第二章最优化问题的数学基础
02-优化的设计数学基础
22
2.7 最优解与最优解条件
1.无约束优化设计问题的最优解条件
无约束优化问题的最优解的实质是求目 标函数的最 min f (X ) f (X *) X En
小值:
对一维问题
数x*等为于极零值的点ff ''的'((xx**)必)00要极条大件点 f’(x)=0。一阶导
点为驻点，极f '值'(x*点) 是0 极驻小点点 ，但驻点不一定
1
2
x1
x1(k ) ,
x2
x2(k ) ,,
xn
x(k) n
2 f (X (k x12
2 f (X (k x2x1
) )
) )
, ,
2 f (X (k x1x2 2 f (X (k
x22
) )
) )
,, ,,
2 f (X (k x1xn 2 f (X (k x2xn
) )
) )
x1 x2
x(k) 1
x(k) 2
.
2 f (X (k))
xnx1
,
2 f (X (k)) xnx2
,,
2
f (X xn2
(
k
)
)
xn
xn(k )
f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) ) 1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )(X X (k) ) 2
2 f (X (k x2x1
)
)
,
2
f (X x22
(k
)
)
,,
2 f (X (k x2xn
)
)
,,
2 f (X (k)
最新数学中的最优化问题知识讲解
首先介绍一下我们选这个课题的原因：1.数学是一门基础学科，学习数学可以培养我们思维的严谨性，对其他学科的学习有所帮助。
使我们遇到问题能够冷静思考，并提高探究能力。
2.我们的指导老师平易近人（这也是我们选此课题的一个重要原因之一）。
那么，什么是最优化问题呢？最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容。
通俗的讲，就是如何使得一件事情做到最好的问题。
比如，教师怎么达到最好的教学效果，商人如何获得最大的利润，穷学生每天如何吃饭花最少的钱等等。
当然要达到上面的目的都有一定的限制条件:教师的教学时间有限；商人不能偷工减料以次充好，不能不给工人少发工资等等；穷学生不能不考虑营养的平衡，食物的量应该足够等等。
在数学里，最优化问题还是一个求最大或最小值的问题，例子里讲到的限制条件就是数学里的约束条件。
问题的解决首先是建立一个在一定约束条件下相关变量（比如穷学生吃饭里，每种食物的单价，需要的分量）与所要追求的目标函数（所要花的饭钱）的模型，接下来就是求解使得模型取得极值时相关变量的值（选择哪几种食物，各吃多少分量）。
用我自己的一句话来概括，就是“走一条最简便、最高效率的路；用最短的时间，做最多的有用功。
”针对"商品销售最优化"这一环节，我们还设计了一份问卷调查,分析如下: 总体分析:商家最优化意识不够强,统筹思想有待提高,还未能将数学最优化很好的运用到生产实践中.我们遇到的困难是:1.所学的数学知识有局限性，还不够全面2.数据的整理、分析存在局限性3.小组的积极性还未能得到充分的调动我们的解决方法是:1.向指导老师请教2.进行全面的小组讨论3.寻求班级其他同学的帮助我们的一点心得：最优化问题不管是在提高自身思维能力方面，还是在平时生活处理问题．都是大有益处的．既然是研究,我们就该开动脑袋想,合作探讨必不可少.它的作用是巨大的:它使我学到了如何运用数学方法解决生活问题,实现方法最优化,计划最优化,过程最优化,结果最优化等等,不胜枚举.我们也取得优异的成就。
数学中的优化与最优化问题
数学中的优化与最优化问题数学中的优化与最优化问题是数学领域中的一个重要研究方向。
本文将介绍优化和最优化问题的基本概念和方法，并通过实际案例来说明其在现实世界中的应用。
一、优化问题的概念与方法1.1 优化问题的定义在数学中，优化问题是指寻找函数的极值（最大值或最小值）的问题。
一般来说，优化问题可以表示为以下形式：$$\max f(x)$$或$$\min f(x)$$其中，$f(x)$为要优化的目标函数，$x$为自变量。
1.2 常用的优化方法常用的优化方法包括一维搜索、梯度下降、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
二、最优化问题的概念与方法最优化问题是优化问题的一个特例，它在满足一系列约束条件的前提下寻找目标函数的最优解。
最优化问题可以表示为以下形式：$$\max f(x)$$或$$\min f(x)$$约束条件为：$$g_i(x)\geq 0, i=1,2,\dots,m$$$$h_j(x)=0, j=1,2,\dots,n$$其中$g_i(x)$和$h_j(x)$为约束函数。
最优化问题可以分为线性最优化和非线性最优化两种情况。
2.1 线性最优化线性最优化问题是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
常用的求解线性最优化问题的方法有单纯形法和内点法等。
2.2 非线性最优化非线性最优化问题是指目标函数和约束条件至少有一个为非线性函数的最优化问题。
求解非线性最优化问题的方法较为复杂，常用的方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
三、优化与最优化问题的应用优化和最优化问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是其中的一些例子：3.1 交通路径优化交通路径优化是指通过优化算法来寻找最短路径或最快路径，以减少交通拥堵和节约时间。
例如，在导航软件中，通过优化算法可以找到最短路径来指导驾驶员的行驶方向。
3.2 物流配送优化物流配送优化是指通过优化算法来确定最佳的物流配送路线，以提高物流效率和减少成本。
数学中的函数极值与最优化问题
数学中的函数极值与最优化问题在数学中，函数的极值和最优化问题是重要的概念和方法。
通过对函数的极值的研究，我们可以找到函数的最大值和最小值，并应用于各种优化问题中。
一、函数的极值函数的极值是函数在某个特定区间内取得的最大值或最小值。
数学上，函数的极大值和极小值统称为极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某一个区间内取得的最大值或最小值。
局部极大值也称为极大值点，局部极小值也称为极小值点。
要判断一个函数在某点是否为局部极值，可以使用导数的方法。
对于一元函数，函数在该点的导数为0，且导数的符号在该点的左右两侧发生变化时，该点就是一个局部极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极大值也称为最大值，全局极小值也称为最小值。
要判断一个函数是否有全局极值，可以通过两种方法：一种是查看函数在定义域两个端点上的取值，另一种是对函数求导并找到导数为零的点。
二、最优化问题最优化问题是指在约束条件下，寻找函数的极值的问题。
最优化问题可以是线性的、非线性的，也可以是单目标的、多目标的。
最常见的最优化问题是线性规划问题。
线性规划问题的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
除了线性规划问题，还有一些非线性规划问题，如二次规划、整数规划等。
这些问题通常涉及到非线性目标函数和约束条件，需要使用更复杂的数学方法来求解。
三、函数极值与最优化问题的应用函数极值和最优化问题广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域。
例如，在经济学中，最大化利润和最小化成本是最常见的优化目标；在物理学中，最小化能量和最大化效率是典型的优化问题。
此外，函数极值和最优化问题还被应用于机器学习、人工智能等领域。
在这些领域中，通过优化模型的参数，可以使模型对数据的拟合更好，从而提高预测或决策的准确性。
总结：函数的极值和最优化问题是数学中重要的概念和方法。
通过研究函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，应用于各种优化问题中。
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题
高考数学技巧如何利用微分解决最优化问题高考数学中，最优化问题是一个重要的考点。
解决最优化问题的一种常用方法是利用微分，通过微分求极值点，进而求得最优解。
本文将介绍如何运用微分技巧解决最优化问题。
1. 寻找极值点在解决最优化问题时，首先需要找到目标函数的极值点。
对于一元函数，我们可以通过求导来找到函数的极值点。
假设有一个函数f(x)，我们先求函数的一阶导数f'(x)。
将f'(x)=0的解所对应的x值称为临界点，再比较临界点和区间端点的函数值，从中找出使f(x)取得极值的点。
2. 检验极值在找到极值点后，需要进行极值的检验。
检验的目的是确认找到的极值点确实是函数的极值点。
我们可以利用二阶导数来进行检验。
首先求解函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数的表达式中。
如果f''(x)>0，则说明该点为极小值点；如果f''(x)<0，则说明该点为极大值点。
如果二阶导数等于0，则说明该点处可能存在拐点。
3. 求解最优解经过前两个步骤，我们已经确定了函数的极值点。
利用找到的极值点，我们可以求解最优解。
最优解取决于最大值或最小值，我们只需要将极值点代入目标函数中，即可得到最优解。
同时，需要注意在一个区间中可能存在多个极值点，需要对每个极值点进行比较，才能找到最优解。
4. 题目拓展：约束条件下的最优化问题除了无约束的最优化问题外，高考数学还常考寻找约束条件下的最优解。
对于这类问题，我们可以通过拉格朗日乘数法来解决。
假设有一个函数f(x,y,z)，同时存在约束条件g(x,y,z)=0。
首先，我们将约束条件g(x,y,z)代入函数f(x,y,z)得到一个新的函数h(x,y,z)。
然后，通过求解新函数h(x,y,z)的极值点，便能得到约束条件下的最优解。
综上所述，微分技巧是解决最优化问题的一种重要方法。
通过寻找极值点、检验极值、求解最优解等步骤，可以有效地解决高考数学中的最优化问题。
数学中的最优化问题
数学中的最优化问题数学中的最优化问题是一类重要的数学问题，其目标是寻找某个函数的最优解，即使得函数取得最大值或最小值的输入变量的取值。
最优化问题在数学、经济学、物理学等领域有广泛的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
一、最优化问题的基本概念在介绍最优化问题之前，需要先了解几个基本的概念。
1. 目标函数：最优化问题中，我们定义一个目标函数，该函数是一个关于变量的函数，表示我们要优化的目标。
2. 约束条件：最优化问题中，往往存在一些限制条件，这些条件限制了变量的取值范围。
这些限制条件可以是等式约束或者不等式约束。
3. 最优解：最优解是指满足约束条件下使得目标函数取得最优值的变量取值。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、最优化问题的求解方法在数学中，有多种方法可以求解最优化问题。
以下是几种常见的方法：1. 解析法：对于一些特殊的最优化问题，我们可以通过解析的方法求解。
这种方法通常需要对目标函数进行求导，并解方程得到极值点。
2. 迭代法：对于一些复杂的最优化问题，解析法并不适用，这时可以采用迭代法求解。
迭代法通过不断地逼近最优解，逐步优化目标函数的值。
3. 线性规划：线性规划是一种常见的最优化问题，它的约束条件和目标函数都是线性的。
线性规划可以利用线性代数的方法进行求解，有着广泛的应用。
4. 非线性规划：非线性规划是一类更一般的最优化问题，约束条件和目标函数都可以是非线性的。
非线性规划的求解比线性规划更为困难，需要采用一些数值方法进行逼近求解。
三、最优化问题的应用最优化问题在各个领域都有广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 经济学中的最优化问题：经济学中的生产优化、消费优化等问题都可以抽象为最优化问题。
通过求解最优化问题，可以找到最有效的生产组合或最佳的消费策略。
2. 物理学中的最优化问题：在物理学中，最优化问题常常涉及到动力学、优化控制等方面。
例如，在机械设计中，可以通过最优化问题确定各部件的尺寸和形状，使得机械系统具有最佳的性能。
最优化理论在机械设计领域中的应用
最优化理论在机械设计领域中的应用第一章前言最优化理论是一门涵盖多个学科的学科，涉及的领域有计算机科学、数学、工程学等等。
最优化理论的核心目标是寻求一个最好的解决方案，在机械设计领域中的应用也非常广泛。
本文将详细探讨最优化理论在机械设计领域中的应用。
第二章最优化理论的基础知识最优化理论有很多不同的分支，例如线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
在机械设计领域中，最常用的是非线性规划。
非线性规划是指目标函数和约束都是非线性的情况下的最优化问题。
最优化理论的核心思想是将问题转化为数学模型，通过求解该模型得到最优解。
解决非线性规划问题的一种常用方法是使用数值优化算法。
这些算法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和遗传算法等。
第三章机械设计中的最优化应用最优化理论在机械设计领域中的应用主要有以下三个方面：1. 结构优化设计结构优化设计是指通过优化机械结构设计的各项参数，以达到某些性能指标的最优化。
在结构优化设计中，最常用的方法是拟牛顿法。
拟牛顿法可以在实现收敛速度快的同时，还可以在迭代过程中估计目标函数的一阶和二阶偏导数，从而提高算法的收敛速度。
2. 工艺优化工艺优化是指对机械制造时的生产工艺进行优化设计，以提高机械部件的品质和生产效率。
在工艺优化中，最常用的算法是遗传算法。
遗传算法可以模拟进化的过程，通过"基因"的传递和变异，不断地产生更好的解决方案。
3. 参数优化参数优化是指通过对机械部件设计中的各项参数进行优化，以达到一定的性能指标。
在参数优化中，最常用的算法是基于响应面法的参数优化。
响应面法通过设计一定的实验方案，建立起机械部件参数与目标函数之间的数学模型，通过数学模型来优化机械部件参数。
第四章实例分析以调速机械为例，使用最优化理论中的拟牛顿法进行结构优化设计。
经过多次迭代，得到了最优解。
再以同样的调速机械为例，采用遗传算法进行工艺优化。
通过遗传算法的迭代优化，不断优化各项参数，最终得到了最优解。
陈宝林最优化课后习题答案 第二章
陈宝林最优化课后习题答案第二章2.1 简答题1.最优化问题的基本模型是什么？最优化问题的基本模型是数学规划模型。
数学规划模型主要由目标函数、约束条件和决策变量组成，通过最大化或最小化目标函数，同时满足约束条件来寻求最优解。
2.什么是线性规划问题？线性规划（Linear Programming）是一类特殊的数学规划问题，其目标函数和约束条件都是线性的情况下，被称为线性规划问题。
线性规划问题可以用线性方程组和线性不等式组来表示，并且满足一定的约束条件。
3.什么是优化问题的可行解？优化问题的可行解是指满足约束条件的解。
在一个最优化问题中，除了要找到最优解外，还需要保证这个解满足所有的约束条件。
4.什么是最优解？最优解是在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解。
最优解可以通过求解优化问题的解析解、数值解或者近似解得出。
2.2 计算题1.使用单纯形法求解下列线性规划问题：max z = 5x1 + 6x2s.t.2x1 + x2 <= 8x1 + x2 <= 5x1, x2 >= 0单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效算法。
下面是使用单纯形法求解该线性规划问题的步骤：Step 1:初始化单纯形表。
x1x2s1s2bz-5-6000s1-2-110-8s2-1-101-5Step 2:选取入基变量和出基变量。
选取入基变量为x1，出基变量为s1。
Step 3:基变换。
将x1从入基变量变为出基变量，将s1从出基变量变为入基变量。
x1x2s1s2bz0-115040s111/2-104s201/2111Step 4:判断是否达到最优解。
如果目标函数的系数都为非负数，则达到最优解，并停止计算。
Step 5:计算新的单纯形表。
x1x2s1s2bz0-25/23/25/235/2x11/21/4-1/203/2s2-1/21/43/21/21/2Step 6:重复步骤2-5，直到达到最优解。
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代入(2.4),得
f (X P) f (X ) f (X )T P 1 PT2 f (X P)P,
2
§2.4 极小点的判定条件
函数f(X)在局部极小点满足什么条 件？反之满足什么条件的是局部极小点？ 什么是全局极小点？那么怎样找到全局 极小点呢？
证明：设 (t) f (X tP), 于是
(0) f (X ),(1) f (X P), 对 (t) 按一元函数在t=0点展开，得到
(t ) (0) '(0)t 1 "(t )t 2 ,
2 其中0 1.令t 1， 于是
(1) (0) ' (0) 1 "( ), (2.4)
(
X
0
)
xn
是H ( X )在点X 0处的一阶导数或Jacobi矩阵，
简记为：
H ( X 0 ) mn H ( X 0 )
• 三 泰勒展式
定理 2.2 设 数，则
f : Rn 具R有1 二阶连续偏导
f (X P) f (X ) f (X )T P 1 PT2 f (X )P, 2
其中X X P， 而0 1
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2, , n) xix j
都存在，
则
称函
数f在点X
处
0
二
阶可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2
f
(X
0
)
xnx1
2 f (X0)
x1x2 2 f (X0)
x2 2
2 f (X0)
4
2x3 4
6 2x1
即为Hesse矩阵
例2 设 a Rn, X Rn,求b 线R1性, 函数
f (X ) aT X b
在任意点X处的梯度和Hesse矩阵
解:设 a a1, a2 , an T , X x1, x2 , xn T ,
n
f ( x1, x2 , xn ) ai xi b, i 1
简记为：
H ( X 0 ) mn H ( X 0 )
h1( X 0 )
x1 h2 ( X
0
)
mn H ( X 0 )
x1
hm
(
X
0
)
x1
h1( X 0 ) x2
h2 ( X 0 ) x2
hm ( X 0 ) x2
h1( X 0 )
xn h2 ( X
0
)
xn
hm
H ( X ) h1( X ),h2 ( X ), hm ( X )T ,
如果hi ( X
)(i
1,2,
,
m)在点X
处对于自变量
0
X x1, x2 , xn T 的各分量的偏导数
hj ( X 0 ) ( j 1,2, , n) x j
都存在，
则称向量函数H ( X）
在点X
处一阶可
0
导， 并且称矩阵
例１ 求目标函数
f (x) x14 2x23 3x32 x12 x2 4x2x3 x1x32 的梯度和Hesse矩阵
解:因为
f x1 f x2 f x3
4x13 2x1x2 x32 6x22 x12 4x3 f (x) 6x3 4x2 2x1x3
4x13 2x1x2 6x22 x12
h1( X 0 )
x1 h2 ( X
0
)
mn H ( X 0 )
x1
hm
(
X
0
)
x1
h1( X 0 ) x2
h2 ( X 0 ) x2
hm ( X 0 ) x2
h1( X 0 )
xn h2 ( X
0
)
xn
hm
(
X
0
)
xn
是H ( X )在点X 0处的一阶导数或Jacobi矩阵，
f
(X
)
f ( X
x1
f ( X
xn
)
)
n j 1 n j 1
a1 j x j
a1 j x j
b1 bn
所以
n
j 1 n
a1 j x a1 j x
j j
b1
,
bn
j 1
f ( X ) AX b
上式中显然有
f ( X )
第二章 最优化问题的 数学基础
❖Hesse矩阵及泰勒展式 ❖极小点的判定条件
§2.3 Hesse矩阵及泰勒展式
梯度▽f(X)是关于f(X)关于X的一阶 导数，那么f(X)关于X的二阶导数是什 么？
• 一、Hesse矩阵
1、Hesse矩阵的定义
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
,
如果f在点X
处对于自变量
xi
n
aij x j bi , i 1,2,
j 1
, n,
再对它们求偏导数得：
2 f xix j
aij , i,
j 1,2,
n,
所以：
a11 a12 a1n
2 f ( X ) a21 a11
a2n
A.
an1 an1
ann
• 二、Jacobi矩阵
1、定义
设H : Rn Rm , X 0 Rn , 记
f xi ai , i 1,2, , n,
f ( X ) a1, a2 , an T a.
进而
2 f 0, i, j 1,2, n, xix j
所以 2 f ( X ) 0(n n阶零矩阵)
例3 设 A Rnn是对称矩阵 ，求b Rn , c R1,
二次函数 f ( X ) 1 X T AX bT X c
x32 4x3
6x3 4x2 2x1x3
又因为
2 f x12
12x12
2x2 ,
2 f x1x2
2 f 2x1, x1x3
2x3
2 f x2 2
12x2 ,
2 f 4, x2x3
2 f x32
6 2x1
所以
2
f
(
x)
12
x12 2 2x1
x2
2x3
2x1 12 x2
xn x2
是f在点X
处
0
的Hesse矩阵
2 f (X0 x1xn)2 f (X0)x2xn
2
f
(X
0
)
xn 2
2、Hesse矩阵的性质
当f在点X0点的二阶偏导数都连续时，有
2 f 2 f ,i, j 1,2, , n,
xix j xjxi
因此，在这种情况下Hesse矩阵是对称的。
3、举例
2
在任意点处的梯度和Hesse矩阵
解:设 A (aij )nn , b b1, b2 , bn T ,
X x1, x2 , xn T , 则
f (x1, x2 ,
xn )
1 2
n i 1
n
aij xi x j
j 1
n
bi xi c.
i 1
将它对各变量xi（i=1,2,,n）求偏导数，得：