高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题课件

答案
(1)B
3 (2)2
探究提高 在利用基本不等式时往往都需要变形，变 形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应 用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
[微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题
【例1－2】 (1)已知两个正数x，y满足x＋4y＋5＝xy，则xy取最
小值时，x，y的值分别为( )
第2讲 不等式问题
高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利 用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要 以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几 何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式 进行求解，难度较大.
真题感悟
1.(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>1，0<c<1，则( )
4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解 等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目 标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小 值.
5.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
取值范围为________.
(2) 已 知 二 次 函 数 f(x) ＝ ax2 ＋ x ＋ 1 对 x∈[0 ， 2] 恒 有 f(x) ＞ 0. 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________.
解析 (1)法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对 称轴为x＝a， ①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单 调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
6.不等式的证明
不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、 作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩 和换元的技巧.
答案 45，13
1.简单分式不等式的解法
考点整合
(1)gf（（xx））＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)；
(2)gf（（xx））≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0.
2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系 数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与 0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小 进行讨论；④讨论根与定义域的关系.
②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由 2－a2≥a，解得－2≤a≤1.∴－1≤a≤1. 综上所述，所求 a 的取值范围为－3≤a≤1. 法二 设 g(x)＝f(x)－a，则 g(x)＝x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立，
Δ＞0，
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0，
法二 分离参数法. 当 x＝0 时，f(x)＝1＞0 成立. 当 x≠0 时，ax2＋x＋1＞0 变为 a＞－x12－1x， 令 g(x)＝－x12－1x1x≥12.∴当1x≥12时，g(x)∈－∞，－34. ∵a＞－x12－1x，∴a＞－34. 又∵a≠0，∴a 的取值范围是 a＞－34且 a≠0. 答案 (1)[－3，1] (2)－34，0∪(0，＋∞)
答案 (1)(－1，3) (2)－∞，367
探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过 分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题， a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
[微题型2] 函数法解决恒成立问题 【例2－2】 (1)已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的
(2)设等比数列{an}的公比为 q， ∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5， ∴q2－q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－1(舍去).
∴ am·an＝ a1·2m－1·a1·2n－1＝4a1， 平方得 2m＋n－2＝16＝24，∴m＋n＝6，
∴m1 ＋4n＝16m1 ＋4n(m＋n)＝165＋mn ＋4nm≥16(5＋4)＝32， 当且仅当mn ＝4nm，即 n＝2m，亦即 m＝2，n＝4 时取等号.
解得－3≤a≤1.
(2)法一 函数法. 若 a＞0，则对称轴 x＝－21a＜0， 故 f(x)在[0，2]上为增函数，且 f(0)＝1， 因此在 x∈[0，2]上恒有 f(x)＞0 成立. 若 a＜0，则应有 f(2)＞0，即 4a＋3＞0， ∴a＞－34.∴－34＜a＜0. 综上所述，a 的取值范围是 a＞－34且 a≠0.
(2)四个常用结论 ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是aΔ＞＜0，0.
②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是aΔ＜＜0，0. ③a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max. ④a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
3.利用基本不等式求最值
已知 x，y∈R＋，则(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时， 积 xy 取得最大值S42xy≤x＋2 y2＝S42；(2)若 xy＝P(积为定值)， 则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 P(x＋y≥2 xy＝2 P).
解析 (1)设 f(x)＝x＋4x，因为 x＞0，所以 f(x)＝x＋4x≥2 x·4x ＝4.又关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a＞0 对 x∈(0，＋∞)恒 成立，所以 a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数 a 的取 值范围为(－1，3). (2)要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0 恒成立， 则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即 a≤(x＋y)＋x＋1 y恒成立.
答案 (1)C (2)4
热点二 含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题
【例 2－1】 (1)关于 x 的不等式 x＋4x－1－a2＋2a＞0 对 x∈(0， ＋∞)恒成立，则实数 a 的取值范围为________.
(2)已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则 实数a的取值范围是________.
3x－y－3≤0， 值范围是________.
解析 已知不等式组所表示的平面区域如图：
x2＋y2 表示原点到可行域内的点的距离的平方.
解方程组3x－x－2yy－＋34＝＝00，，得 A(2，3).

由图可知(x2＋y2)min＝

|2－2＋2|122＝45，
(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.
由 x＋y＋3＝xy，得 x＋y＋3＝xy≤x＋2 y2， 即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得 x＋y≥6 或 x＋y≤－2(舍去). 设 t＝x＋y，则 t≥6，(x＋y)＋x＋1 y＝t＋1t .设 f(t)＝t＋1t ，则在 t≥6 时，f(t)单调递增，所以 f(t)＝t＋1t 的最小值为 6＋16＝367，所以 a≤367，即实数 a 的取值范围是－∞，367.
解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项. 对选项A，当a＝b＝10，c＝－110时，可排除此选项； 对选项B，当a＝10，b＝－100，c＝0时，可排除此选项； 对选项C，当a＝10，b＝－10，c＝0时，可排除此选项. 故选D.
答案 D
x－2y＋4≥0， 4.(2016·江苏卷)已知实数 x，y 满足2x＋y－2≥0，则 x2＋y2 的取
时，截距最大，即 z 取得最大值，由2x＋x－y＝y＝30，，得xy＝＝12，，
所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4. 答案 C
3.(2016·浙江卷)已知实数a，b，c( )
A.若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 B.若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 C.若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100 D.若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100
A.ac<bc C.alogbc<blogac
B.abc<bac D.logac<logbc
解析 取 a＝4，b＝2，c＝12，逐一验证 C 正确. 答案 C
2.(2016·北京卷)若 x，y 满足2x＋x－y≤y≤30，，则 2x＋y 的最大值为 x≥0，
()
A.0
B.3
C.4
D.5
解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令 z＝2x ＋y，则 y＝－2x＋z，作直线 2x＋y＝0 并平移，当直线过点 A
A.5，5 C.10，5
B.10，52 D.10，10
(2)(2016·临沂模拟)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则 ＋y的最大值是________.
解析 (1)∵x＞0，y＞0，∴x＋4y＋5＝xy≥2 4xy＋5，
即 xy－4 xy－5≥0，可求 xy≥25.
当且仅当 x＝4y 时取等号，即 x＝10，y＝52. (2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1， 即(2x＋y)2－32·2xy＝1，∴(2x＋y)2－32·2x＋ 2 y2≤1，
若 x，y 均为正数，则3x＋2y的最小值是( )
A.53
B.83
C.8
D.24
(2)若直线 2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆 x2＋y2＋2x－4y＋1
＝0 截得的弦长为 4，则1a＋1b的最小值是________.