中考数学总复习-代数式
2023中考数学复习：代数式与整式
乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;
(3)乘法公式的常用恒等变形:a2+b2=(a+b)22ab=(a-b)2+2ab
第4讲
代数式与整式— 考点梳理
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续表
类别
运算法则
将系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式,
C.a3与a·a·a
D.3(a+b)与3a+b
7
8
9
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18
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第4讲
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代数式与整式— 真题试做
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8.（ 2020·河北2题3分）墨迹覆盖了等式“x3■x=x2(x≠0)”中的运算符
号,则覆盖的是(
A.+
D )
B.-Βιβλιοθήκη C.×D.÷9.（ 2020·河北11题2分）若k为正整数,则( + + … + )k=( A )
3.（ 2022·河北9题3分）若x和y互为倒数,则 +
A.1
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代数式与整式— 真题试做
B.2
C.3
−
的值是( B )
D.4
4.（ 2013·河北5题2分）若x=1,则|x-4|=( A )
A.3
B.-3
C.5
D.-5
1
5.（ 2016·河北18题3分）若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=
中考数学专题：实数与代数式
专题一 数与式中考要求：实数：借助数轴理解相反数、倒数、绝对值的意义及性质;掌握实数的分类、大小比较及混合运算;会用科学记数法、有效数字、精确度确定一个数的近似值;能用有理数估计一个无理数的大致范围.代数式：了解整式、分式、二次根式、最简二次根式的概念及意义; 会用提公因式法、公式法对整式进行因式分解; 理解平方根、算术平方根、立方根的意义及其性质; 根据整式、分式、二次根式的运算法则进行化简、求值.考查方式：本专题内容在中考中涉及数轴、相反数、绝对值等概念，多以填空题、选择题的形式出现. 科学记数法、近似数和有效数字往往与生产生活及科技领域中的实际问题相联系，具有较强的应用性，是中考的热点. 关于代数式的概念与运算，往往是单独命题，试题以填空题、选择题及计算题的形式出现，试题难度为中、低档. 试题设计有的带有开放探索性，覆盖面广，常常以大容量、小综合的形式考查灵活运用知识的能力.备考策略：1. 夯实基础，理清考点.2. 对课本中的典型和重点题目做变式、延伸.3. 注意一些跨学科的常识，加强学科整合.4. 关注中考的新题型.5. 关注课程标准中新增的目标.6. 探究性试题的复习步骤:（1）纯数字的规律探索.（2）结合平面图形探索规律.（3）结合空间图形探索规律，（4）探索规律方法的总结.第1课时 实数的概念课时核心问题：数系的扩张及实数相关概念的理解应用. 聚焦考点☆温习理解一、实数1. 有理数： ，它包括 、 .2. 无理数： .3. 实数及分类：注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如π23+等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等. 二、绝对值一个数的绝对值指的是表示.几何意义：一般地，数轴上表示叫做数a 的绝对值，记作|a |.代数意义：（1）正数的绝对值是 ；（2）负数的绝对值是 ；（3）零的绝对值是 .也可以写成：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩.说明：（1）|a |≥0，即|a |是一个非负数；（2）|a |概念中蕴含分类讨论思想；（3）“| |”有括号的作用.三、相反数叫做互为相反数. 零的相反数是零.从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. 若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0, 反之也成立.四、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab ＝1，反之亦成立. 倒数等于本身的数是1和1-. 零没有倒数.五、平方根如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 正数a的平方根记作“”.正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.1.(0) ||(0)a aaa a⎧==⎨-<⎩≥.2.与2的联系：3.0)<0)aa>=⎩.六、立方根如果一个数的立方等于a, 那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）. 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零.注意：（1）=，说明三次根号内的负号可以移到根号外面；（2）＝3.典例解析考点一、实数的分类【例1】下列实数是无理数的是（）.B. 1C. 0D.1-听课记录：【举一反三】1.下列四个实数中，是无理数的是（）.A. 0B. 3-D.3112. 下列选项中，属于无理数的是（）.A. 2B. πC. 32D. 2-3. 下列各数：227，π，cos60︒，0，，其中无理数的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 4考点二、绝对值【例2】|2|-等于（）.A. 2B. 2-C.12D.12-听课记录：【举一反三】2的绝对值是（）.A. ±2B. 2C. 12D. 2-考点三、相反数【例3】5的相反数是（）.A. 5B. 5-C. 15D.15-听课记录：【举一反三】1. 2014的相反数是（）.A. 2014B. 2014-C.12014D.12014-2.15-的相反数是（）.A. 15B.15-C. 5D. 5-考点四、倒数【例4】12-的倒数是（）.A. B.C. D. 听课记录：【举一反三】1. 12的倒数是（）.A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 14-的倒数是（ ）. A. －4B. 4C. 14D. 14- 考点五、平方根【例5】得（ ）.A. 100B. 10C.D. 10± 听课记录：【举一反三】1. 一个数的算术平方根是2，则这个数是 .2. 的平方根是 .3. 若2y =，则()y x y +＝ .4. 若实数x , y 满足|4|0x -=，则以x , y 的值为等腰三角形的周长为 .5. 若1a <1-= .6. 2210b b ++=，则221||a b a +-= .7. 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 .第2课时 实数的计算课时核心问题：实数的灵活运算.聚焦考点☆温习理解一、实数大小的比较1. 数轴：规定了、、的直线叫做数轴. （画数轴时要注意上述三要素缺一不可）解题时要真正掌握数形结合思想，理解实数与数轴上的点是一一对应的，并且能灵活运用.2. 实数大小比较的几种常见方法.（1）数轴比较：数轴上的点所表示的数在右边的总比左边的大；（2）求差比较：设a, b为实数，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.（3）求商比较：设a, b为两正实数，有a＞1⇔a＞b；ba＜1⇔a＜b；ba＝1⇔a＝b.b（4）绝对值比较法：设a, b为两负实数，则a a b>⇔<.b（5）平方比较法：设a，b为两负实数，则22a b a b >⇔<.二、科学计数法和近似数1. 有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字.2. 科学计数法：把一个数写成10n a ±⨯的形式，其中110a <≤，n 是整数，这种计数法叫做科学计数法.三、实数的运算1. 加法交换律：a b b a +=+.2. 加法结合律：()()a b c a b c ++=++.3. 乘法交换律：ab ba =.4. 乘法结合律：()()ab c a bc =.5. 乘法对加法的分配律：()a b c ab ac +=+.6. 实数的运算顺序：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的. 典例解析考点一、实数的大小比较【例1】下列各数中，最大的数是（ ）.A. 0B. 2C.2-D.12- 听课记录：【举一反三】1. 下列各数中，最小的数是（）.A. 0B. 1 3C.13- D.3-2. 在数1,0,1,2--中，最小的数是（）.A. 1B. 0C. 1-D. 2-考点二、科学计数法与近似值【例2】“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任务之一．据统计，遵义市2014年全社会固定资产投资达1762亿元，“1762亿”这个数用科学计数法表示为（）.A. 1762×108B. 1.762×1010C. 1.762×1011D. 1.762×1012听课记录：【举一反三】1. 据统计，2015年河南省旅游业总收入达到3875.5亿元. 若将“3875.5亿”用科学计数法表示为3.8755×10n，则n等于（）.A. 10B. 11C. 12D. 132. 将6.18×10－3化为小数是（ ）.A. 0.000618B. 0.00618C. 0.0618D. 0.6183. 20140000用科学计数法表示（保留3位有效数字）为 .考点三、实数的运算【例3】计算：201(π2014)sin 6023-⎛⎫+-+︒ ⎪⎝⎭．听课记录：【举一反三】1. 计算：2(2)(3)2-+-⨯．2. 2014(1)2sin 45--︒+-3. 计算：1011)23-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．第3课时整 式 课时核心问题：整式的相关概念及运算.聚焦考点☆温习理解一、单项式1. 代数式.用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式.只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示. 例如，2143a b -就是错误的，应写成2133a b -. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如325a b c -是6次单项式.二、多项式1. 多项式.几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数.统称为整式.用数值代替代数式中的字母，按照代数式指出的运算计算出的代数式的结果，叫做求代数式的值.注意：（1）求代数式的值，一般先化简再代入.（2）求代数式的值，有时求不出具体字母的值，此时需要利用技巧“整体”代入求值.2. 同类项.所含 ，并且 的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项.3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都.（2）括号前是“－”，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都.三、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项.1. 幂的运算法则：（1）同底数幂相乘：m n m n⋅=(m, n都是整数，a≠0).a a a+（2）幂的乘方：()m n mn=(m, n都是整数，a≠0).a a（3）积的乘方：=⋅(n是整数，a≠0, b≠0).()n n nab a b（4）同底数幂相除：m n m n÷=(m, n都是整数，a≠0).a a a-2. 整式乘法.（1）单项式与单项式相乘，把作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. （2）单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb.（3）多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd.3. 乘法公式.（1）平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.（2）完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．4. 整式的除法：（1）单项式除以单项式：法则：（2）多项式除以单项式：法则：注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同.（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项.（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式.（6）011(0),(0,)p pa a a a p a -=≠=≠为正数. （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 单项式除以多项式是不能这么计算的. 典例解析考点一、整式的加减运算【例1】下列计算正确的是（ ）.A. 2x －x ＝xB. 326a a a ⋅=C. (a －b )2＝a 2－b 2D. (a ＋b )(a －b )＝a 2＋b 2听课记录：【举一反三】已知x 2－2＝y ，则x (x －3y )＋y (3x －1)－2的值是（）. A.2- B. 0C. 2D. 4考点二、同类项的概念及合并同类项【例2】下列各式中，与2a 是同类项的是（ ）.A. 3aB. 2abC. 23a -D. a 2b听课记录：【举一反三】下列运算正确的是（ ）.A. 2323a a a +=B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a =考点三、幂的运算【例3】下列运算正确的是（ ）.A. 33a a a ⋅=B. 33()ab a b =C. 326()a a =D. 842a a a ÷=听课记录：【举一反三】1. 计算：2()ab 的结果是（ ）.A. 2abB. a 2bC. a 2b 2D. ab 22. 计算：63m m ⋅的结果是（ ）.A. m 18B. m 9C. m 3D. m 2考点四、整式的乘除法.【例4】计算：23(2)()a a ⋅-=.A. 312a -B. 36a -C. 12a 3D. 6a 2【例5】计算：2x (3x 2＋1)，正确的结果是（）. A. 5x 3＋2x B. 6x 3＋1C. 6x 3＋2xD. 6x 2＋2x听课记录：【举一反三】1. 下列计算正确的是（ ）.A. 4416x x x ⋅=B. 325()a a =C. 236()ab ab =D. 23a a a +=2. 下列运算正确的是（ ）. A. 2323a a a += B. 2()a a a -÷=C. 326()a a a -⋅=-D. 236(2)6a a = 考点五、整式的混合运算及求值【例6】先化简，再求值：2(3)()()a a b a b a a b -++--，其中11,2a b ==-. 听课记录：【举一反三】1. 下列计算中，正确的是（ ）.A. 235a b ab +=B. 326(3)6a a =C. 623a a a ÷=D. 32a a a -+=-2. 下列运算正确的是（ ）. A. (m ＋n )2＝m 2＋n 2B. (x 3)2＝x 5C. 5x －2x ＝3D. (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 23. 下列计算正确的是（ ）.A. (2a 2)4＝8a 6B. a 3＋a ＝a 4C. a 2÷a ＝aD. (a －b )2＝a 2－b 24. 化简：2()()()2a b a b a b ab ++-+-.5. 化简：2(1)2(1)a a ++-.6. 已知x (x ＋3)＝1，求代数式2x 2＋6x －5的值为 ．7. 先化简，再求值：(x ＋1)(2x －1)－(x －3)2，其中2x =-.。
中考数学专题《代数式》复习试卷(含解析)
中考数学专题《代数式》复习试卷(含解析) 2022年中考数学专题复习卷:代数式一、选择题1.以下各式不是代数式的是（）A.0B.C.D.2.若单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，则nm的值是（）A.3B.6C.8D.93.某一餐桌的表面如图所示（单位：m），设图中阴影部分面积S1，餐桌面积为S2，则（A.B.C.D.4.若M=3某2﹣8某y+9y2﹣4某+6y+13（某，y是实数），则M的值一定是（）A.零B.负数C.正数D.整数5.代数式相乘，其积是一个多项式，它的次数是（）A.3B.5C.6D.26.已知a+b=5，ab=1,则（a-b）2=(）A.23B.21C.19D.177.若|某+2y+3|与（2某+y）2互为相反数，则某2﹣某y+y2的值是（）A.1B.3C.5D.78.已知a、b满足方程组，则3a+b的值为（）A.8B.4C.﹣4D.﹣89.黎老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边为a-b，则该长方形周长为（）A.6aB.6a+bC.3aD.10a-b）10.A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（）A.B.C.D.无法计算11.如图，都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆；…；则第⑦个图形中圆的个数为()A.121B.113C.105D.9212.如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在某轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2022个等边三角形的边长等于（）A.B.C.D.二、填空题13.若是方程的一个根，则的值为________．14.已知-2某3m+1y2n与7某n-6y-3-m的积与某4y是同类项，则m2+n的值是________15.若a某=2,b某=3,则(ab)3某=________16.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为625，则第2022次输出的结果为________．17.若3a2﹣a﹣3=0，则5﹣3a2+a=________．18.已知+|b﹣1|=0，则a+1=________．19.已知某=2m+n+2和某=m+2n时，多项式某2+4某+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当某=3（m+n+1）时，多项2式某+4某+6的值等于________．20.若规定一种特殊运算为：ab=ab-，则（﹣1）（﹣2）________．，，，，按照这样的规律，这组21.按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：1，数据的第10项应该是________．22.已知的奇数时，，，，，，，…（即当为大于1________.；当为大于1的偶数时，），按此规律，三、解答题23.已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．24.先化简，再求值：已知a2—a=5，求(3a2-7a)-2(a2-3a+2)的值．25.某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米）答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】：A、是整式，是代数式，故不符合题意；B、是分式，是代数式，故不符合题意；C、是不等式，不是代数式，故符合题意；D、是二次根式，是无理式，是代数式，故不符合题意。
2020年初三中考数学复习：代数式含答案
2020年初三中考数学复习：代数式一、单选题1.“a与b的的差”，用代数式表示为( )A. B. C. D.2.a+1的相反数是（）A. -a+1B. -（a+1）C. a-1D.3.每100千克小麦可出x千克面粉，y千克小麦可出面粉的千克数为（）A. B. C. D.4.若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）A. 4B. ﹣4C. 16D. ﹣165.设，则代数式的值为( ).A. -6B. 24C.D.6.某冰箱降价30%后，每台售价a元，则该冰箱每台原价应为（）A. 0.3a元B. 0.7a元C. 元D. 元7.x的2倍加上y的和乘以x的2倍减去y的差，所得的积写成代数式为（）A. （2x+y）·2x-yB. 2x+y·（2x-y）C. 2x+y·2x-yD. （2x+y）（2x-y）8.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第10个图中所贴剪纸“○”的个数为（）A. 32个B. 33个C. 34个D. 35个9.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可得出数2017应标在（）A. 第504个正方形的左下角B. 第504个正方形的右上角C. 第505个正方形的左下角D. 第505个正方形的右上角10.下列代数式中符合书写要求的是（）A. ab2×4B. xyC. 2a2bD. 6xy2÷311.有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 212.如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A. 231πB. 210πC. 190πD. 171π13.已知：，则的值是（）A. B. C. 3 D. -314.若正整数按如图所示的规律排列，则第8行第5列的数字是（）A. 64B. 56C. 58D. 6015.图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为P n，则P2018﹣P2017的值为（）A. B. C. D.二、填空题16.用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2 017个图共有________枚棋子．17.已知a—2b的值是2018，则1—2a+4b的值等于________．18.如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，…，依此规律，第n个图案有1499个黑棋子，则n=________．19.如果定义新运算“※”，满足a※b=a×b﹣a÷b，那么1※2=________．20.已知的值为，则代数式的值为________．三、计算题21.当x=3，y= –2时，求下列代数式的值．（1）（2）22.计算：已知|x|= ，|y|= ，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．23.观察下列等式：，，，……（1）按此规律写出第5个等式；（2）猜想第n个等式，并说明等式成立的理由．24.已知a2+b2=5，ab=-2，求代数式2(4a2+2ab-b2)-3(5a2-3ab+2b2)+b2的值．25.如果有理数、满足，试求…… 的值．四、解答题26.如图，试用字母，表示阴影部分的面积，并求出当a=12cm，b=4cm，π≈3时各自阴影部分的面积.27.根据你的生活与学习经验，对代数式2（x+y）表示的实际意义作出两种不同的解释．28.说出下列代数式的意义：（1）2a﹣3c；（2）；（3）ab；（4）a2﹣b2．五、综合题29.观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：① 1× =1-② 2× =2-③ 3× =3-……（1）在下面给出的四个正方形中画出第四个图形，并在右边写出与之对应的等式；________；________（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式：________。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第二讲 代数式(含答案)(全国通用版)
第二讲代数式专项一列代数式知识清单1.代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或__________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式:（1）关键是理解并找出问题中的数量关系及公式；（2）要掌握一些常见的数量关系，如:路程＝速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，售价＝标价×折扣等；（3）要善于抓住一些关键词语，如:多、少、大、小、增长、下降等.特别地，探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数字及图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律.3. 代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式给出的运算计算出的结果，叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.考点例析例1 将x克含糖10％的糖水与y克含糖30％的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A．20％B．+100%2x y⨯C．+3100%20x y⨯D．+3100%10+10x yx y⨯分析：根据题意，可知混合后糖水中糖的质量为（10%x+30%y）克，糖水的质量为（x+y）克，则混合后的糖水含糖为混合后的糖的质量除以糖水的质量再乘100%．例2将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为．分析：先根据已知图形中黑色圆点的个数得到第n个图形中黑色圆点的个数为()12n n+；然后判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除；再计算出第33个能被3整除的数在原数列中的序数，代入计算即可．归纳：解决数、式或图形规律探索题，通常从给出的一列数、一列式子或一组图形入手去探索研究，通过观察、分析、类比、归纳、猜想，找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论，并用含字母的代数式进行表示.跟踪训练1.某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50％，再打六折C．先提价30％，再降价30％D．先提价25％，再降价25％2.（2021·达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出的y值为___________.第2题图3.一组按规律排列的式子：a+2b，a2-2b3，a3+2b5，a4-2b7，…，则第n个式子是___________．4.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_______.第4题图专项二整式知识清单一、整式的加减1．相关概念：表示数或字母的_________的式子叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；________与______统称为整式.所含字母_________，并且相同字母的_________也相同的项叫做同类项.2. 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________.3. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_______.4. 整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就_______，然后再____________.二、幂的运算1. 同底数幂的乘法：a m·a n=________(m，n是整数).2. 同底数幂的除法：a m÷a n=________ (a≠0,m，n是整数).3. 幂的乘方：（a m）n=_______ (m，n是整数).4. 积的乘方：（ab）n=_______(n是整数).三、整式的乘法1. 单项式乘单项式：把它们的__________、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的___________作为积的一个因式.2. 单项式乘多项式：p(a+b+c)=pa+pb+pc.3. 多项式乘多项式：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.4. 乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=_________ ;②完全平方公式：(a±b)2 =a2±2ab+b2.四、整式的除法1. 单项式相除，把__________与__________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________作为商的一个因式.2. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商相加. 考点例析例1 下列运算正确的是（）A．2x2 +3x3=5x5B．(-2x)3=-6x3C．(x+y)2=x2+y2D．(3x+2)(2-3x)=4-9x2分析：依次根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断.例2已知10a=20，100b=50，则1322a b++的值是（）A．2B．52C．3D．92分析：将100b变形为102b，根据同底数幂的乘法，将已知的两个式子相乘可得a+2b=3，整体代入求值．例3已知单项式2a4b-2m+7与3a2m b n+2是同类项，则m+n=__________.分析：根据同类项的定义，分别列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再代入代数式计算.例4（2021·金华）已知x=16，求(3x-1)2+(1+3x)(1-3x)的值.分析：直接运用完全平方公式、平方差公式将式子展开，然后合并同类项化简，再将x=16代入求值.解：归纳：整式化简求值的关键是把原式化简，然后代入题目中的已知条件求值，其大致步骤可以简记为：一化，二代，三计算．需注意：①无论题目是否指定解题步骤，都应先化简后代入求值；①代入求值时，若代入的是负数或求分数的乘方时要注意添加括号；①当条件给定字母之间的关系时，代入则需要运用整体代入法.跟踪训练1.下列单项式中，a2b3的同类项是（）A．a3b2B．2a2b3C．a2b D．ab32.下列计算中，正确的是（ ） A ．a 5·a 3=a 15 B ．a 5÷a 3=a C ．()423812a b a b -=D ．()222a b a b +=+3.计算：()23a b -=（ ）A ．621a b B ．62a bC ．521a b D ．32a b -4.下列运算正确的是（ ）A ．3a+2b=5abB ．5a 2-2b 2=3C ．7a+a=7a 2D ．（x -1）2=x 2+1-2x 5.计算：（x+2y ）2+(x -2y)(x+2y)+x(x -4y).6.先化简，再求值：（x ﹣3）2+（x +3）（x ﹣3）+2x （2﹣x ），其中x ＝﹣12．专项三 因式分解知识清单1. 定义：把一个多项式化成几个整式的 的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.2. 因式分解的基本方法：（1）提公因式法：ma+mb+mc = _____________.:::⎧⎪⎨⎪⎩系数取各项系数的最大公约数公因式的确定字母取各项相同的字母指数取各项相同字母的最低次数 （2）公式法：①平方差公式：a 2-b 2=_____________; ②完全平方公式：a 2±2ab+b 2 =___________.3. 因式分解的一般步骤：一提（公因式）；二套（公式）；三检验（是否彻底分解）. 考点例析例1 因式分解：1-4y 2=（ ）A .（1-2y ）(1+2y)B . (2-y)(2+y)C . (1-2y)(2+y)D . (2-y)(1+2y) 分析：先将4y 2化为(2y)2，然后用平方差公式分解因式. 例2 已知xy =2，x -3y =3，则2x 3y -12x 2y 2+18xy 3= ______.分析：先提取多项式中的公因式2xy ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，最后将xy =2，x -3y =3代入其中求值.归纳：若一个多项式有公因式，应先提取公因式，多项式是二项式优先考虑用平方差公式继续分解，多项式是三项式优先考虑用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止.跟踪训练1.因式分解：x3﹣4x＝（）A．x（x2﹣4x）B．x（x+4）（x﹣4）C．x（x+2）（x﹣2）D．x（x2﹣4）2.多项式2x3-4x2+2x因式分解为（）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1） 2 C．x（2x-1） 2 D．x（2x+1） 23.因式分解：m2﹣2m=________．4.计算：20212-20202=________．5.因式分解：24ax+ax+a= ___________．6.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为___________．7.先因式分解，再计算求值：2x3-8x，其中x=3．专项四分式知识清单一、分式的相关概念1. 定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有_________，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.2. 分式有意义和值为0的条件（1）分式AB有意义⇔_________;（2）分式AB的值为0⇔_________.二、分式的基本性质1. 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个_____________，分式的值不变.2. 约分：把一个分式的分子与分母的____________约去，叫做分式的约分. 约分的结果必须是最简分式或整式，最简分式是分子、分母没有公因式的分式.3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的____________的分式，叫做分式的通分.通分的关键是确定各分式的____________.三、分式的运算1. 分式的加减同分母分式相加减:a bc c±=____________；异分母分式相加减:a c ad bcb d bd bd±=±=____________.2. 分式的乘除乘法法则：a c b d ⋅=___________；除法法则：a c a d b d b c÷=⋅=___________.3. 分式的乘方法则:把分子、分母分别乘方，如na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=___________. 4. 分式的混合运算:先算___________，再算___________，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 考点例析例1 不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．x+1 B ．x 2-1C ．11x + D ．（x+1）2分析：选项A ，B ，D 中都能得到代数式的值为0时x 的值，而选项C 中，分式的分子是1，所以11x +不可能为0．归纳：分式值为0要关注两个条件:（1）分子为0；（2）分母不为0.例2 化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．a +1 B ．1a a+ C ．-1a aD ．21a a +分析：根据分式的混合运算法则，先将括号内的两项通分合并，同时将除式中多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分化简即可．归纳：分式的化简中，应注意以下几点:（1）若分子、分母为多项式，则应先分解因式，能约分的先约分，再计算；（2）化简过程中要特别注意常见的符号变化，如ｘ-ｙ＝-(ｙ-ｘ)，-ｘ-ｙ＝-(ｘ+ｙ)等；ꎻ （3）在分式和整式加减运算中，通常把整式看成分母为“１”的“分式”，再进行计算； （4）分式运算的最终结果应是最简分式或整式．例3 先化简，再求值：22121121x x x x x x ++⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-2=0．分析：先把原式化简，然后求出方程x 2-x-2=0的解，根据分式有意义的条件确定x 的值，代入计算即可． 解：跟踪训练 1.要使分式12x +有意义，则x 的取值应满足（ ） A ．x≠0B ．x≠-2C ．x ≥-2D ．x ＞-22.计算24541a a a a a --⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．22a a +-B ．22a a -+C ．()()222a a a-+ D ．2a a+3.已知非零实数x ，y 满足1xy x =+，则3x y xy xy -+的值等于_________．4.已知()()261212ABx x x x x --=----，求A ，B 的值．5.先化简22111369a a a a a a ⎛⎫-+--÷ ⎪--+⎝⎭，然后从-1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入求值．专项五 二次根式知识清单一、二次根式的有关概念1. 二次根式：一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．2. 最简二次根式：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中不含 的因数或因式．满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 二、二次根式的性质 （1）2＝ （a ≥0） ；（2a＝（3= （a ≥0，b ≥0）； （4= （a ≥0，b ＞0）．三、二次根式的运算1. 二次根式的加减：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2. 二次根式的乘除：（1＝ （a≥0，b≥0）． （2= （a≥0，b ＞0）． 考点例析 例1 函数()02y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-1 B ．x ＞2 C ．x ＞-1且x ≠2 D ．x ≠-1且x ≠2分析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的概念列不等式组求解．（a ≥0）， （a <0）；归纳：（1）被开方数ａ≥０；ꎻ（2）观察参数是否在分母位置，分母不能为０；ꎻ （3）观察参数是否有在０次幂的底数位置，底数不能为０. 例2 下列运算正确的是（ ）A 3B ．4=C =D 4=分析：根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐个计算后判断．例3 计算：222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---．分析：先利用绝对值的性质去掉绝对值符号，同时将后面两个完全平方式展开或利用平方差公式计算，最后再进行加减运算． 解：归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算． 跟踪训练1.0x 的取值范围是（ ）A ．x ＞-1B ．x ≥-1且x ≠0C ．x ＞-1且x ≠0D ．x ≠02.2，5，m ）A ．2m-10B ．10-2mC ．10D ．43.设6a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．4.计算=____________．5.的结果是 _____．6.这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a b =则ab=1，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++，则1210S S S +++=__________．专项六 代数式中的数学思想1.整体思想整体思想是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.本讲中求代数式的值时，将某一已知代数式的值作为整体代入计算，就运用了整体思想.例1 已知x-y=2，111x y-=，求x2y-xy2的值．11y=变形后得到y-x=xy，再将x2y-xy2因式分解后，整体代入计算．解：2.从特殊到一般的思想从特殊到一般的思想是指在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，从解决特殊问题的规律中，寻找解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决. 例2 观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Y n表示，则Y9-Y4=（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24分析：根据前几个图中的树枝数，可发现树枝分杈的规律为Y n=2n-1①从而可求出Y9-Y4．跟踪训练1.已知x2-3x-12=0，则代数式-3x2+9x+5的值是（）A．31 B．-31 C．41 D．-412.按一定规律排列的单项式：a2①4a3①9a4①16a5①25a6①…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n3.若1136xx+=，且0＜x＜1，则221xx-=_______．4.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点.第4题图参考答案专项一 列代数式例1 D 例2 1275 1．B 2．2 3．()12112n nn a b +-+-⋅ 4．n 2+n -1专项二 整 式例1 D 例2 C 例3 3例4 解：原式=9x 2-6x+1+1-9x 2=-6x+2.当x=16时，原式=-6×16+2=1.1．B 2．C 3．A 4．D5．解：原式=x 2+4xy+4y 2+x 2-4y 2+x 2-4xy=3x 2．6．解：原式＝x 2﹣6x +9+x 2﹣9+4x ﹣2x 2＝﹣2x ．当x ＝﹣12时，原式＝﹣2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1． 专项三 因式分解例1 A 例2 361．C 2．A 3．m （m-2） 4．4041 5．()224a x + 6．37. 解:原式=2x(x 2-4)=2x(x+2)(x-2). 当x=3时，原式=2×3×（3+2）（3-2）=30.专项四 分 式例1 C 例2 B例3 解：原式=2221+12121x x x x x x +-+÷+++=()()2+2+112x x x x x ⋅++=x （x +1）=x 2+x ． 解方程x 2-x-2=0，得x 1=2,x 2=-1． 因为x+1≠0①所以x≠-1． 当x=2时，原式=22+2=6． 1．B 2．A 3．44．解：因为12A B x x ---=()()()()2112A x B x x x -+---=()()()212A+B x A B x x ----=()()2612x x x ---，所以22 6.A B A B +=⎧⎨--=-⎩，解得42.A B =⎧⎨=-⎩，5．原式＝()()()22113331a a a a a a --+--⋅-+＝()()()2113331a a a a a a +--+-⋅-+＝()()221331a a a a +-⋅-+=2a ﹣6． 因为a ＝-1或a ＝3时，原式无意义，所以a 只能取1或0． 当a ＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a ＝0时，原式＝﹣6）专项五 二次根式例1 C 例2 C例3 解：原式112-=441．C 2．D 3．A 4．3 5．6．10专项六代数式中的数学思想例11-=，所以y-x=xy．因为x-y=2，所以y-x=xy=-2．y所以原式=xy(x-y)=-2×2=-4．例2 B1．B 2．A 3．-654．19036。
苏科版中考数学复习基础必练习题：第三章-代数式(含解析)
2019备战中考数学基础必练（苏科版）-第三章-代数式（含解析）一、单选题1.多项式﹣y2﹣y﹣1的一次项是（）A. 1B. ﹣1C.D.2.若x=2，y=﹣1，那么代数式x2+2xy+y2的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 43.如果单项式x2y m+2与x n y的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（）A. m = 2，n = 2B. m =-2，n = 2C. m = -1，n = 2D. m = 2 ，n =-14.下列代数式书写规范的是（）A. 8x2yB. 1 bC. ax3D. 2m÷n5.如图，它是一个程序计算器，如果输入m=6，那么输出的结果为（）A. 3.8B. 2.4C. 36.2D. 37.26.已知a+b=7，ab=10，则代数式(5ab+4a+7b)+(3a-4ab)的值为( )A. 49B. 59C. 77D. 1397.下面的式子中正确的是（）A. 3a2﹣2a2=1B. 5a+2b=7abC. 3a2﹣2a2=2aD. 5xy2﹣6xy2=﹣xy28.如图是一个数值运算程序，当输入值为﹣2时，则输出的数值为（）A. 3B. 8C. 64D. 639.下列合并同类项的结果正确的是( )A. a+3a=3a2B. 3a-a=2C. 3a+b=3abD. a2-3a2=-2a2二、填空题10.县化肥厂第一季度增产a吨化肥，以后每季度比上一季度增产x％，则第三季度化肥增产的吨数为________ 。
11.若单项式2x2y m与-的和仍为单项式，则m+n的值是________ ．12.a与3的和的4倍，用代数式表示为________．13.若n表示整数，则奇数用n的代数式表示为________。
14.在代数式3m+5n﹣k中，当m=﹣2，n=1时，它的值为1，则k=________；当m=2，n=﹣3时代数式的值是________．15.单项式﹣的系数是________，次数是________．16.多项式-x3y2+3x2y4-2xy2的次数是________．17.根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．18.如果多项式x4－(a－1)x3＋3x2－(b＋1)x－1中不含x3和x项，则a＝________，b＝________．三、计算题19.化简：3a2＋2a－4a2－7a20.已知2x a y b＋1＋(a－1)x2是关于x，y的四次单项式，求a，b的值．四、解答题21.若单项式5x2y和42x m y n是同类项，求m+n的值．22.先化简，再求值：,其中x=2.五、综合题23.综合题。
中考数学复习高频考点精讲精练(全国通用)：专题03 代数式(原卷版)
专题03代数式一、同类项及合并同类项【高频考点精讲】1．同类项判定（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。
（2）注意事项：①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项。
2．合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项。
（2）法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
【热点题型精练】1．（2022•湘潭中考）下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2C．ab D．ab2c2．（2022•永州中考）若单项式3x m y与﹣2x6y是同类项，则m＝．3．（2022•定西模拟）已知3x2y+x m y＝4x2y，则m的值为（）A．0B．1C．2D．34．（2022•西藏中考）下列计算正确的是（）A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b25．（2022•玉林中考）计算：3a﹣a＝．6．（2022•荆州模拟）单项式x m+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式，则m n＝．二、列代数式及求值【高频考点精讲】1．列代数式（1）在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量。
（2）要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写。
（3）在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面。
（4）含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式。
2．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
（2）代数式求值步骤：①代入；②计算。
如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
【热点题型精练】7．（2022•长沙中考）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A．8x元B．10（100﹣x）元C．8（100﹣x）元D．（100﹣8x）元8．（2022•杭州中考）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则（）A．||＝320B．||＝320C．|10x﹣19y|＝320D．|19x﹣10y|＝3209．（2022•嘉兴中考）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n（n＞1）倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为（N）（用含n，k的代数式表示）．10．（2022•六盘水中考）已知（x+y）4＝a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4，则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A．4B．8C．16D．3211．（2022•广西中考）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是．12．（2022•苏州中考）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．三、数字及图形变化规律【高频考点精讲】1．数字变化规律（1）探寻数列规律：将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式。
中考数学基础巩固复习专题(二)代数式
中考初中数学基础巩固复习专题(二)代数式【知识要点】：知识点1 整式的概念⎩⎨⎧升降幂排列系数项数多项式的次数多项式系数单项式的次数单项式整式—————— （1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数；（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号（4）同类项概念的两个相同与两个无关：两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；（5）整式加减的实质是合并同类项；（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。
知识点2 整式的运算 （如结构图）知识点3 因式分解多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．（2）运用公式法，即用)b ab a )(b a (b a ,)b a (b ab 2a ),b a )(b a (b a 223322222+±=±±=+±-+=- 写出结果．（3）十字相乘法对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足ab ＝q ，a ＋b ＝p 的a ，b ，如有，则);)((2b x a x q px x ++=++对于一般的二次三项式),0(2≠++a c bx ax 寻找满足 a 1a 2＝a ，c 1c 2＝c ，a 1c 2＋a 2c 1＝b 的a 1，a 2，c 1，c 2，如有，则).)((22112c x a c x a c bx ax ++=++（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.（5）求根公式法：如果),0(02≠=++a c bx ax 有两个根x 1，x 2，那么)x x )(x x (a c bx ax 212--=++。
中考数学复习 第3讲 代数式与整式(含因式分解)
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1.(2013·江西,3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再
画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 (n+1)2
(用含n的代数式表示).
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2.(2012·江西,3分)已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m2+n2=
5.
命 题 点 2 整式的运算(10年10考，其中2020年2考)
பைடு நூலகம்固训练
1.(列代数式)龙眼的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千
回
克，买2千克龙眼和3千克香蕉共需 (2a+3b) 元.
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巩固训练 2.(2020·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相
等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图
回
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案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下
总
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=a2-1-a2+4a-4
录
=4a-5.
命 题 点 3 整式的化简求值(10年1考)
考情分析：2015年第15题考查整式的化简求值，涉及单项式
回
乘多项式、完全平方公式等.
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13.(2020·北京)已知5x2-x-1=0，求代数式(3x+2）（3x-2）
+x（x-2）的值.
解：原式=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4.
或一个字母也是代数式.
2.列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有 数、字
母和运算符号 的式子表示出来，这就是列代数式.
3.代数式求值：一般地，用数值代替代数式里的 字母
总复习—代数式(总结全面)
中考总复习二：代数式一、单元知识网络：二、考试目标要求：1.代数式①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义；④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.2.整式与分式①了解整数指数幂的意义和基本性质；②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅指一次式相乘)；③会推导乘法公式：，了解公式的几何背景，并能进行简单计算；④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；⑤了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算.3.二次根式了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.三、知识考点梳理1.代数式(1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子，我们把它们称为代数式．单个的数字或字母也可以看作代数式．(2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来．(3)用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．2.整式(1)单项式：数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.(3)整式：单项式和多项式统称整式．(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项．(5)整式的加减：整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.(6)整式的乘除①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：平方差公式：完全平方公式：在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．(7)因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：3.分式(1)分式的意义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．其中分式无意义；分式有意义．分式的值为0A=0且这两个条件缺一不可．(2)最简分式：如果一个分式的分子、分母没有公因式，那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式)．如果一个分式的分子、分母有公因式，那么可根据分式的基本性质，用分子、分母的公因式去除分子和分母，将分式化成最简分式，或者化成整式，这就是约分．(3)分式的基本性质：(4)分式的运算：①分式的加减：，．②分式的乘除：，．③分式的乘方：.4.二次根式：(1)二次根式的概念：式子叫做二次根式．是一个非负数.(2)二次根式的性质：(3)最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.(4)二次根式的运算：①二次根式的乘除：②二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.四、规律方法指导对于整式、分式、二次根式等内容，中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查，旨在让我们探索灵活、简捷的解法，提高分析问题的能力.因此，在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想，提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.经典例题透析类型一、整式的有关概念及运算1.同类项1.若单项式是同类项，则的值是( )A、-3B、-1C、D、3考点：同类项定义结合求解二元一次方程组，负整数指数幂的计算.思路点拨：同类项的概念为：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式.解：由题意单项式是同类项，所以，解得，，应选C.总结升华：判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项，需满足：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也相同.2.整式的运算及整式乘法公式的运用2.下列各式中正确的是( )A. B.a2·a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8考点：整数指数幂运算.分析：选项B为同底数幂乘法，底数不变，指数相加，a2·a3=a5，所以B错；选项C 为积的乘方，应把每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C错；选项D为两个单项式的和，此两项不是同类项，不能合并，所以D错；选项A为负指数幂运算，一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数，A正确.答案选A.3.计算：(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)解:(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)=a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a=5a-64.利用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)思路点拨：利用乘法公式去计算时，要特别注意公式的形式及符号特点，灵活地进行各种变形.解：(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式，将a+b看成一项，则(a+b+c)2=[(a+b)2+2(a+b)c+c2]=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)两个多项式中，每一项都只有符号的区别，所以，我们考虑用平方差公式，将符号相同的看作公式中的a，将符号相反的项，看成公式中的b，原式=[2+(2a2-3b2)][2-(2a2-3b2)]=4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.举一反三【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式，那么m=______.解析：解法一：利用完全平方公式：(a±3)2=a2±6a+9.解法二：利用一元二次方程根的判别式，若a2+ma+9是一个完全平方式，则关于a的一元二次方程a2+ma+9=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即m2-36=0，m=±6.解法三：利用配方法，a2+ma+9=a2+ma，∵是一个完全平方式，∴，∴m2=36，m=±6.【变式2】设，则=__________.思路点拨：本题利用乘法公式恒等变形，及互为倒数的运算性质.解：∵，两边平方得，，∴，【变式3】用相同的方法可以求，等的值.总结升华：此题是反复运用完全平方公式，把，变形为关于的代数式，从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.【变式4】若a2+3a+1=0，求的值.思路点拨：有上题做铺垫，我们可以想到将a2+3a+1=0变形为的形式，∵a≠0，将等式两边同时除以a，得，∴，∴.类型二、因式分解5.因式分解：(1) 3a3-6a2+12a；(2)(a+b)2-1；(3) x2-12x+36；(4)(a2+b2)2-4a2b2考点：运用提取公因式法和公式法因式分解.思路点拨：把一个多项式进行因式分解，首先要看多项式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否还可以继续进行分解，是否可以利用公式法进行分解，直到不能进行分解为止.解：(1) 3a3-6a2+12a=3a(a2-2a+4)(2)(a+b)2-1=(a+b)2-12=[(a+b)+1][(a+b)-1]=(a+b+1)(a+b-1)(3)x2-12x+36=(x-6)2(4)思路点拨：4a2b2可写成(2ab)2，可先用平方差公式进行因式分解为(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)，两个括号里又符合完全平方公式，还应继续分解直到不能分解为止.(a2+b2)2-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2举一反三【变式1】因式分解：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)(3)总结升华：在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止.类型三、分式的意义及运算1.分式的意义及分式值为零6.当x取何值时，分式有意义？分式的值等于零？思路点拨：当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零.解：当分母，即且时，分式有意义.根据题意，得由＜1＞解得：x=1或x=2由＜2＞解得且所以，当x=2时，分式的值等于零.总结升华：(1)讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简后的分式讨论；(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行；(3)在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件.举一反三【变式1】已知x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式值为0，则a+b= .考点：分式无意义及分式值为0的条件.解：当x=-2时，分式为；分式无意义，可得：-2+a=0，即a=2.当x=4时，分式为；分式值为0，可得：，即b=4.所以a+b=6.2.分式的运算7.计算.考点：分式的混合运算.思路点拨：此题是加减乘除混合运算，有两种运算顺序，其一是规定顺序，先将括号内的两分式通分相减得：，再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律，先把的分子、分母颠倒与被减数，减数相乘，再相减.两种顺序哪一种简单，要看题目中式子特点确定.解题过程如下：解法1：原式；解法2：原式.举一反三【变式1】先化简，再求值：，其中满足.解：=或当时，分式无意义.原式的值为2.总结升华：此题需注意所求得的x值需满足分式有意义，此处经常会被同学们忽视，要引起注意.【变式2】先化简，再求值：()÷，其中x=2005解：原式=·=当x=2005时，原式=.【变式3】有这样一道题：“计算：的值，其中.”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事？解：∵===0结果恒为0，与的取值无关.∴错抄成不影响结果.【变式4】已知x、y是方程组的解，求代数式的值.考点：一元二次方程组解法、分式的化简求值.思路点拨：一般地，在求代数式的值的问题中，可以先化简，再代入求值；也可以先代入，直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时，要选择简捷方法.此题所给分式运算，化简难度较大，应该求出方程组的解，直接把解代入，进行数的运算.解题过程如下：解：解方程组：得∴原式.类型四、二次根式的有关概念及运算8.下列二次根式中属于最简二次根式的是( )A. B. C. D.考点：最简二次根式的定义.思路点拨：依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；二者缺一不可.解：对于选项B，，不满足条件(2)；选项C，中被开方数含有分母，且分母中含有字母，不是整式，不满足条件(1)；选项D，，也不满足条件(2)；只有选项A满足条件(1)(2)，故选A.9.化简：(1)；(2)；(3).思路点拨：二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简，要注意使二次根式有意义的条件，在允许的取值范围内进行化简.(1)解：∵b＞0，，∴a≤0.∴.(2)解法一：∵0＜x＜1，∴x＞0，x-1＜0，解法二：∵0＜x＜1，∴，，(3)解：化简二次根式的隐含条件是，且a≠0.∵a2＞0，∴-(a+1)≥0，∴a≤-1，∴或. 举一反三【变式1】化简：，其中. 解：因为所以，原式.总结升华：化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质化去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号.类型五、代数式的综合应用10.若代数式2x2+3x+7的值为8，则代数式4x2+6x-9的值是( )A.2B.-17C.-7D.7思路点拨：此题考查的是整体代换的思想.解：∵4x2+6x=2(2x2+3x)，∴由已知2x2+3x+7=8，得2x2+3x=1，∴4x2+6x-9=2(2x2+3x)-9=2×1-9=-7，选C.11.已知：a，b为实数，下列各式中一定为正值的是( )A.a2-2a+2B.C.a2+b2D.(a-1)2+|b+2|解析：此小题四个选项虽然都是非负数，但B、C、D三个都有可能得0，不能保证一定为正数，只有A选项a2-2a+2=(a-1)2+1，∵(a-1)2≥0，∴(a-1)2+1＞0，无论a取何值，a2-2a+2的值都为正数，所以选A.12.现规定一种运算：，其中、为实数，则等于( )A. B. C. D.解析：选B.探索规律13.观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想第n个等式(n为正整数)应为_______.分析：此题观察规律并不难，但要注意n的取值，n为正整数，为了便于观察，我们可以象以下写法：第1行9×0+1=1第2行9×1+2=11第3行9×2+3=21第4行9×3+4=31第5行9×4+5=41……第n行9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.综合应用14.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a，b，c，d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是( ).A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形解析：由a2+ab-ac-bc=0，可以得到a(a+b)-c(a+b)=0，(a+b)(a-c)=0，∵a，b，c，d是四边形ABCD的四条边长，∴a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，∴a+b≠0，∴a=c，同理由b2+bc-bd-cd=0，可推出b=d，由平行四边形的定义可判定四边形ABCD为平行四边形，选A.举一反三【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图，每块地砖的长、宽分别为a、b，则图中阴影部分的面积为___.(结果要求化简)考点：乘法公式的实际背景和几何意义.解析：从图形可知阴影部分图形为正方形，其边长为a-b，所以其面积为(a-b)2=a2-2ab+b2.15. (扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.(1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；(2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1)，试用k、n和b表示(不必证明)；(3)比较和的大小(k=1，2 ，……，)，并解释此结果.解：第二所学校的奖金为；第三所学校的奖金为由此可以推断:.∵＞0，∴，说明排序靠前的奖金多于后者.或者按下列比较说明:∵，∴.即奖金分配原则从排序高到低逐渐按的比例递减，符合奖优实际.。
中考代数式考点题型归纳
初中代数式务必掌握的20个考点考点1： 代数式的定义及书写（1）代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；②字母和字母相乘，乘 号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在 那个字母前加上“-”号.例题1： （1）在下列各式中（1）3a ，（2）4+8＝12，（3）2a ﹣5b ＞0，（4）0，（5）s ＝πr 2，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，其中代数式的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 （2）下列各式：①114x ；②2•3；③20%x ；④a ﹣b ÷c ；⑤m−n 3；⑥x ﹣5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】（1）根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．（2）根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．【解析】（1）由题，属于代数式有：（1）3a ，（4）0，（6）a 2﹣b 2，（7）1+2，（8）x +2y ，共5个，选C（2）①114x 中分数不能为带分数；②2•3数与数相乘不能用“•”；③20%x ，书写正确； ④a ﹣b ÷c ，除号应用分数线，所以书写错误；⑤m−n 3书写正确；⑥x ﹣5应该加括号，所以书写错误；符合代数式书写要求的有③⑤共2个．选：D ． 【小结】（1）代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．变式1： 在以下各式中属于代数式的是（ ）①S =12ah ②a +b ＝b +a ③a ④1a ⑤0 ⑥a +b ⑦a+b ab A ．①②③④⑤⑥⑦ B ．②③④⑤⑥C ．③④⑤⑥⑦D ．①② 【解析】③a ，④1a，⑤0，⑥a +b ，⑦a+b ab 是代数式，选：C ． 变式2： 在式子0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】0.5xy ﹣2，3÷a ，12（a +b ），a •5，﹣314abc 中，符合代数式书写要求的有0.5xy ﹣2，12（a +b ）共2个．选：B ．【小结】此题主要考查了代数式，正确把握定义是解题关键．变式3： 进入初中后学习数学，对于代数式书写规范，教材中指出：“在含有字母的式子中如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“•”或者省略不写”．其实还有一些书写规范，比如，在代数式中如果出现除号“÷”，通常用分数线“﹣”来取代；数字与字母相乘时，一般数字写在前面，根据以上书写要求，将代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为 ．【解析】代数式（ac ×4﹣b 2）÷4简写为：4ac−b 24，故答案为：4ac−b 24．考点2： 列代数式（和差倍问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题2： 学校举行国庆画展，七（1）班交m 件作品，七（2）班交的作品比七（1）班的2倍少6件，则七（2）班交的作品是 件．【解析】根据题意知七（2）班交的作品数量为（2m ﹣6）件，故答案为：2m ﹣6．变式4： 某校报数学兴趣小组的有m 人，报书法兴趣小组的人数比数学兴趣小组的人数的一半多3人，那么报书法兴趣小组的有 人．【解析】依题意知，美术兴趣小组的人数是：12m +3．故答案是：（12m +3）． 变式5： 某学校七年级有m 人，八年级人数比七年级人数的23多10人，九年级人数比八年级人数的2倍少50人，用含m 的式子表示七八九三个年级的总人数为（ ）A ．3mB ．113m ﹣40C ．3m ﹣40D ．3m ﹣20【分析】根据题意分别表示出各年级的人数，进而利用整式的加减运算法则得出答案．【解析】由题意可得，八年级的人数为：23m +10，九年级人数为：2（23m +10）﹣50， 故七八九三个年级的总人数为：m +23m +10+2（23m +10）﹣50＝3m ﹣20．选：D ． 变式6： 我校甲、乙、丙三位同学给希望工程捐款，已知甲同学捐款x 元，乙同学的捐款金额比甲同学捐款金额的3倍少8元，丙同学的捐款金额是甲、乙两同学捐款总金额的34，用含x 的代数式表示甲，乙、丙三位同学的捐款总金额．【解析】由题意可得，乙同学捐款（3x ﹣8）元，丙同学的捐款金额是：34（x +3x ﹣8）＝3x ﹣6（元）， 故甲，乙、丙三位同学的捐款总金额为：x +3x ﹣8+3x ﹣6＝7x ﹣14（元）．考点3： 列代数式（数字问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题3： 一个两位数，十位上的数字为a ，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为（ ）A ．11a ﹣20B ．11a +20C ．11a ﹣2D ．11a +2【解析】由题意可得，这个两位数为：10a +（a ﹣2）＝11a ﹣2，选：C ．变式7： 设a 是一个三位数，b 是一个两位数，如果将这两个数顺次排成一个五位数（a 在左，b 在右），则这个五位数可以表示为 ．【解析】∵三位数扩大了100倍，两位数的大小不变，∴这个五位数可以表示为100a +b ．故答案是100a +b ． 变式8： 一个三位数为x ，一个两位数为y ，把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数M ，把这个两位数放在三位数的左边又可以得到一个五位数N ，则M ﹣N ＝ （结果用含x ，y 的式子表示）．【解析】依题意得，M ＝100x +y ，N ＝1000y +x ，∴M ﹣N ＝（100x +y ）﹣（1000y +x ）＝99x ﹣999y ．变式9： 用式子表示十位上的数是x ，个位上的数是y 的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置．求后来所得的数与原来的数的差是多少？【解析】依题意有（10y +x ）﹣（10x +y ）＝10y +x ﹣10x ﹣y ＝9y ﹣9x ．考点4： 列代数式（销售问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题4： 一件羽毛球拍先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，若这件羽毛球拍的成本价是x 元，那么售价可表示为 ．【解析】由题意可得：（1+50%）x ×0.8＝1.2x （元）变式10： 某商店有一种商品每件成本a 元，按成本价增加20%定为售价，售出80件后，由于存积压降价，打八五折出售，又售出120件．（1）求该商品减价后每件的售价为多少元？（2）售完200件这种商品共盈利多少元？【解析】（1）由题意可得，每件商品减价后的售价是：a （1+20%）×0.85＝1.02a （元），（2）20%a ×80+（1.02a ﹣a ）×（200﹣80）＝16a +0.02a ×120＝16a +2.4a ＝18.4a （元），变式11： 小明经销一种服装，进货价为每件a 元，经测算先将进货价提高200%进行标价，元旦前夕又按标价的4折销售，这件服装的实际价格（ ）A ．比进货价便宜了0.52a 元B ．比进货价高了0.2a 元C ．比进货价高了0.8a 元D ．与进货价相同【分析】直接利用标价以及打折之间的关系得出关系式即可．【解析】由题意可得，这件服装的实际价格是：（1+200%）a ×40%＝1.2a 元．则1.2a ﹣a ＝0.2a （元）比进货价高了0.2a 元．选：B ．【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出标价是解题关键．变式12： 张师傅下岗后做起了小生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b 元的价格购进了30件乙种小商品（a ＞b ）．根据市场行情，他将这两种小商品都以a+b 2元的价格出售．在这次买卖中，张师傅的盈亏状况为（ ）A ．赚了（25a +25b ）元B ．亏了（20a +30b ）元C ．赚了（5a ﹣5b ）元D ．亏了（5a ﹣5b ）元 【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b ，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．【解析】根据题意可知：总进价为20a +30b ，总售价为a+b 2×（20+30）＝25a +25b∴25a +25b ﹣（20a +30b ）＝5a ﹣5b ，∵a ＞b ，∴5a ﹣5b ＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．选：C ．【小结】此题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．考点5： 列代数式（增长率问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题5： 某校去年初一招收新生a 人，今年比去年增加x %，今年该校初一学生人数用式子表示为（ ）A ．（a +x %）人B ．ax %人C ．a(1+x)100人D ．a （1+x %）人【解析】∵去年初一招收新生a人，∴今年该校初一学生人数为：a（1+x%）人．选：D．【小结】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意今年比去年增加x%和今年是去年的x%的区别．变式13：某校初一年级计划初中三年每年参加植树活动，2019年已经植树a亩，如果以后每年比上一年植树面积增长20%，那么2021应植树的面积为（）A．a•（1+20%）B．a•（1+2×20%）C．a•（1+20%）2D．2a•（1+20%）【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出2021年应植树的面积，本题得以解决．【解析】由题意可得，2021应植树的面积为：a（1+20%）2，选：C．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式14：某企业今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，则1月份和2月份的产值和是（）A．x+（1﹣10%）x万元B．x+（1+10%）x万元C．（1﹣10%）x万元D．（1+10%）x万元【分析】根据题意表示出2月份的产值，进而得出答案．【解析】∵今年1月份产值为x万元，2月份的产值比1月份减少了10%，∴2月份的产量为：（1﹣10%）x，故1月份和2月份的产值和是：[x+（1﹣10%）x]万元．选：A．【小结】此题主要考查了列代数式，正确表示出2月份的产值是解题关键．变式15：裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，则下列各式中，能正确表示这个商店第一季度的总利润的是（）A．50（1+m）万元B．50（1+m）2万元C．[50+50（1+m）]万元D．[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元【分析】根据裕丰商店一月份的利润及二、三月份的利润平均增长率，即可用含m的代数式表示出二、三月份的利润，再将三个月的利润相加即可得出结论．【解析】∵裕丰商店一月份的利润为50万元，二、三月份的利润平均增长率为m，∴二月份的利润为50（1+m）万元，三月份的利润为50（1+m）2，∴这个商店第一季度的总利润是[50+50（1+m）+50（1+m）2]万元．选：D．【小结】本题考查了列代数式，根据前三个月利润间的关系，用含m的代数式表示出二、三月份的利润是解题的关键．考点6：列代数式（分段计费问题）解决此类问题是要理解题意，将字母看作数字表示相应的量，列出代数式，注意代数式的书写规范.例题6：东西湖区域出租汽车行驶2千米以内（包括2千米）的车费是10元，以后每行驶1千米，再加0.7元．如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥2），则车费是（）A．（10﹣0.7m）元B．（11.4+0.7m）元C．（8.6+0.7m）元D．（10+0.7m）元【解析】由题意可得，车费是：10+（m﹣2）×0.7＝（0.7m+8.6）元，选：C．【小结】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．变式16：为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：居民每月用电量单价（元/度）不超过50度的部分0.5超过50度但不超过200度的部分0.6超过200度的部分0.8已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：一月份二月份三月份四月份五月份六月份﹣50+30﹣26﹣45+36+25根据上述数据，解答下列问题：（1）小刚家用电量最多的是月份，实际用电量为度；（2）小刚家一月份应交纳电费元；（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．【解析】（1）由表格可知，五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），故答案为：五，236；（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），故答案为：85；（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8＝25+90+0.8x﹣160＝（0.8x﹣45）元．变式17：为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米）价目表每月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超出6m3不超出10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3请根据上表的内容解答下列问题：（1）填空：若该户居民2月份用水5m3，则应交水费元；3月份用水8m3，则应收水费元；（2）若该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费多少元（用含a的代数式表示，并化简）？（3）若该户居民5、6两个月共用水14m3（6月份用水量超过了5月份），设5月份用水xm3，直接写出该户居民5、6两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示）．【解析】（1）由表格可得，若该户居民2月份用水5m3，则应交水费：2×5＝10（元），3月份用水8m3，则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝12+4×2＝12+8＝20（元），故答案为：10，20；（2）由表格可得，该户居民4月份用水am3（其中a＞10m3），则应交水费：2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元，（3）由题意可得，x＜14﹣x，得x＜7，当6＜x＜7，该户居民5、6两个月共交水费：[2×6+（x﹣6）×4]+[2×6+（14﹣x﹣6）×4]＝32（元），当4≤x≤6时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（14﹣x）×4]＝（﹣2x+68）（元），当0≤x＜4时，该户居民5、6两个月共交水费：2x+[2×6+（10﹣6）×4+（14﹣x）×8]＝（140﹣6x）（元）．变式18：滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.45元/分钟0.4元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元．（1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元；（2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a 公里，行车时间为b 分钟，则小明应付车费多少元；（用含a 、b 的代数式表示，并化简）（3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，受路况情况影响，小王反而比小张乘车多用24分钟，请问谁所付车费多？【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可；（2）根据a 的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；（3）根据题意计算出相差的车费即可．【解析】（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元），故答案为：53.5；（2）当a ≤10时，小明应付费（1.8a +0.45b ）元；当a ＞10时，小明应付费1.8a +0.45b +0.4（a ﹣10）＝（2.2a +0.45b ﹣4）元；（3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a 分钟、（a ﹣24）分钟，1.8×9.5+0.45a ﹣[1.8×14.5+0.45（a ﹣24）+0.4×（14.5﹣10）]＝0，因此，小王和小张付费相同．【小结】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．考点7： 代数式求值（整体代入法）例题7： 已知代数式x ﹣2y 的值是3，则代数式4y +1﹣2x 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．﹣1D ．0【解析】∵x ﹣2y ＝3，∴4y +1﹣2x ＝﹣2（x +2y ）+1＝﹣6+1＝﹣5．选：A ．变式19： 当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，求当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1值是（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【解析】当x ＝2时，代数式px 3+qx +1的值为﹣2019，即8p +2q ＝﹣2020．当x ＝﹣2时，代数式的px 3+qx +1＝﹣8p ﹣2q +1＝﹣（8p +2q ）+1＝2020+1＝2021．选：D ．变式20： 已知1﹣a 2+2a ＝0，则14a 2−12a +54的值为（ ）A ．32B ．14C ．1D ．5【分析】1﹣a 2+2a ＝0经过整理得：a 2﹣2a ＝1，14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54，把a 2﹣2a ＝1代入代数式14（a 2﹣2a ）+54，计算求值即可．【解析】∵1﹣a 2+2a ＝0，∴a 2﹣2a ＝1，∴14a 2−12a +54=14（a 2﹣2a ）+54=14×1+54=32，选：A变式21：（1）【探究】若a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（）+4＝2×（）+4＝．【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5的值为．（2）【应用】当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，求当x＝﹣1时，px3+qx+1的值；（3）【推广】当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5的值为（含m的式子表示）【分析】（1）把代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4，然后利用整体代入的方法计算；利用同样方法计算x2﹣3x﹣5的值；（2）先用已知条件得到p+q＝4，而当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1，然后利用整体代入的方法计算；（3）利用当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m得到20205a+20203b+2020c＝m+5，而当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5，然后利用整体代入的方法计算．【解析】（1）∵a2+2a＝1，∴2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×（1）+4＝6；【类比】若x2﹣3x＝2，则x2﹣3x﹣5＝2﹣5＝﹣3；故答案为a2+2a，1，6；﹣3；、（2）∵当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是5，∴p+q+1＝5，∴p+q＝4，∴当x＝﹣1时，px3+qx+1＝﹣p﹣q+1＝﹣（p+q）+1＝﹣4+1＝﹣3；（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，∴20205a+20203b+2020c﹣5＝m，即20205a+20203b+2020c＝m+5，当x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx﹣5＝（﹣2020）5a+（﹣2020）3b+（﹣2020）c﹣5＝﹣20205a﹣20203b﹣2020c﹣5＝﹣（20205a+20203b+2020c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣5﹣5＝﹣m﹣10．故答案为﹣m﹣10．考点8：代数式求值（程序框图）例题8：根据以下程序，当输入x＝﹣2时，输出结果为（）A．﹣5B．﹣16C．5D．16【解析】当x＝﹣2时，9﹣x2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5＞1，当x＝5时，9﹣x2＝9﹣52＝9﹣25＝﹣16＜1，∴当输入x＝﹣2时，输出结果为﹣16．选：B．【小结】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简变式22：根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣1，则输出结果为（）A．4B．2C．1D．﹣1【分析】把x＝﹣1代入程序中计算即可得到结论．【解析】当入x＝﹣1时，﹣x2+3＝﹣1+3＝2＞1，当x＝2时，﹣x2+3＝﹣4+3＝﹣1＜1，选：D．变式23：按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为6的是（）A．x＝5，y＝﹣1B．x＝2，y＝2C．x＝2，y＝﹣1D．x＝﹣2，y＝3【分析】把x与y的值代入检验即可．【解析】A、当x＝5，y＝﹣1时，输出结果为5+1＝6，符合题意；B、当x＝2，y＝2时，输出结果为2﹣4＝﹣2，不符合题意；C、当x＝2，y＝﹣1时，输出结果为2+1＝3，不符合题意；D、当x＝﹣2，y＝3时，输出结果为﹣2﹣9＝﹣11，不符合题意，选：A．变式24：如图是一个运算程序，能使输出结果为﹣1的是（）A．1，2B．﹣1，0C．﹣1，2D．0，﹣1【分析】根据筛选法将各个选项分别代入运算程序即可得结果．【解析】A．当a＝1，b＝2时，输出结果为3，不符合题意；B．当a＝﹣1，b＝0时，输出结果为1，不符合题意；C．当a＝﹣1，b＝2时，输出结果为﹣1，符合题意；根据筛选法C选项正确．选：C．【小结】本题考查了代数式求值、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解运算程序．考点9： 单项式的系数与次数解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数例题9： 4πx 2y 4z9的系数是 ，次数是 ．【分析】直接利用单项式的系数与次数确定方法得出答案． 【解析】4πx 2y 4z9的系数是：4π9，次数是：7【小结】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键． 变式25：单项式﹣3πxa +1y 2与−102x 2y 39的次数相同，则a 的值为 ．【分析】根据单项式的次数相等，得到关于a 的一元一次方程，求解即可．【解析】因为−102x 2y 39的次数是5，又因为单项式﹣3πx a +1+y 2与−102x 2y 39的次数相同所以a +1+2＝5解得a ＝2 变式26：若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ．【解析】根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0 变式27：已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ．【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【解析】∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3， ∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17考点10： 多项式的项与次数解题关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 例题10：关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ）A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式 【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【解析】A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意； B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；选：B ． 变式28：多项式 是一个关于x 的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是34，一次项的系数是﹣2，常数项是4．【解析】由题意可得，此多项式可以为：﹣5x 3+34x 2﹣2x +4． 变式29：已知关于x 的整式（|k |﹣3）x 3+（k ﹣3）x 2﹣k ．（1）若整式是单项式，求k 的值；（2）若整式是二次多项式，求k 的值；（3）若整式是二项式，求k 的值 【解析】（1）∵关于x 的整式是单项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3＝0，解得k ＝3，∴k 的值是3； （2）∵关于x 的整式是二次多项式，∴|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3，∴k 的值是﹣3；（3）∵关于x 的整式是二项式，∴①|k |﹣3＝0且k ﹣3≠0，解得k ＝﹣3；②k ＝0．∴k 的值是﹣3或0． 变式30：已知关于x 、y 的多项式−35x 2y m+1+12x 2y 2−3y 2+8是八次四项式，单项式5x n y 6﹣m的次数与该多项式的次数相同，求m 、n 的值．【解析】∵多项式−35x 2y m+1+12x 2y 2−3y 2+8是八次四项式，所以2+m +1＝8，解得m ＝5 又因为5x n y 6﹣m的次数与该多项式的次数相同，所以n +6﹣m ＝8，即n ＝7．考点11： 与数有关的规律探索例题11：根据图中数字的规律，则x +y 的值是（ ）A ．729B ．550C ．593D ．738【分析】观察发现，图中第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数，依此规律先求x ，再求y 即可．【解析】∵5＝22+1，12＝5×2+2；17＝42+1，72＝17×4+4；37＝62+1，228＝37×6+6；∴x＝82+1＝65，y＝65×8+8＝528，x+y＝65+528＝593．选：C．【小结】考查了规律型：数字的变化类，关键是由图形得到第二行左边的数比第一行数的平方大1，第二行右边的数＝第二行左边的数×第一行的数+第一行的数．变式31：将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（）A．363B．361C．359D．357【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．【解析】观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：第一行的第一个数：1×0+1＝1第二行的第一个数：2×1+1＝3第三行的第一个数：3×2+1＝7…第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1∴第19行的第一个数：19×18+1＝343∴第19行的第11个数：343+10×2＝363，选：A．【小结】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．变式32：将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2020是第2021个数，所以用2021除以4，再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可．【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2020是第2021个数，∴2021÷4＝505余1，∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．选：A．【小结】本题是对数字变化规律的考查，观察出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键，要注意2020是第2021个数．变式33：按规律排列的一列数：−12，25，−38，411，−514，…，则第2020个数是．【分析】先分析符号，第奇数个数据为负，第偶数个数据为正，再分析分子规律：依次为1，2，3，4，5，…连续的正整数，接着分析分母的规律：每个分母分别为对应分子的3倍少1的数，按此规律写出第2020个数便可．【解析】−12=(−1)1×13×1−1，25=(−1)2×23×2−1，−38=(−1)3×33×3−1，411=(−1)4×43×4−1，−514=(−1)5×53×5−1，…由上可知第n个数为：(−1)n×n3n−1，∴第2020个数是：(−1)2020×20203×2020−1=20206059．考点12：与式有关的规律探索例题12：从2开始，连续n个偶数相加的合计为S，它们和的情况如下表：（1）若n＝8时，则S的值为．（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S＝2+4+6+8+…+2n＝．加数的个数n S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（3）根据上题的规律计算2+4+6+8+10+…+2018+2020的值．【分析】（1）根据题意，可以求得当n＝8时，对应的S的值；（2）根据表格中的数据，可以写出S的值；（3）根据（2）中的结论，可以求得所求式子的值．【解析】（1）当n ＝8时，S ＝2+4+6+…+16＝（2+16）×4＝18×4＝72，故答案为：72； （2）由表格中的数据可知，S ＝2+4+6+8+…+2n ＝n （n +1），故答案为：n （n +1）； （3）2+4+6+8+10+…+2018+2020＝（2020÷2）×（2020÷2+1）＝1010×1011＝1021110． 变式34：已知a 是不为1的有理数，我们把11−a称为a 的差倒数，如2的差倒数是11−2=−1．现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数． （1）求a 2，a 3，a 4的值．（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a 2018•a 2019•a 2020的值． （3）计算：a 1+a 2+a 3+…+a 2018+a 2019．【分析】（1）根据题意，可以分别计算出a 2，a 3，a 4的值；（2）根据（1）中式子的值，可以发现数字的变化特点，从而可以求得a 2018•a 2019•a 2020的值； （3）根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值． 【解析】（1）∵a 1=12，∴a 2=11−12=2，a 3=11−2=−1，a 4=11−(−1)=12， 即a 2，a 3，a 4的值分别为2，﹣1，12；（2）∵2018÷3＝672…2，∴a 2018•a 2019•a 2020＝2×（﹣1）×12＝﹣1；（3）∵2019÷3＝673，12+2+（﹣1）=32，∴a 1+a 2+a 3+…+a 2018+a 2019=32×673=20192． 变式35： 小学的时候我们已经学过分数的加减法法则：“同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，先通分，转化为同分母分数，再加减．”如：12−13=32×3−22×3=3−22×3=12×3=16，反之，这个式子仍然成立，即：16=12×3=3−22×3=32×3−22×3=12−13（1）问题发现 观察下列等式：①11×2=2−11×2=21×2−11×2=1−12， ②12×3=3−22×3=32×3−22×3=12−13，③13×4=4−33×4=43×4−32×3=13−14，…，猜想并写出第n 个式子的结果：1n(n+1)= ．（直接写出结果，不说明理由）（2）类比探究将（1）中的的三个等式左右两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，类比该问题的做法，请直接写出下列各式的结果：①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020=；②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=；（3）拓展延伸计算：11×3+13×5+15×7+⋯+199×101．【分析】（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；（2）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；（3）根据题目中式子的特点，可以求得所求式子的值．【解析】（1）由题目中的式子可得，1n(n+1)=1n−1n+1（2）①11×2+12×3+13×4+⋯+12019×2020＝1−12+12−13+13−14+⋯+12019−12020＝1−12020=2019 2020，②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)＝1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1＝1−1n+1=n n+1，（3）11×3+13×5+15×7+⋯+199×101=12×（1−13+13−15+15−17+⋯+199−1101）=12×（1−1101）=12×100101=50 101．【小结】解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．变式36：阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22020，将等式两边同时乘以2得，2S＝2+22+23+24+25+ (22021)将下式减去上式，得2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+24+…+22020＝22021﹣1仿照此法计算：（1）1+3+32+33+…+320；（2）1+12+122+123+⋯+12100．【解析】（1）设S＝1+3+32+33+…+320，则2S＝3+32+33+…+321，∴3S﹣S＝321﹣1，即S=321−1 2，则1+3+32+33+…+320=321−1 2；（2）设S＝1+12+122+123+⋯+12100，则12S=12+122+123+⋯+12100+12101，∴S−12S＝1−12101=2101−12101，即S=21101−12100，则S＝1+12+122+123+⋯+12100=21101−12100．【小结】此题考查了规律型：数字的变化类，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．考点13：与图形排列有关的规律探索例题13：如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42B．43C．56D．57【解析】设第n个图形中一共有a n个菱形（n为正整数），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴a n＝n2+n+1（n为正整数），∴a6＝62+7＝43．选：B．变式37：观察如图所示一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第10个图中共有点的个数是（）A．109个B．136个C．166个D．199个【解析】由图可得，第1个图中点的个数为：1+3×1＝4，第2个图中点的个数为：1+3×1+3×2＝10，第3个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3＝19，…，第10个图中点的个数为：1+3×1+3×2+3×3+…+3×10＝1+3+6+9+…+30＝166，选：C．变式38：将图1中的正方形剪开得到图2，则图2中共有4个正方形；将图2中的一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中4个较小的正方形中的一个剪开得到图4，则图4中共有10个正方形，照这个规律剪下去…（1）根据图中的规律补全下表：图形标号123456…n正方形个数14710…（2）求第几幅图形中有2020个正方形？【分析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，计算出结果填上即可；（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出3n﹣2＝2020，解得n＝674．【解析】（1）第1个图形有正方形1个，第2个图形有正方形4个，第3个图形有正方形7个，第4个图形有正方形10个，…，第n个图形有正方形（3n﹣2）个，∴第5个图形有正方形13个，第6个图形有正方形16个，补全表如下：（2）由第n个图形有正方形（3n﹣2）个，得出：3n﹣2＝2020，解得：n＝674，∴第674幅图形中有2020个正方形．变式39：某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐人；对于方式二，n张桌子拼在一起可坐人；（2）该餐厅有40张这样的长方形桌子，若按方式一每5张拼成一张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？（3）在（2）中，若改成每8张拼成一张大桌子，按方式二的拼法，则40张桌子共可坐多少人？（4）一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，要求用满座位，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢（不考虑场地等因素）？【解析】（1）对于方式一：4张桌子拼在一起可坐2+4×4＝18（人），对于方式二，n张桌子拼在一起可坐：（2n+4）人，。
中考数学专题02 代数式【考点精讲】(解析版)
考点1：代数式的概念与求值1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。
求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。
【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A ．8nm （元） B ．8nm（元） C ．8mn（元） D ．8mn（元） 【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可； 【详解】∵m 千克的售价为n 元， ∴1千克商品售价为n m， ∴8千克商品的售价为8nm（元）； 故选A ．【例2】（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3-【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解． 【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=+-+=．故选：C【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．专题02 代数式【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +．有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）A ．先打九五折，再打九五折B ．先提价50%，再打六折C ．先提价30%，再降价30%D ．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x 元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x 元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x ×0.95=0.9025x 元， ∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x ×0.6=0.90x 元， ∵先提价30%，再降价30%， ∴调价后的价格为1.3x ×0.7=0.91x 元， ∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x ×0.75=0.9375x 元， ∵0.90x ＜0.9025x ＜0.91x ＜0.9375x 故选B2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x 的值为3，则输出y 值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解． 【详解】 解：∵x =3＜4∴把x =3代入1(4)y x x =-≤， 解得：312y =-=， ∴y 值为2， 故答案为：2．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．考点2：整式相关概念1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.3．整式：单项式与多项式统称整式.4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______． 【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项， ∴2m =4，n +2=-2m +7， 解得：m =2，n =1， 则m +n =2+1=3．故答案是：3．【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ） A ．21n n a + B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...， ∴第n 个单项式为21n n a +， 故选：A ．【例6】已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ． 【答案】17【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案． 【详解】解：∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式， ∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0， 解得：m ＝﹣3，∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17． 故答案为：17．1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的 次数2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23ab 的同类项是（ ） A ．32a b B ．232a bC ．2a bD ．3ab【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致， ∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致， ∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意； 故选B2．关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ） A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意； 故选：B ．3．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ． 【答案】0【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9， 解得：m ＝﹣1，n ＝1， 则m +n ＝﹣1+1＝0． 故答案为：0．考点3：整式的运算 1．幂的运算性质：（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数). （2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数).（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab )n ＝a n b n (n 为整数).（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：a m ÷a n ＝a m -n (a ≠0，m,n 都为整数). （5）a 0=1(a ≠0), a -n =a1(a ≠0). 2．整式的运算：（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m (a +b +c )=ma +mb +mc ；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nb .（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加. 3．乘法公式：（1）平方差公式:(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2. （2）完全平方公式:(a ±b )2＝a 2±2ab +b 2.（3）常用恒等变换:a 2＋b 2＝(a ＋b )2-2ab=(a -b )2＋2ab ；(a -b )2＝(a ＋b )2-4ab.【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ⋅=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案． 【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意； B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意； C 、23a a a ⋅=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意； 故选：C ．【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．22a a -=B ．()2211a a -=- C ．632a a a ÷=D ．326(2)4a a =【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案． 【详解】解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误； B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误； C ：63633a a a a -÷==，故C 错误； D ：()()2232332622·44a a a a ⨯===．故选：D【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案． 【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意； C ，合并同类项后2787a a a a +=≠，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意； 故选：D ．1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -⋅的结果是（ ） A ．8a B ．6aC ．8a -D ．6a -【答案】B【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式24246a a a a +=⋅==． 故选B ．2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ） A ．23a a a += B ．()32622a a =C ．623a a a ÷=D ．325a a a ⋅=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误； 选项B ：()32628aa =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -÷==，故选项C 错误； 选项D ：33522a a a a +⋅==，故选项D 正确； 故选：D ．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】A 、，正确，故该选项符合题意；B 、,错误，故该选项不合题意；C 、，错误，故该选项不合题意；D 、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； 故选：A ．考点4：整式化简求值【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得． 【详解】解：原式，，将代入得：原式．1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．4=±()2234636m n m n =24833a a a ⋅=33xy x y -=4=±()2234639m n m n =24633a a a ⋅=3xy 3x ()()212(2)x x x +++-1x =1x =22214x x x =+++-25x =+1x =2157=⨯+=2(21)(21)(23)x x x +---1x =-【详解】解：原式= = =，当x =-1时，原式==-22．2．（2020•凉山州）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =2． 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案． 【详解】原式＝4x 2﹣9﹣（x 2+4x +4）+4x +12 ＝4x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣4+4x +12 ＝3x 2﹣1， 当x =2时， 原式＝3×（2）2﹣1 ＝3×2﹣1 ＝6﹣1 ＝5． 考点5：因式分解因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”) （1）先运用提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ).（2）再套公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2(乘法公式的逆运算).（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x - B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可 【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+2241(4129)x x x ---+22414129x x x --+-1210x -()12110⨯--C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【例13】（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ． 【答案】49【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】∵a ＝7﹣3b ， ∴a +3b ＝7， ∴a 2+6ab +9b 2 ＝（a +3b ）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。
中考数学总复习——2.代数式和整式
7．【2019·厦门集美区二模·4 分】下列计算正确的是( C )
A．a8＋a2＝a10
B．a8·a2＝a16
C．(a8)2＝a16
D．a8÷a2＝a4
8．【2019·福建·4 分】分解因式：x2－9＝_(_x_－__3_)(_x_＋__3_)__．
9．【2020·福州质检·4 分】若 m(m－2)＝3，则(m－1)2 的值是 ____4______．
考点1 求代数式的值
例1【2020·漳州质检·4分】若a是方程x2＋x－1＝0的根， 则代数式2 020－a2－a的值是__2__0_1_9____．
考点2 整式的化简求值
例 2【2019·宁德质检·8 分】先化简，再求值：(x－3)2＋x(2－x) －9，其中 x＝－ 3. 解：原式＝x2－6x＋9＋2x－x2－9＝－4x. ∵x＝－ 3， ∴原式＝－4×(－ 3)＝4 3.
考点3整式的概念
例3【2020·厦门质检·4分】将单项式3m与m合并同类项， 结果是( B ) A．4 B．4m C．3m2 D．4m2
例 4【2020·厦门质检·4 分】若多项式 x2＋2x＋n 是完全平方式，
则常数 n 是( D )
A．－1
B．14
1 C.2
D．1
【点拨】本题考查完全平方式的概念，完全平方式必须满 足“a2＋2ab＋b2”或“a2－2ab＋b2”的结构特征，解答 时容易出错．
考点4 整式的运算
例5【2020·三明质检·4分】下列运算正确的是( C )
A．(a2)3＝a5
B．3a2＋a＝3a3
C．a5÷ a2＝a3(a≠0) D．a(a＋1)＝a2＋1
考点5 因式分解
例6【2020·宁德质检·4分】下列多项式能用完全平方公式
最新中考数学专题复习-代数式求值(含解析)
代数式求值（含解析）一、单选题1.若代数式2x2+3x的值是5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（）A. 10B. 1C. -4D. -82.已知a - b =1，则代数式2a-2b -3的值是( )A. -1B. 1C. -5D. 53.当x=﹣1时，2ax3﹣3bx+8的值为18，则12b﹣8a+2的值为（）A. 40B. 42C. 46D. 564.已知，则的值是（）A. B.C. D.5.已知多项式x2+3x=3，可求得另一个多项式3x2+9x﹣4的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若x2+x+1的值是8，则4x2+4x+9的值是（）A. 37B. 25C. 32D. 07.已知a－b = －2，则代数式3 (a－b)2 －ｂ＋ａ的值为（）A. －12B. －10C. 10D. 128.按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种9.设某代数式为A，若存在实数x0使得代数式A的值为负数，则代数式A可以是（）A. |3﹣x|B. x2+xC. D. x2﹣2x+110.当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A. 7B. 3C. 1D. -711.已知a﹣b=1，则代数式2a﹣2b﹣3的值是（）A. 1B. -1C. 5D. -512.使代数式2（x-5）的值为零的x的值是（）A. 2B. -2C. 5D. -5二、填空题13.若x2﹣3x=4，则代数式2x2﹣6x的值为________．14.已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为________ ．15.若x2+2x的值是8，则4x2﹣5+8x的值是________．16.若一个代数式a2﹣2a﹣2的值为3，则3a2﹣6a的值为________17.已知m﹣n=3mn，则的值是________．18.按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是________．（用科学计算器计算或笔算）三、计算题19.先化简再求值：5x2﹣[2xy﹣3×（xy+2）+4x2]，其中x=﹣2，y= ．20.已知x2﹣x﹣5=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．21.先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+5a2b），其中a= ，b=﹣．四、解答题22.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值．23.已知|ab﹣2|与|a﹣1|互为相互数，试求下式的值：+ + +…+ ．五、综合题24.阅读理解：由面积都是1的小正方格组成的方格平面叫做格点平面．而纵横两组平行线的交点叫做格点．如图1中，有9个格点，如果一个正方形的每个顶点都在格点上，那么这个正方形称为格点正方形．（1）探索发现：按照图形完成下表：格点正方形内格点数格点正方形面积关于格点正方形的面积S，从上述表格中你发现了什么规律？（2）继续猜想：类比格点正方形的概念，如果一个长方形的每个顶点都在格点上，那么这个长方形称为格点长方形，对于格点长方形的面积，你认为也有类似（1）中的规律吗？试以图5中格点长方形为例来说明．25.已知多项式ax5+bx3+3x+c，当x=0时，该代数式的值为﹣1．（1）求c的值；（2）已知当x=3时，该式子的值为9，试求当x=﹣3时该式子的值；（3）在第（2）小题的已知条件下，若有3a=5b成立，试比较a+b与c的大小？26.公安人员在破案时常常根据案发现场作案人员留下的脚印推断犯人的身高，如果用a表示脚印长度，b表示身高，关系接近于b=7a﹣3.07．（1）某人脚印长度为24.5cm，则他的身高约为多少？（2）在某次案件中，抓获了两名可疑人员，甲的身高为1.87m，乙的身高为1.75m，现场测量的脚印长度为26.9cm，请你帮助侦查一下，哪个可疑人员作案的可能性更大？答案解析部分一、单选题1.若代数式2x2+3x的值是5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（A. 10B. 1C. -4D. -8【答案】B【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵2x2+3x=5，∴原式=2（2x2+3x）﹣9=10﹣9=1．故选B【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．2.已知a - b =1，则代数式2a-2b -3的值是( )A. -1B. 1C. -5D. 5【答案】C【考点】代数式求值【解析】【分析】先把2b-2a-3变形为-2（a-b)-3，然后把a-b=1代入计算即可．【解答】2b-2a-3=-2（a-b)-3，∵a-b=1，∴2b-2a-3=-2×1-3=-5．故选C．【点评】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．3.当x=﹣1时，2ax3﹣3bx+8的值为18，则12b﹣8a+2的值为（）A. 40B. 42C. 46D. 56【答案】B【考点】代数式求值【解析】【解答】解：将x=﹣1代入得：2ax3﹣3bx+8=﹣2a+3b+8=18，即2a﹣3b=﹣10，则12b﹣8a+2=﹣4（2a﹣3b）+2=40+2=42，故选B【分析】根据题意求出2a﹣3b的值，原式变形后将2a﹣3b代入计算即可求出值．4.已知，则的值是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】代数式求值【解析】【分析】直接把看做一个整体代入，。
中考数学复习数与式
中考复习数与式2一.代数式的概念— 单项式—整式—— 有理式— — 多项式代数式 — —分式— 无理式（根式）1.单项式（1）单项式：数与代表数的字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
注意：数与字母之间是乘积关系。
例：3x 2也是数与字母的积（32与x 的积）。
特征：分母中无字母。
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数。
如：2xy 的系数是2；-5zy 的系数是-5 。
2πab 的系数是2π 如果一个单项式，只含有字母因数，则有：带正号的单项式（例如ab 2）的系数为1；带负号的单项式（例如：-ab 2）的系数为-1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例题：1、单项式322y x -的系数是 ，次数是 。
2、单项式n m 3π-的系数是 ，次数是 。
2.多项式（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
某项的次数是几，该项就叫几次项。
不含字母的项叫做常数项，也叫零次项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号（正负号）。
（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
根据次数和项数把该多项式叫做几次几项式。
（3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。
例题：1、多项式a b a a 3323--23b b +是 次 项式，按b 的降幂排列为 。
2、对于代数式：1，r ，11+x ，312+x ，)(22b a -π，πx 2；属于单项式的有 ，属于多项式的有 。
课堂练习:1．下列各式中是多项式的是 （ ）A .21- B .y x + C .3ab D .22b a - 2．下列说法中正确的是（ ）A .x 的次数是0B .y 1是单项式 C .21是单项式 D .a 5-的系数是5 3.整式：单项式和多项式统称为整式。
初中数学知识点总结：代数式的相关概念
初中数学知识点总结：代数式的相关概念 知识点总结 【一】代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：(1)单个数字与字母也是代数式;(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; (3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
【三】整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
【四】升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
【五】代数式书写要求： 1.代数式中出现的乘号通常用〝·〞表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用〝×〞号; 2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序.如式子(a+b) ·2·a 应写成2a(a+b); 3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，那么单位直接写在式子后面;如果代数式是和或差的形式，那么必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。
六、系数与次数 单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
中考数学 第2讲 代数式及整式的运算(解析版)
第2讲 代数式及整式的运算一、考点知识梳理【考点1 代数式定义及列代数式】1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值．【考点2 幂的运算】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数） 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析【考点1 代数式定义及列代数式】【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.【例1】（2019.海南中考）当m ＝﹣1时，代数式2m +3的值是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】C ．【分析】将m ＝﹣1代入代数式即可求值；【解答】解：将m ＝﹣1代入2m +3＝2×（﹣1）+3＝1； 故选：C ．【一领三通1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1 B ．（﹣1）n x 2n ﹣1 C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1 D ．（﹣1）n x 2n +1【答案】C ．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【解答】解：∵x 3＝（﹣1）1﹣1x 2×1+1， ﹣x 5＝（﹣1）2﹣1x 2×2+1， x 7＝（﹣1）3﹣1x 2×3+1， ﹣x 9＝（﹣1）4﹣1x 2×4+1， x 11＝（﹣1）5﹣1x 2×5+1， ……由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n +1， 故选：C ．【一领三通1-2】（2019•台湾）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a ，矩形面积为b ．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（ ）A ．4a +2bB ．4a +4bC ．8a +6bD ．8a +12b【答案】C ．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b，故选：C．【一领三通1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．10﹣x B．10﹣y C．10﹣x+y D．10﹣x﹣y【答案】A．【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，由题意可得点A餐10﹣x；【解答】解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面，y份沙拉则在C餐中点了y份意大利面，∴点A餐为10﹣x；故选：A．【考点2 幂的运算】【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3.注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【例2】（2019•广东中考）下列计算正确的是（）A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a6【答案】C．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；B、b3•b3＝b6，故此选项错误；C、a2+a2＝2a2，正确；D、（a3）3＝a9，故此选项错误．故选：B．【一领三通2-1】（2019•甘肃中考）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【答案】C．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【一领三通2-2】（2019•海南中考）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4【答案】A．【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3，A准确；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，B错误；2a2﹣a2＝a2，C错误；（3a2）2＝9a4，D错误；故选：A．【一领三通2-3】（2019•江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（）A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3【答案】D．【分析】根据积的乘方法则解答即可．【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．故选：D．【一领三通2-4】（2019•山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点A（a，b），B（c，d），定义一种运算：A*B＝[（3﹣c），]，若A（9，﹣1），且A*B＝（12，﹣2），则点B的坐标是______．【答案】（﹣1，8）．【分析】根据新运算公式列出关于c、d的方程组，解方程组即可得c、d的值；进一步得到点B的坐标．【解答】解：根据题意，得，解得：．则点B的坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．【考点3 合并同类项】【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点：（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；（3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．（4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．【例3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【答案】2．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．【一领三通3-1】（2019•山东威海中考）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．3a2+a＝3a3C．a5÷a2＝a3（a≠0）D．a（a+1）＝a2+1【答案】C．【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．故选：C．【一领三通3-2】（2019•辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【答案】B．【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．【一领三通3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中．【分析】首先去括号，合并同类项，将两代数式化简，然后代入数值求解即可．【解答】解：∵（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a）＝5a2+2a+1﹣12+32a﹣8a2+3a2﹣a＝33a﹣11，∴当a＝时，原式＝33a﹣11＝33×﹣11＝0；【一领三通3-4】（2019•山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式2x2+ax﹣y+6与整式2bx2﹣3x+5y﹣1的差不含x和x2项，试求4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）的值．【分析】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．【解答】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵两个整式的差不含x和x2项，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得a＝﹣3，b＝1，4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b＝7a2﹣8a2b，当a＝﹣3，b＝1时，原式＝7a2﹣8a2b＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1＝7×9﹣8×9×1＝63﹣72＝﹣9．【考点4 整式的乘法】【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
初中数学知识点总结：代数式的相关概念
初中数学知识点总结：代数式的相关概念知识点总结【一】代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：(1)单个数字与字母也是代数式;(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;(3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
【三】整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
【四】升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
【五】代数式书写要求：1.代数式中出现的乘号通常用〝·〞表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用〝×〞号;2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序.如式子(a+b)·2·a 应写成2a(a+b);3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写;5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，那么单位直接写在式子后面;如果代数式是和或差的形式，那么必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。
六、系数与次数单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：(1)单项式的系数包括它前面的符号;(2)假设单项式的系数是"1〞或-1〝时，"1"通常省略不写，但〝-〞号不能省略。