(=-=x x x f ,故函数最大值为2,故④正确。

故选C3、(2019年高考全国I 卷文科7)tan255°= A .-2B .-C .2D .答案:D解析:32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=︒+︒=︒=︒+︒=︒故选D4、(2019年高考全国I 卷文科11)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则b c=A .6B .5C .4D .3答案:A解析:由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=又412)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ,联立求得6=c b 故选A5、(2019年高考全国II 卷理科4)019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,2L 点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=,由于α的值很小,因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+,则r 的近似值为 ABCD答案:D 解析:Rr=α则R r α=,代入121223()()M M M R r R r r R +=++得12322)1(1)1(M M ααα+-+=即3254322312)1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M所以R M M r 3123=.故答案选D 6、(2019年高考全国II 卷理科9)下列函数中,以2π为周期且在区间(4π,2π)单调递增的是A .f (x )=│cos2x │B .f (x )=│sin 2x │C .f (x )=cos│x │D .f (x )= sin │x │答案:A解析:将|2cos |)(x x f =的图像变换,“下翻上”,如图可知在区间)2,4(ππ上是增函数.故答案选A 7、(2019年高考全国II 卷理科10,文科11)已知α∈(0,2π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=A .15B 5C 3D 5答案:B解析:ααα2cos 212cos 2sin 2=+=,与αααcos sin 22sin =联立求得21tan =α 又)2,0(πα∈,所以55sin =α故答案选B 8、(2019年高考全国II 卷文科8)若x 1=4π,x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=A .2B .32C .1D .12答案:A 解析:πππ=-=T T ,4432,又ωπ2=T ,所以2=ω。

2019高考数学(文)真题分类汇编-立体几何含答案

2019高考数学(文)真题分类汇编-立体几何含答案

2019高考数学(文)真题分类汇编-立体几何含答案立体几何专题1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行。

解析:根据面面平行的判定定理,α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件。

又根据面面平行性质定理,若α∥β,则α内任意一条直线都与β平行。

因此,α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件。

所以选B。

名师点睛:本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,需要运用面面平行的判定定理与性质定理进行判断。

容易犯的错误是记不住定理,凭主观臆断。

2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线。

解析:连接ON,BD,容易得到直线BM,EN是三角形EBD的中线,是相交直线。

过M作MF⊥OD于F,连接BF,平面CDE⊥平面ABCD,EO⊥CD,EO⊥平面CDE,因此EO⊥平面ABCD,MF⊥平面ABCD,所以△MFB与△EON均为直角三角形。

设正方形边长为2,可以计算出EO=3,ON=1,EN=2,MF=35,BF=22,因此BM=7,BM≠EN,故选B。

名师点睛:本题考查空间想象能力和计算能力,解答本题的关键是构造直角三角形。

解答本题时,先利用垂直关系,再结合勾股定理进而解决问题。

3.【2019年高考浙江卷】XXX是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高。

若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是162.解析:根据三视图,可以得到底面为直角梯形,上底为10,下底为18,高为9.因此,底面积S=1/2(10+18)×9=108,高h=9,代入公式V柱体=Sh可得V柱体=108×9=972,单位为cm3,故选B。

2019年高考数学真题分类汇编专题17:空间几何(综合题含解析)

2019年高考数学真题分类汇编专题17:空间几何(综合题含解析)

2019年高考数学真题分类汇编专题17:空间几何(综合题)一、解答题1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1;(2)BE⊥C1E.2.(2019•浙江)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1AC1C⊥平面ABC,∠ABC=90°.∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点(1)证明:EF⊥BC(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.3.(2019•天津)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,为等边三角形,平面平面,,,(Ⅰ)设分别为的中点,求证:平面;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.4.(2019•天津)如图,平面,,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.5.(2019•全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.6.(2019•全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DC,如题2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.7.(2019•卷Ⅱ)如图,长方体的底面是正方形,点在棱上,。

(1)证明:;(2)若,,求四棱锥的体积。

8.(2019•卷Ⅱ)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.9.(2019•北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.10.(2019•北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3。

2019年高考数学试题及答案

2019年高考数学试题及答案

2019年高考数学试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 已知函数f(x)=2x^2-4x+1,求f(1)的值。

A. 1B. 2C. 3D. 42. 若a>0,b>0,且a+b=1,求ab的最大值。

A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 13. 已知直线l的方程为y=2x+3,求直线l与x轴的交点坐标。

A. (3/2, 0)B. (-3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)4. 计算复数z=1+2i的模。

A. √5B. √6C. √7D. √85. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c,且a^2+b^2=c^2,判断三角形ABC的形状。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 求函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,2]上的最小值。

A. -2B. -1C. 0D. 17. 若向量a=(3,-2),向量b=(2,1),求向量a与向量b的点积。

A. -4B. -2C. 4D. 28. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上,且a=2,求b的值。

A. √3B. √5C. √7D. √99. 计算定积分∫(0到1) (x^2+1)dx的值。

A. 2/3B. 3/2C. 5/3D. 210. 求函数y=sin(x)的周期。

A. 2πB. πC. 1D. 1/2二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等差数列{an}的首项为1,公差为2,求该数列的第10项。

答案:1912. 已知函数f(x)=x^2-6x+8,求该函数的对称轴。

答案:x=313. 若向量a=(1,2),向量b=(3,-1),求向量a与向量b的夹角的余弦值。

答案:-1/√1014. 已知椭圆C的方程为x^2/9+y^2/4=1,求椭圆C的离心率。

答案:√5/315. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x)dx的值。

答案:1三、解答题(共40分)16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求该函数的单调区间。

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2019年高考数学复习题汇编(名师精讲必考知识点+实战真题演练+答案,建议下载保存) (总计181页,涵盖高中数学所有知识点,价值很高,可以达到事半功倍的复习效果,值得下载打印练习)目录第一章集合 (1)第一节集合的含义、表示及基本关系 (1)第二节集合的基本运算 (3)第二章函数 (5)第一节对函数的进一步认识 (5)第二节函数的单调性 (9)第三节函数的性质 (13)第三章指数函数和对数函数 (16)第一节指数函数 (16)第二节对数函数 (20)第三节幂函数与二次函数的性质 (24)第四节函数的图象特征 (28)第四章函数的应用 (32)第五章三角函数 (33)第一节角的概念的推广及弧度制 (33)第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39)第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42)第四节函数()sin()f x A xw j=+的图象 (45)第六章三角恒等变换 (50)第一节同角三角函数的基本关系 (50)第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53)第七章解三角形 (56)第一节正弦定理与余弦定理 (56)第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59)第八章数列 (60)第九章平面向量 (62)第十章算法 (65)第一节程序框图 (65)第二节程序语句 (69)第十一章概率 (73)第一节古典概型 (73)第二节概率的应用 (75)第三节几何概型 (79)第十二章导数 (83)第十三章不等式 (85)第十四章立体几何 (88)第一节简单几何体 (88)第二节空间图形的基本关系与公理 (92)第三节平行关系 (96)第四节垂直关系 (100)第五节简单几何体的面积与体积 (104)第十五章解析几何 (108)第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108)第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111)第三节圆的标准方程与一般方程 (114)第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117)第五节空间直角坐标系 (121)第十六章圆锥曲线 (123)第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系A 组1.已知A ={1,2},B ={}|x x A Î,则集合A 与B 的关系为________. 解析:由集合B ={}|x x A Î知,B ={1,2}.答案:A =B2.若{}2,|a a R x x NÆØ,则实数a 的取值范围是________.解析:由题意知,2x a £有解,故0a ³.答案:0a ³3.已知集合A ={}2|21,y y x x x R =--?,集合B ={}|28x x -#,则集合A 与B的关系是________.解析:y =x 2-2x -1=(x -1)2-2≥-2,∴A ={y|y ≥-2},∴BA .答案:B A 4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U =R ,则正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________.解析:由N={}2|0x x x +=,得N ={-1,0},则N M .答案:②5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A ={}|5x x >,集合B ={}|x x a >,若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件,∴A B ,∴a <5.答案:a <56.(原创题)已知m ∈A ,n ∈B ,且集合A ={x |x =2a ,a ∈Z },B ={x |x =2a +1,a ∈Z },又C={x |x =4a +1,a ∈Z },判断m +n 属于哪一个集合?解:∵m ∈A ,∴设m =2a 1,a 1∈Z ,又∵n ∈B ,∴设n =2a 2+1,a 2∈Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈Z ,∴m +n ∈B .B 组1.设a ,b 都是非零实数,y =a |a |+b |b |+ab |ab |可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a >0且b >0;(2)a >0且b <0;(3)a <0且b >0;(4)a <0且b <0,讨论得y =3或y =-1.答案:{3,-1}2.已知集合A ={-1,3,2m -1},集合B ={3,m 2}.若B ⊆A ,则实数m =________.解析:∵B ⊆A ,显然m 2≠-1且m 2≠3,故m 2=2m -1,即(m -1)2=0,∴m =1. 答案:13.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q },若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q 中元素的个数是________个.解析:依次分别取a =0,2,5;b =1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P +Q ={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:84.已知集合M ={x |x 2=1},集合N ={x |ax =1},若N M ,那么a 的值是________.解析:M ={x |x =1或x =-1},N M ,所以N =∅时,a =0;当a ≠0时,x =1a=1或-1,∴a =1或-1.答案:0,1,-15.满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个.解析:A 中一定有元素1,所以A 有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:36.已知集合A ={x |x =a +16,a ∈Z },B ={x |x =b 2-13,b ∈Z },C ={x |x =c 2+16,c ∈Z },则A 、B 、C 之间的关系是________.解析:用列举法寻找规律.答案:A B =C7.集合A ={x ||x |≤4,x ∈R },B ={x |x <a },则“A ⊆B ”是“a >5”的________.解析:结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4,故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件8.(2010年江苏启东模拟)设集合M ={m |m =2n ,n ∈N ,且m <500},则M 中所有元素的和为________.解析:∵2n <500,∴n =0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S =1+2+22+…+28=511.答案:5119.(2009年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1∉A ,且k +1∉A ,那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8},由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:610.已知A ={x ,xy ,lg(xy )},B ={0,|x |,y },且A =B ,试求x ,y 的值.解:由lg(xy )知,xy >0,故x ≠0,xy ≠0,于是由A =B 得lg(xy )=0,xy =1.∴A ={x ,1,0},B ={0,|x |,1x}. 于是必有|x |=1,1x=x ≠1,故x =-1,从而y =-1. 11.已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0},(1)若B ⊆A ,B ={x |m +1≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围;(2)若A ⊆B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围;(3)若A =B ,B ={x |m -6≤x ≤2m -1},求实数m 的取值范围.解:由A ={x |x 2-3x -10≤0},得A ={x |-2≤x ≤5},(1)∵B ⊆A ,∴①若B =∅,则m +1>2m -1,即m <2,此时满足B ⊆A .②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≤2m -1,-2≤m +1,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].(2)若A ⊆B ,则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m -1>m -6,m -6≤-2,2m -1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >-5,m ≤4,m ≥3.故3≤m ≤4, ∴m 的取值范围是[3,4].(3)若A =B ,则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6=-2,2m -1=5,解得m ∈∅.,即不存在m 值使得A =B . 12.已知集合A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}.(1)若A 是B 的真子集,求a 的取值范围;(2)若B 是A 的子集,求a 的取值范围;(3)若A =B ,求a 的取值范围.解:由x 2-3x +2≤0,即(x -1)(x -2)≤0,得1≤x ≤2,故A ={x |1≤x ≤2},而集合B ={x |(x -1)(x -a )≤0},(1)若A 是B 的真子集,即A B ,则此时B ={x |1≤x ≤ a },故a >2.(2)若B 是A 的子集,即B ⊆A ,由数轴可知1≤a ≤2.(3)若A =B ,则必有a =2第二节 集合的基本运算A 组1.(2009年高考浙江卷改编)设U =R ,A ={}|0x x >,B ={}|1x x >,则A ∩∁U B =____.解析:∁U B ={x |x ≤1},∴A ∩∁U B ={x |0<x ≤1}.答案:{x |0<x ≤1}2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A ={4,5,7,9},B ={3,4,7,8,9},全集U =A ∪B ,则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个.解析:A ∩B ={4,7,9},A ∪B ={3,4,5,7,8,9},∁U (A ∩B )={3,5,8}.答案:33.已知集合M ={0,1,2},N ={}|2,x x a a M =?,则集合M ∩N =________.解析:由题意知,N ={0,2,4},故M ∩N ={0,2}.答案:{0,2}4.(原创题)设A ,B 是非空集合,定义A ⓐB ={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B },已知A ={x |0≤x ≤2},B ={y |y ≥0},则A ⓐB =________.解析:A ∪B =[0,+∞),A ∩B =[0,2],所以A ⓐB =(2,+∞).答案:(2,+∞)5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.解析:设两项运动都喜欢的人数为x ,画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案:126.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>1},集合B={x|m≤x≤m+3}.(1)当m=-1时,求A∩B,A∪B;(2)若B⊆A,求m的取值范围.m=-时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}.解:(1)当1m>,即m的取值范围为(1,+∞)(2)若B⊆A,则1B组1.若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=________.解析:因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案:{-1,0}2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(∁U A)∩B=________.解析:∁U A={0,1},故(∁U A)∩B={0}.答案:{0}3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(∁U N)=________.解析:根据已知得M∩(∁U N)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}={x|-2≤x<0}.答案:{x|-2≤x<0}4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.解析:由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}.答案:{2,3,4}5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________.解析:U=A∪B中有m个元素,∵(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:m-n6.(2009年高考重庆卷)设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n 是3的倍数},则∁U(A∪B)=________.解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},得∁U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8}7.定义A ⊗B ={z |z =xy +x y,x ∈A ,y ∈B }.设集合A ={0,2},B ={1,2},C ={1},则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________.解析:由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5,则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:188.若集合{(x ,y )|x +y -2=0且x -2y +4=x ,y )|y =3x +b },则b =________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y -2=0,x -2y +4=0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2.点(0,2)在y =3x +b 上,∴b =2. 9.设全集I ={2,3,a 2+2a -3},A ={2,|a +1|},∁I A ={5},M ={x |x =log 2|a |},则集合M 的所有子集是________.解析:∵A ∪(∁I A )=I ,∴{2,3,a 2+2a -3}={2,5,|a +1|},∴|a +1|=3,且a 2+2a -3=5,解得a =-4或a =2,∴M ={log 22,log 2|-4|}={1,2}.答案:∅,{1},{2},{1,2}10.设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2+2(a +1)x +(a 2-5)=0}.(1)若A ∩B ={2},求实数a 的值;(2)若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.解:由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={1,2}.(1)∵A ∩B ={2},∴2∈B ,代入B 中的方程,得a 2+4a +3=0⇒a =-1或a =-3;当a =-1时,B ={x |x 2-4=0}={-2,2},满足条件;当a =-3时,B ={x |x 2-4x +4=0}={2},满足条件;综上,a 的值为-1或-3.(2)对于集合B ,Δ=4(a +1)2-4(a 2-5)=8(a +3).∵A ∪B =A ,∴B ⊆A ,①当Δ<0,即a <-3时,B =∅满足条件;②当Δ=0,即a =-3时,B ={2}满足条件;③当Δ>0,即a >-3时,B =A ={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 1+2=-2(a +1)1×2=a 2-5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a =-52,a 2=7,矛盾.综上,a 的取值范围是a ≤-3.11.已知函数f (x )= 6x +1-1的定义域为集合A ,函数g (x )=lg(-x 2+2x +m )的定义域为集合B . (1)当m =3时,求A ∩(∁R B );(2)若A ∩B ={x |-1<x <4},求实数m 的值.解:A ={x |-1<x ≤5}.(1)当m =3时,B ={x |-1<x <3},则∁R B ={x |x ≤-1或x ≥3},∴A ∩(∁R B )={x |3≤x ≤5}.(2)∵A ={x |-1<x ≤5},A ∩B ={x |-1<x <4},∴有-42+2×4+m =0,解得m =8,此时B ={x |-2<x <4},符合题意.12.已知集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}.(1)若A =∅,求实数a 的取值范围;(2)若A 是单元素集,求a 的值及集合A ;(3)求集合M ={a ∈R |A ≠∅}.解:(1)A 是空集,即方程ax 2-3x +2=0无解.若a =0,方程有一解x =23,不合题意. 若a ≠0,要方程ax 2-3x +2=0无解,则Δ=9-8a <0,则a >98. 综上可知,若A =∅,则a 的取值范围应为a >98. (2)当a =0时,方程ax 2-3x +2=0只有一根x =23,A ={23}符合题意. 当a ≠0时,则Δ=9-8a =0,即a =98时, 方程有两个相等的实数根x =43,则A ={43}. 综上可知,当a =0时,A ={23};当a =98时,A ={43}. (3)当a =0时,A ={23}≠∅.当a ≠0时,要使方程有实数根, 则Δ=9-8a ≥0,即a ≤98. 综上可知,a 的取值范围是a ≤98,即M ={a ∈R |A ≠∅}={a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1.(2009年高考江西卷改编)函数y =-x 2-3x +4x的定义域为________.解析:⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-3x +4≥0,x ≠0,⇒x ∈[-4,0)∪(0,1] .答案:[-4,0)∪(0,1]2.(2010年绍兴第一次质检)如图,函数f (x )的图象是曲线段OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f (1f (3))的值等于________.解析:由图象知f (3)=1,f (1f (3))=f (1)=2.答案:23.(2009年高考北京卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x ,x ≤1,-x ,x >1.若f (x )=2,则x =________.解析:依题意得x ≤1时,3x =2,∴x =log 32;当x >1时,-x =2,x =-2(舍去).故x =log 32.答案:log 324.(2010年黄冈市高三质检)函数f :{1,2}→{1,2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个.解析:如图.答案:15.(原创题)由等式x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3定义一个映射f (a 1,a 2,a 3)=(b 1,b 2,b 3),则f (2,1,-1)=________.解析:由题意知x 3+2x 2+x -1=(x +1)3+b 1(x +1)2+b 2(x +1)+b 3, 令x =-1得:-1=b 3;再令x =0与x =1得⎩⎪⎨⎪⎧-1=1+b 1+b 2+b 33=8+4b 1+2b 2+b 3,解得b 1=-1,b 2=0. 答案:(-1,0,-1)6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+1x (x >1),x 2+1 (-1≤x ≤1),2x +3 (x <-1).(1)求f (1-12-1),f {f [f (-2)]}的值;(2)求f (3x -1);(3)若f (a )=32, 求a .解:f (x )为分段函数,应分段求解. (1)∵1-12-1=1-(2+1)=-2<-1,∴f (-2)=-22+3,又∵f (-2)=-1,f [f (-2)]=f (-1)=2,∴f {f [f (-2)]}=1+12=32.(2)若3x -1>1,即x >23,f (3x -1)=1+13x -1=3x3x -1;若-1≤3x -1≤1,即0≤x ≤32,f (3x -1)=(3x -1)2+1=9x 2-6x +2;若3x -1<-1,即x <0,f (3x -1)=2(3x -1)+3=6x +1.∴f (3x -1)=⎩⎨⎧3x 3x -1(x >23),9x 2-6x +2 (0≤x ≤23),6x +1 (x <0).(3)∵f (a )=32,∴a >1或-1≤a ≤1.当a >1时,有1+1a =32,∴a =2;当-1≤a ≤1时,a 2+1=32,∴a =±22.∴a =2或±22.B 组1.(2010年广东江门质检)函数y =13x -2+lg(2x -1)的定义域是________. 解析:由3x -2>0,2x -1>0,得x >23.答案:{x |x >23}2.(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1,(x <-1),-3,(-1≤x ≤2),2x -1,(x >2),则f (f (f (32)+5))=_.解析:∵-1≤32≤2,∴f (32)+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f (2)=-3,∴f (-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:73.定义在区间(-1,1)上的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),则f (x )的解析式为________.解析:∵对任意的x ∈(-1,1),有-x ∈(-1,1), 由2f (x )-f (-x )=lg(x +1),① 由2f (-x )-f (x )=lg(-x +1),②①×2+②消去f (-x ),得3f (x )=2lg(x +1)+lg(-x +1),∴f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),(-1<x <1).答案:f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),(-1<x <1)4.设函数y =f (x )满足f (x +1)=f (x )+1,则函数y =f (x )与y =x 图象交点的个数可能是________个.解析:由f (x +1)=f (x )+1可得f (1)=f (0)+1,f (2)=f (0)+2,f (3)=f (0)+3,…本题中如果f (0)=0,那么y =f (x )和y =x 有无数个交点;若f (0)≠0,则y =f (x )和y =x 有零个交点.答案:0或无数5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+bx +c (x ≤0),若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则f (x )的解析式为f (x )=________,关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为________个.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16-4b +c =c 4-2b +c =-2 ⎩⎪⎨⎪⎧b =4c =2, ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+4x +2 (x ≤0).由数形结合得f (x )=x 的解的个数有3个.答案:⎩⎪⎨⎪⎧2 (x >0)x 2+4x +2 (x ≤0) 36.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),函数g (x )=-x 2+bx +c ,若f (2+2)-f (2+1)=12,g (x )的图象过点A (4,-5)及B (-2,-5),则a =__________,函数f [g (x )]的定义域为__________.答案:2 (-1,3)7.(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是________.解析:由已知,函数先增后减再增,当x ≥0,f (x )>f (1)=3时,令f (x )=3, 解得x =1,x =3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0,x +6=3时,x =-3,故f (x )>f (1)=3,解得-3<x <0或x >3. 综上,f (x )>f (1)的解集为{x |-3<x <1或x >3}.答案:{x |-3<x <1或x >3}8.(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4-x ), x ≤0,f (x -1)-f (x -2), x >0,则f (3)的值为________.解析:∵f (3)=f (2)-f (1),又f (2)=f (1)-f (0),∴f (3)=-f (0),∵f (0)=log 24=2,∴f (3)=-2.答案:-29.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5分钟内只进水,不出水,在随后的15分钟内既进水,又出水,得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即x ≥20),y 与x 之间函数的函数关系是________.解析:设进水速度为a1升/分钟,出水速度为a 2升/分钟,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1=205a 1+15(a 1-a 2)=35,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4a 2=3,则y =35-3(x -20),得y =-3x +95, 又因为水放完为止,所以时间为x ≤953,又知x ≥20,故解析式为y =-3x +95(20≤x ≤953).答案:y =-3x +95(20≤x ≤953)10.函数()f x =.(1)若()f x 的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若()f x 的定义域为[-2,1],求实数a 的值. 解:(1)①若1-a 2=0,即a =±1,(ⅰ)若a =1时,f (x )=6,定义域为R ,符合题意;(ⅱ)当a =-1时,f (x )=6x +6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若1-a 2≠0,则g (x )=(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6为二次函数. 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a 2>0,Δ≤0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <1,(a -1)(11a +5)≤0,∴-511≤a <1.由①②可得-511≤a ≤1.(2)由题意知,不等式(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6≥0的解集为[-2,1],显然1-a 2≠0且-2,1是方程(1-a 2)x 2+3(1-a )x +6=0的两个根.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a 2<0,-2+1=3(1-a )a 2-1,-2=61-a2,Δ=[3(1-a )]2-24(1-a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <-1或a >1,a =2,a =±2.a <-511或a >1∴a =2.11.已知()()()2f x f x x R +=?,并且当x ∈[-1,1]时,()21f x x =-+,求当[]()21,21x k k k Z ?+?时、()f x 的解析式.解:由f (x +2)=f (x ),可推知f (x )是以2为周期的周期函数.当x ∈[2k -1,2k +1]时,2k -1≤x ≤2k +1,-1≤x -2k ≤1.∴f (x -2k )=-(x -2k )2+1.又f (x )=f (x -2)=f (x -4)=…=f (x -2k ),∴f (x )=-(x -2k )2+1,x ∈[2k -1,2k +1],k ∈Z .12.在2008年11月4日珠海航展上,中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注,接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务,已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,设加工C 型装置的工人有x 位,他们加工完C 型装置所需时间为g (x ),其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x ).(单位:h ,时间可不为整数)(1)写出g (x ),h (x )的解析式;(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少?解:(1)g (x )=20003x (0<x <216,x ∈N *),h (x )=1000216-x(0<x <216,x ∈N *).(2)f (x )=⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86,x ∈N *).1000216-x (87≤x <216,x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1.(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当12x x <时,都有()()12f x f x >”的是________.①f (x )=1x ②f (x )=(x -1)2 ③f (x )=e x ④f (x )=ln(x +1)解析:∵对任意的x1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(0,+∞)上为减函数.答案:①2.函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示,则函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________.解析:∵0<a <1,y =log a x 为减函数,∴log a x ∈[0,12]时,g (x )为减函数.由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案:[a ,1](或(a ,1))3.函数y =的值域是________.解析:令x =4+sin 2α,α∈[0,π2],y =sin α+3cos α=2sin(α+π3),∴1≤y ≤2.答案:[1,2]4.已知函数f (x )=|e x +aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增,则实数a 的取值范围__.解析:当a <0,且e x +a e x ≥0时,只需满足e 0+ae 0≥0即可,则-1≤a <0;当a =0时,f (x )=|e x |=e x 符合题意;当a >0时,f (x )=e x +a e x ,则满足f ′(x )=e x -ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立.只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可,故a ≤1,综上-1≤a ≤1.答案:-1≤a ≤15.(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ,都有f (x )≥M (M 为常数),称M 为f (x )的下界,下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.①f (x )=sin x ;②f (x )=lg x ;③f (x )=e x ;④f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)解析:∵sin x ≥-1,∴f (x )=sin x 的下确界为-1,即f (x )=sin x 是有下确界的函数;∵f (x )=lg x 的值域为(-∞,+∞),∴f (x )=lg x 没有下确界;∴f (x )=e x 的值域为(0,+∞),∴f (x )=e x 的下确界为0,即f (x )=e x 是有下确界的函数;∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)的下确界为-1.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x =0)-1 (x <-1)是有下确界的函数.答案:①③④6.已知函数()2f x x =,()1g x x =-.(1)若存在x ∈R 使()()f x b g x <?,求实数b 的取值范围;(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--2,且()F x 在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围.解:(1)x ∈R ,f (x )<b ·g (xx ∈R ,x 2-bx +b=(-b )2-4bb <0或b >4.(2)F (x )=x 2-mx +1-m 2,Δ=m 2-4(1-m 2)=5m 2-4,①当Δ≤0即-255≤m ≤255时,则必需⎩⎨⎧m2≤0-255≤m ≤255-255≤m ≤0.②当Δ>0即m <-255或m >255时,设方程F (x )=0的根为x 1,x 2(x 1<x 2),若m2≥1,则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)=1-m 2≤0m ≥2.若m2≤0,则x 2≤0, ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)=1-m 2≥0-1≤m <-255.综上所述:-1≤m ≤0或m ≥2.B 组1.(2010年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________.①y =-1x②y =-(x -1) ③y =x 2-2 ④y =-|x |解析:由函数y =-|x |的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④2.若函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是________.解析:令g (x )=x 2-ax +3a ,由题知g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2,4-2a +3a >0,∴-4<a ≤4.答案:-4<a ≤4 3.若函数f (x )=x +a x (a >0)在(34,+∞)上是单调增函数,则实数a 的取值范围__.解析:∵f (x )=x +a x (a >0)在(a ,+∞)上为增函数,∴a ≤34,0<a ≤916.答案:(0,916]4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x ),对任意x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,则下列结论正确的是________.①f (3)<f (-2)<f (1) ②f (1)<f (-2)<f (3) ③f (-2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (-2)解析:由已知f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,得f (x )在x ∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得f (2)=f (-2),即f (3)<f (-2)<f (1).答案:①5.(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0),(a -3)x +4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,f (x )为减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a -3<0,a 0≥(a -3)×0+4a ,解得0<a ≤14.6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ,点A 的坐标为(1,2),点B 的坐标为(3,0),定义函数g (x )=f (x )·(x -1),则函数g (x )的最大值为________.解析:g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x (x -1) (0≤x <1),(-x +3)(x -1) (1≤x ≤3),当0≤x <1时,最大值为0;当1≤x ≤3时, 在x =2取得最大值1.答案:17.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数y =f (x )的值域为[-2,0],则函数y =f (cos x )的值域是________.解析:∵cos x ∈[-1,1],函数y =f (x )的值域为[-2,0],∴y =f (cos x )的值域为[-2,0].答案:[-2,0]8.已知f (x )=log 3x +2,x ∈[1,9],则函数y =[f (x )]2+f (x 2)的最大值是________.解析:∵函数y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9,1≤x 2≤9,∴x ∈[1,3],令log 3x =t ,t ∈[0,1], ∴y =(t +2)2+2t +2=(t +3)2-3,∴当t =1时,y max =13.答案:139.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为__________.解析:令μ=2x 2+x ,当x ∈(0,12)时,μ∈(0,1),而此时f (x )>0恒成立,∴0<a <1.μ=2(x +14)2-18,则减区间为(-∞,-14).而必然有2x 2+x >0,即x >0或x <-12.∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-12).答案:(-∞,-12)10.试讨论函数y =2(log 12x )2-2log 12x +1的单调性.解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令u =g (x )=log 12x ,y =f (u )=2u 2-2u +1,那么原函数y =f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数,而u =log 12x 在x ∈(0,+∞)内是减函数,y =2u 2-2u +1=2(u -12)2+12在u ∈(-∞,12)上是减函数,在u ∈(12,+∞)上是增函数.又u ≤12,即log 12x ≤12,得x ≥22;u >12,得0<x <22.由此,从下表讨论复合函数y =f [g (x )]的单调性:故函数y =2(log 12x )2-2log 12x +1在区间(0,22)上单调递减,在区间(22,+∞)上单调递增.11.(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的单调性;(3)若f (3)=-1,解不等式f (|x |)<-2. 解:(1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. (2)任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f (x 1x 2)<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(3)由f (x 1x 2)=f (x 1)-f (x 2)得f (93)=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.由于函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数,由f (|x |)<f (9),得|x |>9,∴x >9或x <-9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <-9}. 12.已知:f (x )=log 3x 2+ax +bx ,x ∈(0,+∞),是否存在实数a ,b ,使f (x )同时满足下列三个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f (x )的最小值是1.若存在,求出a 、b ;若不存在,说明理由.解:∵f (x )在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x =1时,f (x )最小,log 31+a +b1=1.即a +b =2.设0<x 1<x 2≤1,则f (x 1)>f (x 2).即x 12+ax 1+b x 1>x 22+ax 2+bx 2恒成立.由此得(x 1-x 2)(x 1x 2-b )x 1x 2>0恒成立.又∵x 1-x 2<0,x 1x 2>0,∴x 1x 2-b <0恒成立,∴b ≥1.设1≤x 3<x 4,则f (x 3)<f (x 4)恒成立.∴(x 3-x 4)(x 3x 4-b )x 3x 4<0恒成立.∵x 3-x 4<0,x 3x 4>0,∴x 3x 4>b 恒成立.∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b =1,∴a =1.∴存在a 、b ,使f (x )同时满足三个条件.第三节 函数的性质A 组1.设偶函数f (x )=log a |x -b |在(-∞,0)上单调递增,则f (a +1)与f (b +2)的大小关系为________.解析:由f (x )为偶函数,知b =0,∴f (x )=log a |x |,又f (x )在(-∞,0)上单调递增,所以0<a <1,1<a +1<2,则f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以f (a +1)>f (b +2).答案:f (a +1)>f (b +2)2.(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f (1)+f (4)+f (7)等于________.解析:f (x )为奇函数,且x ∈R ,所以f (0)=0,由周期为2可知,f (4)=0,f (7)=f (1),又由f (x +2)=f (x ),令x =-1得f (1)=f (-1)=-f (1)⇒f (1)=0,所以f (1)+f (4)+f (7)=0.答案:03.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则f (-25)、f (11)、f (80)的大小关系为________.解析:因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3),又因为f (x )在R 上是奇函数,f (0)=0,得f (80)=f (0)=0,f (-25)=f (-1)=-f (1),而由f (x -4)=-f (x )得f (11)=f (3)=-f (-3)=-f (1-4)=f (1),又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (1)>f (0)=0,所以-f (1)<0,即f (-25)<f (80)<f (11).答案:f (-25)<f (80)<f (11)4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调增加,则满足f (2x -1)<f (13)的x 取值范围是________.解析:由于f (x )是偶函数,故f (x )=f (|x |),由f (|2x -1|)<f (13),再根据f (x )的单调性得|2x -1|<13,解得13<x <23.答案:(13,23) 5.(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数,对x ∈R ,f (2+x )=f (2-x ),当f (-3)=-2时,f (2011)的值为________.解析:因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数,所以f (2+x )=f (2-x )=f (x -2),故函数f (x )是以4为周期的函数,所以f (2011)=f (3+502×4)=f (3)=f (-3)=-2.答案:-26.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时函数取得最小值-5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式;(3)求y =f (x )在[4,9]上的解析式.解:(1)证明:∵f (x )是以5为周期的周期函数,∴f (4)=f (4-5)=f (-1),又∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (1)=-f (-1)=-f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)当x ∈[1,4]时,由题意可设f (x )=a (x -2)2-5(a >0),由f (1)+f (4)=0,得a (1-2)2-5+a (4-2)2-5=0,∴a =2,∴f (x )=2(x -2)2-5(1≤x ≤4).(3)∵y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数,∴f (0)=0,又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),而f (1)=2(1-2)2-5=-3,∴k =-3,∴当0≤x ≤1时,f (x )=-3x ,从而当-1≤x <0时,f (x )=-f (-x )=-3x ,故-1≤x ≤1时,f (x )=-3x .∴当4≤x ≤6时,有-1≤x -5≤1,∴f (x )=f (x -5)=-3(x -5)=-3x +15.当6<x ≤9时,1<x -5≤4,∴f (x )=f (x -5)=2[(x -5)-2]2-5=2(x -7)2-5.∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3x +15, 4≤x ≤62(x -7)2-5, 6<x ≤9.B 组1.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,则下列结论正确的是________.①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )=f (x +2)④f (x +3)是奇函数解析:∵f (x +1)与f (x -1)都是奇函数,∴f (-x +1)=-f (x +1),f (-x -1)=-f (x -1),∴函数f (x )关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数f (x )是周期T =2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f (-x -1+4)=-f (x -1+4),f (-x +3)=-f (x +3),即f (x +3)是奇函数.答案:④2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=-f (x +32),且f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,f (1)+f (2)+…+f (2009)+f (2010)=________.解析:f (x )=-f (x +32)⇒f (x +3)=f (x ),即周期为3,由f (-2)=f (-1)=-1,f (0)=2,所以f (1)=-1,f (2)=-1,f (3)=2,所以f (1)+f (2)+…+f (2009)+f (2010)=f (2008)+f (2009)+f (2010)=f (1)+f (2)+f (3)=0.答案:03.(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (1)=1,若将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=________.解析:f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (-x )=-f (x ),将f (x )的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则满足f (-2+x )=-f (x ),即f (x +2)=-f (x ),所以周期为4,f (1)=1,f (2)=f (0)=0,f (3)=-f (1)=-1,f (4)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2010)=f (4)×502+f (2)=0.答案:04.(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有f ′(x )>0,若f (-1)=0,那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________.解析:在(0,+∞)上有f ′(x )>0,则在(0,+∞)上f (x )是增函数,在(-∞,0)上是减函数,又f (x )在R 上是偶函数,且f (-1)=0,∴f (1)=0.从而可知x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0;x ∈(-1,0)时,f (x )<0;x ∈(0,1)时,f (x )<0;x ∈(1,+∞)时,f (x )>0.∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1).5.(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x +2)=f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )=log 2(x +1),则f (-2009)+f (2010)的值为________.解析:∵f (x )是偶函数,∴f (-2009)=f (2009).∵f (x )在x ≥0时f (x +2)=f (x ),∴f (x )周期为2.∴f (-2009)+f (2010)=f (2009)+f (2010)=f (1)+f (0)=log 22+log 21=0+1=1.答案:16.(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数,并且对于定义域内任意的x ,满足f (x +2)=-1f (x ),若当2<x <3时,f (x )=x ,则f (2009.5)=________. 解析:由f (x +2)=-1f (x ),可得f (x +4)=f (x ),f (2009.5)=f (502×4+1.5)=f (1.5)=f (-2.5)∵f (x )是偶函数,∴f (2009.5)=f (2.5)=52.答案:527.(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(-∞,a ]上是增函数,函数y =f (x +a )是偶函数,当x 1<a ,x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,则f (2a -x 1)与f (x 2)的大小关系为________.解析:∵y =f (x +a )为偶函数,∴y =f (x +a )的图象关于y 轴对称,∴y =f (x )的图象关于x =a 对称.又∵f (x )在(-∞,a ]上是增函数,∴f (x )在[a ,+∞)上是减函数.当x 1<a ,x 2>a ,且|x 1-a |<|x 2-a |时,有a -x 1<x 2-a ,即a <2a -x 1<x 2,∴f (2a -x 1)>f (x 2).答案:f (2a -x 1)>f (x 2)8.已知函数f (x )为R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=x (x +1).若f (a )=-2,则实数a =________.解析:当x ≥0时,f (x )=x (x +1)>0,由f (x )为奇函数知x <0时,f (x )<0,∴a <0,f (-a )=2,∴-a (-a +1)=2,∴a =2(舍)或a =-1.答案:-19.(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,则x 1+x 2+x 3+x 4=________.解析:因为定义在R 上的奇函数,满足f (x -4)=-f (x ),所以f (4-x )=f (x ),因此,函数图象关于直线x =2对称且f (0)=0.由f (x -4)=-f (x )知f (x -8)=f (x ),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,所以f (x )在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f (x )=m (m >0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x 1,x 2,x 3,x 4,不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1+x 2=-12,x 3+x 4=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8. 答案:-810.已知f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解:∵f (x )是奇函数,可得f (0)=-f (0),∴f (0)=0.当x >0时,-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),∴-f (x )=x lg(2+x ),即f (x )=-x lg(2+x ) (x >0).∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x lg(2-x ) (x <0),-x lg(2+x ) (x ≥0).即f (x )=-x lg(2+|x |)(x ∈R ). 11.已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时,恒有f (x +y )=f (x )+f (y ).(1)求证:f (x )是奇函数;(2)如果x ∈R +,f (x )<0,并且f (1)=-12,试求f (x )在区间[-2,6]上的最值. 解:(1)证明:∴函数定义域为R ,其定义域关于原点对称.∵f (x +y )=f (x )+f (y ),令y =-x ,∴f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0,∴f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.∴f (x )+f (-x )=0,得f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.(2)法一:设x ,y ∈R +,∵f (x +y )=f (x )+f (y ),∴f (x +y )-f (x )=f (y ).∵x ∈R +,f (x )<0,∴f (x +y )-f (x )<0,∴f (x +y )<f (x ).∵x +y >x ,∴f (x )在(0,+∞)上是减函数.又∵f (x )为奇函数,f (0)=0,∴f (x )在(-∞,+∞)上是减函数.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-12,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.法二:设x 1<x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f [x 2+(-x 1)]=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).∵x 2-x 1>0,∴f (x 2-x 1)<0.∴f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减.∴f (-2)为最大值,f (6)为最小值.∵f (1)=-12,∴f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2[f (1)+f (2)]=-3.∴所求f (x )在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.12.已知函数f (x )的定义域为R ,且满足f (x +2)=-f (x ).(1)求证:f (x )是周期函数;(2)若f (x )为奇函数,且当0≤x ≤1时,f (x )=12x ,求使f (x )=-12在[0,2010]上的所有x 的个数.解:(1)证明:∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=-[-f (x )]=f (x ),∴f (x )是以4为周期的周期函数.(2)当0≤x ≤1时,f (x )=12x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,∴f (-x )=12(-x )=-12x .∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),∴-f (x )=-12x ,即f (x )=12x .故f (x )=12x (-1≤x ≤1) 又设1<x <3,则-1<x -2<1,∴f (x -2)=12(x -2), 又∵f (x -2)=-f (2-x )=-f [(-x )+2]=-[-f (-x )]=-f (x ),∴-f (x )=12(x -2),∴f (x )=-12(x -2)(1<x <3).∴f (x )=⎩⎨⎧ 12x (-1≤x ≤1)-12(x -2) (1<x <3)由f (x )=-12,解得x =-1.∵f (x )是以4为周期的周期函数.故f (x )=-12的所有x =4n -1(n ∈Z ).令0≤4n -1≤2010,则14≤n ≤50234,又∵n ∈Z ,∴1≤n ≤502(n ∈Z ),∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )=-12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1,b <0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于________.解析:∵a >1,b <0,∴0<a b <1,a -b >1.又∵(a b +a -b )2=a 2b +a -2b +2=8,∴a 2b +a-2b =6,∴(a b -a -b )2=a 2b +a -2b -2=4,∴a b -a -b =-2.答案:-22.已知f (x )=a x +b 的图象如图所示,则f (3)=________.解析:由图象知f (0)=1+b =-2,∴b =-3.又f (2)=a 2-3=0,∴a =3,则f (3)=(3)3-3=33-3.答案:33-33.函数y =(12)2x -x 2的值域是________. 解析:∵2x -x 2=-(x -1)2+1≤1,∴(12)2x -x 2≥12.答案:[12,+∞) 4.(2009年高考山东卷)若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________.解析:函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x 与函数y =x +a 交点的个数,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,0<a <1时两函数图象有惟一交点,故a >1. 答案:(1,+∞)5.(原创题)若函数f (x )=a x -1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a 等于________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2-1=0a 0-1=2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0-1=0a 2-1=2⇒a =3.答案: 3 6.已知定义域为R 的函数f (x )=-2x +b 2x +1+a是奇函数.(1)求a ,b 的值; (2)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围.解:(1)因为f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-1+b 2+a=0,解得b =1. 从而有f (x )=-2x +12x +1+a .又由f (1)=-f (-1)知-2+14+a =--12+11+a ,解得a =2. (2)法一:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2=-12+12x +1, 由上式易知f (x )在R 上为减函数,又因f (x )是奇函数,从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0⇔f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (-2t 2+k ).因f (x )是R 上的减函数,由上式推得t 2-2t >-2t 2+k .即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0,从而Δ=4+12k <0,解得k <-13. 法二:由(1)知f (x )=-2x +12x +1+2,又由题设条件得-2t 2-2t +12t 2-2t +1+2+-22t 2-k +122t 2-k +1+2<0 即(22t 2-k +1+2)(-2t 2-2t +1)+(2t 2-2t +1+2)(-22t 2-k +1)<0整理得23t 2-2t -k >1,因底数2>1,故3t 2-2t -k >0上式对一切t ∈R 均成立,从而判别式Δ=4+12k <0,解得k <-13.B 组1.如果函数f (x )=a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限,那么一定有________.①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析:当0<a <1时,把指数函数f (x )=a x 的图象向下平移,观察可知-1<b -1<0,即0<b <1.答案:②2.(2010年保定模拟)若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________.解析:f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2,所以f (x )在[a ,+∞)上为减函数,又f (x ),g (x )都在[1,2]上为减函数,所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a +1>1⇒0<a ≤1.答案:(0,1] 3.已知f (x ),g (x )都是定义在R 上的函数,且满足以下条件①f (x )=a x ·g (x )(a >0,a ≠1);②g (x )≠0;若f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52,则a 等于________. 解析:由f (x )=a x ·g (x )得f (x )g (x )=a x ,所以f (1)g (1)+f (-1)g (-1)=52⇒a +a -1=52,解得a =2或12.答案:2或124.(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )=a x (a >0且a ≠1),其反函数为f -1(x ).若f (2)=9,则f -1(13)+f (1)的值是________. 解析:因为f (2)=a 2=9,且a >0,∴a =3,则f (x )=3x =13,∴x =-1,。

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