随机信号及时域分析
数字信号处理-时域离散随机信号处理课件：时域离散随机信号的分析
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(tn
t
图 1.1.1 n部接收机的输出噪声
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(n) x2(n) xn(n)
数字信号处理——时域离散随机信号处理
一般均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序列, 它 们与n无关, 是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方 值表示在n时刻消耗在1 Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示 消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方 差。
数字信号处理——时域离散随机信号处理
3. 随机序列的相关函数和协方差函数
我们知道, 在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联 性， 或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列 本身或者不同随机序列之间。 这一特性常用自相关函数和互 相关函数进行描述。
自相关函数定义为
rxx
(n,
m)
E[
X
* n
X
m
]
xn*
xm
pX
n
,
X
m
数字信号处理——时域离散随机信号处理
时域离散随机信号的分析
1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型
数字信号处理——时域离散随机信号处理
1.1 引 言
信号有确定性信号和随机信号之分。 所谓确定性信号，就 是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性， 可以用一个明确 的数学关系进行描述，是可以再现的。 而随机信号随时间的变 化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测， 因 此不可能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着 一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、 数字特征等进行描述。
《随机信号分析》课件
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机过程在随机信号处理中的应用
随机过程在随机信号处理中的应用随机过程在随机信号处理中的应用随机信号处理是一门研究随机信号的统计特性以及如何处理和分析随机信号的学科。
而随机过程是随机信号的数学模型，描述了随机信号在时间上的演变过程。
因此，随机过程在随机信号处理中扮演着重要的角色。
本文将介绍随机过程在随机信号处理中的应用。
一、时域随机过程的分析1. 自相关函数与互相关函数随机过程的自相关函数描述了信号在不同时间的相关性。
自相关函数可以通过计算信号在不同时间上的互积来得到，而随机过程的互相关函数则可以反映不同信号之间的相关性。
通过分析自相关函数和互相关函数，可以获得信号的周期性、相似性以及相关系数等信息。
2. 平均功率和功率谱密度随机过程的平均功率可以表示信号在统计意义上的能量大小。
对于平稳随机过程，其平均功率是一个常数。
而功率谱密度则是描述信号能量在频域上的分布情况。
通过分析功率谱密度，可以了解信号的频率成分以及频率成分的强弱程度。
二、频域随机过程的分析1. 傅立叶变换傅立叶变换是一种常用的频域分析方法，可以将信号从时域转换到频域。
对于随机过程而言，可以通过傅立叶变换来得到频域上的信号表示。
通过分析信号在频域上的特性，可以获得信号的频谱信息。
2. 相位谱相位谱是频域随机过程中的一个重要概念，表示了信号在频域上各个分量的相位关系。
相位谱可以用于分析信号的相位变化情况，帮助理解信号的时序特性。
三、随机过程模型1. 平稳随机过程平稳随机过程是指在时间上统计特性保持不变的随机过程。
平稳随机过程常用于建立信号的数学模型，通过分析其统计特性，可以对信号的未来变化进行预测。
2. 马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是一种特殊的随机过程，具有“无记忆性”的特点。
在随机信号处理中，马尔可夫随机过程常用于建立信号的模型，通过分析其状态转移概率，可以对信号的未来状态进行推测。
四、应用实例1. 语音处理语音信号是一种典型的随机信号，可以通过随机过程的分析方法来进行语音信号的降噪、增强、识别等处理。
时域分析法 (DEMO)
从图 1—23 可以看出，信号的时域和频域描述是从不同的领域来 说明同一个信号。周期方波在时域可分解成许多不同频率和幅值的奇 次谐波，而在频域则表达了这些谐波的幅值与初始相位角随频率的变 化情况。（俯视为初始相位角）
实际上，各种幅域参数本质上是取决于随机信号的概率密度函数。 随机信号的概率密度函数表示幅值 x(t) 落在某一个指定范围内的概 率大小，随机信号的幅值取值的概率是有一定规律的，即对于同一过 程的多次观测中，信号中各幅值出现的频次将趋于确定的值。
p(x) 表示幅值落在小区间 (x, x x) 上的概率与区间长度之比，因 此称为幅值概率密度函数。
Xp＝
X (t)man
测试过程中如能充分估计峰值的大小，将便于确定测试仪器的动 态工作范围。若对峰值估计不足，可导致削波失真，甚至仪器被损坏。 信号的峰值也有它的自身作用，如在进行机械结构的强度或安全设计 时，就需要了解负荷的最大瞬时值。
峰值不能完全反映信号在整个时间过程中的状况。 2．均值 μ x 各态历经的平稳随机信号的均值是样本函数 x(t) 在整个时间坐标 上的积分平均即
式中，总是重点考虑较多出现的应力所造成的疲劳问题，所以它成为 产品设计的必要依据。
测试信号的频率域分析 在动态测试技术中往往需要将时间域信号变换列频率域上加以 分析，从频率角度来反映和揭示信号的变化规律，这种频率分析的方 法又称为频谱分析法。常用的频谱分析法有频率分析相功率谱分析两 种。 信号的时域分析 时域分析的主要特点是针对信号的时间顺序，即数据产生的先后 顺序。而在幅域分析中，虽然各种幅域参数可用样本时间波形来计算， 但忽略了时间顺序的影响，因而数据的任意排列所计算的结果是一样 的，在时域中提取信号特征的主要方法有相关分析和时序分析。 一、时域波形分析 常用工程信号都是时域波形的形式．时域波形有直观、易于理解 等持点。由于是最原始的信号，所以也含的信息量大，但缺点是不太 容易看出所包含信息与故障的联系 而对于某些故障信号，其波形具 有明显的特征，这时可以利用时域波形所作出初步判断。例如对于旋 转机械、其不平衡故障较严重时，信号中有明显的以旋转频率为持征 的周期成分；而转轴不对中时，信号在一个周期内，旋转频率的 2 倍 频成分明显加大，即一周波动 2 次。 而当故障轻微或信号中混有较大干扰噪声时，载有故障信息的波 形持征就会被掩没。为了提高信号的质量，往往要对信号进行预处理，
随机信号分析基础
∫
∞
−∞
2 [ x − mx ]2 p ( x)dx = E[ X 2 (t )] − mx
3.自相关函数与自协方差函数 自相关函数与自协方差函数
（1）自相关函数用于表征一个随机过程本身，根据在t1,t2两个不同时刻 瞬时之间的关联程度，把自相关函数定义为
Rxx (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] =
∫ ∫
当
∞
∞
−∞ −∞
x1 x2 p2 ( x1 , x2 )dx1dx2
有
t1 = t 2 = t
∞
x1 = x2 = x
则
Rxx (t ) = E[ X (t ) X (t )] =
∫ ∫
∞
−∞ −∞
x 2 p1 ( x)dx
说明X（t）的均方值是自相关函数在 t1 时的特例。
= t2
对于平稳随机信号，由于二维概率密度函数只与时间间隔 τ (τ = t 2 − t1 )有关 其自相关函数为：
或
2 x
(t )
2 σ x2 (t ) = C xx (t , t ) = Rxx (t , t ) − mx (t ) = 2 E[ X 2 (t )] − mx (t )
由以上两式可知，如果已知数学期望与自相关函数，就可以求得方 差、自协方差和均方值等，因此数学期望和自相关函数是随机信号 中两个最基本最重要的数字特征。
其中 p2 ( x, y )为两个随机信号 X（t） (t )的二维 ,Y 联合概率密度函数
相应的互协方差函数的定义为
C R
xy xy
( t 1 , t 2 ) = E {[ X ( t 1 ) − m x ( t 1 )][ Y ( t 2 ) − m ( t1 , t 2 ) − m x ( t1 ) m
使用Matlab技术进行随机信号分析的基本步骤
使用Matlab技术进行随机信号分析的基本步骤随机信号分析是信号与系统领域中的一个重要研究课题，它主要涉及到信号的时间特性、频率特性、概率特性等方面的分析。
而使用Matlab技术进行随机信号分析，则是一种十分高效且常见的方法。
在本文中，我们将向您介绍使用Matlab 技术进行随机信号分析的基本步骤。
第一步：信号生成随机信号的分析首先需要产生实验信号。
Matlab提供了丰富的信号生成函数，例如rand、randn等，可以生成均匀分布的随机信号、高斯分布的随机信号等。
根据所需要分析的信号类型和特性，我们可以选择适合的函数进行信号生成。
第二步：采样和量化分析随机信号之前，我们需要对其进行采样和量化。
采样是将连续信号转化为离散信号的过程，而量化则是将连续信号的振幅值转化为离散信号的过程。
Matlab 提供了相应的函数，例如downsample和quantize，可以实现信号的采样和量化操作。
第三步：时域分析时域分析是对信号在时间域上的特性进行分析。
常用的时域分析方法包括信号的均值、方差、自相关函数、互相关函数等。
在Matlab中，我们可以使用mean、var、xcorr等函数，对随机信号的时域特性进行计算和分析。
第四步：频域分析频域分析是对信号在频率域上的特性进行分析。
通过对随机信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱特性。
Matlab中提供了fft函数，可以用于实现傅里叶变换。
通过对傅里叶变换结果进行幅度谱和相位谱的计算，我们可以更全面地了解信号在频率域上的特性。
第五步：概率分布分析概率分布分析是对信号的概率特性进行分析。
在随机信号分析中，常见的概率分布包括均匀分布、高斯分布、泊松分布等。
Matlab中提供了相应的概率分布函数，我们可以使用这些函数计算信号的概率密度函数、累积分布函数等。
第六步：建立模型和拟合通过对信号进行分析，我们可以建立信号的数学模型，并利用拟合技术将实际信号与模型进行比较。
Matlab中提供了polyfit、lsqcurvefit等函数，可以用于信号的模型建立和拟合。
信号分析基础(时域波形分析、相关分析、随机信号) [自动保存的]
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Ra(t)呈周期性
1 1 f 6Hz T 0.5/ 3
浙江工业大学 4.互相关函数
对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关 函数定义为 T
Rxy ( ) lim x(t ) y(t )dt
T 0
(3-15)
互相关函数Rxy(τ)——描述一个系统中的一处测点上所得 的数据x(t)与同一系统的另外一测点数据y(t)互相比较得出它 们之间的关系。也就是说，Rxy(τ)是表示两个随机信号x(t)、 y(t)相关性的统计量。
x ( )
2 Rx ( ) x 2 x
(3-5)
2 2 Rx ( ) x ( ) x x
(3-6)
xy ( )
Rx, y ( ) x y
x y
(3-3)
浙江工业大学
(1).自相关函数的性质 1） Rx(τ)的值限制范围为
2 2 2 2 x x Rx ( ) x x
R
概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某 一区间的概率。
信号的幅值域分析
实验图谱
浙江工业大学
浙江工业大学
相关分析及应用
1.相关的概念
确定性信号：两个变量 t、 y之间用函数关系来描述 y=10sin(2π ƒ t+υ 0) 人的身高和体重的关系
相关：指两变量之间的线性关系
(a)
(b)
互相关函数rxy的工程应用确定信号通过一给定系统所需要的时间一个信号xt经过测试系统后输出yt的时间这个时间就是由rxy的互相关图中峰值的位置来确定利用互相关分析确定信号通过系统的时间互相关函数的性质浙江工业大学2消除噪声影响提取有用信息利用互相关分析仪消除噪声的工作原理图a正弦波加随机噪声信号b正弦波加随机噪声信号的自相关函数测试对象互相关分析仪输出响应噪声浙江工业大学3对复杂信号进行频谱分析利用互相关分析仪分析信号频谱的工作原理图t的互相关函数互相关分析仪正弦信号发生器已知的正弦信号待分析的复杂信号含有与已知正弦信号同频的成分时有输出不同频时输出为零频率和幅值输出321320浙江工业大学4地下输油管道漏损位置的探测s1s2浙江工业大学传输通路分析巴塞伐尔paseval定理在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量32434功率谱分析及应用沿频率轴的能量分布密度浙江工业大学2
信号的时域分析
信号的相关性分析
总结词
相关性分析用于研究信号之间的相似性和关联性，有助于发现信号之间的内在联系和规 律。
详细描述
相关性分析是一种研究信号之间相似性和关联性的方法，通过计算两个信号之间的相似 度或相关性系数，可以发现它们之间的内在联系和规律。例如，在通信系统中，相关性
分析可以用于解调信号，提取出有用的信息。
信号的应用
01
02
03
04
通信系统
在通信系统中，信号用于传输 语音、图像、数据等信息，如 无线电波、光纤等。
控制系统
在控制系统中，信号用于传递 指令和反馈信息，如传感器、 执行器等。
测量系统
在测量系统中，信号用于表示 被测量物理量，如电压、电流 等。
生物医学工程
在生物医学工程中，信号用于 监测生理参数和诊断疾病，如 心电图、脑电图等。
80%
信号的特性
信号具有幅度、频率和相位等基 本特性，这些特性决定了信号所 携带的信息内容。
信号的分类
周期信号与非周期信号
根据信号是否具有重复性，可 以分为周期信号和非周期信号 。
连续信号与离散信号
根据信号取值方式的不同，可 以分为连续信号和离散信号。
确定信号与随机信号
根据信号是否具有确定性，可 以分为确定信号和随机信号。
周期信号
具有固定周期的信号，如正弦波和余 弦波。
03
信号的时域变换
信号的时域积分
总结词
描述信号在时间上的累积效果。
详细描述
时域积分是计算信号在某一时间点之前所有值的总和，用于描述信号在时间上的累积效果。在信号处理中，时域 积分常用于分析信号的幅度随时间的变化情况。
信号的时域微分
总结词
时域分析方法总结
时域分析方法总结引言时域分析是信号处理领域中常用的一种方法，它的核心思想是对信号在时间上进行观察和分析，从而获取有关信号的时序特征和动态行为。
本文将对时域分析的基本概念和常用方法进行总结和介绍。
时域分析的基本概念时域分析主要依赖于时域信号，即信号在时间轴上的变化。
时域信号是连续的，可以通过采样来离散表示。
常见的时域信号包括周期信号、非周期信号以及随机信号等。
时域分析的目的是通过观察和分析信号在时间上的变化，揭示信号的特征和规律。
常用的时域分析方法1. 时域波形分析时域波形分析是最直观和基本的时域分析方法。
它通过观察信号的波形，分析信号的振幅、频率、周期和相位等特征。
常用的时域波形分析方法包括均方根(RMS) 分析、极值分析和傅里叶级数分析等。
这些方法适用于周期信号和非周期信号的分析。
2. 自相关函数分析自相关函数是用于描述信号与其自身之间的相关性的函数。
自相关函数分析能够揭示信号中的周期性成分和重复模式。
通过计算信号与其延迟后的版本之间的相关性，可以获得自相关函数。
自相关函数分析常用于随机信号的分析和模式识别任务。
3. 相位谱分析相位谱分析是用于分析信号的频率和相位关系的方法。
它通过将信号转换为频域表示，获得信号的频谱信息。
相位谱分析基于信号的频域特性，可以帮助人们理解信号的相位信息、频率成分以及相位偏移等。
常用的相位谱分析方法包括快速傅里叶变换 (FFT) 和功率谱密度分析。
4. 瞬态响应分析瞬态响应分析是用于分析信号对于外部激励的瞬时响应情况。
它通过分析信号在时域上的变化来了解系统的动态行为。
瞬态响应分析常用于分析系统的响应时间、准确性和稳定性等性能指标。
常用的瞬态响应分析方法包括阶跃响应分析和脉冲响应分析。
应用场景时域分析方法在多个领域中都有广泛的应用，包括信号处理、通信、控制系统、生物医学工程等。
时域分析方法可以帮助人们深入了解信号的特性和行为，并根据分析结果进行系统设计、故障诊断、模式识别等工作。
随机信号的描述课件
模拟稀有事件在时间上的发生， 例如交通事故或电子邮件到达。
马尔科夫链
模拟状态转移的过程，例如天气 变化或股票价格波动。
模拟生成的随机信号的应用场景
通信系统仿真
模拟无线信道中的噪声和干扰， 以评估通信系统的性能。
金融建模
模拟股票价格波动或外汇汇率变化， 以进行风险评估和投资决策。
物理模拟
模拟物理现象，如粒子运动或流体 动力学，以进行实验验证和预测。
02
随机信号的统计描述
概率密度函数（PDF）
定义
概率密度函数（PDF）描述了随机信号在各个时刻出 现的概率。
计算方法
通过测量或仿真得到随机信号在不同时刻的取值， 然后计算每个取值的概率。
应用
用于分析随机信号的统计特性，如概率分布、概率 密度等。
概率分布函数（CDF）
01
02
03
定义
概率分布函数（CDF）描 述了随机信号在各个时刻 小于或等于某个值的概率。
随机信号的描述课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 随机信号的统计描述 • 随机信号的时频域描述 • 随机信号的模拟生成 • 随机信号处理技术 • 随机信号的应用案例
01
引言
随机信号的定义与特点
01
02
03
04
定义
随机信号是一种无法预测其确 切值的信号，其取值在每个时 间点都是随机的。
不确定性
时频变换方法（如短时傅里叶变换、小波变换等）
定义
用于分析信号在不同时间 和频率上的特性的方法， 能够同时揭示信号在时域 和频域的特性。
特性
能够捕捉信号的瞬态特性 和非平稳性，提供更全面 的信号分析手段。
第二章：信号的时域分析方法
第二章：信号的时域分析方法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 信号的分类 信号的获取 信号的时域参数分析 信号的相关分析 时域平均 信号的预处理
Rx (t1，t1 +τ ) = Rx (τ )
1 µ x (t 1 ) = lim N →∞ N
Rx (t1， t1 +τ) = lim
1 xk (t1 )xk (t1 +τ) ∑ N→ ∞N k−1
k =1 N
∑ x (t )
k 1
N
信号的获取过程
信号的获得及处理过程如下图所示
信号预处理 A/D
φ
k
=
1 π
t t x(t ) = sin + sin 3 5
周期为30π
一.确定性信号
2.准周期信号 当若干个周期信号叠加时，如果它们的周期的最 小公倍数不存在（T→∞），则和信号不再为周 期信号，但它们的频率描述还具有周期信号的特 点，称为准周期信号。例：下式由两个谐波成分 组成，式中的 T1与T2的最小公倍数→∞，所以 为准周期信号。
5 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
三.采样长度与频率分辨率
分析频 率范围
fc （Hz）
2.3信号的时域参数分析
数 2048 △T（s） △f(Hz) 80 40 16 8 4 1.6 0.8 0.4 0.16 0.08 0.04 0.016 0.008 0.0125 0.025 0.0625 0.125 0.25 0.625 1.25 2.5 6.25 12.5 25 62.5 125
随机信号通过线性系统的分析.
1．系统输出的功率谱密度
对于输入为平稳随机信号X(t)的情况，其
功率谱密度为
S x ()
R
xx
(
)e
j
d
（6-79）
输出Y(t)也应是平稳随机信号，它的功率谱密
度应为
S y ()
R
yy
(
)e
j
d
将式（6－74）的 Ryy ( ) 代入上式，有
（6-80）
S y ()
[
h( 1 )h( 2 )Rxx (
h(
2
)
X
(t
2
)d
2
h( 1 )h( 2 )E X (t 1 ) X (t 2 ) d 1d 2
Rxx ( 2 1 )h( 1 )h( 2 )d 1d 2
（6-73）
可见系统响应的均方值与输入随机信号的自相 关函数、系统的结构及参数有关，为一常数。
1. 输出Y (t) 的自相关函数 根据自相关函数的定义，有
（6-81）
上式表明，系统输出的自功率谱等于输入功率 谱与系统幅频特性函数平方的乘积。所以可以 由系统的幅频特性 H() 与输入功率谱Sx () 来 确定输出功率谱 S y () 。可见，系统的功率传 输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的 相频特性无关。
2．系统输入与输出之间的互功率谱密度
将式（6－77）两边取傅立叶变换，并利用傅立 叶变换的时域卷积性质，得到
（6-76）
对于平稳随信号，则有 Rxy ( ) h( ) Rxx ( ) 及 Ryx ( ) h( ) Rxx ( )
（二）系统响应的频域分析
如上节所述，随机信号是功率信号，各样 本函数不存在傅立叶变换，所以不能直接利用 傅立叶变换分析的方法。但是当系统的输入、 输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦 公式，求取功率谱密度函数。
（完整版）随机信号重要知识点整理
（完整版）随机信号重要知识点整理随机信号重要知识点整理1．能量信号和功率信号通常称2)(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。
信号的总能量是对2)(t x 在整个时间范围积分，即∞∞-=dt t x E x 2)( （1.6）同理，离散信号的总能量定义为∑∞-∞==n x n x E 2)( （1.7）如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量⽆限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即∞<=?-∞→222)(1lim T T dt t x TP T x （1.8）或（对于离散信号）∞<+=∑-=∞→NNn T x n x N P 2)(121lim （1.9）则称)(t x 或()x n 为功率信号。
然⽽，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。
⽽在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。
仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。
2. 窄带信号与宽带信号时间信号可以⽤不同频率的正弦波展开（或傅⾥叶级数展开），即信号的傅⾥叶积分反变换：∞∞d e X t x t j )()(21π（1.10）其中)(ΩX 是)(t x 的傅⾥叶变换，⼜称为频谱，它等于∞∞-Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11）可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表⽰。
如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。
与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
3. 信号处理的理论基础数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅⽴叶级数；3）z －变换。
时域分析、频域分析。
2. 随机信号分析_随机信号的时域分析
2· 4、随机过程的数字特征 1·
一、数学期望
如果将过程X(t)中的 t 看成是固定的，则 X(t)就是一个随机变量， 它随机的取值x，其在 t 时刻取x值的概率密度为 f X ( x, t ) 。 据期望的定义： E[ X (t )]
x f X ( x, t )d mX (t )
X (t ) X (t1 ) 0 t1 X (t 2 ) t2 X (ti ) ti X (t n ) tn t
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构 成n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当t0,n ∞时的 n维随 机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研 究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。 一、随机过程的一维分布
整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。
所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：
FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 ; X (t 2 ) x2 }......... .........1 , t 2 T t
随机过程X(t) 二维概率密度：
E[ X (t )] x 2 f X ( x, t )dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。 同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] E{[ X (t ) mX (t )] } [ x mX (t )]2 f X ( x, t )dx X 2 (t )
可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)， t∈T，∈S。 对于某个时刻t=ti， X(ti，) －通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻 的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果∈S而言， 它随机地取{X(ti ，1) ， X(ti ，k)，… ， X(ti，n)} 中的任一个 “值” 所以随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态” －X(ti，) 是定义 在S上的一个“随机变量”Xi。 而随机过程X(t，)在t=tj时刻的 “状态” － X(tj，)是定义在S上的另一个“随机变量”Xj 。随着t 的变化，得到一个个不同的“状态” ——X(t1，) ,…,X(ti，), …, X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2, …, Xm。所以又可以将随机 过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t) ”。对于随机过 程X(t)而言： 固定， t变化。 ———一个确定的时间函数。 t 固定， 变化。 ———一个随机变量（状态）。 t固定， 固定。 ———一个确定的值。… ， X(t， n)}， t变化， 变化。 ———随机过程（一族时间函数的总体， 或随时间变化的随机变量） 一般随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t) 一般样本函数写成: x(t ), y(t ), z (t )
信号及信号分析
模拟 信号
数字 信号
（3） 按信号的能量特征分类
信号的功率：
P(t) x2 (t)
信号的能量：
E(t) x2 (t)dt
a) 能量信号 在所分析的区间（-∞，∞）内，能量为有
限值的信号称为能量信号，满足条件：
E(t) x2 (t)dt
一般持续时间有限的瞬态信号都是能量信号。
x(t) sin t sin 2t
2
1
0
-1
-2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
★ 瞬态非周期信号: 在有限时间段内存在，或随 着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变 非周期信号或瞬变信号或者时限信号。
例如：指数衰减振动信号
x(t) 5e4t sin(10 t )
6
5
4
3
2
0.2
-0.5
-1 0
1.5 1
0.5 0
-0.5 -1
-1.5 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
周期信号又可分为简谐周期信号和复杂周期信号。 ★简谐周期信号: 频率单一的正弦或余弦信号。
x(t) 2cos(100t / 3）内，能量是无限的，
此时研究信号的平均功率更为合适。
x2 (t)dt
1 t2 x2 (t)dt
t2 t1 t1
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
例题：试判断下列各信号f(t)是否为周期信号， 若是，求出其周期。
随机信号及时域分析
2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2. 随机信号的分类 • 随机信号的种类很多,不同的标准,便得到不同的分类方法,下面列出随
机信号按照不同特性的几种分类方法。 • (1)按随机信号X (t)的时间和状态[称X (t1)为X (t)在t=t1 时的状态]是连
续还是离散来分类,可分成以下4类。 • ①连续型随机信号:X (t)对于任意的t1∈T ,X (t1)都是连续型随机变量,
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
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• ④离散随机序列(随机数字信号):时间和状态都离散的随机信号,为了 适应数字化的需要,对连续型随机信号进行等间隔采样,并将采样值量 化、分层,即得到此种离散随机序列。
• (2)按照随机信号的样本函数的形式进行分类。 • ①不确定的随机信号:若随机信号的任意样本函数的未来值,不能由过
去的观测值准确地预测,则称此信号为不确定的随机信号。例如,接收 机的噪声电压信号就是一个不确定的随机信号。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可度函数。
第2章 随机信号的时域分析——fxm
mX (t ) E X (t ) xf X ( x; t )dx
图 2.1.4.1 随机信号的数学期望
【说明】 1
o
t T ，X(t)代表一随机变量，它的随机取值 x(t)(t 固定)，记为 X。
2o 由于 mX(t)是随机过程 X(t)的所有样本函数在 t 时刻所取的样本 x1 , x2 , , xn
第 2 章 随机信号的时域分析
第 2 章 随机信号的时域分析（6 课时）
在实际通信和信息系统中，将承载信息的、 随时间、 空间或其他几个参量变化的物理量 （如 声、光、电）抽象为信号，用确定时间函数来表示—确定信号。信号与系统等课程分析的就是 确定信号。而实际通信信号显然是不确定的，具有随机性，是随机信号。但正如前章所述，随 机并不意味着无规律，随机信号与随机变量一样，其特性服从某种统计规律，这就是本课程的 研究目的。 研究思路：统计规律用统计方法处理。因此完全可以借鉴随机变量的处理方法，但需要 考虑随机信号的时间函数特性！ 2.1 随机信号的基本概念与统计特性 2.1.1 随机信号的基本概念 1、引例 噪声电压——当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形 x1 (t ) ，也可能得到 波形 x2 (t ) ， x3 (t ) 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的 波形中的一个。而这些所有可能的波形集合 x1 (t ) ， x2 (t ) ， x3 (t ) ，…， xm (t ) ，…，就构成了 随机过程 X(t)。如图 2.1.1 所示。
图 2.1.1
噪声电压的起伏波形
说明：①样本函数：每次试验的结果： x1 (t ) ， x2 (t ) ， x3 (t ) ，…， xm (t ) ，都是时间 t
信号与系统 随机信号的概念
随机过程的基本概念随着科学技术的进步，人们越来越发现，在自然界中所遇到的大量信号均属于随机信号。
如：12243LL （）－自由电子随机游动，在电阻上产生的“热噪声”。
（）－某交叉路口每天小时测量的噪音的分贝记录。
（）－雷达自动跟踪到的某飞行器的“运动轨迹”。
(4)－雷达接收到的目标信号的“幅度与相位”。
（5）－证卷交易所中，某股票每周涨落的记录。
（6）－反映人的生理、心理活动的“脑电波”。
(7)－反映地球物理特性的“地震信号”。
(8)－人说话时发出的“语音信号”。
等等。
随机信号是通信、信号与信息处理、自动控制等学科领域必须研究的信号形式。
比如我们专业的后修课程中需要对随机信号进行处理的有：通信原理、雷达原理、数字信号处理、信息论、图像信号处理、语音信号处理、线性控制系统等等。
从20世纪60年代起，已有不少专家学者相继研究应用概率论和数理统计方法来分析处理随机信号问题。
例如著名的信息论专家Shannon 提出了信道容量公式和信息论编码定理；Middleton 和Lee 研究了最佳接收理论；前苏联学者提出了潜在抗干扰理论；Hancock 则建立了比较完整的统计通信原理。
他们的工作为随机信号处理技术奠定了坚实的基础。
与此同时，在雷达等许多专业也深入研究随机信号处理问题，相继提出了随机信号的检测理论和估计理论、最佳滤波理论等，受到了电子信息技术界的极大重视。
随着数字通信的崛起，这些理论和方法很快被通信技术界所接受，并将它们拓展到最佳解调领域，形成了随机信号处理学科的完整内容。
尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同，是随机的。
但是就其单次实验结果ζk 而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数表示的。
因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体来描述。
以上Ω是所有可能结果ζ的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会”在这n 个波形中“出现一个”。
时域方法的特点
时域方法的特点时域方法是一种用于信号分析和处理的方法，它的特点是能够直接观察和描述信号在时间上的变化特征。
在时域方法中，信号被表示为随时间变化的函数，通过对信号的时域特性进行分析和处理，可以从时间的角度揭示信号的各种信息。
时域方法的特点主要包括以下几个方面：1. 直观性：时域方法直接描述了信号在时间上的变化情况，能够直观地反映信号的时序关系。
通过绘制信号的时域波形图，可以直观地观察到信号的振幅、频率、周期等变化特征。
2. 实时性：时域方法对信号的处理是实时进行的，可以实时获取信号的时域信息。
这对于需要实时处理的信号应用非常重要，如音频信号的实时采集和处理。
3. 简单性：时域方法的基本原理和操作相对简单，不需要复杂的数学知识和计算技巧。
通过观察信号的时域波形，可以直接获取信号的一些基本特征，如幅值、频率、周期等。
4. 适用范围广：时域方法适用于各种类型的信号，包括连续信号和离散信号。
无论是周期信号、非周期信号还是随机信号，都可以通过时域方法进行分析和处理。
5. 可解释性强：时域方法通过观察信号的时域波形，可以直接理解信号的变化规律和特点。
在信号处理领域，时域方法是最直接、最容易理解的方法之一。
时域方法在信号处理中具有广泛的应用。
其中，时域滤波是时域方法的重要应用之一。
时域滤波通过对信号的时域波形进行加权处理，可以实现信号的去噪、增强和特征提取等操作。
例如，在音频处理中，可以使用时域滤波器对噪声进行抑制，提高音频信号的质量；在图像处理中，可以使用时域滤波器对图像进行去噪和增强，提高图像的清晰度和细节。
时域方法还可用于信号的时域特征提取。
通过对信号的时域波形进行分析，可以提取出信号的一些重要特征，如峰值、谷值、波峰间距、周期等。
这些特征可以用于信号的识别、分类和检测等应用。
例如，在语音识别中，可以使用时域方法提取语音信号的基频和共振峰等特征，用于识别不同的语音信号。
时域方法还可以用于信号的时域调制和解调。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2. 随机信号的分类 • 随机信号的种类很多,不同的标准,便得到不同的分类方法,下面列出随
机信号按照不同特性的几种分类方法。 • (1)按随机信号X (t)的时间和状态[称X (t1)为X (t)在t=t1 时的状态]是连
续还是离散来分类,可分成以下4类。 • ①连续型随机信号:X (t)对于任意的t1∈T ,X (t1)都是连续型随机变量,
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
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信号和非白色信号。
• 2.1.2 随机信号的分布与概率密度函数
• 虽然随机信号的变化信号是不确定的,但在这种不确定的变化信号中 仍包含有规律性的因素,这种规律性通过统计大量的样本后呈现出来, 也就是说随机信号存在某些统计规律。
• 根据随机信号的定义2,随机信号实际上是一组随时间变化的随机变量。 如果t1,t2,…,tn{ti∈T}是随机信号在时间区间T 上任取的n 个时刻,对于 确定的ti,X (ti)是一维随机变量。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 定义1:设随机试验的样本空间S= ξ ,如果对于空间的每个样本ξ,总有一 个时间函数X (t,ξ)与之对应(t∈T ),对于空间的所有样本ξ∈S,可有一 族时间函数X (t,ξ)与其对应,则这一族时间函数称为随机信号。
• 从定义1可以看出,随机信号是一组样本函数的集合,这是随机变量定义 的推广,在随机变量的定义中,是将样本空间的元素映射成实轴上的一 个点,而随机信号则是将样本空间的元素映射成一个随时间变化的函 数。
们反映不出整个随机信号不同时间的内在联系。事实上,对于不同的 随机信号,不同时刻之间的相关关系是有明显差别的。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 如图2.5所示的两个随机信号,它们具有近似的均值和方差,但X (t)的样 本函数变化趋缓、平稳、规律性强,即X (t)在任意两个时刻的函数值 之间有较明显的相关性。而Y(t)的样本函数变化激烈,波动性大,Y (t)在 任意两个时刻的函数值之间的关系不明显,并且两个时刻间隔越大时, 联系越弱。因此,必须引入描述随机信号在不同时刻之间相关程度的 数字特征。
• 为随机信号 {X t ,t∈T}的n 维概率密度函数。 • 显然,n 维概率分布描述了随机信号在任意n 个时刻的状态之间的联系,
比其低维概率分布包含更多的信息,对信号描述更加细致。如果维数n 越大,则n 维分布函数可以越趋完善地描述随机信号的统计特性。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 3.n 维概率分布与概率密度函数 • 设 {X (t ),t∈T}为随机信号,对任意固定的t1,t2,…,tn∈T 及实数
x1,x2,…,xn ∈R,称 • 为随机信号 {X (t) ,t∈T}的n 维分布函
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2.1 随机信号的基本概念及特征
也就是时间和状态都是连续的情况,信号的状态是一个连续型的随机 变量,各样本函数也是时间t 的一个连续函数。 • ②离散型随机信号:X (t)对于任意的t1∈T ,X (t1)都是离散型随机变量, 也就是时间连续而状态离散的随机信号。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• ③连续随机序列:X (t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量,对应 的是时间离散而状态连续的情况。
• 1. 随机信号的基本概念 • 随机信号是与确定性信号相对应的。关于确定性信号的理论在信号与
系统课程中进行了充分研究,引入了一些概念,如傅里叶变换、激励、 响应,而在随机信号的分析中必须引入一些新的概念,如遍历性、时间 平均、功率谱和时间相关等。 • 如果每次试验(观测)所得到的观测信号都相同,都是一个关于时间t 的 确定函数,具有确定的变化规律,那么这样的信号就是确定性信号。反 之,如果每次试验(观测)得到的观测信号都不同,是不同的关于时间t 的 函数,没有确定的变化规律,这样的信号称为随机信号。
• 同多维随机变量一样,随机信号X (t)的n 维概率分布具有下列主要性质:
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2.1.3 随机信号的数字特征
• 虽然随机信号的多维分布律能够比较全面地描述整个信号的统计特征, 但是,在实际应用中,要确定随机信号的概率分布族,常常比较困难,甚至 是不可能的。此外,在许多实际应用中,往往研究几个常用的统计平均 量,即数字特征就能满足要求。这样,对随机信号统计特性的研究,常常 仅限于讨论几个重要的数字特征,比如数学期望、方差、相关函数等。 它们既能描述随机信号的重要统计特征,又便于实际的测量和运算。
• mX (t)是一个随机信号各个样本的平均函数,随机信号就在它的附近起 伏变化。直观上,mX (t)表示随机信号的波动中心,如图2.4所示,当随机 信号X (t)表征的是接收机输出端的噪声电压时,则mX (t)表示噪声电压 的统计平均值。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2. 均方值和方差 • 均方值 • 方差
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2.1 的任意样本函数的未来值可以由过去 的观测值准确地预测,则称此信号为确定的随机信号。例如,常见的正 弦随机信号X t =Acos ωt+φ ,式中振幅A 、相位φ 或角频率ω 是(或 全部是)随机变量。对于此信号,若过去任一时刻的样本函数值已知,则 可根据正弦规律预测样本函数的未来值。
第2章 随机信号及时域分析
• 2.1 随机信号的基本概念及特征 • 2.2 随机信号的平稳性 • 2.3 随机信号的各态历经性 • 2.4 联合平稳随机信号 • 2.5 复随机信号及其数字特征 • 2.6 离散随机序列 • 2.7 正态随机信号
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2.1.1 随机信号的定义和分类
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 1. 数学期望值 • 对应于固定时刻t 随机信号为一个随机变量,因此可以按通常定义随机
变量一样的方法定义随机信号的数学期望值,只不过,这个数学期望值 在一般情况下依赖于t,且是t 的确定函数,称此函数为随机信号的数学 期望值,用mX(t)或E X t 表示,即
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 如图2.1所示,用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声点波形,由于 接收机内部元件如电阻、晶体管等会发热产生热噪声,经过放大后,在 输出端会有电压输出,假定在第一次观测中示波器观测记录到一条波 形为x1(t),而在第二次观测中记录到的波形是x2(t),第三次观测中记录 到的波形是x3(t),…,每次观测记录到的波形都是不相同的,而在某次观 测中究竟会记录到一条什么样的波形,事先不能预知,由所有可能的结 果x1(t),x2(t),x3(t)…构成了X (t)。
随机信号在各个孤立时刻的统计规律,但不能反映随机信号在各个不 同时刻状态之间的联系。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 2. 二维概率分布和概率密度函数 • 一维分布律只表征随机信号在一个固定时刻t 上的统计特性,若要更全
面地了解随机信号的统计特性,还需研究随机信号的二维分布律乃至 多维分布律。 • 在任意两个时刻t1、t2,随机信号X (t)对应二维随机变量X (t1)、X (t2)。 类似二维随机变量的定义,随机信号的二维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 方差是t 的确定函数,它描述了随机信号诸样本函数围绕数学期望的分 散程度, 如图2.4 所示。
• 方差的平方根称为随机信号的标准差,即 • 若X (t)表示噪声电压,那么均方值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功
率的统计平均值,而方差则表示瞬时交流功率的统计平均值。 • 3. 自相关函数 • 数学期望和方差是描述随机信号在各个孤立时刻的重要数字特征。它
• 通信信号中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t 的随机信 号。这种信号的基本特征是,它是时间t 的函数,但在任一时刻观察到 的值却是不确定的,是一个随机变量。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 或者,它可看成是一个由全部可能实现构成的总体,每个时间都是一个 确定的时间函数,而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。下 面给出随机信号的定义。
• (3)按照随机信号的概率结构和特性来分类。这是一种更为本质的分 类方法。
• ①按分布函数或概率密度特性可分为平稳随机信号、马尔可夫信号、 正态随机信号、独立增量信号、独立随机信号等。
• ②按照遍历性可分为遍历信号和非遍历信号。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• ③按照平稳性可分为平稳信号和非平稳信号。 • ④按照随机信号的功率谱密度特性可分为宽带信号和窄带信号,白色
• 定义2:若对于每个任意给定的时间ti(i=1,2,…),X (ξ,ti)都是随机变量,则 称X (ξ,t)为随机信号。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 从定义2可以看出随机信号是依赖于时间参量变化的随机变量的总体 或集合。