第3章3.2知能优化训练

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【优化方案】2012高中数学第3章3.3.2随机数的含义与应用同步课件新人教B版必修3

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考点突破用随机模拟估计长度型几何概率取一根长度为3 的绳子的绳子，取一根长度为 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 的概率有多大的概率有多大？不小于 m的概率有多大？思路点拨】在任意位置剪断绳子，【思路点拨】在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意实数，内的任意实数，位置到一端点的距离取遍内的任意实数并且每一个实数被取到的可能性相等，并且每一个实数被取到的可能性相等，因此在任意位置剪断绳子的所有结果(即基本事件即基本事件)对应任意位置剪断绳子的所有结果即基本事件对应
f (4) 计算频率， n ( A ) = 计算频率， N1 N
即为所求概率．即为所求概率．
用随机模拟估计面积型几何概率利用随机模拟的方法近似计算边长为2的利用随机模拟的方法近似计算边长为的正方形内切圆面积(如图所示并估计π的近似如图所示)，正方形内切圆面积如图所示，并估计的近似值．
【解】
(1)利用计算机产生两组利用计算机产生两组[0,1]上的均利用计算机产生两组上的均 )．．
匀随机数，，匀随机数，a1＝rand()，b1＝rand(
(2)经过平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b 经过平移和伸缩变换，＝经过平移和伸缩变换，＝ (b1 － 0.5)*2，得到两组－ 1,1]上的均匀随，得到两组[－上的均匀随机数．机数． (3) 统计试验总次数和点落在圆内的次数次数N N1(满足 2＋b2≤1的点，b)的数．满足a 的点(a，的数的数)．满足的点
利用计算机产生两组[0,1]上的均【解】 (1)利用计算机产生两组利用计算机产生两组上的均匀随机数，匀随机数， a1＝rand( )，b1＝rand( )．，． (2)经过平移和伸缩变换＝a1]N1,N)就是点落经过平移和伸缩变换a＝经过平移和伸缩变换就是点落在阴影部分的概率的近似值．在阴影部分的概率的近似值．

2013年物理选修3-4册课件：第3章3.2

B．振荡电流i在增大
C．电场能正在向磁场能变化 D．磁场能正在向电场能变化图3－2－6
解析：选AD.由图中，上极板带正电荷，下极板带负电荷及电流的方向可判断出正电荷在向正极板聚集，说明电容器极板上电荷在增加，电容器正在充电．电容器充电的过程中电流减小，磁场
能向电场能转化．正确选项为A、D.
电磁振荡的有关计算
例2 在LC振荡电路中，线圈的自感系数L＝2.5
mH，电容C＝4 μF. (1)该回路的周期多大？ (2)设t＝0时，电容器上电压最大，在t＝9.0×10－
3s时，通过线圈的电流是增大还是减小，这时电
容器是处在充电过程还是放电过程？
【自主解答】
(1)T＝2π LC
－－6
＝2×3.14× 2.5×10 3×4×10 －4 ＝6.28×10 s. (2)因为 t＝9.0×10
图3－2－7
显然，在 t＝9.0×10
－3
1 s 时，即在第二个 T 内， 4
线圈中的电流在减小，电容器正处在反向充电过程中．
【答案】见自主解答
【方法总结】 (1)分解过程：把整个振荡周期分 1 1 成四个 T，分别研究每一个 T 内各量的变化情况． 4 4 (2)电容器充、放电过程中电流的变化特征：电容器充电过程中，电容器带电量越来越多，电流越来越小，充电完毕时，电流为零；电容器放电过程中，电容器带电量越来越少，电流越来越大，放电完毕时，电流最大．
(
)
A．0.5 s至1 s时间内，电容器充电
B．0.5 s至1 s时间内，电容器上极板带的是正电
C．1 s至1.5 s时间内，磁场能正在转化为电场能 D．1 s至1.5 s时间内，Q点的电势比P点的电势高图3－2－4

人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)；第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种．解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法；第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)．答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

第3章3.2.2知能优化训练

1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数 2．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋2 3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x2时面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________.1．今有一组数据，如表所示：x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是( ) A ．指数函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A ．14400亩B ．172800亩C ．17280亩D ．20736亩3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是( )A ．增加7.84%B ．减少7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)5．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的()6．小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是()A．20 g B．25 gC．35 g D．40 g7．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．8．一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．9．某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·(12)th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？。

【优化方案】2012高中数学第3章3.2.2用向量方法求空间中的角课件新人教A版选修2-1

→ n·AC1 λ → 〉＝ ∴cos〈AC1，n〉＝〈＝－ . 2|λ| → |n||AC1| 1 → ∴|cos〈AC1，n〉|＝ . 〈〉＝ 2 ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
求平面与平面所成的角利用向量法求二面角的步骤：利用向量法求二面角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系；建立适当的空间直角坐标系 (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角 (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角 (5)确定出二面角的平面角的大小．确定出二面角的平面角的大小．确定出二面角的平面角的大小
3．二面角的求法． (1)设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，平面 α、β 的法设二面角，、 n1·n2 |n1·n2| |＝ . 向量分别为 n1、n2，则|cosθ|＝| ＝＝ |n1|·|n2| |n1|·|n2| (2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向二面角的平面角也可转化为两直线的方向向量的夹角：在两个半平面内，量的夹角：在两个半平面内，各取一直线与棱垂当直线的方向向量的起点在棱上时，直．当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向向量的夹角即为二面角的平面角．向量的夹角即为二面角的平面角．
→ 1 → ，A1D＝(0,2，－，于是 cos ， (1)易得＝0，，1 易得EF ，－4)，易得，－ 2 → → EF·A1D 3 → → 〈EF，A1D〉＝＝－ . 5 → → |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 → → → ，ED ，－ (2)证明：易知＝(1,2,1)，EA1＝－1，－，4 证明：证明易知AF ， 2 → → → －1，1，0，于是 → ·EA1＝ 0，AF·ED＝0.因此，因此，＝，2 于是AF ，因此 AF⊥EA1，AF⊥ED. ⊥ ⊥ 又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED. ＝， ⊥

2012年苏教数学必修5：第3章3.4.2知能优化训练

1．已知a ＋b ＝0，则2a ＋2b 的最小值是________．解析：2a ＋2b ≥2·2a ＋b ＝220＝2(当且仅当a ＝b ＝0时，取“＝”)答案：2 2．已知x >0，则3＋3x ＋3x的最小值为________．解析：∵x >0， ∴3＋3x ＋3x ≥3＋23x ·3x ＝3＋2×3＝9. 当且仅当3x ＝3x，即x ＝1时取“＝”．答案：93．(2011年徐州调研)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4________．解析：f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎡⎦⎤(x －2)＋1x －2≥12·2 (x －2)·1(x －2)＝1，当且仅当x －2＝1x －2且x ≥52，即x ＝3时取得最小值1. 答案：14．若一个圆的半径为1，则其内接矩形面积的最大值为________．解析：设矩形的两边分别为a ，b ，由题意知a 2＋b 2＝4，∴4＝a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”)∴ab ≤2，即圆内接矩形面积的最大值为2.答案：2一、填空题1．如果log 3m ＋log 3n ＝4，那么m ＋n 的最小值是________．解析：∵log 3m ＋log 3n ＝4，∴mn ＝34，∴m ＋n ≥2mn ＝234＝2×32＝18(当且仅当m ＝n ＝9时，取“＝”)．答案：182．函数3x 2＋6x 2＋1的最小值是________．解析：3x 2＋6x 2＋1＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥62－3.当且仅当3(x 2＋1)＝6x 2＋1，即x ＝±2－1时，取“＝”．答案：62－33．y ＝x ＋1x(x ≠0)的值域为________．解析：当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立．当x <0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1(－x )]，∵－x >0，∴(－x )＋1(－x )2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立．∴y ＝x ＋1x≤－2. 综上，函数y ＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)4．已知5x ＋3y＝2(x >0，y >0)，则x ·y 的最小值是________．答案：155．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析：∵x ＋3y －2＝0，∴x ＋3y ＝2，∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥2 3x ·33y ＋1＝2 3x ＋3y ＋1＝232＋1＝7，当且仅当x ＝1，y ＝13时等号成立．答案：76．(2010年高考浙江卷)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－2 2 xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：187．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n________．解析：函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即定点A 的坐标为(－2，－1)，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8，当m ＝14，n ＝12时取等号， ∴1m ＋2n的最小值为8. 答案：88．(2010年高考重庆卷)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：∵t >0， ∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2. 答案：－29．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为________．解析：设直线l 为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，则有关系2a ＋1b ＝1.对2a ＋1b＝1应用二元均值不等式，得1＝2a ＋1b≥2 2a ·1b ＝22ab，即ab ≥8.当且仅当2a ＝1b 即a ＝4，b ＝2时，取“＝”．于是S △OAB ＝12ab ≥4. 答案：4二、解答题 10．已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．解：1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝1＋b a ＋2a b＋2 ≥3＋22ba ab ＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b，即a ＝2－1，b ＝2－2时取“＝”．故1a ＋2b的最小值是3＋2 2. 11．求函数f (x )＝1x －2＋x 的值域．解：f (x )＝1x －2＋x ＝1x －2＋x －2＋2. 若x >2，则x －2>0，∴f (x )＝1x －2＋x －2＋2 ≥21x －2·(x －2)＋2＝4. 当且仅当1x －2＝x －2，即x ＝3时等号成立．若x <2，则2－x >0，－f (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x －2＋x －2＋2＝12－x ＋2－x －2， ∴－f (x )＝12－x＋2－x －2 ≥212－x·(2－x )－2＝0. ∴f (x )≤0.当且仅当12－x＝2－x ，即x ＝1时等号成立．∴f (x )＝1x －2＋x 的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 12．现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为45海里/时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：(1)由题意，每小时燃料费用为0.6x 2(0<x ≤45)，全程所用的时间为500x小时，则全程运输成本y ＝0.6x 2·500x ＋960·500x ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ，x ∈(0,45]．故所求的函数为y ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ，x ∈(0,45]． (2)y ＝300⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ≥300×2x ×1600x ＝24000，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，取等号．故当轮船以速度为40海里/时行驶时所需成本最小．。

【优化方案】2012高中数学第3章3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题课件新人教A版选修2-1

x＝2y ＝，解之得 z＝0 ＝
取 y＝1，则 x＝2. ＝，＝故平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．＝．
利用空间向量证明平行问题用向量方法证明空间中的平行关系设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，设直线的方向向量分别是、，只需证明a 则要证明l ，线线平行则要证明 1 ∥ l2 ，只需证明 ∥b，即 a ＝kb(k∈R)． ∈ ．
A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面，，，，， ABC的一个法向量．的一个法向量．的一个法向量
【思路点拨】思路点拨】
【解】设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)，＝，，，，－1)，，－，－2,0)， ∵A(1,2,3)，B(2,0，－，C(3，－，，－， → → ，－2，－，－4，－ ∴AB＝(1，－，－，AC＝(2，－，－，，－，－4)，，－，－3)，由题设得：由题设得： → n·AB＝0 x－2y－4z＝0 －－＝即，－－＝ 2x－4y－3z＝0 n·AC＝0 →
3．2 立体几何中的向量方法． 3．2.1 用向量方法解决平行与垂直问题．
学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量．理解直线的方向向量与平面的法向量．理解直线的方向向量与平面的法向量 2．能用向量语言表述线线、线面、面面垂直、平．能用向量语言表述线线、线面、面面垂直、行关系．行关系．
(3)根据法向量定义建立关于 x，，的方程组：根据法向量定义建立关于， z 的方程组： y，
n·a＝xa1＋yb1＋zc1＝0，＝，＝； n·b＝xa2＋yb2＋zc2＝0；

[原创]2011年《随堂优化训练》数学_人教A版_必修五_第三章_3.2_3.2.2_一元二次不等式的实际应用_配套课件

(－∞，0)∪(2，＋∞) 4．函数 y＝ log 1 (x2－2x)的定义域为_________________．
2
5．不等式(x－1) x＋2≥0 的解集是( B )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1 或 x＝－2} C．{x|x≥1} D．{x|x≥－2 且 x≠1}
重难点
一元二次不等式的应用
以内的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车得刹车距离超过 12 米，乙车刹车距离略超过 10 米，又知甲乙两种车型的刹车距离 S(米) 与车速 x(千米/小时)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，
S乙＝0.05x＋0.005x2，问超速行驶应负主要责任的是谁？
，
3 解得－5＜a＜1. 3 综上所述，当－5＜a≤1 时，原不等式的解为全体实数．
(1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是全体实
数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时，
a＞0 Δ＜0
ห้องสมุดไป่ตู้
.
(2)类似地，还有f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a；f(x)≥a 恒成立 ⇔f(x)min≥a.
故有x>8－x>0，即 4<x<8 ①. 要使矩形的面积大于12 cm2，则有 x(8－x)>12，
解得 2<x<6 ②. 综合①②可知，4<x<6. 故x 的取值范围为 4<x<6.
4－1.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离称为“刹车距离”．
刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速 40 千米/小时

高一物理上册：第3章第二节知能优化训练

1．下列现象不存在的有( ) A ．物体的速度很大而惯性很小 B ．物体的质量很小而惯性很大 C ．物体体积小但惯性大D ．物体所受外力大，但惯性小解析：选B.质量是惯性大小的量度，物体的质量小，则惯性也必定小． 2．下列情况中，可以说物体的运动状态一定发生了变化的是( ) A ．仅位移大小变化 B ．仅运动时间变化 C ．仅速度大小变化 D ．仅速度方向变化解析：选CD.物体做匀速运动时，时间发生变化，位移必定也发生变化，但速度不变即运动状态一定不变．3．先后在北京和广州称量同一个物体，下列判断正确的是( ) A ．用天平称量时两地结果相同B ．用杆秤(或不等臂天平)称量时两地结果不同C ．用弹簧测力计称量时北京的示数大些D ．用弹簧测力计称量时广州的示数大些解析：选AC.须明确天平测物体质量和用弹簧测力计测物体重力的原理．4．从离开地球表面和月球表面同样高度处做自由落体实验，落地的时间分别为t 地与t 月，落地的速度分别为v 地与v 月，则( ) A ．t 地>t 月，v 地>v 月 B ．t 地>t 月，v 地<v 月 C ．t 地<t 月，v 地>v 月 D ．t 地<t 月，v 地<v 月解析：选C.因g 月<g 地，运用运动学公式h ＝122、v 2＝2gh 可求解．5．下列关于力和运动关系的说法中，正确的是( ) A ．物体做速度不变的曲线运动，可以没有力的作用 B ．物体做匀速直线运动，一定没有力作用在物体上 C ．物体运动状态变化，一定受到了力的作用D ．物体受到摩擦力作用，运动状态一定发生改变解析：选C.做曲线运动的物体，速度方向必定不断改变．6．物体静止于光滑水平面上，现在对它施加一个水平力F ，则在刚开始施加力F 的瞬间，物体的( )A ．速度和加速度都不为零B ．速度和加速度都为零C ．速度不为零，加速度为零D ．速度为零，加速度不为零解析：选D.力是产生加速度的原因，力与加速度具有瞬时性；速度的改变需要过程，即时间．7．人从行驶的车上右侧向右跳下车，容易( ) A ．向车行驶的方向跌倒 B ．向车行驶的反方向跌倒 C ．向车的右前方跌倒 D ．向车的左后方跌倒解析：选C.人跳下车时具有两个方向的运动状态，即向右方运动和随车向前方的运动，据矢量运算法则，依照力的合成，将这两个方向的运动进行合成．8．月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的16，同一个飞行器(所受重力G 地＝mg 地＝1 N)在月球表面上时与在地球表面上时相比较( )A ．惯性减小16，重力不变B ．惯性减小16，重力减小为16NC ．惯性不变，重力减小为16ND ．惯性和重力都不变解析：选C.质量是物质的基本属性，不随地理位置的变化而变化，故飞行器不论是在地球表面，还是在月球表面，质量都相同；又因为质量是惯性大小的唯一量度，所以此飞行器在地球表面和月球表面惯性是相同的．重力等于质量乘重力加速度，故质量不变但在月球表面的重力加速度是地球表面的16，则重力也为原来的16，C 正确．9．如图3－2－5所示为物体运动的v －t 图象，在图示的几个物理过程中，哪几个过程中物体的运动状态改变？哪几个过程中物体的运动状态不改变？图3－2－5解析：该图象为v －t 图象，解题的关键是读懂速度图象中各段所表示的运动情况．答案：OA 、BC 、CD 和DE 的运动状态改变，AB 的运动状态不改变。

高中化学人教版选修1：第3章第二节知能优化训练

1．(2010年高考北京卷)下列有关钢铁腐蚀与防护的说法正确的是()A．钢管与电源正极连接，钢管可被保护B．铁遇冷浓HNO3表面钝化，可保护内部不被腐蚀C．钢管与铜管露天堆放在一起时，钢管不易被腐蚀D．钢铁发生析氢腐蚀时，负极反应是Fe－3e－===Fe3＋解析：选B。

铁易失去电子，故钢管与电源正极相连时，更易使铁失电子，A错；铁遇冷浓硝酸表面形成致密的氧化物保护膜，B对；铁铜接触时，形成原电池，铁作负极被腐蚀，C错；铁发生析氢腐蚀时，负极反应为Fe－2e－===Fe2＋，D错。

2．钢铁在很弱的酸性或中性条件下发生电化学腐蚀时，正极的反应式为()A．Fe－2e－===Fe2＋B．2H＋＋2e－===H2↑C．2H2O＋O2＋4e－===4OH－D．Fe－3e－===Fe3＋解析：选C。

考查金属的电化学腐蚀的实质。

钢铁中含有多种杂质，在考虑钢铁的电化学腐蚀时，为了简化问题，主要讨论碳杂质问题，也就是以Fe为负极，C为正极的原电池反应。

在中性条件或弱酸性条件下发生的是吸氧腐蚀，原电池的正极为C，发生的是还原反应，即得电子反应，故A、D两项应排除，在B、C两项中，B项是析氢腐蚀的电极反应式，所以C项符合题意。

3．下图所示各试管中的铁钉最易被腐蚀的是()解析：选C。

有少量铜的铁钉放在自来水中，会与水中溶解的少量电解质构成原电池，且铁钉作为负极，腐蚀得最快。

4. (2009年高考上海卷)如图装置中，U形管内为红墨水，a、b试管内分别盛有食盐水和氯化铵溶液，各加入生铁块，放置一段时间。

下列有关描述错误的是()A．生铁块中的碳是原电池的正极B．红墨水柱两边的液面变为左低右高C．两试管中相同的电极反应式是：Fe－2e－―→Fe2＋D．a试管中发生了吸氧腐蚀，b试管中发生了析氢腐蚀解析：选B。

a为中性环境，发生吸氧腐蚀，氧气被消耗，压强减小；b中酸性较强，发生析氢腐蚀，有氢气放出，压强增大，所以红墨水柱两边的液面变为左高右低，故B项错。

【优化方案】2012高中数学第3章3.3.2简单的线性规划问题课件新人教A版必修5

3．3.2 简单的线性规划问题．
学习目标 1.了解线性规划的意义．了解线性规划的意义．了解线性规划的意义 2．准确利用线性规划知识求解目标函数的最．值． 3．掌握线性规划在解决实际问题中的两种类．型．
3. 3.2 简单的线性规划问题
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
例3
【思路点拨设未知数，设未知数，确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
】
别为x个单位和个单位所花的费用为z元别为个单位和y个单位，所花的费用为元，个单位和个单位，则依题意，＝则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足＋，，满足
变式训练2 变式训练
某公司计划2010年在甲、乙两个电年在甲、某公司计划年在甲
视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费分钟的广告，视台做总时间不超过分钟的广告用不超过9万元，用不超过万元，甲、乙电视台的广告收费标准万元分别为500元/分钟和分钟和200元/分钟假定甲、分钟．分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和万元带来的收益分别为万元和0.2万元．问该公司万元和万元．如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？公司的收益最大．最大收益是多少万元？
例1
(2010 年高考山东卷设变量 x、y 满足约年高考山东卷)设变量、则目标函数 z＝3x－4y ＝－ ) B．－，－．－3，－．－，－11 D．11,3 ．

2013年高考数学必修5课件：第3章3.2

1 2.很明显 x＋中的各项都是正数，积也是定值， x 1 但是等号成立的条件是当且仅当 x＝即 x＝1，而 x 函数的定义域是{x|x≥2}，所以这是一个错误的答案．其原因是基本不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用基本不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．
【思路点拨】利用条件进行变形，构建某个积
为定值，然后利用基本不等式求解.
1 9 【解】法一： ∵x＞0， y＞0，＋＝1， x y 1 9 ∴x＋y＝( ＋ )(x＋y) x y
y 9x ＝x＋ y ＋10≥6＋10＝16， y 9x 1 9 当且仅当x＝ y ，又x＋ y ＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16. 1 9 9 法二：由＋＝1，得 x＝1＋，即 x y y－9
4 自我挑战 (1)已知 x＞2，求 x＋的最小值； x－2 x2 (2)已知 x＞1，求 y＝的最小值； x－1 5 1 (3)已知 x< ，求 y＝4x－2＋的最大值． 4 4x－5
解：(1)∵x＞2，∴x－2＞0， 4 4 4 ∴x＋＝x－2＋＋2≥2 x－2· x－2 x－2 x－2 ＋2＝6， 4 当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，等号成立． x－2
【名师点评】
解实际应用题要注意以下几点：
①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
方法感悟 1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“

【优化方案】2012高中数学第3章§3.2古典概型同步课件新人教B版必修3

古典概型概率的求法
例2 袋中装有6个小球其中4个白球个小球，个白球，个红球个红球，袋中装有个小球，其中个白球， 2个红球，
从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球；：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．：取出的两球一个是白球，另一个是红球．思路点拨】【思路点拨】首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：的总数，然后需分别求出事件：取出的两球都是白球的总数；事件B：取出的两球一个是白球，白球的总数；事件：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．
事件A包含的基本事件数事件包含的基本事件数试验的基本事件总数 P(A) ＝ ____________________________ ，
这一定义称为概率的古典定义．这一定义称为概率的古典定义．
思考感悟古典概型概率的计算公式与前面所学的频率计算公式有什么区别？计算公式有什么区别？ m 提示：提示：古典概型的概率公式 P(A)＝ n ，与随机＝ m 发生的频率有本质的区别．事件 A 发生的频率 n 有本质的区别．其中 P(A) m 是一个定值，且对同一试验的同一事件， m、＝ n 是一个定值，且对同一试验的同一事件，、 n 均为定值，均为定值， n 而频率中的 m，均随试验次数的， m 变化而变化，变化而变化，但频率 n 总接近于 P(A)．．
(2)从袋中的 6 个球中任取两个，其中一个是红球，而从袋中的个球中任取两个，其中一个是红球，另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，另一个是白球，其取法包括，，，， (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共 8 种．，，，，取出的两个球一个是白球， ∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为 8 P(B)＝ . ＝ 15

2012年苏教数学必修5：第3章3.3.3知能优化训练

1．有5辆6吨汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．解析：目标函数的关键是正确地设出相关的变元，设6吨汽车x 辆，4吨汽车y 辆，则z ＝6x ＋4y .答案：z ＝6x ＋4y2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域，然后画出一组与2x ＋y ＝0平行的直线，经过平移即可得到对应的最优解．因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可．答案：33．(2011年无锡高二检测)在△ABC 中，三顶点A (2,4)、B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：先作出△ABC ，如图所示．对z ＝x －y ，可看成y ＝x －z ，求z 的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC 区域时纵截距的有关最值．易知，直线经过C 、B 点，纵截距－z 分别取最小值－1及最大值3，从而z 分别得到最大值1及最小值－3. 答案：14．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．解析：画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 答案：10一、填空题1．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1表示的平面区域，则D 中点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10距离的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，当P 点为(1,1)时，P 到直线x ＋y ＝10的距离最大，即d ＝|1＋1－10|1＋1＝4 2.答案：4 22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ≤4y ≤5，则s ＝y －x 的最小值为________．解析：如图，当x ＝4，y ＝－2时，s ＝y －x ＝－2－4＝－6为最小值．答案：－63．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值为________．解析：点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，画出可行域，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值即为圆上的点到直线y ＝12的距离，即圆心(0，－2)到直线y ＝12的距离减去半径1，得32.答案：324．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0,0)，B (0,1)，C (－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：15．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：906．(2010年高考陕西卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．解析：先画出可行域，如图.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，x ＋y ＝1，最优解为A (1,0)．∴z max ＝5.答案：57．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1，x ＋y ≤m 如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．解析：可行域如图中阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m 可得：A ＝(m ＋13，2m －13)．又∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .当y ＝x －z 过点A 时，z 最小． ∴m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.答案：58．(2010年高考辽宁卷)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3得平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．答案：(3,8)9．在如图所示的可行域内(阴影部分含边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a________．解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a.∴a ＝－1，y x －a P (－1,0)连线的斜率．显然k max ＝k OC ＝25.答案：25二、解答题10．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤sy ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s y ＝2s －4交点为B (4－s,2s －4)，其他各交点分别为A (2,0)，C (0，s )，C ′(0,4)．(1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8；(2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．解：作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. MN 2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72．12．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )，即z ＝716－0.5x －0.8y .x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260x ＋y ≤280x ＋y ≥100.作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．∵点M的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．。

【优化方案】2012高中数学第3章3.2第一课时均值不等式课件新人教B版必修5

a＋ b ＋ ab 当均值定理：均值定理：如果 a，b∈ R ，，∈ 那么 ≥_____ (当 2 且仅当 a＝b 时，取 “＝”)．＝．均值定理可以叙述为：均值定理可以叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．大于或等于它们的几何平均值．均值定理所表述的不等式通常称为均值不等式，均值定理所表述的不等式通常称为均值不等式，也称它为基本不等式．也称它为基本不等式．
2
2
(2)∵ a， b，c 都是正数， ∵ ，，都是正数， 1 1 1 1 1 ∴ ( ＋ )≥ ≥ ≥ ，＋ 2 2a 2b 2 ab a＋ b 1 1 1 1 1 1 1 1 同理可证 ( ＋ )≥ ≥ ， ( ＋ )≥ ≥ ，＋＋ 2 2b 2c b＋ c 2 2c 2a c＋ a 1 1 1 1 1 1 . 三式相加得＋＋ ≥ ＋＋＋＋＋ 2a 2b 2c b＋ c c＋ a a＋ b 当 a＝ b＝c 时取等号．＝＝时取等号．
自我挑战 1 已知 a， b 是正数，试比较，是正数， 1 1 ＋ a b 的大小．与 ab的大小．的大小
1 1 解：∵ a， b∈ R ，∴ ＋ ≥ 2 ， ∈ a b 2 2 ∴ ≤ ＝ ab. 1 1 1 ＋ 2 a b ab
＋
2
1 ， ab
利用均值不等式证明不等式
例2
bc ac 已知 a、b、c 是正实数，求证：＋、、是正实数，求证： a b
上面 3 个不等式相加得 ac ab bc 2· ＋ 2· ＋ 2· ≥ 2a＋ 2b＋ 2c ＋＋ b c a (当且仅当 a＝ b＝c 时，取等号．取等号)．当且仅当＝＝ bc ac ab ∴ ＋＋ ≥ a＋ b＋ c. ＋＋ a b c

基于虚拟现实的智能训练系统研发及应用

基于虚拟现实的智能训练系统研发及应用第一章：引言 (3)1.1 虚拟现实概述 (3)1.2 智能训练系统概述 (3)1.3 研究意义及目标 (3)1.3.1 研究意义 (3)1.3.2 研究目标 (3)第二章：虚拟现实技术基础 (4)2.1 虚拟现实关键技术 (4)2.1.1 显示技术 (4)2.1.2 交互技术 (4)2.1.3 定位与跟踪技术 (4)2.1.4 场景渲染与建模技术 (4)2.2 虚拟现实设备与工具 (5)2.2.1 头戴式显示器 (5)2.2.2 交互设备 (5)2.2.3 传感器与摄像头 (5)2.2.4 计算机硬件与软件 (5)2.3 虚拟现实系统架构 (5)2.3.1 系统组成 (5)2.3.2 系统工作原理 (5)2.3.3 系统功能优化 (5)第三章：智能训练系统设计 (6)3.1 系统需求分析 (6)3.1.1 功能需求 (6)3.1.2 功能需求 (6)3.2 系统设计原则 (6)3.2.1 用户为中心 (6)3.2.2 简单易用 (7)3.2.3 高度逼真 (7)3.2.4 智能化 (7)3.3 系统功能模块设计 (7)3.3.1 虚拟现实环境构建模块 (7)3.3.2 智能训练模块 (7)3.3.3 用户交互设计模块 (7)3.3.4 数据采集与处理模块 (7)3.3.5 个性化训练方案模块 (8)第四章：虚拟现实环境构建 (8)4.1 虚拟场景建模 (8)4.2 虚拟环境交互设计 (8)4.3 虚拟环境渲染与优化 (9)第五章：智能算法在训练系统中的应用 (9)5.2 深度学习算法概述 (9)5.3 算法在虚拟现实训练系统中的应用 (10)5.3.1 机器学习算法在虚拟现实训练系统中的应用 (10)5.3.2 深度学习算法在虚拟现实训练系统中的应用 (10)第六章：训练效果评估与优化 (10)6.1 训练效果评估方法 (10)6.1.1 评估指标体系构建 (10)6.1.2 数据采集与处理 (11)6.2 训练效果优化策略 (11)6.2.1 训练内容优化 (11)6.2.2 训练过程优化 (11)6.2.3 训练环境优化 (11)6.3 持续迭代与改进 (12)第七章：虚拟现实智能训练系统开发 (12)7.1 开发环境与工具 (12)7.1.1 硬件环境 (12)7.1.2 软件环境 (12)7.1.3 开发工具 (12)7.2 系统开发流程 (13)7.2.1 需求分析 (13)7.2.2 设计与架构 (13)7.2.3 编码与实现 (13)7.2.4 测试与调试 (13)7.3 系统测试与部署 (13)7.3.1 测试策略 (13)7.3.2 测试流程 (14)7.3.3 部署与维护 (14)第八章虚拟现实智能训练系统应用案例 (14)8.1 军事领域应用 (14)8.1.1 概述 (14)8.1.2 应用案例 (14)8.2 教育领域应用 (14)8.2.1 概述 (14)8.2.2 应用案例 (15)8.3 医疗领域应用 (15)8.3.1 概述 (15)8.3.2 应用案例 (15)第九章：市场前景与发展趋势 (15)9.1 市场前景分析 (15)9.1.1 市场规模 (15)9.1.2 市场需求 (15)9.1.3 市场竞争态势 (16)9.2 行业发展趋势 (16)9.2.2 应用领域拓展 (16)9.2.3 产业链整合 (16)9.3 发展机遇与挑战 (16)9.3.1 发展机遇 (16)9.3.2 面临挑战 (16)第十章：结论与展望 (17)10.1 研究成果总结 (17)10.2 不足与改进方向 (17)10.3 未来研究方向 (17)第一章：引言1.1 虚拟现实概述信息技术的飞速发展，虚拟现实（Virtual Reality，简称VR）作为一种新兴技术，逐渐成为各领域研究的热点。

人教A版高中数学必修一优化方案知能优化训练新(2)(1)

【优化方案】数学人教A版必修1 第3章3.2.1知能优化训练1．某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为( )A．5110－1 B．4110－1C．5111－1 D．4111－1解析：选B.由(1＋x)10＝4可得x＝4110－1.2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．无法判断解析：选A.∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1100)，∴b＝a×99100，∴b＜a.3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点解析：选D.当t＝0时，S＝0，甲、乙同时出发；甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．解析：该函数关系为y＝2x，x∈N*.答案：y＝2x(x∈N*)1．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A.由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.2．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )A．1535.5元B．1440元C．1620元D．1562.5元解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1000，解得a＝1562.5元，故选D.3．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝0.5，且为递增函数．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m 3，按每立方米x 元收取水费；每月用水超过10 m 3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选A.设用水量为a m 3，则有10x ＋2x (a －10)＝16x ，解得a ＝13.5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C.将x ＝1,2,3，y ＝0.2,0.4,0.76分别代入验算． 6．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711B.712C.127－1D.117－1解析：选D.设1月份产量为a ，则12月份产量为7a .设月平均增长率为x ，则7a ＝a (1＋x )11，∴x ＝117－1. 7．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为__________________．解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x .答案：y ＝22－11100x8．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x＋b .现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5a ＋b ＝10.52a ＋b ＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. ∴y ＝－2·0.5x＋2.当x ＝3时，y ＝1.75. 答案：1.759．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大值．解析：D ＝a A －A ＝－(A －a2)2＋a 24，当A ＝a 2，即A ＝a 24时，D 最大．答案：a 2410．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y ＝(2＋x )(200－20x )＝－20(x －4)2＋720.故当x ＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元．11．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.12．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润．生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．解：设饼干的重量为x 克，则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y ＝(ax ＋b x )(1＋0.2)．由已知有1.6＝(100a ＋100b )(1＋0.2)，即43＝100a ＋10b . 又3＝(200a ＋200b )(1＋0.2)，即2.5≈200a ＋14.14b . ∴0.167≈5.86b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ≈0.0285a ≈1.05×10－2. ∴y ＝(1.05×10－2x ＋0.0285x )×1.2. 当x ＝1000时，y ≈13.7(元)．∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元．。

2012年苏教数学必修5：第3章3.3.2知能优化训练

1．不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的________．解析：将(0,0)代入2x －y －6＝－6<0，由于(0,0)在直线2x －y －6＝0的左上方，则不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的左上方．答案：左上方2．在已知五个点A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，O (0,0)中，位于直线x －2y ＋1＝0上方(不含边界)的点的个数是________．解析：位于直线x －2y ＋1＝0上方的点坐标满足不等式x －2y ＋1＜0，将上述五个点的坐标分别代入式子x －2y ＋1中知，点B 的坐标满足不等式x －2y ＋1＜0.答案：13．(2011年南通质检)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．(填序号)解析：法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≤0x ＋y －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x ＋y －3≤0两不等式表示的平面区域，合并起来即是原不等式表示的平面区域．法二：采用特例筛选法可以快速得到解决，如取适合题意的点(1,10)⇒①、②、④错误，填③.答案：③4．已知点(1,1)和(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________．解析：∵(1,1)与(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，∴(1＋1＋n )(－1＋2＋n )>0，即(n ＋2)(n ＋1)>0，∴n <－2或n >－1.答案：n <－2，或n >－1一、填空题1．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是________．(填序号)解析：取测试点(1,0)，排除①③；由边界线x －2y ＝0可排除②.答案：④2．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的有________．①(0,0) ②(－1,1) ③(－1,3) ④(2，－3)解析：把点(1,2)代入x ＋y －1＝1＋2－1＝2>0，然后把选项中的点的坐标逐个代入检验，只有③能使x ＋y －1>0.答案：③3．若函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为________．(填序号)解析：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4a 2>0，∴(2a －b )(2a ＋b )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b >02a ＋b <0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <02a ＋b >0. 取测试点(0,1)和(0，－1)，可排除①②④.答案：③4．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________．解析：图中两直线方程分别为x ＋y －1＝0和x －2y ＋2＝0.阴影部分在x ＋y －1＝0的右上方，x －2y ＋2＝0的右下方，所以x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 5．(2010年高考北京卷)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：∵d ＝|4m －9＋1|42＋32＝|4m －8|5＝4，∴m ＝7或m ＝－3. 又由题意知P (m,3)满足不等式2x ＋y <3，即2m ＋3<3，∴m <0，∴m ＝－3.答案：－36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：作出可行域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝03x ＋y －4＝0可得A (1,1)，又B (0,4)，C (0，43)， ∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A | ＝12×(4－43)×1＝43. 答案：437．如果点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为________．解析：由题意知(6×5－8b ＋1)·(3×5－4b ＋5)<0，解得318<b <5， ∵b 为整数，∴b ＝4.答案：48．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为________．解析：边界所在的直线方程为y ＝－2，x ＝0,2x －y ＋2＝0，根据平面区域与边界的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥09．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2,7)，用平行于x 轴的直线y ＝a 截梯形得到三角形，则a 的取值范围是5≤a <7.答案：[5,7)二、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＞2yy ≥0所表示的平面区域．解：先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示． 11．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，∴3a ＋4－3>0，∴a >－13. 又∵点P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离为25，∴|a －8＋2|5＝25， ∴|a －6|＝10，∴a ＝16或－4.又∵a >－13， ∴a ＝16，∴P (16,4)．12．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M ，N 关于直线x＋y ＝0对称，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0所表示的平面区域的面积．解：∵M ，N 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，∴MN ⊥l .∴k MN ＝－1k l ＝－1－1＝1. 而M ，N 在直线y ＝kx ＋1上，故k ＝1.同时可得圆的圆心(－k 2，－m 2在直线x ＋y ＝0上，故m ＝－1.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，作出平面区域，如图所示．由图可知，该不等式组所表示的平面区域为△AOB .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，得顶点A (－12，12)． ∴S △AOB ＝12×1×12＝14.。