第十二章 量纲分析和相似原理
量纲分析和相似原理
（3）确定无量纲量π的方法： 1> 从 n 个物理量中选出 m 个相互独立的基本量； 2> 由 m 个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基 本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子
分母量纲相同，即可求得无量纲量π。
如 m=3，
π1 = x4 /(x1α1 x2β1 x3γ1)
π2 = x5 /(x1α2 x2β2 x3γ2 )
3、量纲分析的具体应用： （1）量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用： 1> 检查所建立的物理方程是否正确； 2> 可用于同一量纲的单位换算； 3> 确定各物理量之间的合理形式； 4> 设计系统实验及分析实验结果。
三、量纲分析法 1、瑞利法： （1）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析； （2）适用范围： 方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲 间的关系较易确定。
（2）表达式：
1> 时间比尺： 2> 速度比尺： λ t= t p / t m λv = vp / v m=λl /λt
3> 加速度比尺：
（3）意义：
λa= ap / am=λl /λt2 =λv2 /λl
运动相似是模型实验的真正目的。
3、动力相似 ——指两个流动对应点上受到同名力的作用， 力的方向相同、大小成比例。 （1）条件： 1> 几何相似； 2> 对应点上同物理性质的力方向相对应， 大小成比例。
（2）选基本量，组成π 项。基本量d,ρ ,υ , n=7, m=3, π 数n-m=4个
（3）决定各π项基本量指数 对π1：
对π 2 ：
同理得 ：
（4）整理方程式 设
f 4 (Re,
第十二章 量纲分析与相似原理
解：
F
(
hf L,, D,Fra bibliotek, , ,
g)
0
的个数N()=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个1 ，因hf和L量纲都是长度。
取v、 D、 为基本变量，则
2
v D x2 y2 z2
[ML1T 1] [L / T ]x2 [L]y2 [M / L3 ]Z2
大小比 值相等。
f
F1 F2
m1a1 m2a2
3L Lt 2
2L2u
初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何的，运动的和动力几方面。如固体边界上的法线流速
为零，自由液面上的压强为大气压强等。
• 流动相似的含义：
几何相似是运动相似的前提与依据； 动力相似是决定二个水流运动相似的主导因素； 运动相似具有几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量为（n-m）个无量纲数。
定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各
个物理量及其关系式：
f(x1, x2,xn ) 0
（2）确定基本量纲：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为
基本量纲的代表，一般取m=3。
定理的解题步骤：
（3）确定 数的个数N（ ）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理
• 几何相似 • 运动相似 • 动力相似 • 初始条件和边界条件一致
• 几何相似
几何相似：即原型和模型及其流动所有的线性变量的比值均相等。
L1 l L2
A1
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
相似原理与量纲分析
型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到
收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。
算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。
3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究
手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
1、几何相似 2、运动相似 3、动力相似
§5.2 相似概念和相似定理
高速列车 模型
风洞试验
运动相似：
对试验流 场的要求
几何相似：
对试验对 象的要求
动力相似：
对试验对象 和流场相互 作用的要求
缩尺比例：1：8 原型长度：27m/节 三车编组
§5.2 相似概念和相似定理
1、几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似
若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部
相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出 §5.2 相似概念和相似定理 §5.3 相似准则 §5.4 模型试验方法 §5.5 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
第十二章 量纲分析和相似原理
（1）对处于阻力平方区的明渠水流都要求满足重力相似准则（即佛汝德相似准则）和紊动阻力相似，其条件为：
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。具体的"数值"和"单位"就准确地表示出了该物理量的大小。从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的。由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
流量比尺： （10-5）
时间比尺： （10-6）
作用力比尺： （10-7）
二、 基本量纲与诱导量纲
量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
第二节 相似现象的相似特征
一、 流动相似的概念
相似是人们常遇到的概念，最常见的是指几何相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。
流动相似是几何相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是流动相似的前提，动力相似是流动的相似的保证，运动相似是几何相似与动力相似的表现形式。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理是一种在工程领域常用的分析方法，用于研究物理量之间的关系和相似性。
通过量纲分析，可以确定物理量之间的依赖关系，从而简化问题的求解过程，提高工程设计的效率。
相似原理则是利用量纲分析的结果，通过建立相似模型来研究实际问题，从而获得与实际情况相似的结果。
在进行量纲分析时，首先需要明确问题中涉及的物理量，包括基本物理量和派生物理量。
基本物理量是不可再分的物理量，例如长度、质量、时间等。
派生物理量是由基本物理量组合而成的物理量，例如速度、加速度、力等。
在量纲分析中，我们通常使用方程式来表示物理量之间的关系，例如 F = ma，其中 F 表示力，m 表示质量，a 表示加速度。
接下来，我们需要确定问题中的基本物理量及其单位。
单位是表示物理量大小的标准，例如长度的单位可以是米，质量的单位可以是千克。
在量纲分析中，我们通常使用方括号 [] 表示物理量的量纲，例如 [F] 表示力的量纲。
根据国际单位制的规定，基本物理量的量纲可以表示为 [L] 表示长度的量纲，[M] 表示质量的量纲，[T] 表示时间的量纲。
在进行量纲分析时，我们需要根据物理量之间的关系，确定它们的量纲式。
量纲式是表示物理量之间关系的方程式，其中物理量的量纲用方括号表示。
例如在力学中，根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以得到 [F] = [M][L][T]^-2，表示力的量纲是质量乘以长度再除以时间的平方。
通过量纲分析，我们可以确定物理量之间的依赖关系。
在确定依赖关系时，我们需要注意量纲式中的常数，例如在牛顿定律中的常数就是 1。
通过分析量纲式中的常数，我们可以确定物理量之间的比例关系，从而简化问题的求解过程。
相似原理是在量纲分析的基础上建立的。
在研究实际问题时，我们通常无法直接进行实验或观测，而是通过建立相似模型来模拟实际情况。
相似模型是在尺寸、速度、时间等方面与实际情况相似的模型。
通过量纲分析，我们可以确定相似模型与实际情况之间的比例关系，从而将实际问题转化为相似模型的求解。
相似原理和量纲分析
ρ vl vl = = Re µ ν
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞力 称为雷诺（ 称为雷诺 ） 它是惯性力与粘滞力 的比值。 的比值。 二流动的粘滞力作用相似， 二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定 e ；反之亦然。这便是粘滞力相似准 相等， R 反之亦然。 相等，即 e′ =R 又称雷诺准则。 则，又称雷诺准则。 由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量 的比例尺要受雷诺准则 雷诺准则的制约，不能全部任意选择。 雷诺准则 例如，当模型与原型用同一种流体 时，kρ = kµ = 1 ，故有
它是当地惯性力与迁移惯性力的比值。二非定常流动 相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，即 Sr′ = Sr ； 反之亦然。这便是非定常性相似准则，又称斯特劳哈 尔准则或谐时性准则。 f 倘若非定常流是流体的波动或振荡，其频率为 , 则 lf 斯特劳哈尔数 （4Sr = v 32a） 斯特劳哈尔准则 31a)
kv = k
1 2 l
粘滞力相似准则
kF
µ ′(d v ′ d y ′ )A ′ x = = = kµ kvkl Fµ µ (dv x d y )A
F µ′
kF =1 2 2 k ρ kl kv
k ρ kvkl kµ
=1
kvkl =1 kν
ρ ′v′l ′ ρvl = µ′ µ
v′l ′ vl = ν′ ν
t ′ l ′ v′ kl kt = = = t l v kv
（4-5）
由几何相似和运动相似还可以导出用 kl 、kv 表示的有关运动 学量的比例尺如下：图4-2速度场相似
BACK
加速度比例尺
a ′ v′ t ′ k v k v ka = = = = a v t kt kl
相似性原理和量纲分析
拓展应用领域
随着相似性原理研究的不断深入，其 应用领域也将不断拓展，为更多领域 提供新的思路和方法。
02
量纲分析基本原理
量纲的定义与作用
量纲的定义
量纲是描述物理量性质的一种分类， 表示物理量所属的种类，如长度、时 间、质量等。
03
关注新兴技术的发展 与应用
关注计算机模拟、人工智能等新兴技 术的发展动态，及时将其应用于相似 性原理和量纲分析的研究中，提高其 研究水平和实用性。
THANKS
感谢观看
成为制约其应用的瓶颈之一。
发展趋势与前景展望
多学科交叉融合
随着学科交叉的深入发展，相似性原理和量纲分析有望在更多领域发挥作用，如生物医学、环境科学、社会科学等。
高精度数值模拟与实验技术的结合
随着计算机技术的进步，高精度数值模拟方法将为相似性原理和量纲分析提供更准确、更全面的数据支持，同时与实 验技术的结合将进一步提高其预测能力和实用性。
02
指导实验设计
03
促进模型建立
通过相似性原理，可以指导实验 设计，使得实验结果具有可比性 和可预测性。
相似性原理有助于建立数学模型， 从而更深入地理解物理现象的本 质。
Hale Waihona Puke 量纲分析在相似性原理中的应用
确定相似准则
01
通过量纲分析，可以确定影响物理现象的相似准则，进而建立
相似模型。
推导相似关系
02
利用量纲分析，可以推导出不同物理量之间的相似关系，为实
根据物理量的定义和性质，列出其对应的量 纲表达式。
验证结果
通过比较运算结果与已知物理量的量纲是否 一致，验证分析的准确性。
相似原理与量纲分析法
3）有自由面的流动，Fr和Gr是重要的；
4）有传热的流动，Pr是重要的； 5）高速流的传热，Ec是重要的。
§12-3 量纲分析法
一、基本量纲
基本单位：
长度 [L]、时间 [τ]、质量 [M]、温度 [T]
导出单位：
力 [MLτ-2]、 动力粘度 [M L-1τ-1]、 密度 [Mτ-3]、 加速度 [Lτ-2]、 比热 [L2T-1τ-2]，…… 压强 [ML-1τ-2]、 运动粘度 [L2τ-1]、 速度 [Lτ-1]、 导热系数 [Mτ-3T]、
非定常项 对流项 重力 压差 粘性应力
当准则数很大或很小时，可以忽略有关的项，从而简化方程。 比如：物体尺寸很小，流速振动周期很大时，St会很小，非定常项可忽略； 高速流动（大尺度），Fr很大，可忽略重力项； 大尺度高速流动，Re很大，甚至可忽略粘性项（即理想流体），Re很小时，则可 忽略粘性项→转化为线性微分方程。
一．流动相似
1、几何相似： 夹角相等，形状相似，几何尺寸对应成 比例。
长度：
l d D Cl1 l d D
面积：
体积：
A Cl2 A V Cl3 V
流动相似
2、运动相似： 对应时空点的速度方向相同，大小成比 例。
速度： 加速度： 体积流量：
模型方程：
w w w w 1 p 2 w 2 w 2 w u w g ( 2 2 2) t x y z z x y z
流动相似：
t Ct , t
C ,
kM a1 a3 L3a1 a2 a3 a4 a5 a2 a3
量纲分析和相似原理
，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
i x x x xi
x y z 1 2 3
i 1,2,n m
(4)确定量纲一π参数：由量纲和谐原理解联立指数
方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各量纲一
π参数。
(5)写出描述现象的关系式φ(π1,π2,……,πn-m)=0 ,
解π参数。
设变量共5个，其中x1、x2、x3为三个基本量(m=3), 则x1、x2、x3可与余下的x4，x5组合成2个(n-m=2) 量纲一π1、π2。
三 物理方程量纲的一致性
量纲和谐原理(theory of dimensional omogeneity)： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。 物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律性： 1．物理方程中各项的量纲应相同。 2．任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组 成的方程而不会改变物理过程的规律性。 3．物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各 量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而 发生改变。
应该指出：量纲分析并没有也不可能给出流 动问题的最终解，它只提供了这个解的基本 结构，函数的数值关系还有待于实验研究。
§4-3 流动相似性原理
采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题 的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中 产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型 中去？ 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
相似性原理和量纲分析
tp tm
lp lm
vp vm
t
v2 l
4
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
5
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
6
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的
24
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表
名称
长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λυ=1
λl λl-1 λl-3 λl
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
25
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
20
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
16
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
量纲分析与相似理论
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
相似原理和量纲分析
对L 1 a1 b1 3c1 T 2 b1
M 1 c1
得 a1 0,b1 2,c1 1
1ຫໍສະໝຸດ pv 2Eu
2
ML1T 1 La2 LT 1 b2 ML3 c2
a2 1,b2 1,c2 1,
2
瑞利法是用定性物理量 的某种幂次之积的函数来表示被决定的物理量 y，即
式中，k为无量纲系数，由试验确定；
一致性原则求出。
为待定指数，根据量纲
应用举例
瑞利法
对于变量较少的简单流动问题，用瑞利法可以 方便的直接求出结果；对于变量较多的复杂流动问 题，比如说有n个变量，由于按照基本量纲只能列出 三个代数方程，待定指数便有n-3个，这样便出现了 待定指数的选取问题，这是瑞利法的一个缺点。
对于气体，宜将柯西准则转换为马赫准则。由于
K c2（c为声速），故弹性力的比例尺又可表示
为 kF kc2kkl2，代入式（4-16），
kv 1 kc
v v c c
v Ma c
Ma称为马赫（L.Mach）数,它仍是惯性力与弹性力的 比值。二流动的弹性力作用相似，它们的马赫数必定
称欧拉准则。
欧拉数中的压强p也可用压差p 来代替，
这时 欧拉数
p
Eu v2
（4-28）
欧拉相似准则
p p
v2 v2
（4-29）
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，必须保证模型与原
型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯
性力之比可以表示为
kF
Fit Fit
相似的概念首先出现在几何学里，如两个三角形相似时，对应边 的比例相等。流体力学相似是几何相似概念在流体力学中的推广和发 展，它指的是两个流场的力学相似，即在流动空间的各对应点上和各 对应时刻，表征流动过程的所有物理量各自互成一定的比例。表征流 动过程的物理量按其性质主要有三类，即表征流场几何形状的，表征 流体微团运动状态的和表征流体微团动力性质的，因此，流体的力学
量纲分析与相似原理
2 量纲分析方法
通过对物理参数之间的函数关系进行量纲分析，可以 找出物理参数之间的实质性联系，从而简化函数关系。 布金汉（E. Buckingham）1914年提出了 定理。
定理（布金汉定理）
设一物理现象与 n 个物理参数 ( q1，q2，……，qn )
相关，即 f ( q1，q2，……，qn ) = 0 且上述 n 个物理参数所涉及到的基本量纲数为 m，则该 物理现象可由 n- m 个独立的无量纲参数 (1， 2，……， n-m ) 之间的函数关系式描述，即 F (1， 2，……， n-m ) = 0
例 写出流体动力粘度 在国际单位制中的量纲。
解 由牛顿内摩擦定律 在国际单位制中 :
知
du dy
[] [ ] y /[V ]
力的量纲是 LMT-2 ，应力 的量纲是 L-1MT-2，
y 的量纲是 L，速度 V 的量纲是 LT-1； 动力粘度 的量纲为 []=L-1MT-2 L/LT-1=L-1MT-1
我国的法定单位制是国际单位制 基本量纲
长度 L 、质量 M 、时间 T 、温度 。
导出量纲 速度 LT-1 、加速度 LT-2 、力 MLT-2 、等等。
不可压缩流体的流动问题与温度变量无关， 只涉及到前 3 个基本量纲。 只有同类别的物理参数才能够比较彼此的大小， 因此方程中每一项的量纲都必须是相同的。
1、2 应该是无量纲的，所以
1 a 0 1 3a b c 0 2b 0
解出
1 e 0 1 3e f g 0 1 f 0
a 1 , b 2 , c 2 , e 1 , f 1 , g 1
例 考虑等截面水平圆管中的流动。压力降 p 取决于 管长 l、平均流速 V、流体动力粘度 、流体密度 、管直径 d、管壁粗糙度 。试确定独立的无 量纲参数 。
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第一节 量纲分析
一、量纲和单位
量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。量纲也称因次（Demension）。
单位：度量各种物理量数值大小的标准。即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。
当采用同种液体进行模型试验时λv＝1苦工作，并长期埋头沉浸于其中的任务，方可望有所成就。——黑格尔
流量比尺： （10-5）
时间比尺： （10-6）
作用力比尺： （10-7）
量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。
只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉浸于其中的任务，方可望有所成就。——黑格尔
第十二章 量纲分析与相似原理
实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。
（2）选取基本量纲。可以选[L,T,M]，也可选[L,T,F]，基本量纲选择不同，不会影响到最后的分析结果。
（3）用基本量纲表示所有物理量的量纲。
（4）从个物理量中选取个物理量作为基本物理量，一般取3。要求所选的3个基本物理量在量纲上相互独立。量纲独立是指三个基本物理量中的任一个物理量的量纲不能由另外两个物理量的量纲诱导出来，或者说这三个基本物理量不能组成无量纲量。
压强比尺： （10-8）
（2）管道层流运动的相似通常要求满足粘滞力相似准则（雷诺相似准则），即
（Re）P=（Re）M （10-9）
第二节 相似现象的相似特征
一、 流动相似的概念
相似是人们常遇到的概念，最常见的是指几何相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。
流动相似是几何相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是流动相似的前提，动力相似是流动的相似的保证，运动相似是几何相似与动力相似的表现形式。
时间比尺： （10-12）
作用力比尺： （10-13）
压强比尺： （10-14）
利用π定理可将此函数关系式简化为
其中，、、...为独立参数。每个数都是由上述各变量组成的无量纲量。至于函数的具体形式则必须由实验确定。
2、π定理的意义：π定理指出，由于方程中各项的量纲是一致的，函数与其作为个独立自变量之间的关系，不如改为个互相独立的无量纲π之间的关系，即函数。因为后者所包含的变量数目较前者减少了个，而且是无量纲的，这样就具有了如下两个优点：①无量纲参数图较之有量纲参数坐标中绘制的图应用范围更广泛。②无量纲关系通常可以根据模型试验绘制，而且无量纲关系式可以指导如何组织试验、简化试验、整理试验成果，可以使试验工作量大为减少。
五、量纲分析法--π定理
1、π定理的内容：任一物理过程包含有个有量纲的物理量，如果选择其中的个作为基本物理量，则这一物理过程可由个物理量组成的个无量纲量所组成的关系式描述。因这些无量纲数是用π表示的，故称为π定理。以数学形式可表示如下。
设个物理量为、......，则这一物理过程可表示为一般函数关系式
当长度比尺为λL时，其它物理量的比尺关系为：
流速比尺： （10-10）
流量比尺： （10-11）
二、牛顿相似准则
相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。
在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为：
（Ne）P=（Ne）M （10-1）
实际工程中作用在明渠水流上的主要作用力是重力、惯性力和紊动阻力，管流层流运动主要是惯性力和粘滞阻力。因此保证在主要作用力相似的条件下，可以使模型试验的精度满足实际工程的需要，为工程设计提供依据。
（1）对处于阻力平方区的明渠水流都要求满足重力相似准则（即佛汝德相似准则）和紊动阻力相似，其条件为：
（Fr）P=（Fr）M （10-2）
（10-3）
3、π定理的应用步骤
（1）根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量，并写出一般函数关系式。这里所讲的影响物理现象的物理量是指对所研究的现象其作用的所有各种独立因素，可以是变量，也可以是常量。对于水流现象来说，影响水流现象物理量主要有：①水的物理特性；②流动边界的几何特性；③流动的运动特性。影响因素列举是否全面，将直接影响到分析结果，这就要求我们对水流现象有比较深刻的认识，否则很难得到正确结论。这也就是说，π定理只能是一种分析问题的工具，并非是解决问题的万能工具。如果影响因素分析不正确，及时量纲分析正确，也不能得到正确的结论。
（4）无量纲量或无量纲数：，，
三、 无量纲量
无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。如底坡、雷诺数、佛汝得数等都是无量纲量。
无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。量纲分析的目的之一就是找出正确地组合无量纲量的方法。
式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F可以是任何种类的力，下标P和M分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。
10.3重力相似准则和粘滞力相似准则
作用在液体上有许多种力，其中主要作用力是重力、惯性力和阻力，阻力又可分为粘滞阻力和紊动阻力。通过理论可以证明，要使作用在液体上所有的力同时满足相似条件是不可能的，也就是说流动的完全相似是做不到的。在模型试验中重力和粘滞阻力同时满足相似就是不可能的，除非长度比尺为λL＝1。
二、 基本量纲与诱导量纲
量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲是指具有独立性的量纲。该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。
同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。具体的"数值"和"单位"就准确地表示出了该物理量的大小。从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的。由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。
诱导量纲是指由基本量纲推导出的量纲。在各种力学问题中，任何一个物理量的量纲都可以用三个基本量纲的指数乘积形式表示，这称为诱导量纲公式，即
式中，任一物理量的性质可由基本量纲的指数、、确定。水力学中常见的物理量有以下几类：
（1）几何量：，，
（2）运动量：，，
（3）动力量：，，
四、量纲和谐原理
量纲和谐原理是指物理方程中各项的量纲必须保持一致。即只有两个同类型的物理量才能相加减，但不同类型的物理量可以相乘除，从而得到另一诱导量纲的物理量。
如果一个物理方程量纲和谐，则方程的形式不随量度单位的改变而改变。因此，量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性。利用量纲和谐原理可以确定公式中物理量的指数，可以建立物理方程，可以实现单位兑换。
式中：n P、n M分别是原型和模型的糙率，λL是模型的长度比尺。
根据（10-2）和（10-3）式，可以导得满足重力相似和紊动阻力相似的其它物理量的比尺关系：
流速比尺： （10-4）