第五章_数组

小结
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稀疏矩阵

定义


设矩阵A中有t个非零元素，若t远远小于矩阵 元素的总数（即t<<m×n），则称为稀疏矩阵 精确地说，设矩阵A中，有t个非零元素。令 e=t/(m*n)，称e为矩阵的稀疏因子。通常认为 e≦0.05时称之为稀疏矩阵。 为了节省存储单元，很自然地想到使用压缩存 储方法。但由于非零元素的分布一般是没有规 律的，因此在存储非零元素的同时，还必须同 时记下它所在的行和列的位置（i,j)。
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(a)上三角矩阵
三角矩阵（续）



上三角矩阵的下三角（不包括主对角线） 中的元素均为常数。 下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方 均为常数。 在大多数情况下，三角矩阵常数为零。 三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空 间，其余元素正好有n(n+1)/2个

三角矩阵可压缩存储到向量sa[0..n(n+1)/2] 中，其中c存放在向量的最后一个分量中。
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二维数组C语言定义

同理,一个n维数组类型（设想n=3)可以定义 为其数据元素为n-1维数组类型的一维数组 类型。例如: typedef array2 array3[t]; 数组一旦被定义，它的维数和维界就不再 改变。因此，除了结构的初始化和销毁之 外，数组只有存取元素和修改元素值的操 作。
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对称矩阵（续）



在这个下三角矩阵中，第i行恰有i+1个元素，元 素总数为：n(n+1)/2 因此，我们可以按从上到下、从左到右的顺序 将这些元素存放在一个向量sa[0..n(n+1)/2-1]中 。 为了便于访问对称矩阵A中的元素，我们必须 在aij和sa[k]之间找一个对应关系。
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对称矩阵（续）
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对角矩阵（续）

一个k对角矩阵(k为奇数) 满足下述条件：

若∣i-j∣>(k-1)/2 ，则元素 aij=0。


对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序 ，将其压缩存储到一个向量中 在三对角矩阵里除满足条件

i=0，j=0、1， 或 i=n-1, j=n-2、n-1 或 0<i<n-1, j=i-1、i、i+1的元素aij外，其余元素 都是零。
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数组的顺序存储结构

计算机的内存空间是一个一维结构，而二 维以上的数组是多维结构。用连续的存储 单元存放数组，就有次序约定的问题。

二维数组有两种存储方式：一种是以行序为 主序的方式，另一种是以列序为主序的方式 行为主序方式是先存储数组的第一行元素， 再存储第二行元素…； 列序为主序方式是先存储数组的第一列元素 ，再存储第二列元素…；
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特殊矩阵小结



上述的各种特殊矩阵，其非零元素的分布 都是有规律的 总能找到一种方法将它们压缩存储到一个 向量中 能找到矩阵中的元素与该向量的对应关系 ，通过这个关系，仍能对矩阵的元素进行 随机存取。
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提纲

数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储

特殊矩阵 稀疏矩阵
数组
信电学院计算机系：周树森
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提纲

数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储

特殊矩阵 稀疏矩阵

小结
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提纲
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稀疏矩阵存储

稀疏矩阵存储方式

三元组表示法

非零元个数和位置在操作过程中变化不大 一个三元组(i, j, aij)唯一确定了矩阵的一个非零 元。由此，稀疏矩阵可由表示非零元的三元组 及其行列数唯一确定 非零元个数和位置在操作过程中变化较大

十字链表

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三元组顺序表
如矩阵M采用三元组表示如下：
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二维数组的定义
数据对象: D = {aij | 0≤i≤b1-1, 0 ≤j≤b2-1} 数据关系:
R = { ROW, COL } ROW = {<ai,j,ai+1,j>| 0≤i≤b1-2, 0≤j≤b2-1} COL = {<ai,j,ai,j+1>| 0≤i≤b1-1, 0≤ j≤b2-2}
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对角矩阵行优先存储

除第0行和第n-1行是2个元素外，每行的非 零元素都要是3个，因此，需存储的元素个 数为3*(n-2)+4=3n-2 。
a00 K=0 a01 1 a10 2 a11 3 a12 4 a21 …… a n-1 n-2 5 a n-1 n-1 3n-3
… … 3n-4
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对角矩阵行优先存储（续）
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二维数组举例

二维数组可以看成是一个线性表
Am×n = (α 0 , α1 ,...α p )

其中p=m-1或n-1。当p=m-1,它的每个数据元素 是一个行向量形式的线性表;当p=n-1,它的每个 数据元素是一个列向量形式的线性表：
) ) ) ( )
( a00 ( a10 = ( ... ( am −1, 0 a01 a11 ... am −1,1 a0,n −1 ) ... ... a1,n −1 ) ... ... ... ) ... ... am −1,n −1) ... ...
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若i<j，则aij是在上三角矩阵中:

三角矩阵

以主对角线划分，三角矩阵有上三角 和下三角两种。
a00 a01 … a 0 n-1 c a11 … a 1 n-1 c … a n-1 n-1 ………………….. c a00 c … c a10 a11 … c …………….. an-1 0 an-1 1 … an-1 n-1 (b)下三角矩阵

数组sa中的元素sa[k]与三对角带状矩阵中 的元素aij存在一一对应关系。


在aij之前有i行,共有3*i-1个非零元素; 在第i行，有j-i+1个非零元素; 这样，非零元素aij的在一维向量中的下标k为： k=3*i-1+(j-i+1)=(2i+j) 上例中，a34对应着sa[10]: k=2*i+j=2*3+4=10 a21对应着sa[5]: k=2*2+1=5
a00 a01 a10 a11 a12 a21 a22 a23 …. ….. …. an-2 n-3 an-2 n-2 an-2 n-1 an-1 n-2 an-1 n-1
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对角矩阵（续）


非零元素仅出现在 （1）主对角线上(aii, 0≦i≦n-1）， （2）紧邻主对角线上面的那条对角线上 (aii+1,0≦i≦n-2)； （3）紧邻主对角线下面的那条对角线上 (ai+1 i,0≦i≦n-2)。 显然，当∣i-j∣>1时，元素aij=0。
i 1 1 3 3 4 5 6 6
j 2 3 1 6 3 2 1 4
v 12 9 -3 14 24 18 15 -7
三元组顺序表存储表示
#define MAXSIZE 12500 //非零元个数的最大值 typedef struct{ int i, j; //非零元素的行下标和列下标 ElemType e; }Triple; typedef struct{ Triple data[MAXSIZE+1]; //data[0]未用 int mu, nu, tu; //行数,列数和非零元个数 } TSMatrix;
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下三角矩阵存储方式

下三角矩阵的存储和对称矩阵类似，sa[k] 和aij对应关系是： k= i(i+1)/2+j i≧j k= n(n+1)/2 i<j
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对角矩阵

对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主 对角线为中心的带状区域中

除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对 角线上的元素之外，其余元素皆为零。
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提纲

数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储

特殊矩阵 稀疏矩阵

小结
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矩阵的压缩存储



矩阵是一种常用的数学对象，在编制程序 时，将一个矩阵描述为一个二维数组。 矩阵在这种存储表示之下，可以对其元素 进行随机存取，各种矩阵运算也非常简单 ，并且存储的密度为1。 在矩阵中非零元素呈某种规律分布或者矩 阵中出现大量的零元素的情况下，占用了 许多单元去存储重复的非零元素或零元素 ，这对高阶矩阵会造成极大的浪费。
0 0 12 9 0 0 0 0 − 3 0 0 0 M = 0 0 24 0 0 18 0 0 15 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6×7
用三元组（右图）加上(6, 7)这 一对行、列值便可作为矩阵M 的另一种描述。
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矩阵的压缩存储


为了节省存储空间， 我们可以对这类矩阵 进行压缩存储：即为多个相同的非零元素 只分配一个存储空间；对零元素不分配空 间。 压缩技术的应用领域：图像、音频、视频 、文件压缩，…
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提纲

数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储

特殊矩阵 稀疏矩阵

小结
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特殊矩阵

定义

特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定 规律的矩阵
下面我们讨论几种特殊矩阵的压缩存储。 对称矩阵