数字信号处理 第4章 快速傅里叶变换(FFT)

N=8 当k=0、1、2、3时： 、 、 、 时 X1(k)、 X2(k)→X(k) 、 → →X(k+N/2)
0 X (0) = X 1 (0) + WN X 2 (0) k =0 0 X (4) = X 1 (0) − WN X 2 (0) 1 X (1) = X 1 (1) + WN X 2 (1) k =1 1 X (5) = X 1 (1) − WN X 2 (1) X (2) = X 1 (2) + WN2 X 2 (2) k =2 2 X (6) = X 1 (2) − WN X 2 (2) 3 X (3) = X 1 (3) + WN X 2 (3) k =3 3 X (7) = X 1 (3) − WN X 2 (3)
式中
X 3 (k ) = X 4 (k ) =
N / 4 −1
k N /2
2. FFT算法的设计思想 减少运算量的基本途径 算法的设计思想算法的设计思想 1）利用 W 的特点 WN = e
nk N
−j 2π N
−j 2π ( m + lN ) N −j 2π m N
（1）周期性 W = W ）
nk N
(n+N )k N
=W
n(k +N ) W N
m + lN N
=e
=e
X1(k)
k WN
X (k)
1 −1
化简
X2 (k)
N X (k + ) 2
k = X1(k) +WN X2 (k) X (k)
X1(k)
k WN
X2 (k)
蝶形运算流图
N k X (k + ) = X1(k) −WN X2 (k) 2
X1(k)
k WN
k = X1(k) +WN X2 (k) X (k)
N点X(k)与N/2点X1(k)、X2(k)之间的关系式： k X (k) = X1(k) +WN X2 (k)
N (k + ) N N N 2 X (k + ) = X1(k + ) +WN X2 (k + ) 2 2 2
k = 0,1,L, N / 2 −1
W
N (k + ) 2 N k = −WN
复乘次数： 复乘次数：
N项
共需N 次复乘。以做一次复乘1µs计 计算一个 N点DFT ，共需 2次复乘。以做一次复乘 计，若N 点 =4096，所需时间为 ，
(4096)2 =16777216µs ≈17s
复加次数： 复加次数：
N(N-1) 当N>>1 → N2 复乘次数与复加次数均与N 复乘次数与复加次数均与 2成正比
4.2 基２FFT算法
满足 N=2M ——基２FFT 基 分为两大类： 分为两大类： 时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT, 时域抽取法 简称DIT-FFT) 简称 频域抽取法FFT(Decimation In Frequency 频域抽取法 FFT,简称 简称DIF―FFT) 简称
复数加法次数为
显然， 显然，这样的分解是有效的 由于
N =2
M
可继续照此办法分解，即将 x1 (r) x2 (r) 按 r 的奇、偶各分为两组
按奇偶分解成两个N/4长的子序列 3(l)和x4(l)， 长的子序列x 和 将x1(r)按奇偶分解成两个 按奇偶分解成两个 长的子序列 ， 即
x3 (l ) = x1 (2l )
n=0
k =1
01 11 ( ⋅ X (1) = x(0)WN⋅ + x(1)WN⋅ +L+ x(N −1)WNN−1)1
k =2
X (2) = x(0)W + x(1)W +L+ x(N −1)W
0⋅2 N
12 ⋅ N
( N −1)⋅2 N
N个
M
0 1 ( k = N −1 X (N −1) = x(0)WN⋅N−1 + x(1)WN⋅N−1 +L+ x(N −1)WNN−1)⋅N−1
X2 (k)
蝶形运算流图
N k X (k + ) = X1(k) −WN X2 (k) 2
在蝶形运算符号中，左边两点为输入，右上支路为相加输出， 在蝶形运算符号中，左边两点为输入，右上支路为相加输出，右下 支路为相减输出，支路上的数为加权值. 支路为相减输出，支路上的数为加权值 完成一个蝶形运算需要一次复数相乘，两次复数相加。 完成一个蝶形运算需要一次复数相乘，两次复数相加。
DFT提供了计算机处理的可能性 提供了计算机处理的可能性 模拟信号的频谱分析
xa (t)
T
ˆ xa (t)
A/ D
x(n)
数字计算机
DFT[x(n)]
X (k) ≅ Xa ( f )
N足够大 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算 是信号分析与处理中的一种重要变换。 是信号分析与处理中的一种重要变换 DFT的计算量与变换区间长度 的平方成正比，当N较大时， 的计算量与变换区间长度N的平方成正比 较大时， 的计算量与变换区间长度 的平方成正比， 较大时 计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称 简称FFT)出现以前，直 出现以前， 计算量太大，所以在快速傅里叶变换 简称 出现以前 接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。 接用 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的
由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实时处理， 由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实时处理，限 制了DFT的应用。 的应用。 制了 的应用
长期以来，人们一直在寻求一种能提高DFT运算 速度的方法。 FFT便是Cooley&Tukey(库利 图基 库利-图基 库利 图基)在1965 年提出 的的快速算法，它可以使运算速度提高几百倍，从 而使数字信号处理学科成为一个新兴的应用学科。
N −1
2 ( = ∑x(2r)WN rk + ∑x(2r +1)WN2r+1)k r =0 r =0
N −1 2
N −1 2
rk k rk = ∑x1 (r)WN +WN ∑x2 (r)WN r =0 2 r=0 2
N −1 2
N −1 2
2 WN kr = e
−j
2π 2 kr N
−j
=e
2π kr N 2
算法） （Cooley-Tukey算法） 算法
库利-图基算法 库利-图基算法
FFT(Decimation In Time FFT，简称 ，简称DIT－FFT ) －
DIT－FFT推导： － 推导： 推导
设序列x(n)的长度为 ，且满足 的长度为N， 设序列 的长度为
N =2
M
将x(n)按 n 的奇偶分为两组：两个 点的子序列 按 的奇偶分为两组：两个N/2点的子序列
kr = WN 2
k = X1(k) +WN X2 (k) k = 0,1,L, N / 2 −1
N k≥ 2
X (k) = ?
X(k)为N点DFT运算，而X1(k)与X2(k)为N/2点DFT 为 点 运算， 运算 与 为 点 当
N k≥ 2
2
时，可利用X1(k)与X2(k)的周期性：
N r (k + ) 2 N 2
4.2.1 直接计算 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 的特点及减少运算量的基本途径 1.直接计算 直接计算DFT的特点 的特点-DFT的运算量 大 的运算量--直接计算 的特点1 的运算量 N− nk X (k) = DFT[x(n)] = ∑x(n)WN k=0,1,2,…,N–1
计算机运算时： 计算机运算时： 0 1 ( X (0) = x(0)WN⋅0 + x(1)WN⋅0 +L+ x(N −1)WNN−1)⋅0 k =0
0 WN
X (0) X (1) X (2) X (3)
X (4)
X (5)
X2 (1) N 1 点 WN 2 X2 (2) 2 DFT WN X2 (3)
X (6)
X (7)
2 N
0 X (0) = X 1 (0) + WN X 2 (0) k =0 0 X (4) = X 1 (0) − WN X 2 (0) 1 X (1) = X 1 (1) + WN X 2 (1) k =1 1 X (5) = X 1 (1) − WN X 2 (1)
N , l = 0,1, ⋅⋅⋅, − 1 x4 (l ) = x1 (2l + 1) 4
那么， 那么，X1(k)=DFT[x1(r)]N/2 又可表示为
X 1 (k ) =
N / 4 −1
ห้องสมุดไป่ตู้
∑
l =0
x1 (2l )WN2 /kl2 + x3 (l )W
kl N /4
N / 4 −1
∑
l =0
N 经以上分解，X1 (k) 、X2(k) 各为 点DFT，即分 2 2
别进行了
N 时，需进行 次复乘： 2
N 次复乘，而将 X1 (k) 与 X2 (k) 合成为 2
X(k)
∴
N2 N N 2 N = (N +1) ≈ 复乘次数= 2 ×( ) + 2 2 2 2
2 N 2N N N − 1 + = 2 2 2
rk Q WN =W
N X 1 + k = ∑ x1 (r )W 2 r =0
N −1 2