浙江专用2018版高考数学复习第七章不等式7.5绝对值不等式教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第七章不等式 7.5 绝对

值不等式教师用书

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

【知识拓展】

|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( ×)

(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( ×)

(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.(√)

(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √)

(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．( ×)

1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )

A．(－∞，4) B．(－∞，1)

C．(1,4) D．(1,5)

答案 A

解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，

∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.

②当1

∴x<4，∴1

③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．

综上，原不等式的解集为(－∞，4)．

2．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为( )

A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)

C．(－∞，－1) D．(－∞，0)

答案 B

解析根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.

故当k<－3时，原不等式恒成立．

3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( )

A．[2,4] B．[1,2]

C．[－2,4] D．[－4，－2]

答案 C

解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，

可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，

∴－2≤a ≤4.

4．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2

＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是

______． 答案 [－1，1

2

]

解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|

＝⎩⎪⎨

⎪⎧

－3x －1，x <－2，

－x ＋3，－2≤x <12，

3x ＋1，x ≥1

2

.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；

当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥5

2，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的

最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2

＋12a

＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，1

2

]．

题型一 绝对值不等式的解法

例1 (2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．

解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x －4，x ≤－1，

3x －2，－1

－x ＋4，x >3

2

，

y ＝f (x )的图象如图所示．

(2)由f (x )的表达式及图象可知，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝1

3

或x ＝5，

故f (x )>1的解集为{x |1

3或x >5.

所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x <1

3或15.

思维升华 解绝对值不等式的基本方法有：

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

(1)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．

(2)设不等式|x －2|

)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.

答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)1

解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．

方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，

数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的

x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．

(2)∵32∈A ，且1

2

∉A ，

∴|32－2|

，