湖南省茶陵县第三中学人教A版高中数学必修1课件：1.1.1 集合的表示 第2课时

合作探究 课堂互动
列举法表示集合
用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)小于8的质数组成的集合C；
(4) 一次函数 y ＝x ＋3 与y ＝－ 2x ＋ 6的图象的交点组成的集 合D.
[ 边听边记]
(1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，
答案： (1){0,1,2,3}
因忽略集合中代表元素的表现形式而出错
◎ 用 列 举 法 表 示 集 合 A ＝ {(x ， y)|y ＝ x2 ， － 1≤x≤1 ，
x∈Z}． 【错解】 由－ 1≤x≤1(x∈Z) ，得 x ＝－ 1,0,1 ，代入 y ＝ x2，得y＝1,0，∴A＝{0,1}．
解析： (1)x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝ 2；x＝4时，y＝3.故B＝{0,1,2,3}． (2)①当从这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1,2,3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12,21,13,31,23,32； 当抽出3个数字时，可组成自然数1示为 {1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312}．
∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}.
[思路探究] 1．用描述法表示集合的关键是什么？
2．代表元素满足的性质如何表达？
用描述法表示集合的三个注意点 (1)先定性，即弄清集合是数集、点集还是其他类型．一般
地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表
示． (2)竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、 不等式、函数或几何图形等． (3)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说 明其含义并指出其取值范围．
[思路探究] 如何根据集合中元素的特点选用适当方法表示集合？
用列举法和描述法表示集合的三点要求
3．(1)若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x－1，x∈A}， 将集合B用列举法表示为________． (2)用适当方法表示下列集合： ①从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复) 所组成的自然数的集合； ②方程 2x＋1＋|y－2|＝0的解集； ③由二次函数y＝3x2＋1图象上所有点组成的集合．
小明跟着妈妈去超市买东西，发现在货架上摆满了各种饮 料，有牛奶、核桃露、营养快线、椰子汁，若把这些饮料用集 合表示小明该怎样办？
[提示] 可以一一列举出来，也可以描述出来．
第2课 集合的表示
自主学习 新知突破
列举法
一一列举 出来，并用花括号“{ 把集合中的元素____________ －1)＝0的解集可以表示为{－1,1}． }”
[思路探究]
1．用列举法表示集合的关键是什么？
2．数集和点集中的元素有什么不同？
用列举法表示集合的三个注意点 (1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其
他的对象，即先定性．
(2)元素之间用“，”隔开而非“；”． (3)元素不能重复且无遗漏．
1．用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数集； |a| b (2)由 ＋ (a，b∈R)所确定的实数集合； a |b|
描述法
用集合所含元素的 ______________ 表示集合的方法称为 共同特征 描述法 ．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素 __________
的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写
出这个集合中元素所具有的共同特征．
用描述法表示集合时应注意以下几点： (1) 写清楚该集合中元素的代号 ( 字母或用字母表达的元素 符号)； (2)说明该集合中元素的性质； (3)所有描述的内容都可写在集合符号内； (4)用于描述条件的语句力求简明、准确； (5)描述法一般形式的结构特征： 在描述法的一般形式 {x∈I|p(x)} 中， “ x”是集合中元素的 代表形式， I 是x 的范围， “ p(x)” 是集合中元素 x 的共同特征， 竖线不可省略．
∴A＝{2,3,4,5}． (2)方程x2－9＝0的实数根为－3,3， ∴B＝{－3,3}． (3)小于8的质数有2,3,5,7， ∴C＝{2,3,5,7}．
y＝x＋3， (4)由 y＝－2x＋6，
x＝1， 得 y＝4，
∴一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)， ∴D＝{(1,4)}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝
x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点 (x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象．
集合表示法的选择
用适当的方法表示下列集合：
x＋y＝2， (1)方程组 3x＋2y＝5
的解集；
(2)100以内被3除余1的正整数； (3)到两坐标轴距离相等的点的集合； (4)所有的正方形．
x－y＝2， (3)求方程组 2x＋y＝1
的解集．
解析： (1)∵不大于10是小于或等于10；非负是大于或 等于0的意思，∴不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}． |a| b (2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝ ＋ ，当a>0， a |b| b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝ 0，故用列举法表示为{－2,0,2}．
x－y＝2， (3)解方程组 2x＋y＝1， x＝1， 得 y＝－1.
故此方程组的解集为{(1，－1)}．
描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解析： (1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求 为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n ∈N*}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正 整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表 示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个 为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝ 0}．
②由算术平方根及绝对值的意义，可知
2x＋1＝0， y－2＝0，
1 x＝－ ， 2 解得 y＝2.
1 因此该方程的解集为－2，2.
③首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2＋1图象上的 所有点，故用描述法可表示为{(x，y)|y＝3x2＋1，x∈R}．
括起来表示集合的方法叫做 __________ 列举法 ．例如，方程 (x ＋ 1)(x
用列举法表示集合应注意以下几点：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复； (3)元素无顺序； (4)元素不能遗漏； (5)若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在 不发生误解的情况下，也可以用列举法表示，如正整数集可表 示为{1,2,3,4，„}．
【错因】
误把点集当数集 ，与 {y|y ＝ x2 ，－ 1≤x≤1 ，
x∈Z} 混淆．因此，解集合题时一定要弄清集合的本质是什
么，而集合的本质取决于代表元素的表现形式．
【正解】 由－1≤x≤1(x∈Z)，得x＝－1,0,1，代入y＝
x＝－1， 2 x ，得 y＝1， x＝0， y＝0， x＝1， y＝1，
2．下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
解析：
(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是
互不相同的集合．
(2) 集合 A ＝ {x|y ＝ x2 ＋ 1} 的代表元素是 x ，且 x∈R ，所以 {x|y ＝ x2 ＋ 1} ＝ R ，即 A ＝ R ；集合 B ＝ {y|y ＝ x2 ＋ 1} 的代表元素 是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋ 1}＝{y|y≥1}．