2019年四川省绵阳中学高考数学选择题专项训练(一模)

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2019届四川绵阳市高三一诊考试数学(理)试卷【含答案及解析】

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件5. 设命题（ _______ ），命题，则是成立的2019 届四川绵阳市高三一诊考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名 __________ 班级 ____________ 分数 _________一、选择题1. 已知集合，，则（ _______ ）A ． ________________B ． ________________C ． ________________D ．，则为（ ____________3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ____________ ）A ． 8 ________B ．9 ______________C ．10 _________D ． 114. 若实数满足，则的最大值为（ ______________________________________ ）A ． _____________B ． ___________C ． _____________D ．2. 已知命题 A ． C ．B ． _________________________________D ．C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 2016 年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动. 一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券 . 根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券：若商品标价超过 100 元，则付款时减免标价的 10%；优惠券：若商品标价超过200 元，则付款时减免 30 元；优惠券：若商品标价超过 200 元，则付款时减免超过 200 元部分的 20%. 若顾客想使用优惠券，并希望比使用优惠券或减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（）A ．300元B ．400元C ．500 元D ．600 元7. 要得到函数的图象，可将的图象向左平移 ( _________ )A ．个单位 ____ B ．个单位 ____ ____ C ．个单位D ．个单位8. 已知，，则（ _______________________________________________ ） A ． ____________________________________________ B ． C ． _____________________________ D ．9. 已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为，则（ _______ ）A ．_______B ． ________C ．_______________ D ．10. 在中，，，，则的角平分线的长为（ ______ _ )A ．______ B ． _______________C ．_________ D ．11. 如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，, 于. 若，则的最小值是（D．12. 若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围是（）A ． ________________________B ．___________________C．_______________________ D．二、填空题13. 若向量，，满足条件与垂直，则 .14. 在公差不为0 的等差数列中，，且为和的等比中项，则.15. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是___________________ .16. 是定义在上的偶函数，且时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是三、解答题的图象（部分）如图所示1）求函数的解析式；____________________若，且，求.18. 设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围19. 在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心.（1 ）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.20. 已知函数.（1）判断在区间上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：，）（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.21. 已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围 .22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 .（1 ）求曲线的直角坐标方程；2 ）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值 .23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 . （1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数参考答案及解析第 1 题【答案】第 2 题【答案】第3 题【答案】的取值范围第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 13 题【答案】第14 题【答案】第15 题【答案】第16 题【答案】第17 题【答案】第18 题【答案】4, 5时，⅛,1-⅛≡⅛≠>0 , .∖b 1s>2>∙∙∙ •氐右5・右，・•・％的最大值罡4・右•••实数k 的取值范围是哈÷∞)<1)d”"F <2) ⅛ +«> 64【解析】试题分析：⑴由和项求通项，娶注意分类讨论：当时，q Y ；当时，q=Sj 解得厲・1 ；当沦2时，化简得乙・加1 ；最后根擄等比囁列定义判断数列S ｝为等比数列，并求岀等比数列通项⑵先化简不等式，并变量分鳶得& 2??-9 2“ 转化为对应函数最值冋题，即& 的最大值，而对数列最值问題，一般先利用相邻两项关系确定 ,而不等式恒成立问题一般 2R 其增减性：令,则乩］一4・巧乎 A* 性得最值取法：⅛的最大值是S-右- 2Λ力-7 ” ° '护，所以数列先増后减，最后根据増减试題解析：⑴令Xh S 1=2β1-l = α1，解得^1≡1 .由丘■込-L ,有 h∙]∙2%]-l 两式相减得a n ≈2a n -2⅛.1，化简得6 =込* (於2〉；Λ数列◎｝是以首项为1,公比为2的等比数列,•••数列｛耳｝的通项公式4 = 2心. ⑵由⅛(⅝ ÷1)刁2“-9 ,整理得k 兴 2??-9 2n- 令‘亦9 2〃、则hZ≡l --■-y÷Γ3, 8,第19 题【答案】【解析】试題分析；⑴ 根据三角形面积公式S iWC = UCSmJ ,只需由COSzi =半求SZ ,这只需根据同角三角函数关系及三角形内角范圉可求，（2）相抿向量减法由而-鬲=；忑十丄疋得 3 4AO^I AB^-AC ,再根据向量投∖AC AO^-AC ,因此由 3 4 22 \_ S 试题解析；⑴由∞s ^-∣得Sin/■扌一 55 I ∙ I • 1 ■ • 1 I • ■ • 1 ■ • 1 I •⑵宙 DO∙ DA ∙-AB -AC ,可得 AOm-AB^-AC , 3 4 3 4 于是AO AO--AB AO^-AC AO ,又0为A ABC 的的外接圆圆心，则Ad CoS ∆OAC =IPCl ,②解得 J□≡2√10 .由正弦定理得朽"2”卜4帀，可解得讪 2√5T"Ad Ad^^AB Ad^丄疋帀得 Ad^- AB 3 46 I . R b b ，即2√io ,最后根据正弦定理即AOI •血 AO CoS ΔOAB ÷£ JCI- p<>∣cos ZalC , (T)将①代入②得到AO'・1 ABO JC ：飞xl44苛xl28 -24÷16≡40第20 题【答案】(1)育且只有1个零点(2) k<-【解析】试题分析：(1)判定函数雲点个数从两个方面，_是函對单调性，二是函数零点存在定理，先求函数 ⅛g⅞/Xr) = Xcosr ,确走函数在(2, 3)上是减函数，即函数在⑵3)上至多一个雾点.再研究区间端 ∙t⅛函叢勺值的符号：/(2) ■ 2SIn2 ÷cos 2■ sin 2÷COS2sin2■ -JΣsin(2∙γ)sin 2 >0 J /(3)-3gnι3÷cos3<0 ,由零点存在性走理；得函数在⑵3)上至少一个零点，综上可得函数在(2, 3)上有且仅有一个雾点(2)先将不等式娈量分离得：^r<-,再根据不等式有解问题转化为对 X应函数最值：/：<— 的最大值，然后利用导数求M∕∕(x)≡- 在"GG )上最大值才 X4 2 ⅛⅛g 解析：⑴/'(x)=≡smx 十XCoSH-SmT = TCOSX 、.∙ju(2∙ 3)时，Γ(x)-^cosx <0 ,.I 国数/0)在(2, 3)上是减函数.又,f(2) - 2sin2 -hcos 2 - sin 2 ÷cos 2+ bin 2 -√2 sin(2+-y) ÷ bin 2 >0 ,.∖ ∕0)≡ 3sin3 + cos3 <0 ,由零点存在性定理，J r O)在区间⑵3)上只有1个零点・ZS 十、SmX E Λ cosX-SinX ⅛Λ(>)≡-,则λ W ≡——F ——〉令 g(x) = KCOSX-SiIIX , ^,(x) =-XSinx <0 ，•■吃(x)在―)上单调递尿，•■- f(^)< g(~) = × (―-1)< 0 , gp^(-v) = XCOSΛ-SIIIKO ,∙.∙3W5m 誓J l nF3$吩专"X 逅杏 a 0.75 ；〜 l ∖τr Tr CoS 3 V CQS ——■ -Co$ —— 12 12(2)由题意等价于V Sin X 十COS X >心g,整理得Z 晋第21 题【答案】(1)心0时，/(A)的单WigEfBffi(O^∞) ； XO时，Z(X)的单调递増区间罡(O・FJ)5单调递减区间杲(匸二,÷°o) . (2) ・V 2a €【解析】试题分析：CD先求函数导数/X-V)■丄42E-迴N ,再讨论导函数霍点与符号变化规律X X:心0时，∕,(v)>0 J /(X)在(0.÷∞)上单调递増，"时，一个零点一任,分两个区间'单调递减区间是⑵先化简不等式：,先増后减，即増区间是9, FJ)-e)-lnτ-χ-÷l>O ,再变量分离轻化为求对应函数最值：TZ的最大值，利用导数€ — G求函数T ■巴M二最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接/Cv) =x i ÷1单调性及最值，先求导数F(X” w∕-l-2χ ,再研究导函数符号变化规律:当mWO时，导函数非正，所以丿心)在⑴÷∞)上单调遑减，注竜到Hl)-O , <h(D= 0,不满足条件•当QO时,讨论P(X)-^-1, }-2x大小关系，即确定导函数符号规律，注意到W)≡0X,P(Q金)皆为单调递増函数，所^Al),从而导函数符号为正，即满足条件QI ^∕7Y* ⅛∙ 1试题解析:(l)Γω = i÷2αr=-——,X X①GO时,rω>o, /(X)在(0, +8)上单调递增.②XO时，由∕,<λ-) >0可解得OVX<J_£ ,由/(Λ∙)< 0可解得Q fζ ,综上，必0时，∕α)的单调递増区间是(0，+B) JXO时，/(X)的单调递増区间是(0,乓)；单调递减区间是÷x) . ∙∙∙4分(2)7Wf(x)>/(x)rn(e r -¢)-InX-J2 ÷l>0 ,令Λ(Λ)≡∕w(e x-β)-lnx-x2 + 1 、则X(X)= ZMe r---2A-,令"⑴=0,即We-3 = 0 、可解得J ll=3 .第22 题【答案】第23 题【答案】(1) [--» +8) (2> -l<d<l【解析】试题分析：⑴ 根据绝对值走X,将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集⑵ 将方程转化为对应函数—X讣-II-W十1|,再根抿绝对值定义将其桔化为分段函魏兀十2, Xe-I“一卜TlT"1卜UMl最后结合分段函数图像确走实数口的取值范围・X-2> X >1»趣解析；⑴,.,α = l 时，/W = μ∙÷l∣-∣.v-l∣÷l ,・•.当XW-I时J ∕ω--ι,不可能非负.当-1<I<1 时，J rω- 2x÷l ,由/(刃 K可解⅛χ⅛-i J于1-1 Wa3 χ> IB寸，∕ω-3〉0恒成立..∙.不等式/⑴ 刁O的解集卜* ÷∞)⑵由方程/(χ)∙χ可变形为II-卜+1|・∖÷ 2∙ x< -L∙^∙Λ(x) = X +1X-Il-IX-r 1| = < -x∙ -l<r ≤bx-2∙ x>b作出图象如下•于是由题意可得-Ivxl •。

四川省绵阳南山中学2019届高三上学期一诊模拟考试文科数学含答案

y
��
)
y
y
y
C
O x
P
O
x
O
x
O
x
B
O
A
A.
B.
C.
D.
12.若函数��(��)＝2sin��＋cos��在[0, ��]上是增函数,当��取最大值时,sin �� 的值等于( ) A.
√5 5
B.
2√5 5
C.−
2√5 5
D. −
√5 5
B.{��|�� ≤ −1, 或�� ≥ 3}
C.{��| − 1 ≤ �� ≤ 3} D.{��| − 1 < �� < 3} 2.设命题��: ∀�� ≥ 0, �� ≥ sin��, 则��的否定是( ) A.∃��0 < 0, ��0 ≥ sin��0 B.∃��0 ≥ 0, ��0 < sin��0 C.∀�� < 0, �� < sin�� D.∃��0 < 0, ��0 < sin��0 2 (�� 3.设��, �� ∈ ��,则“ − ��)�� > 0”是“�� > ��”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设��＝log 2 3, ��＝21.2 , ��＝0.53.2 ,则( ) A.�� < �� < �� B.�� < �� < �� C.�� < �� < �� D.�� < �� < �� 5.等比数列{�� }的前��项和为�� ,若��3 ＝1, ��6 ＝9, 则��9 ＝ ( A.17 6.函数��(��)＝ { A.0 B.24 �� ＋4��＋3(�� ≤ 0)

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，1，，集合，则A. B. C. 1， D.【答案】B【解析】解：集合0，1，，集合，．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知向量，，若，则A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】解：；；．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．3.若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点是角的终边上一点，，，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题4.若a，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，当时，；当时，，．所以无论b取何值都有，故选：B．分2种情况去绝对值可知，所以无论b取何值都有．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.已知命题p：，使得；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢￢ D.【答案】D【解析】解：命题p：，使得，，，命题p为假命题，命题q：，，是真命题，为假命题，￢为假命题，￢￢为假命题，真命题，故选：D．先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．本题考查符合命题真假性的判断一般化为组成符合命题的基本命题真假性考查逻辑推理，运算求解能力．6.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由题意得：，解得；，，故选：C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，是一道基础题．7.若函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，则不等式，可得：，可得，，解得．不等式的解集是：．故选：B．利用分段函数，得到分段不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，设，则，由射影定理可得：，即：，可得：，解得：，或舍去，可得：，由函数图象可得：，解得：．故选：D．在中，设，则，由射影定理，勾股定理可得，解得x的值，可求函数的周期，利用周期公式即可计算得解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，故选：D．根据指数函数的单调性即可判断．本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题11.2018年9月24日，英国数学家阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于时，，可得，时，，可得，排除D；由，排除A；由，排除B，故选：C．由时，，由裂项相消求和和不等式的性质可得，排除D，再由前几项的和，即可排除A，B，得到结论．本题考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和排除法，考查化简运算能力，属于中档题．12.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，在R上递增，不等式即为，，即，．，，，，故选：C．构造函数，求出导数，判断在R上递增原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线：把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则，则有，又由，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得的解析式，进而可得，即可得，结合的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.若直线与函数的图象相切，则a的值为______．【答案】2【解析】解：，设切点是，故，，由题意得：，解得：，故答案为：2．求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a的方程组，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的导数以及对应思想，是一道常规题．16.已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．【答案】【解析】解：设，则，，则，，，，，即最小值故答案为：设，则，分别由解直角三角形可得AQ，AP的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项．求数列的通项公式；记数列的前n项和，若，求n的取值范围．【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，，是等比数列的前三项，，即，化简得，联立：解得，．．，，是等比数列的前三项，等比数列的公比为3，首项为3．等比数列的前n项和．由，得，化简得，解得，．【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求出通项公式．求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查转化首项以及计算能力．18.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象．求的解析式；求在上的单调递减区间及值域．【答案】解：，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象，即．由，可得．当，即时，函数单调递减．在上单调递减区间为．当，即时，单调递增，的增区间为．在上单调递增，在上单调递减，．又，，即在上的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，求出的解析式．利用正弦函数的单调性，求得在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．求的值；若，求面积的最大值．【答案】解：，，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，．因为，由知，由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，．由，得，且，的面积．，．．的面积S的最大值为．【解析】利用正弦定理与余弦定理转化求解即可．利用余弦定理求出bc，然后转化求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．20.设函数．讨论函数的单调性；若函数在区间上的最小值是4，求a的值．【答案】解：．当时，0'/>，在R上单调递增；当时，0'/>解得，由解得．综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．由知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由得是函数在R上的极小值点．当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为即．令，则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数a的值为．【解析】求出函数的导数通过a的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．由知，当时，函数在R上单调递增，当，当，当求出即令，则，转化求解即可．本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.设函数．当时，求函数的极值；若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．【答案】解：的定义域为．当时，则，令，则．即在上单调递减，又，故时，0'/>，在上单调递增，时，，在上单调递减．所以函数有极大值，无极小值．由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减．又时，；时，，故存在使得．当时，，在上单调递减．又有唯一解，则必有．由消去a得．令，则．故当时，，在上单调递减，当时，0'/>，在上单调递增．由，，得存在，使得即．又关于x的方程有唯一解，且，，．故．【解析】求出的定义域，当时，，利用函数的导数，通过构造，则转化求解函数的单调区间月极值即可．由，令，则，利用函数的单调性，函数的零点转化求解即可得到．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的能力．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由得，将，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．设A，B的参数分别为，．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设，则则．所以点P到原点O的距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．当时，解不等式；若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】解：当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得．所以的解集是．的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即m的取值范围是．【解析】通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。

2019年四川省绵阳市南山中学高考文科数学一诊试卷及答案解析

2019年四川省绵阳市南山中学高考文科数学一诊试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集是R ，集合2{|230}A x x x =-->，则(R A =ð ) A ．{|1x x <-，或3}x > B ．{|1x x -„，或3}x …C ．{|13}x x -剟D ．{|13}x x -<<2．（5分）已知命题:0p x ∀…，sin x x …，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x ”是“a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）设2log 3a =， 1.22b =， 3.20.5c =，则( ) A ．b a c <⎩„的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=->，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则ϕ的值为()A ．4π-B ．4πC ．8π-D ．8π 8．（5分）已知x ，y 满足(22)(1)00x y x y y ---+⎧⎨⎩„„，若32z x y =+，则( )A ．z 的最小值为18-B ．z 的最大值为18-C ．z 的最大值为6D ．z 的最小值为3-9．（5分）下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于点(1,0)对称的是( ) A ．22x y -=-B ．22x y -=C ．22x y -=-D ．22x y -=10．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中*n N ∈，则下列命题错误的是( ) A ．若0n a >，则0n S > B ．若0n S >，则0n a >C ．若0n a >，则{}n S 是单调递增数列D ．若{}n S 是单调递增数列，则0n a >11．（5分）如图，直线AB 和单位圆C 相切于点O ，点P 在圆上，当点P 从O 出发按逆时针方向匀速运动时，它扫过的圆内阴影部分的面积()f x 是x （其中)2xPOA =∠的函数，则函数()f x 的导函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．12．（5分）若函数()2sin cos f x x x =+在[0，]α上是增函数，当α取最大值时，sin α的值等于( ) A 5B 25C ．25D ．5 二.填空题（本大题4小题每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上） 13．（5分）已知93a =，lgx a = 则x = ．14．（5分）若244x y +=，则2x y +的最大值是．15．（5分）平面向量a r ，b r ，c r 两两所成角相等，且||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，则||a b c ++r r r 为．16．（5分）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足f （1）0=，当0x >时，()()0f x xf x -'>，则不等式()0f x >的解集是．三.解答题（共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）将函数()2sin()3f x x π=+的图象沿x 轴向左平移ϕ（其中，0)ϕπ<<个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到偶函数()g x 的图象．（Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）若2()265g απ+=，(0,)απ∈，求sin α的值．18．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12n n S b +=-．（Ⅰ）求b 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(1)n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：23n T …．19．（12分）已知322()3(,)f x x ax bx a a b R =+++∈．（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值0，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()[()6]x g x f x b a e ='-+g ，求()g x 的单调区间．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(2,1)m b =r，(2,cos )n a c C =-r ，且//m n r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．21．（12分）已知函数21()2f x lnx x ax =+-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若1x ，212()x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当52a >时，求证：1215()()228f x f x ln ->-．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）如图，OB 是机器的曲柄，长是2，绕点O 转动，AB 是连杆，长为2，点A 在x 轴上往返运动，点P 是AB 的中点，当点B 绕O 作圆周运动时，点P 的轨迹是曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当OP 的倾斜角为4时，求直线OP 被曲线C 所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．函数()|1|||f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若2()f x x m +…的解集非空，求实数m 的取值范围．2019年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【解答】解：全集是R ，集合2{|230}{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，则{|13}R A x x =-ð剟．故选：C ．【解答】解：命题:0p x ∀…，sin x x …，则p ⌝为00x ∃…，00sin x x <，故选：D ．【解答】解：2()0a b a a b ->⇔>且0a ≠， a b >Q 且0a a b ≠⇒>， a b >推不出a b >且0a ≠，∴ “2()0a b a ->”是“a b >”的充分而不必要条件．故选：A ．【解答】解：2221log 2log 3log 42=<<=， 1.2122>， 3.200.50.51<=； c a b ∴<<．故选：B ．【解答】解：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31S =，69S =，296363()()S S S S S -=-g ．即：9(9)164S -⨯=，则973S =．故选：D ．【解答】解：当0x „时，由2()430f x x x =++=，解得3x =-或1x =-，有2个零点；当0x >，函数()26f x x lnx =-+，单调递增，则f （1）0<，f （3）0>，此时函数()f x 只有一个零点，所以共有3个零点．故选：D ．【解答】解：由图知，1153288T ππ=-，可得23T ππω==，又0ω>， 23ω∴=． Q232382k ππϕπ⨯-=+，k Z ∈， 24k πϕπ∴=--，k Z ∈．又||2πϕ<，0k ∴=时，可得4πϕ=-．故选：A ．【解答】解：作出x ，y 满足(22)(1)00x y x y y ---+⎧⎨⎩„„的平面区域如图：由32z x y =+，则322zy x =-+，平移直线322z y x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点A 时，直线322zy x =-+的截距最大，此时z 最大，由0220y x y =⎧⎨--=⎩，解得(2,0)A ，此时32206max z =⨯+⨯=，z 没有最小值．故选：C ．【解答】解：令点(,)P x y 是与2x y =的图象关于点(1,0)对称的曲线上任意一点，则点P 关于点(1,0)的对称点(2,)Q x y --在2x y =的图象上，于是22x y --=，22x y -∴=-为所求．故选：A ．【解答】解：由等差数列的性质可得：*n N ∀∈，0n a >，则0n S >，反之也成立．0n a >，0d >，则{}n S 是单调递增数列．因此A ，B ，C 正确．对于:{}n D S 是单调递增数列，则0d >，而0n a >不一定成立．故选：D ．【解答】解：连接CP ，Q2xPOA =∠，OCP x ∴∠=， ∴阴影部分的面积1()sin 22x f x x =-，[0x ∈，2]π， 11()cos 22f x x '=-，[0x ∈，2]π，故选：D ．【解答】解：函数()2sin cos cos )f x x x x x x θ=++=+，其中sinθ=cos )2πθθ=<<，由于())f x x θ=+的单调递增区间为[2,2]22k k πππθπθ--+-，含有0的增区间是[0，]2πθ-，由于在[0，]α上是增函数，故：[0，][0,]2παθ⊆-，所以：2παθ-…，当α取最大值时2παθ=-，即：sin sin()cos2παθθ=-==，故选：B ．二.填空题（本大题4小题每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上）【解答】解：93a =Q ， 233a ∴=， 12a ∴=， 12lgx a ===Qx ∴【解答】解：244x y +=Q ，∴4…化为22242x y +=„，22x y ∴+„，当且仅当21x y ==时取等号．则2x y +的最大值是2．故答案为：2．【解答】解：Q 平面向量a r ，b r ，c r两两所成角相等，∴两两所成角为0︒或120︒．||1a =r Q ，||2b =r ，||3c =r，当所成角为120︒时， ∴12cos1201a b =⨯⨯︒=-r r g ， 32a c =-r r g ，3b c =-r r g ，则||a b c ++==r r r ．同理可得：当所成角为0︒时，则||1236a b c ++=++=r r r．6．【解答】解：设()()f x g x x =，则()g x 的导数为2()()()xf x f x g x x'-'=， Q 当0x >时总有()()0xf x f x '-<成立，即当0x >时，()g x '恒小于0，∴当0x >时，函数()()f x g x x=为减函数，又Q 定义在R 上的奇函数()f x ， ()()g x g x ∴-=∴函数()g x 为定义域上的偶函数．又g Q （1）0=，∴函数()g x 的图象性质类似如图：数形结合可得不等式()0()0f x x g x <⇔<g ，可得不等式()0f x <的解集是(1-，0)(1⋃，)+∞，故答案为(1-，0)(1⋃，)+∞．三.解答题（共5小题，满分60分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【解答】解：（Ⅰ）将函数()2sin()3f x x π=+的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位，得()2sin()3y f x x πϕϕ=+=++的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到2sin(2)3y x πϕ=++的图象，即()2sin(2)3g x x πϕ=++；又()g x 为偶函数，则32ππϕ+=，解得6πϕ=，所以()2cos2g x x =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2cos2g x x =，则2()2cos()2635g αππα+=+=，所以1cos()35πα+=；又(0,)απ∈，所以sin()3πα+=所以sin sin[()]33ππαα=+-sin()cos cos()sin 3333ππππαα=+-+1125=-=【解答】解：（Ⅰ）等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12n n S b +=-， 1n =时，114a S b ==-；2n …时，11222n n n n n n a S S b b +-=-=--+=，由于数列为等比数列，可得42b -=，即2b =；则2n n a =，*n N ∈；（Ⅱ）证明：112(1)(1)(21)(21)nn n n n n n a b a a ++==----1112121n n +=---，前n 项和11111114141812121n n n T +=-+-+⋯+------ 11121n +=--，由于1213n +-…，可得1110213n +<-„，则23n T …．【解答】解：（Ⅰ）由题意得2()36f x x ax b '=++，则2310630a a b b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当1a =，3b =时，函数()f x 在1x =-处无极值，而2a =，9b =满足题意，故2a =，9b =；（Ⅱ）2()[()6]3(22)x x g x f x b a e x ax a e ='-+=++g g ，故()3(2)(2)x g x x x a e '=++g，故1a =时，()0g x '…，函数()g x 在R 上递增，当1a >时，函数()g x 在(,2)a -∞-递增，在(2,2)a --递减，在(2,)-+∞递增，当1a <时，函数()g x 在(,2)-∞-递增，在(2,2)a --递减，在(2,)a -+∞递增．【解答】解：（Ⅰ）Q 向量(2,1)m b =r ，(2,cos )n a c C =-r ，且//m n r r， 2cos 2b C a c ∴=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，又sin 0C ≠，1cos 2B ∴=， 0B π<<Q ，3B π∴=．（Ⅱ）取CM 中点D ，连结AD ，则AD CM ⊥，令CD x =，则3BD x =，由（Ⅰ）知3B π=，AD ∴=，AC ∴=，由正弦定理知4sin x BAC =∠，sin BAC ∴∠．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()1f x x x '=+-，f '（1）1=，f （1）12=-，故切线方程是：112y x +=-，即2230x y --=；（Ⅱ）由题意得21()(0)x ax f x x x-+'=>，若1x ，212()x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，则1x ，2x 是方程210x ax -+=的两根，故120x x a +=>，121x x =g ，令2()1g x x ax =-+， 52a >Q ，∴△240a =->，故151()0242g a =-<，g （2）520a =-<，故11(0,)2x ∈，2(2,)x ∈+∞，故12()()f x f x -221212121()()2lnx lnx x x a x x =-+---2212121()2lnx lnx x x =---，又121x x =Q g ， 12()()f x f x ∴-2211211122lnx x x =-+，11(0,)2x ∈，令211(0,)4t x =∈则121()()()22t h t f x f x lnt t =-=-+，1(0,)4t ∈， 22(1)()02t h t t -'=-<Q ，()h t ∴在1(0,)4递增，1()()4h t h ∴>，即121115()()222488f x f x ln ln ->-+=-．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（Ⅰ）令圆O 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数），则BOx θ∠=，过点B 作x 的垂线，垂足是C ，如图所示，2cos OC CA θ==Q ，2sin CB θ=，∴点A 的坐标是(4cos ,0)θ，∴点P 的坐标(,)x y 满足2cos 4cos 22sin 02x y θθθ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数）．（Ⅱ）将曲线C 的方程转化为普通方程2219x y +=，以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，得到曲线C 的极坐标方程是2222cos 9sin 9ρθρθ+=，∴22299cos sin ρθθ=+，当4πθ=时，295ρ=， OP ∴被曲线截得的弦长为2ρ=[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（Ⅰ）由函数()|1|||f x x x a =-+-的图象关于直线2x =对称，则()(4)f x f x =-恒成立，令0x =得(0)f f =（4），即||2|4|a a =+-，等价于024a a a ⎧⎨-=+-⎩„，或0424a a a <<⎧⎨=+-⎩，或424a a a ⎧⎨=+-⎩…；解得3a =，此时()|1||3|f x x x =-+-，满足()(4)f x f x =-，即3a =；（Ⅱ）不等式2()f x x m +…的解集非空，等价于存在x R ∈使得2()f x x m -…成立，即2[()]max m f x x -„，设2()()g x f x x =-，由（Ⅰ）知，22224,1()2,1324,3x x x g x x x x x x ⎧--+⎪=-+<<⎨⎪-+-⎩„…，当1x „时，2()24g x x x =--+，其开口向下，对称轴方程为1x =-， ()(1)1245g x g ∴-=-++=„；当13x <<时，2()2g x x =-+，其开口向下，对称轴方程为0(1,3)x =∈-， ()(0)2g x g ∴=„；当3x …时，2()24g x x x =-+-，其开口向下，对称轴方程为13x =<， ()g x g ∴„（3）9647=-+-=-；综上，()5max g x =，∴实数m 的取值范围是(-∞，5]．。

2019年四川省绵阳普明中学高考数学选择题专项训练(一模)

2019年四川省绵阳普明中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源： 2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第1课时分层演练文201809101126设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )A．3 B．3或C． D．6或3 【答案】C第 2 题：来源：西藏拉萨中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题已知全集，集合，，则为A. B. C. D.【答案】B第 3 题：来源：辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案过圆+－4x=0外一点作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，应满足的关系式为（）A．B．C．D．【答案】C第 4 题：来源：广东省台山市华侨中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理在⊿ABC中，已知，则C=（）A．300 B．1500 C．450 D.1350【答案】C第 5 题：来源： 2016_2017学年江西省宜春市奉新县高二数学下学期期末考试试题试卷及答案理下列命题中，真命题的个数为（）①从容量为20的总体中的用简单随机抽样逐个抽取容量为5的样本，则个体甲第一次被抽到或第二次被抽到的概率均为；②线性相关系数是刻画变量之间线性相关程度的量，越大则两变量间的线性相关程度越强；③离散型随机变量满足，则方差A. B. C.D.【答案】 A第 6 题：来源：西藏拉萨中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题已知函数，若，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C第 7 题：来源：江西省南昌市2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题试卷及答案下列给出的命题正确的是（）A.高中数学课本中的难题可以构成集合B.有理数集Q是最大的数集C.空集是任何非空集合的真子集D.自然数集N中最小的数是1【答案】C 难题不具有确定性,不能构造集合,A错误；实数集R就比有理数集Q大，B错误；空集是任何非空集合的真子集，故C错误；自然数集N中最小的数是0，D错误；故选C．第 8 题：来源：内蒙古乌兰察布市2015_2016学年高一数学下学期期末考试试题已知向量（）A．A，B，D B. A, B, C C. B, C, D D. A, C, D【答案】A第 9 题：来源：内蒙古包头市第四中学2019届高三数学上学期期中模拟测试试题（二）理正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A. B．16π C．9π D.【答案】A第 10 题：来源：重庆市铜梁县2018届高三数学11月月考试题理试卷及答案在中,,,.若动点满足,则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为( )A. B. C. D.【答案】A第 11 题：来源：江西省南昌市2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( )A. (0,1)B. (1，＋∞)C. (－∞，1)D. (－1,1)【答案】A【解析】.令，解得，故减区间为：.故选A.第 12 题：来源：山东省武城县2017_2018学年高二数学12月月考试题理试卷及答案已知直线l，m与平面满足，，则有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】.B第 13 题：来源：全国普通高等学校2017届高考数学二模试卷（理科）（衡水金卷）含答案解析已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x则该双曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，由已知条件推导出．由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=±，∴，∴e===；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，它的渐近线方程为y=，∴，∴，∴e===．综上所述，该双曲线的离心率为或．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．第 14 题：来源：广西桂林市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案已知函数，关于的方程有四个不同的根，则实数的取值范围为A. B. C.D.【答案】A第 15 题：来源： 2017_2018学年高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学业分层测评试卷及答案新人教A版必修两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【答案】 A第 16 题：来源：重庆市2017_2018学年高一数学上学期第一次月考试题若在实数范围内有意义，则满足的条件是（）A． B． C．D．【答案】C第 17 题：来源：黑龙江省哈尔滨市2016_2017学年高一数学6月月考试题试卷及答案直线，直线，若，则实数（）或不存在【答案】A第 18 题：来源：河北省邯郸市2016_2017学年高一数学上学期期中试题试卷及答案设方程log4x＝（）x，log x＝（）x的根分别x1，x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2＝1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2【答案】A第 19 题：来源：湖北省六校联合体2017届高三4月联考数学试题（理）含答案设等差数列的公差，，若是与的等比中项，则（）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C第 20 题：来源：安徽省定远重点中学2018_2019学年高一数学下学期开学考试试题函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的解析式为( )A．y＝sin 2x－2 B．y＝2cos 3x－1C．y＝sin(2x－)－1 D．y＝1－sin(2x－)【答案】D第 21 题：来源： 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）（含答案）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是A． B．1C．10 D．12【答案】C第 22 题：来源： 2018届高考文科复习课时跟踪(19)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R) 的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )A．B．C．D．1【答案】B第 23 题：来源：上海市高一数学上学期期末考试试题试卷及答案设和是两个集合，定义集合，如果，，那么（）(A)(B)(C)(D)【答案】 B第 24 题：来源：广西桂林市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案【答案】B第 25 题：来源： 2016_2017学年四川省三台县高二数学下学期半期补练试题试卷及答案已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A 解：∵=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴1×（k+2）-3k=0，解得：k=1．故选：A．第 26 题：来源：河南省郑州市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题试卷及答案理设满足，若恒成立，则实数的最大值为（）A．B． C．D．【答案】C第 27 题：来源：江西省南昌市2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理椭圆的左、右焦点分别为,弦过，若的内切圆面积为，A、B两点的坐标分别为和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D第 28 题：来源：山西省长治二中2018_2019学年高一数学上学期第二次月考试题已知函数是上的奇函数，当时，A．-1 B． 1 C．-3 D．0【答案】C第 29 题：来源：广东省湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题试卷及答案01下列命题中，m，nγ表示三个不同的平面①若m n m⊥n γγ③若m n m∥n γ，m m⊥γ．正确的命题是A．①③B．②③C．①④ D．②④【答案】C第 30 题：来源：甘肃省兰州市2018_2019学年高二数学上学期第二片区丙组期末联考试题理以下三个命题：(1)若动点M到定点、的连线斜率之积为定值，则动点M的轨迹为一个椭圆。

2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性考试(理)数学试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，可知，利用放缩法和极限，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知，
所以
，
当且时，，且，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.
【详解】
解：（I）设等差数列的公差为（）,
由，得，
又∵ ，，是等比数列的前三项，
∴ ，
即，化简得，
联立解得， .
∴ .
（II）∵ ，，是等比数列的前三项，
∴等比数列的公比为3，首项为3.
∴等比数列的前项和 .
由，得，化简得，
解得， .
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据题意，正确判定命题为假命题，为真命题，再利用复合命题的真值表判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．函数的定义域为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由函数，根据解析式有意义得到，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.

2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学(理)试题(word版)

2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（理工类）第I卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合A { 1,0,1,2}，集合B {yl y 2x}，则Al-(0,2.已知向量a （1,2），b （x,1），若a b，则xA.2B.-2 :C . 1 D .-13. 若点P（3,4）是角的终边上一点，则si n2A. 24 7 16 rB c D25 25 254. 若a,b R，且a |b|，则（）A. a b B .a b c. a2b25. 已知命题p: X。

R，使得lg COSX0 0;命题qA. p q B .p ( q) c. (p)6. 函数y 、.sin(x —）的定义域为（4 )A. [, ) B .[,5 ]4 4 4C. [2 k — ,2k45](k Z) D4.[k x7.若函数f(x)1,x 0 &，则不等式f(x) 1 lg x, x 0A. （丄-) B .(,0) U(0, 丄）c.10 108. 已知点A,B,C在函数f （x）、、3sin（x 一）（{0,1,2}((Dx( q) 3A. {0,1} B . {1,2} C3x0，则下列命题为真命题的是（5〒(k Z)0的解集是1 1(咏)D. (1,°)U(云)0）的图像上，如图，若AB BC，则10.若 a 4e 5 , b33e 3 4, c 5e 5，则(2A. a b c a cb C.第U 卷（共90 分）uuu uuur2 , AD 4，点P,Q 分别在边BC,CD 上，且 PAQ ，则APgAQ33 C.24 0y 0 ，则z x 2y 的最大值是 2a9. A. “ a b e ”是充分不必要条件aln b bln aF (B •必要不充分条件.充要条件 D .既不充分也不必要11.2018 年 9 月 24日，英国数学家 M .F 阿帝亚爵在 “海德堡论坛”展示了他 “证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动, 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记12.设f '（X ）是函数f （X ）的导函数, 且 f '(X)f(x)(xR), f(2)2e （ e 为自然对数的底数），则不等式 f (2ln x)x 2的解集为（A. (、.e,e)B . (0^,e)C. (0,e) D.(1,e)、填空题（每题5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） x x, y 满足约束条件 x 13.已知变量14.已知函数 f (x) 3x 4sin x 1，若 f ( a) 5，则 f (a) 15.若直线yx 1与函数f (x)ax ln x 的图像相切，则 a 的值为16.已知矩形ABCD 的边长AB的最小值为 ___________ .三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列｛a n ｝的公差大于0，且a 4 7，a 2,a 6 2a n a 14分别是等比数列｛b n ｝的前三项• (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 记数列｛b n ｝的前n 项和S n ，若S n 39，求n 的取值范围.18. 已知函数f (x) 、、3si n(2x -) 4COS 2X ，将函数f(x)的图像向右平移一个单位，再向下平移 23 6个单位，得到函数 g(x)的图像. (1) 求 g(x)的解析式；2(2) 求g(x)在［_,2 ］上的单调递减区间及值域.6 319. 在 ABC 中，a,b, C 分别是角代B,C 所对的边，且2csin B 3atanA .(2)若a 2，求 ABC 面积的最大值20.设函数 f(x) e x ax 3(a R). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f (x)在区间［1,2］上的最小值是4，求a 的值. 21.设函数 f (x) ln x e x ax a(a R). (1) 当a e 1时，求函数f (x)的极值； (2) 若关于x 的方程f (x)0有唯一解x 0，且沧(n, n 1)， n N ，求n 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4 :坐标系与参数方程3昌2( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴$2(1)求b 2 C 2的值;在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos(1)求直线I的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与曲线C交于A,B两点，求线段AB的中点P到坐标原点0的距离.23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数f(x) 12x 1| | x m | (m R).(1)当m 1时，解不等式f(x) 2 ；(2)若关于x的不等式f(x) |x 3|的解集包含［3,4］，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBABD 6-10:CBDAD 11 、12：CC二、填空题13.7 14.-7 15.2 16. 32 16、3三、解答题6 17.解：（I ）设等差数列 a n 的公差为d （ d 0）由a 4 7 ，得•- a n 12(n 1) 2n 1又・a 2 , a 62印,印4是等比数列 b n 的前三项,2 --(a 6 2a 1) a2a i4 ,即(5d a 1)2(a i d)(a !13d ），化简得联立①②解得a 11, d2.(II )••• bia 6 2a i 9,b g a i4 27是等比数列的前三项,•••等比数列 b n 的公比为3,首项为3. •••等比数列 b n 的前n 项和S n 3(1 3n) 1 3 3(3n 1) 2 由S n 39，得 33 卫 39，化简得3n 227,解得n 3, n 18.解：(I ) f (x) . 3sin(2x ) 4cos 2x 3,3s in( 2xcoscos2xs in ) 2(1 3 3cos2x)3 3 sin2x cos2x 2cos2x 2 2 2 .31 sin 2x cos2x2 2 2 sin(2x -)2 , 由题意得g(x) sin 2(x -) 6化简得 g(x) sin(2x ). 62 (II )由 x ，可得一6367 2 2x 当 2x即 x 时，函数g(x)单调递减.2 66 3 3• 2csin BcosA 3asin A ,.2 2b c42 ia••• g(x)在J上单调递增，在2 上单调递减，6 33’ 3• ' g ( x) maxg(寸sin1. 22 又 g(—).7 sin - sin() sin — 1 /、 • 1 -g(—) sin —3666 2 6 6 2• 2 g(x) 1,即g(x)在2上的值域为1 ,1 .6，323 19.解：(I )••• 2csi nB 3a ta nA ,-,—上单调递减区间为6 3 (ll )因为a 2，由(I )知 b 2 4a 216,•由余弦定理得cos Ab 2c 22bc根据重要不等式有b 2bc ，即 8 bc , 当且仅当b c 时“=”成立,“ 6 3 •- cosA - 8 4由 cos A —，得 bc bc 6 cosA • ABC 的面积 1-bcsin A 2(0,),2 6 cos Asin A 3tan A .sin 2 AA •- tan A cos 2 sin 2 A12 .，cos A••• g(x)在由正弦定理得 2cb cos A 3a 2 由余弦定理得2cbg b2a2bc3a 2, 化简得 b 2 c 2 4a 2,••• ABC的面积S的最大值为、、.7 .20. (I) f '(x) e x a .当a 0时，f'(x) 0 , f (x)在R上单调递增；当a 0 时，f '(x) 0 解得x Ina,由f '(x) 0 解得x Ina. 综上所述：当a 0时，函数f(x)在R上单调递增；当a 0时，函数f (x)在(In a,)上单调递增,函数f (x)在(，ln a)上单调递减•(II )由(1 )知，当当a 0时，函数f (x)在R上单调递增，•函数f(x)在［1,2］上的最小值为f(1) e a 3 4,即a e 1 0，矛盾.当a 0时，由(1 )得x In a是函数f (x)在R上的极小值点.①当Ina 1即o a e时，函数f(x)在［1,2］上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(1) e a 3 4，即a e 1，符合条件②当lna 2即a e4时，函数f (x)在［1,2］上单调递减，4令h(a) a al na 1 (e a e ),则h'(a) ln a 0,• h(a)在(e,e2)上单调递减，而h(e) 1,•- h(a)在(e,e2)上没有零点，即当e a e2时，方程a alna 1 0无解.综上，实数a的值为e 1.则函数2 e2 1 2 f(x)的最小值为f(2) e 2a3 4即a e ,矛盾.2③当1 Ina 2即e a e2时，函数f (x)在［1,ln a］上单调递减，函数f (x)在［In a,2］上单调递增,则函数 f (x)的最小值为f (ln a) e lna a In a 3 4 即a a In a 1 0.x x 21. (I ) f(x)的定义域为(0,). 当a e 1时， f(x0In x e x (e 1)xe 1，则 f '(x)1 e xx e 1令 h(x) f'(x) 1 xexe 1，则 h'(x)1 x ne 0.x 即 f '(x)在(0, )上单调递减，又 f'(1) 0，故 x (0,1)时，f'(x)0， f(x)在(0,1)上单调递增, x (1, )时， f'(x) 0， f(x)在(1, )上单调递减•所以函数 f (x)有极大值 f(1)e ，无极小值.(II )由 f'(x) 1 xe xa，1 x 令 g(x) f'(x)— e a ， x则 g'(x)1 e 0 ，所以g(x)在(0,)上单调递减，x即f '(x)在(0,)上单调递减. 又 x 0 时，f'(x)； x 时，f'(x)故存在X 。

绵阳市高届高三一诊数学试题目——理-8页word资料

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．复数z =1+i ，则zz -+11= A ．2-i B ．2+i C ．-1+2i D ．1+2i 3．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，当S n 取最小值时，n =A ．11或12B ．12或13C ．5或6D ．6或74．已知1)(-=x x f ，那么A ．0)(lim 1=+→x f xB ．0)(lim 1=-→x f xC ．0)(lim 1=→x f xD ．0)(lim =∞→x f x5．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-，，)1(21)1(2)(x x x f x 若0<f (x 0)<1，则x 0的取值范围是A ．[)∞+，1B ．(1，+∞)C ．(]1，∞-D ．(0，+∞)6．已知随机变量ξ服从正态分布⎪⎭⎫ ⎝⎛221σ，N ，且P (0≤ξ≤21)=a ，则P (ξ<0)=A ．aB ．21C ．1-aD ．21-a7．已知函数f (x )=3x +1，则x f x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim0的值为A ．31-B ．31C ．32D ．08．函数y =lg|x -1|的图象大致为9和1+的等比中项，则+4的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-45，B ．(-∞，45)C ．⎥⎦⎤⎝⎛-451，D ．(-1，45)11．右图是一个“直角三角形数阵”，已知它的每一行从左往右的数均成等差数列，同时从左往3132 11 1……右的第三列起，每一列从上往下的数也成等比数列，且所有等比数列的公比相等．记数阵第i 行第j 列的数为a ij （i ≤j ，i 、j ∈N*），则a 68=A ．61B ．241 C ．31 D ．12112．已知g (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，且在区间[0，1]上满足三个条件：①对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，当x 1<x 2时，恒有g (x 1)≤g (x 2)成立，②)(215x g x g =⎪⎭⎫⎝⎛，③g (x )+g (1-x )=1．则=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1515121g g g A ．23B ．45 C ．67D ．89二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是． 15．曲线y =x sin x +cos x 在x =π处的切线与函数y =e ax (a ∈R ，a ≠0)的图象在x =0处的切线平行，则实数a = ．16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：①m =0； ②m =4； ③数列{a n }的通项公式为a n =2n -5； ④数列{b n }的异号数为2； ⑤数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测．已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为52．（1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；（2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本题满分12分）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1=1，且b 2S 2=4，b 3S 3=415．（1）求a n 与b n ；（2）记数列{n S 1}的前n 项和为T n ，且n n T ∞→lim =T ，求使b n ≥3T成立的所有正整数n ．20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值；（3）设函数1log )(-=x a x g a ，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知f (x )是定义在[)0，e -∪(]e ，0上的奇函数，当x ∈(]e ，0时，f (x )=ax +ln x ，其中a <0，a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数a ，使得当x ∈[)0，e -时，f (x )的最小值为3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）已知函数f (x )=222-x x （x ≠1），各项同号且均不为零的数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ·f (na 1)=1（n ∈N*）．（1）试求f (x )的单调递增区间和单调递减区间；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：ea n a n 1)11(1<-+．（e 为自然对数的底数）绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．-π 16．②⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分（1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C xx ， ……………3分解得 x =1或x =4（舍）．∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分（2）=1，2，3，4，则10分∴8.2524513512511=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………12分 19．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意可列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，415)33(4)2(12111d a q b d a q b ……………………………………………………………3分把a 1=3，b 1=1代入解得⎪⎩⎪⎨⎧==，，212q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．，6556q d ∵ {a n }的各项均为正， ∴ 56-=d 应舍去．∴ .)21()21(1122)1(311--=⋅=+=⨯-+=n n n n b n n a ，……………………………5分（2）∵ )2(2)123(+=++=n n n n S n ， ∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………9分 ∴ ])2(21)1(2143[lim lim +-+-=∞→∞→n n T n n n =43，即43=T ，解得 n ≤3，∴ 正整数n =1，2，3． ………………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分（2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）．当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分（3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴ 2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212．结合x >1得1<x ≤9212．∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分21．解：（1）设-e ≤x <0，则0<-x ≤e ，∴ f (-x )=a (-x )+ln(-x )，已知f (x )是奇函数可得f (-x )=-f (x )． ∴ -f (x )=-ax +ln(-x )，即f (x )=ax -ln(-x )．∴ f (x )=[)(]⎩⎨⎧∈+-∈--．，，，，，e x x ax e x x ax 0ln 0)ln( ………………………………………………4分（2）x ∈[)0，e -时，，xa x f 1)(-=' 令0)(='x f ，得ax 1=．…………………………………………………………5分①当a1≤-e ，即-e 1≤a <0时，0)(>'x f ．故f (x )在[)0，e -上是增函数．∴ f (x )min =f (-e )=-ae -1=3，解得ee a 14-<-=（舍）．………………………………………………………8分 ②当1>-e ，即a 1-<时，则 ∴ f (x )min =)(a f =)ln(1a--=3，解得2e a -=．综上所述，存在实数a =-e 2满足条件．………………………………………12分22．解：（1）∵ 2222)22(42)22(2)22(2)(--=---='x xx x x x x x f ，∴ 由0)(>'x f 有x <0或x >2，由0)(<'x f 有0<x <2且x ≠1，即f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)．………………………………………………………………………………………4分（2）由题有1212142=-⋅⋅nnn a a S ，整理得2S n =a n (1-a n )， ①∴ 当n =1时，2S 1=a 1(1-a 1)，解得a 1=-1，或a 1=0（舍）．当n ≥2时，2S n -1=a n -1(1-a n -1)， ②于是①-②得2a n =a n -2n a -a n -1+21-n a ，整理得a n +a n-1=(a n -1-a n )(a n -1+a n )，由已知有a n +a n-1≠0， ∴ a n -a n -1=-1（常数）．∴ {a n }是以-1为首项，-1为公差的等差数列． ∴ a n =-n ．………………………………………………………………………9分（3）∵ a n =-n ，∴ 原不等式即为enn 1)11()1(<++-，等价于e nn >++1)11(．两边同取对数得1)11ln()1(>++n n ，即证11)11ln(+>+n n．构造函数xxx x g +-+=1)1ln()(，显然当x ≥0时，0)(>'x g ，∴ g (x )在[)∞+，0上是增函数．∴ )0()1(g ng >，即0111)11ln(>+-+nn n ，整理即得n n +>+11)11ln(．故原不等式得证．………………………………………………………………14分。

2019届四川绵阳市高三一诊考试数学(理)试卷【含答案及解析】

2019年四川省绵阳第一中学高考数学选择题专项训练(一模)

2019年四川省绵阳第一中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。

第 1 题：来源：山东省潍坊市2019年高考数学模拟训练试题理抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为A． B． C．1D．【答案】A第 2 题：来源：江西省崇仁县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案直线l将圆平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程是（）A.2x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0【答案】A第 3 题：来源：湖北省长阳县第一高级中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题. 已知是等比数列，，，则公比=（）A 2B CD【答案】D第 4 题：来源：河北省沧州市盐山中学2018_2019学年高二数学6月月考试题理已知函数满足,若函数与图像的交点为则 ( )A.3mB.6mC.2mD.4m【答案】A第 5 题：来源：湖北省宜昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D第 6 题：来源： 2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）（含答案）已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C．D．【答案】D第 7 题：来源： 2019高中数学第一章三角函数单元质量评估（含解析）新人教A版必修4扇形的周长是4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是 ( )A. B.1 C.2 D.4【答案】C第 8 题：来源：广东省佛山市2017_2018学年高一数学上学期第一次段考（10月）试题试卷及答案下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）【答案】 B 【解析】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且时，递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在递减，不合题意；故选：．根据函数的奇偶性和单调性判断即可。

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)

2019年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合0，1，，集合，则A. B. C. 1， D.【答案】B【解析】解：集合0，1，，集合，．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2. 已知向量，，若，则A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】解：；；．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．3. 若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点是角的终边上一点，，，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题4. 若a，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，当时，；当时，，．所以无论b取何值都有，故选：B．分2种情况去绝对值可知，所以无论b取何值都有．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5. 已知命题p：，使得；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢￢ D.【答案】D【解析】解：命题p：，使得，，，命题p为假命题，命题q：，，是真命题，为假命题，￢为假命题，￢￢为假命题，真命题，故选：D．先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．本题考查符合命题真假性的判断一般化为组成符合命题的基本命题真假性考查逻辑推理，运算求解能力．6. 古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少吃布？已知1匹尺，1丈尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】C【解析】解：根据题意知：该数列为等差数列，则：设公差为d，由于：所以：，解得：．故选：C．首先判断该数列为等差数列，进一步利用等差数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7. 若函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，则不等式，可得：，可得，，解得．不等式的解集是：．故选：B．利用分段函数，得到分段不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．8. 已知，，且x，，y成等比数列，则xy有A. 最小值10B. 最小值C. 最大值10D. 最大值【答案】B【解析】解：x，，y成等比数列，，即，又，，，，，当且仅当y时，即取等号，，则，即xy有最小值是，故选：B．由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算法则求出xy的最小值．本题考查等比中项的性质，基本不等式，以及对数的运算法则的应用，属于基础题．9. 已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，设，则，由射影定理可得：，即：，可得：，解得：，或舍去，可得：，由函数图象可得：，解得：．故选：D．在中，设，则，由射影定理，勾股定理可得，解得x的值，可求函数的周期，利用周期公式即可计算得解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．10. 若函数在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：的定义域是，故，若在递增，则在恒成立，时，显然成立，，只需，而在递减，故，综上，，故选：A．求出函数的导数，只需，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．11. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 设函数的极大值是，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对函数求导得，令，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．所以，函数在取得最大值，即．，，，．即，，，．由零点存在定理可知，函数的极小值点在区间内，极大值点在区间内，由于，所以，，所以，．故选：C．对函数求导，令，并对函数求导，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理得出函数的两个零点所在区间，于是得出函数的极小值点和极大值点所在的区间，利用极值点满足导数为零，得到，代入转化为二次函数求取值范围，即可求出答案．本题考查利用导数研究函数的极值，解决本题的关键在于极值点所满足的条件，合理进行替换，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线：把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．14. 若函数的图象在点处的切线平行于x轴，则______．【答案】【解析】解：函数的导数为，可得的图象在处的切线的斜率为，由切线平行于x轴，可得，解得，故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由切线平行于x轴，可得t的方程，解方程可得t的值．本题考查导数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15. 已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则，则有，又由，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得的解析式，进而可得，即可得，结合的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．16. 已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．【答案】【解析】解：设，则，，则，，，，，即最小值故答案为：设，则，分别由解直角三角形可得AQ，AP的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 已知等差数列的公差大于0，且，，，分别是等比数列的前三项．求数列的通项公式；记数列的前n项和，若，求n的取值范围．【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，，是等比数列的前三项，，即，化简得，联立：解得，．．，，是等比数列的前三项，等比数列的公比为3，首项为3．等比数列的前n项和．由，得，化简得，解得，．【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求出通项公式．求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查转化首项以及计算能力．18. 已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象．求的解析式；求在上的单调递减区间及值域．【答案】解：，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象，即．由，可得．当，即时，函数单调递减．在上单调递减区间为．当，即时，单调递增，的增区间为．在上单调递增，在上单调递减，．又，，即在上的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，求出的解析式．利用正弦函数的单调性，求得在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．求的值；若，当角A最大时，求的面积．【答案】解：，，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，．因为，由知，且由余弦定理得，即，且．根据重要不对等式有，即，当且仅当时，“”成立，．当角A取最大值时，，．的面积．【解析】由同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理化简即可得解．由知，由余弦定理得，可得，且，利用基本不等式可求，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．20. 已知函数，曲线在处的切线是，且是函数的一个极值点．求实数a，b，c的值；若函数在区间上存在最大值，求实数m的取值范围．【答案】解：．曲线在点处的切线为，切点为，即由，得．是函数的一个极值点，联立得，．，，．由得，则当0'/>时，或；当时，．在处取得极大值即．由得，即或．要使函数在区间上存在最大值，则，即．【解析】求出函数的导数，结合切线方程，求出切点坐标，结合极值点，求出a，b，c的值即可；求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极大值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性，极值问题，考查转化思想，是一道综合题．21. 已知函数．讨论函数的单调性；若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．【答案】解：．当时，0'/>，在R上单调递增；当时，由0'/>解得；由解得，综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．由已知可得方程有唯一解，且，．设，即有唯一解，，．由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减．又时，；时，，故存在使得．当时，0'/>，在上单调递增，时，，在上单调递减．又有唯一解，则必有由消去a得．令，则．故当时，，在上单调递减，当时，0'/>，在上单调递增．由，，即存在，使得即．又关于x的方程有唯一解，且，，．故．【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出n的值即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由得，将，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．设A，B的参数分别为，．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设，则则．所以点P到原点O的距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 已知函数．当时，解不等式；若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】解：当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得．所以的解集是．的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即m的取值范围是．【解析】通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。

四川省绵阳市第八中学2019年高三数学理模拟试卷含解析

四川省绵阳市第八中学2019年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的左右焦点为F1, F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M，N两点，若是直角，则双曲线的离心率是（）．A. B. C. 3 D. 4参考答案：B【分析】先求出,再化简即得双曲线的离心率.【详解】联立得，所以，因为是直角，所以，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N两点，若△M NF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆，解得y=±．由于△MNF2为等腰直角三角形，可得=2c，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF2为等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化为e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故选C．3. 已知圆O：及以下三个函数：①；②；③．其中图象能等分圆O面积的函数个数为A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：B4. 设函数，若，，则函数的零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略5. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D6. 设集合，则等于（）A. B. C. D.参考答案：A7. 已知函数①,②,则下列结论正确的是( )A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同参考答案：【知识点】三角函数的性质C4C①，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为;②，图像关于点成中心对称图形，关于直线成轴对称图形，在区间上是单调递增, 最小正周期为,故选C.【思路点拨】此类题一般都是先化简，再根据化简后的结果，由三角函数的性质一一判断.8. 正数满足，则的最小值是( )A. B. C. 5 D. 6参考答案：C略9. “常数是2与8的等比中项”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B10. 复数（i是虚数单位）的虚部是（）A. 3iB. 6iC. 3D. 6参考答案：C【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【详解】解：复数2+3i．复数（i是虚数单位）的虚部是3．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是▲．参考答案：12. 已知函数，，则的单调减区间是▲．参考答案：13. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且，数列{b n}满足，则数列{a n?b n}的前n项和T n= ．参考答案：10+（3n﹣5）2n+1【考点】数列的求和．【分析】利用a n=S n﹣S n﹣1求出数列{a n}的通项公式，然后利用，求出数列{b n}通项公式；利用c n=a n b n．求出数列c n的通项公式，写出前n项和T n的表达式，利用错位相减法，求出前n项和T n．【解答】解：由已知得，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=3n﹣2，又a1=1=3×1﹣2，符合上式．故数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．又因为，所以log2b n=（a n+2）=n，即b n=2n，令c n=a n b n．则c n=（3n﹣2）?2n．所以T n=1×21+4?22+7?23+…+（3n﹣2）?2n，①2T n=1×22+4×23+7?24+…+（3n﹣2）?2n+1，②由②﹣①得：﹣T n=2+3?22+3?23+…+（3n﹣5）?2n+1=3×（2+22+…+2n）﹣（3n﹣2）?2n+1﹣2 =﹣（3n﹣5）?2n+1﹣10，所以T n=10+（3n﹣5）2n+1故答案是：10+（3n﹣5）2n+1．14. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，点E在棱AB上，点F在棱C1D1上，且平面B1CF∥平面A1DE，若AE=1，则三棱锥B1﹣CC1F外接球的表面积为．参考答案：19π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据平面B1CF∥平面A1DE，得到C1F=AE=1，再求出三棱锥B1﹣CC1F外接球直径，问题得以解决．【解答】解：当C1F=AE=1时，可得CF∥A1E，又A1D1∥B1C，且CF∩B1C=C，∴平面B1CF∥平面A1DE，∴三棱锥B1﹣CC1F外接球的直径为=，其表面积为（）2π=19π，故答案为：19π【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题．15. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是（）A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4参考答案：C16. 用数字0，1，2，3，4，5，可以组成个没有重复数字的6位偶数。

2019年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷(理科)

2019年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|||2A x x =，}x R ∈，{|4B x x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2} 2．已知a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c ->3．下列命题正确的是( )A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C ．若0x 使得函数()f x 的导函数f ’ 0()0x =，则0x 为函数()f x 的极值点；?D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”4．已知向量a ，b 满足()2a a b -=，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π5．已知1sin()54πα-=，则3cos(2)(5πα+= )A ．78-B ．78C ．18D ．18-6．已知1a >，22()x x f x a +=，则()1f x <成立的一个充分不必要条件是( ) A ．01x <，0ω>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度9．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x 时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，(b f =-，c f =（3）的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>10．设函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，则使得()(21)f x f x <-成立的x 的取值范围是( )A ．1(3，1) B ．(-∞，1)(13⋃，)+∞C ．1(3-，1)3D ．(-∞，11)(33-⋃，)+∞11．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+=⎨+>⎩，若|()|1f x ax -恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[2-，0]B ．[2-，1]C ．[4-，0]D ．[4-，1]12．在ABC ∆中，O 为外心，已知CO xCB yCA =+，且21x y +=，1cos 3B =，则(AO AB BO BC= )A．94BCD ．14二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩，则34z x y =-的最大值为．14．在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =，点D 在BC 边上，45ADC ∠=︒，则AD 的长度为；角C = ．15．设函数3221()33ax f x bx a x =-+-在1x =处取得极值为0，则a b += ．16．若函数32,()(,x x ef x e alnx x e ⎧-<=⎨⎩为自然对数的底数）的图象上存在两点M 、N ，使得90MON ∠=︒，（其中O 为坐标原点），且MN 中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17．已知向量(2sin 2a x =2)x ，(cosb θ=，sin )(||)2πθθ<，若()f x a b =，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[4π-，]3π上的值域． 18．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈．（1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足331(1)(3)n n n b log a log a =++，{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意的正整数n 都有n T m <，求m 的最小值．19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积S 满足222b c a =+- （Ⅰ）求角A 的值；??????（Ⅱ）若ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC 的最小值．20．已知函数2()(1)(0)2kf x ln x x x k =+-+．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．21．已知函数2()(1)x f x x e x =-+．（Ⅰ）求()f x 在1[2x ∈，1的最值；（Ⅱ）若()()x g x f x ae x =--，当()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时，总有221()(2)(1)x e g x t x e ++，求此时实数t 的值． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 过定点(1,P 且与直线OP 垂直．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于AB 两点，求11||||PA PB +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-．（1）若()f x 的最小值为4，求a 的值；（2）当[2x ∈，4]时，()f x x <恒成立，求a 的取值范围．2019年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|||2A x x =，}x R ∈，{|4B x x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【分析】由题意可得{|22}A x x =-，{0B =，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求【解析】{|||2}{|22}A x x x x ==-{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A ，B ，属于基础试题2．已知a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c ->【分析】先研究a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可【解析】a ，b ，c 满足c b a <<且0ac <， 0c a ∴<<由此知A 选项ab ac >正确，由于()0c b a ->知B 选项不正确，由于2b 可能为0，故C 选项不正确，由于0ac <，0a c ->，故()0ac a c -<，所以D 不正确故选：A ．【总结与归纳】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．3．下列命题正确的是( )A ．命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C ．若0x 使得函数()f x 的导函数f ’ 0()0x =，则0x 为函数()f x 的极值点；?D ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”【分析】利用复合命题的真假判断A 的正误；逆否命题的真假判断B 的正误；函数的极值判断C 上的正误；命题的否定判断D 的正误．【解析】命题“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少一个是假命题，所以说命题p 与命题q 都是假命题，不正确；命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，它的逆否命题也为真命题，所以B 正确；若0x 使得函数()f x 的导函数f ’ 0()0x =，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，不是函数的极值点，所以C 不正确；命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”，不满足命题的否定形式，所以不正确；故选：B ．【总结与归纳】本题考查命题的真假的判断，涉及逆否命题以及命题的否定，复合命题的真假的判断．4．已知向量a ，b 满足()2a a b -=，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π【分析】求出a b ，代入向量的夹角公式即可．【解析】2()2a a b a a b -=-=．∴221a b a =-=-． 1cos ,2||||a b a b a b ∴<>==-．2,3a b π∴<>=．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5．已知1sin()54πα-=，则3cos(2)(5πα+= )A ．78-B ．78C ．18D ．18-【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦函数求解即可．【解析】1sin()54πα-=，2233217cos(2)cos(2)cos(2)12sin ()12()555548ππππαπααα∴+=---=--=-+-=-+⨯=-．故选：A ．【总结与归纳】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力． 6．已知1a >，22()xxf x a +=，则()1f x <成立的一个充分不必要条件是( )A ．01x <220x x ∴+< 20x ∴-<<()1f x ∴<成立的一个充分不必要条件是10x -<<故选：B ．【总结与归纳】本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．7．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ) A ．21 B ．20 C ．19 D ．18【分析】写出前n 项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n 取正整数这一条件．【解析】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********a a a a a d a d ++=++++=，即1235a d +=，① 2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=，即1333a d +=，②由①②联立得139a =，2d =-，22(1)39(2)40(20)4002n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+，故当20n =时，n S 达到最大值400．故选：B ．【总结与归纳】求等差数列前n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n 取正整数这一条件．8．函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)πϕ-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象( )A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出ϕ的值，可得凹函数()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【解析】由函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)πϕ-<<的部分图象，可得2A =，()2362T πππ=--=，T π∴=，2ω=，()2cos(2)f x x ϕ=+，将(,2)3π代入得2cos()13πϕ+=，0πϕ-<<，∴22,()2cos(2)2sin 2()3312f x x x πππϕ=-=-=-．故可将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度得到l 的图象，即可得到()sin g x A xω=的图象，故选：B ．【总结与归纳】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出ϕ的值，sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x 时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，(b f =-，c f =（3）的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >> 【分析】根据函数(1)y f x =+是偶函数得到函数关于1x =对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．【解析】(1)y f x =+是偶函数，(1)(1)f x f x ∴-+=+，即函数()f x 关于1x =对称．当1x 时，1()()12x f x =-为减函数，3339(log 2)(2log 2)(log )2f f f =-=，且3log 4-==，339log 4log 32<<，b ac ∴>>，故选：C ．【总结与归纳】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．10．设函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，则使得()(21)f x f x <-成立的x 的取值范围是( ) A ．1(3，1) B ．(-∞，1)(13⋃，)+∞C ．1(3-，1)3D ．(-∞，11)(33-⋃，)+∞【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，化简不等式推出结果即可．【解析】函数21()(1||)1f x ln x x =+-+，是偶函数，0x >时，函数是增函数，所以：()(21)f x f x <-，可得|||21|x x <-，即22(21)x x <-，可得23410x x -+>，解得(x ∈-∞，1)(13⋃，)+∞．故选：B ．【总结与归纳】本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性，绝对值不等式的解法，考查计算能力以及转化思想的应用．11．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+=⎨+>⎩，若|()|1f x ax -恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[2-，0]B ．[2-，1]C ．[4-，0]D ．[4-，1]【分析】分x 的范围进行讨论，当0x >时，|()|f x 恒大于0，只要0a 不等式|()|1f x ax -恒成立；0x =时对于任意实数a 不等式|()|1f x ax -恒成立；0x <时，把不等式|()|1f x ax -取绝对值整理后分离参数a ，然后利用基本不等式求解a 的范围，最后取交集即可得到答案．【解析】当0x >时，(1)0ln x +>恒成立则此时0a 当0x 时，22x x -+的取值为(-∞，0]，2|()|2f x x x =- 221(0)x x ax x --0x =时，左边>右边，a 取任意值都成立．0x <时，有12a x x+- 即4a -综上，a 的取值为[4-，0]．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了参数分离法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中高档题．12．在ABC ∆中，O 为外心，已知CO xCB yCA =+，且21x y +=，1cos 3B =，则(AO AB BO BC= )A ．94B C D ．14【分析】做出图形，根据共线定理求出ABBC即可．【解析】设CD 为O 的直径，则222CD CO xCB y CA ==+，延长CA 至P ，使得2CP CA =， 21x y +=，B ∴，D ，P 三点共线， CD 是O 直径，BC BP ∴⊥，延长AO 交BC 于M ，则AM BC ⊥，//AM BP ，∴21||2AO AB AB =，21||2BO BC BC =，∴2()AO AB AB BC BO BC=，1cos sin 3BM ABC ABM AB ∠=∠==，∴322AB AB BC BM ==， ∴94AO AB BO BC =．故选：A．【总结与归纳】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件20x yx yy-⎧⎪+-⎨⎪⎩，则34z x y=-的最大值为 6 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】由x，y满足约束条件20x yx yy-⎧⎪+-⎨⎪⎩作出可行域如图，联立020yx y=⎧⎨+-=⎩，解得(2,0)A，化目标函数34z x y=-，化为344zy x=-，由图可知，当直线344zy x=-过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6．故答案为：6．【总结与归纳】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．在ABC∆中，2AB AC==，23BC=，点D在BC边上，45ADC∠=︒，则AD的长度为2；角C=．【分析】由A向BC作垂线，垂足为E，由已知条件求出cos B，从而能求出30C B∠=∠=︒，进而能求出AE，由此利用正弦定理能求出AD的长．【解析】由A向BC作垂线，垂足为E，AB AC=，132BE BC∴==2AB =，3cos BE B AB ∴==， 30B ∴=︒，AB AC =，30C B ∴∠=∠=︒，3tan3031AE BE ∴=︒=⨯=， 45ADC ∠=︒，2sin AEAD ADC∴==∠．故答案为：2，30︒．【总结与归纳】本题考查三角形的边长和角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．15．设函数3221()33ax f x bx a x =-+-在1x =处取得极值为0，则a b += 79- ．【分析】求出导函数，根据定义可知f '（1）220a b a =-+=，f （1）0=，得出1a =或23a =-，由极值概念可知1a =不成立，故23a =-，19b =-，得出答案．【解析】3221()33ax f x bx a x =-+-，22()2f x ax bx a '∴=-+，在1x =处取得极值为0， f '∴（1）220a b a =-+=，f （1）0=，1a ∴=或23a =-，函数有极值，1a =不成立．23a ∴=-，19b =-，故答案为79-．【总结与归纳】本题考查了极值的概念和导函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握． 16．若函数32,()(,x x ef x e alnx x e ⎧-<=⎨⎩为自然对数的底数）的图象上存在两点M 、N ，使得90MON ∠=︒，（其中O 为坐标原点），且MN 中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 (0，1]2e．【分析】设出M ，N 的坐标，根据直线垂直，转化为向量垂直得到关于t 的方程，利用参数分离法，进行转化，构造新函数求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的取值范围进行求解即可．【解析】设曲线()y f x =上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设(M t ，())(0)f t t >， MN 中点恰好在y 轴上，3(,2)N t t ∴-， 90MON ∠=︒，∴0OM ON =，即232()0t t f t -+=，即2()10tf t -=，①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M 、N ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M 、N ．若0t e <<，则3()2f t t =-代入①式得：32210t t --=，即4410t +=， 0t e <<，∴方程4410t +=无解，因此t e ，此时()f t alnt =，代入①式得：210talnt -=，即21atlnt =，即12a tlnt=，令1()h x tlnt =，()x e ，则2221()()(1)()0()()()lnt t tlnt lnt t h x tlnt tlnt tlnt -+-'-+'===<恒成立， ()h x ∴在[e ，)+∞上单调递减，t e ，()h x h ∴（e ）11elne e==，又当t e 时，()0h x >，10()h x e ∴<，即102a e <，得102a e<，∴实数a 的取值范围是(0，1]2e，故答案为：(0，1]2e【总结与归纳】本题考查分段函数的运用，根据直线垂直，转化为向量垂直，利用中点坐标公式求出M ，N 的坐标关系，利用构造法，求函数的导数，研究函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17．已知向量(2sin 2a x =2)x ，(cos b θ=，sin )(||)2πθθ<，若()f x a b =，且函数()f x 的图象关于直线6x π=对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[4π-，]3π上的值域．【分析】（Ⅰ）根据对称轴以及θ的范围可得6πθ=，从而可得()f x 及单调递减区间；（Ⅱ）换元后利用正弦函数的图象可得．【解析】（Ⅰ）()2sin 2cos 2sin )f x a b x x x θθθ===+，⋯⋯⋯⋯⋯（2分）函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，262k ππθπ∴⨯+=+，k Z ∈，6k πθπ∴=+，k Z ∈，又||2πθ<，6πθ∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）())6f x x π∴+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）函数sin y x =的单调递减区间为[22k ππ+，32]2k ππ+，k Z ∈令2[262x k πππ+∈+，32]2k ππ+，[6x k ππ∴∈+，2]3k ππ+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()f x ∴的单调递减区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）[4x π∈-，]π，2[64x ππ∴+∈-，5]6π．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）sin(2)[6x π∴+∈，1]，()f x ∴在[4x π∈-，]3π上的值域为[⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 【总结与归纳】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．18．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈．（1）求n a ；（2）若数列{}n b 满足331(1)(3)n n n b log a log a =++，{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意的正整数n 都有n T m <，求m 的最小值．【分析】（1）数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，2n 时，121n n a S -=+，相减可得：12n n n a a a +-=，即13n n a a +=，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）数列{}n b 满足33111111()(1)(3)(11)(31)(2)22n n n b log a log a n n n n n n ====-+++-+-++，利用裂项求和、数列的单调性即可得出．【解析】（1）数列{}n a 满足11a =，121n n a S +=+，2n 时，121n n a S -=+，相减可得：12n n n a a a +-=，即13n n a a +=，∴数列{}n a 是等比数列，公比为3，首项为1．13n n a -=．（2）数列{}n b 满足33111111()(1)(3)(11)(31)(2)22n n n b log a log a n n n n n n ====-+++-+-++，{}n b ∴的前n 项和为1111111111[(1)()()()()]232435112n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++．对任意的正整数n 都有n T m <， ∴3111()4212m n n -+<++．34m∴， m ∴的最小值为34．【总结与归纳】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和、数列的单调性、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的面积S 满足22243S b c a =+- （Ⅰ）求角A 的值；??????（Ⅱ）若ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC 的最小值．【分析】（Ⅰ）由三角形的面积公式及余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan 3A =，结合范围(0,)A π∈，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，可知222a b c bc =+-，利用ABC ∆的内切圆面积公式可求半径为1．进而可求23b c a +-=，利用基本不等式可求4334()8bc b c bc +=+，解得12bc ，根据平面向量数量积的运算即可求得AB AC 的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中由余弦定理有2222cos b c a bc A +-=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∴可得：222331()cos sin 2S b c a bc A bc A =+-==，⋯⋯⋯⋯（4分） tan 3A ∴=，(0,)A π∈，3A π∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）由余弦定理，可知222a b c bc =+-， ∴由题意，可知ABC ∆的内切圆半径为1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）ABC ∴∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，可得23b c a +-=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）222(23)b c b c bc ∴+-=+-，∴可得：4334()8bc b c bc +=+，可得：12bc ，或43bc，（舍) ⋯⋯⋯（11分） ∴1[62AB AC bc =∈，)+∞，当且仅当b c =时，AB AC 的最小值为6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【总结与归纳】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，由内切圆的半径求得b c a +-=20．已知函数2()(1)(0)2kf x ln x x x k =+-+．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．【分析】()I 根据导数的几何意义求出函数()f x 在1x =处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；()II 先求出导函数()f x '，讨论0k =，01k <<，1k =，1k >四种情形，在函数的定义域内解不等式()0f x '>和()0f x '<即可．【解析】()I 当2K =时，2()(1)f x ln x x x =+-+，1()121f x x x'=-++，由于f （1）ln =（2），f '（1）32=，所以曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为：32(1)2y ln x -=-．即322230x y ln -+-=；1()()1(1)1II f x kx x x'=-+>-+当0k =时，()1xf x x'=-+，因此在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<；所以()f x 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞；当01k <<时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得10x =，210kx k -=>；因此，在区间(1,0)-和1(k k -，)+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)kk-上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和1(k k -，)+∞，单调递减区间为1(0,)kk-；当1k =时，2()1x f x x'=+，()f x 的递增区间为(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x +-'==+，得10x =，21(1,0)kx k -=∈-；因此，在区间(1-，1k k -)和(0,)+∞上，()0f x '>，在区间1(kk-，0)上，()0f x '<；即函数()f x 的单调递增区间为1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间为1(kk-，0)．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想．21．已知函数2()(1)x f x x e x =-+．（Ⅰ）求()f x 在1[2x ∈，1的最值；（Ⅱ）若()()x g x f x ae x =--，当()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时，总有221()(2)(1)x e g x t x e ++，求此时实数t 的值．【分析】（Ⅰ）函数2()(1)x f x x e x =-+的定义域为R ，22()2(1)1(21)10x x x f x x e x e x x e '=+-+=+-+>在1[2，1]上恒成立．()f x 在1[2，1]上单调递增，即可求解．（Ⅱ）()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时，可得2a >-，122x x +=-，且2(1,)x ∈-+∞ 222212()(2)(1)[2(1)]0x x x eg x t x e x e e t e ++⇒-+当20x =时，t R ∈．当2(1,0)x ∈-时，222212(1)11x x x e e t e e e =-++，当2(0,)x ∈+∞时，212(1)1x t e e -+，即可求解．【解析】（Ⅰ）函数2()(1)x f x x e x =-+的定义域为R ，22()2(1)1(21)1x x x f x x e x e x x e '=+-+=+-+，221y x x =+-在[1-，1]上单调递增，当12x =时，0y >，2()(21)10x f x x x e '=+-+>，在1[2，1]上恒成立．()f x ∴在1[2，1]上单调递增，∴11()()22min f x f ==，()min f x f =（1）1=，（Ⅱ）2()()((1)x x g x f x ae x x a e =--=--，2()(21)x g x x x a e ∴'=+--， ()g x 有两个极值点1x ，212()x x x <时．∴△0>，即2a >-， 122x x +=-，即2(1,)x ∈-+∞22212()(2)(1)(1)x eg x t x e e x a e ++⇒-- 21(2))(x t x e +21)x +，222210x x a +--=，22ex e ∴-222222()(1)[2(1)]0x x x x t x e x e e t e -+⇒-+当20x =时，t R ∈．当2(1,0)x ∈-时，222212(1)11x x x e e t e e e =-++，显然函数2111x y e =-+在(1,0)-递增，211121x y e =-<+ t e ∴，当2(0,)x ∈+∞时，212(1)1x t e e -+，显然函数2111x y e =-+在(0,)+∞递增， t e ∴，综上所述，t e =．【总结与归纳】本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 过定点(1,P 且与直线OP 垂直．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于AB 两点，求11||||PA PB +的值．【分析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程转化为22sin 2cos 0ρθρθ-=．由此能求出曲线C 的直角坐标方程，由直线l过定点(1,P 且与直线OP 垂直，能求出直线l 的参数方程．（Ⅱ）设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 与曲线C的方程联立得240t -+=，则12t t +=124t t =，由此能求出11||||PA PB +．【解析】（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=．即22sin 2cos 0ρθρθ-=．∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）直线l过定点(1,P 且与直线OP垂直，OP k =l k ∴l 的斜率角为α，则cos α=，1sin 2α=， ∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（Ⅱ）设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 将直线l 与曲线C的方程联立得240t -+=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）则12t t +=124t t =，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）故1t ，2t 同正，∴1212121111||||||||t t PA PB t t t t ++=+==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 【总结与归纳】本题考查曲线的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-．（1）若()f x 的最小值为4，求a 的值；（2）当[2x ∈，4]时，()f x x <恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意利用绝对值不等式，列方程求出a 的值；（2）讨论34x 和23x <时，不等式()f x x <恒成立，转化为关于||x a -的不等式恒成立，从而求得a 的取值范围．【解析】（1）由()f x 的最小值为4， ()|||3||3|f x x a x a ∴=-+--，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）令|3|4a -=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）解得7a =或1a =-；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）①当34x 时，()f x x <恒成立等价于||3x a -<恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 即33a x a -<<+在34x 时恒成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）即3334a a -<⎧⎨+>⎩，解得16a <<；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）②当23x <时，()f x x <恒成立等价于||23x a x -<-恒成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）即333x aax>-+⎧⎪+⎨>⎪⎩在23x <时恒成立，须32323aa-+<⎧⎪+⎨<⎪⎩解得13a<<；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）综上，a的取值范围是(1,3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【总结与归纳】本题考查了含有绝对值不等式的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。

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