完全平方公式(一)

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完全平方公式(1)

本节课我们学习了那些内容？
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)

北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿

《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。

2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。

掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。

（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。

（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。

能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。

3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。

4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。

直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。

并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。

最后通过变式训练进行练习和巩固。

二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。

本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。

对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。

为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。

三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。

数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。

本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。

人教版八年级数学上册课件：14.2.2完全平方公式(第一课时)

(2)理解字母a、b的意义：公式中的字母a、b，它们可以表示具体的数，也可表示单项式；
(3)运用完全平方公式的口诀为：首平方、尾平方，首尾 2倍在中央，中间符号看首尾．
2．利用完全平方公式 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab． 3．计算一些大数的平方时，关键是把已知数的底数拆成
(6)2(x+y)(x-y)-(x+y)2-(x-y)2．
解：原式=-[(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2] =-[(x+y)-(x-y)]2 =-(2y)2 =-4y2．
9．先化简，再求值： (1)(a+2b)2+(b+a)(b-a)，其中a=-1，b=2；
解：原式=a2+4ab+4b2+b2-a2 =4ab+5b2．当a=-1，b=2时，原式=4×(-1)×2+5×22=12．
(3)(2x-y)2(2x+y)2；解：原式=[(2x-y)(2x+y)]2 =(4x2-y2)2 =16x4-8x2y2+y4；
(4)9x(x+1)-(3x-1)2；
解：原式=9x2+9x-9x2+6x-1 =15x-1；
(5)(2x-4y)2+(4y-2x)2；解：原式=(4x2-16xy+16y2)+(16y2-16xy+4x2) =8x2-32xy+32y2；
11． (1)若(a-b)2=9，ab=2，则(a+b)2= 17 ;
(2)若(x+y)2=11，(x-y)2=7，则xy的值为 1 ;

161完全平方公式(一)

导学稿： 1.6.1完全平方公式（一）学习目标：1．完全平方公式的推导；2．弄清完全平方公式的结构特征，会利用完全平方公式运算．学习过程：一、知识引入（共4分钟）一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种．（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？二、知识探索（自主探究，我能！我行！20分钟）完全平方公式的验证（1）2)(b a +等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？（2）2)(b a -等于什么？小颖写出了如下的算式：22)]([)(b a b a -+=+她是怎么想的？你能继续做下去吗？▲ 规律整理表述：完全平方公式：()2a b += ； ()2a b -= .公式结构特征：公式的左边知识探索一公式的右边公式文字表述：完全平方公式的运算1．利用完全平方公式计算：（1）2)1(+x (2) 2)12(+x（3）2)32(b a - (4) 2(45)x y +三、知识训练（看谁能完成，13分钟）1．下列各式中可以运用完全平方公式计算的是（）A ．()()c a b a ++B ．()()x y y x +-+C ．()()ab x x ab +--33D ．()()m n m n ---2．计算下列各式：（1）()247a b + （2）2)3(y x -（3）2)2131(-a （4）2)10151(y x +（5）2)2(n m +-（6）()22m n --（7）2(37)x y -+（8）2()mn a --（9）21132a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（10）2)2())((n m n m n m +--+四、知识整理（3分钟）1．完全平方公式是什么？2．完全平方公式的结构特征有哪些？。

（1）完全平方公式

（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。

初一完全平方公式

试一试
你能对照公式（a+b）²=a²+2a b+b² （a-b）²=a²-2ab+b²
算出①(a+3)² ②(y-2)²吗？请写出计算过程。
你能发现下列各题中与公式相符的“a”与
“b”吗？能计算出吗？
①（ x-3）²
②（4x+5y）²
③（mn-a）²
（）
a - b ² = a² - 2 ·a ·b+b²
（a+b）²=a²+2ab+b²
问题2：（a-b）²=? 你是怎么想的？
（a-b）²=a²-2ab+b²
问题3：请仔细观察（a+b）²=a²+2ab+b²并比较，（a-b）²=a²-2ab+b² 你能发现两个公式有何异同呢？请小组讨论，并用语言叙述公式。
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的两倍。
完全平方公式（1）
问题：
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如下图）。
b
a
a
b
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现什么？
问题1：（a+b）²=? 你能用多项式乘法法则说明理由吗？
（a+b）²= （a+b）·（a+b）
= a ·a + a ·b + a ·b + b·b = a²+2ab+b²
②（a-b）²=a²-b² ④（a-2b）²=a²-2ab+b²
你能准确计算下列各题吗？从中你发现了什么？

七年级数学北师大版下册初一数学--第一单元《完全平方公式》第一课时参考课件

完全平方公式的结果是三项，
结果不同：即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
平方差公式的结果是两项，即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. (a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
例题解析
1 2
注意使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
1.8 完全平方公式（一）
回顾 & 思考☞
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征: 左边是两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是两数的平方差.
应用平方差公式的注意事项:
☾ 弄清在什么情况下才能使用平方差公式:
对于一般两个二项式的积, 看准有无相等的“项”和符号相反的“项”; 仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式。
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式；当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
6.填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2 7.如果 x2 +mx+4是完全平方式,那么 m的值是多少?

9.12(1)完全平方公式

(2) (-3x-4y)2
=(-3x)2-2(-3x)(4y)+(4y)² =9x2+24xy+16y²
讨论：
1. (x-2y)(-2y+x)
2. (1-2x)(-2x-1)
解：(x 2y)(2y x) (1 2x)(2x 1)
(x 2y)2
(2x)2 12
x2 2x2y (2y)2
结构特征：(首 ± 尾)²= 首²± 2 ×首×尾 +尾² 口诀：首平方，尾平方，首尾二倍中间放步骤（1）确定首尾，分别平方
（2）确定中间系数与符号
(a−b+c)2所得的结果吗?
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式：
三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两数乘积的2倍。
完全平方公式 ( a + b ) ²= a²+ 2ab + b² ( a – b ) ²= a²- 2ab + b²
完全平方公式 (a+b)2 =a2+2ab+b2
b ab b2 a a2 ab
ab
那么 (a-b)²= ？你是怎样推导的呢？
(a–b)²
= [a +(-b) ] ² =a²+ 2a(-b) + (-b)²
= a²- 2ab + b²
完全平方公式 (a+b)2 =a2+2ab+b2 (a-b)2 =a2-2ab+b2

湘教版七年级下册第2章2.2.2完全平方公式第1课时(课件)

（1）下列多项式是完全平方式的是
（ D）
A. 4x²+9
B. x²+2x+4
C. x²-4x+2
D. 4x²-4x+1
解析：A只有两项，显然不是完全平方式。B中4是2²， x²+4是两数x、2的平方和，则第三项为2·x·2=4x，故B 不是完全平方式。C中-4x可写成-2·x·2，则另两项为x²， 4，而不是x²，2，因此也不是完全平方式。D是(2x-1)² 的计算结果，符合题意。
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (x+4)²；
(3) 5m 1 2 . 2
答案：(1) x²+8x+16；
3 25m2 5m 1 .
4
(2) (2a-3)²； (2) 4a²-12a+9；
3. 下面计算正确的是
（B）
A. (m＋n)²=m²＋n² C. -x(2x＋1)=-2x²＋1
5. 我们把计算和或差的平方得到的二次三项式叫做完全平方式，例如计算 (x+1)²=x²+2x+1 ，则 x²+2x+1 叫做一个完全平方式；同样x²-2x+1也是一个完全平方式。完全平方式的结构特征是：共有三项，其中两项是两个数（式）的平方和，一项是加或减这两数（式）的积的2倍。请你根据完全平方式的结构特征解决问题：
（2）若x²＋kx+16是一个完全平方式，则k=（ D ）
A. 4
B. 8 C. 4或-4 D. 8或-8
解析：∵ x²＋kx+16是一个完全平方式， ∴ x²＋kx+16=x²±2·x·4+4²=x²±8x+16 . ∴ k=±8. 故选D.

完全平方公式1

= 3 (a2-b2)2 = 3[(a+b)(a-b)]2
= 3 (a+b)2(a-b)2
练习3: 把下列各式因式分解
1. x4-2x2y3+y6 解:原式 = (x2-y3)2
2. 3x3-12x2y+12xy2 解:原式 = 3x(x2-4xy+4y2)
= 3x(x-2y)2 3. 4ax2+20axy+25ay2 解:原式 = a(4x2+20xy+25y2)
5. a2b2+12ab+36 = (ab)2 +2 . ab. 6 +62 =(ab+6)2
例2 把下列各式分解因式
1. (x+y)2+10(x+y)+25 解:原式 = (x+y)2 +2.(x+y).5+52
= (x+y+5)2 2. 4(a+m)2-28(a+m)+49
解:原式 = [2(a+m)]2 -2.2(a+m).7 +72 = [2(a+m)-7]2
解:原式= (x-y+6)2 解:原式= (a-b-8)2
3. 4(x+y)2+12(x+y)+9
解:原式= [2(x+y)+3]2 =(2x+2y+3)2
4. (a+b)2-6(a+b)(a-b)+9(a-b)2 解:原式= [(a+b)-3(a-b)]2=(a+b-3a+3b)2 = (-2a+4b)2 =[-2(a-2b)]2 =4(a-2b)2

初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)

初一数学完全平方公式(最全面的考点设计)全新题型归类总结圆学霸之梦第三讲：完全平方公式一、常用公式1、完全平方公式两数的和（或差）的平方，等于这两数的平方和再加上（或减去）两数积的2倍。

a+b)²=a²+b²+2aba-b)²=a²+b²-2abx±a)²=x²±2ax+a²注意：上述中的a,b不仅可以是单独的一个数或一个字母，也可以是多项式或分式。

2、变形公式1）a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab2）a²+b²=1/2[(a+b)²+(a-b)²]3）(a+b)²-(a-b)²=4ab4）a²+2ab+b²=(a+b)²5）a²+b²+c²±2ab±2bc±2ca=(a±b)²+(b±c)²+(c±a)²3、补充公式：1)立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)2)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)3)和立方：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³4)差立方：(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³5)三项的完全平方：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac a-b-c)²=a²+b²+c²-2ab-2bc-2ac二、经典题型汇总题型一、完全平方公式的判断例1、下列哪个不是完全平方式？（）A、2x²B、x²-6x+9C、25x²-10x+1D、x²+22x+121 练：1、下列哪个不是完全平方式？（）A、x²+4B、x²+4x+4C、4x²+4x+1D、x²+x+2题型二、计算题专练例1、计算1）(-a-12)²（2）、(b+c)(-b-c) （3）(a+b-3)(a-b-3)4）(2m-3n)(2m+3n) （5）(x+5)-(x-2)(x-3) （6）(m+n-p)²练：剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。

完全平方公式(人教版)(含答案) (1)

完全平方公式(人教版)一、单选题(共15道，每道6分)1.(x+2)²=r²+( )x+4,括号中的数为( )A.2B.-2C.4D.-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式2.计算(3x-y)²的结果为( )A.9x²-37y+y2B.9x²-6y-y²C.9x2-6<y+y²D.9x²+6y-y²答案：C 解题思路：原式=(3x)²-2 ·3x:y+y²-9x²-6xy+y²故选C.试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.计算的结果为().答案：B解题思路：故选B.C试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)4.计算(-ab-c)²的结果为()A.a²g²-2abc+c²B.a²g²-abc+c²C.a²g²+c²D.a²B²+2xbc+c2答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)5.计算(-a+2b)²-46²的结果为()A.a²-4abB.d²-2abC.a²-4ab-8b²D.d²+4ab答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式(首项为负)6.计算199²的结果为( )A.27501B.29501C.39601D.49501答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用7.计算(a-2b+c)2的结果为()A.a²+4b²+c²-4ab+4ac-2bcB.a²+4B²+c²-4ab+2ac-4bcC.a²-4B²+c²+2acD.a²+2b²+c²-2ab+2ac-4bc答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式8.若,则k的值为()A.6B.-6C.±6D.36答案：C解题思路：观察式子特征，先把等式左边用完全平方公式展开，然后和等式右边的式子对比确定字母&的值.(所以k²=36,又因为6²=36,(-6)²=36,所以=土6. 故选C . 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式9.若(xm+3m)²=m²-6mm+91²,则*的值为()A.1B.- 1C.-2D.±1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式10.若(4m-n)²=a²m²-8mn+n2,则a的值为()A.4B.-4C.±4D.16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式11.若(2x-5p》-4x¹-m+25p²,则m的值为()A.20B.10C.-20D.±20答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式12.若(3x-w)-9x²+12y+4p²,则*的值为()A.2B.-2C.-4D.±2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式13.若(x-yj²=(x+p)²+1d,则M为( )A.2nB.-2x′C.4yD.-4xy答案：D解题思路：观察式子特征，先把等式左边和等式右边的完全平方式用完全平方公式展开，然后求出M.(x-y)²=x²-2xy+y2,(x+y)²=x²+2xy+y².:x²-2xy+y²=x²+2xy+y²+M-2x³=2xy+M-M=4xyM=-4y故选D . 试题难度：三颗星知识点：完全平方公式14.若4a²+b²=(2a-b)²+M,则M为( )A.2abB.±2abC.4abD.±4ab答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式15.若x+y=4,xy=-3,则(x-y)' 的值为( )A.28B.22C.16D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用。

初一数学完全平方公式

初一数学完全平方公式好嘞，以下是为您生成的关于初一数学完全平方公式的文章：初一的时候，数学里有个让很多同学又爱又恨的家伙，那就是完全平方公式。

记得那是一节平常的数学课，阳光透过窗户洒在课桌上，教室里弥漫着一种紧张又期待的气氛。

老师在黑板上写下了完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。

当时我看着这两个公式，心里就在琢磨，这到底是个啥呀？老师似乎看穿了大家的心思，笑着说：“同学们，别被这两个公式吓到，咱们一起来看看。

” 然后老师就开始举例，比如说，(3 + 2)²，咱们按照公式来，先算 3² = 9 ，2×3×2 = 12 ，2² = 4 ，加起来就是 9 +12 + 4 = 25 ，是不是和直接算 (3 + 2)² = 5² = 25 结果一样呀？大家纷纷点头，可我心里还是有点迷糊。

回到家做作业的时候，我就被一道题难住了。

题目是：(5 - 3)²等于多少？我盯着题目发呆，脑子里想着老师讲的完全平方公式，可就是不知道怎么用。

急得我抓耳挠腮，心想这公式怎么这么难啊！这时候，妈妈走过来，看我一脸苦恼，就问我怎么了。

我把题目给妈妈看，妈妈笑着说：“来，咱们一起看看。

你先想想完全平方公式，(a - b)² = a² - 2ab + b²，这里 a = 5 ，b = 3 ，那 5² = 25 ，2×5×3 = 30 ，3² = 9 ，所以结果就是 25 - 30 + 9 = 4 。

” 听妈妈这么一解释，我恍然大悟，原来这么简单！从那以后，我对完全平方公式的理解就越来越深刻了。

比如说，计算 (x + 4)²，我就知道是 x² + 8x + 16 ；计算 (2y - 1)²，那就是 4y² - 4y + 1 。

初一奥数专题讲义完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b ）(a 3－a 2b+ab 2－b 3)=a 4－b 4 (a+b)(a 4－a 3b+a 2b 2－ab 3+b 4)=a 5+b5(a+b)(a 5－a 4b+a 3b 2－a 2b 3+ab 4－b 5)=a 6－b 6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数 (a+b)(a2n －1－a2n －2b+a2n －3b 2－…＋ab2n －2－b2n －1)=a 2n －b2n(a+b)(a 2n －a 2n －1b+a 2n －2b 2－…－ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除, a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。

第1章6完全平方公式

知识梳理Ml知识点完全平方公式1. 公式：（a~\~b ）2=a 2+2ab +b 2f （a-b ）2=a 2—2ab-\~b2.2. 表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的2倍.3. 公式的结构特征：①公式的左边是一个二项式的完全平方差的形式;②右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍（或相反数）.温馨提示:公式中的a 与b 可以是具体数，也可以是单项式或者多项式・例1计算@—2）2的结果是（）6完全平方公式精练版P13A. a2—4B. a2—2a+4解析:根据完全平方公式计算可知@ -2)2 = a2 + 4-4a f所以选项C正确.答案：C4.利用完全平方公式简化计算：利用完全平方公式计算一个数的平方, 一般是把这个数化成两数的和或差的完全平方形式.温馨提示：在公式+ 〃)2二，+ 2血+方2中，如果把幺+方，血和a2+ b2分别看作一个整体，知道了其中两个就可以求第三个・例2计算：(1)792；⑵［50^|2・解析:由题意可将⑴中的79化成(80・1),⑵中的50右化成(50 +帶),解：(l)792=(80-l)2=802-2X80+l=6400-160+l=6241.(1}2 ( 1 \ 1 ⑴2 1 ⑵I5。

韵*0+韵=502 + 2 X 50X丽+歸=2500+2+顽=25022500，5.完全平方公式变形后可得到以下一些新公式:①a2+b2=(a+b)2—2ab；②a2-\-b2=(a—b)2+2ab；(3) (a+b)2=(a—b)2+4ab；④(a—b)2=(a+b)2—4ab；⑤(a+b)2+(a—b)2=2(a2+b2)；®(a+b)2-(a-b)2=4ab等.熟练掌握这些变形公式，是我们熟练运用完全平方公式的基础.用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2—lab +b2=(a—b)2是一个很重要的知识点.例3 已知“一方=4, = —3•求：(l)a2+b2； (2)(a+b)2.解析：用现有知识无法从已知条件中直接求出a, b,也就不能直接代入求值，只有通过适当的变形，把(1)(2)两个代数式变成与@ •盯和ab有关的代数式，再整体代入进行计算，求出代数式的值・解：(l)a2+b2=(a—b)2+2ab.因为Q—方=4, 所以原式=42+2X(-3) = 16-6=10 ・(2)(a +b)2=(a —b)2+4ab.因为a—〃=4, ab = —3, 所以原式=42+4X(-3)= 16-12=4.易错剖析例4已知X2—2mx+l是一个完全平方式，则m= ___________ .解析：根据完全平方公式得:X2 - 2mx + 1 = (x±l)2 = x2±2x + 1,即-2加=±2,所以m = ±l.答案:±1。