高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式例题与探究
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版
二、内容要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
所以方程的解为x=-4或x=2.
(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.
解 : (2) 因为 |x+3|+|x-1| 表示数轴上点到 A(-3) 与 B(1) 的距离之和 , 而
A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
2 2
(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点
C(3).
变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;
解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
高中数学必修二平面直角坐标系中的基本公式
相等，则M点的坐标是（
）D
（A）(－2，0) （B）(1，0)
（C）(1.5，0) （D）(3.4，0)
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)
等距离，则M点的坐标是
. (0, 1 ) 2
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距
离相等，则x+y的值等于
.7
距离公式和中点公式的应用
（3）利用中点坐标可以求得△ABC（A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3，y3)）的重心坐标为
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2
y3
3
y
B( x 2,y 2)
A( x 1,y 1)
M(x ,y) x
O
C( x 3,y 3)
例2.13：求下列两点间距离及线 段中点的坐标
A（-1，-2），B（-4，2） P48-例2.14
P44-例2.2
知识点四：数轴上的基本公式
设AB是数轴上任意一个向量，点A的坐标为 x1，点B的坐标为x2，则AB=x2-x1。
d（A，B）=丨x2-x1丨=丨x1-x2丨，表示两点 间的距离。
P44-例2.3
知识点五：绝对值不等式
借助距离公式的几何意义来解决绝对值不等 式问题。
P44-例2.4
P48-例2.15～2.18
谢谢观赏
P45-例2.9，10， P46-例2.11
2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
知识点一：两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上 时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为A1(x1， 0中)，直A线2(yB1B，1 0和)，ABA12(相0，交x于2)，点BC2(。0B，2 yy 2)，B其(x2,y2)
2.1.1数轴上的基本公式
[正解] 当C在A、B两点之间时，
由图(1)可知|AC|＝|AB|－|BC|＝9－6＝3
当B在A、C两点之间时，由图(2)可知 |AC|＝|AB|＋|BC|＝9＋6＝15 综上可得|AC|＝3或|AC的定义与数轴上向量的定义
• 1、数轴上点的坐标 • 2、数轴上向量的坐标
求:AB、|AB|
练习： 已知A(-2), B(-5)，求:AB、|AB| 2、下列说法中正确的是（ ） A、零向量有确定的方向； B、数轴上等长的向量叫做相等的向量； C、AB=-BA D、|AB|=BA
例2、数轴上A、B两点的坐标为 x1 a b, x2 a b, 分别求AB、 BA、d ( A, B)、d(B、A).
知新益能
1．基本概念和向量的坐标或数量 (1)基本概念 ①直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正 方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了 直线坐标系 ． ____________
③记法：如果点 P 与实数 x 对应，则称点 P 的坐标 (x) ． 为x _____，记作P ______
当 点 P 的 坐标 P(x) 中 x ＞ 0 时，点 P 位于 x， 原点右侧 ， ___________ 且点 P 与原点 O 的距离 |OP|＝___ 当 点 P 的 坐标 P(x) 中 x ＜ 0 时，点 P 位于 原点左侧 ， 且点 P 与原点距离为 |OP|＝ ____. ___________ －x 既有大小又有方向 的量， ④向量： 位移是一个___________________ 位移向量 ，本书简称为向量，从点 通常叫做___________ → A 到点 B 的向量，记作 ______. AB → 线段 AB 的长 ⑤向量的长度： ______________叫做向量 AB 的 → 长度，记作 ________. |AB|
高一数学高效课堂资料2.1.1数轴上的基本公式
【补偿训练】已知数轴上有点A(-2),B(1), D(3),点C
在直线AB上,且有 AC＝1 .问:在线段DC上是否存在点
BC 2
E,使 d(C，E)＝1 ?若存在,求出点E的坐标;若不存在,
d(E，D) 4
请说明理由.
【自主总结】1.向量与线段的区别与联系
(1)向量AB 与线段AB既有联系又有区别,向量 AB 的起 点和终点分别是线段AB的两个端点,向量 AB 的长度等 于线段AB的长度,但向量 AB 的两个端点有起点、终点 的顺序之分,而线段的两个端点没有顺序,向量既有长
度又有方向,而线段只有长度没有方向.
(2)注意向量、向量的长度,线段、线段的长度的表示 的区别,向量记为AB ,向量 AB 的长度记为| AB|,线段 记为AB或BA,AB的长度记为|AB|或|BA|.
B.OB=| OB| D.BA=OA-OB
【解析】选B.由于点A在原点的右侧,点B在原点的左 侧,可知点A表示的数x1比点B表示的数x2大, 即OA=x1>0,OB=x2<0, 所以OA=|OA |=|x1|=x1, OB=x2≠| OB |=|x2|=-x2, AB=x2-x1=OB-OA,BA=x1-x2=OA-OB.所以选项B不正确.
【解析】AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b,BA=-AB=2b. d(A,B)=|x2-x1|=|-2b|=2|b|,d(B,A)=d(A,B)=2|b|.
【方法技巧】 数轴上的基本公式应用思路与方法
(1)已知向量 AB，BC，AC 中的两个的坐标,求另外一个 的坐标时,使用AC=AB+BC求解.
平面直角坐标系中的基本公式--原创
二. 坐标法
1 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是
直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过
一步步地计算来解决问题的方法.
2 用坐标法证题的步骤: （1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系 （直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标； （3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标， 进而推导结论.
三. 中点坐标公式 （3）利用中点坐标可以求得△ABC
（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）的
重心坐标为
x1 x2 x3 x 3 y y1 y2 y3 3
y B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1) M(x,y) O C(x 3,y 3) x
变式：上式改为已知平行四边形的三个顶点的坐标 分别为A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)， 求第四个顶点D的坐标。0,4 , 6, 4 , 10,0
例5． 已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上， ∠ACB=90°，则满足条件的点C的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB=90°，得 |AB|2=|AC|2+|BC|2， ∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
二. 坐标法
例3．已知□ABCD，求证AC2+BD2=2(AB2+AD2).
D(b-a,c) C(b,c) 证明：取A为坐标原点，AB所在 的直线为x轴，建立平面直角坐 x O A 标系xOy， B(a,0) 依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为 y
A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，D(b－a，c)， 所以 AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2，AC2=b2+c2， BD2=(b－2a)2+c2， AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab=2(2a2+b2+c2－2ab)， AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab， 所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
推荐高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式知识导
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式知识梳理1.数轴上的基本公式(1)数轴上任意三点A 、B 、C ，则AB+BC=AC ；(2)数轴上任一个向量，设OB=x 2，OA=x 1，则AB=x 2-x 1；(3)已知数轴上两点A 、B,OB=x 2，OA=x 1，则两点A 、B 的距离公式:d(A,B)=|x 2-x 1|.2.平面直角坐标系中的基本公式(1)平面直角坐标系上两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的距离公式:d(A,B)=212212)()(y y x x -+-；(2)中点公式:两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)的中点M(x ，y),则x=2,22121y y y x x +=+. 知识导学学习数轴上的基本公式要先复习数轴的定义和性质以及与数轴相关的概念,如绝对值、相反数等.学习本节后AB 不再表示线段，而是表示(位移)向量，它的值可正也可负，还可以是0,它不但有长度,而且还有方向.初学数轴上和平面直角坐标系中的基本公式时，一定要先画好数轴和平面直角坐标系，用数形结合的方法理解和掌握基本公式，要动手推导公式,在理解的基础上记忆,不要死记硬背. 疑难突破1.引入数轴上向量的概念有何意义？剖析:教材引入数轴上向量的概念是为了正确地理解基本公式的推导和方程的概念，并为学习解析几何、三角函数和平面向量等后续数学内容打下基础.教材中用AB 表示向量的坐标或数量，用|AB|表示向量的长度，学习中要正确识别这些符号.2.向量AB 和向量BA.剖析:实际上，数轴上的(位移)向量AB 由两部分构成，一是方向，二是长度.与数轴的正方向一致时，它的方向用“+”表示(可以省略不写).当它与数轴的负方向一致时，它的方向用“-”表示.由于AB 表示的是向量，所以AB 和BA 是两个不同的向量，二者不相等.(实)数轴上的向量AB 与实数的构成有非常相似的地方，一个实数由两部分构成,一是(性质)符号;二是绝对值.类比实数的构成可以较容易地理解向量地意义.如图2-1-1所示，在数轴上把向量AB 和向量BA 画出方向，更直观地看到它们确实不相等.图2-1-(1,2)-13.如何表示数轴上两点的相对位置？剖析:数轴上两个点A和B的相对位置，用它们的(位移)向量来表示，即如果AB是负的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的负方向，则点A在点B的右方；如果AB是正的，则表示从点A指向点B的方向为数轴的正方向，则点A在点B的左方.数轴上两点的相对位置主要有两个方面，一是方向，谁在左，谁在右;二是距离，即两个点距离多远.将这两个方面回答清楚了，数轴上两个点的相对位置也就清楚了.4.利用中点坐标公式能解决哪些问题？剖析:中点公式及其变形式在实际解题中应用很广泛，所有涉及中点、三等分点及n等分点的问题都可以据此来求.中点坐标公式的作用很大.在角平分线、点关于点的对称点、点关于线的对称点、直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线等对称问题中都有中点出现，物理中的影像问题也有中点出现.5.探索平面上两点间距离公式时需要注意什么？剖析:平面上两点间距离公式的探索，应该从在数轴上的两点或连线平行轴的两点入手，然后注意研究怎样把两点连线(不平行轴的情况)向上面的简单情况转化.探索中要注意观察或构造直角三角形，以便应用勾股定理.。
2.1.1数轴上的基本公式教案教师版
§2.1 平面直角坐标系中的基本公式2．1.1 数轴上的基本公式【学习要求】1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．2．掌握数轴上两点间的距离公式．3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．4．理解向量相等及零向量的概念．【学法指导】通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.填一填：知识要点、记下疑难点1．数轴：一条给出了 原点 、 度量单位 和 正方向 的直线．2．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为 x ，记作 P(x) ．3．向量：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做 位移向量 ，简称为 向量 ，从点A 到点B 的向量，记作AB →.线段AB 的长叫做向量AB →的 长度 ，记作 |AB →| .4．相等的向量：数轴上同向且 等长 的向量叫做相等的向量．5．向量的坐标或数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的 坐标或数量 ，用AB 表示．若O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝OB －OA ，所以AB ＝x 2－x 1.6．数轴上两点AB 间的距离公式为：d(A ，B)＝ |x 2－x 1| .研一研：问题探究、课堂更高效探究点一 直线坐标系问题1 数轴是怎样定义的？答：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．问题2 实数集与数轴上的点有怎样的关系？答：实数集与数轴上的点存在着一一对应的关系．例1 (1)如果点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x 的取值范围；(2)试确定点A(x 2＋x ＋1)与B ⎝⎛⎭⎫34的位置关系．解: (1)由题意可得，点M(－2)位于点N(3)的左侧， 而P 点位于两点之间，应满足－2<x<3.(2)∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34， ∴当x ＝－12时，A 、B 两点重合； 当x ≠－12时，x 2＋x ＋1>34，∴A 点位于B 点右侧． 综上所述，A 、B 两点重合，或A 点位于B 点右侧． 小结: 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．跟踪训练1 不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系(主要说明哪一个点位于另一个点的右侧)：(1)A(－1.5)，B(－3)； (2)A(a)，B(a 2＋1)； (3)A(|x|)，B(x)．解: (1)∵－1.5>－3， ∴A(－1.5)位于B(－3)的右侧．(2)∵a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34>0， ∴a 2＋1>a ，∴B(a 2＋1)位于A(a)的右侧． (3)当x ≥0时，|x|＝x ， 则A(|x|)和B(x)为同一个点． 当x<0时，|x|>x ，则A(|x|)位于B(x)的右侧．探究点二 数轴上的向量问题1 阅读教材65页～66页，回答什么是向量？如何表示？答:如果数轴上的任意一点A 沿着轴的正向或负向移动到另一点B ，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量，从点A 到点B 的向量，记作AB →.问题2 什么是向量的坐标或数量？答:我们可用实数表示数轴上的一个向量AB →，这个实数叫做向量AB →的坐标或数量．问题3 如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，那么实数与数轴上的向量有什么关系？答: 它们之间是一一对应的．问题4 位移AB →与位移BC →的和是怎样定义的？答: 在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC →叫做位移AB →与位移BC →的和．记作AC →＝AB →＋BC →.问题5 对数轴上任意三点A ，B ，C 都具有什么关系？答: AC ＝AB ＋BC.问题6 设AB →是数轴上的任意一个向量，O 为原点，A(x 1)，B(x 2)，那么AB 如何用x 1，x 2表示？答: AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1.问题7 数轴上两点AB 的距离公式是怎样的？答: d(A ，B)＝ |AB|＝|x 1－x 2|.例2 已知A 、B 、C 是数轴上任意三点． (1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ； (2)证明：AC ＋CB ＝AB.(1)解: ∵AC ＝AB ＋BC ， ∴AC ＝AB －CB ＝5－3＝2.(2)证明 设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x A 、x B 、x C ，则AC ＋CB ＝(x C －x A )＋(x B －x C )＝x B －x A ＝AB. ∴AC ＋CB ＝AB.小结: 本题的关键是结合条件联想到AC →可用AB →、BC →两个首尾相连的向量来表示，再运用相反向量的定义将之转化为已知条件，从而解决问题．跟踪训练2 已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为x 1＝a ＋b ，x 2＝a －b ，求AB 、BA.解:∵A 点的坐标是x 1＝a ＋b ， B 点的坐标是x 2＝a －b ，∴AB ＝x 2－x 1＝(a －b)－(a ＋b)＝－2b ， BA ＝x 1－x 2＝(a ＋b)－(a －b)＝2b.例3 已知数轴上两点A(a)，B(5)．求：当a 为何值时，(1)两点间距离为5? (2)两点间距离大于5? (3)两点间距离小于3?解: 数轴上两点A 、B 之间的距离为|AB|＝|a －5|.(1)根据题意得|a －5|＝5， 可解得a ＝0或a ＝10.(2)根据题意得|a －5|>5， 即a －5>5或a －5<－5， ∴a>10或a<0.(3)根据题意得|a －5|<3， 即－3<a －5<3， ∴2<a<8.小结: 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离．跟踪训练3 已知M 、N 、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP|＝3，求d(M ，P)．解: ∵M 、N 、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3，∴(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2.(2)当点P 在点M 、N 之外时(如图所示)，d(M ，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8.综上所述，d(M ，P)＝2或d(M ，P)＝8.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点C 位于点D 的右侧 ( A )A ．C(－3)和D(－4)B ．C(3)和D(4)C ．C(－4)和D(3)D ．C(－4)和D(－3)2．下列说法正确的个数有 ( )①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等于向量的长度；③向量AB →与向量BA →的长度一样；④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①③④是正确的，故选C.课堂小结：1．相等的向量的起点与终点并不一定一致，可以通过平移将所有相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，如果把相等的所有向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①对于数轴上任意三点A ，B ，C 都有AC ＝AB ＋BC ；②AB＝－BA 或AB ＋BA ＝0.3．向量与数量的区别与联系向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．4．数轴上的向量的坐标计算公式：AB ＝x B －x A ；数轴上两点的距离公式d(A ，B)＝|AB|＝|x B －x A |.。
高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_____________，|AB|=_____________.思路解析：由于AB是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB的长度，因此一定要求向量AB的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点M(2，2)平分线段AB，且A(x，3)、B(3，y)，则x=_____________,y=_____________.思路解析：“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M是线段AB的中点，故可以用中点坐标x y33公式把题意转化为方程组进行求解.∵点M(2，2)平分线段AB，∴2,2，解得2 2x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x轴上求一点P，使点P与点A的距离等于13，则满足条件的点为___________________.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P的坐标为(x，0)，根据题意，得(5x)2(120)2=13，解得x=0，x2=10.1答案:(0,0)或(10,0)4.已知△ABC的三个顶点的坐标为A( 3，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_______________.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长.∵|AB|=(30)2(21)2=2,|AC|= (30)2(23)2=2,|BC|= (00)2(13)2=2,∴△ABC为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_____________.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考1图2-1-(1,2)-710.如图2-1-(1,2)-7，等边△ABC的顶点A的坐标为(3，0)，B、C在y轴上，(1)写出B、C两点的坐标；(2)求△ABC的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B和C的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，∵△ABC为等边三角形，|AO|= 3,∴|OC|=1,|OB|=1,即B、C两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,∴△ABC的周长为6,面积为12×2×3= 3.我综合我发展11.|x+2|+|x-3|≤a恒成立，则a的取值是________________.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=5.答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9答案：413.函数y= x22x2x24x13的最小值为______________，此时相应的x值为______________.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值.y= x22x2x24x13(x1)2(01)2(x2)2(03)2,在x轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x轴的对称点C(1，-1)，则线段BC的长度为所求最小值，即y min=|BC|= (12)2(13)217，线段BC与x轴的交点即为所求的x值.直线BC的函数关系式为y=4x-5,它与x轴的交点为( 54，0)，∴x=5 4 .答案：175 414.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC=90°，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，|BO|=4，且∠BOC=60°.求:(1)A、B、C、D各点的坐标；(2)梯形ABCD的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B、C、D的坐标并不困难，难点在于求点A的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A作AE垂直BC于E，然后用方程的思想求出线段AD的长.解：(1)如图所示，过点A作AE⊥BC于E，图2-1-(1,2)-11设点A的纵坐标为y，根据题意，得A(0,y).∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°.又∵|BO|=4，且∠BOC=60°，∴|OC|=2，|BC|=23.∴点C的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2,23).又∵O为线段DC的中点，∴|DO|=2.∴点D的坐标为(-2,0).∴|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y，|BE|=|BC|-|EC|=23-y.∵|AB|=|DA|+|CB|=y+ 2 3 ,又∵∠BCD=90°,∴AB 2=AE 2+BE 2,2 即(y+23 )2=42+(2 3 -y)2.解得 y= 332∴点 A 的坐标为(-2， 3 ).3，(2)S 梯形 ABCD = 1 2 2 ×( 3 3 16 +2 3 )×4= 33 . 2 综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2, 33 );(2) 16 33 . 15.已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为 A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标；(2)△ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点 C 的坐标，再根据面积 公式求出△ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点 C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图 2-1-(1,2)-12∵△ABC 为等边三角形， ∴ (4 (2 x ) 2 x )2 y 2y 26, 6.x 1 解得 y11x, 2 23 3, y1, 3(2)S△ABC= 12×6×33=93.综上，(1)C(-1, 33)或C(-1,-33);(2)93.5。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
2.1平面直角坐标系的基本公式
【问题导思】
1．在物理中，力、速度、加速度、位移等有何共同特征？ 【提示】 它们都是既有大小又有方向的量．
→ 表示， 2．一名同学从 A 地沿直线跑到 B 地，用AB 你能用这种方法表示该同学从 B 地反回 A 地吗？它们相 等吗？
3.注意公式的推导过程中学生的参与，变被动听为主动探究。
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2．1 平面直角坐标系中的基本公式
一、教学目标 （一）知识与技能目标 (1)理解实数与数轴上点的一一对应关系及实数运算在数轴 上的几何意义． (2)理解向量及其相等的概念，掌握数轴上向量加法的坐标 运算及数轴上两点间的距离公式．
数学[RB· 必修2]
数学抽象，逻辑推理，直观想象， 数学运算等
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三、重点、难点
重点：理解和掌握数轴上 基本公式及平面上两点间的 距离公式和中点坐标公式 难点：两点间距离公式的推导 突破措施： 1、以数轴的知识为基础，明确数轴的一点所表示 的实数就是这点在数轴上的坐标，容易得出数轴基本公式 2.平面上两点间的距离公式，应从数轴上的两点或连线与数 轴平行的两点入手，然后注意研究怎样把两点连线（不平行 轴的情况）向上边的简单情况转化，构造直角三角形，以便 应用勾股定理。 3、线段中点公式的探索同样注意向数轴上转化。
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数学[RB· 必修2]
y D (b-a, c) C (b, c)
A(0,0)
B(a,0)
x
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2.1.1数轴上的基本公式
关于普通高中数学教材《人教社B版（必修2）--2.1平面直角坐标系中的基本公式》一节的修订意见一、修订范围：2.1.1数轴上的基本公式（教材P65--P68）二、具体修订意见（一）教材第65页（P65）1.第1行--第3行，合理保留。
2.第4行--第6行，建议修改，意见如下：原文：我们知道，一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系（图2-1）修订建议：我们知道，一条给出了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系（图2-1）修订理由：与初中保持一致符合学生的认知程度。
3.第7行合理保留。
4. 第8行--第14行，建议修改，意见如下：原文：在数轴上，点P与实数x的对应法则是：如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离；如果点P在原点朝负向的一侧, 则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离；原点表示数0.依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应.修订建议：在数轴上，点P与实数x的对应法则是：如果点P在原点朝正向的一侧，则x为正数，且等于点P到原点的距离；如果点P在原点朝负向的一侧, 则x为负数，其绝对值等于点P到原点的距离；原点表示数0，点P到原点的距离为0，依据这个法则我们就在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.即对于数轴上每一个点都有唯一确定的实数与之对应；反之，对于任何一个实数，数轴上也存在一个确定的点与之对应.修订理由：更符合前后逻辑。
5. 第15行--第21行，合理保留。
（二）教材第66页（P66）1.第1行—第2行，合理保留。
2.第3行—第4行，建议修改，意见如下：原文：从点A到点B的向量，记作AB.点A叫做向量AB的起点，点B叫做向量AB的终点，线段AB的长叫做AB的长度，记作AB.修订意见：从点A到点B的向量，记作AB.点A叫做向量AB的起点，点B叫做向量AB的终点，线段AB的长叫做AB的长度或模，记作AB.修订理由:修改后语言更加严密、准确3.第5行—第17行，合理保留。
2.1.1数轴上的基本公式
记作： AC=AB+BC
对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系
AC=AB+BC
你会么？
C
A
B
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
例：如图，已知AB=2, BC= -4，则
AC= AB+BC=2+( - 4)= - 2
AB= AC+CB=-2+4= 2
BC= BA+AC=-2+(-2)=-4
五、数轴上两点的距离
第二章 平面解析几何初步
用数字或其符号来
确定一个点或一个 物体位置的方法叫 坐标方法。相关的 符号和数称为点的 坐标。
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
问题：什么叫做数轴?在数轴上， 点P与实数x的对应法则是什么 呢？
(P)
P
-3 -2 -1 0 1 2 3
一、给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做 数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系
1
A
-2
-1
-1
-2
B
1 2 3 x | AB |=| x 2 - x1 |
一.O,A两点间距离公式d(O,A)
|x|
y
A(x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OA |= x 2 + y 2
数形结合
二.两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
求证△ABC是等腰三角形
证明：
d(A,B)= 8
d(A,C)= 20
d(B,C)= 20
又A,B,C不共线 所以△ABC是等腰三角形
2.1.1 数轴上的基本公式
3、情感目标：让学生充分感受数学的美；增加对学习 解析几何的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲.
初中，我们已经接触过了数轴和平面直角坐标系，我们知 道数轴上的点和所有的实数之间建立了一一对应的关系， 如下图的数轴：
-2
3
你能找出实数3所代表的点的位置吗？-2所代表的点的位 置呢？
这一节我们将对此问题进行深入研究，来学习——数轴上
（C）10
（D）－10
3．如图所示，设 AB 是x轴上的一个向量，O是原点，则
下列各式中不成立的是（
（A）OA= | OA|
B
| OB |
）
（B）OB=
（C）AB=OB－OA
（D）BA=OA－OB
4．（1）在数轴上已知点B的坐标为3，AB=4，则点
A的坐标为 －1
为 为
第二章
平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
1、知识目标：
（1）理解直线坐标系； （2）理解位移向量及其坐标；
（3）会证明AC＝AB＋BC，了解其几何意义和代数意义.
2、能力目标： （1）培养学生从特殊到一般的分析解决问题的能力; （2）提高学生接受新事物的能力.
如图，A的坐标为-2,B的坐标为2,则AB＝2-（-2）＝4, BA＝-2-2=-4 同理，B的坐标为2,C的坐标为-3,则BC＝-3-2＝-5
探究7
向量的坐标与向量长度之间具有怎样的关系？ 解答：向量坐标的绝对值等于向量的长度. ＡＢ＝４ Ｃ -３ Ａ -2 -1 O 1 ＢＡ＝ー４ ｜ＡＢ｜＝４ Ｂ 2 3 x
不要老叹息过去，它是不会再回来的，
要明智地改善现在。要以不忧不惧的
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
辽宁省大连市高中数学 21平面直角坐标系中的基本公式
2.1平面直角坐标系中的基本公式一．学习要点：平面直角坐标系中的几个基本公式及其简单应用 二．学习过程：一．数轴上的基本公式 （一）基本概念：1、直线坐标系 ：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴．．，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．．．．．。
（1）实数集和数轴上的点集建立了一一对应关系；（2）如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作()P x 。
例如：数轴x 上的点M 的坐标为3，记作()3M ，点N 的坐标为2-，记作()2N -。
2、向量（位移向量）：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移．．向量，简称向量。
从点A 到点B 的向量，记作AB u u u r ，点B 叫做向量AB u u u r 的终点，线段AB 的长叫做向量ABu u u r 的长度，记作AB u u u r。
3、数轴上的向量AB u u u r 的坐标（数量）：向量AB u u u r 的长度及表示方向的符号。
即AB u u u r的坐标是一个实数，实数的绝对值是为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与轴同向，则这个实数取正数，反之取负数。
用AB 表示AB u u u r的坐标。
例如：3AB =，3BA =-。
4、相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。
相等的向量的坐标相等，反之亦然。
5、相反向量：等长且反向的向量。
AB BA =-u u u r u u u r，其坐标互为相反数。
6、零向量：起点和终点重合的向量，它没有确定的方向，它的坐标为0。
7、数轴上任意三点,,A B C 都具有关系：（1）AC AB BC =+；（2）AB BA =-或0AB BA +=。
例如：4,5AB BC ==-，()451AC AB BC =+=+-=-；154AB AC CB =+=-+=； ()415BC BA AC =+=-+-=-。
8、数轴上向量的坐标公式：设点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x 则：21AB x x =-。
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2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
典题精讲
例1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，求线段AB中点的坐标.
思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.
解：设AB中点为O′(x)，∵O′(x)是AB的中点，
∴AO′=O′B.
又∵A(x1)、B(x2)，
∴AO′=x-x1，O′B=x2-x.
由x-x1=x2-x得x=，
∴中点坐标为O′（).
绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x1)、
B(x2)，则线段AB中点O′的坐标为().
变式训练1已知数轴上的两点A(x1)、B(x2)，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，求点C的坐标.
解:根据中点坐标公式，由题意知C(),
则D(),即D().
例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.
(1)d(x，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.
思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.
解：如图:
图2-1-(1,2)-2
B(1)、A(2)、C(3)、D(4).
(1)d(x，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，
∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).
(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，
∴|x-2|＞1表示射线BO和射线CD(不包括顶点).
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，
∴|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).
绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，
从而体会数形结合的思想.
变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.
思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到
点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.
答案:1
例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A，B).
思路分析:直接代入两点间距离公式即可.
解：∵ｘ1=-2，x2=2，
∴Δx=x2-x1=2-(-2)=4.
又∵ｙ1=3，y2=-4，
∴Δy=y2-y1=(-4)-3=-7.
∵d(A，B)=
∴d(A，B)=.
答：d(A，B)=.
黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=.
变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x轴上的点M与B的距离等于点A、B之间的距离，求点M的坐标.
解：∵点M在x轴上，∴设M(a，0)，则|a-4|==5.
解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).
例 4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.
思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二).
证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD的长为a、宽为b，
图2-1-(1,2)-3
则A(0，b)、B(0，0)、C(a，0)、D(a，b)，
设M(x，y)，
∴AM2+CM2
=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］
=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.
又∵BM2+DM2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］
=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2，
∴AM2+CM2=BM2+DM2.
证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，
图2-1-(1,2)-4
设A(a，b)、B(-a，b)、C(-a，-b)、D(a，-b)、M(x，y)，
则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2
=2(x2+y2+a2+b2)，
|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2
=2(x2+y2+a2+b2),
∴AM2+CM2=BM2+DM2.
绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程
的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.
变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC为直角三角形.
证明：∵AB=,
AC=，
BC=
显然有AB2+AC2=BC2.
∴△ABC为直角三角形.
变式训练 5
如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:
图2-1-(1,2)-5
(1)A、B、C三点的坐标；
(2)梯形ABCO的面积S.
解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A、B作AE⊥ｘ轴，BF⊥ｘ轴，∵AO=4，∠AOC=60°，
∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°＝,
|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.
∴A(2，)、B(4，)、C(6，0).
(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=，
∴S=(2+6)×=.
问题探究
问题在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?
导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.
探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。