【同步备课】高中数学(北师大版)必修一课件：3.3.2指数函数及其性质应用

∵ 4 x 1 ，∴定义域为 x ( , 0)
(0, ) ．
4x 1 4x 1 2 2 y x 1 4 1 4x 1 4x 1
4 0 4 1 1
x
x

1 1 1 0 或 x x 4 1 4 1
2 2 2 0， 或 ∴ 4x 1 x 4 1 2 2 1 1 1 1 或 ∴ 4x 1 x 4 1
1. 指数函数的图像与性质;
1 x 2. 函数 y a 与 y ( ) 的关系. a
x
3. 指数幂大小的比较方法.
只要时刻保持一份自信、一颗不息的奋斗 雄心，生命的硕果就会如影相随。
解： （1） y1 y 2 当且仅当 3x 1 2x ，
1 分情况讨论 解得 x 5 （2）当 a 1 时，函数 y a x 为增函数，
故 y1 y 2 当且仅当 3x 1 2x ，
1 解得 x 5
当0<a<1时，函数y=ax为减函数，故y1>y2当且仅当
y a x , y bx , y cx , y dx 如图， 设 a,b,c,d 均大于 0 且不等于 1，
在同一坐标系中的图像如图， 则 a,b,c,d 的大小顺序为 （ C ） A. a b c d B. a b d c C. b a d c D. b a c d
例 1.求下列函数的定义域
1 y( ) (1) 2
1 3 x 1
x y 2 1 (2)
1 1 解： （1）由 有意义，得 x ， 3x 1 3 1 即函数的定义域为 x x 3
x （2）由 2 x 1 0 ，得 2 1 ，所以 x 0 ，
并说明理由．
解:
因为-1< x <0 ，所以 0< x <1
与1比较
而 3>1，因此有 3 x >1 又 0<0.5 <1，因而有 0< 0.5 x <1 故
3 x > 0.5 x
3x 1 2x y a y a 设 1 ， 2 ，其中 a 0, a 1 ，
当 x 为何值时有： （1） y1 y 2 ； （2） y1 y 2
3x+1<-2x解得x< 1
5
1.如果指数函数 f ( x ) (a 1) x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 (C ) A． a 2
b
B． a 2
a
C． 1 a 2
D． 0 a 1
1 1 1 2. 设 1 ．则有（ 3 3 3
像在_________象限.
第一
2x 2 x 5.(2012·郑州高一检测) x 2 2 x
（1）求 f (x) 的定义域和值域； （2）写出 f (x) 的单调区间，并用定义证明 f (x) 在所写区间上的单调性.
2 x 2 x 4x 1 x 解析： （ 1） f ( x ) x x 2 2 4 1
x
的取值互为相反数时，其函数值是相等的，因而两 个函数的图像关于 y 轴对称
观察下面几个函数图像，你能得出什么规律？
1 x 1 x y （） y （） 3 5
y 5x
y 3x
1 x y （ ） 2
y 2x
小结：
1 x x 指数函数 y a 与指数函数 y ( ) = a 的图像 a 关于 y 轴对称.
即函数的定义域为 x x 0


求解函数的定义域一般要从以下几个方面考虑： 1.分母不能为零； 2.偶次方根的被开方数大于或等于零.
百度文库
3.指数函数，对数函数的底数要满足大于零且不等于1.
例 2 (1)求使不等式 4 x 32 成立的 x 的集合； (2)已知 a a
4 5 2
，求数 a 的取值范围.
1 2 2 1
∵ x1 , x2 (0, ) ，且 x1 x2 ， ∴ 4 1 1 0, 4
x x2
1 0, 4 x1 4 x2 0 ，
即 f ( x1 ) f ( x2 )
∴ f ( x2 ) f ( x1 ) 0
∴ f ( x ) 在 (0, ) 上为减函数； 同理可证，f(x)在(-∞,0)上也为减函数．
D）
C． 1 a b D． 0 a b 1
A． 0 b a 1
B． a b 1
3.已知 f x 的图像与指数函数 g(x)=a 的图像关于 y 轴对称.那么
x
（1 ，3 ） y f ( x 1) 2 过定点____________.
1 ，这时 y a x 的图 4．指数函数 y a x （a＞1）中，当 x 0 时， y ___
例4
比较下列各题中两个数的大小
0.6
(1) 1.8
, 0.8
1.6
;
3 1 2 (2) ( ) 3 , 2 5 . 3
解：方法一
直接用科学计算器计算各数的值，再对
两个数值进行大小比较
（1） 因为 1.8
0.6
1.422 864, 0.81.6 0.699 752, ，所以
1.80.6 0.81.6 ；
1 x 1 x 1 x 画出函数 y ( ) ， y ( ) , y ( ) 的图像， 你能发现什么性质？ 2 3 5
1 x 1 y ( )x y ( ) 5 3
1 y ( )x 2
总结提升：
一般地，0< a <b<1 时， （1）①当 x <0 时，总有 a x b x 1 ； ②当 x =0 时，总有 a x b x 1 ③当 x >0 时，总有 0 a x b x 1 （2）当 x >0 时，指数函数的底数 a 越大， 图像越在上方。
1 2 3 ( ) 2.080 084 （2）因为 3
1 2 ( ) 3 3
>2
3 5
,2

3 5
0.659 754 ，所以
方法二 利用指数函数的性质对两个数值进 行大小比较
(1) 由指数函数性质知 1.8
0.6
>1.8 =1,0.8 <0.8 =1,
0.6
0
1.6
0
所以 1.8
>0.8
例3
1 x （ ） 在同一坐标系中画出指数函数 y 2 与 y 2
x
的图像，说出其自变量、函数值及其图像间的关系？
解：在同一坐标系中
y
1 x 指数函数 y 2 与 y ( ) 2
x
y=(1 )x
2
y=2x
的图像如图：
0
x
1 x 可以看出，当函数 y 2 与函数 y ( ) 的自变量 2
x
画出函数 y 2 x ， y 5x , y 3x 的图像，你能发现什么性质？
y 5x y 3
x
y 2x
总结提升：
一般地， a >b>1 时， （1）①当 x <0 时，总有 0＜ a b 1 ；
x x
②当 x =0 时，总有 a b 1
x x x x
③当 x >0 时，总有 a b 1 （2）当 x >0 时，指数函数的底数 a 越大， 其函数值增长越快,即图像越在上方。
解： （１） 4 32, 即 2
x
x
2x
25 ．
5 因为 y=2 是 R 上的增函数，所以 2x＞5,即 x 2 5 x 满足 4 32 的 x 的集合是 ( , ) ； 化为同底 2 4 的指数幂 x （２）由于 2 ，则 y a 是减函数， 5
所以 0 a 1 ．
第2课时
指数函数及其性质应用
1.进一步巩固指数函数的图像及其性质的知识；（重点）
2.能利用指数函数的性质分析解决有关问题.（重点、难点）
指数函数的图像和性质
a>1
6
0<a<1
6 5 4
图 像
1
-4 -2
5
4
3
3
2
2
1
1
-4 -2
1
0
-1
2
4
6
0
-1
2
4
6
1.定义域：(, ) 性 2.值域： (0, ) 质 3.过点 (0,1) ，即x= 0 时，y= 1 4.在 R上是 增函数 4.在R上是 减函数
1 1， 所以，函数的值域为 ，
（2）函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0, )和( , 0) 设 x1 , x2 (0, ) ，且 x1 x2 ，
2(4 x 4 x ) 4 x2 1 4 x1 1 f ( x2 ) f ( x1 ) x x x1 x 2 4 1 4 1 (4 1)(4 1)
1.6
(2) 由指数函数的性质知
1 ( ) 3
2 3
>1,0＜ 2 <1,

3 5
3 1 2 所以 ( ) 3 ＞ 2 5 3
提升总结
比较两个指数幂大小常用方法有以下几种： ①利用指数函数的单调性比较； ②寻找与中间数 1 的大小关系进行比较; ③利用计算器计算(一般不用).
例5
已知-1< x <0，比较 3 x ， 0.5 x 的大小，