例1 在二项式 的展开式中前三项的系数成等差数列,求展开 …
二项式定理中常考的几种题型
二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。
高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案
二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r所表示的规律叫做二项式定理．2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．(2)各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．(3)展开式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，记作：T r＋1，它表示展开式的第r＋1项．(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋C1n x＋C2n x2＋…＋C r n x r＋…＋C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数：共有n＋1项；(2)二项式系数：依次为C0n，C1n，C2n，…，C r n，…，C n n；(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；(4)通项是第r＋1项．[例1](1)用二项式定理展开(2x－32x2)5.(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)r C r n(x＋1)n－r＋…＋(－1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[答案](1)(2x－32x2)5＝C05(2x)5＋C15(2x)4·(－32x2)＋…＋C55(－32x2)5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C r n(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C n n(－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．求(3x＋1x)4的展开式．解：法一：(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)(1x)3＋C44(1x)4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：(3x ＋1x)4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 2．求C 26＋9C 36＋92C 46＋93C 56＋94C 66的值．解：原式＝192(92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66) ＝192(C 06＋91C 16＋92C 26＋93C 36＋94C 46＋95C 56＋96C 66)－192(C 06＋91C 16) ＝192(1＋9)6－192(1＋6×9)＝192(106－55)＝12 345. [例2] (1)(x ＋12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D ．105(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________． [答案] (1)二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r (12 x)r ＝C r 8(12)r x 4－r. 当4－r ＝0时，r ＝4，所以展开式中的常数项为 C 48(12)4＝358.故选B. (2)由题意得T r ＋1＝C r 6x6－r (－a x)r ＝(－a )r C r 6x 36-2r， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46.又∵B ＝4A ，∴(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a 2＝4.又∵a >0，∴a ＝2. 3．在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )4．A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：二项式(2x 2－1x )5的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r ×(－1)r x 10－3r .当r ＝3时含有x ，其系数为C 35·22×(－1)3＝－40.4．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝ ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35＝C 6n·36，即n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)5！ ＝3×n (n －1)(n －2)(n －3)(n －4)(n －5)6！(n ≥6)，解得n ＝7.5．在(32x －12)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：T r ＋1＝C r 20(32x )20－r (－12)r ＝(－22)r ·(32)20－r C r 20·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r与20r 32-均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除． 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20， ∴r ＝2,8,14,20.引入：nb)＋(a 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C n n ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n －mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为Sn ，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[答案] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274.n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an ＝2n －1.答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！.解得n ＝34. [例2] 设)(2x )－(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值． (2)求2011531a a a a ++++ 的值． (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．[答案] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2 012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r，∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012 ＝32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A ．12+n B ．12-n C ．121-+nD ．221-+n解析：令x ＝1，则222222132-=+++++n n答案：D4．已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解：(1)令x ＝1，则1413210a a a a a +++++ ＝72＝128. ①(2)令x ＝－1，则14133210a a a a a a +-+-+- ＝7)2(-＝－128.②①－②得2(13531a a a a ++++ )＝256，∴13531a a a a ++++ ＝128.[例3] (10分)已知(23x＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[答案] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n 2n ＝2n＝32，n ＝5. (2分)(1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分) ∴T 3＝C 25(23x)3(3x 2)2＝90x 6，(4分) T 4＝C 35(23x)2(3x 2)3＝270223x.(5分)(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(23x)5－k (3x 2)k ＝3k C k51043k x+，(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， (8分)即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(23x)(3x 2)4＝405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．变式训练5．若(x 3＋1x 2)n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( )A ．210B ．120C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x3(10－r )(1x2)r ＝C r 10x 30－5r . ∴30－5r ＝0.∴r ＝6.常数项为C 610＝210. 答案：A 5．已知()nx 31+的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121， 即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n＋n(n－1)2＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)7＝C71537x7，T9＝C815(3x)8＝C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是（）A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是（）A.84B. -84C.126D. -1263.设，则=（）A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，则a2的值为（）A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中，含x4 的项的系数是（）A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.－1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x-2项的系数为（）A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= （）A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M-N=240 ，则n ＝________.17.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ，f(x) 是以T 为周期的偶函数，且当时，f(x)=x ，若在区间[-1,3] 内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ，有，则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:（1）求展开式中含x3项的系数；（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.23.已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中系数最大的项．24.已知，且．（1）求n的值；（2）求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m和n的值；（2）求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A．【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3，解得r=3，∴展开式中x3的系数是（−1）3• ,故答案为B．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：，故选D．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为，所以，故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，二项式的展开式通项为：，令，得，则的项的系数为：.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知，展开式中最后一项含x4，其系数为1，令x=1得，此二项展开式的各项系数和为，故不含x4项的系数和为1-1=0，故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4，即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9( ×98－×97＋…＋)－2.∴ ×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为，令，求得r=8，故该二项式展开式中项的系数为，故选：A．【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是，∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项，当5-2r=3 时，r=1，系数，解得a=2，答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知：，解得：，所以答案应填：4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，，解得：,所以的展开式中常数项为：所以答案应填：40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意：,解得：，所以，展开式中的系数为，所以答案应填：39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两个周期∴区间[-1，3]内，函数有4个零点可转化为f（x）与有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有解得，故填：．【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开三、解答题21.【答案】【解答】解：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.22.【答案】（1）【解答】解：展开式第r+1项:令，解得r=2，∴展开式中含x3项的系数为（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．23.【答案】（1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.又展开式中二项式系数和为2n，∴22n－2n＝992，n＝5∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C52 ( )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53 ( )2(3x2)3＝（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C5r ( )5－r(3x2)r＝3r C5r，∴ ,则，∴r＝4，即展开式中第5项系数最大，T5＝C54 ( )(3x2)4＝405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用进行求解即可.24.【答案】（1）【解答】解：由已知得：，由于, 所以（2）【解答】解：当x=1时，当x=0时，所以，【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式中n的取值应满足：且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求，所以首先令x=1,得；然后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得，从而得结果25.【答案】（1）【解答】解：由题意,，则n=5，由通项公式，则r=3，所以，所以m=2（2）【解答】解：=，所以展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为：，令易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求展开式中求特定项（含x2项）的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘，一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为（）A.5B.16C.80D.2.在的展开式中，含的项的系数是（）A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.或4.设，那么的值为（）A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为（）A. B. C. D.6.的展开式中，的系数为（）A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为（）A. B. C. D.8.的展开式中，各项系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是________.10.在的展开式中，项的系数为________．（结果用数值表示）11.二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有________项．三、解答题12.已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．13.已知二项式.（1）若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为，则当时，其展开式中的的系数为.故答案为：C．【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为，令，则，则含的项的系数为.故答案为：D．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令，可得各项系数的之和为，则，解得，中间一项的系数最大，则，故答案为：A.【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时，；时，，∴ ，，∴ ，故答案为：B.【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ，故展开式中含项的系数为．故答案为：A.【分析】把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】，系数为.故答案为：C．【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2，即可求出对应的系数．7.【答案】B【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】因为，常数项为，中常数项为，故展开式中常数项为，故答案为：B.【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得，所以，所以.展开式的通项为，令可得，常数项为，故答案为：B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解得. 的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】，令，得，，的展开式的通项为，则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．11.【答案】3【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列，即，化简可得，解得n=8，或n=1（舍去）．二项式的展开式的通项公式为，为整数，可得r=0，4，8，故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．12.【答案】（1）解：的展开式的通项为= ，又第6项为常数项，则当r=5时，，即=0，可得n=10.（2）解：由（1）可得，，令，可得r=2，所以含x2项的系数为（3）解：由（1）可得，，若T r+1为有理项，则，且0≤r≤10，所以r=2，5，8，则展开式中的有理项分别为，，【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．13.【答案】（1）解：，通项为.①二项式系数最大的项为第项，.② ，则展开式中系数最大的项为第项，（2）解：，转化为被除的余数，，即余数为【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．14.【答案】（1）解：由题意得，解得．通项为，令，得，于是系数为（2）解：设第项系数的绝对值最大，则解得，于是只能为6，所以系数绝对值最大的项为（3）解：原式【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，（3）利用二项式定理求得结果．。
高中数学完整讲义——二项式定理3.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
1思维的发掘 能力的飞跃1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容赋值求某些项系数的和与差2 思维的发掘 能力的飞跃数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，3思维的发掘 能力的飞跃()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1()n x x+典例分析4 思维的发掘 能力的飞跃【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152【例4】 若展开式的各项系数之和为，则_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 ，则______．【例6】 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 的展开式中的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若，则的值为_____（用数字作答）．231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭32n =6260126(1)x a a x a x a x -=++++L 0a +126a a a +++=L 42nx x 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+5思维的发掘 能力的飞跃【例9】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A ．B ．150C ．D ．500【例10】 若展开式的二项式系数之和等于，则第三项是 ．【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑴求展开式的常数项；⑴求展开式的各项系数的和．(5nx xM N 240M N -=3x 150-500-n x )2(+641nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭332nx x6 思维的发掘 能力的飞跃【例13】 若，求的值．【例14】 若，则 ．【例15】 若，则的值为_____（用数字作答）．【例16】 若，则_____．【例17】 已知，求．()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L 201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L 423401234(23)x a a x a x a x a x =++++2202413()()a a a a a ++-+52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++12345a a a a a ++++=7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017||||||a a a +++L7思维的发掘 能力的飞跃【例18】 若，求的值．【例19】 若，则的值为（ ）．A ．B ．C ．D ．【例20】 若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例21】 已知，求：⑴ ；⑴ ； ⑴ ．【例22】 若，求的值．()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++0246a a a a +++423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++2202413()()a a a a a ++-+11-021002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L 13599a a a a ++++=L 1001(31)2-1001(31)2+1001(51)2-1001(51)2+()77012712x a a x a x a x -=++++L 1237a a a a ++++L 1357a a a a +++0246a a a a +++()10023100012310023xa a x a x a x a x =+++++L ()()22024********a a a a a a a a ++++-++++L L8 思维的发掘 能力的飞跃【例23】 若，则________．（用数字作答）【例24】 若，则 ．【例25】 若，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例26】 已知．⑴当时，求的值；⑴设． 试用数学归纳法证明：当时，．55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++12345a a a a a ++++=201(1)(1)(1)(1)(1)n nn x x x a a x a x ++++++=+-+-L L 01n a a a ++=L ()2009200901200912x a a x a x -=+++L 20091222009222a a a +++L 021-2-23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N L ≥5n =012345a a a a a a +++++22343,2n n n n ab T b b b b -==++++L 2n ≥(1)(1)3n n n n T +-=9思维的发掘 能力的飞跃【例27】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：； ⑴对于整数，求证：．⑶对于整数，求证①；②．【例28】 证明：．【例29】 证明：．【例30】 求证：2cos 22cos 1()x x x =-∈R 2(cos2)(2cos 1)x x ''=-(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-sin22sin cos x x x =012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x x x --+=+++⋅⋅⋅++x ∈R 2n ≥112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑3n ≥1(1)C 0nk kn k k =-=∑3n ≥21(1)C 0nkknk k =-=∑10121C 11n nkn k k n +=-=++∑220C (1)2nk n n k k n n -==+∑n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅L10思维的发掘 能力的飞跃【例31】 求的二项展开式．【例32】 设，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【例33】 设，求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5432()5101051f x x x x x x =-+-++1()f x -51x +512x --512x +-51x -2a i =+11212121212121A C a C a C a =-+-+L高中数学讲义 11 思维的发掘 能力的飞跃【例34】 已知数列（）满足： 求证：对于任意正整数， 是一次多项式或零次多项式．【例35】 若，则等于（ ） A ． B ．C ．D ．0123a a a a L ，，，，00≠a 112(123)i i i a a a i -++==L ，，，n 01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+L 0()C n i i n i f m m ==∑22log (3)log (1)f f 21213。
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题--典型例题一（1 <例1在二项式Jx十一^ 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有< 2仮丿理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r =0,1,2.1 1 12 1 1得系数为：t1=1, t2= C n— = — n,t3 = C n— = —n(n -1),2 2 4 81 由已知：2t^t1t3n=1 n(n—1),8n = 8通项公式为1 16 J3rT r^c8-r x^r =0,1,2…8,T r 1为有理项，故16-3r是4的倍数, 2r••• r =0,4,8.依次得到有理项为「=X4,T5二c8■丄x二色乂忑二c81x‘1X2.248 28256 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类100似地，C.2 3）的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.典型例题四例4 （1 ）求（1 -X）3（1 - x）10展开式中X5的系数；（2）求（X - 2）6展开式中的常X数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式.3 10 5解：（1）（1-X）（1 X）展开式中的X可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项:3彳门庄55用(1 -X )展开式中的常数项乘以 (1 X )展开式中的 X 5项，可以得到 C io X ;用(1-X )3展开式中的一次项乘以(1 - X )10展开式中的X 4项可得到(-3x)(C ：o x 4) =-3C ：0X 5；43 2(C10~C 10'3C10 —'Golx63x、.x17x1 展开式的通项公式X的常数项为C ；2二924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决•这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五26c例5求(1 • x -X )展开式中X 5的系数. 分析：(1，x-x 2)6不是二项式，我们可以通过 1 • X - X 2=(1 • x) -X 2或1・(x-x 2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1 X _x 2)6 =(1 . x) _x 2f6 5 2 4 4=(1 x ) -6(1 x) x 15(1 x) x -其中含 X 5 的项为 c 6x 5 -6C ；X 5 15C ；X 5 =6x 5. 含x 5项的系数为6.方法二：(1 x -x 2)6 = 1(X -X 2)F=1 6(x-x 2) 15(x -X 2)220(x -X 2)315(x -X 2)46(x-x 2)5(x-x 2)65 5 555用(1 —x)3中的X 2乘以(1 X )10展开式中的X 3可得到 3X 2C ；o X 3=3C ；o X 5；用(1 - X )3中的3102X 项乘以(1 X )展开式中的X 项可得到—3x C 10X = -C 10X ，合并同类项得5X 项为:12由T r 1 二C ；2(、2)12二C ；2X 6_C ，可得展开式其中含x 的项为20(-3)x ，15(-4)x 6x = 6x .5 二x 项的系数为6.方法3 :本题还可通过把（1 • x - X 2）6看成6个1 • x - X 2相乘，每个因式各取一项相乘 可得到乘积的一项，x 5项可由下列几种可能得到.5个因式中取x , —个取1得到C 6x 5 .3个因式中取x , 一个取—x 2，两个取1得到C 6 C ；x 3 ・（-x 2）. 1个因式中取x ,两个取—x 2，三个取1得到C ； C ；x （-x 2）2 . 合并同类项为（C ； -c l c ； • C ；C ；）X 5 =6x 5, x 5项的系数为6.典型例题六例 6 求证：（1） C 「2C 2zr nV = 2心； （2）c n 〔c ；1c ：1（2n 1-1）.23n +1 n +1分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质c n - Cn -c n - c n =2n .•••左边=n C 0」+ nC ；_1+…+n-n (C n J ' C^^ '，Cnj.) = n，2=右边.丄 cn=——=—n!— k 1 k 1 k!(n -k)! (k -1)!(n - k)!1 (n 1)!1 (1)C n 1 n 1 (k 1)!(n -k)! n 1 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质 求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 但这需要逆用二项式定 理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求910897822 C io 2 C 10 2 C w■ 2C io 10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(1 -2)10的展开式接近，但要注意：(1 2)10二 C o Co 2 • C 2。
二项式定理 二项展开式3赋值求某些项系数的和与差
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．知识内容赋值求某些项系数的和与差③注意二项式系数（rn C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rn C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n mn n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1kn n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式3赋值求某些项系数的和与差【例1】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例2】 若1()nx x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例3】 (82x 展开式中不含4x 的项的系数和为A ．1-B ．92C ．102D ．152典例分析【例4】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）【例5】 6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例6】 在二项式412nx x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例7】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例8】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例9】 设(5nx -的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例10】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例11】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例12】 在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．⑴求展开式的第四项；⑵求展开式的常数项；⑶求展开式的各项系数的和．【例13】 若()1002310001231002a a x a x a x a x =+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例15】 若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例16】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例17】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例18】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例19】 若423401234(2x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【例20】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例21】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例22】 若()1002310001231002a a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例23】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例24】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例25】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin 22sin cos x x x =． ⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk kn k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例28】 证明：220C (1)2nk n n k k n n -==+∑．【例29】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例30】 求证：121C 2C C 2nn n n n n n -+++=⋅【例31】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例32】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ． 1+B ．1C ．1+D ．1【例33】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例34】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n，01111011()(1)(1)(1)C C C C n n n n n nn n n n n n f x a x a x x a x x a x ----=-+-++-+是一次多项式或零次多项式．【例35】 若0()C ni in i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）A ．2B ．12C ．1D ．3。
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中的重要内容。
它表示了一个二元多项式的n次幂的展开式。
其中，二项式系数是展开式中每一项的系数，可以用组合数来表示。
具体来说，二项式定理可以表示为：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$。
其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理有很多应用，例如近似计算和估计，证明不等式等。
在使用二项式定理时，我们可以利用它的性质来简化计算。
其中，二项式系数具有对称性、增减性和最大值等性质。
此外，所有二项式系数的和等于$2^n$，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等。
需要注意的是，展开式共有n+1项，而二项式系数$\binom{n}{r}$是展开式中第r+1项的系数。
此外，展开式中的通项$T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{n-r}b^r$。
在使用二项式定理时，我们可以将一般情况转化为特殊情况，或者使用赋值法等思维方式来简化计算。
1.问题讨论1.1 例1求解C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]，以及当n为奇数时，7+C(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数。
解。
1.1.1 求解C(n)设S(n) = C(n)。
则有：S(n) + 3S(n) = 3*C(n,1) + 3*C(n,2) +。
+ 3^n-1*C(n,n)将上式两边相减，得：S(n) = (1/4) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]所以，C(n)等于(1/n) * [C(n,1) + 3*C(n,2) + 9*C(n,3) +。
+ 3^(n-1)*C(n,n)]。
1.1.2 求解余数XXX(n,7)+C(n,14)+。
+C(n,7+(n-1)/2)的余数等于8^(n-1)的余数，因为：XXX(n,7)+C(n,14)+。
二项式定理习题精选.
二项式定理习题精选一、与通项有关的一些问题例1．在的展开式中，指出：1）第4项的二项式系数，2）第4项的系数，3）求常数项解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.1），二项式系数为；2）由1）知项的系数为；3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为.例2．若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.分析:通项为,∵前三项的系数为，且成等差，∴即解得:n=8.从而，要使T r+1为有理项，则r能被4整除.例3．1）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中x的系数.解:1）通项，令6-2r=0,r=3,∴常数项为.2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5∴展开式中含x项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240.例4．(a+b+c)10的展开式中，含a5b3c2的系数为_________.分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出5个因式中的a，三个因式中的b，两个因式中的c得到，从而a5b3c2的系数为.小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方法去解决.例5．(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+……+(1+x)100的展开式中x3的系数为______.分析:（法一）展开式中x3项是由各二项展开式中含x3项合并而形成.因而系数为（法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式:原式=,要求x3项只要求分子的x4项，因而它的系数为.二、有关二项式系数的问题.例6．(2x+x lgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为1120，则x=____.分析:二项式系数最大的为第5项，例7．的展开式中系数最大的项为第_____项.分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法.设第r+1项的系数最大，则解得:，∴r=7，且此时上式两个等号都不能取得，因而第8项系数最大.三、赋值法:例8．已知1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a53）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）求a1+a3+a55）|a0|+|a1|+……+|a5|分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,∴(1-0)5=a0, ∴a0=1.2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5又a0=1,∴a1+a2+a3+a4+a5=-2.3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)24）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.5）因而|a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，∴|a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解；②赋值法也需合情合理的转化. 例9．已知,其中b0+b1+b2+……+b n=62, 则n=_________.分析:令x=1，则,由已知，2n+1-2=62,∴2n+1=64,∴n=5.例10．求的展开式中有理项系数的和.分析:研究其通项.显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.设(2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+a n t n ,令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+a n令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)n a n上两式相加，解得奇数项系数和.四、逆用公式例11．求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1解:例12．求值:分析:注意将此式还原成二项展开式的结构原式=五、应用问题例13．求证:32n+2-8n-9能被64整除.证明:能被64整除.例14．9192除以100的余数为________.分析:9192=(90+1)92∴被9192100除的余数为81.小结:若将9192整理成(100-9)92例15．求0.9983的近似值（精确到0.001)解:典型例题例1、已知二项式展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》测试卷(含答案解析)(4)
一、选择题1．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-2．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4803．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．27C ．30D ．364．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-485．已知67017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ）A ．5-B ．20-C ．15D ．356．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A -- D ．8299k A -7．在二项式3nx x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，二项式系数之和为B ，若72A B +=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．设40cos2t xdx π=⎰,若20182012(1)x a a x a x t-=++20182018a x ++,则1232018a a a a +++=( )A ．-1B ．0C ．1D ．2569．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ）A ．525B ．1050C ．432D ．86410．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-5B ．7C ．-11D ．1311．以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.14．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.15．关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 16．计算：01220181232019C C C C ++++=______．17．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.18．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．19．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么nx x 的展开式中的常数项为______．20．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项； （2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．已知n 的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.23．已知()*nx n ⎛∈ ⎝N 展开式的前三项的二项式系数之和为16． （1）求n 的值：（2）复数z 满足325nz i z i -=++(i 为虚数单位)，求z ． 24．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项．26．在二项式n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.3．C解析：C 【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可. 【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有236A =个奇数，第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有2112322224C C C A =个奇数，综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为62430+=个， 故选C ． 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.4．D解析：D 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.5．A解析：A 【分析】令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，所以二项式为666(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为332266(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案.详解：()()()()()()829999!181920...9917!kk k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.7．A解析：A 【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得B ，最后根据72B +=解出.n详解：因为各项系数之和为(13)4n n +=，二项式系数之和为2n , 因为72A B +=，所以4272283n n n n +=∴=∴=, 选A.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.8．B解析：B 【解析】分析：先求定积分，再求()()()()12320181,010f f a a a a f f +++=-，详解：440111cos22|02222t xdx sin x sin πππ===-=⎰，故设()(f x =1-2x 2018)，所以()()11,01f f ==，()()1232018100a a a a f f +++=-=，故选B点睛：求复合函数的定积分要注意系数能够还原，二项式定理求系数和的问题，采用赋值法．9．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6，第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．C解析：C 【解析】611x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式是61,rr C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 其中含1x 的项是1161,C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 常数项为0611,C x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是116121112111.x C x ⎡⎤⎛⎫⨯-+⨯=-+=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选C.11．B解析：B 【分析】根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案． 【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种， 故选：B. 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了组合数的计算，在解题过程中注意共面和不共面的情况，做到不重不漏，属于中档题.12．C解析：C【分析】由排列数的定义即可得出结果.【详解】12 100=10099(100121)1009989⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯A故选：C【点睛】本题考查了排列数的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.二、填空题13．【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里有多少种方法利用隔板法即可求得答案【详解】问题中的看作是三个盒子问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里有多少种方法将个球排一排后中间插入两块隔板将它们解析：36【分析】本题转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法，利用隔板法，即可求得答案.【详解】问题中的x y z､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C=种．故答案为：36【点睛】本题解题关键是掌握将正整数解的问题转化为组合数问题，考查了分析能力和转化能力，属于中档题.14．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：5 6【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率.因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.15．0或2或4【分析】因为所以：或解方程可得【详解】解：因为所以：或解得：（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式属于基础题解析：0或2或4 【分析】因为222424x xC C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍） 故答案为：0或2或4 【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．16．【分析】将变为然后利用组合数性质即可计算出所求代数式的值【详解】故答案为：【点睛】本题考查组合数的计算利用组合数的性质进行计算是解题的关键考查计算能力属于中等题 解析：2039190【分析】将01C 变为02C ，然后利用组合数性质111k k k n n n C C C ++++=即可计算出所求代数式的值.【详解】()111,,1k k k n n n C C C n N k N k n ++*++=∈∈≤+， 012201801220181220182018123201922320193320192020C C C C C C C C C C C C ∴++++=++++=+++=2039190=.故答案为：2039190.本题考查组合数的计算，利用组合数的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.17．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.18．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．19．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．20．192【分析】根据微积分基本定理首先求出的值然后再根据二项式的通项公式求出的值问题得以解决【详解】的通项公式为令故含项的系数为故答案为【点睛】本题主要考查定积分二项式定理的应用二项式展开式的通项公式解析：192 【分析】根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． 【详解】()()sin cos 1120a cosx sinx dx x x ππ=-=+=--=-⎰66⎛⎛∴-= ⎝⎝的通项公式为63162r r rr T C x --+=令32r -=，1r = 故含2x 项的系数为61162192C -=故答案为192 【点睛】本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题． 22．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k kk k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n . 【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 23．（1）5；（2）34z i =+. 【分析】（1）利用前三项的二项式系数和建立方程进行求解即可．（2）根据模长公式与复数相等的性质，利用待定系数法建立方程进行求解． 【详解】（1）由题意知01216n n n C C C ++=，即(1)1162n n n -++=， 得2300n n +-=得5n =或6n =-（舍)， 故5n =．（2）设z x yi =+，x ，y R ∈， 原方程化为||23z i z i -=++，23i x yi i =-++，2(4)0x y i -+-=，20x -=且40y -=， 得3x =，4y =，即34z i =+． 【点睛】本题主要考查二项式定理以及复数的计算，利用待定系数法以及建立方程是解决本题的关键，难度不大．24．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A =种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 25．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rr r nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题．26．（1）237x -；（2）358；（3）1256.【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合前三项系数的绝对值成等差数列，求得8n =，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式n 的展开式中，令1x =，可得各项系数和. 试题展开式的通项为23112rn r r r n T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，r=0，1，2，…，n由已知：02012111,,222n n nC C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成等差数列,∴ 12112124n n C C ⨯=+,∴ n=8 ,8231812rr r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）令3r =,32233348172T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, （2）令820y -=,得4r = ，5358T ∴=, （3）令x=1，各项系数和为1256. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.。
二项式定理公式各种例题讲解及练习
二项式定理例题讲解分类 计 数 原 理分 步 计 数 原理做一件事，完成它有n 类不同的办法。
第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。
做一件事，完成它需要分成n 个步骤。
第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。
注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。
排列组合从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。
从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。
排列数组合数从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为Pnm从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm选排列数全排列数二项式定理二项展开式的性质(1)项数：n+1项(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。
而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。
(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：（1）(x 3－22x )5的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x1)6的展开式中的常数项；（3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝r r r rrrx C xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5，解得r ＝2故(－2)2rC 5＝40为所求x 5的系数 （2）T r ＋1＝rC 6(2x 2)6－ rr x)1(-＝(－1)r ·26－ r ·rr x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项． （3）T r ＋1＝r )1(-rr x C -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝r r r r rr rx Cx C---⋅⋅=1003250100310010023)2()3(,要使x 的系数为有理数，指数50－2r与3r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；（3）321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项. 解：（1）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝xx x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20（3）∵ 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =61⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C ＝－20评述 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值； (3)已知(2x ＋gx x1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：（1）依题意137nn C C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8(2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510（3）依题意T 5＝4lg 448)()2(x xx C ＝1120，整理得x 4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1 ∴x ＝1或x ＝101 评述 (a ＋b)n 的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于 ；（2）1＋210101021011024C C C +⋯++＝ ． 解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-， 由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝[)23)(23(-+]4＝1（2）在(1＋x )10＝rr r x C 1010∑=中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+⋯++C C C评述 这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n＝rr n r n nr b a C -=∑10为恒等式．二项式定理练习题1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为（ ）A ．610C 27- B ．410C 27C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21)n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是（ ） A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ）A ．330B ．462C ．680D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为（ ）A ．6π或3π B ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的（ ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．若()44104x a x a a 3x 2+⋅⋅⋅++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________.15．若 32()nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１） 求n 的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使n n n 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
北京市昌平区第三中学选修三第一单元《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4 2．261(12)()x x x +-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 3．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-4．在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A ．96种B ．124种C ．130种D ．150种5．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．480 7．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112 B ．48 C ．-112 D ．-488．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为()A ．6B ．7C ．8D ．99．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250B ．250C ．-500D ．500 10．若0,0a b >>，二项式6()ax b +的展开式中3x 项的系数为20，则定积分0022abxdx xdx +⎰⎰的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ）A ．525B ．1050C ．432D ．86412．1231261823n n n n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n - C ．123n -⨯ D ．()2313n - 二、填空题13．代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是________（用数字作答） 14．已知x 、y 满足组合数方程21717x y C C =，则xy 的最大值是_____________. 15．用1、2、3、4、5、6六个数字组成的没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____________．16．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．17．已知33210n n A A =，那么n =__________．18．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.19．若102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，则12310a a a a +++⋯+＝_____． 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大． （1）求n ；（2）求012n a a a a ++++; （3）求.312232222n na a a a ++++.22．（1）解不等式：222213A 12A 11A x x x +++≤；（2）已知2*012(21)(N )n n n x a a x a x a x n -=++++∈，且284a =-．求0246a a a a +++的值．23．已知二项式()*2nx n N⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子0615243342516066666662222222C C C C C C C ++++++的值.24．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）； （2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）25．已知二项式()*1,22nx n N n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭． （1）若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列，求正整数n 的值；（2）在（1）的条件下，求展开式中4x 项的系数．26．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r即可得出答案．【详解】 4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==， 令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】 本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B【分析】 写出二项式61()x x -的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x +中的1与61()x x -中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61()x x -中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果.【详解】 二项式61()x x -的展开式中的通项662166()1C (1)C k k k k k k k T xx x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=-故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 3．B解析：B【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭， 解得：1a =， ()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-， 当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-. 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题. 4．D解析：D【分析】根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①、五个参会国要在a 、b 、c 三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住， ∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C 53=10种分组方法；当按照1、2、2来分时共有22532215C C A = 种分组方法； 则一共有101525+= 种分组方法；②、将分好的三组对应三家酒店，有336A = 种对应方法；则安排方法共有256150⨯= 种；故选D ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．5．C解析：C【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯， 所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误； 对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确；对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5， 由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C.【点睛】 本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数.【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）. 若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）. 若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题. 7．D解析：D【分析】 把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.8．C解析：C【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数.【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x x C C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.9．A解析：A【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数.【详解】215n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式 取1x =得到4n M =二项式系数之和为2n N =429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250 故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.10．C解析：C【分析】由二项式定理展开项可得1ab =，再220022a b xdx xdx a b +=+⎰⎰利用基本不等式可得结果.二项式()6ax+b 的展开式的通项为6616r r r r r T C a b x --+=当63,3r r -==时，二次项系数为3336201C a b ab =∴= 而定积分22002222abxdx xdx a b ab +=+≥=⎰⎰ 当且仅当a b =时取等号故选C【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.11．B解析：B【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6，第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个故选：B.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．12．B解析：B【解析】1212618323n n n n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．3【解析】的通项公式为令得；令得∴常数项为故答案为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知展开式的某项求特定项的系解析：3【解析】5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为521015521()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=-=-. 令2102r -=-，得4r =；令2100r -=，得=5r .∴常数项为445555(1)2(1)523C C -+-=-=故答案为3.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.14．【分析】由组合数的性质得出或然后利用二次函数的性质或基本不等式求出的最大值并比较大小可得出结论【详解】满足组合数方程或当时则；当时因此当时取得最大值故答案为【点睛】本题考查组合数基本性质的应用同时也 解析：128【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论.【详解】 x 、y 满足组合数方程21717x y C C =，()208y x x ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128.故答案为128.【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 15．40【分析】将问题分成三步解决首先将排列再将插空排列再根据已排好的位置将整体插空放入利用分步乘法计数原理计算可得结果【详解】第一步：将进行排列共有种排法第二步：将插空排列共有种排法第三步：将整体插空 解析：40【分析】将问题分成三步解决，首先将3,5排列，再将4,6插空排列，再根据已排好的位置将1,2整体插空放入，利用分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】第一步：将3,5进行排列，共有222A =种排法第二步：将4,6插空排列，共有2224A =种排法第三步：将1,2整体插空放入，共有155C =种排法 根据分步乘法计数原理可得共有：24540⨯⨯=种排法本题正确结果：40【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，关键是能够根据题意将问题拆分成几个步骤来进行处理，要注意不重不漏.16．192【分析】根据微积分基本定理首先求出的值然后再根据二项式的通项公式求出的值问题得以解决【详解】的通项公式为令故含项的系数为故答案为【点睛】本题主要考查定积分二项式定理的应用二项式展开式的通项公式 解析：192【分析】根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决．【详解】()()sin cos 1120a cosx sinx dx x x ππ=-=+=--=-⎰ 66⎛⎛∴-= ⎝⎝的通项公式为63162r r r r T C x --+= 令32r -=，1r =故含2x 项的系数为61162192C -= 故答案为192【点睛】本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 17．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可.详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=--()()22152,n n -=-解得8n =.即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.18．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指 解析：14【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r r r r T C x y -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数.【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r r r r T C x y -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+，∴32x y 的系数为14.故答案为：14.【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题. 19．1023【分析】赋值法令得：；令得：再两式相减可得【详解】解：∵令得：；①令得：；②由①②可得：；故答案为：【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法解析：1023【分析】赋值法 令0x =得：01a =；令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++(),再两式相减可得.【详解】解：∵102100121013x a a x a x a x -+++⋯+=()，令0x ＝得：01a = ；①令1x = 得：10012310131024a a a a a =++⋯+-=++()； ②由①②可得：12310102411023a a a a +++⋯+-==；故答案为：1023．【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如()n ax b +，2()m ax bx c ++ (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如()()n ax by a b R +∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．(3)若()2012nn f x a a x a x a x +++⋯+=，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ． 20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】 在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=， 取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-， 即()202013520191512a a a a +++=⨯-， 因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++- ()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++ 能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0.【点睛】 本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）2018；（2）20183；（3）-1.【分析】（1）由二项式系数的对称性，2018=n ．（2）012||,||,||,||n a a a a 即为2018(21)x +展开式中各项的系数，在2018(21)x -中令1x =- ，即可得出．（3）由2018220180122018(21)a a x a x a x x =++-++，令0x =和 12，可求出0a 与32018122320182222a a a a ++++的值． 【详解】 （1）由二项式系数的对称性，1101020182n n +=∴= （2）201801220180122018=3a a a a a a a a ++++-+++= （3）令0x = ，得20180(10)1a =-=， 令12x =，得21232018232018(11)02222a a a a ++++=-=， 故3201812023*********a a a a a +++=-=-. 【点睛】本题考查了二项式定理及其性质，考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）{}23，；（2）1093-． 【分析】（1）由排列数公式转化已知，再解一元二次不等式，最后注意排列数公式中n m ≥； （2）由二项展开式的通项公式表示2x 的系数，从而求得n ，最后由赋值法分别赋值1x =与x =-1再相加除以2即可.【详解】（1）由题得()()()()321121111x x x x x x +++-≤+， 化简得22730x x -+≤，即()()2130x x --≤，所以132x ≤≤． 因为2x ≥，且*x N ∈ 所以不等式的解集为{}23，． （2）二项式展开中2x 的系数为()222C 12n n --，所以()222C 1284n n --=-，化简得2420n n --=，即()()760n n -+=，因为*n N ∈，所以7n =．所以()72345670123456721x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，当012345671,1x a a a a a a a a =+++++++=①当1x =-，012345672187a a a a a a a a -+-+-+-=-②①+②得()024622186a a a a +++=-，所以02461093a a a a +++=-．【点睛】本题考查运用排列数公式求参数取值范围，还考查了二项展开式中由指定项系数求参数并利用赋值法求系数和问题，属于中档题.23．（1）6；（2）60；（3）63.【分析】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即可求n 的值；（2）写出通项，令x 的指数为3，即可求展开式中含3x 的项；（3）令1x =得061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++． 【详解】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =； （2）由（1）知6n =，∴622n x x⎛⎛+=+ ⎝⎝， 36662166(2)2r r r r r r r T C x C x ---+∴==， 由3602r -=，得4r =，∴展开式中常数项2646260C -=⋅． （3）令1x =得061524366662222C C C C +++342516066662223C C C +++=．【点睛】本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．24．（1）3x =或4;x =（2）{}2,3．【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案【详解】解：()1因为2399x x C C -=,所以23x x =-或239x x +-=,解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<，而x ∈N故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.25．（1）8n =；（2）7.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的前3项，利用等差数列得到关系式，即可求出n 的值．（2）利用通项，令x 的指数为4，求出r ，然后求出所求结果．【详解】（1）211122r rr n r r nn r T C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 由题知210211222n n n C C C ⎛⎫⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2980n n -+=， 从而1n =或8n =，由于2n ≥，故8n =.（2）由上知其通项公式为81812r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，即821812r r r r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ 令824r -=得2r ，故4x 项的系数为228172C ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二项式定理及其应用，注意项的系数的讨论关键是弄清楚二项展开式的通项，本题属于中档题.26．（1）6n =，34160x ；（2）3x 和240. 【分析】（1）根据前3项系数和，建立方程求出n ，结合二项式系数的性质进行求解即可． （2）求出展开式的通项公式，结合x 的次数进行求解即可．【详解】（1）依题意得：0122473n n n C C C ++=，即22173n +=，得236n =6n ∴=-或6n =*n N ∈∴6n =.∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3333446=160T C x =. （2）展开式的通项公式为：33416=2(),(0,1,...,6)r rr r T C x r -+=，展开式的通项公式为：61662k k k k k T C C -+==334k k x -， 当0k =时，3334k -=，此时为有理项31T x =， 当1k =时，39344k -=，此时不是有理项， 当2k =时，33342k -=，此时不是有理项， 当3k =时，33344k -=，此时不是有理项， 当4k =时，3304k -=，此时为有理项5240T =， 当5k =时，33344k -=-，此时不是有理项， 当6k =时，33342k -=-，此时不是有理项， ∴展开式中的有理项为3x 和240．【点睛】本题主要考查二项式定理､有理项等基础知识，考查观察能力､运算求解能力､推理能力和函数与方程思想，属于中档题.。
高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解(5分)
解：假设 项最大，
，化简得到 ，又 ， ，展开式中系数最大的项为
题型七：含有三项变两项；
例：求当 的展开式中 的一次项的系数？
解法①： ， ，当且仅当 时， 的展开式中才有x的一次项，此时 ，所以 得一次项为
它的系数为 。
解法②：
故展开式中含 的项为 ，故展开式中 的系数为240.
2、 2、
2、4n
3、 的展开式中的有理项是展开式的第项
3、3,9,15,21
4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
5、 ,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项 作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项 作积，故x4的系数是
解：设 展开式中各项系数依次设为
,则有 ①， ,则有 ②
将①-②得：
有题意得， ， 。
练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。
解： ， ，解得
所以中间两个项分别为 ， ，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
练：求式子 的常数项？
解： ，设第 项为常数项，则 ，得 , , .
题型八：两个二项式相乘；
例：
解：
.
练：
解：
.
练：
解：
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－1053.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．94.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．106.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．367.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．5008.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．89.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．210.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________6.3100被7除的余数为________三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5【答案】B【解析】【考点】二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为4求得．解：对于T r+1=(x 2)5-r (-)r =(-1)r x 10-3r ，对于10-3r=4，∴r=2，则x 4的项的系数是C 52（-1）2=10故选项为B2.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－105【答案】B【解析】本题考查二项式定理通项为，常数项为x 指数为0的项，所以30-3r-2r=0，即r=6 所以 故选择B3.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：求出）n 的展开式中前三项的系数C n 0、、, 由等差数列知识求出n ，再利用通项公式求出x 4项的系数即可．解：因为n 的展开式中前三项的系数C n 0、、成等差数列， 所以+=，即n 2-9n+8=0，解得：n=8或n=1（舍）． T r+1=x 8-r ()r =()r x 8-2r ．令8-2r=4可得，r=2，所以x 4的系数为()2=7， 故选B4.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数．解：由（1+x ）8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8可知：a 0、a 1、a 2、、a 8均为二项式系数，依次是C 80、C 81、C 82、、C 88，∵C 80=C 88=1，C 81=C 87=8，C 82=C 86=28，C 83=C 85=56，C 84=70，∴a 0，a 1，，a 8中奇数只有a 0和a 8两个故选A5.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n 值即可． 解：由展开式通项有T r+1=(3x 2)n-r (-)r =C n r ?3n-r ?（-2）r ?x 2n-5r 由题意得2n-5r=0?n=r(r=0，1，2，，n)，故当r=2时，正整数n 的最小值为5，故选项为B6.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：首先利用所有二项式系数和为512，求出n ，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项 解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（-1）r C 9r x 18-3r 令18-3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选B ．7.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．500【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用赋值法及二项式系数和公式求出M 、N 列出方程求得n ，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为3得系数．解：(5x-)n 中，令x=1得展开式的各项系数之和M=4n根据二项式系数和公式得二项式系数之和N=2n ∵M-N=240 ∴4n -2n =240解得n=4∴(5x-)n =(5x-)4的展开式的通项为T r+1=(5X)4-r (-)r =(-1)r 54-r x 4-令4-=3得r=2 故展开式中x 3的系数为52C 42=150故选项为B8.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1，按照二项式定理展开即可求出结果． 解：由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1=99+C 9198（-1）+C 9297（-1）2+…+C 9891（-1）8-2按照二项式定理展开，前边的项都能被9整除，最后一项为-2，故S 除以9的余数为 7故选C9.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2【答案】A【解析】略10.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006【答案】B【解析】根据已知中a 和b 对模m 同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a 的值，结合b=a （bmod10），比照四个答案中的数字，结合得到答案．解：∵a=1+C 201+C 202?2+C 203?22+…+C 2020?219=（1+2）20+ =×320+，∵320=（32）10=（10-1）10=1010-×109+×108-…-×101+1，其个位是1， ∴320个位是1，∴×320+个位是1，∴a 个位是1．若b=a （bmod10），则b 的个位也是1故选B ．二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)【答案】7【解析】略2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．【答案】6【解析】略3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)【答案】35【解析】略4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.【答案】－9【解析】略5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________【答案】－2880【解析】略6.3100被7除的余数为________【答案】4【解析】略三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．【答案】前三项系数为C ，C ，C ，由已知C ＝C ＋C ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T r ＋ 1 ＝C()8－r (2)－r ＝C··x4－.∵4－∈Z 且0≤r≤8，r ∈Z ， ∴r ＝0，r ＝4，r ＝8.∴展开式中x 的有理项为T 1＝x 4，T 5＝x ，T 9＝ x －2.【解析】略2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．【答案】(1)设T r ＋ 1 ＝C(ax m )12－r ·(bx n )r＝Ca 12－r b r x m(12－r)＋nr 为常数项，则有m(12－r)＋nr ＝0，即m(12－r)－2mr ＝0，∴r ＝4，它是第5项．(2)∵第5项又是系数最大的项，∴有由①得a 8b 4≥a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴ b≥a ，即≤.由②得≥，∴≤≤.【解析】略3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.【答案】(1)(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26，①又令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26－1＝－65.(2)再令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 11＝0②①＋②得a 0＋a 2＋…＋a 10＝(－26＋0)＝－32.【解析】略4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．【答案】(1)∵q≠1，∴a n ＝.∴A n ＝C ＋C ＋…＋C＝[(C ＋C ＋…＋C)－(Cq ＋Cq 2＋…＋Cq n )]＝[2n －(1＋q)n ]．(2)证明：∵b 1＋b 2＋…＋b n＝＝，∴b 1＋b 2＋…＋b n －1＝两式相减得：b n ＝n －1∴＝≠0， ∴是等比数列．【解析】略。
(必考题)数学高考题(提高培优)
一、选择题1．2532()x x-展开式中的常数项为（ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-402．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．193．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i4．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形5．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 46．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称9．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．设集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={x|x 2−2x >0}，则A ∩B =（ ）A ．{3}B ．{−1,3}C ．{2,3}D ．{0,1,2}11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．以上均有可能12．将函数()sin 2y x ϕ=+的图象沿轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( ) A ．B ．C ．0D ．4π-13．在二项式42nx x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．16B ．14C ．512D ．1314．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<15．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题16．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．18．371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）19．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．20．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 21．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则ba的取值范围是__________． 22．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．23．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）24．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．25．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题26．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D,E 分别是AB ，BB 1的中点.（Ⅰ）证明： BC 1//平面A 1CD;（Ⅱ）设AA 1= AC=CB=2，AB=22，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.27．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且7AB =，求实数a 的值.29．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[60,80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； (3)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占13，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．30．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．C4．C5．A6．A7．C8．B9．A10．B11．C12．B13．C14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实17．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐18．【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用19．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准20．【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO⊥面ABDEOH⊥AB则CH⊥AB∠CHO为二面角C−AB−D的平面角CH=3√OH=CHcos∠CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为21．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以22．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R球心O到上表面距离为x则球心到下表面距离为6-x结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查23．660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为24．y=sinx（答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f（x）>f（0）且（02］上是减函数详解：令则f（x）>f（0）对任意的x∈（02］都成立但f （x）在［02］上不25．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值 【详解】2532()x x -展开式的通项公式为:53251()2()r rr r T C x x-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r ，故展开式中的常数项为25230(42)T C ==-.故选：C. 【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.2．D解析：D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D3．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.4．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=.所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．A解析：A 【解析】试题分析：二项式(x +i)6的展开式的通项为T r+1=C 6r x 6−r i r，令6−r =4，则r =2，故展开式中含x 4的项为C 62x 4i 2=−15x 4，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式(x +i)6可以写为(i +x)6，则其通项为C 6r i 6−r x r ，则含x 4的项为C 64i6−4x 4=−15x 4． 6．A解析：A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足．故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．7．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.8．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.10．B解析：B 【解析】试题分析：集合B ={x|x 2−2x >0}={x|x <0或x >2},又A ={−1,0,1,2,3},∴A ∩B ={−1,3}，故选B. 考点：集合的交集运算.11．C解析：C 【解析】 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
02二项式定理通项公式
02二项式定理通项公式二项式定理的复习1.二项展开式：c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n( a + b)n=r n r r n n n n1 n 1 n这个公式叫做二项式定理,等号后面的式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中Cnk(k=0,1,2,。
,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk 叫做二项展开式的通项, 通项公式:TK+1=Cnkan-kbk2.二项展开式的特点2.二项展开式的特点(1) 项数：展开式有共n+1项项数：展开式有共n+1项n+1 都是组合数，(2) 系数：都是组合数，依次为C 依次为Cn0,Cn1,Cn2,Cn3,。
Cnn C (3) 指数的特点：a的指数(降幂降幂) 1) a的指数由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 b的指数由0 n (升幂) (升幂) 的指数由升幂a和的指数和为n 3) a和b的指数和为n3.二项式定理的几个变式：(a +b)(a-b)nn= c a + c a b +L+ c a b +L+ c b0 n n1 n 1 nr n r r nn n n1 2 k = an Cnan 1b + Cn an 1b2 + ... + ( 1)n Cn an k bk + ... + ( 1)n bn(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+。
+Cnkxk+。
+Cnnxn4. 扬辉三角：0(a + b ) __ 1 1 (a + b ) LLLLLL 1 1 2 (a + b ) LLLLL 1 2 1 3 (a + b ) LLLL1 3 3 1 4 (a + b ) LLL 1 4 6 4 1 5 (a + b ) LL 1 5 10 10 5 6 (a + b ) L 1 6 15 20 15 61 1表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk一.利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：()nn n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数kn C )3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=叫做二项式系数。
对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设x b a ==，1，则()nn n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()nb a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()nb a +二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kk n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ⋅⋅⋅=的理解：（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．nnn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ） A ．n4 B 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rrn r nr xx x T --+=⎪⎭⎫⎝⎛=前三项的.2,1,0=r得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r r r r r T r xT 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17项．典型例题二例2 求10321⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行研究．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来研究系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．解：展开式的通项公式为：65301012)1(C rr r rr xT --+⋅⋅-=系数的绝对值为r r-⋅2C 10，记为1+r t ．用前后两项系数的绝对值作商得：.)1(210!102)!10(!)!9()!1(!10C 2C 2C 2C 1011010)1(11012+-=⋅-⨯-⋅+==⋅⋅=+-+-+++r r r r r r t t rr r r r r r r令1)1(210≥+-r r 得：38≤r 即0=r 、1、2时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第1项到第4项增加，以后逐项减小． 系数绝对值最大的项为第4项，2525334104152)1(C x x T -=-=-．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第3项与第5项的系数，.8105162102C ,4452C 4410522103==⋅==⋅=--t t 所以，系数最大的项为第5项，3558105x t =． 典型例题三例3 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ，求：（1）7321a a a a ++++ ；（2）7531a a a a +++；（3）6420a a a a +++． 分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母经常取的值有0、1、－1等．解：（1）取0=x 可得10=a ，取1=x 得1)1(7710-=-=+++a a a ． ∴27321-=++++a a a a .（2）取1-=x 得77632103=-++-+-a a a a a a ， 记75316420,a a a a B a a a a A +++=+++=． ∴73,1=--=+B A B A ． 可得1094)31(21,1093)13(2177-=+-==-=B A 从而10947531-=+++a a a a ．（3）从（2）的计算已知10936420=+++a a a a ．说明：赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和大多数也能用此方法解决，如：65)21()1(x x -⋅+的展开式中各项的系数和为多少？可以看到65)21()1(x x -+的展开式仍是多项式，令1=x ，即得各项系数和为32)1(265=-．再比如：n n n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，则n a a a a 2420++++ 等于多少？本题可以由取1=x 得到各项系数和，取1-=x 得到奇数项系数和减去偶数项系数和，两式相加可得)13(21220+=+++nn a a a ．此外，为了赋值的需要，有时需要用一个新的二项式替换原来二项式，只要它们的系数等同即可．如：n x x )log 2(2+的展开式中各项的系数和是多少？我们可以用一个更简单的二项式n x )21(+代替原来的二项式，它们的系数并不改变，令1=x 便得各项系数和为n 3．典型例题四例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++x x x x ． 由121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式的通项公式r r rr r r x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-． ∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ； （2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n=⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n--=-⋅+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+ 10101091092102C 2C 2C 21021++++⨯+= )C 2C 2C 210(21101099108210+++++= 从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+⋅+⋅++⋅+=+-+++n nn n n n n n 981)1(88C 8C 8211111--+++⋅++⋅+=-+++n n n n n n n 2111118C 8C 8⋅++⋅+=-+++n n n n n 64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x223252415025523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x C x x C x x C10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开，不同的乘积k k kz y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定， 而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项． 故原式展开后的总项数为66191011=++++ ， ∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21转化为nnx x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ．解：当0>x 时nnx x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=， 令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫⎝⎛-+，同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-． 无论哪一种情况，常数项均为n n n C 2)1(-．令20)1(2-=-n n n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义，必须0>x ； 依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）． 解得5648980<<x ． ∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ． ∴应填：5648980<<x ． 典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ，即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ， ∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 n x )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有 8226655=⇒=n C C n n ．∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）． ∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nmx x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C nm499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ． ∵+∈N n ，∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25． 说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得． 典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++． 解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ① ∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ② 由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得： 6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++= 8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式n n n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ： )(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________.分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-= 3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C 2]77[791081109010-+++⨯=C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数 ∴3230-除以7的余数为5 ∴应填：5分析(2)：将5555写成55)156(-，然后利用二项式定理展开．解：155555+15)156(55+-=15565656555554555415555055+-++-=C C C C容易看出该式只有14155555=+-C 不能被8整除，因此155555+除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．典型例题十七例17 求证：对于+∈N n ，111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ．证明：nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11展开式的通项rr n r r nr nr p n C T !11=⋅=+ r r r n n n n r )1()2)(1(!1+---=)11()21)(11(!1nr n n r ----=． 1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n 展开式的通项rr n r r n r n r A n CT)1(!)1(11'1+=+⋅=++)111()121)(111(!1+--+-+-=n r n n r ． 由二项式展开式的通项明显看出'11++<r r T T ，所以111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n n ．说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明．典型例题十八例18 在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（ ）．A ．160B ．240C ．360D ．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解． 解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k k kk x x C T 2)3(5251⋅+=-+k k kx x C -+⋅⋅=525)3(2．再一次使用通项公式得，rk r r k k k r xC C T ---+⋅⋅⋅=21055132， 这里50≤≤k ，k r -≤≤50． 令1210=--r k ，即92=+r k ．所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=⋅⋅C ．解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为45C ， 常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452⋅C ，常数项为52． 因此原式中x 的系数为24022445545=⋅+⋅C C ．解法3：将52)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=⋅⋅⋅C C ．∴应选B ．典型例题十九例19 已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________． 分析：利用二项式的通项公式．解：在92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中， 通项公式为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+rrr r x x a C T 299192329921)1(--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-r r r r r x a C ． 根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得39169ax T =． 根据题意，49169=a ，所以4=a ． ∴应填：4．典型例题二十例20 (1)求证：n n n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++⋅-⋅+-(2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值．分析：(1)注意观察n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明．(2)注意到)()()(432102312420a a a a a a a a a a ++++=+-++)(43210a a a a a +-+-⋅，再用赋值法求之．解：(1)在公式n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(中令3-=x ，即有 n n n n n n C C C )3()3()3(1)31(2211-++-+-+=-n n n n C C 3)1(331221⋅-+-⋅+⋅-=∴等式得证．(2)在展开式443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+中， 令1=x ，得443210)32(+=++++x a a a a a ； 令1-=x ，得443210)32(+-=+-+-a a a a a ． ∴原式)()(4321043210a a a a a a a a a a +-+-⋅++++=1)32()32(44=+-⋅+=．说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如n n n x a x a x a a bx a ++++=+ 2210)(或b a C a C b a n n n n n 110)(-+=+222b a C n n -+n n n b C ++ 中，对任意的A x ∈（A b a ∈,）该式恒成立，那么对A 中的特殊值，该工也一定成立．特殊值x 如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取1,1,0-=x 较多．一般地，多项式)(x f 的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为)]1()1([21--f f ，偶次项系数和为)]1()1([21-+f f ．二项式系数的性质nn n n n n C C C C 2210=++++ 及15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C 的证明就是赋值法应用的范例．典型例题二十一例21 若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除．分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．解：3724332+-+n n37243322+-⋅=+n n 3724931+-⋅=+n n3724)18(31+-+⋅=+n n3724]8888[311112111101+-+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n 3724]18)1(888[3121111+-+⋅+++⋅+⋅+⋅=-+++n n C C n n n n n 3724)]98(8888[3211121111+-++⋅++⋅+⋅+⋅=-+-+++n n C C C n n n n n n n 3724)98(3]888[831132121112+-+⋅+++⋅+⋅+⋅=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n 64]888[6433212111++⋅+⋅+⋅=-+-+- n n n n n C C ， ∵18-n ，2118-+⋅n n C ，3218-+⋅n n C ，…均为自然数， ∴上式各项均为64的整数倍． ∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．典型例题二十二例22 已知n x x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．分析：先由条件列方程求出n ．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r ． 解：令1=x 得展开式的各项系数之和为n n 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为n n n n n n C C C C 2210=++++ ，∴有992222=-n n．∴5=n ．(1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． ∴62233225390)3()(x x x C T =⋅=，32232232354270)3()(x x x C T =⋅=．(2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r rr rrr r xC x x C T +-+⋅⋅=⋅⋅=，故有⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--115511553333r r r r r r r r C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥.1351,613r r r r解得2927≤≤r ．∵N r ∈， ∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．32642132455405)3()(x x x C T =⋅⋅=说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．典型例题二十三例23 求证：(1) pn m m p n p m n p m n C C C C C C C +-=+++0110 ；(2) 1144220242333--+⋅=++++n n n n n n n n C C C C (K n 2=，*N n ∈)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．证明：(1)(法1)∵n m nm x x x )1()1()1(+⋅+=++，∴)1()1()1(221221nn n n n m m m m m n m x C x C x C x C x C x C x ++++⋅++++=++ ．∴此式左右两边展开式中Px 的系数必相等．左边Px 的系数是p n m C +，右边Px 的系数是 022110mp n p m n p m n p m n C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅-- ， ∴pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=⋅++⋅+⋅+⋅022110 ．等式成立．(法2)设想有下面一个问题：要从n m +个不同元素中取出P 个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有p n m C +种不同取法．第二种解法，可将n m +个元素分成两组，第一组有m 个元素，第二组有n 个元素，则从n m +个元素中取出P 个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成1+P 类：从第一组取P 个，第二组不取，有0n p m C C ⋅种取法；从第一组取1-P 个，从第二组取1个，有11n p m C C ⋅-种取法，…，第一组不取，从第二组取P 个．因此取法总数是p n m n p m n p m n p m C C C C C C C C ⋅++⋅+⋅+⋅--022110 ．而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=⋅++⋅+⋅+⋅022110 ．(2)∵n 为偶数，∴n n n n n n n C C C C 333)31(2210++++=+ ； nnn n n n n C C C C 333)31(2210+-+-=- ． 两式相加得)333(22444220nn n n n n n n C C C C ++++=+ ， ∴1144220242333--+⋅=++++n n n n n n n n C C C C ．说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．。