九年级数学二次根式4
九年级数学最简二次根式
2020河南中考数学考点突破(课件+训练)：4二次根式
B. 2 2 =2 2 33
D. 1 = 3 - 2 3 2
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3.如果ab>0,a+b<0,那么下列各式:① a = a ,② a · b =1,③ ab ÷ a =-b.其中正
b b ba
b
确的是 ( B )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
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一、选择题
1.(2019山东济宁)下列计算正确的是 ( D )
A. (-3)2 =-3 B. 3 -5= 3 5
C. 36 =±6
D.- 0.36 =-0.6
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2.(2019山东聊城)下列各式不成立的是 ( C )
A. 18- 8 = 7 2 93
C. 8 18 = 4 + 9 =5 2
A. 5-1<0.5 2
B.若ab=0,则a=b=0
C. a = a bb
D.若a>0,则3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
解析 5-1≈0.6>0.5,故选项A错误;若ab=0,则a=0或b=0,故选项B错误;选项C应 2
加上a≥0,b>0,故选项C错误.故选D.
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超级总结 方法技巧 二次根式的估值一般有两种方法. 方法一:无限逼近法——①先对根式平方, 找出与平方后所得数字相邻的两个能 开得尽方的整数;②对找出的两个整数开方即可确定这个整式在哪两个整数之间; 方法二:借助无理数的近似值确定.如 2 ≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236等.
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1-2 (2019郑州外国语中学模拟)若使二次根式 1 有意义,则字母x必须满足 2x 1
2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)
专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
华师大版九年级数学上二次根式
第22章 二次根式第1课时 二次根式（1）教学目标:1a ≥0）的意义解答具体题目。
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题。
教学重难点：a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；a ≥0）”解决具体问题．教学流程:一、回顾：当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．二、概括：a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意： 在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例：x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解：被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义． 思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．三、练习x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-板书设计：二次根式 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式． 例题：第2课时 二次根式（2）教学目标：1a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．2a ≥0）是一个非负数，教学重难点：a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．a≥0）是一个非负数；• 教学流程：一、复习引入：（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0有意义吗？［老师点评（略）．］二、探究新知：议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，22213，2=72，）2=0，所以例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）22=a（a≥0）的结论解题．解：2 =32，（2=32·2=32·5=45，2=56，（）2=74=．三、巩固练习：计算下列各式的值：22（4）2）2（222-四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0） 2．2 3．2 4．）五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．板书设计：二次根式第3课时 二次根式（3）教学目标：（a ≥0）并利用它进行计算和化简．教学重难点：a （a ≥0）．难点：讲清a ≥0a 才成立．教学流程：一、复习引入：老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知：（学生活动）填空：=_______；=________=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=21102337．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4 三、巩固练习：教材P4.3.4．四、应用拓展：例2 填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？ （2，则a 可以是什么数？（3，则a可以是什么数？五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．板书设计：二次根式第4课时二次根式的乘除法(1)教学目标:a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重难点：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．教学流程:一、复习引入:（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知:（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．反过来例1．计算（1（2（3（4解：（1（2（3=（4三、巩固练习:（1）计算（学生练习，老师点评）①②×四、归纳小结：本节课应掌握：（1＝（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．板书设计：例题：第5课时二次根式的乘除（2）教学目标：a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点：a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．利用计算器计算填空:（1=_________，（2=_________，（3=______，（4=________．二、探索新知：刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：例1．计算：（1（2解：（1=2（2==×三、应用拓展：例3=，且x为偶数，求（1+x解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值=6．四、归纳小结：a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．板书设计：二次根式的乘除法a≥0，b>0）例题：a≥0，b>0）第6课时二次根式的乘除(3)教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．教学重难点：重点：最简二次根式的运用．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：（学生活动）请同学们完成下列各题1．计算（1（2，（3二、探索新知：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．例1．(1)例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长．解：因为AB 2=AC 2+BC 2 所以132====6.5（cm ） 因此AB 的长为6.5cm ．三、巩固练习：练习2、3板书设计：二次根式的乘除法1．被开方数不含分母； 例题：2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．课后反思：第7课时 二次根式的加减(1)教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．教学重难点：重点：二次根式化简为最简根式．难点：会判定是否是最简二次根式．教学流程：一、复习引入：学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．AC二、探索新知学生活动：计算下列各式．（1）（2）（3（4）老师点评：因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：（1=（2+3（2（4+8三、巩固练习练习1、2．四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．板书设计：二次根式的加减（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；例题：（2）相同的最简二次根式进行合并．第8课时二次根式的加减(2)教学目标：运用二次根式、化简解应用题．教学重难点：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点．教学流程：一、复习引入：上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．二、探索新知：例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）B A CQP分析：设x 秒后△PBQ 的面积为35平方厘米，那么PB=x ，BQ=2x ，•根据三角形面积公式就可以求出x 的值．解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米．则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．三、巩固练习：练习3四、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．板书设计：二次根式的加减例题：第9课时 二次根式的加减(3)教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 教学重难点：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学流程：一、复习引入：学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）解：（）÷÷-3 2三、巩固练习练习第3题四、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．板书设计：二次根式的加减（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；例题：（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．课后反思：。
中考数学复习指导：二次根式运算的“四注意”
二次根式运算的“四注意”二次根式的运算可以说是前面学过的二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用，也是本章内容的落脚点，是前面几节内容的总结，在进行二次根式的运算时，请同学们还要注意以下几点：一、注意运算顺序问题二次根式的运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．例1(2．=．解：原式===33=+就说明：计算时注意运算顺序，另外，除法没有分配律，(21错了．二、注意运算法则问题在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式可以看作“多项式”，因此实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和、立方差公式等）在二次根式的运算中仍然适用．例2．计算：（2+3―6）（2―3―6）．解：原式=〔（2―6）＋3〕〔（2―6）―3〕=（2―6）2―（3）2=8―23―3=5―23．三、注意熟练进行二次根式计算和化简在理解二次根式基本概念基础上，掌握好二次根式的重要性质多做一些练习，就能达到熟练计算和化简二次根式的目的，除此之外还要掌握一些方法技巧． １．因式分解法 例４．化简：yy ++χχ+χχχy y y+2解：原式=yy ++χχ+()yy y+χχχ2=yyy +++χχχ2=yy ++χχ2)(=χ+y２．观察法例５． 设等式y a a x a y a a x a -+-=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ,x ,y 实数，则22223yxy x y xy x +--+的值为（ ）． 解：由二次根式定义知：a －y ≥0,x －a ≥0,a (x －a )≥0,a (y －a )≥0, ∴a ≥0且a ≤0∴a =0∴已知等式可化为o y x =-，∴x = -y . ∴222222)()(3y y y y y y ++----=223y y =31．３．凑零法 例６． 已知χ=132- 求2χ+1+χ的值．解：由χ=132-=13+，得31=-χ，两边平方后整理得0222=--χχ,∴原式=34313003)22(2=+++==-+--χχχ．４．倒数法例７． 当32-=χ时，求代数式3)32()347(2++++χχ的值． 解：由32-=χ，得321+=χ，∴原式=323113113)32()32(2222+=++=+⋅+⋅=+++⋅+χχχχχχ．５．整体代入法 例８． 已知2323-+=χ，2323+-=y ，求代数式22)()(y y y y +-++χχχχ的值．解：由已知得625+=χ，625-=y ，∴10=+y χ，1=y χ，∴原式=9910110110122-=-+． ６．换元法例９．已知11122=-+-a b b a ，求22b a +的值． 解：设=-21a χ＞0，则122χ=-a ，由已知得χb b a -=-112两边平方得222221χχb b b a a +-=-，)(212222χχ++--a b b a =0， 0222=+-∴b b χχ，0)(2=-χb ，b =χ,b a =-∴21,122=+∴b a ．四、探索与思考：１．（1）判断下列各式是否正确．你认为成立的，请在括号内打“∨”，不成立的打“×”．①322322=+（ ） ②833833=+（ ） ③15441544=+（ ） ④24552455=+（ ） （2）你判断完以上各题之后，请猜测你发现的规律，用含n 的式子将其规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．２．如图１，所示的集合中有5个实数，请计算其中的有理数的和与无理数的积的差．图１３．细心观察如图２，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+ S 1=21； 31)2(2=+ S 2=22； 41)3(2=+ S 3=23…… （1）请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长．（3）求出210232221S S S S ++++ 的值． ４．先将23222xx xx x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值． 答案与提示：１．答案为①∨②∨③∨④×．（2）、（3）略。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结九年级上册知识点二次根式知识点考点1、无理数无限不循环的小数，叫做无理数。
常见的无理数：1、π以及π的有理数倍数。
2、、、；3、2．…………考点2、二次根式的概念形如（a≥）的式子叫做二次根式。
1、被开放数a是一个非负数；2、二次根式是一个非负数，即≥；3、有限个二次根式的和等于，则每个二次根式的被开方数必须是0.考点3、移因式于根号内、外的方法移因式于根号外1、当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内2、当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内移因式于根号内1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号考点4、最简二次根式知识回顾：满意下列前提的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
知识特点：1、最简二次根式中一定不含有分母；n2、对于数大概代数式，它们不能在写成a×m的方式。
考点5、二次根式的化简与计算二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式的加减运算：a二次根式的乘法运算：.+b==（a+b），（m≥）；，( a≥0, b≥0)；二次根式的除法运算：÷=，( a≥0, b＞0)；二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)；二次根式的开方运算：=考点6、1、不同点：XXX的平方，而与与的异同点表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平透露表现一个实数a的平方的算术平方根；时，=；时，2、不异点：当被开方数都长短负数，即无意义，而一元二次方程考点1、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中，它的特征是：等式左边叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
九年级数学最简二次根式
9 2 5 9 2 35 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5
2 （ 3） 20a b
2 1 1 2 2x 2bc x 2x 20a 2b 4 a cx 2 a 2 5bc 22 a 5 2 2 5b x 3 x x x 3 2 8x c 8c x 2x 4 4 c c 16 x4 cx
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中所有因式的幂的指数 都小于2 2.如何化二次根式为最简二次根式 .
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险起见，耿正继续说：“爹，睡哇！不丢人，丢啥人啊，没有人笑话咱们！”耿老爹也继续说：“唉，怎么能说不丢人呢，不 过是自己骗自己哇！一想到这些，俺就睡不着了啊！”耿正低声说：“不用演戏啦，这些家伙不会再返回来了！”说完了回头 一瞧，耿直和尚武怎么都不在炕上了。赶快点上灯一看，发现这小哥俩都光着脚板儿瞪着眼睛在地上站着呢，并且手里边还各 握着一条捅火棍儿！耿正赶快轻声招呼俩人上炕来，说：“没事儿了，你们快上炕来！这真要打起来，也要穿上鞋哇！”俩人 心有余悸地把捅火棍儿重新立在门后爬上炕来。耿直说：“我的心这会儿还在‘嗵嗵嗵’地跳呢！”尚武说：“我也是！”耿 老爹摸摸俩人的脚板儿，心疼地说：“快好好儿搓一搓哇，可别着凉了啊！”耿直说：“俺们不去关上门吗？那些贼肯定给咱 大敞着呢！”耿老爹说：“不必了，这样才更像是真的呢！你们都放心睡哇！爹睡不着了，就一直从这个窗帘缝儿里看着！” 东边屋里，耿英本来就睡得很不踏实，那“咚”的一声把她也惊醒了。她没有惊扰娘和妹妹，只是自己一人爬到拉开的窗帘缝 隙中往外观看。三个窃贼的一举一动和他们的对话，她比西边屋里的哥哥和爹看得、听的更加真切。当她看到三个窃贼开始左 顾右盼地观察时，已经把那条三尺多长的擀面杖抓在了手里。突然间，她清楚地听到了爹和哥哥的对话，马上就明白了爹的用 意。果然，三个窃贼失望地走掉了，耿英终于松了一口气。郭氏翻一个身低声问：“你干啥呢？”耿英说：“俺看是不是天儿 要亮了！”“要去茅房？”“不去！”“娘好像听到谁在说话了？”“俺也听到了，是爹在说梦话呢！哥哥叫醒他了。”“哦。 睡哇，天儿亮还得一会儿呢！”“哦。”耿英放心地沉沉睡去了。天儿麻麻亮时，一直守护在西屋窗帘儿后面的耿老爹感觉眼 皮子有些打架，心想绝对不会再有问题了，还是关了院门儿睡觉哇。谁知刚回身爬到枕头边上，一倒头就给躺下迷糊过去了。 24第百十八回 重聚接风合一饭|（重聚接风合一饭，举杯祝福话过往；形影不离好兄弟，终于挥泪又见面。）堂屋里，耿老爹、 耿直和尚武已经围坐在饭桌边儿了。见大壮出来了，耿老爹赶快抬手招呼他：“来，壮子，坐叔边上来！”耿英把湿毛巾搭在 拉绳上，对郭氏说：“娘，你也坐哇，俺和兰兰给咱们上饭！”郭氏说：“你先坐了，娘和兰儿把菜上齐了，也就坐了！”于 是，耿英就挨着大壮坐了。耿直打开一小坛白酒，给爹和大壮各满上一杯，转头问尚武：“三弟，今儿个高兴，咱俩也少喝点 儿？”尚武说：“好，给我倒一点点吧！”耿直就给尚武和自己的酒盅里各倒了小半盅。又给娘、姐姐和妹妹面前的酒盅里各 倒了多半盅茶水，说：“娘、姐、兰兰，你们喝不了白
2021年人教版九年级上册数学概念定义公式归纳
九年级上册数学概念、定义、公式归纳一、二次根式1.2.二次根式被开方数为非负数。
所有二次根式都是非负数。
3.4.二次根式乘法法则：反过来也合用。
5.二次根式除法法则：，反过来也合用。
6.被开方数不含分母、不含能开得尽方因数或因式二次根式，称为最简二次根式。
7.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相似二次根式进行合并。
二、一元二次方程8.等号两边都是整式，只具有一种未知数，并且未知数最高次数是2，这样方程叫一元二次方程。
9.一元二次方程普通形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c是常数项。
10.解一元二次方程基本思路是“降次”。
办法有四种：①直接开平办法。
如果方程能化成x²=p或（mx+n）²=p（p≥0）形式，那么x=±√p，或mx+n=±√p。
②配办法：（1）移项，把常数项移到等号右边。
（2）系数化为1，方程两边同除以二次项系数。
（3）配方，等号两边同加一次项系数一半平方。
（4）直接开平方。
③公式法。
（1）运用根鉴别式b²-4ac判断根状况。
若鉴别式△不大于0，则方程无实数根；若等于0，则有两个相等实数根；若不不大于0，则有两个不相等实数根。
（2）△≥0时，运用一元二次方程求根公式“-b±√b²-4ac /2a”来解方程。
④因式分解法。
把方程化为mn=0形式。
11.求两个单位时间段平均增长（减少）率公式：a(1±x)²=b三、旋转12.把一种平面图形绕着平面内某一点O转动一种角度，叫做图形旋转。
点O叫旋转中心，转动角叫旋转角，转动方向有顺时针和逆时针两种。
13.旋转性质：①相应点到旋转中心距离相等。
②相应点与旋转中心所连线段夹角等于旋转角。
③旋转先后图形全等。
14.把一种图形绕着某一点旋转180°，如果它可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形中心对称。
初中九年级数学(初三)总复习 第六课 数的开方与二次根式
第6课 数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、 同类二次根式、二次根式运算、分母有理化 〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。
最新九年级数学二次根式的乘除4
6.课外作业与拓展
以太币 以太币矿机 上海以太坊俱乐部 军鬻搋
25 25
100 100
4 4
请学生总结：
a b
a b
a a bb
(a 0,b 0) 这是二次根式的除法 法则。
(a 0,b 0)
例3 计算：
(1) 3 ; (2) 4 4 ; (3) 64 (4) 2 1 1
100
9
9
2 10
答案 : (1) 3 10
(3) 8 2 2 33
(2) 2 10 3
(5) 2 xy 1 1 ; 3x
3)化简：
(1) 115 ; 49
（2） 9 ； 49
(3)
0.01 25 0.36 324
;
(4) 45 (5) 1 2 5
25
36
4)化简：(要求分母不带根号)
(1) 5 ; 15
(2) 5 3次根式的乘除法运算，要注意必备的条件， 正确使用公式，并要能灵活地与其他有关知识联系 起来，使运算便捷。
九年级数学二次根式的乘除4
一、教学目标
1.掌握二次根式的乘法法则 2.会利用二次根式的基本性质和二次根式的
乘法法则化简二次根式
例2 计算：
(1) 14 7; (2)5 3 2 15; (3)3 5a 2 10b
答案：（1）7 2 （2）30 5 (3)30 2ab 让学生体会进行二次根式的乘法计算时的计算方
(4)5
例4 化简
(1) 1 ; 2
答案：
（1）
2
2
(2) 4 ; 20
(2) 5 5
4.练习巩固，促进迁移
1)计算：
(1) 36 256 ; （2） 500 ； (3) 12x3
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案
华师大版九年级数学上册《二次根式》教案一、教学内容二、教学目标1. 知识与技能：理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算。
2. 过程与方法：通过实例引入，培养学生从实际问题中抽象出数学概念的能力；通过例题讲解和随堂练习，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
三、教学难点与重点重点：二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的乘除运算。
难点：理解并运用二次根式的性质，正确进行二次根式的乘除运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
2. 学具：练习本，笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一组实际生活中的问题，如：计算平方根、求面积等，引导学生发现二次根式的概念。
2. 新知探究（3）讲解二次根式的乘除运算，并进行例题演示。
3. 例题讲解（1）计算：√9 × √16（2）计算：(√3 + √5) × (√3 √5)4. 随堂练习（1）计算：√25 × √4（2）计算：(√2 + √8) × (√2 √8)5. 小结六、板书设计1. 二次根式的定义2. 二次根式的性质3. 二次根式的乘除运算4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：√49 × √9（2）计算：(√7 + √21) × (√7 √21)（3）已知一个正方形的面积为 64 平方米，求它的边长。
2. 答案：（1）21（2）0（3）8 米八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次根式的定义和性质掌握较好，但在进行乘除运算时，部分学生还存在困难。
在今后的教学中，应加强此类题目的训练。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将二次根式与实际问题相结合，如求不规则图形的面积等，提高学生解决问题的能力。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的设定2. 教学过程中的实践情景引入3. 例题讲解与随堂练习的设计4. 作业设计中的题目难度与答案解析5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的设定在教学难点与重点的设定上，需要明确二次根式的定义、性质和乘除运算是本节课的核心内容。
九年级数学二次根式全章
易错难点剖析及注意事项提醒
01
易错点一：忽视被开方数的非负性
02
在解决二次根式问题时，要确保被开方数是非负数，否则 二次根式无意义。
03
易错点二：忽视二次根式的化简
04
在进行二次根式运算时，要先将二次根式化为最简形式， 再进行运算，否则可能导致结果错误。
05
易错点三：忽视运算过程中的符号问题
06
在进行二次根式运算时，要注意符号问题，特别是在进行 加减运算时，要确保同类二次根式的符号一致。
应用场景
适用于含有公因式的二次根式化简。
示例
$sqrt{18a^3b^4c^5}=sqrt{9a^2b^4c^4
times
2ac}=sqrt{9a^2b^4c^4}
times
sqrt{2ac}=3ab^2c^2sqrt{2ac}$
典型例题解析与思路拓展
01
典型例题
$sqrt{75}-sqrt{54}+sqrt{96}-sqrt{108}$
03 二次根式化简技巧与方法
完全平方公式在化简中应用
完全平方公式
01
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
应用场景
02
当二次根式中含有完全平方项时，可以直接应用完全平方公式
进行化简。
示例
03
$sqrt{4+4sqrt{3}+3}=sqrt{(2+sqrt{3})^2}=2+sqrt{3}$
九年级数学二次根式全章
目 录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式四则运算规则 • 二次根式化简技巧与方法 • 二次根式在生活实际问题中应用 • 复杂二次根式处理和转换策略 • 总结回顾与拓展延伸
初中数学二次根式的运算(含解析)
初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1） （2【难度】2星 【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ； 当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二 二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点： （1） 整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2） 多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】 计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】 计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星 【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -； （4）3+【巩固】（1） （2（3） （4）3ab （0,0a b ≥≥） 【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+； （2）1； （3） （4）a -．【例6】 解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值． 【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三 二次根式的化简求值【例7】 （2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =． 【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】 （2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =． 【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =． 【难度】2星 【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时 ，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=． 【答案】36【例10】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值． 【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值． 【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果． 原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略 【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是 ．（用“＞”表示） 【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】 比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】 比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五 非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于 ． 【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察． 【答案】1【例18】 如果2y =，则2x y += ． 【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察． 解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=． 【答案】5【例19】 当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-． 【答案】2-【例20】 已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值． 【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（ ）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（ ）．A 2B C D【难度】1星【解析】 因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2） 【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简 【难度】1星 【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -． 原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。
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若a.b为实数,且
2 2
2 a b2 0
b2 0
求 a b 2b 1 的值
解:
2 a 0，
而 2 a b2 0
2 a 0 ， b2 0
a 2 ， b 2
2 2
原式 a b 1 2 2 1 2 1 3
2
2.从取值范围来看,
a
2
a≥0
a2
3.从运算结果来看:
a =a
a
2
a (a≥ 0)
-a (a＜0)
=∣ a ∣ =
化简下列各式:
(1)(3 2 ) (2 3 )
2
2
(2) (5) ( 5 )
2 2
2
(3) m 16m 64(m 8) (4) a b (a 0, b 0)
2 2 2
(2)(2 5)
(3)(3 3)
1
练习1:用心算一算:
25 5
2
33
2
18
4 4
2
0.01 0.01
2
1 1 3 3
2
0 0
2
a a
2
(a≥0)
(4) 4
2
1 1 0.01 (0.01) 3 3
21.1二次根式（2）
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a ( a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性 .
(
4 )2 4
( 0.01) 2 0.01
1 1 2 ( ) 3
3
( 00)
例2：计算
(1)( 1.5)
4.
10
2
练习2:
1
1 2
2
2
2 1
2 x 1
(x>0 )
x 1
2
2
3
x 2 xy y x y (x﹤y) yx
2
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1:从运算顺序来看,
a 先开方,后平方
2
2
a 先平方,后开方
a取任何实数
：a b 6与 a b 8
互为相反数， 求： a, b的值。
；
/419.html 比特币
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点什么口号，让宫里那些人以为你是被别人指示的就行了。”“噫！”还真是够缺德的。慕容凌娢想说什么，但又怕夏桦不带自己去了，只好 接过瓶子。打开一看，是一粒药。“这个真的假的……发作快吗？”“挺快，而且味道不难吃。”“你吃过？”慕容凌娢俯到瓶口闻了闻这粒 药，确实没有什么农药，毒药之类的气息。“没有。不过这是我自己做的，我知道效果好不好。”“你还做毒药？”“不能叫做毒药。”夏桦 一本正经的说道，“我可是个正规的炼丹师。”“哦，那你身为炼药师，有木有炼出长生不老的仙丹？”“有。”“真的？”慕容凌娢惊得呆 毛一怔。“天真。”夏桦无奈的摇摇头，小声说道，“就是因为这个时代有那么多像你一样天真的人，我才有钱可赚。”“你就不想着穿越回 去吗？”慕容凌娢问。“不想，这里比我的那个时代好多了。”“……我还是想回家，回那个有空调，WIFI，手机，冰箱，无籽西瓜的年代” 慕容凌娢话锋一转，“话说大叔，你是哪个世纪的？”“为了防止有些人在知道未来的事情之后穿越回自己的年代后试图更改历史，晴穿会的 成员不能透漏自己过去所在的时代。”夏桦突然变得很严肃，“这是规矩。”“规矩是人定的……”“但不是一般人能改的。” “那请问这 些规矩是哪位不一般的人定的？”慕容凌娢觉得那位大佬有些多虑了。明明穿越回去都是很困难的事情，何谈改变历史。“晴穿会的创始 人。”“纳尼？我一直以为晴穿会是你创立的。”慕容凌娢貌似又发现了什么不得了的大事。“我有那么厉害吗？”夏桦反问道。“有啊。” 慕容凌娢显得很给面子。“话说晴穿会创始人是谁？叫什么名字？”“不知道。总之年代很久远，姓名都没有留下。”“都可以用久远来形容 了……晴穿会有几百年历史？”慕容凌娢感觉这实在是不可思议，“话说再怎么历史悠久也不能不记录创始人的名字啊。”“确实奇怪，但不 是咱们需要操心的事。”“也对。”到进了皇宫之后，慕容凌娢不敢再多说话。寝宫内，慕容凌娢再次跪倒在皇帝面前，心情可比上次好多了， 她想象着自己已经成功偷出灵石，然后回到21世纪卖自己顺走的古董，甚至开始计划要怎样花那些那些不义之财。皇帝正在看一本书，至于是 什么书，慕容凌娢没敢正眼看。她只能把头压的很低，脸与地面成三十度角，小心翼翼的转着眼珠，寻找那抹代表着希望，又让人心情舒畅的 绿。那是玉玺的专有颜色，虽然很像出轨绿。（古风一言）你若赐我一段浮华，我便许你满世繁花。第118章 踩点寝宫内，慕容凌娢再次跪倒 在皇帝面前，心情可比上次好多了，她想象着自己已经成功偷出灵石，然后回到21世纪卖自己顺走的古董，甚至开始计划要怎样花那些那些不 义之财。皇
2 2
(2)已知a, b, c为△ABC的三边长, 化简 (a b c) (b a c)
2 2
( 2003年· 河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p ) 2 p 1 p (2 p)
2
2
p 1 2 p 1
已知
2
2
a a
2
(a ＜ 0)
a a
2
(a≥0)
a a
2
2
(a＜0)
a (a≥0)
a a
-a (a＜0)
例3：化简
(1) 16 (2) (5)
2 2
(3) (5) ( 4) 5
2
练习： 1.计算 : 1 2. 7
2 2
1.
0 .3
2
3.