基本事实与定理课件
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最新8-.3-1基本事实与定理教学讲义PPT课件
是（ ），是定义的是（ ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等
C、全等三角形的对应边相等，对应角相等
D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
选做
❖ 已知：如图，∠BAD=∠EAC ❖ 求证：∠1=∠2
解答
❖ 证明：∵∠BAD=∠EAC（已知）
8-.3-1基本事实与定理
自学指导
看课本，思考并回答以下问题：
1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
知识结论
❖ 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的 真命题叫做公理
❖ 通过推理得到证实的真命题叫做定理
现在所学的基本事实（公理）：
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语
句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的
❖
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD（等式
的性质）
❖
∴∠1=∠2
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数
学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后)；找出下
新湘教版八年级上册初中数学 课时2 真命题与假命题、基本事实与定理 教学课件
题③和命题④均正确.
第五页，共二十一页。
新课讲解
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发， 通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这 个命题为真命题，这个过程叫证明.
那么怎样判断一个命 题是假命题呢？
第六页，共二十一页。
新课讲解
知识点2 反例
片段1：县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞道：“师爷，你怎么 看？”县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的
a∥b.
真命题
第十九页，共二十一页。
当堂小练
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角； 直角三角形的两个锐角和不是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数； -1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等. 两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如
第三页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 真命题与假命题
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天； 错误 （2）如果a是有理数，那么a是整数; （3）同位角相等； 错误
（4）同角的补角相等. 正确
错误
你能说说你是怎 么判断的吗？
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命 题称为假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若ab=0，则a+b=0. 解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对 顶角,但它们相等；
（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.
第九页，共二十一页。
新课讲解
知识点3 基本事实与定理 古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认 的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；
第五页，共二十一页。
新课讲解
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发， 通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这 个命题为真命题，这个过程叫证明.
那么怎样判断一个命 题是假命题呢？
第六页，共二十一页。
新课讲解
知识点2 反例
片段1：县官一时拿不定主意，就问旁边的县丞道：“师爷，你怎么 看？”县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚捌的
a∥b.
真命题
第十九页，共二十一页。
当堂小练
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角； 直角三角形的两个锐角和不是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数； -1和-3的积是-1×(-3)>0，-1和-3不是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等. 两条相交的直线a、b被第三条直线l所截（如
第三页，共二十一页。
新课讲解
知识点1 真命题与假命题
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天； 错误 （2）如果a是有理数，那么a是整数; （3）同位角相等； 错误
（4）同角的补角相等. 正确
错误
你能说说你是怎 么判断的吗？
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命 题称为假命题.
（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若ab=0，则a+b=0. 解：（1）如：两条直线平行时的内错角，这两个角不是对 顶角,但它们相等；
（2）如：当a=5，b=0时，ab=0，但a+b≠0.
第九页，共二十一页。
新课讲解
知识点3 基本事实与定理 古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认 的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；
基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
基本事实与定理
十字道初中初二数学下册第八章新授备课授课内容基本事实与定理时间教学目标知识目标公理与定理的概念能力目标.能够用基本事实、定理证明一些命题情感目标通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.教学重、难点重难点：用公理和定理进行证明.教学方法引导发现法教学准备拼图用具、实物投影仪、课件教学过程回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.新授［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：如何证实一个命题是真命题呢？［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.［生乙］这些方法往往并不可靠.［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？［生戊］哦……那可怎么办呢？……［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：［师］同学们来朗读一次.［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.在等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.Ⅴ.课后作业（一）课后习题（二）预习后面的内容。
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
13.定理与证明PPT课件(华师大版)
是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．140°
2 完成下面的证明过程，并在括号内填上理由．已知：如图所
示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：因为AD∥BC( )，
所以∠1＝________(
)，
又因为∠BAD＝∠BCD(
)，
所以∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2(
)，
即∠3＝∠4，所以AB∥________(
2 × 3 + 1 =7, 2 × 3 × 5+! =31, 2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.
计算一下 2×3×5×7×
11+1与 2×3×5×7× 11×13+1，你 发现了什么？
于是，他根据上面的结果并利 用质数表得出结论:从 质数2开始， 排在前面的任意多个质数的乘积加1 一定 也是质数.他的结论正确吗？
例2 填写下列证明过程中的推理根据．
如图13.1-2：已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交
于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(已知)，
∴AB∥CD(________)．
图13.1-2
∴∠ABO＝∠CDO(________)．
又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知)，
)．
获取证明思路的方法： (1)从已知条件出发，结合图形，根据前面学过的定
义、基本事实、定理、公式逐步推理求证的结论，这 种方法叫做“综合法”． (2)从结论出发，去探求其成立的原因，直到与已知 条件相吻合为止，这种方法叫“分析法”． (3)“两头凑”，即在解决问题时，将上面的两种方 法结合起来用．
3 基本事实与定理
所以∠PCA=∠PDB.
推的理
,最后证实结论(求证)的过程.
知识点一 公理与定理 【例1】 指出下列真命题哪些是公理,哪些是定理. (1)两点确定一条直线; (2)同角的余角相等; (3)两直线平行,同位角相等;
解:根据公理和定理的概念,结合规定的八条基本事实,可知(1)是公理,(2) (3)是 定理.
公理是不需要进行推理证明的真命题,可以作为判断其他命题真假 的依据;定理都是真命题,但其正确性是需要经过推理证实的,而后又把它作为 判定其他命题真假的依据.
为推理的依据.例如,“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”,简称 “ 等量代换 ”.
2.证明一个命题的正确性,要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出.
其中“已知”是命题的 条件 ,“求证”是命题的结论 ,而“证明”则是由条
件(已知)出发,根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理,经过一步一步
3.(2018淄博)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一
场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()1 (D)0
4.证明真命题“对顶角相等”的依据是 同角的补角相等
.
5.下列说法错误的是( C ) (A)定理是真命题 (B)公理一定不是假命题 (C)公理与定理没有区别 (D)定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依 据 6.下列真命题中,是公理的是( D ) (A)互余的两个角都是锐角 (B)两直线平行,同位角相等 (C)三边都相等的三角形是等边三角形 (D)三边分别相等的两个三角形全等
知识点二 真命题的证明 【例2】 求证:垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,a⊥c,b⊥c,求证:a∥b.
证明:因为a⊥c,b⊥c(已知), 所以∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义), 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥b(同位角相等,两直线平行). 即垂直于同一条直线的两条直线平行.
推的理
,最后证实结论(求证)的过程.
知识点一 公理与定理 【例1】 指出下列真命题哪些是公理,哪些是定理. (1)两点确定一条直线; (2)同角的余角相等; (3)两直线平行,同位角相等;
解:根据公理和定理的概念,结合规定的八条基本事实,可知(1)是公理,(2) (3)是 定理.
公理是不需要进行推理证明的真命题,可以作为判断其他命题真假 的依据;定理都是真命题,但其正确性是需要经过推理证实的,而后又把它作为 判定其他命题真假的依据.
为推理的依据.例如,“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”,简称 “ 等量代换 ”.
2.证明一个命题的正确性,要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出.
其中“已知”是命题的 条件 ,“求证”是命题的结论 ,而“证明”则是由条
件(已知)出发,根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理,经过一步一步
3.(2018淄博)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一
场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()1 (D)0
4.证明真命题“对顶角相等”的依据是 同角的补角相等
.
5.下列说法错误的是( C ) (A)定理是真命题 (B)公理一定不是假命题 (C)公理与定理没有区别 (D)定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依 据 6.下列真命题中,是公理的是( D ) (A)互余的两个角都是锐角 (B)两直线平行,同位角相等 (C)三边都相等的三角形是等边三角形 (D)三边分别相等的两个三角形全等
知识点二 真命题的证明 【例2】 求证:垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,a⊥c,b⊥c,求证:a∥b.
证明:因为a⊥c,b⊥c(已知), 所以∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义), 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥b(同位角相等,两直线平行). 即垂直于同一条直线的两条直线平行.
初中数学基本事实与定理
求证：同角（或等角）的补角相等。
五、【练习内化、达标促学】
【当堂检测】
1、下列说法中，错误的是（）
A、所有的定义都是命题
B、所有的定理都是命题
C、所有的公理都是命题
D、所有的命题都是定理
2、下列命题中，属于公理的是（）
A、同角的补角相等
B、邻补角的平分线互相垂直
C、两点之间，线段最短
D、直角三角形的两个锐角互余
3、在证明过程中，可以作为逻辑推理依据的是（）
A、公理、定理
B、定义、公理、定理
C、公理、定理、题设（已知条件）
D、定义、公理、定理、题设（已知条件）
4、下面是证明“等角的余角相等”的过程，请在括号内填写各步推理的依据。
已知：∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，且∠1=∠2。
求证：∠3=∠4。
证明：∵∠1+∠3=90°（）
∴∠3=90—∠1（）
∵∠2+∠4=90°（）
∴∠4=90°—∠2（）
∵∠1=∠2 90°—∠1=90°—∠2（）∴∠3=∠4 即：等角的余角相等。
六、【自我总结、反思成学】
教学后记：
需要反正两面才符合备课要求的标准。
全等三角形判定的基本事实和定理
全等三角形复习课
主讲人：孙志娓 2019年04月29日
从近几年的中考题来看，全等三角形占有 重要的地位。
一起猜一猜 ：
今年相关题型和分值 是。。。。。
1、 了解全等三角形的概念，能识别全 等三角形中的对应边、对应角；
2、理解全等三角形的性质，掌握三角形 全等的条件；
3、 会用全等三角形进行角、线段的有 关计算、证明和应用。
（第3题）
4、如图，已知AD=AB, 要使
D
需要添加一个条件是____
A
C
B
3、如图3， 已知∠A =∠C，∠B =∠D， 要使△ABO≌△CDO，需要补充的一个 条件是 _____
思 路：
（第3题）
找夹边
CD=AB (ASA)
已知两角：
找一角的对边
OD=OB 或 OC=OA
(AAS)
4、如图，已知AD=AB, 要使△ A B C ≌ △ A D C
的判定同样适用．
Ｂ 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等
（ＨＬ）
擦亮眼睛，发现隐含条件
A
B
B
D
O
A
D
C
C
B
C
A 隐含条件——公共边
D
擦亮眼睛，发现隐含条件
A O
A
D
D
C
F
B
C
B
E
隐含条件——对顶角
隐含条件——公共角
书中自有黄金屋，图中自有已知来！
3、 如图3， 已知∠A =∠C， ∠B =∠D，要使△ABO≌△CDO， 需要补充的一个条件是 _____
等
三 角
性质
求线段长、角度
形
证明线段、角的
主讲人：孙志娓 2019年04月29日
从近几年的中考题来看，全等三角形占有 重要的地位。
一起猜一猜 ：
今年相关题型和分值 是。。。。。
1、 了解全等三角形的概念，能识别全 等三角形中的对应边、对应角；
2、理解全等三角形的性质，掌握三角形 全等的条件；
3、 会用全等三角形进行角、线段的有 关计算、证明和应用。
（第3题）
4、如图，已知AD=AB, 要使
D
需要添加一个条件是____
A
C
B
3、如图3， 已知∠A =∠C，∠B =∠D， 要使△ABO≌△CDO，需要补充的一个 条件是 _____
思 路：
（第3题）
找夹边
CD=AB (ASA)
已知两角：
找一角的对边
OD=OB 或 OC=OA
(AAS)
4、如图，已知AD=AB, 要使△ A B C ≌ △ A D C
的判定同样适用．
Ｂ 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等
（ＨＬ）
擦亮眼睛，发现隐含条件
A
B
B
D
O
A
D
C
C
B
C
A 隐含条件——公共边
D
擦亮眼睛，发现隐含条件
A O
A
D
D
C
F
B
C
B
E
隐含条件——对顶角
隐含条件——公共角
书中自有黄金屋，图中自有已知来！
3、 如图3， 已知∠A =∠C， ∠B =∠D，要使△ABO≌△CDO， 需要补充的一个条件是 _____
等
三 角
性质
求线段长、角度
形
证明线段、角的
《基本事实与定理》课件
事实二：逻辑推理
总结词
逻辑推理是学习《基本事实与定理》的关键能力。
详细描述
在《基本事实与定理》的学习过程中，需要运用逻辑推理来理解定理的推导过程 和证明方法。此外，还需要通过逻辑推理来分析问题、找出解决方案，并验证答 案的正确性。
事实三：证明方法
总结词
掌握证明方法是学习《基本事实与定理》的核心要求。
证明三：哥德巴赫猜想的证明
总结词
简化证明但仍有争议
详细描述
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以 写成两个质数之和。虽然这个猜想的证明过 程非常复杂，但近年来有数学家提出了一些 简化的证明方法。然而，这些证明方法仍然 存在争议，因为它们在某些情况下可能不成 立。因此，哥德巴赫猜想的证明仍是一个开
放的问题，需要进一步的研究和探索。
PART 05
总结与展望
总结：基本事实与定理的重要性和影响
数学基础
科学应用
基本事实与定理是数学学科的基础，对于 数学的发展和应用至关重要。
基本事实与定理在物理学、工程学、经济 学等科学领域中有着广泛的应用，为解决 实际问题提供了重要的理论支持。
教育价值
文化传承
基本事实与定理是数学教育的重要组成部 分，对于培养学生的逻辑思维、推理能力 和解决问题的能力具有重要意义。
定理三：哥德巴赫猜想
总结词
关于质数的数学猜想
VS
详细描述
哥德巴赫猜想是一个著名的数学猜想，它 认为任何一个大于2的偶数都可以写成两 个质数之和。尽管这个猜想已经提出很长 时间，但是至今仍然没有被证明或证伪。 这个猜想在数学界中引起了广泛的兴趣和 研究，也是数学研究的一个重要方向。
PART 03
定理证明
详细描述
基本事实与定理课件
(2)人们经过长期实践后而公认为正确的.
数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后 公认的真命题称为公理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假 的根据.
对顶角相等 (真命题)
∵∠1＋∠3＝180°
31 2
∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠2
(同角的补角相等)
要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式.
公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题, 作为判断其他命题的根据。这些公认的真命题叫 做公理。
8.3 基本事实与定理
(1)什么是定义? 一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意
义的句子叫做该名称或术语的定义.
(2)什么是命题? 命题由哪两部分组成? 一般地,对某一件事情作出正确或不正确
的判断的句子叫做命题.
命题由可看做由题设(或条件)和结论两 部分组成.
正确的命题叫做 真命题 不正确的命题叫做 假命题 要说明一个命题是假命题只须
定理（举例）：经过证明的真命题称为定理。
同角（等角）的补角相等; 同角（等角）的余角相等; 三角形的任意两边之和大于第三边.
前面我们已经学过的,用推理的方法得到的那些 用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可 以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这 一性质也看作公理,称为“等量代换”.
4、下列句子中，是定理的是（ B ），是公理 的是（ E，C ），是定义的是（ D ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角 相等
数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后 公认的真命题称为公理.
定理和公理都可以作为判断其他命题真假 的根据.
对顶角相等 (真命题)
∵∠1＋∠3＝180°
31 2
∠2＋∠3＝180°
∴∠1＝∠2
(同角的补角相等)
要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式.
公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题, 作为判断其他命题的根据。这些公认的真命题叫 做公理。
8.3 基本事实与定理
(1)什么是定义? 一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意
义的句子叫做该名称或术语的定义.
(2)什么是命题? 命题由哪两部分组成? 一般地,对某一件事情作出正确或不正确
的判断的句子叫做命题.
命题由可看做由题设(或条件)和结论两 部分组成.
正确的命题叫做 真命题 不正确的命题叫做 假命题 要说明一个命题是假命题只须
定理（举例）：经过证明的真命题称为定理。
同角（等角）的补角相等; 同角（等角）的余角相等; 三角形的任意两边之和大于第三边.
前面我们已经学过的,用推理的方法得到的那些 用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可 以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等 量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这 一性质也看作公理,称为“等量代换”.
4、下列句子中，是定理的是（ B ），是公理 的是（ E，C ），是定义的是（ D ），
A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角 相等
8.3基本事实与定理
用实验、归 纳、观察、 猜想等方法.
真命题常常通过 推理的方式即根 据已知事实来推 断未知事实
这些方法往 往并不可靠.
也有一些命题是 人们经过长期实 践后而公认为正 确的命题
在数学发展史上，数学家们也遇到过类 似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家
欧几里得编写了《原本》，将前人积累下
来的丰富的几何学成果整理在系统的逻辑 体系之中，他挑选了一部分不定义的数学 名词（称为原名）和一部分公认的真命题 （称为基本事实）作为证实其他命题的出 发点和依据，定义出其他有关的概念，并 运用推理的方法，证实了数百个有关的命 题，使几何学成为一门具有公理化体系的 科学。
定理 同角（等角）的补角相等.
归纳总结：
一些条件
+
公理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
推理
证实其它命题的正确性
温馨提示：证明一个命题的正确性，要按“已 知”“求证”“证明”的顺序和格式写出。
1、你认为基本事实和定理有哪些相同点和不同点？ 相同点：①都是真命题；②都可以作为证明依据； 不同点: 基本事实是实践得来的；定理是推理证明得到。
(3)假命题.当a=b=1时，左边=3，右边=4 , 不相等.
如果一个三角形是直角三角形， 那么它的两个锐角互余.
都是真命题.
假命题. 真命题.
假命题.
（1）例如a=0时,/a/=0 (3)例如： 30, 60, 30, 满足 90， 90，但 60 90.
如何证实一个命题是真命题呢
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命 题叫做 。
除了公理之外，其他真命题的正确性都通过推理的 方法证实。
经过证明的真命题叫做 。
1.两点确定一条直线. 2.两点之间线段最短. 3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么 这两条直线平行.（同位角相等,两直线平行） 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 8.三边分别相等的两个三角形全等
基本事实与定理课件
定理的定义和特点
定理是通过逻辑严密的推理证明得出的，具有一定的普遍性和重要性。
基本事实和定理的区别和联系
基本事实是不需要证明的真实陈述，而定理是通过推理证明得出的数学结论，二者有着密切的联系和依存关系。
常见的基本事实
加法
两个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相加的结果是唯一确定的。
交换律
加法和乘法中，交换操作数的顺序不会改变结 果。
乘法
两个数相乘的结果是唯一确定的。
结合律
加法和乘法中，操作数的结合方式不会改变结 果。
常见的定理
勾股定理
直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
平行四边形定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
相交线定理
平行线被切割产生的内错角相等。
证明基本事实的方法
基本事实不需要证明，它们是数学系统的基础，可以通过定义或公理直接得 出。
基本事实与定理课件
通过这个课件，我们将介绍基本事实和定理的定义和特点，探讨它们的区别 和联系，以及它们在数学中的应用和历史背景。
什么是基本事实和定理
基本事实是数学中不需证明的真实陈述，定理是通过严格证明得出的数学结 论。
基本事实的定义和特点
基本事实是数学中最基本的真实陈述，不需要证明，可以作为其他推理的基础。
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是（ ），是定义的是（ ），
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3
• 如何证明一个命题是真命题呢？
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
哦……那可 怎么办
这些方法 往往并不
可靠.
能不能根据已 经知道的真命
题证实呢?
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那已经知道的
真命题又是如
何证实的?
4
知识结论
• 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理 • 通过推理得到证实的真命题叫做定理
证明的一般步骤：
（1）根据题意，画图形； （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、 求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据。
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典例精讲 定理：同角（等角）的补角相等
• 写出已知、求证、证明 • 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°， ∠2+∠4=180 °，求证：
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5
现在所点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
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6
现在所学的基本事实（公理）：
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3、A,B,C,D,E五名学生猜测自己的数学成绩， A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。” D说：“如果我得优，那么E也得优。” 大家都没有说错。如果A得优，那么他们之中 有几人得优？如果C得优，那么他们这中至少 有几个得优？
• 同理可证： ∠BOD，∠DOA都是直角。
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2、证明：对顶角相等
• 已知：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1 和∠2是 对顶角，求证 ∠1 =∠2
A D
O
C
B
证明： ∵ ∠1 和∠2是对顶角， ∴OA和OB 互为反向延长线， ∴ ∠AOB是平角，同理 ∠COD也是平角。 ∴ ∠1 和∠2 都是∠AOC 的补角， ∴ ∠1 =∠2
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语
句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的
公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的
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9
基本事实、定理、命题的 关系：
命题 真命题
假命题
基本事实（正确性在实践中总结 的，我们称之为公理）
定理（正确性通过推理证实）
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证明及证明的一般步骤（难点）
什么是证明？
根据条件、定义以及基本事实(公理)、定理等，经 过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理 的过程叫做证明。
• 不同点：1、公理的真实性是通过实践证实的，而定理的真实性 必须通过推理证明。
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14
习题8.4
1、已知：如图，直线AB和CD相交于点O，且∠AOC是直 角，求证：∠COB，∠BOD，∠DOA都是直角。
A D
O
C
B
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• ∵∠AOC是直角， ∴∠AOC =90 °，
• ∵ AOB是一条直线， ∴ ∠COB =180 ° -∠AOC=90 °， ∴ ∠COB 是直角。
6、两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。
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7
举出几个定理
• 1、三角形内角和定理 • 2、同角的补角相等。 • 3、直角三角形的两个锐角互余。 你还能举出其他的定理吗？
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8
思考？
定理与公理的区别是什么？
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答案：如果A得优，那么五 人都得优，如果C得优，那 么至少三人得优
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19
变式引申
• 4人进行游泳比赛，赛前4名选手A，B，C，D分别对自己进行预 测。A说：“我肯定得第一名。”B说：“我绝对不会得最后一名。”C 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名。”D说：“那只有我 是最末了的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只有一位预测错 误。请指出这是哪一位选手。
鲁教版数学七年组下册 第八章平行线的有关证明 第三节 基本事实与定理
（一课时）
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1
自学指导
看课本，思考并回答以下问题：
1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
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2
知识探究
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得，将前人积累下来的丰富 的几何学成果整理在系统的逻辑体系之中。他挑选了一部分数学 名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，定义 出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命 题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。
• 如果D是错误的，说明D不是最后一名，结合ABC的说法，他们也不是最后 一名，不可能，与题意不符。
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21
解答
• A的预测是错误的
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22
•本节课你有何收获?
•你还有疑问吗?
•将你的疑问说出来与你的 同学和老师一起探讨!
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23
考 考 你！
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
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分析
• 如果A是错误的，说明B是第一名，D是最后一名，A与C一个是第二名，一个 是第三名，有可能。
• 如果B是错误的，就说明B得了最后一名，那就和D的说法相矛盾，说明D的 预测也是错的，与题意不符。
• 如果C是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与A的说法相矛盾， 要么与D的说法相矛盾，说明A或D的预测也是错的，与题意不符。
∠3=∠4 • 证明：∵ ∠1+∠3=180° ， ∠2+∠4=180 （已知）°
∴ ∠3=180°- ∠ 1， ∠4=180°- ∠ 2 （等式的基本性质）
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∵ ∠1=∠2， ∴ ∠3=∠4
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随堂练习 1、你认为基本事实和定理有哪些相同点和不 同点？
• 相同点：1、它们都是真命题 2、它们都是做为证明的依据