几何建模
第四章几何建模与特征建模
第四章几何建模与特征建模几何建模和特征建模是计算机辅助设计（CAD）中的两个重要概念。
几何建模是指使用几何图形来描述和构建物体的过程，而特征建模则是从物体的形式特征出发，对其进行建模和分析。
1.几何建模几何建模是指使用几何图形来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，几何建模技术被广泛应用于三维物体的建模过程中。
几何建模可以通过两种方式进行，即实体建模和表面建模。
实体建模是指通过定义物体的内外部边界，来表示物体的形状和结构。
常用的实体建模方法包括边界表示法、体素表示法和CSG表示法等。
边界表示法通过定义物体的边界曲面来描述物体的形状。
体素表示法将物体划分为一系列小立方体单元，通过定义每个单元的属性来表示物体的形状和结构。
CSG表示法使用一系列基本几何体的组合和运算来表示复杂物体的形状。
表面建模是指通过定义物体的外表面来描述物体的形状和结构。
常用的表面建模方法包括多边形网格表示法、B样条曲面表示法和NURBS表示法等。
多边形网格表示法通过将物体表面划分为小的多边形面片来表示物体的形状。
B样条曲面表示法和NURBS表示法通过定义一系列曲线或曲面的控制点和权重来表示物体的形状和结构。
几何建模的目标是通过使用几何图形来精确地表示物体的形状和结构，以便进行设计和分析。
几何建模技术广泛应用于工程设计、产品设计、电子游戏开发等领域。
2.特征建模特征建模是指通过对物体的形式特征进行建模和分析，来表示物体的形状和结构。
在计算机辅助设计中，特征建模技术被广泛应用于产品设计和加工过程中。
特征是指物体的形式特征，如孔、凸台、凹槽等。
特征建模通过对物体的形式特征进行建模和分析，来描述物体的形状和结构。
特征建模可以分为两个阶段，即特征提取和特征建模。
特征提取是指通过对物体的形状和结构进行分析，提取物体的形式特征。
特征提取方法包括形状识别、特征匹配和几何拓扑等。
形状识别是指通过对物体的形状进行分析，识别物体的形式特征。
特征匹配是指将提取的形式特征与已知特征进行匹配，以确定物体的形状和结构。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件（Computer-Aided Design，计算机辅助设计）和3D建模软件。
在进行几何建模时，常常需要进行几何拟合，即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种：
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代算法，在曲线拟合中，可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值，并迭代求解，直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法：Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法，常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差，具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法：RANSAC（RANdom SAmple Consensus）
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法，主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型，并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法，根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
第二讲-几何建模
e e->opp()
e->start() = e->opp()->end();
e->start()
class HalfEdge { HalfEdge *opp; Vertex *end; Face *left; HalfEdge *next; };
HalfEdge e;
e->left()
Non-Manifold
Closed Manifold
Open Manifold
拓扑
v = 12 f = 14 e = 25 c=1 g=0 b=1 图的亏格(genus)：handle的数目。 在沿其撕裂后，能够使图保持连通 的封闭路径的最大数目的一半
Euler-Poincare 公式 v+f-e = 2(c-g)-b
• • • • 将一个隐式的曲面转换为三角网格 在3D网格（grid）上定义的隐式曲面 在每个立方体（cube）中根据8个顶点的标量值来确定重构曲面 一般用于医学数据
点云
深度图像
网格（Mesh）
– – – – – 图形学中最常用的表达 简单 可表达复杂形状 图形硬件支持 一般为三角网格
为什么是三角网格
网格的数据结构是否优秀
• 构建数据结构的时间复杂度
• 进行一个查询操作的时间复杂度 • 进行一个网格编辑操作的时间复杂度（更 新数据结构） • 空间复杂度
数据结构举例
• 面列表（ List of faces）
• 邻接矩阵（Adjacency matrix） • 半边结构（Half-edge）
一个实际的文件例子 .obj文件
All neighboring vertices
edge
几何建模概述课件
欧拉公式仍然成立。
几何建模技术的发展
➢20世纪60年代：几何建模技术发展 的初始阶段—线框模型，仅含有顶点 和棱边的信息。 ➢20世纪70年代：表面模型。在线框模型的基础上增加面的信息 ，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。后来又出 现曲面模型，用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示。 ➢20世纪70年代末：实体造型。通过简单体素的几何变换和交、 并、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术，实体模型能够包 含较完整的形体几何信息和拓扑信息。 线框模型、表面模型、实体模型统称为几何模型。实体模型是目
形体的定义
形体在 计算机内常 采用六层拓 扑结构来定 义，如果包 括外壳在内 则为六层。 分别是：体、 壳、面、环、
形体的定义在计算机内常采用六层拓扑结构来
边、点。
①体 体是由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个 面的集合，而外壳是形体的最大边界，是实体拓扑结构中 的最高层。 正则形体——
具有良好边界 的形体定义为正则 形体。正则形体没 有悬边、悬面、或 一条边有二个以上的邻面。 ②壳 壳由一组连续的面围成，实体的边界称为外壳，如 果壳所包围的空间是个空集则为内壳。 ③面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个 ①体是由封闭表面围成的有效空间，其边界限个集合 外环和苦干个内环界定其有效范围。面的方向用垂直于面 的法矢表示，法矢向外为正向面。
该公式的含义为：如果一集合S的内部闭包与原来的集 合相等，则称此集合为正则集。空间点的正则集就是正则 几何形体，也就是有效几何形体。
能够产生正则集的集合运算称为正则集合运算。
相应的正则集合算子有：
正则并 U*
正则交 ∩*
正则差 —*
数学上正则集定பைடு நூலகம்为：S=Ki合运算
几何参数化建模方法
几何参数化建模方法=============概述--几何参数化建模方法是广泛应用于计算机图形学、计算机视觉和机器学习等领域的一种建模方法。
它通过将几何形状表示为参数化方程的形式，实现对复杂形状的建模、分析和处理。
本文将详细介绍参数化建模和参数化技术的概念、方法和应用。
参数化建模------参数化建模是指将一个几何形状表示为参数的函数形式，其中参数可以是几何变量（如角度、长度等）或其他非几何变量（如时间、频率等）。
通过这种方式，我们可以将一个复杂形状表示为一个简单的参数函数，从而实现对形状的解析和操作。
在参数化建模中，常用的方法包括：1. 欧氏坐标系：将形状表示为欧几里得空间中的点集，通过坐标变换实现对形状的操作。
2. 极坐标系：将形状表示为极坐标系下的点集，通过极径、极角等参数实现对形状的描述。
3. 球坐标系：将形状表示为球坐标系下的点集，通过球心、半径和方位角等参数实现对形状的描述。
4. 参数曲面：通过定义一组控制点，并使用插值方法构建一个曲面，实现对形状的建模。
5. 隐式函数：通过定义一个隐式函数，将形状表示为函数值的等值线或等值面。
参数化技术------参数化技术是指通过参数化方程来描述和操作几何形状的一组技术。
参数化方法可以分为两大类：全局参数化和局部参数化。
全局参数化是指在整个几何形状上进行参数化，常用的方法包括：1. 均匀B样条（Uniform B-splines）：通过定义一组控制点，并使用插值方法构建一个曲面，实现全局参数化。
2. 非均匀B样条（Non-uniform B-splines）：与均匀B样条类似，但控制点的间距可以不相等，实现更加灵活的全局参数化。
3. 三角片映射（Triangle maps）：将几何形状映射到一组三角片上，从而实现全局参数化。
局部参数化是指仅在形状的局部区域进行参数化，常用的方法包括：1. 切线空间（Tangent space）：通过定义切线空间中的一组基向量，实现局部参数化。
几何建模技术基础
§2 三维几何建模的模式
2.2 表面模型 1. 原理:
§2 三维几何建模的模式
顶点
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 ...
坐标值
Xy z x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 x5 y5 z5 x6 y6 z6 x7 y7 z7 x8 y8 z8 ... ... ...
-E2 +E5 -E6 F1
F3
F3
-E1 +E4 -E5 F2
F4
F4 +E3 +E6 -E4 F3
0
§2 三维几何建模的模式
2. 体素
基本体素
§2 三维几何建模的模式
2. 体素
扫描法生成体素
三维实体扫描体素
§2 三维几何建模的模式
3. 体素的布尔运算
B
A A∪B (并运算)
A－B (差运算) A∩B (交运算)
棱线
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 K10 …
顶点号
P1, P2 P2, P3 P3, P4 P4, P5 P5, P6 P6, P1 P7, P8 P8, P9 P9, 10 P10, P11
…
§2 三维几何建模的模式
线框模型的多义性
§2 三维几何建模的模式
2. 特点: 简单、存贮量小、速度快 信息不完整、多义性、不进 行检验和消隐
自动绘图 回转零件的数控编程
§2 三维几何建模的模式
2.1 线框模型
1. 原理: 点和棱线
K体
P12 K11 P11
K10
P6
第5章几何建模与特征建模
二．数据结构（边界表示法数据结构）
实体建模采用表结构存储数据，其中棱线表和面表与曲面 造型有很大不同，从表中可以看出，棱线表记录的内容更加丰 富，可以从面表找到构成面的棱线，从棱线表中可以找到两个 构成的棱线的面。与曲面建模相比，实体模型不仅记录了全部 几何信息，而且记录了全部点、线、面、体的信息。
二．数据结构
三维线框模型采用表结构，在计算机内部存储物体的顶 点及棱线信息，请实体的几何信息和拓扑信息层次清楚的记 录在以边表、顶点表中。如下图所示的物体在计算机内部是 用18条边，12个顶点来表示的。
三．特点
1、优点 这种描述方法信息量少，计算速度快，对硬件要求低。数 据结构简单，所占的存储空间少，数据处理容易，绘图显示速 度快。 2、缺点 1）存在二异性，即使用一种数据表示的一种图形，有时也 可能看成另外一种图形。 2）由于没有面的信息，不能解决两个平面的交线问题。 3）由于缺少面的信息，不能消除隐藏线和隐藏面 4）由于没有面和体的信息，不能对立体图进行着色和特征 处理，不能进行物性计算。 5）构造的物体表面是无效的，没有方向性，不能进行数控 编程。
3)三维实体扫描体素： 实体扫描法是用 一个三维实体作为扫 描体，让它作为基体 在空间运动，运动可 以是沿某个曲线移 动，也可以是绕某个 轴的转动，或绕某一 个点的摆动。运动的 方式不同产生的结果 也就不同。
四．三维实体建模的计算机内部表示
1．边界表示法（B-Rep Boundary Representation
3）集合的交、并、差运算
4) 特点 （1）数据结构非常简单，每个基本体素不必再分，而是将 体素直接存储在数据结构中。 （2）对于物体结构的修改非常方便，只需要修改拼合的过 程或编辑基本体素。 （3）能够记录物体结构生成的过程。也便于修改 （4）记录的信息不是很详细，无法存储物体最终的详细信 息，如边界、顶点的信息等。 5）应用： 可以方便地实现对实体的局部修改 ，如下图
几何建模方法完美版文档
几何建模方法完美版文档摘要:几何建模是计算机图形学和计算机辅助设计领域的一项重要技术，它用于描述和表示三维物体的形状和结构。
本文介绍了几何建模的主要方法，包括实体建模、曲面建模和体素建模，并讨论了它们各自的优点和应用领域。
1.引言在计算机图形学和计算机辅助设计领域，几何建模是一个重要的研究方向。
它用于描述和表示三维物体的形状和结构，广泛应用于虚拟现实、游戏开发、工业设计等领域。
几何建模方法可以分为实体建模、曲面建模和体素建模三大类。
本文将介绍这三种方法的基本原理、优点和应用领域。
2.实体建模实体建模是一种基于物体的实际几何体的表示方法。
它通过定义物体的边界和内部结构，来描述物体的形状和结构特征。
实体建模方法包括边界表示和体素表示两种主要技术。
边界表示方法使用曲面、多边形等几何元素来表示物体的边界。
体素表示方法将物体划分成一系列小的体素，然后根据体素的属性来描述物体的形状。
实体建模方法的优点是能够准确地描述物体的形状和结构，适用于需要精确建模的应用场景，如工业设计、模具设计等。
但是实体建模方法的计算复杂度较高，不适合用于大规模三维物体的建模。
3.曲面建模曲面建模是一种基于物体表面的表示方法。
它通过定义物体的曲线和曲面来描述物体的形状和特征。
曲面建模方法包括参数化曲面、贝塞尔曲线和NURBS曲线等技术。
参数化曲面是通过给定一组参数方程来定义曲面的形状。
贝塞尔曲线是一种通过控制点来定义曲线的方法，可以灵活地控制曲线的形状。
NURBS曲线是一种通过控制点权重来定义曲线的方法，可以更精确地描述曲线的形状。
曲面建模方法的优点是能够灵活地控制物体的形状和结构，适用于需要灵活调整模型的应用场景，如艺术设计、角色建模等。
但是曲面建模方法需要较高的技术要求，对建模人员的专业知识要求较高。
4.体素建模体素建模是一种基于离散网格的表示方法。
它通过将物体划分成一系列小立方体网格单元来表示物体的形状和结构。
体素建模方法包括体素化和体素网格化两种技术。
几何建模及特征建
第一节 基本概念
一、建模的基本概念
建模过程实质就是 一个描述、处理、 存储、表达现实物体 及其属性的过程
二、 几何建模和特征建模
1.几何建模 几何建模方法以几何信息和拓扑信 息反映物体的形状和位置。 几何信息指物体在欧氏空间中的形 状、位置和大小，最基本的几何元素是 点、直线、面。 拓扑信息是指拓扑元素(顶点、边棱 线和表面)的数量及其相互间的连接关系。
曲面生成是比较复杂的，除了 NURBS 曲
面外，目前还有很多产生曲面的方法， 如 Bezier 曲面、 Coons 曲面， B 样条曲面 等。对于一般常用的曲面，可以采用几 种简化曲面生成的方法。 1） 线性拉伸面 2） 直纹面 3） 旋转面 4） 扫描面
二、曲面建模的特点
曲面模型由于增加了面的信息 1.信息的完整性和严密性方面更进了一步 2.可以在屏幕上生成逼真的彩色图像，可以消除 隐藏线和隐藏面。 3.还可以为其它应用场合继续提供数据 缺点： 容易“丢面”，往往会在面与面的连接处出现重 叠或者间隙，不能保证建模精度。此外，由于 曲面模型中没有各个表面的相互关系，很难说 明这个物体是一个实心的还是一个薄壳，不能 计算其质量特性。
2．特征建模
特征是产品信息的集合, 它不仅具有按一
定拓扑关系组成的特定形状, 且反映特定 的工程语义, 适宜在设计、分析和制造中 使用。
三、CAD/CAM集成对建模的基本要求
1)建模系统应具备信息描述的完整性
2)建模技术应贯穿产品生命周期的整个
过程 3)建模技术应为企业信息集成创造条件
二、体素的生成方法
一类是基本体素
一类是扫描体素
三、三维实体建模的计算机内部表示
第八讲几何建模
2.形体表示方法
• 分解表示
–立方体网格，八叉树，四面体网格
• 构造表示
–扫描表示，构造实体几何(CSG)，特征表示
• 边界表示
分解表示－立方体网格
这种模型将包含实体的空间分割成均匀的小立方 体，建立一个三维数组，使数组中的每一个元素 与 (i,j,k) 的小立方体相对应。当该立方体被物体 所占据时，的值为 1 ，否则为 0 。很容易实现实 体的集合运算以及体积计算等。但是这种方法不 是一种精确的表示法，其近似程度完全取决于分 割的精度，与几何体的复杂程度无关。另外更重 要的是要存储全部的有关信息需要大量的存储空 间。
非正则形体
• 一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
图3.2.1 非正则形体实例
集合运算，正则集合运算
• 集合运算（并、交、差）是构造形体的基 本方法。正则形体经过集合运算后，可能 会产生悬边、悬面等低于三维的形体。 • Requicha在引入正则形体概念的同时，还 定义了正则集合运算的概念。正则集合运 算保证集合运算的结果仍是一个正则形体， 即丢弃悬边、悬面等。
分解表示－四面体网格
四面体网格模型是将包含实体的空间分割成四面体单元的集 合，与六面体网格模型相比，四面体网格模型可以以边界面 片为四面体的一个面，模型精度高，能够构建复杂形体的网 格模型，在复杂对象的科学计算和工程分析中具有重要的应 用。但四面体网格模型数据结构复杂，实现复杂空间域边界 一致的四面体剖分是近年来的研热点。
• Brep表示覆盖域大，原则上能表示所有的 形体，而且易于支持形体的特征表示等； • Brep表示已成为当前CAD/CAM系统的主要表 示方法。
3. 边界表示模型
第7章 几何建模
《图形学与虚拟环境》 郑州大学信息工程学院 赵新灿 18
粒子系统的模拟
在虚拟系统的场景中有许多除了建筑物、人体、车辆等规则 模型和象地形、海岸线、山峰、树木等不规则以外的例如烟、 云、火焰、水等这样的模糊景物。而模拟这些模糊景物的常 用办法就是粒子系统模型。 利用粒子系统方法描述自然景物，首先应对所要描述的对象 特性进行分析，包括对象的静态特性，动态特性等；其次是 对粒子系统进行绘制。具体步骤如下： （1）在系统中产生新的粒子； （2）赋予每个粒子一定的静态属性和动态属性； （3）删除在系统中已经存在的但超过生命周期的粒子； （4）根据剩余粒子的动态属性对粒子进行移动和变换； （5）显示具有生命的粒子所组成的图形。
正则体模型以以几何方程表示的模型欧欧氏氏图形学与虚拟环境郑州大学信息工程学院赵新灿8几何模型整数维模型分数维模型非正则体模型用分形几何方法描述对象几何特性以过程式模拟对象的模型表示形体的两大模型图形学与虚拟环境郑州大学信息工程学院赵新灿9物理建模物理建模?物理建模指的是虚拟对象的质量重量惯性表面纹理光滑或粗糙硬度变性模式弹性或可塑性等特征的建模这些特征与几何建模和行为规则结合起来形成更真实的虚拟物理模型
相互关系；表达数据间一种结构联系。 数据的逻辑结构 数据项所建立的真实存在的逻辑结构关系， 与存储介质无关。
《图形学与虚拟环境》
《图形学与虚拟环境》 郑州大学信息工程学院 赵新灿 4
几何建模
几何建模可以进一步划分为层次建模法和属主建模法。 （1）层次建模法：利用树形结构来表示物体的各个组成 部分。例如：手臂可以描述成有肩关节、大臂、肘关节、 小臂、腕关节、手掌、手指等构成的层次结构，而各手指 又可以进一步细分为大拇指、食指、中指、无名指和小拇 指。在层次建模中，较高层次构件的运动势必改变较低层 次构件的空间位置 （2）属主建模法：让同一种对象拥有同一个属主，属主 包含了该类对象的详细结构。当要建立某个属主的一个实 例时，只要复制指向属主的指针即可。每一个对象实例是 一个独立的节点，拥有自己独立的方位变换矩阵。以木椅 建模为例，木椅的四条凳腿有相同的结构，我们可以建立 一个凳腿属主，每次需要凳腿实例时，只要创建一个指向 凳腿属主的指针即可。
几何问题的建模和分析
几何问题的建模和分析在我们的日常生活和学习中，几何问题无处不在。
从建筑设计中的房屋结构，到机械制造中的零件形状，再到地图绘制中的区域规划，都离不开对几何问题的深入理解和准确分析。
而要有效地解决这些几何问题，建模是一个至关重要的手段。
什么是几何问题的建模呢？简单来说，就是将实际生活中的几何现象或问题，通过简化、抽象和数学化的方式，转化为可以用数学方法进行研究和解决的模型。
这个过程就像是把一个复杂的、具体的现实问题“翻译”成了数学语言，让我们能够运用数学的工具和方法来找到答案。
比如说，我们考虑一个常见的几何问题：如何计算一个不规则多边形的面积。
在现实中，这个多边形可能是一块形状奇特的土地。
为了对其面积进行计算，我们可以将这个多边形分割成多个三角形或四边形，然后利用已知的面积公式来分别计算这些小图形的面积，最后将它们相加。
这个将不规则多边形分割并计算的过程，就是一种建模。
再比如，在设计一个圆柱形的水桶时，我们需要考虑水桶的容量、材料的用量以及稳定性等问题。
我们可以通过建立数学模型来描述水桶的形状（圆柱体），并运用相关的几何公式来计算体积、表面积等参数，从而确定合适的尺寸和材料厚度。
几何建模的方法多种多样，常见的有基于图形的建模、基于方程的建模和基于数值计算的建模等。
基于图形的建模直观易懂，通常是通过绘制几何图形来表示问题中的对象和关系。
比如在研究两个相交圆的位置关系时，我们可以直接画出两个圆的图形，通过观察它们的交点数量和位置来判断关系。
基于方程的建模则更加精确和通用。
我们可以用数学方程来描述几何对象的特征和性质。
例如，对于一个椭圆，我们可以用标准方程来表示其形状和位置，然后通过解方程来研究椭圆的各种属性。
基于数值计算的建模适用于那些难以用精确的数学公式表达的复杂问题。
通过使用计算机进行大量的数值计算和模拟，我们可以近似地得到问题的解。
比如在研究流体在复杂几何管道中的流动时，常常采用数值模拟的方法。
在进行几何建模时，需要注意几个关键的问题。
计算机图形学中的几何建模技术
计算机图形学中的几何建模技术计算机图形学是一门研究如何使用计算机生成和处理图像的学科。
在这个领域中，几何建模技术是非常重要的一部分。
几何建模技术主要涉及如何利用数学方法和算法来描述和表示三维物体的形状和结构。
在计算机图形学中，几何建模技术主要包括参数建模、多边形网格建模和体素建模等几种方法。
下面将对这几种方法分别进行讨论。
参数建模是一种基于参数方程的建模方法。
它的核心思想是用一组参数方程描述物体的几何形状。
通过调整这些参数，可以改变物体的形状和结构。
参数建模的一个典型应用是曲线和曲面的建模。
例如，利用贝塞尔曲线和贝塞尔曲面，可以方便地生成各种曲线和曲面形状，从而实现对物体的真实模拟。
多边形网格建模是一种基于多边形网格表示的建模方法。
在这种方法中，三维物体被分解成一个个多边形，并通过连接这些多边形来描述物体的形状。
多边形网格建模被广泛应用于计算机动画、游戏开发等领域。
它的优点是计算速度快、存储空间占用较小。
但是，多边形网格建模也存在一些问题，比如在处理曲线和曲面时会带来一定的误差。
体素建模是一种基于体素表示的建模方法。
体素是三维空间中的一个小立方体元素，通过组合这些小立方体元素，可以描述物体的形状和结构。
体素建模在医学图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
它的优点是可以直观地表示物体的内部结构和空间关系。
但是，体素建模也存在一些问题，比如在处理大规模的物体时会导致计算和存储需求增加。
除了上述几种常用的几何建模技术外，还有一些其他的几何建模方法。
例如，基于隐式曲面的建模方法使用数学方程来隐式地描述物体的表面，从而实现对复杂物体的建模。
基于体素集的建模方法则通过表示物体与边界之间的关系来描述物体的形状。
总的来说，几何建模技术在计算机图形学中起着重要的作用。
通过这些技术，我们可以方便地生成和处理各种三维图形，实现对物体形状和结构的真实模拟。
虽然每种几何建模方法都有其特点和适用范围，但在实际应用中往往需要根据具体的需求选择适当的方法。
几何建模的分类及应用教案
几何建模的分类及应用教案几何建模是指通过数学和计算机科学的方法对物体进行建模和描述的过程。
根据不同的分类标准，几何建模可以分为多种类型，如下所述：1.基本几何建模方法：基本几何建模方法是对物体进行最简单的描述和建模，常用的基本几何建模方法包括点、线、面等的描述，以及基本几何体（如球体、立方体）的建模。
这种方法适用于对简单物体进行建模，例如在建筑设计中对房屋进行简单的三维建模。
2.体素建模：体素建模是指通过将物体划分成小的立方体单元，然后对每个立方体单元进行建模和描述的方法。
通过控制每个立方体单元的属性和位置，可以得到物体的几何形状、结构和材料属性等。
体素建模适用于对复杂的物体进行建模，例如在医学图像处理中对人体器官进行建模。
3.曲面建模：曲面建模是指通过曲面来描述物体的几何形状和表面特征的建模方法。
常见的曲面建模方法包括贝塞尔曲线、贝塞尔曲面、B样条曲线、NURBS等。
曲面建模适用于对具有复杂曲面形状的物体进行建模，例如汽车外形设计中对车身进行建模。
4.边界表示法（B-rep）建模：边界表示法是指通过表示物体的边界来描述物体建模的方法。
其中最常用的是使用多边形或三角形网格来表示物体的表面。
通过定义和控制多边形的顶点和边的属性，可以精确地描述物体的几何形状和表面特征。
边界表示法适用于对复杂的物体进行建模，并且可以进行渲染和可视化。
几何建模在多个领域中都有广泛的应用，下面是一些常见的应用：1.计算机辅助设计（CAD）：几何建模是CAD系统的基础，通过几何建模可以对产品进行精确的三维建模和分析。
在工程设计、产品设计和工业设计等领域中广泛应用，可以提高设计效率和准确性。
2.计算机图形学：几何建模在计算机图形学中用于生成和渲染逼真的图形和动画效果。
通过建模和描述物体的几何形状和表面特征，可以实现真实感和交互性的图像效果。
3.虚拟现实（VR）和增强现实（AR）：几何建模在虚拟现实和增强现实技术中用于创建虚拟场景和增强场景。
数学与几何建模用几何建模探索数学问题的解决方法
数学与几何建模用几何建模探索数学问题的解决方法数学与几何建模：用几何建模探索数学问题的解决方法数学一直以来都是人类认知世界的重要工具，它是一门推理的科学，有助于人们理解和解决实际问题。
而几何建模作为数学的一个分支，通过将数学问题转化为几何图形，在空间中进行可视化和模拟，为数学问题的解决提供了一种全新的途径。
本文将探讨数学与几何建模的关系，以及几何建模在解决数学问题中的应用。
一、数学与几何建模的关系几何建模是数学的一种应用方式，通过几何图形来表示数学问题。
它能将抽象的数学概念转化为直观可见的几何形状，帮助人们更好地理解和分析问题。
几何建模与数学密切相关，数学提供了几何建模所需的理论基础和计算方法，而几何建模则将数学问题具象化，使之更易于理解和求解。
几何建模包括平面几何建模和立体几何建模两个方面。
平面几何建模主要涉及平面图形的表示和计算，如线段、角度、面积等；而立体几何建模则更加复杂，涉及到空间图形的表示和计算，如三角形、立方体、球体等。
几何建模最大的特点是通过图形化的方式展现数学问题，使得问题更加形象，更加具体，进而有助于解决问题。
二、几何建模在数学问题中的应用1. 几何建模在几何学中的应用几何学研究空间图形和它们的性质。
几何建模通过建立几何图形来研究和解决几何学问题。
例如，通过绘制三角形的边长、角度等信息，可以得到三角形的面积和周长等属性。
通过建立几何模型，我们可以更好地理解几何学中的定理和公式，进而应用它们解决问题。
2. 几何建模在物理学中的应用物理学研究物体的运动和相互作用。
几何建模可以帮助我们建立物理模型，通过几何图形表达物理过程中的关键参数和规律。
例如，在力学中，我们可以通过建立线段或向量来表示力的大小和方向，通过建立几何模型来研究物体的受力情况和运动轨迹。
3. 几何建模在工程学中的应用工程学研究如何应用科学和技术原理解决实际问题。
几何建模在工程学中有广泛的应用，特别是在计算机辅助设计和制造方面。
数字孪生几何建模物理建模行为建模规则建模
数字孪生几何建模物理建模行为建模
规则建模
数字孪生是一种利用数字技术创建物理对象的虚拟副本的技术。
其中包含了几何建模、物理建模、行为建模和规则建模等方面。
几何建模是数字孪生的基础，它涉及创建物理对象的三维几何形状和结构。
通过使用计算机辅助设计（CAD）工具或其他建模软件，可以生成精确的几何模型，包括物体的尺寸、形状、拓扑结构等。
物理建模则进一步扩展了数字孪生的能力，它关注物理对象的物理特性和行为。
物理建模包括定义材料属性、力学行为、热传导等方面。
通过物理建模，可以模拟物理对象在不同条件下的运动、变形和响应。
行为建模是数字孪生的关键组成部分，它模拟物理对象的行为和动态过程。
行为建模考虑了物体的运动学、动力学、控制系统等方面。
通过行为建模，可以预测物体的运动轨迹、动态响应以及与其他物体的交互。
规则建模用于定义和模拟物理对象的行为规则和限制。
它涉及到制定物理对象在特定场景下的行为规范、约束条件和逻辑关系。
规则建模可以帮助确保数字孪生的行为与实际物理对象的行为一致，并用于预测和优化物体的运行。
综合运用这些建模技术，可以创建一个全面而逼真的数字孪生模型。
数字孪生模型可以用于设计优化、模拟测试、预测分析、故障诊断等领域，为物理对象的开发、运行和维护提供有力支持。
总之，数字孪生的几何建模、物理建模、行为建模和规则建模相互结合，为物理对象的数字化表示和模拟提供了全面的手段，有助于实现更智能、高效和可靠的设计与运营。
几何建模及特征建
4.空间(kōngjiān)单元表示法
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1)四叉树表示(biǎoshì)
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2）八叉树表示(biǎoshì)
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建模的发展趋势：
（1）采用混合(hùnhé)模式 （2）以精确表示形式存储曲面实体模型 （3）引入参量化、变量化建模方法，便
于设计修改 （4）采用特征建模技术，实现系统集成。
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构造立体几何法简称CSG法 （Constructive Solid Geometry），在 计算机内部，它是通过基本体素及它们 (tā men)的集合运算进行表示的。存储的 主要是物体的生成过程
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优缺点
优点： 1.可以进行布尔运算，修改方便 2.可以方便地将本身(běnshēn)转化为其它
2. 不能解决两个平面的交线问题。 3. 不能消除隐藏线和隐藏面 4.不能对立体图进行(jìnxíng)着色和特征
处理，不能进行(jìnxíng)物性计算。 5.构造的物体表面是无效的，没有方向性，
不能进行(jìnxíng)数控编程。
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使用(shǐyòng)场合
由于存在以上的缺点，三维线框模型不适 用于对物体需要进行完整性信息描述的场 合，一般使用在适时仿真技术或中间结果 显示上。要得到比较完整的信息描述，新 的模型必需诞生，这就是曲面(qūmiàn)几 何模型。
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第三节 曲面(qūmiàn)建模
曲面建模是通过对物体的各个表面 (biǎomiàn)或曲面进行描述而构成曲面的 一种建模方法。
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一、曲面(qūmiàn)生成的方法
曲面生成是比较复杂的，除了NURBS曲 面外，目前还有很多产生(chǎnshēng)曲面 的方法，如Bezier曲面、Coons曲面，B样 条曲面等。对于一般常用的曲面，可以采 用几种简化曲面生成的方法。
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二、三维线框建模
可利用三维线框模型经投影变换成平面视图
线框建模的特点
1）所需信息最少，数据运算简单，存贮空间小，对硬 件的要求不高，易掌握，处理时间短。但对于曲面体， 表示不准确。
2）只有边的几何信息和拓扑信息，而没有面的信息 或面信息不完整。无法进行消隐、干涉检查、物性计算。
3）会对物体形状的判断产生多义性，难以准确确定 实体的真实形状。
线框建模的二义性
思考:该模型可以几种表示？
3.3 表面建模
一、基本原理
表面
二、表面描述方法的种类
平面
直纹面
回转面
柱状面
Bezier曲面
B样条曲面
孔斯（Coons）曲面
圆角面
等距面
三、自由曲面的建模方法
1、参数化曲线
自由曲线的生成过程： a）给出或记录一系列离散点的空间坐标； b）将上述离散点分段拟合； c）拟合时使各段衔接处过渡光滑：
通常n次Bézier曲线由（n+1）个顶点来定义，并 由参数式来表示：
n
P(t) Bi,n(t)•Pi
i0
且 Bi,n(t)i!(nn !i)!ti(1t)ni
参变量t∈[0,1]; (i=0,1,…n)
式中：Pi为多边形顶点的位置矢量；
Bi,n(t)为古典伯恩斯坦基函数,也称权函数;
规定0°和0!均为1
B样条曲面在实际应用中最重要的性质是曲面 片间的连接方便性，且拼接后有非常光滑的效果。 均匀3×3次B样条曲面片之间的自然连接可以达到 二阶平滑效果。
双三次B样条曲面的数学表示
-1
1 3 3 1
3
6
0
0
T
3 3 3 0
1
0
0
0
双三次B样条曲面的控制多面体
四、表面建模的特点
优点：能消隐、着色、表面积计算、曲面求交、数控 刀具轨迹生成等。
一阶导数值相等u为（独一立阶变光量，滑u）=0~；1 二阶导数值相等（二阶光滑）
（1）三次Bézier曲线
三次Bézier曲线二阶连续,工程上常采用分段三次Bézier曲线。 ➢ 三次Bézier曲线的参数方程 ➢ 三次Bézier曲线的构造方法 ➢ 三次Bézier曲线的几何特性 ➢ 分段三次Bézier曲线的连接
三次样条曲线: 如果样条曲线在样点上具有二阶平滑性， （二阶导数连续），且可由一个三次多项式表示。
B样条曲线也是使用特征多边形、逼近的方法。 它比Bézier曲线更逼近特征多边形。
均匀三次B样条曲线的表达式
-
三次B样条曲线的几何性质
V1 P（0）
V0
V2 P（1）
V3
三次B样条曲线的几何性质
曲线，要写明作图依据并保留作图痕迹。 2）根据三次B样条曲线的性质绘出一段B样条曲线，
要写明作图依据并保留作图痕迹。 3）如果增加一顶点V4（5.5，0.5），试绘出由V1、
V2、V3、V4 构成的均匀三次B样条曲线段。
2、 量函数可表达一个空间曲面。
第三章 建模技术
3.1 基本概念 3.2 线框建模 3.3 表面建模 3.4 实体建模 3.5 特征建模 3.6 行为特征建模简介
3.1 基本概念
建模技术是CAD/CAM系统中的核心。
建模技术是定义产品在计算机内部表示的数字模型、数 字信息以及图形信息的工具；研究产品数据模型在计算机内 部的建立方法、过程、数据结构和算法。
所能描述的零件范围广，特别是像汽车车身、飞机机翼 等难于用简单的数字模型表达的物体。
另外，表面建模可为CAD/CAM中的其它场合提供数据， 如有限元分析中的网格的划分。
局限性：它所描述的仅是实体的外表面，并没切开物体 而展示其内部结构，因而无法表示零件的立体属性，会给 物体的质量特性分析带来问题。
3.4 实体建模
P（0）
P（1）
P（0）
P＇(0)
P（1） P＇(1)
由于三次参数样条曲线的多项式次数低，易于 计算，二次可导，工程上足够光滑，因此也获得广 泛应用。
练习
已知特征多边形四个顶点位置V0（1，2）、 V1 （1.5，3） 、V2 （3，3.5） 、V3 （5，2.5）
1）根据三次Bézier曲线的几何性质绘出一段Bézier
建模方法：几何建模、特征建模、行为特征建模
CAD/CAM建模的基本要求： 1）应具备信息描述的完整性 2）应贯穿整个生命周期 3）应为企业信息集成创造条件
3.2 线框建模 ——利用顶点和边棱线建模
一、二维线框建模原理
数据结构为表结构。 计算机内部存贮的是物体的顶点及棱线信息，将实体的 几何信息和拓扑信息层次清楚地记录在顶点表及棱线表中。
双 三 次 Bézier 曲 面 用 空 间 4×4 个 控 制 点 形 成 控 制 多 面 体 来控制曲面形状。
双三次Bézier 曲面数学表达式
T
（2） B样条曲面
与Bézier曲面一样，可以把一族B样条曲线上相 同的某一参数位置的点取出，构成另一条B样条曲 线的顶点。当曲线族上的点变化时，即构成一条运 动曲线，该运动曲线扫描而成的曲面，即为B样条 曲面。
一、实体建模原理
a）四面体展开图及其有向边的定义
3.4 实体建模
包含两部分内容：一是基本体素的定义与描述； 二是体素之间的布尔运算。
二、体素及其布尔运算
1、体素的定义及描述
基本体素：定义参数、基准点等形成
扫描体素:
平面廓形扫描体素 三维实体扫描体素
基本体素
扫描体素
有些物体的表面形状较为复杂，难于通过定义基 本体素加以描述，此时可以定义基体，利用对基体的 基本变形操作实现物体的建模，这种构造实体的方法 称为扫描法。
1 3 3 1
3
6
3
0
3 3 0 0
1
0
0
0
P0
P'(t)312tt2 14t3t2 2t3t2 t2 P1 P2 P3
对其参数方程求二阶导数，得
P''(t) 6[1t
23t
13t
P0 t]P1
P2 P3
曲线连接
1
长度相等
（2）B样条曲线
样条曲线：早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即 样条）用压铁固定在样点上，其他地方让木条自由弯曲，沿样条 画下的曲线，称Spline。
边式
边式系统：只描述轮廓边，没有定义面。 因而不能自动填充剖面线，拷贝和图形变换。
面式系统：将封闭轮廓边包围的范围定义为平面。
一、二维线框建模原理（面式）
二维线框建模特点：
绘图简单、方便、快速； 仅局限于计算机辅助绘图或对回转体零件进行数
控编程； 各个视图相互独立，而不能自动修改已变参数。