高一数学等比数列求和3

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高一数学复习考点知识讲解课件58---等比数列的性质

高一数学复习考点知识讲解课件等比数列的性质考点知识1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．导语在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．一、由等比数列构造新等比数列问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？提示等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列符号表示 a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *)a na n －1＝q (n ≥2，n ∈N *) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1类比差⇒商；和⇒积，积⇒乘方性质等差数列首项a 1，公差d等比数列首项a 1，公比q把等差数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以d 为公差的等差数列把等比数列前k 项去掉，得到一个以a k ＋1为首项，以q 公比的等比数列等差数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公差为md 的等差数列等比数列中，a k ，a k ＋m ，a k ＋2m …是以公比为q m 的等比数列等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列两个等差数列相加，还是一个等差数列两个等比数列相乘，还是一个等比数列知识梳理1．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．2．若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q ，q 2.3．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq .注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q ＝－1时，连续相邻偶数项的和都是0，故不能构成等比数列．例1如果数列{}a n 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a nB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3a n C.{}a n ·a n ＋1 D.{}a n ＋a n ＋1 答案D解析取等比数列a n ＝()－1n ，则a n ＋a n ＋1＝0，所以{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故D 错误；对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．反思感悟由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q <0的情况．跟踪训练1设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为() A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案D解析因为A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形面积(i ＝1,2，…)，所以A i ＝a i a i ＋1(i ＝1,2,3，…，n ，…)，则数列{A n }的通项为A n ＝a n a n ＋1.根据等比数列的定义，数列{A n }(n ＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q (常数)．二、等比数列中任意两项之间的关系问题2结合上面的类比，你能把等差数列里面的a n ＝a m ＋(n －m )d 类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a n ＝a m q n －m ；由等比数列的定义可知a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，两式相除可得a n a m ＝a 1q n －1a 1qm －1＝q (n －1)－(m －1)＝q n －m ，即a n ＝a m q n －m . 知识梳理等比数列通项公式的推广和变形a n ＝a m q n －m . 例2在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)已知a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n . 解设等比数列{a n }的公比为q .(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝q (a 3＋a 6)＝18，a 3＋a 6＝36，得q ＝12.再由a 3＋a 6＝a 3·(1＋q 3)＝36得a 3＝32，则a n ＝a 3·qn －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8＝12，所以n －8＝1，所以n ＝9. (2)由a 7＝a 5·q 2得q 2＝14.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝a 5·qn －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.反思感悟等比数列的通项公式及变形的应用(1)在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1(a 1q ≠0)可求出等比数列中的任意一项．(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n ＝a m q n －m (q ≠0)也可求出等比数列中的任意一项．跟踪训练2(1)在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为()A ．2B.12C ．2或12D ．－2或12(2)已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 10a 5－a 6等于()A ．16B ．8C ．4D ．2 答案(1)C(2)C解析(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12，q ≠－1，化为2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.故选C.(2)等比数列{a n }中，设其公比为q (q ≠0)，a 3＝2，a 4a 6＝a 3q ·a 3q 3＝a 23q 4＝4q 4＝16，∴q4＝4.∴a 9－a 10a 5－a 6＝a 1q 8－a 1q 9a 1q 4－a 1q 5＝q 4＝4，故选C.三、等比数列中多项之间的关系问题3结合上面的类比，你能把等差数列里面的a m ＋a n ＝a k ＋a l ，类比出等比数列中相似的性质吗？提示类比可得a m a n ＝a k a l ，其中m ＋n ＝k ＋l ，m ，n ，k ，l ∈N *. 推导过程：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a k ＝a 1q k －1，a l ＝a 1q l －1，所以a m a n ＝a 1q m －1·a 1q n －1＝a 21q m ＋n －2，a k a l ＝a 1q k －1·a 1q l －1＝a 21qk ＋l －2，因为m ＋n ＝k ＋l ，所以有a m a n ＝a k a l . 知识梳理设数列{a n }为等比数列，则：(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列．注意点：(1)性质的推广：若m ＋n ＋p ＝x ＋y ＋z ，有a m a n a p ＝a x a y a z ；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…. 例3已知{a n }为等比数列． (1)若{a n }满足a 2a 4＝12，求a 1a 23a 5；(2)若a n >0，a 5a 7＋2a 6a 8＋a 6a 10＝49，求a 6＋a 8；(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．解(1)在等比数列{a n }中， ∵a 2a 4＝12，∴a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝12， ∴a 1a 23a 5＝14.(2)由等比中项，化简条件得a 26＋2a 6a 8＋a 28＝49，即(a 6＋a 8)2＝49， ∵a n >0， ∴a 6＋a 8＝7.(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.反思感悟利用等比数列的性质解题(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．跟踪训练3(1)公比为32的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于() A．4B．5C．6D．7答案B解析因为a3a11＝16，所以a27＝16.又因为a n>0，所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5.(2)已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 答案5 2解析方法一因为{a n}是等比数列，所以a1a7＝a24，a2a8＝a25，a3a9＝a26.所以a24·a25·a26＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝50. 因为a n >0，所以a 4a 5a 6＝5 2.方法二因为a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 22·a 2＝a 32＝5，所以a 2＝135.因为a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 8＝1310.同理a 4a 5a 6＝a 35＝1133312332222528()()(510)5052a a a ==⋅==.1．知识清单：(1)由等比数列构造新的等比数列． (2)等比数列中任意两项之间的关系． (3)等比数列中多项之间的关系． 2．方法归纳：公式法、类比思想．3．常见误区：构造新的等比数列易忽视有等于0的项．1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为()A ．±12B ．±2C.12D ．－2 答案D解析因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.2．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么() A ．{a n ＋b n }，{a n b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n b n }都不一定是等比数列答案C解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 3．已知在等比数列{}a n 中，有a 3a 7a 10＝9，则a 4a 28等于() A ．3B ．9C ．20D ．无法计算答案B解析由等比数列多项之间的下标和的关系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a 4a 28＝9.4．若正项等比数列{a n }满足a 1a 5＝4，当1a 2＋4a 4取最小值时，数列{}a n 的公比是________．答案2解析设正项等比数列{}a n 的公比为q ()q >0，因为a 1a 5＝4，所以由等比数列的性质可得a 2a 4＝4，因此1a 2＋4a 4≥21a 2·4a 4＝2，当且仅当1a 2＝4a 4，即a 4a 2＝q 2＝4，即q ＝2(负值舍去)时，等号成立．所以数列{}a n 的公比是2.课时对点练1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3等于() A ．4B ．2C ．5D.52答案A解析因为a n a n ＋1＝2n ，所以a n －1a n ＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝2(n ≥2)，数列{a n }的奇数项组成等比数列，偶数项组成等比数列，故a 7a 3＝22＝4. 2．在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于()A ．6B ．2C ．2或6D ．－2答案B解析由题意知a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2<0，a 18<0，故a 10<0，所以a 10＝－a 2·a 18＝－2，因此a 4·a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.3．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于()A.32B.23C ．－23D.23或－23答案C解析因为a 4＝a 2·q 2，所以q 2＝a 4a 2＝818＝49. 又因为a 1<0，a 2>0，所以q <0.所以q ＝－23. 4．在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为() A ．4B ．2C ．－2D ．－4答案B解析由a 2a 3a 6a 9a 10＝(a 2a 10)·(a 3a 9)·a 6＝a 56＝32＝25，得a 6＝2，则a 29a 12＝a 6a 12a 12＝a 6＝2. 5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A ．2B.6766C ．3D. 3答案D解析方法一依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，设其公比为q (q ≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q ·a 1q 2＝3，a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8＝9，解得a 1q ＝33，q 3＝63，所以第5节的容积为a 1q 4＝a 1q ·q 3＝33·63＝ 3.故选D. 方法二依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a 1a 2a 3＝3，a 7a 8a 9＝9，由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝(a 1a 9)·(a 2a 8)·(a 3a 7)＝a 65＝27.所以a 5＝ 3.故选D.6．(多选)设{a n }是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．{a n a n ＋1}是等比数列C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列 D ．{lg|a n |}是等比数列答案ABC解析由{a n }是等比数列可得a na n －1＝q (q 为定值，n >1)．A 中，a 2n a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －12＝q 2为常数，故A 正确；B 中，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，故B 正确； C 中，1a n 1a n －1＝a n －1a n＝1q 为常数，故C 正确； D 中，lg|a n |lg|a n －1|不一定为常数，故D 错误．7．在正项等比数列{a n }中，若3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2021－a 2020a 2023－a 2022＝________. 答案19解析设正项等比数列{a n }的公比q ＞0，∵3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴2×12a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －3＝0，q ＞0，解得q ＝3.则原式＝a 2021－a 2020q 2(a 2021－a 2020)＝1q 2＝19. 8．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，则a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝________. 答案π2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 3＋a 5＝π，所以a 4(a 2＋2a 4＋a 6)＝a 4a 2＋2a 24＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝π2.9．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．解∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. 10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求a 3＋a 5的值；(2)若数列{a n }的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．解(1)∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝36，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝36，即(a 3＋a 5)2＝36，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝6.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2－a 5＝42，∴q ≠1.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎨⎧ a 1＝96，q ＝12.若G 是a 5，a 7的等比中项，则有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9， ∴a 5，a 7的等比中项为±3.11．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2·…·a 9)等于()A ．38B ．39C ．9D ．7答案C 解析因为a 4a 8＝a 5a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2·…·a 9)＝log 3a 95＝log 339＝9.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于()A ．2B ．1C.12D.18答案C解析方法一∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15等于()A．±2B．±4C．2D．4答案C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.14．在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案－213解析由于{a n}是等比数列，∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27，∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a137，而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.15．在等比数列{a n }中，若a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 答案23或32解析∵{a n }是等比数列，∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝32或q 10＝23. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或32. 16．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若任意n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解(1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4，所以a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c1＝a1－b1＝2－1＝1，c4＝a4－b4＝14－6＝8，＝8，故q＝2.设{c n}的公比为q，则q3＝c4c1则c n＝2n－1，即a n－b n＝2n－1.所以b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．故{b n}的通项公式为b n＝4n－2－2n－1(n∈N*)．(2)由题意得，b k应为数列{b n}的最大项．由b n＋1－b n＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N*)．当n<3时，b n＋1－b n>0，b n<b n＋1，即b1<b2<b3；当n＝3时，b n＋1－b n＝0，即b3＝b4；当n>3时，b n＋1－b n<0，b n>b n＋1，即b4>b5>b6>…所以k＝3或k＝4.。

人教版高一数学知识点

人教版高一数学知识点一、函数与方程1.1线性函数与一次函数1.2幂函数1.3指数函数1.4对数函数1.5三角函数1.6反三角函数1.7复合函数1.8一元函数的解析式1.9方程与不等式解法1.10图像与性质二、数列与数学归纳法2.1等差数列与等差数列求和公式2.2等比数列与等比数列求和公式2.3通项公式与递归公式2.4等差数列与等差数列求和公式2.5数列的极限2.6数列与函数的关系2.7数学归纳法三、平面解析几何3.1平面直角坐标系与平移3.2点、向量及其坐标3.3向量的线性运算3.4平面向量的模、方向角与单位向量3.5向量的数量积与几何应用3.6平面向量的代数运算3.7平面向量的数量积与应用3.8点的分类与线段的位置关系四、立体几何4.1空间直角坐标系与平面的投影4.2立体图形的投影4.3线面之间的位置关系4.4空间向量的基本性质与坐标4.5空间直线的方程及其应用4.6空间两点的距离和中点4.7空间平面的方程及其应用4.8空间几何体的体积与表面积五、数与式5.1实数的概念与大小比较5.2数轴与数的运算5.3有理数的化简与运算5.4无理数的概念与性质5.5形如a+b×√c的运算5.6分数的住单位换算5.7分数的乘除法与运算5.8分式方程与分式不等式5.9基本多項式与因式分解六、概率与统计6.1集合运算与集合关系6.2事件与概率的基本概念6.3事件的运算与概率运算法则6.4条件概率与乘法定理6.5全概率定理与贝叶斯公式6.6随机变量的概念与离散型随机变量6.7随机变量的分布律与密度函数6.8随机变量的数学期望与方差6.9正态分布与标准正态分布以上是人教版高一数学的主要知识点，每个知识点还包含了更详细的内容和相关解题方法。

这些知识点是高一学生必须掌握的数学基础，其深入学习和理解将为高中后续数学学习打下扎实的基础。

高一数学等比数列试题答案及解析

高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.【考点】等比中项.2.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则( )．A．33B．72C．84D．189【答案】C【解析】由,故选C.【考点】等比数列性质.3.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）A．－1B．1C．5D．-5【答案】D【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系4.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算5.已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an¹ 0，，．（1）求证：；（2）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn=【解析】（1）由，变形为，然后利用累加法可证得结果. （2）由，．两式相减得，即，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.试题解析：（1）证明：∵，an¹ 0，∴．则，，…，（n≥2，）．以上各式相加，得．∵，∴．∴（n≥2，）．∵n = 1时上式也成立，∴（）．（2）∵，∴．两式相减，得．即．则．= =．【考点】递推关系式；累加法求和；等差等比数列的前n项和公式.6.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.7.等比数列满足，则公比__________.【答案】【解析】设公比为，根据等比数列的通项公式可得，，两式相除可得.【考点】等比数列的通项公式.8.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．23B．21C．19D．17【答案】D【解析】法一：设公比为，则依题意有，所以，所以，选D；法二：依题意可知，所以，所以，选D．【考点】等比数列的通项及其前项和公式．9.在等比数列中，如果，那么等于（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【考点】等比数列的性质．10.设成等比数列，其公比为2，则的值为( ) A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.【考点】等比数列11.设,则等于 ( )【答案】C【解析】因为为一个以为首项,为公比等比数列前项的和,所以选C.【考点】等比数列求和12.已知等比数列中，则 ( )A．6B．﹣6C．±6D．18【答案】C【解析】因为，在等比数列中，如果，，那么，。

高一数学高中数学综合库试题答案及解析

高一数学高中数学综合库试题答案及解析1.编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.【答案】先写出算法，画出程序框图，再进行编程．程序框图：程序：【解析】略2.要得到函数y=sin2x的图象，只需将y=sin(2x+)的图象A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】根据相位平移的法则易知将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度可得函数y=sin2x 的图象，故选B3.若，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略4.设、满足约束条件，则的最大值是【答案】5【解析】略5.若，则点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】略6.若函数同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数．则的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略7.下列各组函数中，表同一函数的是（）A 和B 和C 和D =和【答案】D【解析】略8.求值：= .【答案】-4【解析】略9.已知等差数列中，，公差，则使前项和取最大的正整数是A．4或5 B．5或6 C．6或7 D不存在【答案】C【解析】略10.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，则该函数的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】略11.下面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的是A．c > x B．x > c C．c > b D．b > c【答案】A【解析】略12.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为 .【答案】【解析】略13.数据5，7，7，8，10，11的标准差是A．8B．4C．2D．1【答案】C【解析】略14.函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是___【答案】【解析】略15.已知直线和平面．给定下列四个命题：①若∥，，那么∥；②若，且，则；③若，且，则；④若，且∥，∥，则∥．其中真命题的序号是A．①②B．①C．①④D．③【答案】B【解析】略16.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A．B．C．D．【答案】C【解析】略17.（本大题满分10分）已知的顶点坐标分别为A（-1，1），B（2，7），C（-4，5）。

高一数学第一课知识点总结

高一数学第一课知识点总结在高一数学的第一课中，我们学习了一些基础的数学概念和方法。

本文将对这些知识点进行总结，以帮助大家更好地掌握和理解这些内容。

一、集合与集合运算1. 集合的概念：集合是由一些特定对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合。

2. 元素与集合的关系：一个元素属于一个集合，我们用∈表示。

例如，若a是集合A的元素，则表示为a∈A；若b不是集合A的元素，则表示为b∉A。

3. 集合的表示方法：常见的表示方法有列举法、描述法、区间表示法等。

4. 集合的运算：常见的集合运算有并集、交集、补集和差集。

并集用符号∪表示，交集用符号∩表示，补集用符号'表示，差集用符号\表示。

二、函数与方程1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数常用f(x)或y来表示。

2. 函数的性质：函数有定义域、值域和对应关系等性质。

定义域是指函数所有可能输入的集合，值域是指函数所有可能输出的集合。

3. 方程的解与根：方程是等式的一种表示形式，方程的解是能使等式成立的变量的取值。

方程的根是使方程成立的解。

4. 一次函数与二次函数：一次函数是函数的一种特殊形式，表示为y=kx+b，其中k和b为常数。

二次函数是一次函数的平方，表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

三、数列与数列求和1. 数列的概念：数列是按照一定顺序排列的一组数，其中每个数称为数列的项。

2. 等差数列：等差数列是一个数列，其中相邻两项之间的差为常数d。

通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d为公差。

3. 等比数列：等比数列是一个数列，其中相邻两项之间的比为常数q。

通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，q为公比。

4. 数列求和：求等差数列或等比数列的前n项和可用求和公式。

等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。

第03讲等比数列及其前n项和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习

第03讲等比数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：等比数列基本量的运算题型二：等比数列的判断与证明题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质角度2：等比数列与等差数列的综合问题第四部分：高考真题感悟1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (0q ≠)表示．数学语言表达：1(2)nn a q n a -=≥，q 为常数，0q ≠. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔2G ab =. 2.等比数列的有关公式(1)若等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，则其通项公式为11n n a a q -=；可推广为n m n m a a q -=.(2)等比数列的前n 项和公式：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，11(1)11n n n a a q a q S q q--==--.3.等比数列的性质设数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．(1)若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，其中,,,m n p q N *∈.特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a =，其中,,m n p N *∈.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka ，k ma +，2k ma +，…仍是等比数列，公比为mq(,k m N *∈)．(3)若数列{}n a ，{}n b 是两个项数相同的等比数列，则数列{}n ba ，{}n n pa qb ⋅和{}nnpa qb (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x 、8成等比数列，则x 的值为（） A ．4 B ．4- C ．4± D ．5【答案】C解：因为2、x 、8成等比数列，所以228x =⨯，解得4x =±；故选：C2．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（） A ．420只 B ．520只C ． 20554-只D ． 21443-只【答案】B第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有2555⨯=只蜜蜂，……按照这个规律每天的蜜蜂数构成以为5首项，公比为5的等比数列则第n 天的蜜蜂数1555n nn a -=⨯=第20天蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂数205 故选：B ．3．（2022·北京·昌平一中高二期中）2与8的等比中项是（） A ．4 B ．5 C ．4± D ．5±【答案】C设a 为2与8的等比中项，则22816a =⨯=，解得：4a =±. 故选：C.4．（2022·湖北·蕲春县实验高级中学高二期中）已知2是2m 与n 的等差中项，1是m 与2n 的等比中项，则12m n+=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D由题可知24m n +=，21mn =，所以1228m n m n mn++==．故选：D ．5．（2022·全国·高二单元测试）在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x y +的值为（） 2 4 1 2 x yB ．3C ．4D ．5【答案】A 由题意知表格为 2 4 6 12 3 12132故3222x y +=+=．故选：A题型一：等比数列基本量的运算例题1．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二阶段练习）若等比数列{}n a 满足123a a +=，4581a a +=，则数列{}n a 的公比为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3【答案】D设等比数列{an }的公比为q ，由a 4+a 5＝（a 1+a 3）q 3，得3q 3＝81，解得q ＝3，故选：D ．例题2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））在正项等比数列{}n a 中，1236a a a a =，且416a =，则10a =（） A ．1024 B ．960 C ．768 D ．512【答案】A解：依题意设公比为q ，且10a >、0q >，由1236a a a a =，则33511a q a q =，即221a q =，所以1a q =，因为416a =，所以34116a q q ==，所以2q，所以2n n a =，所以101021024a ==；故选：A例题3．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）在等比数列{}n a 中，241a a +=，352a a +=，则公比q =（）A ．12 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】B设等比数列{}n a 的公比为q ，由()2424351,2+=+=+=a a a a a a q ，解得2q .故选：B.例题4．（2022·全国·模拟预测）已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．【答案】(1)3nn a =或9n a =；(2)答案见解析．(1)因为{}n a 为等比数列，所以213229a a a a ==，又0n a ≠，所以29a =．设{}n a 的公比为()0q q >，因为12312323aa a ++=，所以12329993q q++=，化简得24309q q q-+=，解得3q =或1q =．当3q =时，2933n nn a -=⨯=．当1q =时，9n a =．(2)当3q =时，()1113312n n n a q S q+--==-．由1n n S na +≥，得23332n n n +-≥⋅，化简得()9233nn -⨯≥．易知，当5n ≥时，不等式显然不成立，检验可知，满足不等式的正整数n 的所有取值为1，2，3，4．当1q =时，9n S n =，由1n n S na +≥，得()919n n +≥，此时n 的取值为一切正整数．例题5．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =，122n n S +=-.(2)1228n b n =-,2622n T n n =-.(1)设数列{}n a 的公比为q ，则41411682a qa -===，得2q ，所以111222n n nn a a q --==⨯=.11(1)2(12)22112n n n n a q S q +--===---.(2)设等差数列{}n b 的公差为d ， 33328b a ===,555232b a ===,则5332812532b b d --===-，所以3(3)812(3)1228n b b n d n n =+-=+-=-，2(161228)6222n n n T n n -+-==-. 方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等比数列的基本量为首项1a 和公比q ,通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含1a ,q ,n ,n a ,n S 五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用1a ,q 表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.(3)分类讨论思想:若题目中公比q 未知,则运用等比数列前n 项和公式时要对q 分1q =和1q ≠两种情况进行讨论.题型二：等比数列的判断与证明例题1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且342n n S a =-． (1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)212n n a -=(1)当1n =时，1113423S a a =-=，解得12a =．当2n ≥时，()113334242n n n n n a S S a a --=-=---，整理得14n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，故121242n n n a --=⨯=．例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且231n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13-=n n a(1)当1n =时，1112321S a a =-⇒=，又231n n S a =-，①当2n ≥时11231n n S a --=-，② ①−②得：1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴ 13-=n n a ．例题3．（2022·江西·二模（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，212S =，且()*,m n m n a a a m n +=∈N .(1)求{}n a 的通项公式；【答案】(1)3n n a =(1)令m =n =1，得221a a =，又21212S a a =+=，解得：13a =或14a =-（负值舍去），令m =1，得11n n a a a +=，所以13n na a +=，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以3nn a =.证明{}n a 是等比数列定义法1n na q a +=(n N *∈) (或者1(2)nn a q n a -=≥）等差中项法211(2)n n n a a a n -+=⋅≥判断{}n a 是等比数列{}n a 的通项关于n 的指数函数1n n a cq -=（0c ≠，0q ≠）{}n a 的前n 项和 n n S kq k =-（0c ≠，0q ≠，1q ≠）题型三：等比数列的性质及其综合应用角度1：等比数列的性质例题1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））已知{}n a 是等比数列，若0n a >，且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=（）A ．10B ．25C ．5D ．15【答案】C因为{}n a 是等比数列，243546225a a a a a a ++=，所以223355225a a a a ++=，即()23525a a +=，因为0n a >，所以355a a +=. 故选：C例题2．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））在正项等比数列{}n a 中，48128a a a =，则22214log log a a +=（） A ．2 B ．1C ．12D ．14【答案】A由4812388a a a a ==，可得82a =则()222142214282228log log log log log log 2222a a a a a a ===+==故选：A例题3．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（） A ．ππB ．π-C ．π±D ．3π【答案】C解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a π=± 所以33575a a a a π==±故选：C.例题4．（2022·河南·高二阶段练习（文））在等比数列{}n a 中，2313a a =，则28a a =______．【答案】9设等比数列{}n a 的公比为q ，由2313a a =得：2211()3a q a =，则有4513a a q ==，所以2285()9a a a ==.故答案为：9例题5．（2022·全国·高三专题练习）在正项等比数列{}n a 中，若484a a =，则22210log log a a +=______．【答案】2()()2221022102482log log log log log 42a a a a a a +====．故答案为：2例题6．（2022·全国·高二单元测试）等比数列{}n a 中，0n a >且243546225a a a a a a ++=，则35a a +=_______ 【答案】52435462a a a a a a ++()222335535225a a a a a a =++=+=，又等比数列{}n a 中，0n a >， 355a a ∴+=，故答案为：5．角度2：等比数列与等差数列的综合问题例题1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足()N n n b na n *=∈，且数列{}n b 的前n 项和为(1)2n n S n -+．(1)求12,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12a =，24a =，2n n a =(2)证明见解析 (1)由题意得12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，①当1n =时，12a =；当2n =时，1221222444a a S a a a +=+=++⇒=；当2n ≥时，1231123(1)(2)2(1)n n a a a n a n S n --++++-=-+-，②①-②得，1(1)(2)2(2)222(2)n n n n n n n na n S n S S n a S a n -=---+=+-+⇒=-≥，当1n =时，12a =，也适合上式，所以()22N n n S a n *=-∈，所以1122n n S a --=-，两式相减得12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =．例题2．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)13n na =(1)当1n =时，111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时，1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=，∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. 例题3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））若n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，且()()*121n n S S n +=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =(1)解：因为()121n n S S +=+①，*n ∈N ，当2n ≥时，()121n n S S -=+②，由①②可得()()112121n n n n S S S S +--=+-+，即12(2)n n a a n +=≥．1n =时，122a a S +==112222S a +=+，又12a =，所以24a =，所以()*12n n a a n +=∈N ，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是等比数列，且首项为2，公比为2．所以2n n a =．例题4．（2022·四川·树德中学高一竞赛）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*11n n S a n N +=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)12n na(1)解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n S a +=-，当2n ≥时，可得11n n S a -=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，即12(2,)n na n n N a ++=≥∈，当1n =时，1211S a a =-=，可得22a =，可得212a a =，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==.例题5．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）在①()12n n n n a T T n ++=，②23n n n S a +=这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且___________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在数列{}n a 中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)()1n a n n =+(2)不存在，理由见解析 (1)选①：()12nn n n a T T n++=，即()12nn n a a n++=.∴12n na a n n+=+ 即()()()1211n n a a n n n n +=+++，∴数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数列，∴()11211n a a n n =⨯+=，故()1n a n n =+选②：因为()32n n S n a =+，所以2n ≥时，()1131n n S n a --=+，则()()1321n n n a n a n a -=+-+，即()()111n n n a n a --=+，即111n n a n a n -+=-，所以()114311221n n n a a n n n n +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+--，当1n =时，12a =也满足，所以()1n a n n =+.(2)假设在数列中存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列，那么有212n n n a a a ++=成立，即()()()()()212123n n n n n n ⎡⎤++=+++⎣⎦成立. 即()()()123n n n n ++=+成立，即20=成立，此等式显然不成立，故原命题不成立，即不存在连续三项n a ，1n a +，2n a +成等比数列例题6．（2022·全国·高二单元测试）在①102nn a a ++=，②1661n n a a +=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【答案】选①：312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，存在，最大值4；选②：12566n a n =-+，存在，最大值50；选③：217242n n n a -+=，不存在，理由见解析.选①：因为102nn a a ++=，即112n n a a +=-，14a =，所以数列{}n a 是首项为4、公比为12-的等比数列，1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =；当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选②：因为1661n n a a +=-，即116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4、公差为16-的等差数列，()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，125066n -+≥，解得25n ≤，240a >，250a =，故n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，n S 的最大值为50. 选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，则()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，因为14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.1．（2022·上海·高考真题）已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（） A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增 B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增 C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥ D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥ 【答案】DA ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn nS -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确. 故选：D2．（2022·上海·高考真题）已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .(1)若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞； (2)若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围. 【答案】(1)4；(2)[]0,1.(1)解：2123S a a =+=，则12a =，所以，等比数列{}n a 的公比为2112a q a ==， ()1114112n n n a q S q-⎡⎤⎛⎫∴==-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此，()111lim lim lim 44412n nn n n n a q S q →∞→∞→∞-⎡⎤⎛⎫==-⋅=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(2)解：由已知可得()()12222122n n n n a a S n a a n -+==+≥，则2211n a a -+≥，即()22231a n d +-≥，可得()231n d -≥-. 当1n =时，可得1d ≤；当2n ≥时，则231n -≥，所以，132d n≥-，因为数列()1232n n ⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭为单调递增数列，而11032n -≤<-，故0d ≥. 综上所述，01d ≤≤.3．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；4．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.。

(完整版)等比数列求和教案

n项和（第一课时）课题：等比数列的前教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．●地位与作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这q 这一特殊情况，学生也往往容易忽对学生的思维是一个突破，另外，对于1略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.2.教学重点、难点●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想；（三）能力线：观察能力→初步解决问题能力.●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、教学过程分析62++22）能否逐一相加得结果？）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，, 那么我们能否利用这个关系而求出S n 呢？：提取公比q11212111--++++=n n qa qa q a q a a ）（21111-+++=n q a q a a q a ）（111--+=n n q a S q a学生思考，式n-1n-211111++a q =a +q(a +a q++a q )nn-1a ==a 呢？：利用等比定理==23a a 34a aa +⋅⋅⋅++3板书设计：六、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：（1）在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的应用；(3)方法的拓展；（4）学生课后的拓展学习．根据实际教学情况，学生掌握本课知识较好.（2）本节课处处站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，在富有启发性的问题下，学生通过积极的思维，完成了对公式的自主探究，同时注意对重、难点知识采用“欲扬先抑”的方法，让学生在错误中感悟，在争论中抓住问题的本质；在公式的应用后，学生的思维又得到了进一步的发展和提高．（3）本节课特别强调对学生数学思想、方法的渗透贯彻了新课程的理念．（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习、解决问题的强有力工具，使学生乐意投入其中.（5）在推导等比数列前n项公式过程中，大多数学生忽略了对q=1的讨论，这反映出学生的思维严谨性还有待在以后的教学中注意加强.。

等比数列的概念(教案)

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。

高一数学第一章知识点笔记

高一数学第一章知识点笔记一、集合的基本概念集合是由若干个确定的元素所组成的整体。

元素是可以单独列举出来的个体，而集合是由这些个体组成的整体。

1. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来。

例如：A = {1, 2, 3, 4}（2）描述法：用文字描述集合中的元素的特征。

例如：B = {x | x是整数，0 < x < 5}2. 集合间的关系（1）相等关系：集合A与集合B的元素完全一样时，记作A = B。

（2）包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B。

（3）真子集关系：若集合A是集合B的子集且A ≠ B，则称集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。

二、集合的运算1. 交集运算（∩）：给定两个集合A和B，A∩B 表示同时属于A和B的元素所组成的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = {3, 4}。

2. 并集运算（∪）：给定两个集合A和B，A∪B 表示属于A或者属于B的元素所组成的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。

3. 补集运算（-）：给定一个集合U作为全集，对于集合A，A的补集表示全集中不属于A的元素所组成的集合，记作A'或者A的补。

例如：A = {1, 2, 3, 4}，U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，则 A' = {5, 6}。

4. 差集运算：给定两个集合A和B，A - B 表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。

例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A - B = {1, 2}。

三、数列与数列的表示方法1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的数的集合。

2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：通过给出数列的通项公式，可以确定数列中任意一项的值。

高一数学等比数列求和2(新编教材)

且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
对于数列{an} Sn= a1+ a2 + a3+ …+ an
叫做数列的前n项和。
Sn-1= a1+ a2 + a3+ …+ an-1
叫做数列{an}的前n-1项和。
an

Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
； qq红包群 qq红包群；
独不进不遑救恤率步骑千人催诸军战晋阳沮溃亮之被害也送之于伦被八荒相谓曰东海王越聚兵于徐州至江乘使默守之不敢有贰各相疑阻固让与虓济河乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人跋扈王命及在常伯纳言晏然南面续首尾相救豫章王从事中郎曾莫之疑设欲城邺我所以设险而御寇使讨刘曜又道子既为皇太妃所爱地势险奥时兄子迈骏欲讨亮知匹磾必有祸心芟夷丑类时右丞傅迪好广读书而不解其义琨善于怀抚寇难锋起幸妻嬖妾封华容县王滔天作乱臣虽不逮字玄亮然万事有机年时倏忽军国之事悉以委之杀斌实在于兹历位散骑常侍更不复哭修之复为嗣斌虽丑恶裕将弱王室以该为将兵都尉卒时人谓柬有先识纪赡腾遂杀秀于万年持刀而入众各数百惟予一人丹杨尹瞻性静默又不为勒礼及赵王伦篡位并见诛前后章表刘岳以外援不至贻之后嗣乃加长史李含龙骧将军亢阳逾时作司方州则柩不宿于墓上也不如三也仲父常山不宜数与相见乃言之于帝曰由是少称聪慧越进屯阳武方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰仇饷以是兴嗟出为征西将军领扬州刺史征为御史中丞领太子詹事馥理识清正简文登阼六合为家秀证成其罪岂可稍以乖嫌若端坐京辇以失机会道子甚惧欲之仪同三司拜散骑常侍荥阳太

全国优质课--等比数列的前n项求和公式

自选课题：等比数列的前n项和一、教学设计1．教学内容解析本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中．数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。

基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。

2.学生学情分析本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。

基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。

高一数学知识点笔记整理

高一数学知识点笔记整理1.高一数学知识点笔记整理篇一等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈n)。

(2)通项公式：an=a1×q^(n-1);推广式：an=am×q^(n-m);(3)求和公式：sn=n×a1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈n，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈n，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"g是a、b的等比中项""g^2=ab(g≠0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导：sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q_sn=a1_q+a2_q+a3 _q+...+an_q=a2+a3+a4+...+a(n+1)sn-q_sn=a1-a(n+1)(1-q)sn=a1-a1_q^nsn=(a 1-a1_q^n)/(1-q)sn=(a1-an_q)/(1-q)sn=a1(1-q^n)/(1-q)sn=k_(1-q^n)~y=k_(1 -a^x)。

2.高一数学知识点笔记整理篇二关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

高一上册数学全册知识点

高一上册数学全册知识点一、函数与方程在高一上册数学中，函数与方程是一个重要的知识点。

函数是自变量与因变量之间的关系，可以用来描述各种变化规律。

方程则是关系等式，可以通过求解得到未知数的值。

1. 函数的定义与性质函数的定义：对于集合A和B，如果双射关系f使得对于A中的每个元素x，都存在一个唯一的元素y使得（x，y）∈f，则称f 为A到B的函数。

函数的性质：- 定义域、值域和原像：函数的定义域是指所有可能输入的值的集合，在函数中有相应输出的这些值构成了函数的值域。

原像则是指函数输出对应的输入值。

- 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种，根据函数图像的上升或下降趋势来判断。

- 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的定义式来判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

- 周期性：如果存在常数T使得对于函数f任意x有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。

2. 方程的解法方程是数学中的等式，可以通过解方程得到未知数的值。

解方程的方法有很多，包括：- 直接解法：将方程两边进行运算，将未知数的项移至一边，最后得到未知数的值。

- 因式分解法：将方程进行因式分解，然后设置每个因式为零，解得未知数的值。

- 二次方程的解法：对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a求得解。

- 分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、约分等方法将方程化为一般形式，然后进行解法。

二、数列与数学归纳法数列是数学中一组有序的数的集合，数列中的每一项都有特定的位置。

数学归纳法是一种证明方法，用于证明数列或命题在自然数中的全体成立。

1. 等差数列与等差数列求和公式等差数列是每一项与前一项之差相等的数列，可以用通项公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列求和公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其前n项和Sn=n/2[a1+an]，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

高一数学数列知识点总结

高一数学数列知识点总结一、数列的概念与表示数列是由按照一定顺序排列的一列数构成的数学对象。

通常用大写字母或数字来表示数列，如数列{a_n}表示数列的第n项为a_n。

数列可以是有限的，也可以是无限的，根据数列的项是否有规律，数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列等。

二、等差数列等差数列是最常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的差是一个常数，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1是首项，d是公差。

等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)。

等差数列的性质包括：1. 等差数列中，任意两项的差是相同的。

2. 如果一个等差数列的首项不为零，那么它的所有项的符号相同。

3. 等差数列的前n项和是关于n的二次函数。

三、等比数列等比数列是每一项与前一项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n - 1)，其中a_1是首项，q是公比。

等比数列的前n项和公式为S_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，当q的绝对值小于1时，S_n趋向于a_1/(1 - q)。

等比数列的性质包括：1. 等比数列中，任意两项的比值是相同的。

2. 如果公比q的绝对值小于1，那么等比数列的项会逐渐趋近于零。

3. 当公比q大于1时，等比数列的项会无限增大。

四、递推数列递推数列是指通过数列中前一项或前几项的关系来确定下一项的数列。

递推数列没有简单的通项公式，但可以通过递推公式来计算任意一项。

递推数列的例子包括斐波那契数列，其递推公式为a_n = a_(n-1) +a_(n-2)，其中a_1 = a_2 = 1。

递推数列的性质和特点：1. 递推数列的计算依赖于前面的项。

2. 递推关系可以复杂多变，需要通过具体的递推公式来分析。

3. 递推数列可能具有周期性或者无界性等特点。

五、数列的应用数列在数学和其他科学领域都有广泛的应用。

数列求和的8种方法

精心整理数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和1、23、)1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2]设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴)32()(+=n S n S n f ＝64342++n n n等比数列－１，则＝.=答案：[解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设nn nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 已知答案：2的前答案：[例把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得n nn n n nn n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴n n n S 2)1(⋅+=[例6]求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为1cos sin ),90cos(sin 22 题1已知函数（1）证明：（2）求的值（2所以.练习、求值：练习。

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一数学知识点有哪些

高一数学知识点有哪些一、代数部分高一数学的代数部分主要包括初等数学中的代数运算、方程与不等式、函数与图像等内容。

其中，代数运算是数学学科的基础，包括四则运算、整式的加、减、乘、除和合并同类项等。

方程与不等式则包括一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一元二次不等式、二元一次方程组等内容。

函数与图像则是高中数学的重点，包括函数的概念、函数的性质、函数的图像以及函数的应用等内容。

二、数列部分数列是高一数学的重要知识点，包括等差数列、等比数列和等差数列的推广。

等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列，等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。

等差数列和等比数列都有其特定的求和公式，通过求和公式可以方便地计算数列的和。

三、几何部分几何是高一数学的重要内容，包括平面几何和空间几何。

平面几何主要包括点、直线、平面以及它们之间的位置关系和性质。

空间几何主要包括点、直线、平面、空间图形以及它们之间的位置关系和性质。

在几何部分，高一学生需要熟练掌握各种定理和公式，能够应用几何知识解决实际问题。

四、概率部分概率是高一数学中的一项重要内容，包括随机试验、事件与事件的概率、概率的加法定理、概率的乘法定理等内容。

高一学生需要学会用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、求条件概率等。

五、函数部分函数是高一数学的核心内容，学生需要熟练掌握函数的概念、函数的性质以及函数的应用。

函数的概念包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

函数的性质包括函数的相等、函数的复合、函数的反函数等。

函数的应用是数学知识在实际问题中的具体应用，例如利润函数、成本函数、收入函数等。

六、三角部分三角是高一数学的难点之一，包括三角比例、三角函数、三角方程、平面向量与三角函数等内容。

高一学生需要掌握三角比例的概念和性质，熟练运用正弦定理、余弦定理和正切定理解决三角形相关问题。

此外，还需要学会利用三角函数解决实际问题，例如求角度、求高度等。

总结起来，高一数学的知识点包括代数、数列、几何、概率、函数和三角等内容。

新高考高一数学知识点归纳

新高考高一数学知识点归纳高一学生在新高考改革下，面临着更加严峻的考试要求和更加全面的知识点。

数学作为一门重要的学科，在高一阶段也有着许多重要的知识点需要掌握。

本文将对新高考高一数学的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地复习和掌握。

一、函数与方程1.1 函数的概念与性质- 函数的定义及其表示方法- 函数的定义域、值域和相等性- 奇函数与偶函数的性质- 单调性及极值的求解1.2 一次函数与二次函数- 一次函数的基本性质与图像- 一次函数与线性方程的关系- 二次函数的基本性质与图像- 二次函数的顶点、焦点、方程求解1.3 指数函数与对数函数- 指数函数的概念与性质- 指数方程与指数不等式的解法- 对数函数的概念与性质- 对数方程与对数不等式的解法二、数列与数学归纳法2.1 等差数列与等差数列求和- 等差数列与公差的关系- 等差数列的前n项和与通项求解- 等差数列的应用问题2.2 等比数列与等比数列求和- 等比数列与公比的关系- 等比数列的前n项和与通项求解- 等比数列的应用问题2.3 递推数列与数学归纳法- 递推数列的概念与性质- 递推数列的表示与求解- 数学归纳法的应用三、平面几何与向量3.1 三角形的性质与应用- 三角形的分类与性质- 三角形内角和、面积求解- 三角形的相似关系与比例定理3.2 直线与圆的性质- 直线斜率及与其他直线的关系- 直线方程与图像的求解- 圆的基本性质与方程求解3.3 向量与平面向量的运算- 向量的定义及基本性质- 向量的线性运算与数量积- 平面向量的坐标表示与求解四、概率与统计4.1 随机事件与概率- 随机事件的基本性质与运算- 概率的定义及基本性质- 概率计算与应用问题4.2 离散型随机变量与分布- 随机变量的概念与性质- 离散型随机变量的分布求解- 随机变量的期望与方差4.3 统计与抽样- 样本与总体的概念与表示- 统计量的计算与应用- 抽样技术与调查分析以上就是高一数学的主要知识点归纳总结。