1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
课件5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
例 3.已知扇形的周长为 20 cm，当它的半径和圆心角各取什么 值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的半径为 r，弧长为 l，面积为 S. 则 l＝20－2r， ∴S＝12lr＝12(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)． ∴当半径 r＝5 cm 时，扇形的面积最大，为 25 cm2. 此时 α＝rl＝20－52×5＝2(rad)． ∴当它的半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为 25 cm2.
π 12
π 6
π 4
π5 π 3 12π 2
2 3 5π 3π 4π 6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7 6π
5π 4
4π 3
3 2π
5π 3
7 4π
11π 6
2π
知识点3：弧度制下的扇形的弧长及面积公式
(1)弧度数公式：α＝
2.弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时， 可牢记以下公式：1π80＝弧 角度 度，只要将已知数值填入相应位置， 解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆． 4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧 长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应 关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.
知识点2：角度制与弧度制的换算 问题导思 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换 算呢？ 利用 1 弧度角的定义进行换算．
总结 (1)角度制与弧度制的换算
2π
2π
π
π
(2)特殊角的弧度数
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。
从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。
通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
附录（表格和图）：。
课件6：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
跟踪训练 2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界) 的角θ的集合.
解：因为 30°＝π6 rad，210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上
的角为 α＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，
k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为
②以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多 少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数. ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
跟踪训练
1.把 56°15′化为弧度是( )
5π
5π
A. 8
B. 4
5π
5π
C. 6
D.16
【解析】 56°15′＝56.25°＝2425×1π80＝51π6. 【答案】 D
(2)35π rad＝35×180°＝108°.
【答案】
3 (1)8π
(2)108°
教材整理3 扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长 l＝ απr l＝ αr
180°
扇形的面积
S＝ απr2 S＝ 360°
12lr＝
12αr2
预习自测
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的 弧度数.
解：设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.② 由①②得 R＝1，l＝2，∴α＝Rl ＝2 rad. ∴扇形的圆心角为 2 rad.
【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 则 l n ， , n 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
l ②角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
③ ∵ 360=2 rad ， ∴180= rad ∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
④正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负 数，零角的弧度数是0.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制
今天我们来学习另一种在数学和其他学科中
常用的度量角的制度——弧度制。
弧度制
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆弧的 长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
必修4第一章几何画板课件\4.弧度制.gsp
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字
或rad可以略去不写。
l 4.公式： ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是α rad。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
学案7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算新知提炼1．弧度制(1)定义：以 为单位来度量角的制度叫做弧度制．(2)度量方法：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(3)记法：弧度单位用符号“ ”表示，或用弧度两个字表示．在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写．(4)求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 ．如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ．2．角度制与弧度制的换算(1)弧度制与角度制的互化(换算)360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.01745 rad ；1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°＝57°18′.(2)特殊角的度数与弧度数的对应表3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数．则扇形的弧长：l ＝n πr 180＝ ；扇形的面积：S ＝ ＝ ＝ ． 小试身手1．－75°的弧度数是( )A ．－π3B ．－5π12C ．－5π6D ．－5π72．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( ) A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π33．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________． 题型探究题型一 弧度制的概念[学生用书P4]例1 下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径大小有关方法归纳必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强对这一新概念的利用，才能快速地掌握．跟踪训练 下列四个命题中，不正确的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度题型二 角度制与弧度制的互化[学生用书P5]例2 将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad. (3)在某一指定范围内求某种特性的角：①解不等式求对应k 的值；②将k 赋值找出相应的角．跟踪训练 1.把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π42．在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．题型三 扇形的弧长和面积问题[学生用书P5]例3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________cm 2.(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．求解策略扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．跟踪训练 1.半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为( )A ．π3 cmB ．π23cm C ．2π3 cm D ．2π23cm 2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？当堂检测1．把－8π3化成角度是( ) A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°2．将245°化为弧度为________．3．角－2912π的终边在第________象限． 4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.【参考答案】新知提炼1．(1)弧度(2)半径长(3) “rad ”(4)正数，负数， 02． (1) 2π；π；π1803． |α|·r ； n πr 2360 12l ·r 12|α|·r 2． 小试身手1．B2．C3．(1)π10(2)54° 题型探究例1 D【解析】 根据角度、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径大小无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．跟踪训练 D【解析】选D.本题考查弧度制下角的度量单位：1弧度的概念．根据1弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．对照各选项，可知D 不正确．例2【解】 (1)20°＝20180π＝π9. (2)－15°＝－15×π180＝－π12. (3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 跟踪训练 1.D【解析】因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π4，所以－1 125°＝－8π＋7π4. 2．解：因为2π5＝25×180°＝72°， 所以与角2π5终边相同的角构成集合{θ|θ＝72°＋k ·360°，k ∈Z }． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，所以在0°～720°范围内，与角2π5终边相同的角为72°，432°. 例3 π.【解析】 (1)设扇形弧长为l ，因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)， 所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)． 所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)． (2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.② ①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解之得R 1＝1，R 2＝4.当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad. 跟踪训练 1.D【解析】因为120°＝2π3， 即|α|＝2π3， 所以弧长l ＝|α|·r ＝2π3·π＝2π23(cm)．故选D. 2．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100. 所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大， 这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 当堂检测1． B【解析】－8π3＝－83×180°＝－480°. 2．49π36【解析】245°＝245×π180＝49π36. 3．四【解析】－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限． 4．32π 【解析】S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.。
学案5：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课堂导学三点剖析一、弧度制的定义例1 如图所示，圆心角∠AOC所对的弧AC的长l分别为r，2r，2πr，4πr，如果圆心角表示正角，它的弧度数分别是多少？如果圆心角表示负角，它的弧度数又分别是多少？温馨提示（1）角的大小与圆的半径长短无关，仅与弧长与半径的比值有关；（2）一般地，正角的弧度数是一个正数.负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是零.各个击破类题演练1下列诸命题中，真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位变式提升1下列四个命题中，不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2πC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 二、角度与弧度之间的互化 (1)将角度化成弧度： 360°=2π rad ；180°=π rad ； 1°=π180rad≈0.017 45 rad. (2)将弧度化成角度：2π rad=360°；π rad=180°； 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′. (3)弧度制和角度制的互化是本节的重点，也是难点.互化的实质是一种比例关系：π180°=这个角的角度数这个角的弧度数，将要求的部分解出，再添上相应的单位即可.需记住特殊角的弧度数.(见教材，本书略) 例2 -300°化为弧度是（ ） A.4π3-B.5π3-C.7π4-D.67-π 类题演练 2（1）将112°30′ 化为弧度； （2）将5π12- rad 化为度. 温馨提示弧度与角度互化，要牢记π rad=180°.时钟经过一小时，时针转过了( )A.π6rad B.π6-radC.π12-rad D.π12rad例3 设角α1=-570°，α2=750°，β1=3π5，β2=7π3-.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出它们有相同终边的所有角.类题演练3用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.（如图所示）温馨提示（1）回答问题要弄清角的大小，防止出现矛盾不等式而造成混乱.（2）在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度).若集合A ={α|α=π2k -π5，k ∈Z }，B ={α|-π<α<π}，求A ∩B .三、弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =α·r ；S =21l ·r =21α·r 2. 在角度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为l =π180n r ；S =2π360n r .例4 解答下列各题： (1)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度. (2)在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积. (3)如图(1)，在半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮ADE 上，截去一个半径为4的小扇形ABC ，求留下部分环形的面积.类题演练 4已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积.温馨提示弧长公式l =|α| ·r 以及扇形面积公式S =21lr 都是弧度制下的公式.因此，运用时必须把角度化成弧度. 变式提升 4已知一扇形的中心角是α，其所在圆的半径是R .（1）若α=60°，R =10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 温馨提示用弧度制表示的弧长和扇形面积公式l =|α|·r 和S =21l ·r ，比角度制的求弧长和面积公式l =π180n r 和S =2π360n r 更简单，在实际中的应用也更广泛.参考答案课堂导学例1 解：从圆心角与弧度的关系出发，结合正角、负角的概念，分别求出各角的弧度数.当圆心角∠AOC 表示正角时，弧长l 为r ，2r ，2πr ，4πr 的圆心角∠AOC 的弧度数分别是1，2，2π，4π.当圆心角∠AOC表示负角时，弧长l为r，2r，2πr，4πr的圆心角∠AOC的弧度数分别是-1，-2，-2π，-4π.各个击破类题演练1【答案】D【解析】本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D为真命题.变式提升1【答案】D【解析】本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.例2 【答案】B【解析】∵1°=π180rad，∴-300°=5π3-rad.∴应选B.类题演练2解：（1）∵1°=π180rad，∴112°30′=π180×112.5 rad=5π8rad.（2）∵1 rad=(180π)°，∴5π12-rad=-(5π12rad×180π)°=-75°.变式提升2【答案】B【解析】由于时钟经过12小时转了-2π rad，所以时钟经过1小时转了π6-rad.例3 思路分析：运用弧度与角度的互化公式，用待定系数法去找一个k，α1，α2化为2kπ+α的形式，而β1，β2化为k·360°+α的形式(k∈Z).解：(1)∵180°=π rad，∴-570°=-570×π180=19π6-.∴α1=19π6-=-2×2π+5π6.同理，α2=2×2π+π6 .∴α1在第二象限，α2在第一象限.(2)∵β1=3π5=(3π5×180π°)=108°，设θ=k·360°+β1(k∈Z).由-720°≤θ<0°，∴-720°≤k·360°+108°<0°.∴k=-2或k=-1.∴在-720°—0°间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理，β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.类题演练3解：先找准两个边界所对应的在0°—360°范围内的角.边界在第二象限对应的角为120°，边界在第三象限对应的角是225°.如上图所示，以OB为终边的角225°可看成-135°，化为弧度3π4-，而120°=2π3.∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ3π4-<θ<2kπ+2π3，k∈Z}.变式提升3解：由交集定义，知-π<π2k-π5<π，即-1<2k-51<1，∴51258<<-k . 由k ∈Z ，知k =-1，0，1，2. 当k =-1，0，1，2时，α=7ππ3π4π105105,,,--，故A ∩B ={7ππ3π4π105105,,,--}. 例4 解：(1)∵半径R =2，圆心角α=5π3， ∴弧长l =α·R =10π3. (2)如图(2)所示. ∵AB =6，OA =OB =6，∴∠AOB =π3. ∴扇形AOB 的面积S △AOB =21l ·R =21α·R 2=21×π3×62=6π. 又∵△AOB 是等边三角形， ∴S △AOB =43×62=39. ∴弓形面积S =6π-39.(3)∵圆心角α=60°=π3， ∴S 扇形ADE =21α·AD 2=50π3，S 扇形ABC =21α·AB 2=8π3.∴环形BCED 的面积为S =50π3-8π3=42π3=14π.类题演练 4 解：∵120°=120×π180=2π3，r =6，∴l =|α|r =2π3×6=4π.又∵S 扇形=21lr =21×4π×6=12π， S △AOB =21r 2sin 2π3=39，∴S 弓形=S 扇形-S △AOB =12π-39. 变式提升 4解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓形. ∵α=60°=π3，R =10 cm ， ∴l =|α|R =10π3cm. ∴S 弓形=S 扇形-S △=21lR -21R 2sin α=21×10π3×10-21×102sin60°=50(π3-23) cm 2.（2）∵扇形周长C =2R +l =2R +|α|R ，∴R =α+2C. ∴S 扇=21αR 2=21α·(α+2C )2 =16424124412441222222C C C C =•+•≤++•=++•ααααααα， 当且仅当α=α4，即α=2(α=-2舍去)时，扇形面积最大，最大面积是162C .。
第一章 1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
(2)－22° 30′＝________rad； 8π (3) ＝________度． 5 5π π 答案 (1) (2)－ (3)288 3 8
1.1.2 研一研·问题探究、课堂更高效 例 2 已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什
么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，
研一研·问题探究、课堂更高效
1.1.2
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
弧度制
问题 1 1 弧度的角是怎样规定的？1 弧度的角和圆半径的大小 有关吗？你能作出一个 1 弧度的角吗？
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.1 弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关．如图所示， ∠AOB 就是 1 弧度的角．
体应用时，要注意角的单位取弧度.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.2
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间 建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即
本 课 时 栏 目 开 关
这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180° ＝ π rad”这一关系式． 180 π 易知：度数×180 rad＝弧度数，弧度数× π ° ＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具
解析 ∵－1 485° ＝－5×360° ＋315° ， 7π ∴－1 485° 可以表示为－10π＋ . 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.1.2弧度制及弧0度制与角度制的换算
例1 把
67 30化成弧度．
1 解：∵ 67 30 67 2
1 3 rad 67 rad ∴ 67 30 180 2 8
4 例2 把 rad 化成度． 5
4 4 rad 180 144 解： 5 5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
K×360°+π
返回
已知角a的终边在如图所示的阴影部分
（1）
（2 ）
（I）使用集合表示出角a的所有可能
（1）①使用角度制表示②使用弧度制表示
（2）①使用角度制表示②使用弧度制表示
（II）指出a/4可能是在第几象限的角，并说明理由。
所以 α=4.
例5. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
返回
2kπ +120°
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
★定义★
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
（正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0）
问：360度=______弧度 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3×50≈52.5 .
l=α· r=
答： AB 的长约为52.5米.
例4. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
rad 0.01745rad
【例1】按照下列要求，把 30' 化成弧度； 67 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似值.
【例2】将3.14rad 换算成角度(用度数表 示，精确到 .001). 0
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
度
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
等于1，∠AOB就是1弧度的角.
B
1rad
O
1 A
2. 探究
半径为r的圆的圆心与原点重合, 角α的始边 与x轴的非负半轴重合, 交圆于点A, 终边与圆交 于点B, 请在下列表格中填空, 并思考：如果一 个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l, 那么 α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是 角的度量制，那么它们之间如何换算？
AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 逆时针方向 180° πr π
2π r r 2r πr 0 πr 2πr
逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 不旋转 逆时针旋转 逆时针旋转
2π 1 -2 π 0 π 2π
360° 57.3° -114.6° -180° 0° 180° 360°
3. 一般地，正角的弧度数是一个正
数，负角的弧度数是一个负数，零角的 弧度数是0.
4. 如果半径为r的圆的圆心角α所 对弧的长为l，那么，角α的弧度数的
绝对值是
l | | r
5.
360 2 rad, 180 rad, 1
180 180 1rad ( ) 57.30 5718'
6
弧 度 0
4
3
课件7：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
【解】 (1)∵180°＝π，∴－570°＝－570×1π80＝－196π. ∴α1＝－169π＝－2×2π＋56π. ∵750°＝750×1π80＝265π，∴α2＝265π＝2×2π＋π6. 所以 α1 在第二象限，α2 在第一象限．
(2)β1＝35π＝35π×18π0°＝108°.设 θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，
4π
5π
7π
7π
A. 3
B. 3
C. 4
D. 6
解析：选 B.由 1°＝1π80rad 可得，300°＝300×1π80＝53π.
三、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数． 则扇形的弧长：l＝1n8π0r ＝__|_α_|·_r __；扇形的面积：
答案：二
3. 如图所示，扇形AOB的面积是4 cm2，周长是10 cm，求扇形的圆心角α的 弧度数．
解：设 长为 l cm，扇形半径为 r cm，则由题意，得
l＋2r＝10， 21lr＝4，
解得 r＝4， l＝2，
或 r＝1 l＝8
(不合题意，舍去)，
所以 α＝rl＝24＝12.
课堂小结
1．在掌握弧度制定义、扇形面积公式、弧长公式的前提下，灵活运用，体会弧度制下 公式比角度制下公式的优越性，如例3. 2．角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间 建立一种一一对应的关系：即每一个角都有惟一的一个实数(例如这个角的角度数或弧 度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(例如弧度数或角度数等于这 个实数的角)与它对应．
(3)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×1π80＝1π2，θ＝105°＝105×18π0＝71π2. 显然1π2<1π0<1<71π2.故 α<β<γ<θ＝φ.
课件4：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
l 2
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝ ＝ ＝2rad.
R 1
即扇形的圆心角为2rad.
例3
把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指
出是第几象限角.
(1)－1 500°；
23
(2) ；
6
(3)－4.
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，
∴－1
5
500°可化成－10π＋ ，是第四象限角．
3
23
11
(2)∵ ＝2π＋ ，
6
6
23 11
∴ 与 终边相同，是第四象限角．
6
6
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， <2π－4<π，
2
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
跟踪训练3 将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形
45rad.
(2)弧度转化为角度：
360°
180°
2πrad＝____；πrad＝____；
1
180
rad＝(___)°
≈57.30°＝57°18′.
6.弧度制下的扇形弧长公式和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
l
l=αr
(1)由公式 α = 可得弧长公式______.
2 1 2
rad，故选B.
2.若α＝－3，则角α的终边在( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵α＝－3rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算德州二中闫立红 - 德州市第二中学
弧度制的历史
• 瑞士数学家欧拉在十八世纪（1748年）提 出了弧度制的思想，1873年6月5日，数学 教师汤姆生(James Thomson)在北爱尔兰首 府贝尔法斯特(Belfast)女王学院的数学考试 题目中创造性地首先使用了“弧度”一词 ．当时，他将“半径”(radius)的前四个字 母与“角”(angle)的前两个字母合在一起， 构成radian，并被人们广泛接受和引用．我 们中学数学教科书中把radian译作“弧度” ，简写为rad．
• 弧度制与角度制的关系：
(1)1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大
小,而1°是圆周 的所对的圆心角的大小. (2)不管是以“弧度”为单位还是以“度”为单位,角的大 小都是一个与半径大小无关的定值. （3）弧度和角度之间可以相互转化.
1 360
• • • • • •
弧度制和角度制的换算： 问题： 1、360°等于多少弧度?请给出理论依据. 2、180°等于多少弧度？ 3、1°等于多少弧度？ 4、1rad等于多少度？
3.在弧度制下,角的集合与实数集R之间是一一对应的关系. 4.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度 数是0.
������ 说明1.在公式 α= 中,α是弧度数,不是角度数. ������ ������ 2.角α与其所在圆的半径的大小无关,它由比值 唯一确定. ������
【例1】 下列各命题中,真命题是——— A.1弧度是一度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是一度的弧与一度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小 E.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 F.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径有关
总结 1.角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算要点核心1．度量角的单位制：角度制、弧度制 (1)角度制)(deg reemeasure初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度． 规定周角的3601为1度角，记作1。
．用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．(2)弧度制)(ure radianmeas规定把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作lrad ．如图1-1-2 -1， AB 的长等于半径r ． B A 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角即.1=rl2．角度与弧度之间的互化(1)将角度化为弧度;.2360rad π=;.180rad π=.01745.01801rad rad ≈=π(2) 将弧度化为角度;360.2=rad π ;180.=rad π .185730.57)180(1=≈=πrad(3) 弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为a rad ，角度为on 则 (4) 一些特殊角的角度数与弧度数的对应表： )180(.παα=rad .180rad n n π⋅=3．用弧度表示终边相同的角用弧度表示与角a 终边相同的角的一般形式为:απβ+=k 2⋅∈)(z k这些角所组成的集合为⋅∈+=},2|{z k k απββ4．扇形的弧长与面积公式若扇形的圆心角为a （a 为弧度制），半径为R ，弧长为L ，面积为S ，则有.||2121|,.......|2R lR S R l αα===热点例题考点1 弧度制的概念问题[例1] 下列各命题中，假命题是( )．A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的,36011弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义，180。
一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径的长短有关考点2 角度与弧度的互化问题 [例2](1)将130315 化成弧度；(2)将rad .5.13π化成度；(3)时间经过5小时，时针、分针各转多少度？等于多少弧度？考点3用弧度制表示终边相同的角、象限角及区问角[例3]把下列各角化成0到π2的角加上)(2z k k ∈π形式，并指出它们是第几象限角．;3100)1(π ;5111)2(π-;1200)3(o考点4 扇形的弧长与面积公式的运用问题[例4]求解下列各题：(1)已知扇形的周长为20 cm ，面积为9 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)若某扇形的圆心角为750。
弧度制和弧度制与角度制的换算
2．将下列角度与弧度互化．；2210°；3错误!；4错误!.；6－1120°；7－错误!；8错误!.3．把下列各角化成2kπ＋α0≤α<2π,k∈Z的形式,并指出它们是第几象限角．；2－1600°；32005π；4－5.3求下列各角所在的象限．错误!；2错误!；3－错误!；4－错误!. 4．一扇形周长为20,问扇形的半径和圆心角各取何值时,才能使扇形的面积最大4.已知扇形的半径为10,圆心角为错误!,求该扇形的周长及面积．作业2：§1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．－225°化为弧度为B．－错误!C．－错误!D．－错误!化为角度为A．75°B．105°C．135°D．175°3．下列各对角中,终边相同的是与错误!B．－错误!与错误!C．－错误!与错误!错误!与错误!4．下列所给角中,是第二象限角的是B．－错误!C．－错误!错误!5．一钟表的分针长10 cm,经过35分钟,分针的端点所转过的长为A．70 cm cm cm cm6．一条弦长等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为C．1 D．π7.已知集合M＝{x|x＝kπ＋错误!,k∈Z},N＝{x|x＝错误!＋π,k∈Z},则A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M∩N＝∅8.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的2倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍9．如果一扇形的圆心角是72°,半径是20 cm,则扇形的面积为________．10．已知一扇形所在圆的半径为10 cm,扇形的周长是45 cm,那么这个扇形的圆心角为________弧度．11. 已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为13,则内切圆面积与扇形面积之比为________．12．如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合不包括边界．13.已知一扇形AOB的周长为8,若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小．14．圆心在原点的单位圆上两个动点M、N,同时从P1,0点出发,沿圆周运动,M点按逆时针方向旋转错误!弧度/秒,N点按顺时针转错误!弧度/秒,试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．。