【百强校】2015-2016学年福建省上杭一中高一下4.20半期数学卷(带解析)

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【百强校】2015-2016学年福建省上杭一中高一下4.20半期数
学卷（带解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：155分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、则与的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、若
，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3、若是锐角
的两个内角，则有（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4、已知，则
的值为（）
A ．3
B ．
C ．
D ．
5、已知的一部分图象如图所示，如果
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、同时具有以下性质：“①最小正周期为；②图象关于
对称；③在
上
是增函数”的一个函数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、若是
的一个内角，且
，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、若将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、已知，点
是线段
上的点，
，则点
的坐
标为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10、已知向量且
，
，
，则一定共线
的三点是（ ）
A ．A,B,D
B ．A,B,
C C ．B,C,
D D ．A,C,D
11、
中，若
，则
是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．直角三角形或钝角三角形
12、
的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13、已知，
．
14、已知
中，
，则
．
15、若
的最小正周期为，则的最小
正周期为 ．
16、已知向量
，向量
，则
的值是 ．
三、解答题（题型注释）
17、如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速
转动，每
转一圈，摩天轮上的点
的起始位置在最低点处.
（1）已知在时刻时
距离地面的高度
，求
时
距离地面的高度；
（2）当离地面以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
18、如图，在平行四边形中，，与
的夹角为.
（1）若，求、
的值；
（2）求的值；
（3）求
与
的夹角的余弦值.
19、已知向量
.
（1）若,求向量的夹角；
（2）已知，且，当
时，求的值.
20、已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低
点的坐标分别为和.
（1）求
和
的值；
（2）已知，且，求
的值.
21、（1）已知角的终边过点求的值；
（2）已知函数在的最大值为，最小值，
求
的值.
22、设
是两个互相垂直的单位向量，且
（1）若
求的值；
（2）若
求
的值.
参考答案1、B
2、D
3、C
4、B
5、C
6、C
7、D
8、C
9、D
10、A
11、C
12、D
13、
14、
15、
16、
17、（1）；（2）．
18、（1），；（2）；（3）．
19、（1）；（2）．
20、（1），；（2）．
21、（1）；（2）．
22、（1）；（2）．
【解析】
1、试题分析：设与的夹角为，由可知，即
，求得，故本题的正确选项为B.
考点：向量的运算即向量的夹角.
【方法点睛】本题主要考察向量的运算及夹角.首先要清楚向量垂直的性质即两向量数量积为零，而向量的数量积即可以表示为对应组标的乘积，也可以表示为两向量模长与夹角余弦三者的乘积，因此可通过求家教的余弦的方法来求得向量的夹角，即利用
来求得夹角的余弦，进而求得夹角.其次要注意同一向量的数量积等于模长的平方.
2、试题分析：由，得①由
得②，由①②可求得，
则，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数恒等变换.
【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为，所以只要求得即可，而余弦恒等变换中刚好有
这两项，所以考虑利用和差角的余弦展开式建立一个二元一次方程组，解方程组求得，进而求得.
3、试题分析：因为是锐角的三个内角，所以满足任意两个角的和大于
，即，故本题正
确选项为C.
考点：三角函数的单调性.
4、试题分析：
，故选B.
考点：三角函数中“”的代换．
【方法点晴】本题是一个关于三角函数中常见的“”的代换方面的应用问题，属于容易题.解决本题的基本思路是，将被求式先转化为关于
的代数式，再利用已知条件，即可求出所需结论.另外，本题也可以利用降次公式和二倍角公式把所求式化为关于
的形式，再结合万能公式即可求出结果.
5、试题分析：由图象可知，因为图象是由正弦图象
向上平移个单位所得，所以,则，将代入
函数结合可求得，故本题的正确选项为C.
考点：三角函数的图象.
6、试题分析：由最小正周期为可知，排除选项A；图象关于对称，则函数在时取得最大（小）值，排除选项D；当，
，很显然正弦函数在上为增函数，而余弦
函数在上为减函数，故本题的正确选项为C.
考点：任意三角函数图象的性质.
7、试题分析：是的一个内角,，又
，所以有，故本题的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.
8、试题分析：根据函数图象平移的性质，即左加右减，上加下减，可知原函数向右平
移个单位所的函数应该为，故本题的正
确选项为C.
考点：函数图象的平移.
9、试题分析：假设，则有，
所以有，可求得，故本题的正确选项为D.
考点：三点共线的性质.
10、试题分析：根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、
，、有可能共线，假设、共线，，令
,可求得，、共线成立，假设、共线，
,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.
考点：三点共线的证明.
【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），
其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.
11、试题分析：由三角函数的恒等变换（正弦的和差角公式）可知
，也即，又
，所以，即，为直角三角形，故本题的正确选项为C. 考点：三角函数恒等变换，三角形的形状.
12、试题分析：因为，根据任意角的定义可知
，由三角函数的诱导公式可知
，故本题的正确选项为D.
考点：任意角的三角函数.
13、试题分析：，则，，所以有
，，又
，所以
.
考点：三角函数恒等变换.
【思路点睛】本题主要考察三角函数的恒等变换，因为所求三角函数通过恒等变形后都可变为已知的三角函数，结合题中条件可知，所以只有求得了的正弦值及余弦值，才能利用余弦的和差角公式求，在求
的正余弦值时，一定要注意的取值范围及三角函数值的符号．14、试题分析：因为中，，所以
.
考点：平面向量的数量积的运算．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的加法与减法的几何意义以及平面向量的数量积的运算，对于平面向量的运算熟记运算的基本公式和运算的法则是解答的基础，同时解
答中是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的
能力，以及学生的推理与运算能力的培养，属于中档试题．
15、试题分析：本题主要考察三角函数的周期正弦三角函数周期为，而正切函数则为.由三角函数的最小正周期可知，所以函数的最小
正周期为.
考点：三角函数的周期.
16、试题分析：根据向量的运算可知，
所以.
考点：向量的运算及向量的模长.
17、试题分析：（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相
，这样便可求得的解析式，从而求得时距离地面的高度；（2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至
时又能看着全貌，求得两次的时间差即能看着全貌的时间．
试题解析：（1）依题意，，则，
且,故
.
（2）由（1）知，
依题意，，
.
.转一圈中有钟时间可以着到公园全貌.
考点：三角函数的应用.
【方法点睛】解答此类型题首先要求得解析式中相关参数，即周期，振幅，初相，以及图象的平移，振幅就是圆的半径，而初相则要通过函数的某一个特殊点（自变量为零或者函数值为零）来求，其次要注意函数的平移，此类函数问题因与实际问题想联系，所以必然会由向上（下）的平移，而平移量为使三角函数值为零的点与零参考面（地面）的高度差；而对于第二问的事件，可通过求得开始看见全貌以及刚好看不见全貌的时间
差，也可利用函数的对称性，求得最高点与刚好看着全貌时的时间差，然后乘以便可求得总时间．
18、试题分析：（1）根据向量的运算有，可知
，由模长即可求得、的值；（2）先求得向量,再根据向
量的数量积及便可求得；（3）由前面的求解可得
及，可利用求得向量夹角的余弦值．
试题解析：（1）因为，
所以即.
（2）由向量的运算法则知，
,
所以.
(3) 因为与的夹角为，所以与的夹角为,
又,所以
.
.
设与的夹角为，可得
.
所以与的夹角的余弦值为.
考点：向量的运算．
【思路点睛】本题主要考查向量的运算及单位向量，平面任一向量都可用两个不共线的单位向量来表示，其对应坐标就是沿单位向量方向上向量的模长；而对于向量的数量积，在得知模长及夹角的情况下，可以用两向量模长与夹角余弦三者的乘积来计算，也可转化为单位向量的数量积进行求解；而向量夹角的余弦值则经常通过向量的数量积与向量模长的比值来求得．
19、试题分析：（1）根据向量数量级的运算可知求向量的夹角的余弦等于向量的数量积与两向量模长的比值，可求得夹角的余弦值为，代入即可求得夹角；（2）由向量的运算可求得，经化简可得
，令，结合即可求得的值．
试题解析：（1）由已知，得,
设与的夹角为，则，
.
（2）
由，得,
当，即时，.
考点：向量夹角，三角函数的恒等变换.
20、试题分析：（1）三角函数在一个周期内最高点与最低点的水平距离等于半个周期，据此可求得，因为函数未进行上下平移，所以最高点纵坐标就是函数的振幅；（2）由已知条件可求得，利用二倍角公式求得，再利用三角恒等变换便可求得．
试题解析：（1）函数的图象的最高点的为.
依题意，得的周期为；
（2）由(1) 得，
且,
,
.
考点：三角函数的周期，振幅，恒等变换.
21、试题分析：（1）利用三角函数诱导公式对原式进行化简得，而根据任意角
的三角函数的定义由角的终边过点可知；（2）先求得函数
在上的最大值及最小值并代入
中，得到关于的二元一次方程组，解方程组求得，进而可求得．
试题解析：（1）角终边经过点，
；
（2），
并且在的最大值为，最小值为，
，解得：.
考点：三角函数的最值及其诱导公式的运用.
22、试题分析：（1）由向量共线，则存在唯一实数使得成立，列方程求的值即可，因为向量，故也可利用两向量对应坐标比值相等来求；（2）根据两向量垂直的性质：对应坐标乘积的和为列方程求的值．
试题解析：（1）由，且，故存在唯一的实数，使得，即
不共线，；
（2），即，
.
考点：向量平行及垂直的性质.。