三年级奥数详解答案-第六讲-简单数列的规律
三年级上-奥数-简单数列求和
简单数列求和
当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数，这样的数列就称为等差数列。其中固定的差用d 表示，和用S 表示，项数用n 表示，其中第n 项用n a 表示。
等差数列有以下几个通项公式：
S=（n a a +1）× n ÷ 2
n=(1a a n -)÷d+1（当 1a < n a ），
)1(1-+=n a a n ×d
例1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
例2 （1）1 + 5 + 9 + 13 +…+ 2001 =
（2）4000 -（ 50 + 48 + 46 +…+ 2）=
例3 在1949、1950、1951…1997、1998这五十个正整数中，所有双数之和比所有单数之和大多少？
例4 在1 ~ 200这二百个数中能被9整除的数的和是多少？
例5 39个连续单数的和是1989，其中最大的一个单数是多少？
例6 有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，从第一个到第1993个数这些数的和是多少？
1、25个连续的正整数之和是750，则第13个数是，第一个数是。
2、一串钥匙30把，对应30把锁，若不小心搞乱了，那么至多需要试次。
3、若在第二题中只要找出8把锁对应的钥匙，那么至多需要试次。
4、1 + 4 + 5 + 8 + 9 + 12 + ··· + 48 + 49 + 52 = 。
5、321 + 320 + 319 +···+ 124 + 123 + 124 +···+ 319 + 320 + 321 =
三年级奥数找规律
斐波那契的兔子(数列)
知识图谱
斐波那契的兔子
知识精讲
一．数列
1．定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列．
注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，……，第n项（末项）．
二．常见的数列
1．兔子数列（斐波那契数列）：从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列．
2．等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数的数列．
3．等比数列：从第二项起，每一项除以它的前一项的商等于同一个数的数列．
三点剖析
本讲主要培养学生的综合创新能力，其次还会注重培养学生的运算能力、观察推理能力和实践应用能力．本讲内容是在整数基本计算与找规律的基础上，进一步了解一列数中数与数之间的关系和规律．后续课程还会学习一些简单数列的计算．
课堂引入
例题1、 最近，唐小果在家附近的小公园里，总能看见好多小兔子，唐小果就想了解一下兔子繁殖．在上网浏览时遇到了这样一个问题：假设每生产一对兔子必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生下来的兔子都能保证成活．那么有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月就可以再生小兔子，那么过三个月后，有多少对兔子？过半年后？9个月呢？带着这个问题，小果就去找她的小伙伴了……
聪明的你，知道半年后有多少兔子吗？
例题2、 写出课堂引入中每个月的兔子数量组成的这列数，观察有什么特点？
小学三年级华罗庚学校数学课本(奥数)[doc]
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上册华罗庚学校数学课本：三年级
下册
第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二）
第三讲上楼梯问题
第四讲植树与方阵问题
第五讲找几何图形的规律
第六讲找简单数列的规律
第七讲填算式（一）
第八讲填算式（二）
第九讲数字谜（一）
第十讲数字谜（二）
第十一讲巧填算符（一）
第十二讲巧填算符（二）
第十三讲火柴棍游戏（一）第十四讲火柴棍游戏（二）第十五讲综合练习题第一讲从数表中找规律
第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题
第四讲最短路线问题
第五讲归一问题
第六讲平均数问题
第七讲和倍问题
第八讲差倍问题
第九讲和差问题
第十讲年龄问题
第十一讲鸡兔同笼问题
第十二讲盈亏问题
第十三讲巧求周长
第十四讲从数的二进制谈起
第十五讲综合练习
上册
第一讲速算与巧算（一）
一、加法中的巧算
1.什么叫“补数”？
两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如：1+9=10，3+7=10，
2+8=10，4+6=10，
5+5=10。
又如：11+89=100，33＋67=100，
22+78=100，44+56=100，
55+45=100，
在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89 的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。
对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一
般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加
得9，到最后个位数字相加得10。
如：87655→12345，46802→53198，
87362→12638，…
下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。
小学奥数第六讲 等差数列求和
第六讲等差数列求和（一）小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！
我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。
我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1
典型例题
例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。
分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（1＋1999）×1999÷2
＝2000×1999÷2
＝1000×1999
＝1999000
例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。
分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。
解S＝（a＋b）×n÷2
＝（111＋289）×179÷2
＝400×179÷2
＝200×179
＝35800
例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。
分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。
小三奥数 第6讲：找规律填数(二)
学员编号：年级：课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课
T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型
授课日
期时段
教学内容
第六讲：找规律填数（二）
我们常将一个数列与一些规律简单的数列进行比较，
例如，偶数数列
2，4，6，8…
的第100项显然是200，而1 990址第995项，
将奇数数列
1，3，5，7，…
与偶数列比较，就知道第100个奇数是
200 -1= 199．
而1 989是第995个奇数
下面的例1显示一个数列与它的“差数列”间的关系．
．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：
1，2，4，7，l1，16，( )，( ) ．
从第2项起，每一项减去前一项得数列
l，2，3，4，5，…，
这个由差组成的“差数列”，第6、7项分别是6、7．所以原数列的第7、8项分别是16+6=22．
22+7=29．
即括号内应填入22，29．
找规律，在括号内填入适当的数：
2，6，12，20，30，42，( ) ．
．找出数列的规律，并在括号内填入适当的数：
25，3，22，3，l9，3，( )，( )
由观察可以知道，所有偶数项数的项全由3组成．再来看一下奇数项数的项25，22，19，…．从22起，每一个都比前一个少3．所以括号内应该填入16，3．
发现规律，并在括号内填入适当的数：
15，6，3，7，11，8，( )，( ) ．
例2表示，有些数列可以拆成两个数列（或者说，由两个数列组成），分别由奇数项数的项和偶数项数的项构成．而这两个数列的规律都不难发现．）
已知算式：
1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…．问：第几个算式的得数是1 992？
三年级奥数详解答案-第六讲-简单数列的规律
第六讲找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：
自然数：1，2，3，4,5，6,7， (1)
年份：1990，1991,1992,1993，1994，1995，1996 (2)
某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）
45，45，44，46,45 （3)
像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项,…，第n个数就称为第n项。如数列（3）中，第1项是45,第2项也是45，第3项是44，第4项是46,第5项45.
根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列,上面的几个例子中,（2）(3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律.
例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
①2,5，8，11，()，17，20。
②19，17，15，13，（),9，7。
③1，3，9，27,(），243。
④64,32，16，8,（），2。
⑤1，1,2，3，5，8，(），21，34…
⑥1，3，4，7，11，18，（)，47…
⑦1,3，6，10，（），21,28,36，(）。
⑧1，2，6，24，120,（）,5040。
⑨1,1，3，7，13，（）,31。
⑩1，3，7,15，31，（)，127，255。
小学三年级奥数找规律知识点与习题
小学三年级奥数找规律知识点与习题
一项比前一项多加2，即2，4，6，8，10，12.所以应填28，40.
在本节课中，我们首先介绍了数列的概念，即按一定次序排列的一列数。数列中的第n项记作a
n
数列可以有有限多个或无限多个数。接着，我们研究了如何发现数列的规律。对于一些较简单的数列，规律可以分为三类：只与项数或前一项有关、以组为单元找关系、与其他数列对比发现规律。我们通过例题来巩固所学知识，找出数列的规律并填上合适的数。
1=2×47+1=95，7=2×95+1=191.
例4：找出下列数列的规律，并在括号内填上合适的数：(1) 12，15，17，30，22，45，(27)，(60)；(2) 2，8，5，6，8，4，(11)，(2)。
解析：(1) 数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17，22，…其规律是“依次加5”，因此22后面的项为27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，因此45后面的项为60.所以应填27和60.(2) 类似于(1)的分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，…中，4后面的数应为2.因此应填11和2.
练5：
1.56，49，42，35，28.
2.11，15，19，23，27，31，…
3.3，6，12，24，48.
4.2，3，5，9，17，33，…
5.1，3，4，7，11，18.
6.1，3，7，13，21，31.
7.3，5，3，10，3，15，20，35.
8.8，3，9，4，10，5，11，6.
12次三年级奥数第六讲从数列中发现的行星(1).doc
让每个孩子学有所获 长沙楚材培训中心 第6讲 数列问题专项练习
【知识要点】
一般从已知的每相邻两数观察起，尝试用加、减、乘、除算一算，关键是要找到它们之间变与不变的关系，也就找到了这一数列的排列规律。
【典型例题】书50—51例1、例2、例3、例4。
【针对练习】
1、按下列各数列的排列规律，在（ ）里填上合适的数。
（1）、1，4，7，10，13，（ ），19
（2）、50，45，40，（ ），30，（ ）
（3）、1，3，9，27，（ ），243
（4）、3，6，9，12，（ ），18，21；
（5）、28，26，24，22，（ ），18，16
（6）、60，63，68，75，（ ），95
2、按下列各数列的排列规律，在（ ）里填上合适的数。
（1）、1，4，5，4，9，4，（ ），（ ）；
（2）、6，1，8，3，10，5，12，7，（ ），（ ）；
3、按下列各数列的排列规律，在（ ）里填上合适的数。
（1）、1，2，4，7，11，16，（ ）
（2）、2，6，12，20，30，42，（ ）
4、找规律，在图中填写缺少的数。
小学奥数三年级知识点
小学奥数三年级知识点
小学奥数是一种培养学生数学思维和解决问题能力的数学竞赛活动。
对于三年级的学生来说，奥数的学习不仅能够锻炼他们的逻辑思维，
还能激发他们对数学的兴趣。以下是一些适合三年级学生学习的关键
奥数知识点：
1. 四则运算
三年级学生应该掌握基本的加减乘除运算，包括整数和小数的运算。
同时，他们还需要学会简单的分数运算，理解分数的基本性质。
2. 整数的性质
学生需要了解整数的奇偶性、因数和倍数的概念。同时，他们应该学
会如何找到两个数的最小公倍数和最大公约数。
3. 简单的数列
数列是数学中的一个重要概念，三年级学生可以从等差数列开始学习，理解数列的规律性，并能够根据数列的规律解决问题。
4. 简单的几何知识
学生应该能够识别基本的几何图形，如三角形、正方形、长方形和圆形。同时，他们需要了解这些图形的基本属性，如边长、周长和面积。
5. 图形的分割与组合
学生需要学会如何将一个图形分割成更小的部分，或者将几个图形组
合成一个新的图形。这有助于他们理解图形的可变性和创造性。
6. 简单的逻辑推理
逻辑推理是数学问题解决中不可或缺的一部分。学生应该学会如何通
过已知条件推导出未知条件，或者通过逻辑排除法解决问题。
7. 简单的代数概念
虽然代数是稍高年级的课程内容，但三年级学生可以开始接触一些基
础的代数概念，如变量、方程式和简单的代数表达式。
8. 问题解决策略
学生需要学会如何分析问题，确定解决问题所需的步骤，并能够灵活
运用不同的策略来解决问题。
9. 数学游戏和活动
通过数学游戏和活动，学生可以在轻松愉快的氛围中学习数学，同时
小学三年级奥数教程讲义
小学三年级
奥数教程
学校：________________________ 班次: ________________________ 姓名：________________________
目录
▴第一讲加减法的巧算（一）
▴第二讲加减法的巧算（二）
▴第三讲乘法的巧算
▴第四讲配对求和
▴第五讲找简单的数列规律
▴第六讲图形的排列规律
▴第七讲数图形
▴第八讲分类枚举
▴第九讲填符号组算式
▴第十讲填数游戏
▴第十一讲算式谜（一）
▴第十二讲算式谜（二）
▴第十三讲火柴棒游戏（一）
▴第十四讲火柴棒游戏（二）
▴第十五讲从数量的变化中找规律
▴第十六讲数阵中的规律
▴第十七讲时间与日期
▴第十八讲推理
▴第十九讲循环
▴第二十讲最大和最小
▴第二十一讲最短路线
▴第二十二讲图形的分与合
▴第二十三讲格点与面积
▴第二十四讲一笔画
▴第二十五讲移多补少与求平均数
▴第二十六讲上楼梯与植树
▴第二十七讲简单的倍数问题
▴第二十八讲年龄问题
▴第二十九讲鸡兔同笼问题
▴第三十讲盈亏问题
▴第三十一讲还原问题
▴第三十二讲周长的计算
▴第三十三讲等量代换
▴第三十四讲一题多解
▴第三十五讲总复习
第一讲加减法的巧算
森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”
最新三年级奥数第6次课：找规律（二）（教师版）
最新三年级奥数第6次课：找规律（二）（教师版）
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用】
找规律（二）
一、考点、热点回顾
1、发现和寻找图形、数表的变化规律。
2、小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。
3、一般地说，在观察图形变化的规律时，应抓住以下几点来考虑问题：
（1）图形数量的变化；
（2）图形形状的变化；
（3）图形大小的变化；
（4）图形颜色的变化；
（5）图形位置的变化；
（6）图形繁简的变化等。
二、典型例题
例1 、观察下列图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。
分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90°，所以第四个图如右图所示。
观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化规律。
例2、在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？”处填上合适的数：
解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故
第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60；
第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。
(2)观察前两个图形中的已知数，发现有
10=8+5-3， 8=7+4-3，
即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故
第三个图形中的“？”=12+1-5=8；
第四个图形中的“？”=7+1-5=3。
三年级奥数.杂题.数列规律
一、数列的定义
按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；
3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
二、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．
譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．
二、等差数列的相关公式
三年级奥数数表规律(A级)
一、数列的定义
按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。
2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；
3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。 【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．
二、等差数列的定义
⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法
定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．
譬如：2、5、8、11、14、17、20、
从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、
从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
小学三年级奥数--数字找规律
三年级奥数--数字找规律
知识定位
在今天这节课中，我们将来研究数列问题．正确认识数列，并且掌握研究数列、发现数列规律的方法，以及获得利用规律解决问题的能力.
知识梳理
一、日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：
自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)
年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）
某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）
45，45，44，46，45 （3）
像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
注：
从日常生活中找出例子来举例说明，数列在生活中处处相关，例如日期，时间，年龄等等
二、重点难点解析
1、掌握一些常见的数列的规律.
2、掌握一些特殊数列的规律，并熟练应用规律解决问题.
3、理解掌握运用数列规律解决数阵问题.
三、竞赛考点挖掘
1.数列规律的发现
2.综合数列的区分和解答
例题精讲
【题目】
观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
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第六讲找简单数列的规律
日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如：
自然数：1，2，3，4，5，6，7， (1)
年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2）
某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列）
45，45，44，46，45 （3）
像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，其中第1个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，…，第n个数就称为第n项.如数列（3）中，第1项是45，第2项也是45，第3项是44，第4项是46，第5项45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性，以作为解决问题的依据，本讲将从简单数列出发，来找出数列的规律。
例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
①2，5，8，11，（），17，20。
②19，17，15，13，（），9，7。
③1，3，9，27，（），243。
④64，32，16，8，（），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…
⑥1，3，4，7，11，18，（），47…
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
⑨1，1，3，7，13，（），31。
⑩1，3，7，15，31，（），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.
分析与解答
①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14。
②同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列.
③1，3，9，27，（），243。
此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括号中应填81，即81= 27×3，代入后，243也符合规律，即243＝81×3。
④64，32，16，8，（），2
与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即：
因此，括号中填4，代入后符合规律。
综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列。
⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…
首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。
这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1，3，4，7，11，18，（），47…
在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即29=11＋18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列。
⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。
方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现：
因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第9项为45，即45＝36＋9.代入验算，正确。
方法2：其实，这一列数有如下的规律：
第1项：1=1
第2项：3=1＋2
第3项：6=1+2+3
第4项：10=1+2+3+4
第5项：（）
第6项：21=1+2+3+4+5+6
第7项：28=1+2+3+4+5+6+7
第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8
第9项：（）
即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此，第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；
第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（），5040。
方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然：
所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即720=120×6。
方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然：
第1项1=1
第2项2=1×2
第3项6=1×2×3
第4项24=1×2×3×4
第5项120=1×2×3×4×5