二项式系数性质及应用.ppt

11 121 13 31
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
(a b)4
14 6 41
C40C41C42C43C44
(a b)5
(a b)6
……
(a b)n
1 5 10 10 5 1
C50C51C52C53C54C55
1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
Cmn
Cnm n
得到．
图象的对称轴： r n 2
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由于：Ckn
n(n
1)(n 2) (n k (k 1)!
k
1)
Ck 1 n
n
k k
1
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nk 1
所以C
k n
相对于C
变式：若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
例5、今天是星期五，那么 8100 天后的这
一天是星期几？
那么31000 天后
8100 （7 1）100
是星期几？
C10007100 C1100799 C1r007100r
Cnr Cnr
1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
例1 证明在(a b)n的展开式中，奇
数项的二项式系数的和等于偶数项的二
项式系数的和．
例2 用二项式定理证明：
9910 1能被1000整除。
例3 (1 2x)n 的展开式中第6项与第7
项的系数相等，求展开式中二项式系数
0 n
1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
这是组合总数公式．
二项式系数的性质
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1, Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（对称性）
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
（3）当r 当r
n 1 n21
2
时， 时，
系数
C
2 n
取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n1
n1
C
2 n
、
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
最大的项和系数最大的项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不含
x的项等于(
)
A.210
B.120
C.461
D.416
赋值法
例4 已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 , 则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________ (4) a0-a1+a2-a3 +… -a7 =______
……
……
Cn0Cn1Cn2...Cnr ...Cnn1Cnn
二项式系数的性质
(a b)n展开式的二项式
系数依次是：C0n
,
C1n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r),
其定义域是：0,1,2, , n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
C1909071
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期六
练习：课本 P35 练习 1--5
小结
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有三条性质，要理解和掌握;
2.要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项; 3.尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解 决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
作业： 1.课本 P35 习题 2.课课练 第11课时
2，5，7
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
杨辉三角
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
L
C
r n
a
nr
br
L
Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？ 共有多少个？
下面我们来研究二项式系数的有关性质。 我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有 什么特点？
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b)n展开式中的二项式系数，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3
k n
1的增减情况由
决定．
k
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
由： n k 1 1 k n 1
k
2
可知，当 k n 1 时，
2
二项式系数是逐渐增大的。
由对称性可知：它的后半部分是逐渐减小的； 且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
1.5.2 二项式系数的 性质及应用
一.复习回顾 1.(a+b)n的二项展开式是_________.
2.通项公式是 _T_r_+1__=__C__rn_a__n-_r_b_r.
3.第r+1项的二项式系数是什么？
二、新课
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cn2a n2b2