1986年第1届华杯初赛ok

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第一届华杯赛初赛试题的答案

第一届华杯赛初赛试题的答案第一届华杯赛初赛试题的答案参考答案第一届华杯赛初赛试题答案：1.【解】1986是这五个数的平均数，所以和=1986×5=9930。

2.【解】方框的面积是。

每个重叠部分占的面积是一个边长为1厘米的正方形。

重叠部分共有8个()×5一l×8=(100—64)×5—8=36×5—8=172(平方厘米)。

故被盖住的面积是172平方厘米。

3.【解】105=3×5×7，共有(1+1)×(1+1)×(1+1)=8个约数，即1，3，5，7，15，21，35，105。

4.【解】在这道题里，最合理的安排应该最省时间。

先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟。

5.【解】149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的和。

于是，四个数字的总和是14+9=23。

6.【解】松鼠采了：112÷14=8(天)假设这8天都是晴天，可以采到的松籽是：20×8=160(个)实际只采到112个，共少采松籽：160-112=48(个)每个下雨天就要少采：20-12=8(个)所以有48÷8=(6)个雨天。

7.【解】因为正方体的边长是1米，2100个正方体堆成实心长方体的体积就是2100立方米。

已经知道，高为10米，于是长×宽=210平方米把210分解为质因数：210=2×3×5×7由于长和宽必须大于高(10米)，长和宽只能是：3×5和2×7。

也就是15米和14米。

14米+15米=29米。

答：长与宽的和是29米。

8.【解】39-32=7。

这7分钟每辆行驶的距离恰好等于第二辆车在8点32分行过的距离的1(=3-2)倍。

方程应用题

1. （第一届华杯赛初赛第8题）早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。

两辆车的速度都是每小时60千米。

8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。

到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。

那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的?2. （第一届华杯赛初赛第16题）有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。

每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。

这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟?3. （第一届华杯赛决赛第12题）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他时候，离家恰好是8公里。

问这时是几点几分？4. （第一届华杯赛总决赛一试第13题）如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。

小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。

问甲、丙两站的距离是多少米？5. （第一届华杯赛总决赛二试第4题）快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？6. （第二届华杯赛初赛第2题）一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？7. （第二届华杯赛决赛第11题）王师傅驾车从甲地开乙地交货。

华杯赛试题及答案

华杯赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是华杯赛的全称？A. 中国数学奥林匹克竞赛B. 中国数学华罗庚杯竞赛C. 中国数学华杯赛D. 全国青少年数学华罗庚杯竞赛答案：D2. 华杯赛的举办周期是多久？A. 每年一次B. 每两年一次C. 每三年一次D. 每四年一次答案：A3. 华杯赛的参赛对象是？A. 小学生B. 初中生C. 高中生D. 大学生答案：B4. 华杯赛的试题难度级别是？A. 初级B. 中级C. 高级D. 专家级答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 华杯赛的全称是________。

答案：全国青少年数学华罗庚杯竞赛2. 华杯赛的举办周期是________。

答案：每年一次3. 华杯赛的参赛对象是________。

答案：初中生4. 华杯赛的试题难度级别是________。

答案：高级三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的第10项。

答案：该等差数列的公差为3，所以第10项为2 + 3 * (10 - 1) = 31。

2. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。

答案：圆的面积公式为πr²，所以面积为π * 5² = 25π。

3. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边长度为√(3² + 4²) = 5。

四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：如果一个三角形的两边相等，则这个三角形是等腰三角形。

答案：设三角形ABC中，AB = AC，根据等腰三角形的定义，如果一个三角形有两边相等，则这个三角形是等腰三角形，所以三角形ABC是等腰三角形。

2. 证明：如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形。

答案：设四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直平分，根据菱形的定义，如果一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形，所以四边形ABCD是菱形。

历届华杯赛初赛小高真题

初赛试卷（小学高年级组）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（）．（A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是华庚金杯其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（）.（A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（）得到的糖水最甜.（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A 的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么γβα++ 的最小值是（）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）315. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）126. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书..8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式个个2016201699999999 的结果中含有（）个数字0．（A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（）米．（A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（）．（A ）84 （B ）80 （C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（）．（A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。

1986—2002年中国数学奥林匹克竞赛试题

1986-2002中国数学奥林匹克1986年第一届中国数学奥林匹克1.已知a1, a2, ... , a n为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+ x2+ ...+x n=1的任意非负实数x1, x2, ... , x n，有不等式a1x1+ a2x2+ ...+a n x n≧a1x12+ a2x22+ ...+a n x n2成立。

请证明上述命题及其逆命题。

2.在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？3.设z1, z2, ... , z n为复数，满足| z1|+ | z2 |+ ...+| z n|=1。

求证：上述n个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。

4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。

求证：四个三角形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。

5.能否把1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。

请证明你的结论。

6.用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。

求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。

1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。

已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

华杯赛第一期练习题及答案

华杯赛第一期练习题及答案
（摘要）数学竞赛，需要较好的数学功底和应变能力，乃至于悟性，所以一赛下来成
绩就会参差不齐，就会有好有坏。

为参加华杯赛第一期数学竞赛的孩子准备了“第18届”，供大家练习!
试题一：
某公司有一项运动--爬楼上班，公司正好在18楼办公。

一天该公司的箫菲爬楼上班，她从一楼爬到六楼用了90秒，由于爬楼很累每爬一层都要比上一层多用2秒时间，那么
她到18楼共需要多少分钟?
答案：
爬到六楼每一层平均用时间：90÷6-1=18秒。

爬第一层用时间：18-2×2=14秒;
到18楼共爬楼：18-1=17层;
爬最后一层用时间：14+2×17-1=46秒;
总共爬楼用时：14+46×17÷2÷60=8.5分钟。

总结：以上有关于“第18届”就介绍完了，通过对本文的.阅读，希望考生数学功底
和应变能力能够有所提高，并且祝考生们取得好的成绩!
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

1986年全国高中数学联合竞赛试题及解答

1986年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题(本题满分42分，每小题7分，每小题答对得7分，答错得0分不答得1分)1986*1、设01<<-a ，a arcsin =θ，那么不等式a x <sin 的解集为()A．{}Z n n x n x ∈-+<<+,)12(2θπθπB．{}Zn n x n x ∈++<<-,)12(2θπθπC．{}Zn n x n x ∈-<<+-,2)12(θπθπD．{}Zn n x n x ∈+<<--,2)12(θπθπ◆答案：D★解析：02<<-θπ，在()0,π-内满足a x <sin 的角为θθπ<<--x ，由单位圆易得解为D ．1986*2、设x 为复数，{}221)1(-=-z z z ，那么()A．{}纯虚数=M B．{}实数=M C．{}实数⊂≠M ⊂≠{}复数D．{}复数=M ◆答案：B★解析：即()()011)1(2=----z z z ，即()0)1(=--z z z ，所以1=z 或z z =，总之，z 为实数．选B 1986*3、设实数c b a ,,满足⎩⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，那么，a 的取值范围是（）A.()+∞∞-, B.()+∞∞-,9[]1, C.()7,0 D.[]9,1◆答案：D ★解析：第一式×3+第二式：027*******=+-+-+a a bc c b ，得()0)9)(1(32=--+-a a c b ，进而0)9)(1(≤--a a ，所以91≤≤a ．选D ．1986*4、如果四面体的每一个免都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（）A.3B.4C.5D.6◆答案：A★解析：不妨取等腰四面体，其棱长至多2种长度．棱长少于3时，必出现等腰三角形．选A ．1986*5、平面上有一个点集M 和七个不同的圆721,,,C C C ，其中圆7C 恰好经过M 中的7个点圆6C 恰好经过M 中的6个点，…圆1C 恰好经过M 中的1个点，那么M 中的点数最少为（）A.11B.12C.21D.28◆答案：B★解析：首先，7C 经过M 中7个点，6C 与7C 至多2个公共点，故6C 中至少另有4个M 中的点，5C 至少经过M 中另外1个点，共有至少7+4+1=12个点．1986*6、边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a s ++=，cb a t 111++=，则s 与t 的大小关系是（）A.t s > B.t s = C.t s < D.不确定◆答案：C ★解析：R abc C ab S 4sin 21==∆，由1=R ，41=∆S ，知1=abc ．且三角形不是等边三角形．∴s c b a abc c b a accb ab c b a t =++=++=++≥++=111111．(且等号不成立)．选C ．二、填空题(本题满分28分，每小题7分)：本题共有4个小题，每小题的答案都是000到999的某一个整数，请把你认为正确的答案填在上．1986*7、在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，其球心距为13，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是．◆答案：25★解析：易得13125.66cos ==α，于是椭圆长轴为13，短轴为12．所求和为25．1986*8、已知x x f 21)(-=，[]1,0∈x ，那么方程x x f f f 21)))(((=的解的个数是．◆答案：8★解析：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-≤<-≤≤-=--=143,344321,432141,14410,412121))((x x x x x x x x x x f f ，同样)))(((x f f f 的图象为8条线段，其斜率分别为8±，夹在0=y 与1=y ，0=x ，1=x 之内．它们各与线段x y 21=(10≤≤x )有1个交点．故本题共计8解．1986*9、设4)(+=x x x f ，那么和式10011000()10013()10012()10011(f f f f ++++ 的值等于；◆答案：500★解析：代入可求得1)1()(=-+x f x f ．将所求的式子首尾配对（共500对），得所求和为5001500=⨯．1986*10、设z y x ,,为非负实数，且满足方程02562684495495=+-⨯-++++z y x z y x ，那么z y x ++的最大值与最小值的乘积等于．◆答案：4★解析：令t z y x =++4952，则得0256682=+-t t ，解得4=t 或64=t ．当4=t 时，即2495=++z y x ，即4495=++z y x ，故4544)(9≥++=++z x z y x ，所以94≥++z y x ；又454)(4≤--=++y x z y x ，得1≤++z y x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++1,94z y x ；当64=t 时，6495=++z y x ，得36495=++z y x ，故365436)(9≥++=++z x z y x ，所以4≥++z y x ；又36536)(4≤--=++y x z y x ，得9≤++z y x ．故，所求最大值与最小值的乘积为4994=⨯．1986年全国高中数学联合竞赛二试1986*一、(本题满分17分)已知实数列 ,,,210a a a ，满足i i i a a a 211=++-，( ,3,2,1=i )求证：对于任何自然数n ，n n n n n n n n n n n n n n x C a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 是一次多项式．(本题应增加条件：10a a ≠)★证明：由已知，得11-+-=-i i i i a a a a ，⇒故{}i a 是等差数列．设01≠=--d a a i i ．则kd a a k +=0．于是n n n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x P +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(1112222111100 ()()++-++-++-=-- 2220111000)1(2)1()1(n n n n n n x x C d a x x C d a x C a ()()()nn n n n n x C nd a x x C d n a ++--+--0110)1(1[]++-++-+-+-=----n n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x C a )1()1()1()1(1122211100 ()[]n n n n n n n n n n x nC x x C n x x C x x C d +--++-+-----)1(1)1(2)1(11222111 (由11--=k n k n nC kC 继续化简)[]1112221111010)1()1()1()1(---------+-++-+-++-=n n n n n n n n n n n x C x x C x x C x C ndx x x a ()x a a a x x ndx a n n 0010)1(-+=+-+=-，此为一次多项式．证毕．1986*二、本题满分17分)已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为R ，点F E D ,,分别在边AB CA BC ,,上，求证：CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高的充要条件是()DE FD EF R S ++=（其中S 是ABC ∆的面积）★证明：连OA ，则由B F E C ,,,四点共圆，得C AFE ∠=∠，又在OAB ∆中，()C C OAF ∠-=∠-=∠009022180，∴EF OA ⊥．∴EF R OA EF S OEAF ⋅=⋅=22，同理，DF R S OFBD ⋅=，DE R S ODCE ⋅=，故得()DE DF EF R S ++⋅=．反之，由()DE DF EF R S ++⋅=2．得EF OA ⊥，DF OB ⊥，ED OC ⊥，否则()DE DF EF R S ++⋅<2．过A 作⊙O 的切线AT ，则ACB TAF AFE ∠=∠=∠，所以D E F B ,,,四点共圆，同理，C D F A ,,,共圆，B D E A ,,,共圆．ADC AFC ∠=∠，ADB AEB ∠=∠．∴0180=∠+∠=∠+∠ADB ADC AEB AFC ．但BEC BFC ∠=∠，即090=∠=∠AEB AFC ，于是E F ,为垂足，同理D 为垂足，所以CF BE AD ,,是ABC ∆的三条高。

华杯赛历届考点汇总完美版

华杯赛考试试题难度在几大权威杯赛中是比较高的，不过我们仔细研究每年的试题，都会发现常见的知识点模块，我们针对性的做复习巩固，相信会取得不错的成绩。

本套试题针对杯赛考试的知识点模块考点，进行分析解答。

以供参考。

计算模块：一、计算模块命题特点分析结论1、常考提取公因数与平方差公式在第十三届、十四届华杯赛决赛中都考察到了提取公因数进行速算的方法，这里需要注意的是：计算会往分数计算方面侧重，整数计算涉及的可能性很小；平方差公式的灵活运用需要熟练掌握。

2、注意估算与取整为难点以第十四届华杯赛决赛第9题和第15届华杯赛决赛第8题为例，估算是华杯赛计算中常考的题，对于加减符号交替变化的估算题，一般算式的前几项就决定了整个算式的大概范围。

另外需要说明的是，对于初中下方的知识点取整，也属于估算的内容，这点是杯赛的热门，可能是考察的新方向，同学们需注意。

二、计算模块考察难度及考生获奖需要达到的程度1、考察难度计算题型常常作为第一题，因此难度不会很大，一般为2★难度左右。

对于估算，难度达到了3★，对于估算常用的方法不太熟悉就常常会因此而失分。

2、考生需要达到的程度考生复习的时候，若提取公因数方法与平方差公式运用没太大问题，侧重点可以放在估算与取整上。

要获奖，简单计算题是绝对不能丢分的。

建议以寒假和春季所涉及的关于计算的知识点讲解再重新整理一遍，把华杯赛历年考试所涉及到的估算题挑出来系统的整理一遍，提炼出估算方法及解题心得。

计数模块：一、计数模块命题特点分析结论1、计数在近两年的出题频率降低2008年及以前的华杯赛试题中，计数在每张试卷中大概出现两题左右，所占分值比例较高，但从09、10两年试题来看，计数的题目明显减少，数论中的整数拆分题目数量开始增多。

但为了避免杯赛出现知识点"大年"和"小年"的状况，也避免今年回归到增加计数类型的题目，我们还是把计数中的华杯常考点需要进行梳理。

历年华杯赛初赛真题合集(12年至17年)(小高组)

目录
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛............................................................................................................................ 1 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛........................................................................................................................... 3 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛........................................................................................................................... 5 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛............................................................................................................................... 7 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛............................................................................................................................... 9 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 ............................................................................................................................... 11 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 ..............................................................................................................................13 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 ..............................................................................................................................15 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 .............................................................................................................................. 17 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛............................................................................................................................. 19 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 ..............................................................................................................................21 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案............................................................................................................... 23 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案............................................................................................................... 24 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案............................................................................................................... 25 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 26 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ....................................................................................................................27 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 28 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛答案 ................................................................................................................... 29

【2019年整理】第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题

第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题1. 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?2．每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。

把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图1所示)。

问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米?3．105的约数共有几个?4．妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。

小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。

为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?5．下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。

被盖住的四个数字的总和是多少?6．松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。

它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。

问这几天当中有几天有雨?7．边长l米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。

它的高是10米，长、宽都大于高。

问长方体的长与宽的和是几米?8．早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。

两辆车的速度都是每小时60千米。

8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。

到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。

那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的?9．有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

问这个整数是几? 10．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。

结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。

问丁胜了几场?11．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数?12．黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。

问至少要取多少根才能保证达到要求?13．有一块菜地和一块麦地。

菜地的一半和麦地的l／3放在一起是13公顷。

历届华杯赛参考答案

2x +3y =15① 6x +13y =41② -22第2010届1：B ①+②得8x+16y=56，所以x+2y=72：C 3：A 原价：50045005y x + 现价:%)101(5004%)101(5005-++yx 即有50045005y x +=%)101(5004%)101(5005-++yx 化解即得x ：y=4:5 4：C设|x -1|-|x |=t ，即1=-t t 可知t=21-即|x -1|-|x|=21-所以|x -1|=|x|21-所以有|x|21≥即x ≤21-或x 21≥，当 x ≤21-时|x -1|=|x|21-,()211----x x ,无解；当121≤≤x 时|x -1|=|x|21-，()211-=--x x ，求得43=x ；当1≥x 时|x -1|=|x|21-,211-=-x x ,无解。

所以43=x 。

5：B2222222222222cabc ac c b a ca bc ab c b a ---++=---++()()2)(2222222222222c b c a b a bc c b ac c a ab b a -+-+-=-++-++-+=因为和相等，所以920+==+c b a 所以，9,11,20=--=--=-c b c a b a所以原式=()3012811214002911)20(222=++=+-+- 6：D平均值最大，即这5个数的和最大，所以负数只有1个，并且是最大的负整数，即-1。

所以其余4个都是正整数，它们乘积是240。

因为240=1×2×2×2×2×3×5。

把它写成4个不同的数的乘积并且和最大，所以这4个数是1,2,3,40。

所以这5个数的平均值(-1+1+2+3+40)÷5=9E7:2ax +y +z=a ，所以()22222222a xz yz xy z y x z y x =+++++=++x 1+y 1+z 1=0，所以0=++xyz xy xyz xz xyz yz ，即0=++xyzxy xz yz 因为0≠xyz 所以0=++xy xz yz 所以222222222z y x xz yz xy z y x ++=+++++ 所以2222a z y x =++8：100设甲的速度为v ，根据追及问题所走的时间相等，所以 ①6025002500--=-AB AC v AC 即v AB AC v AC 2500)(60250060--=⨯- ②6060010001000---=-AB AC v AC 即v AB AC v AC 1600)(60100060--=⨯- ②-①得1500×60=900v ，所以v=100 9：3“两个平方数差”即22b a -。

历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】

cm2.
8.
将 10，15，20，30，40 和 60 填入右图的圆圈中，使 A, B, C 三个小三角形顶点上的 3 个数的积都相等. 这相等的积最大为
9.
用 3, 5, 6, 18, 23 这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是 .
10. 里山镇到省城的高速路全长 189 千米，途经县城. 县城离里山镇 54 千米. 早上 8:30 一辆客车从里山镇开往县城，9:15 到达，停留 15 分钟后开往省城，午前 11:00 能够到达. 另有一辆客车于当日早上 9:00 从省城径直开往里山镇，每小时行驶 60 千米. 那么两车相遇时, 省城开往里山镇的客车行驶了分钟.
爱国创新包容厚德北京精神
中, 每个汉字代表 0 ～ 9 的一个数字, 爱、国、创、新、包、容、厚、德分别代表不同的数字. 当四位数北京精神最大时, 厚德为多少?
2
总分
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷 A（小学中年级组）
（时间: 2013 年 3 月 23 日 10:00 ~ 11:00）
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)
1. 45 与 40 的积的数字和是（（A）9 （B）11 ）. （C）13 （D）15
2. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、平移得到的是图（）中的三角形.
总分
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛网络版试卷（小学中年级组）
一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）

华杯赛参赛资料汇编

2010年第15届华杯赛初赛参赛汇编1、华杯赛的历史： (1)2、华杯赛初赛到底有多难？ (1)3、五年级参加华杯赛需要注意事项： (3)3、如何应对华杯赛： (4)4、2010年华杯赛初赛考点预测 (6)5、2010年第15届华杯赛初赛模拟卷 (7)6、2010年第15届华杯赛初赛模拟卷详解 (10)7、2007-2009年华杯赛初赛考点及解题方法介绍（表格） (15)1、华杯赛的历史：华杯赛始创于1986年，刚开始每两年一届，从第九届开始，改为每年一届，参赛对象主要是小学五年级、六年级，七年级学生。

2、华杯赛初赛到底有多难？一个杯赛的价值取决于试题的含金量和举办形式的正规程度，从这两方面来看，华杯赛可以说是行业内的标杆。

在国内风行的几大赛事有：希望杯、华杯赛、迎春杯。

其中希望杯是一种普及型比赛，考试难度低、按地区评奖使得更多的人能参与，更多的人能获奖；迎春杯在2003年左右初势头正旺，一奖在手，红遍京城；现在的华杯有一样的势头，其试题和迎春杯类型相仿，知识点覆盖全，非常经典。

其试题是难，而是巧妙，真正能学懂的人不但能开阔思路，对中学的理科学习也有极大帮助。

华杯赛初赛题量少，从历年题量统计来看，前几届题量较多，在15到20道之间，而近几年华杯赛的试题难度不仅降低，题量也大大减少，稳定在10道题左右。

从最近几年华杯赛初赛各大专题所考察的知识点来看，华杯赛延续了以前的风格，注重学生的平面几何的空间想象能力，以及理论联系实际、传统结合现代的能力，对平面几何和应用题考察的比较多，其中2008年更是有近一半的试题在考察学生的平面几何知识，在考察计数等时，也更多的会和平面图形几何在一起，每一年的华杯赛试题基本上都会出现1到2道图形计数题，有些考察较为简单，如2008年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛的4题，已知右图是一个轴对称图形，若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称图形共有（）个。

第一届华杯赛决赛一试试题及答案

第一届华杯赛决赛一试试题1. 计算：2．975×935×972×（）,要使这个连乘积的最后四个数字都是“0”，在括号内最小应填什么数？3．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，长方形中的数是几？9○13○7=10014○2○5=□4．一条1米长的纸条，在距离一端0.618米的地方有一个红点，把纸条对折起来，在对准红点的地方涂上一个黄点然后打开纸条从红点的地方把纸条剪断，再把有黄点的一段对折起来，在对准黄点的地方剪一刀，使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一段长度是多少米？5．从一个正方形木板锯下宽为米的一个木条以后，剩下的面积是平方米，问锯下的木条面积是多少平方米？6．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。

这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？7．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？8．蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，循环各开水管，每天每管开一小时，问多少时间后水清苦始溢出水池？9．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？10．如右图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。

如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。

问这六个质数的积是多少？11．若干个同样的盒子排成一排，小明把五十多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来仔细查看了一番，没有发现有人动过这些盒子和棋子，问共有多少个盒子？12．如右图，把1.2，3.7, 6.5, 2.9, 4.6，分别填在五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个□中的数的平均值填在△中，找出一个填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？13．如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。

有史以来最全的华杯赛解析

有史以来最全的华杯赛解析（介绍、分析、建议、难度分析一网打尽）华杯赛介绍华杯赛，全称“全国华罗庚金杯少年数学邀请赛”，是1986年创办的全国性大型少年数学竞赛活动，至今已举办了21届。

全国已有近100个城市，3000多万名少年儿童参加了比赛，是目前全国最权威的小学数学比赛。

华杯赛的分组：华杯赛分为小学中、高年级组和初一、初二组，其中小中组参赛要求为不高于4年级，小高组参赛要求为不高于6年级。

（此文均为小高组内容）华杯赛的奖项分配：初赛的前30%进入决赛，获决赛个人一、二、三等奖比例为本市参加决赛人数的36%。

其中：一等奖为参加决赛人数的6%，二等奖为12%，三等奖为18%。

试题分析初赛决赛的试题分析我们通常参加的华杯赛分为初赛与决赛两个部分。

通过对近十年分真题的分析和研究我们会发现：虽然初、复赛的题量，分值都不尽相同，但其所考查的知识点基本没有太大变化，归结起来依然是：计算，计数，几何，应用题，行程问题，数论以及组合杂题这七大模块。

但是由于所针对的孩子程度不同，所以初赛和决赛在侧重点和难易程度上也有所不同。

下面我将为大家分别详细介绍初赛和复赛的题型以及考点。

初赛部分：初赛总共有10道题（6选择+4填空）都只需写答案，不需要过程。

每道题10分共100分，考试时间60分钟。

研究近四年的初赛真题，我们能得到近四年的初赛考点分布情况：再将这些考点进行简单的难易区分，由简到难依次是（后面括号数字代表其近四年题量）：计算（3），应用题（3），几何（6），行程（4），计数（6），数论（8），组合杂题（9）所以我们可以发现，从初赛起，华杯赛就对7大模块开始了全面的考察，而且在更考验思维能力、相对不容易的考点上更加侧重。

初赛主要的目的还是考察孩子们的奥数思维，起到一个“选优”的选拔作用。

决赛部分：到了决赛，题量会有所增加，共有14道题（8填空+4简答+2解答），其中选择题每道10分，简答题每道10分，解答题每道15分，总分150分，考试时间90分钟。

1986年第1届中国数学奥林匹克试题及解答

1986年第1届天津南开大学第一天1986年1月22日上午8:00-12:30一、a 1，a 2，…，a n 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x 1+x 2+…+x n =1的任意非负实数x 1，x 2，…，x n ，有不等式a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≥a 1x 12+a 2x 22+…+a n x n 2成立．请证明上述命题及其逆命题．证：先证原命题．因为11ni i x ==∑，所以()()2222111111,11,1n n n n n nn nni i i i i i j i i i i i j i j i i ij i j i i i j i i i j i i j i ji ja x a x a x x a x a x a a x x a x aa x x =========≠≠-=-=++-=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑．因为()0,0,0,1,2,,,i j i j a a x x i j n i j +=≠≥≥≥且，所以(),10nij i j i j i jaa x x =≠+∑≥．即211nni i i i i i a x a x ==∑∑≥．再证逆命题：如果对于满足11n i i x ==∑的任意非负实数12,,,n x x x ，有不等式211n ni i i i i i a x a x ==∑∑≥成立，那么实数12,,,n a a a 中任意两数之和非负．令1,,k x x 中12i j x x ==，其余为0．因为211nnk k k k k k a x a x ==∑∑≥，所以11112244i j i j a a a a ++≥．从而0i j a a +≥．二、在△ABC 中，BC 边上的高AD =12，∠A 的平分线AE =13，设BC 边上的中线AF =m ，问m 在什么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角．解：如图1，设1,2BAC DAE αβ∠=∠=，则12cos 13β=．显然E 在D 、F 之间．AB D E F C图1因为()()()()sin 2111tan tan 222cos2cos2AD DF BF BD BD DC BD DC BD AD βαβαβαβ=-=+-=-=⎡+--⎤=⎣⎦+，所以m =α的增加而严格增加．当A ∠为直角时，2028119m =，当0α→时，13m →；当2arcsin 13a 1→时，m →+∞．故当202813119m <<时，A ∠为锐角；当2028119m =时，A ∠为直角；当2028119m >时，A ∠为钝角．三、设z 1，z 2，…，z n 为复数，满足|z 1|+|z 2|+…+|z n |=1．求证：上述n 个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于16．证：设()1,2,,k k k z x iy k n =+=．因为()k k k k k x y z x y +≥≥或，所以1111k k k k nnnk k k k k k k k k k x x y y z x y x x y y ===<<=+=+++∑∑∑∑∑∑∑≥≥≤．故上式中右边四个和式中至少有一个不小于14．不妨设014k k x x ∑≥≥，则1146k k k kkk x x x zxx =∑∑∑≥≥≥≥≥≥．注：14还可加强为1π．第二天1986年1月23日上午8:00-12:30四、已知四边形P 1P 2P 3P 4的四个顶点位于△ABC 的边上．求证：四个三角形△P 1P 2P 3、△P 1P 2P 4、△P 1P 3P 4、△P 2P 3P 4中，至少有一个的面积不大于△ABC 面积的四分之一．证：1P 、2P 、3P 、4P 中必有两点在△ABC 的同一条边上，不妨设2P 、3P 在BC 上，1P 、4P的位置可分为两种情况． ⑴1P 在AB 上，4P 在AC 上（图2）．不妨设4P 到BC 的距离≥1P 到BC 的距离．过1P 作1//PQ BC ，交BC 于Q ，则Q 在线段4PC 上．23图2若直线21P P 与CA 的延长线相交或平行，则4P 到12PP 的距离≤Q 到12PP 的距离，所以124121P P P P P Q P BQ S S S ∆∆∆=≤．设1PQAQ AC BC λ==，则11PB AB λ=-．所以()()11114P BQ ABQ ABC ABC S S S S λλλ∆∆∆∆=-=-≤．若直线21P P 与AC 的延长线相交，则1P 到AC 的距离大于2P 到AC 的距离．过P 作AC 的平行线交BC 于R ，则R 在线段2BP 上（图3）．于是123121P P P P P C P RC S S S ∆∆∆≤≤．与前面的论证相同，114P RC ABC S S ∆∆≤．23图3⑵1P 、4P均在AB 上（图3）．用△34BP P 代替△ABC ，化为情况⑴．23图4于是命题恒成立．五、能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论．解：不能．理由如下：同一个偶数占据一个奇数位和一个偶数位．同一个奇数要么都占据奇数位，要么都占据偶数位．21986⨯个位置中有1986个奇数位，1986个偶数位；二者个数相同． 993个偶数，占据奇数位1993A =个，偶数位1993B =个；993个奇数，占据奇数位22A a =个，偶数位22B b =个，其中993a b +=．因此，共占据奇数位129932A A A a =+=+个，偶数位129932B B B b =+=+个．由于993a b +=，所以a b ≠，从而A B ≠．矛盾！故此种排法不可能．六、用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为1的正三角形，它的三个顶点是同色的．证：⑴设A 、B 两点，使2AB =，且A 、B 异色．取AB 的中点O ，它与A 或B 同色，不妨设A 、O 同色，以AO 为边作两个正三角形，其它两顶点分别以C 、D 记之．①若C 、D 中有一个与A 、O 同色，则在△OAC 、△OAD 中有一个是边长为1且三顶点同色的正三角形；②若C 、D 都与A 、O 不同色，则△BCD⑵若任何距离为2的两点都染上了同色．任取平面内的两点A 、B ，在直线AB 上用步长为2从A 出发，朝B 前进，依次得到点123,,,A A A ，它们与A 同色．显然总可找到一点k A ，使2k AB ≤．此时，以k A B 为底边作一腰长为2的等腰△k A CB ，这时C 与k A 同色，B 与C 同色，则B 与A 同色．即全平面每一点都染着相同的颜色．这时任何边长为1的正三角形的三顶点都是同色的．。

历届华杯赛决赛试题剖析--第二讲(第十三届)生

感悟心得历届华杯赛决赛试题剖析华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学组)真题尝试、填空(每题10分，共80分) 2008年第十三届“华罗庚金杯”决赛1、计算:1 6 4014 9 40162 13 4014 3 6024 -4答案：212008年第十三届“华罗庚金杯”决赛 2、林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然31后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，林又喝了-，继续用豆浆将杯子斟 3满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。

4厘米和8厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为平方厘米。

答案：642008年第十三届“华罗庚金杯”决赛 4、悉尼与北京的时差是 3小时，例如：悉尼时间12:00时，北京时间是 9:00，某日，当悉尼时间9:15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地，小马于北京时间19:33分到达北京。

小马和小杨路途上时间之比为 7:6，那么小杨到达悉尼时，当地时间是。

答案：20:392008年第十三届“华罗庚金杯”决赛 5、将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都到质，则至少需要将这些数分成组。

答案：32008年第十三届“华罗庚金杯”决赛 6、对于大于零的分数，有如下4个结论:(1) 两个真分数的和是真分数； (2) 两个真分数的积是真分数；答案:65 812008年第十三届“华罗庚金杯”决赛3、下图是小明用一些半径为 1厘米、2厘米、(3) 一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；(4) 一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。

其中正确结论的编号是。

答案：⑵（3）一1 3 7 15 1023 2008年第十二届"华罗庚金杯”决赛 7、记A = — + — + — +——+…+ 一2 48 161024那么比A 小的最大自然数是。

【备战华杯赛】近五年华杯赛小高初赛真题解读

【备战华杯赛】近五年华杯赛小高初赛真题解读为了帮助大家更有效地准备初赛，今天我们针对华杯赛初赛考点和大家进行分享。

1 初赛考什么？初赛一共十道题（六道选择题四道填空题），共100分，都不用写过程，用时60分钟。

大家首先一定要知道华杯赛的所有考点：计算、应用题、行程问题、数论、几何、计数、组合杂题。

而这正好对应于我们小学奥数核心知识体系里面的七大模块。

华杯赛其实就是对学生所学奥数知识的一个测试。

那其中哪些模块是我们的重难点呢？哪些是我们在这段时间里需要重点关注的呢？看下面！2 初赛怎么考？想要通过华杯赛初赛，我们第一步先要了解一下华杯赛初赛的命题规律，在这里我们对近五年的所有华杯赛初赛试题做了一份详细的考点分析。

通过把所有的数据整合到一起，我们发现每年的考点是这样的：通过这个图我们发现：华杯赛涉及的知识点都很全面，七个模块均会考察，只不过每年对模块中的细分知识点有所变化，这就要求我们对各个知识模块的完整体系有所掌握与研究。

然而考试重点在哪里呢？哪些是我们需要关注的重中之重呢？我们通过一个饼图来观察分析一下。

我们可以发现初赛考试侧重点在于：数论、组合杂题、应用题这几个模块。

数论一直最受华杯赛组委会所青睐，小高华杯赛考察数论方面是一个重点！因为2015年华杯赛主试委员会委员陶晓永教授讲过：“华杯赛主要目的是要学习华罗庚先生的精神，而华罗庚先生在数学方面最大的成就就在数论这一块。

” 在数论这一个模块上，考察知识点较多，综合性也比较强，这就要求孩子们对于数论里面的知识点要有一定的了解和灵活运用的能力。

组合杂题一般难度系数比较大点，有的题目需要孩子具有很强的分析、空间、逻辑思维能力。

但不要慌张，大部分学生都做不出来，所以这个不是学生前期备考的重点。

想再冲刺华杯赛一等奖的孩子，组合杂题一定需要被重视起来的。

应用题这个模块，一般考察浓度问题、经济问题、工程问题、比例问题（份数思想、量率对应）、列方程解应用题等，基本上难度系数不高，加把劲，一定可以拿得下来！3 初赛难易度分析上述部分，我们对于模块进行了详细的分析。