8 .3-1基本事实与定理
基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。
这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。
但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。
2.学会运用这些定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。
2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。
例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。
通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。
同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。
教师及时批改学生的答案，给予反馈。
基本事实与定理概述
证明：∵∠1+∠3=90° ∠2+∠4=90° ， ∴∠3=90°-∠1 ， ∠4=90°-∠2 ∵ ∠1=∠2， ∴ ∠3=∠4
谢谢观赏
谢谢
等式的有关性质和不等式的有关性质 都可以看作公理．
“在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“ 等量代换”.
பைடு நூலகம்
典型例题：
例、已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180o,∠2+∠4=180o 求证：∠3=∠4.
证明：∵∠1+∠3=180o,∠2+∠4=180o （已知）
∴∠3=180o-∠1，∠4=180o-∠2 （等式的基本性质） ∵∠1=∠2 （已知） ∴∠3=∠4 （等式的基本性质） 通过例题，我们得到定理：
定理 同角（等角）的补角相等.
按“已知”“求证”“证明”的顺序 和格式：
证明：同角（等角）的余角相等。
已知：∠1=∠2，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。
基本事实与定理概述
基本事实与定理
• 学习目标 • 1、能说出什么是基本事实、什么是定理 • 2. 知道本套教科书所采用的基本事实 • 3. 能用数学的符号语言，规范写出简单的
证明过程
• 4. 了解欧几里得《原本》，初步感受公理 化思想对数学发展的价值
• 重点：能用数学的符号语言，规范写出简 单的证明过程
• 难点：区别基本事实、定理
自主探究
• 请同学们认真阅读课本41至43页的内容， 认识基本事实与定理，分析他们之间的异 同点
本教科书选用如下命题作为公理 :
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行. 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等.
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
初中数学基本事实与定理
求证：同角（或等角）的补角相等。
五、【练习内化、达标促学】
【当堂检测】
1、下列说法中，错误的是（）
A、所有的定义都是命题
B、所有的定理都是命题
C、所有的公理都是命题
D、所有的命题都是定理
2、下列命题中，属于公理的是（）
A、同角的补角相等
B、邻补角的平分线互相垂直
C、两点之间，线段最短
D、直角三角形的两个锐角互余
3、在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是（）
A、公理、定理
B、定义、公理、定理
C、公理、定理、题设（已知条件）
D、定义、公理、定理、题设（已知条件）
4、下面是证明“等角的余角相等”的过程，请在括号内填写各步推理的依据。
已知：∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2。
求证：∠3=∠4。
证明：∵∠1+∠3=90°（）
∴∠3=90—∠1（）
∵∠2+∠4=90°（）
∴∠4=90°—∠2（）
∵∠1=∠2 90°—∠1=90°—∠2（）∴∠3=∠4 即：等角的余角相等。
六、【自我总结、反思成学】
教学后记：
需要反正两面才符合备课要求的标准。
(完整版)8.3基本事实与定理
检查预 习Βιβλιοθήκη 公理: 证明:定理:
公认的真命题称为公理.
除了公理外,其它真命题的 正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理. 证明所需的定义、公理和其 它定理都要编写在这个定理 的前面.
三角形这两种边真命之题和叫大做公是理的,非常正确 于第三边对不对？
为三什角么形两两点边之之间和以为 什线么段大为于最第短三？边？
因为两点……之间以线 段为最短
本套教材选用如下九条命题作为公理 :
1.两点确定一条直线 2.两点之间线段最短 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直
4.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 8.三边对应相等的两个三角形全等;
其它公理
等式的有关性质和不等式的有关 性质都可以看作公理.
“在等式或不等式中,一个量可以 用它的等量来代替”.这一性质也看 作公理,简称为“等量代换”.
思考一
• 公理和定理有哪些相同点和不同点？
相同点：1、他们都是真命题 2、他们都可以作为证明的依据
不同点：公理的真实性是通过实践证实 的，而定理的真实性必须通过 推理证明
结束寄语
• 在几何学习中最能发挥你的聪 明才智.
• 数学使人聪明. • 只要你敢想敢做,未来的数学“
大家”将是你!
谢谢观赏
勤能补拙，学有成就！
2021/11/20
17
知识回顾
1、定义:对名称和术语的含义加以描述,作 出明确的规定,也就是给出它们的定义 .
8.3 基本事实与定理 (2)
8.3基本事实与定理【基础须知】1.公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫公理.如：“两点之间，线段最短”，“经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”等.2.如果一个命题可从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理.如“三角形的内角和等于180°”等.定理是正确的命题，但正确的命题不一定是定理.3.定义、命题、公理和定理之间的联系与区别这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据.4.命题证明的步骤为：(1)审题：分清命题的题设与结论；(2)画图：依照题意画出图形，画图时要做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化；(3)写出“已知”“求证”，按照图形，将题设与结论“翻译”成“已知”“求证”；(4)探求证明思路.根据已知条件，用学过的定义、公理、定理进行分析、探求如何证得结论；(5)写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，有理有据.【重点梳理】本节的重点是进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力.【难点再现】本节的难点是推理依据的选择.【例题讲解】如图，b∥c，b⊥a，问a与c有何关系？为什么？证明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90°( ).∵b∥c( )，∴∠2=∠1=90°( ).∴a⊥c( ).解析：结合图形，容易得到a⊥c，然后根据题意，说出其中的原因.答案：垂直定义已知两直线平行，同位角相等垂直定义点拨。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》说课稿
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》说课稿一. 教材分析鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》这一节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等。
这些定理是初中数学的基础，对于学生后续的学习具有重要意义。
在教材中，这些定理通过具体的例子进行介绍，并且配有相应的练习题，帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们已经学习过一些基本的数学知识，对于一些简单的数学运算和概念已经有了一定的理解。
但是，对于一些抽象的数学定理，他们可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学这一节的内容时，需要考虑到学生的实际情况，尽可能地用生动形象的例子和生活中的实际问题，帮助他们理解和掌握定理。
三. 说教学目标教学目标主要包括三个方面：知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标。
1.知识与技能目标：通过本节课的学习，学生能够理解和掌握勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方式，学生能够掌握定理的证明过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：通过学习数学定理，学生能够感受到数学的趣味性和实用性，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点本节课的重点是让学生理解和掌握勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理。
难点主要是让学生理解并能够运用这些定理解决问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、提问法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动参与学习，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生形象地理解定理，提高学习效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对数学定理的兴趣，导入新课。
2.讲解：讲解勾股定理、平方根的性质、相反数的性质等基本数学定理，并通过例题进行解释和应用。
3.讨论：引导学生进行小组讨论，让学生通过自己的思考和交流，理解和掌握定理。
《基本事实与定理》课件
事实二：逻辑推理
总结词
逻辑推理是学习《基本事实与定理》的关键能力。
详细描述
在《基本事实与定理》的学习过程中，需要运用逻辑推理来理解定理的推导过程 和证明方法。此外，还需要通过逻辑推理来分析问题、找出解决方案，并验证答 案的正确性。
事实三：证明方法
总结词
掌握证明方法是学习《基本事实与定理》的核心要求。
证明三：哥德巴赫猜想的证明
总结词
简化证明但仍有争议
详细描述
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以 写成两个质数之和。虽然这个猜想的证明过 程非常复杂，但近年来有数学家提出了一些 简化的证明方法。然而，这些证明方法仍然 存在争议，因为它们在某些情况下可能不成 立。因此，哥德巴赫猜想的证明仍是一个开
放的问题，需要进一步的研究和探索。
PART 05
总结与展望
总结：基本事实与定理的重要性和影响
数学基础
科学应用
基本事实与定理是数学学科的基础，对于 数学的发展和应用至关重要。
基本事实与定理在物理学、工程学、经济 学等科学领域中有着广泛的应用，为解决 实际问题提供了重要的理论支持。
教育价值
文化传承
基本事实与定理是数学教育的重要组成部 分，对于培养学生的逻辑思维、推理能力 和解决问题的能力具有重要意义。
定理三：哥德巴赫猜想
总结词
关于质数的数学猜想
VS
详细描述
哥德巴赫猜想是一个著名的数学猜想，它 认为任何一个大于2的偶数都可以写成两 个质数之和。尽管这个猜想已经提出很长 时间，但是至今仍然没有被证明或证伪。 这个猜想在数学界中引起了广泛的兴趣和 研究，也是数学研究的一个重要方向。
PART 03
定理证明
详细描述
8.3 基本事实与定理
8.3 基本事实与定理●教学目标（一）教学知识点1. 定理的概念2. 公理的概念3.了解数学史.（二）能力训练要求1. 能够用基本事实、定理证明一些命题.2. 通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.（三）情感与价值观要求通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.●教学重点用基本事实、定理进行证明.●教学难点用基本事实、定理进行证明.●教学过程回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.新授［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.［生乙］这些方法往往并不可靠.［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？［生戊］哦……那可怎么办呢？……［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：［师］同学们来朗读一次.［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.在等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.Ⅴ.课后作业（一）课后习题（二）预习后面的内容。
鲁教版七年级下册数学 第八章8.3 《基本事实与定理》
8.3 基本事实与定理
学习目标
1.了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解八个基本事实。
2.理解证明的基本格式与步骤，会证明简单的真命题。
学习重点：理解八个基本事实
学习难点：会证明简单的真命题
预习设计
自学任务一：阅读课本第41-42页，掌握公理和定理有关知识，完成下列问题。
（1）写出公理与定理的概念？
（2）本教科书中九个基本事实（背会）
（3）公理与定理有哪些联系？
自学任务二：阅读课本第42、43页例题，掌握证明题目的步骤，仿照例题，完成下列问题。
1、要证明一个命题的正确性需要哪些步骤
自学诊断：
1、证明同角的余角相等
已知：
求证：
证明：
训练设计
1.下列命题不是公理的是（）
A.同位角相等，两直线平行
B.全等三角形的对应边相等、对应角相等
C.两直线平行，同旁内角互补
D.三边对应相等的两个三角形全等
2.已知：直线AB和CD相交于点O，且∠AOC是直角.
求证：∠COB，∠BOD，∠DOA都是直角.
3.证明对顶角相等
已知：
求证：
证明：
达标测试
1.（2分）“三边对应相等的两个三角形全等这句话是（）
A.假命题
B.定义
C.公理
D.定理
2.（2分）下列说法错误的是（）
A.所有的命题都是定理
B.定理是真命题
C.公理是真命题
D.“画线段AB=CD”不是命题3．（2分）命题“对顶角相等”是（）
A.角的定义
B.假命题
C.公理
D.定理
4．（4分）证明等角的余角相等。
初二数学基本事实与定理讲解视
初二数学基本事实与定理讲解视数学中的基本事实和定理是我们解决问题的基石，下面我将用中文向大家进行讲解。
1. 同一数的两边相等定理：如果两个数相等，那么它们的任何运算结果也会相等。
例如，对于任意的实数a和b，如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c，a×c=b×c，a÷c=b÷c。
2. 交换律：对于加法和乘法来说，如果交换两个数的位置，结果不变。
例如，对于任意的实数a和b，a+b=b+a，a×b=b×a。
3. 结合律：对于加法和乘法来说，不管是多个数相加还是相乘，它们的运算顺序不影响最终结果。
例如，对于任意的实数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)，(a×b)×c=a×(b×c)。
4. 分配律：对于加法和乘法来说，当一个数同时与两个数进行运算时，可以先分别运算再进行合并，结果不变。
例如，对于任意的实数a、b和c，a×(b+c)=a×b+a×c。
5. 平方和差公式：对于任意实数a和b，有(a+b)(a-b)=a²-b²。
这个定理在解决一些代数方程或证明某些等式时经常用到。
6. 勾股定理：对于直角三角形来说，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
即，在一个直角三角形ABC中，如果∠C=90°，我们有c²=a²+b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示两条直角边的长度。
7. 对数定理：如果一个数的某个底数的对数等于另一个数，那么这两个数相等。
例如，如果b是一个正数且b≠1，则对于任意实数x和y，如果logb(x)=logb(y)，那么x=y。
这些是数学中的基本事实与定理的一部分，它们在我们的学习和问题解决中非常有用。
希望通过这些知识的学习，大家能够更好地理解数学并运用于实际生活中。
基本事实与定理
基本事实与定理在数学、物理、化学等学科中，基本事实与定理是我们探究、研究各种问题的基础和重要依据，下面是一些常见的基本事实与定理。
数学基本事实•自然数：自然数指的是大于等于0的整数。
•有理数：有理数是指可以表示成两个整数之比的数。
•无理数：无理数是指不能表示成有理数的数。
•实数：实数是指包括有理数和无理数的数。
•集合：集合是由零个或多个元素组成的整体。
基本定理•唯一分解定理：每个自然数都可以唯一地表示成若干个素数的乘积。
•辗转相除法：求两个数的最大公约数的常用方法。
•费马小定理：如果p是质数，a是不被p整除的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
•柯西-施瓦兹不等式：对于实数a1,a2,…,an 和b1,b2,…,bn，有： (a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an2)(b12 + b2^2 + … + bn^2)。
物理基本事实•牛顿力学三大定律：质点静止或匀速直线运动状态不变的倾向；力是一种导致物体运动状态变化的因素；对于所有物体，作用力和反作用力大小相等、方向相反，不直接抵消，但总体上抵消。
•能量守恒定律：孤立系统的能量总是守恒的。
•动量守恒定律：孤立系统之间互相作用时，系统内物体的动量之和总是不变的。
•相对论性能量公式：E=mc^2，其中E代表能量，m代表物体的质量，c代表光速。
基本定理•帕斯卡定律：对于任何处于连通状态的液体，液体中的任何一点承受的压强一定相等。
•阿基米德原理：在液体或气体中，被浸没的物体所受浮力等于它所取代糠秕的重量。
•熵的增加定律：封闭系统内熵的总和只能增加，不能减少，不可逆过程中系统的总熵增加的数量，等于热量从高温物体流向低温物体的数量。
化学基本事实•元素周期表：将元素按照电子排布方式、化学性质等特征分为横向周期和纵向族。
•化学键：化学键是各种原子之间因进行化学反应而发生形成，原子通过共用电子或电子转移等手段获得化学稳定的过程。
8.3基本事实与定理
用实验、归 纳、观察、 猜想等方法.
真命题常常通过 推理的方式即根 据已知事实来推 断未知事实
这些方法往 往并不可靠.
也有一些命题是 人们经过长期实 践后而公认为正 确的命题
在数学发展史上，数学家们也遇到过类 似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家
欧几里得编写了《原本》，将前人积累下
来的丰富的几何学成果整理在系统的逻辑 体系之中，他挑选了一部分不定义的数学 名词（称为原名）和一部分公认的真命题 （称为基本事实）作为证实其他命题的出 发点和依据，定义出其他有关的概念，并 运用推理的方法，证实了数百个有关的命 题，使几何学成为一门具有公理化体系的 科学。
定理 同角（等角）的补角相等.
归纳总结：
一些条件
+
公理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
推理
证实其它命题的正确性
温馨提示：证明一个命题的正确性，要按“已 知”“求证”“证明”的顺序和格式写出。
1、你认为基本事实和定理有哪些相同点和不同点？ 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明依据； 不同点: 基本事实是实践得来的；定理是推理证明得到。
(3)假命题.当a=b=1时，左边=3，右边=4 , 不相等.
如果一个三角形是直角三角形， 那么它的两个锐角互余.
都是真命题.
假命题. 真命题.
假命题.
（1）例如a=0时,/a/=0 (3)例如： 30, 60, 30, 满足 90， 90，但 60 90.
如何证实一个命题是真命题呢
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命 题叫做 。
除了公理之外，其他真命题的正确性都通过推理的 方法证实。
经过证明的真命题叫做 。
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行.（同位角相等,两直线平行） 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等
基本事实与定理课件
定理的定义和特点
定理是通过逻辑严密的推理证明得出的，具有一定的普遍性和重要性。
基本事实和定理的区别和联系
基本事实是不需要证明的真实陈述，而定理是通过推理证明得出的数学结论，二者有着密切的联系和依存关系。
常见的基本事实
加法
两个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相加的结果是唯一确定的。
交换律
加法和乘法中，交换操作数的顺序不会改变结 果。
乘法
两个数相乘的结果是唯一确定的。
结合律
加法和乘法中，操作数的结合方式不会改变结 果。
常见的定理
勾股定理
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
平行四边形定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
相交线定理
平行线被切割产生的内错角相等。
证明基本事实的方法
基本事实不需要证明，它们是数学系统的基础，可以通过定义或公理直接得 出。
基本事实与定理课件
通过这个课件，我们将介绍基本事实和定理的定义和特点，探讨它们的区别 和联系，以及它们在数学中的应用和历史背景。
什么是基本事实和定理
基本事实是数学中不需证明的真实陈述，定理是通过严格证明得出的数学结 论。
基本事实的定义和特点
基本事实是数学中最基本的真实陈述，不需要证明，可以作为其他推理的基础。
基本事实与定理
基本事实与定理
在日常的学习中，我们会接触到各种各样的基本事实与定理。
这些基本事实与定理对于掌握科学知识有着至关重要的意义，因为它们都是由数学推理、实验证明和概念归纳得出的有效的结论，其用于解决实际问题的价值也十分巨大。
首先，基本事实是事实性的，是很容易理解的，在日常生活中可以容易地观察到的。
例如，太阳照耀在地球表面，水在平时是无色无味的，电荷守恒定律，催化剂可加速反应等等。
它们可以简单地由实验结论植物，不需要太多的推理和计算，使人们可以很好地理解和记忆它们。
其次，定理也是很重要的，它的作用是根据基本事实转换为具体的数学关系，例如平面有效勾股定理，抛物线运动定律等，它们能够帮助我们提供准确的计算结果，用于求解复杂的物理现象。
另外，它们也能够帮助我们探索现象发生的根本原因，因此能够更好地推进科学的发展。
最后，基本事实与定理的发展也伴随着不断进行的实验技术的发展和模型的构建，它们会根据新的发现进行不断的变化，这也是我们将科学发展的动力，同时也促进了我们以前的定理得到进一步的完善和改进，从而使人类有更深入的认识。
综上所述，基本事实与定理是科学发展进程中不可或缺的一部分，它们能够为我们提供准确的结果，同时也能够帮助我们更好地理解现象，从而推动科学的发展。
此外，随着越来越多的研究进行，它们也
会不断演进，使人们有更深刻的认识。
基本事实和定理的区别和联系
基本事实和定理的区别和联系
基本事实和定理是数学中两个不同的概念，但它们之间也有一些联系。
基本事实是数学中的已知事实，通常是根据观察、实验、测量等方法得到的。
它们是不需要证明的，因为它们被广泛接受为真实，并作为数学推理的基础。
例如，2 加 2 等于 4 是一个基本事实。
定理是数学中的一个命题或陈述，可以通过严谨的证明得到。
它们是在基于一些已知事实的条件下推导出来的新的结论。
定理通常具有广泛的适用性和普遍性，并且可以推广到许多不同的情况。
例如，费马定理是一个著名的定理，它陈述了在正整数幂次大于 2 的情况下，无法找到三个整数 a、b 和 c，使得 a 的幂加上 b 的幂等于 c 的幂。
联系方面，基本事实可以作为定理的前提条件或基础，定理可以基于基本事实进行推导和证明。
定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系，或从基本事实中得出更深入的结论。
从这个角度看，基本事实和定理在数学中相互依赖和相互补充。
总而言之，基本事实是已知的真实事实，不需要证明；而定理是通过证明得到的新的结论。
虽然它们是不同概念，但在数学中它们之间具有密切的联系。
基本事实与定理高一知识点
基本事实与定理高一知识点基本事实与定理：高一知识点在高中数学的学习中，我们经常接触到各种基本事实与定理，它们是我们学习数学的基石。
掌握了这些基本事实与定理，我们就能更好地理解数学知识的本质，提高解题能力。
本文将介绍几个高一阶段的基本事实与定理。
一、角的概念及基本性质角是数学中一个基本的概念，它是由两条射线（或称为半直线）共享一个公共端点形成的。
根据角的大小，可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的角度小于90°，直角的角度等于90°，钝角的角度大于90°，而平角的角度等于180°。
在角的基本性质中，我们常用到的有垂直角、对顶角和余角等。
垂直角是两条相交直线之间的角，它们的角度相等。
对顶角是两条平行直线被一条横切线所切割而形成的内角，它们的角度相等。
余角是与给定角相加等于90°的角，即互为余角的两个角的和等于90°。
二、三角形与相似三角形三角形是由三条线段（也称为边）所围成的一个封闭平面图形。
根据三条边的长短关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
相似三角形是指具有相似形状的三角形。
相似三角形有一个重要的性质：对应角相等。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
利用相似三角形的性质，我们可以解决很多实际问题，例如测量高楼的高度、测量无法直接到达的距离等。
三、平行线与比例定理在平面几何中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
在平行线的研究中，我们常用到两条平行线之间的夹角、平行线与横切线之间的关系等。
平行线的比例定理是指当有两组平行线与一条横切线相交时，各对应线段之间的比例相等。
我们可以利用这个定理求解各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算图形的面积等。
四、勾股定理及其应用勾股定理是三角形中一个经典的定理，它描述了一个直角三角形的边的关系。
8 .3-1基本事实与定理
现在所学的基本事实（公理）：
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
现在所学的基本事实（公理）：
6、两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。
鲁教版数学七年组下册
第八章平行线的有关证明
第三节 基本事实与定理 （一课时） 龙口市北皂学校数学组
自学指导
看课本，思考并回答以下问题： 1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
知识探究
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得，将前 人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统 的逻辑体系之中。他挑选了一部分数学名词 和一部分公认的真命题作为证实其他命题的 起始依据，定义出其他有关的概念，并运用 推理的方法，证实了数百个有关的命题，使 几何学成为一门具有公理化体系的科学。
解答
A的预测是错误的
本节课你有何收获?
你还有疑问吗? 将你的疑问说出来与你的
同学和老师一起探讨!
考
考 你！
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语 句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ） A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的 是（ ），是定义的是（ ）， A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
初中数学_基本事实与定理教学设计学情分析教材分析课后反思
初二数学七年级下册《基本事实与定理》教学设计8.3基本事实与定理学情分析本课是选自教育出版社出版的五四学制的七年级下册，第八章平行线的证明，本章的一些定理，学生都已经接触过，但对于“基本事实”这一说法学生还是第一次了解。
一方面学生对于“欧几里得”和他的“几何原本”充满好奇，正确利用学生的好奇心，让学生对数学的发展史有所了解，对逻辑推理产生兴趣，并适时的对学生进行思想品德上的教育也是这节课的这样设计的目标之一。
另一方面，学生对怎样比较严谨的证明一个定理或命题，并没有很准确的把握。
有时会用定理本身来证明自己，犯一些常见的逻辑错误。
在本节课上有极个别的学生出现了这种问题，所以并没有集体讲，而是个别纠正了。
学生对证明步骤的规范和依据还存在模糊，这也是需要注意和纠正的地方。
8.3基本事实与定理达标测评结果分析学生课堂表现总体比较积极，思考很深入。
学生学习效果教好，这节课采用学案导学，注重学生自学能力的培养。
可以看出，在当堂检测中，学生对基本定理的掌握很好，能快速、准确的填写推理中每一步的依据，能独立解决一些简单的命题证明问题。
正确率达到80%。
已经基本达到大纲中对本节课教学目标的要求，完成了目标中的知识目标、能力目标、和情感目标。
8.3基本事实与定理教材分析本课是选自教育出版社出版的五四学制的七年级下册，第八章平行线的有关证明。
本章是证明的起始阶段，学生先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但毕竟不是证明。
本章首先要让学生明确认识到，这些探究的结论需要加以证明；然后明确证明需要一个话语体系，为此就有了所谓的定义、命题等；其次，证明需要确定一些出发点，为此，需要梳理有关结论，选择某些结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）；有了这些证明的出发点，下面自然就应依次证明一些先前探究得到的定理，在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，再次认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。
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典例精讲 定理：同角（等角）的补角相等
写出已知、求证、证明
已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∠2+∠4=180 °，求证：∠3=∠4 证明：∵ ∠1+∠3=180° ， ∠2+∠4=180 （已知）° ∴ ∠3=180°- ∠ 1， ∠4=180°- ∠ 2 （等式的基本性质）
∵ ∠1=∠2， ∴ ∠3=∠4
答案：如果A得优，那么五 人都得优，如果C得优，那 么至少三人得优
变式引申
4人进行游泳比赛，赛前4名选手A，B，C，
D分别对自己进行预测。A说：“我肯定得第 一名。”B说：“我绝对不会得最后一 名。”C说：“我不可能得第一名，也不会 得最后一名。”D说：“那只有我是最末了 的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只 有一位预测错误。请指出这是哪一位选手。
选做
已知：如图，∠BAD=∠EAC
求证：∠1=∠2
解答
证明：∵∠BAD=∠EAC（已知）
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD（等 式的性质） ∴∠1=∠2
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数 学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后)；找出下 列各个定义并举例．
1、原名: 某些数学名词称为原名. 2、公理: 公认的真命题称为公理. 3、证明: 除了公理外,其它真命题的正确性都通过 推理的方法证实.推理的过程称为证明. 4、定理: 经过证明的真命题称为定理. 经过证明的真 推理的过程 命题叫定理
分析
如果A是错误的，说明B是第一名，D是最后一名，A与C一 个是第二名，一个是第三名，有可能。 如果B是错误的，就说明B得了最后一名，那就和D的说法相 矛盾，说明D的预测也是错的，与题意不符。 如果C是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与 A的说法相矛盾，要么与D的说法相矛盾，说明A或D的预测 也是错的，与题意不符。 如果D是错误的，说明D不是最后一名，结合ABC的说法， 他们也不是最后一名，不可能，与题意不符。
举出几个定理
1、三角形内角和定理
2、同角的补角相等。
3、直角三角形的两个锐角互余。
你还能举出其他的定理吗？
思考？
定理与公理的区别是什么？
公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的
基本事实、定理、命题的 关系：
命题
真命题 假命题
基本事实（正确性在实践中总结 的，我们称之为公理）
如何证明一个命题是真命题呢？
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
哦……那可
怎么办
这些方法 往往并不 可靠.
能不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根据已 经知道的真命 题证实呢?
那已经知道的 真命题又是如 何证实的?
知识结论
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的
真命题叫做公理 通过推理得到证实的真命题叫做定理
随堂练习 1、你认为基本事实和定理有哪些相 同点和不同点？
相同点：1、它们都是真命题
2、它们都是做为证明的依据
不同点：1、公理的真实性是通过实践证实的，
而定理的真实性必须通过推理证明。
习题8.4
1、已知：如图，直线AB和CD相交于点O，且 ∠AOC是直角，求证：∠COB，∠BOD， ∠DOA都是直角。
现在所学的基本事实（公理）：
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
现在所学的基本事实（公理）：
6、两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。
+ 原名、公理
一些条件
叫证明
推 理
证实其它命 题的正确性
温馨提示：证明所需的定义、公理和其它定理都 要编写在要证明的这个定理的前面
作业： 必做《配套练习册》8.3 1---4 选做《配套练习册》8.3 5
下课了!
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
由“因”导“果”,执“果”索“因
”是探索证明思路最基本的方法. 言必有据,因果对应.是初学证明者谨 记和遵循的原则.
解答
A的预测是错误的
本节课你有何收获?
你还有疑问吗? 将你的疑问说出来与你的
同学和老师一起探讨!
考
考 你！
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语 句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ） A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的 是（ ），是定义的是（ ）， A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
A D O C B
∵∠AOC是直角，
∴∠AOC =90 °， ∵ AOB是一条直线， ∴ ∠COB =180 ° ∠AOC=90 °， ∴ ∠COB 是直角。 同理可证： ∠BOD，∠DOA都是直角。
2、证明：对顶角相等
已知：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1
和∠2是对顶角，求证 ∠1 =∠2
鲁教版数学七年组下册
第八章平行线的有关证明
第三节 基本事实与定理 （一课时） 龙口市北皂学校数学组
自学指导
看课本，思考并回答以下问题： 1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
知识探究
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得，将前 人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统 的逻辑体系之中。他挑选了一部分数学名词 和一部分公认的真命题作为证实其他命题的 起始依据，定义出其他有关的概念，并运用 推理的方法，证实了数百个有关的命题，使 几何学成为一门具有公理化体系的科学。
A D O C B
证明： ∵ ∠1 和∠2是对顶角， ∴OA和 OB互为反向延长线， ∴ ∠AOB是平角， 同理 ∠COD也是平角。 ∴ ∠1 和∠2 都是 ∠AOC的补角， ∴ ∠1 =∠2
3、A,B,C,D,E五名学生猜测自己的数 学成绩， A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。” D说：“如果我得优，那么E也得优。” 大家都没有说错。如果A得优，那么 他们之中有几人得优？如果C得优， 那么他们这中至少有几个得优？
定理（正确性通过推理证实）
证明及证明的一般步骤（难点）
什么是证明？
根据条件、定义以及基本事实(公理)、定理 等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正 确，这样的推理的过程叫做证明。
证明的一般步骤：
（1）根据题意，画图形； （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、 求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据。