(完整版)二项式展开式系数的性质
二项式系数的性质
对称性
增减性与最大值
数学思想：函数思想 各二项式系数和 图象、图表； 单调性； 最值。 数学方法 ： 赋值法 、递推法
书P114习题10.4
作业:
8,9,10
0 2 3 n n (1 - 1) n = cn - c1 + c c + L + ( 1 ) cn n n n 0 2 3 = (cn + cn + L) - (c1 + c n n + L)
复习回顾:
二项式定理及展开式:
二项式展开式： 0 n 0 1 n-1 1 2 n-2 2 n r n-r r n 0 n + = + + + + + + a b C a b C a b C a b C a b C （ ） n L na b L n n n
二项式系数 通 项
C（r = 0， 1， 2Ln）
1 1 1 2 3 3 4 6 4 1 1 1 1 1
赋值法
1 1 1 1
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
5 10 10 5 6 15 20 15 6
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是( C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大 的项是( A ). A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项 注：此种类型的题目应该先找准r的值，然后再
r n
Tr +1 = C a
r n
n -r
b
r
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2
二项式定理的系数和
二项式定理的系数和二项式定理是高中数学中的重要概念之一，它描述了如何展开一个二项式的幂。
在二项式定理中，系数和起着关键的作用。
本文将围绕这个主题展开，介绍二项式定理的系数和的一些性质和应用。
一、二项式定理的系数和二项式定理是代数学中的一个重要定理，它给出了两个数之和的幂的展开形式。
具体而言，设有两个实数a和b，那么对于任意非负整数n，二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是二项式系数。
二项式系数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)这个公式告诉我们，二项式系数是由阶乘运算得到的。
在二项式定理中，系数和是指式子中所有二项式系数的和，也就是：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n-1) + C(n,n)二、二项式定理系数和的性质1. 二项式系数和等于2的n次方。
根据二项式定理的展开形式可以得知，系数和等于幂的次数加1，即 2^n。
2. 二项式系数和满足二项式系数公式。
根据二项式系数的计算公式可以得知，系数和等于 C(n+1,0)。
这是因为二项式系数公式中的 n 被替换为 n+1，而 k 被替换为 0，所以结果为 1。
3. 二项式系数和满足对称性。
根据二项式系数的计算公式可以得知，C(n,k) = C(n,n-k)。
这意味着从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数，所以二项式系数和具有对称性。
三、二项式定理系数和的应用1. 计算二项式系数。
二项式系数在组合数学中有广泛的应用，可以用于计算排列组合问题的解。
例如，在概率论中，可以使用二项式系数计算二项式分布的概率。
2. 证明等式。
二项式系数和可以用于证明等式。
高中数学完整讲义——二项式定理2.二项展开式2求展开式中的特定项
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nn n n n nnnnC a C a b C ab C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rnC a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rnC b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系知识内容求展开式中的特定项数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅，()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1n n C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项展开式2求展开式中的特定项（常数项，有理项，系数最大项等．） 常数项【例1】 在()2043x y+展开式中，系数为有理数的项共有 项．【例2】 的展开式中共有_____项是有理项．1003(23)+典例分析【例3】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】 ()6211x x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________．【例5】 二项式42x +x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【例6】 若123a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．【例7】 在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 ．61034(1)(1x x++【例8】 在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是______．（结果用数值表示）【例9】 如果1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ，展开式中的常数项的值等于 ．【例10】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例11】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例12】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例13】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）281(12)()x x x+-1()n x x+3(2)n x xn 2()n x x+60n【例14】的展开式中，常数项为15，则 ．【例15】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例16】 展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例17】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例18】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．021()n x x-n =231(1)()n x x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n【例19】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例21】的展开式中常数项为 （用数字作答）【例22】 已知的展开式的常数项是第项，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【例23】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于 （用数字作答）【例24】的展开式中，常数项为15，则 ． 61034(1)(1)x x51(2)2x x+281(12)()x x x+-312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7n 789102()n x x+60n 21()n x x-n =【例25】展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例26】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例27】 已知，若的展开式中含有常数项，则这样的有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例28】 展开式中的常数项为（ ） A ． B ． C ． D ．【例29】 求展开式中的常数项．123(x x-2()n x x-314-21i =-10()n n ∈N ≤nxx )1(23-n 123x x ⎛- ⎝1320-1320220-220612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【例30】 的展开式的常数项是 （用数字作答）【例31】 在的二项展开式中，若常数项为，则等于（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【例32】 的展开式中的第项为常数项，那么正整数的值是 ．【例33】 若的展开式中存在常数项，则的值可以是（ ） A ． B ． C ． D ．【例34】 在的展开式中常数项是 ，中间项是．6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎫⎪⎭60n 369121nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n 10111214261(2)x x-________【例35】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【例36】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．【例37】 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（ ） A ． B ． C ． D ．【例38】 若展开式中的二项式系数和为，则等于________；该展开式中的常数项为_________．【例39】 若的展开式中常数项为，则_____，其展开式中二项式系数之和为_________．231(1)()nx x x x+++n ∈*N 28n ≤≤n =3(2n x xn 2nx x ⎛- ⎝3141-145-4521nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭512n 921ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭84a =【例40】 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．B ．C ．D ．有理项 【例41】 求二项式的展开式中： ⑴常数项；⑴有几个有理项（只需求出个数即可）；⑴有几个整式项（只需求出个数即可）．【例42】的展开式中共有_______项是有理项．【例43】 二项式的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项；⑶有几个整式项．1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭102030120153x x 1003(23)+153(x x【例44】 已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列 ①求；②求展开式中的有理项．【例45】 二项展开式中，有理项的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．【例46】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则 A ．1 B ． C ． D ．【例47】的展开式中，含的正整数次幂的项共有（ ） A ．项B ．项C ．项D ．项【例48】 若（，为有理数），则（ ） 42nx x n 153x x 3456(11332x x p 10p x dx =⎰67761113123()x x x 4321(5122a b +=+a b a b +=A ．B ．C ．D ．系数最大的项【例49】 已知的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例50】 展开式中系数最大的项是第几项？【例51】 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于，求展开式中系数最大的项．【例52】 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____． A ． B ． C ． D ．【例53】 已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．45557080(2n x x n 20(23)x +(13)n x +121132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭7-728-28lg 8(2)x x x +1120x【例54】 求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例55】 已知展开式中的倒数第三项的系数为，求： ⑴含的项；⑵系数最大的项．【例56】 设，，的展开式中，的系数为．⑴求展开式中的系数的最大、最小值；⑴对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．【例57】 已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大． ⑴求展开式中二项式系数最大的项；⑴求展开式中系数最大的项．1032x x 3241nx x 453x m n +∈N ，1m n ，≥()(1)(1)m n f x x x =+++x 19()f x 2x ()f x 2x m n 7x 223(3)n x x +992【例58】 展开式中系数最大的项是第几项？【例59】 关于二项式有下列命题：⑴该二项展开式中非常数项的系数和是：⑴该二项展开式中第六项为；⑴该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；⑴当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 在的展开式，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例61】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 ．20(23)x +2005(1)x -1619992005C x 100310042006x =2005(1)x -2006200532nx x ⎛ ⎝5)()21*174n n +∈N n M n m ()n n n m M m +【例62】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【例63】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．【例64】 如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为_______（用数字作答）．【例65】 在二项式的展开式中，存在着系数之比为的相邻两项，则指数的最小值为 ．12()m n ax bx +a b ，200m n mn +=≠，a b(1sin )n x +752x (0,2π)232(3)n x x -n ()1nx +57∶()*n n ∈N。
二项式定理的推论
二项式定理的推论一、二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为二项式系数的形式。
二项式系数的一些重要性质如下：1. 对称性：二项式系数满足对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这意味着，在二项式系数中，每个系数与其对称的系数相等。
2. 递推关系：二项式系数之间存在递推关系，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这意味着，我们可以通过前一行的系数计算出下一行的系数。
这些性质使得二项式系数在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合、概率论、图论等领域中，二项式系数经常用于计算和推导。
1. 幂的展开式：二项式定理可以用来展开幂的形式。
例如，对于任意实数a和b，以及正整数n，我们有：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n这个推论可以用于计算复杂的幂，例如高次多项式的展开式。
2. 平方差的展开式：二项式定理还可以用来展开平方差的形式。
例如，对于任意实数a和b，我们有：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这个推论可以用于计算平方差的形式，例如在代数运算中计算平方差的结果。
3. 二项式系数的和：二项式系数有一个重要的性质，即每一行的系数之和等于2的n次方。
换句话说，对于任意正整数n，有：C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n这个推论是二项式系数的一个重要性质，也可以通过二项式定理的展开式来证明。
三、应用举例1. 组合数学：二项式系数的计算在组合数学中有广泛的应用。
例如，在排列组合中，可以使用二项式系数来计算组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
这在概率论、统计学等领域中都有重要的应用。
2. 二项分布：二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n 次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
二项式定理知识点总结
二项式定理一、二项式定理：ab n CaCabCabCb0n1n1knkknnnnnn （nN）等号右边的多项式叫做nab的二项展开式，其中各项的系数kC(k0,1,2,3n)叫做二项式系数。
n对二项式定理的理解：（1）二项展开式有n1项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
在定理中假设a1，bx，则nCxCxCxCx1x（nN）nnnn0n1knknn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nab展开，得到一个多项式；n 另一方面，也可将展开式合并成二项式ab二、二项展开式的通项：knkk T k1Cabn二项展开式的通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)是二项展开式的第k1项，它体现了n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项knkkT k1Cab(k0,1,2,3n)的理解：n（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素1例1．132933等于（）n1nC n CCCnnnA．n4B。
n4n34C。
13D.n431例2．（1）求7(12x)的展开式的第四项的系数；（2）求19(x)x的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 0n1n12n2knk C n C,CC,C C,CCnnnnnnn,②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式展开式系数的性质
(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法 也可按以下分类进行：
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4：
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明： 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理，Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n，
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!
展开式公式 二项式定理
展开式公式二项式定理一、二项式定理内容。
1. 二项式定理表达式。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中n∈ N^*。
- 这里C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，C_n^k也被称为二项式系数。
2. 展开式的特点。
- 项数：展开式共有n+1项。
- 次数：各项中a与b的次数之和为n，其中第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n -kb^k中a的次数为n - k，b的次数为k。
二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 二项式系数C_n^k = C_n^n - k，这反映在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
2. 增减性与最大值。
- 当n是偶数时，中间一项（第(n)/(2)+1项）的二项式系数C_n^(n)/(2)最大；- 当n是奇数时，中间两项（第(n + 1)/(2)项和第(n+3)/(2)项）的二项式系数C_n^(n - 1)/(2)=C_n^(n + 1)/(2)最大。
- 二项式系数先增大后减小，由C_n^k=(n(n - 1)·s(n - k + 1))/(k!)，随着k的增大，当frac{C_n^k+1}{C_n^k}=(n - k)/(k + 1)>1时，二项式系数增大；当(n - k)/(k+1)<1时，二项式系数减小。
3. 二项式系数之和。
- ∑_k = 0^nC_n^k=2^n，即(1 + 1)^n = 2^n。
- 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2^n-1，即∑_k = 0^⌊(n)/(2)⌋C_n^2k=∑_k = 0^⌊(n - 1)/(2)⌋C_n^2k + 1=2^n-1。
三、二项式定理的应用。
1. 求二项展开式中的特定项。
- 求指定项：例如求(x+(1)/(x))^10的展开式中的常数项。
- 首先写出通项公式T_k + 1=C_10^kx^10 - k((1)/(x))^k=C_10^kx^10 - 2k。
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式系数有哪些特殊性质
二项式系数有哪些特殊性质二项式系数是组合数学中的重要概念，具有许多特殊性质。
本文将详细介绍二项式系数的特性，并进行逐一讨论。
一、二项式系数的定义及基本性质二项式系数是指二次幂的展开式中，各项的系数。
设a和b为任意实数，则二次幂的展开式可表示为(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b+ ··· + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。
二项式系数具有以下基本性质：1. 对称性：C(n,k) = C(n,n-k)，即二项式系数在列数上具有对称性质。
2. 递推关系：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)，即每一个二项式系数都可以由前一个系数递推得到。
3. 边界条件：C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取0个或n个元素的组合数都为1。
二、二项式系数的特殊性质除了以上的基本性质外，二项式系数还具有许多特殊性质，包括：1. 杨辉三角形的构建二项式系数可以通过杨辉三角形的构建方法得到。
杨辉三角形的第n行第k个数即为C(n,k)，通过构建杨辉三角形，可以直观地观察到二项式系数的对称性和递推关系。
2. 定理1：二项式系数的性质二项式系数满足定理1：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。
这一性质可以通过排列组合的原理得到，即从n个元素中取k个元素的组合数等于从n-1个元素中取k-1个元素的组合数再加上从n-1个元素中取k个元素的组合数。
3. 定理2：二项式系数的性质二项式系数满足定理2：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k+1)，其中k满足1<=k<=n-1。
这一性质可以通过将C(n,k)的递推关系重写为C(n-1,k) = C(n,k) - C(n-1,k-1)得到。
4. 定理3：二项式系数的性质二项式系数满足定理3：C(n+1,k+1) = (n+1)/(k+1) * C(n,k)，其中n 和k满足1<=k<=n。
二项式定理的定义和基本性质是什么
二项式定理的定义和基本性质是什么二项式定理是代数中一个重要的定理，描述了一个二项式的幂展开式。
它的定义和基本性质如下。
定义：
二项式定理是指对于任意实数a和b以及任意非负整数n，二项式展开式的公式为：
(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-
2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n
其中C(n,k)表示n个元素中取k个元素的组合数。
基本性质：
1. 幂次关系：对于二项式展开式中的任意一项，其对应的幂次关系为a^n-k * b^k。
其中n为二项式展开的幂次，k为该项中b的幂次。
2. 系数关系：二项式展开式中每一项的系数可以用组合数表示。
具体地，第k项的系数为C(n,k)。
3. 对称性：二项式展开式中的对称性表现为，对应的k项和n-k项的系数相等。
4. 性质1：二项式展开式中的一切项数为n+1。
5. 性质2：二项式展开式中的一切系数之和等于2^n。
二项式定理的应用广泛，特别是在代数和组合数学中。
它在代数运算和多项式求解中起到了重要的作用。
同时，通过二项式定理可以得到一些重要的数学恒等式，例如二项式系数恒等式和牛顿二项式系数恒等式。
总结：
二项式定理的定义描述了一个二项式的幂展开式，利用组合数的概念表示了每一项的系数。
二项式定理具有幂次关系、系数关系、对称性等基本性质。
它在数学中应用广泛，为代数运算和多项式求解提供了重要的工具和方法。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
二项式方程展开式系数规律
二项式方程展开式系数规律二项式方程是由两个项组成的多项式，其中每个项都是由常数与未知数的指数幂相乘而得。
二项式方程展开式系数规律是指在展开二项式方程时，各项的系数之间存在一定的规律。
我们来看一个简单的二项式方程展开式：(a + b)^2。
展开后的式子为：a^2 + 2ab + b^2。
观察展开后的式子，我们可以发现，系数2出现在中间一项2ab。
这是因为在展开式中，中间一项的系数总是等于二项式方程中的两个项的系数的乘积的二倍。
接下来，我们再来看一个稍复杂一些的二项式方程展开式：(a + b)^3。
展开后的式子为：a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3。
观察展开后的式子，我们可以发现，系数3出现在第二、三、四项，而且这三个系数都是相等的。
这是因为在展开式中，这三项的系数都等于二项式方程中的两个项的系数的乘积的三倍，即3倍。
继续观察更高阶的二项式方程展开式，我们可以发现一个普遍的规律：展开式中的每一项的系数都可以用组合数来表示。
组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的组合方式的个数，用C(n, m)表示。
在二项式方程展开式中，每一项的系数都等于C(n, m)，其中n 表示二项式方程中的幂次，m表示展开式中的第m项。
通过以上的观察和总结，我们可以得出二项式方程展开式系数规律的结论：展开式中每一项的系数都可以用组合数来表示，其中n表示二项式方程中的幂次，m表示展开式中的第m项。
这个规律在高中数学中有着广泛的应用。
除了上述的规律之外，二项式方程展开式还有一些其他的特点。
例如，展开式中的所有项的幂次之和都等于二项式方程的幂次。
同时，展开式中的每一项的幂次都是递减的，从左到右依次递减。
在实际应用中，二项式方程展开式系数规律可以用于计算二项式方程的展开式中各项的系数，从而快速得到展开式的具体形式。
例如，在统计学中，我们经常需要计算二项式分布的概率，而二项式分布的概率可以通过二项式方程展开式来计算。
总结起来，二项式方程展开式系数规律是指展开式中每一项的系数都可以用组合数来表示，其中n表示二项式方程中的幂次，m表示展开式中的第m项。
二项式展开式系数和
二项式展开式系数和二项式展开式是一种将两个数相加或相减的结果表示为幂的和的公式。
在二项式展开式中，系数是非常重要的一部分，它们决定了每个幂的权重和贡献。
在本文中，我们将探讨二项式展开式系数的性质和应用。
二项式展开式系数的定义二项式展开式系数是指二项式系数，它表示了在一个二项式的展开式中，每个幂的系数。
二项式系数的定义如下：$${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中，n和k是非负整数，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
二项式系数的性质二项式系数有许多重要的性质，其中一些是：1. 对称性：${n\choose k}={n\choose n-k}$，这意味着在一个二项式的展开式中，每个幂的系数都是对称的。
2. 递推性：${n\choose k}={n-1\choose k}+{n-1\choose k-1}$，这意味着可以通过递推计算出任何一个二项式系数。
3. 二项式定理：$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^ky^{n-k}$，这是二项式展开式的基本公式。
二项式系数的应用二项式系数在数学和统计学中有许多应用，其中一些是：1. 概率：二项式系数可以用来计算二项分布的概率。
二项分布是一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
2. 组合数学：二项式系数可以用来计算组合数，即从n个不同元素中选取k个元素的不同方式的数量。
3. 代数学：二项式系数可以用来计算多项式的展开式系数。
多项式的展开式系数决定了多项式的形状和性质。
结论二项式展开式系数是二项式展开式中的重要组成部分，它们决定了每个幂的权重和贡献。
二项式系数具有许多重要的性质和应用，包括概率、组合数学和代数学。
在数学和统计学中，二项式系数是一个非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
二项式展开式求系数
二项式展开式求系数1. 什么是二项式展开式在代数学中，二项式展开式是指将一个形如(a+b)^n的表达式展开成多个项相加的形式。
其中，a和b是常数，n是非负整数。
二项式展开式的每一项都可由a和b 的幂次幂函数相乘得到。
例如，将(a+b)2展开，得到的结果为a2+2ab+b2。
这里的a2、2ab和b^2就是二项式展开式的三个项。
2. 二项式系数在二项式展开中，每一个展开后的项都有一个对应的系数。
这个系数称为二项式系数。
在(a+b)^n中，每一项的系数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数量。
3. 求解二项式系数的方法3.1. 直接计算法根据上述公式直接计算每一项的系数。
例如，在(a+b)^3中，我们可以计算出：C(3, 0) = 3! / (0! * (3-0)!) = 1C(3, 1) = 3! / (1! * (3-1)!) = 3C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3C(3, 3) = 3! / (3! * (3-3)!) = 1所以，展开式(a+b)^3的系数分别为1、3、3和1。
3.2. 杨辉三角形法杨辉三角形是一种特殊的数字排列形式，其中每个数字等于它上方两个数字之和。
利用杨辉三角形，我们可以更快地求解二项式系数。
首先，我们构建一个n行的杨辉三角形。
在第i行的第j个位置，存储着C(i, j)的值。
例如，在构建一个4行的杨辉三角形时，得到：11 11 2 11 3 3 1然后，我们可以直接读取杨辉三角形中对应位置的值作为二项式展开式中每一项的系数。
4. 示例让我们以(a+b)^4为例来演示如何求解二项式展开式中的系数。
首先使用直接计算法：C(4,0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1所以，展开式(a+b)^4的系数分别为1、4、6、4和1。
高二数学二项式展开式的性质
例 4 .求 1x61x4展开x3 项 式的 中 . 系 含数
分1:析 运用二项1式 x6与 定 1x理 4展分 ,再 开别 把将 乘, 积
将所 x3系 有数 的相 . 加即可
1 x 6 1 x 4 1 c 6 1 x c 6 2 x 2 c 6 6 x 6 1 c 1 4 x c 4 2 x 2 c 1 4 x 3 c 4 4 x 4
例如 f(x)(ab)nx C n 0anC n 1an 1 b x C n 2an 2 b2x2 C n ran r(b)rx C n nbnxn
a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n
(1)求展开式：
例1.求(1 2x)8的展开式
例 2 .若 1 2 C n 1 2 2 C n 2 2 n C n n 21 求 n 87
(3)证明恒等式
例 1 . 求 : C 1 n 2 C n 2 证 3 C n 3 n C n n n 2 n 1
(4)求近似问题
例1求 . 近似 (精值确0到 .00:1) (1)(.1.005 3)(2). (0.999)88
▲ (ab)n题型【方法】:利用通项与分解因式列表法
含 x3项的 : c系 4 3c6 1c数 4 2c6 2c为 1 4c6 3 8
分析2：
1x61x41x241x2,这里 x3项 含只有一 : 种 1x24含 x2的项 x与 12含 x的项,相 这乘 样可简化 .
含 x3项的系 :c1 4数 c1 2为 8
例1.在( x 1 )100的展开式中有多少项是有理项. 3x
例2.在(1 - x3 )(1 x)10的展开式中求 x5的系数
例3.在(x 2 3 x 2)5的展开式中 x的系数 (240)
二项式方程展开式系数规律
二项式方程展开式系数规律一、二项式方程展开式系数规律的定义二项式方程展开式是指将一个二项式的幂展开成多个项的和的形式。
例如，将(a+b)^3展开，可以得到a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。
在这个展开式中，每一项的系数分别为1、3、3和1。
要推导出二项式方程展开式的系数规律，可以使用组合数的概念。
在展开(a+b)^n时，其中每一项的系数可以通过组合数C(n,k)来表示，其中n为幂指数，k为项的次数。
具体而言，n为幂指数，则二项式方程展开式共有n+1项。
第k项的系数可以表示为C(n,k)。
组合数C(n,k)表示从n个元素中选取k 个元素的组合数，其计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)，其中n!表示n的阶乘。
通过上述推导，可以得出二项式方程展开式的系数规律。
三、二项式方程展开式系数规律的例子下面给出一些具体的例子，以进一步说明二项式方程展开式系数规律的应用。
例子1：展开(a+b)^4，根据系数规律，可以得到展开式为：a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4例子2：展开(a+b)^5，根据系数规律，可以得到展开式为：a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5例子3：展开(a+b)^6，根据系数规律，可以得到展开式为：a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6通过这些例子可以看出，二项式方程展开式的系数规律是很明显的。
每一项的系数都可以通过组合数的计算得到。
四、二项式方程展开式系数规律的应用二项式方程展开式系数规律在数学中有着广泛的应用。
例如，在概率论中，可以利用系数规律来计算二项分布的概率。
在组合数学中，可以通过系数规律来解决排列组合的问题。
在代数中，可以利用系数规律来简化多项式的计算。
总结：二项式方程展开式的系数规律是通过组合数的概念推导得出的。
每一项的系数可以用组合数C(n,k)来表示，其中n为幂指数，k为项的次数。
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(
2)n cos n
4
Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L
(
2)n sin n
4
证明：
2
cos
4
i sin
4
n
(
2)n cos n i(
4
2)n sin n
4
①又Βιβλιοθήκη 2cos4
i
sin
4
n
2
2 i 2
2 2
n
(1
i)n
1 Cn1i Cn2 Cn3i Cn4 Cn5i Cn6 Cn7i L
(Cn0 Cn1x Cn2 x2 L Cnn xn )(Cn0xn Cn1xn1 L Cnn1x Cnn )
令a 1,b 1,则0 Cn0 C1n Cn2 Cn3 (1)n Cnn
Cn0 Cn2 Cn2r C1n Cn3 Cn2r1 2n1
性质4：
4. (x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小 大 小
当当nn为为偶奇数数时时，，中中间间项两为项第系数n2 最1大项，，它二们项是式第系n数C1 n项n2 最和大； 2
证明：Q kCnk nCnk11 ,
n
n
n
左边
kCnk
nCnk11 n
C k 1 n1
k 1
k 1
k 1
n 1
n
Ck n 1
n 2n1 右边
k 0
(2)
Cn0
1 2
Cn1
1 3
Cn2
L
1 n 1
Cnn
1 (2n1 1) n 1
证明：Q (k 1)Cnk11 (n 1)Cnk ,
的展开式中，按
1 2
降幂排列后，偶数项之和
等于多少？
解：记 1 3 i ，则
22
1 2
3 2
50 i
(2 )50
100
1 2
3i 2
又
1 2
3 2
50
i
C500
1 2
50
C510
1 2
49
3 2
i
C520
1 2
48
2
3 2
i
L
其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 3 i。 2
C7k 1 2k 1 C7k 1 2k 1
T6 C75 (2x)5 672x5
13 k 16 k 5
3
3
(2) 系数最大项必在中间或偏右，只需比较 T5 和 T7 。
Q
C74 (2)4 C76 (2)6
5 4
1,
T5 C74 (2x)4 560x4
3.
1 2
3 2
i
50
4. 设 n 为偶数，求证：
1
1
1
1
2n1
L
1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)!
(n 1)!1! n!
证明：Q
Cnm
n! m!(n
， m)!
原等式 Cn1 Cn3 Cn5 L
C n1 n
2n1
由二项式系数的性质，这是成立的。
组合恒等式的证明
1. 赋值法
(1) 4n 4n1Cn1 4n2 Cn2 L
第
n
2
1
1
n1
项，Cn 2
n1
Cn 2
。
Cnk
n(n 1) (n (k 1)!k
k
1)
Cnk 1
nk k
1
当 n k 1 1,即k n 1 时，二项式系数增大
k
2
当 n k 1 1,即k n 1 时，二项式系数减小
k
2
1.
求
x
1 23
x
10
的展开式中，系数绝对值最大的项和
4
(1)
n1
C n1 n
(1)
n
Cnn
3n
证明：3n (4 1)n
4n Cn1 4n1 (1) Cn2 4n2 (1)2 L
C n1 n
4
(1)n1
Cnn
(1)n
4n 4n1Cn1 4n2 Cn2 L
4
(1)n
1
C n1 n
(1)n
Cnn
(2) 1 Cn2 Cn4 Cn6 L
k
)!
1 2k 1
10! 1)!(11
k
)!
1 2k 1
k 1
10 k 11 k k
1 2
2
8 k 11 k 3
3
3
5
5
T4 C130 23 x 2 15x 2 系数绝对值最大。
当 k 为偶数时，系数才可能最大：
C100 20 ,
C120 22 ,
C140 24 ,
C160 26 ,
s (n 1)Cnn1 (n 2)Cnn2 L 2Cn2 Cn1 n
注意到 Cn1
Cnn1,
Cn2
C n2 n
,
L
两式相加，得 2s nCn1 nCn2 L nCnn1 2n
n(Cn0 Cn1 L
C n1 n
Cnn
)
n
2n
s n 2n1
3. 通项归一法
(1) 求证：Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn n 2n1
C180 28 ,
C10 10
210
即1, 45 , 105 , 105 , 45 , 1 。 4 8 32 256 1024
第
5
项系数最大，即
105
x
5 3
。
8
2. (1) 求 (1 2x)7 展开式中系数最大的项。 (2) 求 (1 2x)7 展开式中系数最大的项。
解：(1) CC77kk
2k 2k
(1 Cn2 Cn4 Cn6 L ) i(Cn1 Cn3 Cn5 Cn7 L ) ②
①、②两式实部与虚部分别对应相等，即得结论成立。
2. 倒序相加法
求证：Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn n 2n1
证明：记 s Cn1 2Cn2 3Cn3 L nCnn ， 则 s Cn1 2Cn2 3Cn3 L (n 1)Cnn1 n
二项式展开式系数 的性质
性质1： (a b)n的二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等。
性质2： (a b)n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n
分析：令a b 1,则2n Cn0 C1n Cnn 性质3： (a b)n的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和
系数最大的项。
解：Tk 1
C1k0 (1)k
2k
5 5 k
x6
设展开式中系数绝对值最大的项是第 k 1项，则
C1k0
2k
C k 1 10
2(k
1)
C1k0
2k
C k 1 10
2(k 1)
k k
10! !(10
10! !(10
k k
) )
! !
1 2k
1 2k
(k (k
10! 1)!(9
k
1
1
Cnk
n
1
1
C k 1 n1
左边
n
1 1
(Cn11
C2 n1
C3 n1
L
C n1 n1
)
1 (2n1 1) 右边 n 1
4. 比较系数法
求证：Cn0Cn1 Cn1Cn2 L
Cnn
C 1 n n
C2nn1.
2n
证明：(1 x)2n C2kn xk k 0
(1 x)n (x 1)n