九年级数学相似三角形的性质同步练习2
北师大初三数学相似练习题
北师大初三数学相似练习题相似三角形是初中数学的一个重要概念，其在几何学中有着广泛的应用。
为了帮助初三学生有效掌握相似三角形的相关知识，以下是一些北师大初三数学相似练习题，供大家练习与巩固。
1. 设在△ABC中，∠C = 90°，CD ⊥ AB于D。
若AD = 6 cm，BD = 8 cm，AC = 10 cm，求BC的长度。
解析：首先，根据直角三角形的性质，AC² = AD² + CD²。
代入已知值，得到：10² = 6² + CD²100 = 36 + CD²CD² = 100 - 36CD² = 64CD = 8接下来，根据相似三角形的性质，我们知道△ABC与△ACD相似。
因此，根据相似三角形的边比例关系，我们可以列出以下等式：BC / AC = AC / AD代入已知值，得到：BC / 10 = 10 / 6BC = (10 / 6) × 10BC = 100 / 6BC ≈ 16.67所以，BC的长度约为16.67 cm。
2. 在△ABC中，D是BC边的中点，E是AC边的中点。
若AB = 3 cm，AC = 4 cm，求△AED与△ABC的面积比。
解析：由于D是BC边的中点，所以BD = CD = 3/2 cm。
同样地，由于E是AC边的中点，所以AE = CE = 2 cm。
根据相似三角形的性质，我们可以知道△AED与△ABC相似。
因此，△AED与△ABC的面积比等于边长比的平方。
边长比为 (AD / AC) = (AE / AB) = (2 / 4) = 1/2所以，△AED与△ABC的面积比为 (1/2)² = 1/4。
3. 已知△ABC与△DEF相似，且各边的对应长度比为：AB / DE = 3/4，BC / EF = 5/6，AC / DF = 8/9。
若AB = 12 cm，求DF的长度。
精品 九年级数学下册 相似形-相似形性质 同步讲义同步练习题
相似形第02课 相似三角形的性质知识点：相似形性质： 相等、 成比例，相似三角形的对应边之比也叫(1)相似三角形 、 和 都等于相似比.(2)相似三角形周长的比等于 .(3)相似三角形面积的比等于 .重要方法：(1)相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.(2)相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.(3)对于同底等高的两个三角形的面积比等于射影定理：例1.如图,在△ABC 中,DE∥BC ,AC=4,AB=3,EC=1.求AD 和BD.例2.如图,在□ABCD 中,EF ∥AB,DE:EA=2:3,EF=4,求CD 的长．例3.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD=0.55m ，求该梯子的长.BDAD CD AB BD BC ABAD AC ⋅=⋅=⋅=222例4.如图,D 、E 分别是AC,AB 上的点,∠ADE=∠B,AG ⊥BC 于点G,AF ⊥DE 于点F.若AD=3,AB=5，求：(1)AFAG ；(2)△ADE 与△ABC 的周长之比；(3)△ADE 与△ABC 的面积之比.例5.如图，一个矩形ABCD 的长AD=acm ，宽AB=bcm ，E,F 分别是AD,BC 的中点，连接E,F ，所得新矩形ABFE 与原矩形ABCD 相似，求a:b 的值．例6.如图,△ABC 是一锐角三角形,边BC=120,高AD=80,P 为AD 上一动点,过P 点作EF ∥BC,交AC 、AB 于E 、F 两点,过E 作EH ⊥BC 于H 点,过F 作FG ⊥BC 于G 点,得到矩形EFGH.设FG=x,矩形EFGH 面积为S 。
(1)如图1,找出S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如图2,当x 取何值时，矩形EFGH 面积S 有最大值？最大值是多少？同步练习：1.在△ABC 和△DEF 中,AB=2DE ，AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC 的周长是16,面积是12,那么△DEF 的周长、面积依次为( )A.8，3B.8，6C.4，3D.4，62.如图所示，下面四个选项中，与已知三角形成相似的是（ ）3.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5，另一个和它相似的五边形的最大边的长为7，则后一个五边形的周长为( )A.27B.25C.21D.184.两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( ) A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,855.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍6.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2:3，△A 1B 1C 1∽A 2B 2C 2，相似比为5:4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为（ ） A.56 B.65 C.56或65 D.158 7.在坐标系中,已知A （-3,0），B （0,-4），C （0,1）,过点C 作直线L 交x 轴于点D,使得以点D 、C 、O 为顶点的三角形与△AOB 相相似,这样的直线一共可以作出（ ）条.A.6B.3C.4D.58.如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900得△A /OB /．已知∠AOB=300,∠B=900,AB=1,则B /点的坐标为 ( ) A.)2323(， B.)2323(， C.)2321(， D.)2123(，第8题图 第9题图9.如图，在正△AABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）A.1:3B.2:3C.3:2D.3:3 10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900,BC=3，AC=4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A.32 B.76 C.256 D.2第10题图 第11题图 第12题图11.如图，在△ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠,使点A 与点D 重合，折痕为EF,则△DEF 的周长为( )A.9.5B.10.5C.11D.15.512.如图,已知∠ABD=∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）A.2B.3C.4D.513.如图，已知∠B=∠CAD ，BC=2AC,S △ABC =a,则△ABD 的面积为（ ）A.a 21B.a 41C.a 43D.a 32第13题图 第14题图14.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A.16B.17C.18D.19 15.若235a b c ==（abc ≠0），则a b c a b c ++-+=_______ 16.填空：1）已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1：4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
专题27.22 相似三角形的性质(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识
专题27.22 相似三角形的性质（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标(0，3)，点B 坐标(4，0)，将点O 沿直线34y x b =-+对折，点O 恰好落在∠OAB 的平分线上的O’处，则b 的值为（ ）A ．12B ．65C ．98D ．15162．如图，CD 是ABC 的高，2CD AD BD M =⋅,是CD 的中点，BM 交AC 于,E EF AB ⊥于F ．若164,5EF CE ==,则AB 的长为( )A ．485B ．383C ．413D ．4153．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．654．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，AB BC =，若2AD =，1CD =，则BD 的值为（ ）AB ．2CD ．5．如图，点E 从矩形ABCD 的顶点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒1个单位的速度运动，过E 作EF ∠AE 交直线DC 于F 点，如图2 是点E 运动时CF 的长度y 随时间t 变化的图象，其中M 点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M 点作MN ∠y 轴交图象于N 点，则N 点坐标是（ ）A ．（5，2）B ．（2）C ．（2+2）D ．（2+，2）6．如图，在直角坐标系xOy 中，A （﹣4，0），B （0，2），连结AB 并延长到C ，连结CO ，若∠COB∠∠CAO ，则点C 的坐标为（ ）A ．（1，52）B ．（43，83）C D7．如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，线段AB 与线段B 'C '交于点P ，连接BB '．当五边形A 'B 'BCD 为正五边形时，BPAP即长为（ ）A．1B C1D8．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（）A．2B．6-C．D．49．如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A．B C．203D．410．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若AP HF⊥，10AP=，则小正方形边长GF的长是（）A ．52B ．C ．3 D二、填空题11．如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，连接EC ，已知BC ＝6，AD ＝2，且S △CDE ＝2710，则点A 到DE 的距离为 _________．12．如图，E 、F 、G 、H 分别为矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、HE 、EC 、GA 、GF ，已知AG ∠GF ，AC ＝AB 的长为___．13．在平面直角坐标系中，如图，3==OB AB ，点(,0),33-<+A a a 点C 在y 轴上且OC OA =，连接BC ．现给出以下结论：∠连接AC ，则AC =； ∠OAB 的周长是一个固定值； ∠BC 的最小值为1；∠当BC 取最小值时，OA其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）14．如图，在平面直角坐标系中，点A (0，1)，点B 为直线y=12x 上的一个动点，∠ABC ＝90°，BC =2AB ，则OC 的最小值为____．15．已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．16．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是_________．17．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．矩形ABCD 绕着点A 旋转，点B 、C 、D 的对应点分别是点B '、C '、D ，如果点B '恰好落在对角线BD 上，连接DD '，DD '与B C ''交于点E ，那么DE =___________．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点，连接ED ，延长EA 至F ，使EF ＝ED ．以线段AF 为边作正方形AFGH ，点H 落在AD 边上，连接FH 并延长，交ED 于点M，则DMDE的值为_____．三、解答题19．已知矩形ABCD，点E在AD边上，连接BE、BD，∠BED＝2∠BDC，BE＝25，BC ＝32，则CD的长度为______．20．在正方形ABCD中，P为AB边上一点，将△BCP沿CP折叠，得到△FCP．（1）如图1，延长PF交AD于E，求证：EF=ED；（2）如图2，DF，CP的延长线交于点G，求DFAG的值．21．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：（1）当t=3秒时，这时，P ，Q 两点之间的距离是多少？ （2）若∠CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似？22．如图1．已知四边形ABCD 是矩形．点E 在BA 的延长线上．. AE AD EC =与BD 相交于点G ，与AD 相交于点,.F AF AB =()1求证：BD EC ⊥；()2若1AB =，求AE 的长；()3如图2，连接AG ，求证：EG DG -=．23．如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP CQ =；（2）若14AP AC=，求:CE BC的值；（3）求证：PF EQ=．24．【操作发现】如图∠，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图∠条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN 上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图∠，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．参考答案1．D【分析】假设直线与∠OAB的平分线交x轴点C，交y轴于D,易求得OA=3,OB=4,AB=5,OD=b,且直线与AB平行，利用角平分线性质可得35OC OACB AB==,再由平行线分线段成比例得,OD OC OA AB =即3353b =+，解得98b =,结合图象，1928﹤b ﹤，利用排除法即可得到答案.解：假设直线与∠OAB 的平分线交x 轴点C ，交y 轴于D ，如图：∠A(0，3)，B(4，0)，∠OA=3，OB=4，AB=5，且直线AB 斜率等于34-，由直线34y x b =-+知OD=b ，且直线与AB 平行，∠AC 平分∠OAB, ∠35OC OA CB AB ==, ∠直线与AB 平行, ∠,OD OC OA AB=即3353b =+，解得98b =, 结合图象直线34y x b =-+的位置，b 的范围为1928﹤b ﹤，利用排除法， 故选D.【点拨】本题考查了角平分线的性质和平行线分线段成比例，利用假设法和排除法解答是选择题的一种技巧．2．C 【分析】延长BC 交FE 的延长线于点H ，推出4EF EH ==，通过证明ACDCBD ，得出90ECH ∠=︒，继而得出 2.4CH =，再证明AEF HEC ，得出5AE =，再证明HECABC ，从而得出答案．解：延长BC 交FE 的延长线于点H ，∠,EF AB CD AB ⊥⊥∠//CD FH ∠,DM BM CM BM EF BE EH BE == ∠DM CM EF EH= ∠M 是CD 的中点∠DM CM =∠4EF EH ==∠ACD CBD∠A BCD ∠=∠∠90BCD ACD ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ECH ∠=︒∠222CH CE EH +=∠ 2.4CH =∠AEF HEC ∠,AE EF A EHC EH CE=∠=∠ ∠5AE =∠AC AE CE =+∠8.2AC =∠90,ACB HCE EHC A ∠=∠=︒∠=∠∠HEC ABC ∠HE HC AB AC=∠4 2.48.2 AB=∠413 AB=故选：C．【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．3．D【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF FC=，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP AB⊥时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当//PE AB．由翻折的性质可知：2PF FC==，90FPE C∠=∠=︒．//PE AB，90PDB∴∠=︒．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又FP为定值，PD∴有最小值．又A A∠=∠，ACB ADF∠=∠，AFD ABC∴∆∆∽．∠AF DF AB BC=，∠CF＝2，AC＝6，BC＝8，∠AF＝4，AB10，∠即4108DF=，∠ 3.2 DF=．3.22 1.2PD DF FP∴=-=-=．故选：D．【点拨】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．4．C【分析】延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，易发现ABE CDE，通过对应边成比例，可求解出DE、CE，再利用ABE DFE即可求出DF、BF.解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥BE，垂足为F，如图所示，AB BC⊥，AD CD⊥，90ABE CDE∴∠=∠=︒，AC AB BC∴===,又,E E ABE CDE∠=∠∴，DE CE CDBE AE AB∴==，设DE=x,CE=y,2yx===+整理可得关于x,y的二元一次方程组，⎧=⎪=，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，90,,ABE DFE E E∠=∠=︒∠=∠ABE DFE∴,35DF CE DE AB BE AE ∴===33225555DF AB BF BE ∴=====BD ∴=故选C.【点拨】利用三角形相似，找到边与边的比例关系，可以求出未知边长，再利用勾股定理即可求解.5．D【分析】当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，证明ABE ECF ∽△△，当F 在DC 的延长线上时，且2FC =，根据相似三角形的性质求得BE 的长，即可求得点N 的横坐标解：根据函数图象可知，当点E 运动到C 点位置时，0FC =，则4BC =，当E 点运动到BC 中点位置时，2FC =，即2CD =，AE EF ⊥∠90AEB FEC ∠+∠=︒四边形ABCD 是矩形90B ∴∠=︒90AEB BAE ∴∠+∠=︒FEC BAE ∴∠=∠90ECF ABE ∠=∠=︒∴ABE ECF ∽△△,M N 的纵坐标相等，则当F 在DC 的延长线上时，2FC =，BE t =，4EC t =-，AB EC BE FC=， 即242t t -=解得12t =，22t =-即点N 的坐标为(2，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．6．B解：根据相似三角形对应边成比例，由∠COB∠∠CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到13CBAB=，过点C作CD∠y轴于点D，然后求出∠AOB和∠CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83，最后写出点C的坐标为（43，83）．故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出13CBAB=是解题的关键，也是本题的难点．7．B【分析】先计算得出∠CDC'=∠ADA'=∠ADC'=36°，得到点C'在对角线BD上，再证明△BDA∠∠BAC'，求得BP= C'A= C'B1，进一步计算即可求解．解：连接BC'，AC'，如图：∠五边形A'B'BCD为正五边形，∠∠CDA '=()521805-⨯︒=108°， ∠菱形ABCD 绕点D 顺时针旋转得到菱形A 'B 'C 'D ，且∠ADC =72°，∠∠A 'DC '=∠ADC =72°，∠∠CDC '=∠ADA '=108°-72°=36°，∠∠CDC '=∠ADA '=∠ADC '=36°，∠点C '在对角线BD 上，∠ABC '=36°，由旋转的性质知AD =AB = DC '=2，∠∠DC 'A =∠DAC '=72°，∠∠C 'AB =36°，∠C 'A = C 'B ，设C 'A = C 'B =x ，则BD = x +2，∠∠BDA =∠BAC '=36°，∠△BDA ∠∠BAC '，∠DA ：AC '=BD ：BA ，即2：x =( x +2)：2，整理得：x 2+2x -4=0，解得x 1，(负值已舍)∠∠C 'BP =36°，∠BC 'P =72°，∠∠C 'PB =72°，∠BP = C 'A = C 'B 1，∠AP =3∠BP AP == 故选：B ．【点拨】本题考查了正多边的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．A【分析】画出裁切后的矩形，再利用相似求解即可．解：如图所示，四边形ABQN 是裁切后的矩形：∠ABG AHN HEQ ∠=∠=∠，CD QE =，6AB NQ ==∠ABGAHN HEQ ∠,,AH AN AN NH AB AG HQ QE== ∠正方形HFG 的面积是24∠AH AG === ∠4AN =∠NH∠6HQ NQ NH =-=-=解得2CD QE ==故选：A ．【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是正确的画出裁切后拼成的矩形．9．C【分析】过点G 作GI ∠AB ，GH ∠ED '，垂足分别为I 、H ，由折叠的性质可得C ′E =5-4=1，在Rt △EFC ′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，再证明△BC′D'∠∠C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∠∠DAB=90°，∠四边形ADED'是矩形，∠AD=AD'，∠四边形ADED'是正方形，过点G作GI∠AB，GH∠ED'，垂足分别为I、H，∠AD'ED是正方形，∠AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∠D'B=EC=8-5=3，在Rt∠C′BD'中，C′D'=4，∠C′E=5-4=1，在Rt∠EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=53，∠∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∠∠BC′D'=∠C′GH，又∠∠GHC′=∠BD'C′=90°，∠∠BC′D'∠∠C′GH，∠C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∠HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∠C′G=5m=5，∠FG=203；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．10．B【分析】过点E作EM∠AB于点M，证明∠AED∠∠HMD，可得DH MH DMAD AE DE==，由MH∠DP，可得32AH AMHP DE==，从而可得结论.解：∠∠ADE∠∠DCH∠∠CBG∠∠BAF，∠AE=DH，DE=CH，∠四边形GFEH是正方形，∠EH=EF=HG=GF，∠HF A=45°=∠EHF，∠AP∠HF，∠∠F AH=∠AFH=45°=∠AHE，∠AH=FH，AE=HE，∠AF=2AE，设AE=a，则AF=DE=2a，如图过点H作HM∠AD于M，∠,AD=∠∠DMH=∠AED=90°，∠ADE=∠MDH，∠∠AED∠∠HMD，∠DH MH DM AD AE DE==，∠MH，DM=，∠AM AD DM=-==，∠AD∠CD，∠MH∠DP，∠ 32AH AM HP DE ==， ∠AP =10，∠AH =6，∠EH =GF ，故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11． 【分析】过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，由将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，可得,BD DG BDA EDA =∠=∠，可证AH AG =，由D 为BC 中点，BC =6，可求132BD ED DC BC ====，由S △CDE ＝2710，可求95EF =，在Rt △EDF 中，由勾股定理125DF ，可求FC =35，在Rt △ECF 中，由勾股定理EC ==，可证AHD EFC ∆∆∽，可得AD AH EC EF = ，可求AH =即可 解：过点E 作EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，AH ∠BC 于H ，∠将△ABD 沿AD 折叠得到△AED ，∠,BD DG BDA EDA =∠=∠，∠AD 为∠BDE 的平分线，∠EF ∠BC 于F ，AG ∠DE 于G ，∠AH AG =，∠D 为BC 中点，BC =6，∠132BD ED DC BC ====， ∠S △CDE ＝2710， ∠112732210DCE S DC EF EF ∆=⋅=⨯⨯=， ∠95EF =， 在Rt △EDF中，由勾股定理125DF =，∠FC =DC -DF =3-12355=， 在Rt △ECF中，由勾股定理EC =∠DE =DC ， ∠DEC DCE ∠=∠，由外角性质，22BDE DEC DCE DCE BDA ∠=∠+∠=∠=∠， ∠DCE BDA ∠=∠，90AHD EFC ∠=∠=︒，∠AHD EFC ∆∆∽，∠AD AHEC EF =95AH=，∠AH =， ∠AG=AH =，．【点拨】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．12．【分析】如图，连接BD ．由∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ，可得AD GC ＝DGCF，推出2=a bb a，可得b a ，在Rt ∠GCF 中，利用勾股定理求出b ，即可解决问题； 解：如图，连接BD ．∠四边形ABCD 是矩形，∠∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ＝∠CG ＝DG ，CF ＝FB ， ∠GF ＝12BD∠AG ∠FG ， ∠∠AGF ＝90°，∠∠DAG +∠AGD ＝90°，∠AGD +∠CGF ＝90°， ∠∠DAG ＝∠CGF ， ∠∠ADG ∠∠GCF ，设CF ＝BF ＝a ，CG ＝DG ＝b ， ∠AD GC ＝DGCF， ∠2=a b b a， ∠b 2＝2a 2， ∠a ＞0．b ＞0， ∠b，在Rt ∠GCF 中，3a 2＝3， ∠a ＝1，∠AB ＝2b ＝故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．∠∠∠【分析】∠利用勾股定理计算出AC的长，进行判断；∠表示出∠OAB的周长即可判断；∠利用图形变形，将BC放在三角形中根据三角形的三边关系进行判断；∠利用三垂直模型及三角形相似求出OA的长即可．解：∠∠A（a，0），OA＝OC，a，∠AC∠C△OAB＝OA+AB+OB＝a∠3﹣a＜∠C△OAB不是一个固定值，故∠错误；∠如图，将∠OBC绕点O顺时针旋转90°，得到∠ODA，则OB＝OD，BC＝AD，∠BOD＝90°，∠BD4，在∠ABD中，AD＞BD﹣AB，当B，A，D三点共线时，AD最短，即BC最短，此时BC＝DA﹣AB＝4﹣3＝1，故∠正确；∠如图，当B，A，D三点共线时，作BE，DF垂直于x轴，垂足为E，F，则∠OEB ＝∠DFO ＝90°，∠1+∠2＝90°， 又∠BOD ＝∠2+∠3＝90°， ∠∠1=∠3， 又OB ＝OD ，∠∠BOE ∠∠ODF （AAS ），设B （x ，y ），则DF ＝OE ＝x ，OF ＝BE ＝y ，且x 2+y 2＝（）2＝8， 由BE ∠x 轴，DF ∠x 轴得BE ∠DF ， ∠∠ADF ∠∠ABE ， ∠=DF ADBE AB，即13x y =，∠y ＝3x ，把y ＝3x 代入x 2+y 2＝（2＝8得， x 2+9x 2＝8，解得x ＝（负值舍去），∠y =由∠ADF ∠∠ABE 得，13AF AD AE AB ==， ∠AE ＝3AF ，即a ﹣x ＝3（y ﹣a ）， a ﹣x ＝3y ﹣3a ，∠a 35544x y +===即OA =故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点拨】本题考查勾股定理，相似以及两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．14【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．解：连接OC，在∠AOC中，OC<OA+AC或OC>AC-OA故求OC最短，即求AC最短由题意知：∠ABC=90 ，BC=2AB且点A(0，1)，设AB=m，BC=2m，AC=根据点到直线的距离可知，m最小= 1255．此时AB∠直线y=12x，点C在直线上作BD∠OA与点D，在∠ABD和∠BOD中(DOB AOBDBO OAB公共角）∠∠DOB∠∠OBA∠12 OD OB BD AB又．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．15【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，ABF BHE ∠=∠，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形， 又EDC ∆是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，EHD DBC ∠=∠，9045ABF FBD DBC DBC ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 45BHE EHD ∠=︒-∠ABF BHE ∴∠=∠ //AB HE ∴AFB HFE ∠=∠， ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AFEH EF AE AF， 2AE =∴35=AF ∴=，【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．16．(3，32)【分析】过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，通过证明△ADO ∠△CEB ，△ADO ∠△OGC 即可．解：过点A 作AD ∠x 轴，垂足为D ，过点B 作BF ∠x 轴，垂足为F ，过点C 作CG ∠x 轴，垂足为G ，过点B 作BE ∠CG ，交GC 的延长线于点E ，∠四边形BFGE 是矩形，∠ADO =∠CBE =90°， ∠BF =EG ，∠四边形OABC 是矩形， ∠OA =CB ，∠BCO =90°，∠∠AOD =90°-∠COG =∠GCO =90°-∠BCE =∠CBE ， ∠∠ADO ∠∠CEB ，∠ADO ∠∠OGC ， ∠AD =CE ，AD DOOG CG=， ∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，∠AD =CE =2，BF =EG =72，CG =EG -CE =72-2=32，∠2132OG =，解得OG =3，故点C 的坐标为(3，32)，故答案为：(3，32)．【点拨】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握矩形的性质，三角形的全等与系数是解题的关键．17．2120【分析】过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，利用勾股定理求出BD =5，在根据是矩形ABD 的面积求出AF ，进而可求出 1.8BF B F '==，进而求出BD '，再证明AB F B ED ''△∽△，即有AF B FB D DE''=，DE 可求． 解：过A 点作AF ∠BD ，交BD 于点F ，如图，∠矩形中AB =3，BC =AD =4，∠BAC =90°，∠5BD =， ∠1122ABDAB AD B SD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∠342.45AB AD AF BD ⨯⨯===，∠ 1.8BF =，根据旋转可知：AB AB '=，90ABC AB C '∠=∠=，AD AD ='， ∠AF BD ⊥，∠ 1.8BF B F '==，即 3.6BB BF B F ''=+=， ∠5 3.6 1.4B D BD BB ''=-=-=，根据旋转可知：AB AB '=，AD AD ='，BAB DAD ''∠=∠，∠根据两个等腰三角形中顶角相等，则其底角也相等，即ABD ADD '∠=∠， ∠90ABD ADB ∠+∠=︒，∠90ADB ADD BDD ∠+∠==∠''，∠90AB F DB E ''∠+∠=，90B ED DB E ''∠+∠=， ∠AB F DEB ''∠=∠， ∠90AFB B DE ''∠=∠=， ∠AB F B ED ''△∽△， ∠AF B F B D DE ''=， ∠2.4 1.81.4DE=， ∠2120DE =， 故答案为：2120． 【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求出BD '是解答本题的关键．18【分析】过点M 作MN ∠AD 于点N ，根据勾股定理可得DE ＝EF AFGH 是正方形，可得AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1，根据//MN AE ，可得∠DMN ∠∠DEA ，所以MN DN DMAE DA DE==，即12MN DN ==MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ，再根据DN +NH ＝AD ﹣AH ，列式)3213x =-=求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，过点M 作MN ∠AD 于点N ，∠正方形ABCD 的边长为2，E 是AB 的中点， ∠AD ＝AB ＝2，AE ＝1，∠EAD ＝90°，∠DE EF = ∠四边形AFGH 是正方形，∠AF ＝AH ＝EF ﹣AE 1， ∠∠AHF ＝∠NHM ＝45°， ∠MN ＝NH ， ∠//MN AE ， ∠∠DMN ∠∠DEA ， ∠MN DN DMAE DA DE ==， ∠12MN DN == 设MN ＝NH ＝x ，则DN ＝2x ，DM ， ∠DN +NH ＝AD ﹣AH ，∠)3213x =-=∠DM =，∠DM x DE ==【点拨】此题考察了正方形的性质和三角形相似的知识，解决本题的关键是找到相似三角形得出线段之间的关系．19．24【分析】过E 作EF ∠BD 于F ，根据矩形的性质得到∠C =∠ADC =90°，于是得到∠ADB +∠BDC =90°，根据已知条件推出180°-∠AEB =2（90°-∠ADB ），得到∠AEB =2∠EDB ，根据等腰三角形的性质得到BF =12BD ，由平行线的性质得到∠ADB =∠DBC ，等量代换得到∠EBF =∠DBC ，推出∠EBF ∠∠DBC ，根据相似三角形的性质，求得BD =40，由勾股定理即可得到结论．解：过E 作EF BD ⊥于F ，∠四边形ABCD 是矩形，∠90C ADC ∠=∠=︒，∠2BED BDC ∠=∠，∠()180290AEB ADB ︒-∠=︒-∠，∠2AEB EDB ∠=∠，∠,AEB ADB EBD ∠=∠+∠，∠EDB EBD ∠=∠，∠BE DE =， ∠12BF BD =， ∠AD BC ∥，∠ADB DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∠=∠，∠EBF DBC ∽△△，BD BC∠2222253240BD BC BE =⋅=⨯⨯=，∠40BD =，∠24CD ．故答案为：24．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，外角的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．20．（1）证明见解析（2【分析】（1）连接CE ，通过全等三角形的判定，得到Rt △CFE∠Rt △CDE ，进而得出结论； （2）连接BG 、BF 、BD ，作CH∠DF ，垂足为H ．依据△CFG∠∠CBG ，可得GF=GB ，进而得出△GBF 是等腰直角三角形，故BF BG ．再判定△BGA∠∠FBD ，即可得到DF BF AG BG＝ 解：（1）如图1，连接CE ，∠四边形ABCD 是正方形，∠BC=CD ，∠B=∠D=90°．∠∠PBC 和△FPC 关于PC 对称，∠BC=CF ，∠B=∠PFC=90°．∠∠EFC=90°．∠∠EFC=∠D=90°，CF=CD ．∠CE=CE，∠Rt△EFC∠Rt△DFC（HL）．∠EF=ED．（2）如图2，连接BG、BF、BD，作CH∠DF，垂足为H．∠四边形ABCD是正方形，∠BC=CD．∠CH∠DF，∠∠HCF=12DCF ∠，∠∠PBC和△FPC关于PC对称，∠BC=CF，∠FCG=∠BCG．∠EB∠CG．又∠CG=CG，∠∠CFG∠∠CBG．∠GF=GB．∠∠HCF=12DCF∠，∠FCG=∠BCG=12BCF∠，∠∠HCK=12BCD∠=45°．∠∠PFH=135°．∠∠GFB=45°．∠∠GBF=45°．∠∠GBF是等腰直角三角形．∠BF=．∠∠ABD=45°，∠∠GBA=∠FBD．∠BG BF AB BD=， ∠∠BGA∠∠FBD ．∠DF BF AG BG== 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，全等三角形以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例得出结论．21．（1）10cm ；（2）2204=-S t t ；（3）t ＝3或t ＝4011 【分析】（1）在Rt∠CPQ 中，当t=3秒，可知CP 、CQ 的长，运用勾股定理可将PQ 的长求出；（2）由点P ，点Q 的运动速度和运动时间，又知AC ，BC 的长，可将CP 、CQ 用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式CPQ S =12CP×CQ 求解； （3）应分两种情况：当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，根据CP CQ CA CB=，可将时间t 求出；当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，根据CP CQ CB CA =，可求出时间t ． 解：由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm ，CQ=2t=6cm ，由勾股定理得10cm =；（2）由题意得AP=4t ，CQ=2t ，则CP=20﹣4t ，因此Rt∠CPQ 的面积为S=()21204t 22042t t t -⨯=-； （3）分两种情况：∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CAB 时，CP CQ CA CB =，即204t 2t 2015-=， 解得：t=3秒；∠当Rt∠CPQ∠Rt∠CBA 时，CP CQ CB CA=，即204t 2t 1520-=， 解得：t=4011秒．因此t=3秒或t=4011秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与∠ABC 相似 【点拨】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．22．（1）见解析；（2；（3）见解析 【分析】（1）由矩形的形及已知证得∠EAF∠∠DAB ，则有∠E=∠ADB ，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x ，利用矩形性质知AF∠BC ，则有EA AF EB BC=，进而得到x 的方程，解之即可；（3）在EF 上截取EH=DG ，进而证明∠EHA∠∠DGA ，得到∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，则证得∠HAG 为等腰直角三角形，即可得证结论．解：（1）∠四边形ABCD 是矩形，∠∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC ，AD∠BC ，在∠EAF 和∠DAB ， AE AD EAF DAB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAF∠∠DAB(SAS)，∠∠E=∠BDA ，∠∠BDA+∠ABD=90º，∠∠E+∠ABD=90º，∠∠EGB=90º，∠BG∠EC ；（2）设AE=x ，则EB=1+x ，BC=AD=AE=x ，∠AF∠BC ，∠E=∠E ，∠∠EAF∠∠EBC ， ∠EA AF EB BC =，又AF=AB=1， ∠11x x x=+即210x x --=，解得：x =x =（舍去） 即； （3）在EG 上截取EH=DG ，连接AH ，在∠EAH 和∠DAG ，AE AD HEA GDA EH DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EAH∠∠DAG(SAS)，∠∠EAH=∠DAG ，AH=AG ，∠∠EAH+∠DAH=90º，∠∠DAG+∠DAH=90º，∠∠HAG=90º，∠∠GAH 是等腰直角三角形，∠222AH AG GH +=即222AG GH =，，∠GH=EG -EH=EG -DG ，∠EG DG -=．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．23．(1)见解析；(2)38；(3)见解析 【分析】(1)由旋转知∠PBQ 为等腰直角三角形，得到PB=QB ，∠PBQ=90°，进而证明∠APB∠∠CQB 即可；(2)设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，又∠ABC 为等腰直角三角形，所以BC=2AC ，，再证明∠BQE∠∠BCQ ，由此求出BE ，进而求出CE:BC 的值；(3)在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，证明∠PFA∠∠QGC ，进而得到PF=QG ，然后再证明∠QGE=∠QEG 即可得到QG=EQ ，进而求解．解：∠四边形ABCD 为正方形，∠AB=BC ，∠ABC=90°，∠BP 绕点B 顺时针旋转90︒到BQ ，∠BP=BQ ，∠PBQ=90°，∠∠ABC -∠PBC=∠PBQ -∠PBC,∠∠ABP=∠CBQ ，在∠APB 和∠CQB 中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB BC ABP CBQ BP QB ，∠∠APB∠∠CQB(SAS)，∠AP=CQ ．(2) 设AP=x ，则AC=4x ，PC=3x ，由(1)知CQ=AP=x ，∠ABC 为等腰直角三角形，AC ， 在Rt∠PCQ中，由勾股定理有：=PQ ，且∠PBQ 为等腰直角三角形，∠==BQ ， 又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∠∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ ，∠∠BQE∠∠BCQ ， ∠=BQ BE BC BQ，x ，∠CE=BC -，∠3:8=CE BC ， 故答案为：38．(3) 在CE 上截取CG ，并使CG=FA ，如图所示：∠∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ ，且截取CG=FA ，故有∠PFA∠∠QGC(SAS)，∠PF=QG ，∠PFA=∠CGQ ，又∠∠DFP=180°-∠PFA ，∠QGE=180°-∠CGQ ，∠∠DFP=∠QGE ，∠DA //BC ，∠∠DFP=∠CEQ ，∠∠QGE=∠CEQ ，∠∠QGE 为等腰三角形，∠GQ=QE ，故PF=QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE 上截取CG ，并使CG=FA 这条辅助线．24．（1）6；（2）222EF BE FD =+，见解析；（3）2【分析】(1)根据旋转的性质证明∠ABE∠∠ADM 得到BE=DM ，又由∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，证出∠EAM=90°，得出∠MAN=∠EAN ，再证明∠AMN∠∠EAN （SAS ），得出MN=EN 最后证出MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2 )先根据旋转的性质证明∠AEG ∠∠AEF （SAS ），再证明∠GBE=90°，再根据勾股定理即可得到；(3)在AB 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，得到ABQP 为正方形，再根据操作发现以及勾股定理即可得到答案；（1）解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AB=CD=AD ，∠BAD=∠C=∠D=90°，由旋转得：∠ABE∠∠ADM ，∠BE=DM ，∠ABE=∠D=90°，AE=AM ，∠BAE=∠DAM ，∠∠BAE+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠BAD=90°，即∠EAM=90°，∠∠MAN=45°，∠∠EAN=90°-45°=45°，∠∠MAN=∠EAN ，在∠AMN 和∠EAN 中，AM AE MAN EAN AN AN ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝∠∠AMN∠∠EAN （SAS ），∠MN=EN ．∠EN=BE+BN=DM+BN ，∠MN=BN+DM ．在Rt∠CMN 中，5MN = ，则BN+DM=5，设正方形ABCD 的边长为x ，则BN=BC -CN=x -3，DM=CD -CM=x -4，∠x -3+x -4=5，解得：x=6，即正方形ABCD 的边长是6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EF BE FD =+，证明如下：将∠AFD 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点B 重合，得到∠ABG ，连结EG ．由旋转的性质得到：AF=AG ，DAF BAG ∠=∠又∠∠EAF ＝45°，∴904545GAE ∠=︒-︒=︒,且AE=AE ，∠∠AEG ∠∠AEF （SAS ），从而得EG ＝EF ．（全等三角形对应边相等），又∠BN ＝DM ，BN∠DM ，∠四边形DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∠DN∠BM ，∠AND ABM ∠=∠ （两直线平行，同位角相等），∠90AND ADN ∠+∠=︒,∠90ABG ABM ∠+∠=︒（等量替换），即：∠GBE=90°，则222EG BE GB =+，∠222EF BE FD =+；（3）在AD 上截取AP ，在BC 上截取BQ ，使AP ＝AB=BQ ＝3，连结PQ 交AM 于点R ，易证ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR +BN ＝RN ．设PR ＝x ，则RQ ＝3﹣x ，RN =1+x ，QN =3-1=2在Rt∠QRN 中，由勾股定理得：222RN NQ RQ =+，即222(1)2(3)x x +=+-解得：x ＝32， ∠PR =32∠PQ ∠DC ，∠∠APR ∠∠ADM ， ∠PR AP DM AD= （相似三角形对应边成比例） ∠3234DM = ∠DM ＝2；【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键．。
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案
人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。
人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (2)(含答案解析)
PD= 10-x= 2或8，
即PD = 2或8.
故选: D.
本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键.
3．D
【解析】
先求出BP，进而利用勾股定理求出AP的平方，即可求AI=8，最后判断出QG∥AC，即可通过全等得出结论．
第二十七章第2节《相似三角形》训练题(较难) (2)
一、单选题
1．如图， 中， 于D，下列条件中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，⑥ ，一定能确定 为直角三角形的条件的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
2．如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点，当 时，线段 的长应是（）
A．2B．6C．2或6D．2或8
5．A
【解析】
先根据AD∥BC，得到△AOD∽△COB，从而得出△COB的面积，再根据△AOB与△COB等高，从而得出△AOB的面积，同理得出△DOC的面积即可得出梯形ABCD的面积．
解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB
∵AD=2，BC=4，
∴
∴
∴ =4
∵△AOB与△COB等高，
又∵
∴
∴ =2
同理， =2
（3）如果 ，求证： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝－ x＋3经过B，C两点，已知A（1，0）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线上一点，过点D作DE∥y轴交直线BC于点E，当以O，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标；
任务：
（1）如图1，在 中， ， ， 的平分线 交腰 于点 ．请你根据上述材料利用所学知识，证明点 为腰 的黄金分割点；
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)
九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。
浙教版九级上数学.相似三角形的性质及其应用同步导学练(含答案)2
4.5 相似三角形的性质及其应用（2）相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，若它们的面积之和为136cm2，则较大的三角形的面积是(D).A.36cm2B.85cm2C.96cm2D.100cm22.如图所示，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE=1∶2，则下列等式中，一定成立的是(D).（第2题）（第3题）（第4题）3.如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC=3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B).A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶14.如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC 的面积为1，则△BCD的面积为(C).A.1B.2C.3D.45.如图所示，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么S△DEF∶S△ABC的值为 2 ．（第5题）（第6题）（第7题）6.如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=x k (x<0)的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 -16 ．7.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CM 是∠BCD 的平分线，且CM ⊥AB ，点M 为垂足，AM=31AB.若四边形ABCD 的面积为715，则四边形AMCD 的面积是 1 . 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别是35cm 和14cm.（1）若它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．（2）若它们的面积相差588cm 2，求这两个三角形的面积．【答案】(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm.(2)较大的三角形的面积为700cm 2，较小的三角形的面积为112cm 2.9.如图所示，△ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个与△ABC 相似的格点三角形，并填空.（1）在图1中画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1的周长是△ABC 的周长的2倍，则ABB A 11= 2 ． （2）在图2中画△A 2B 2C 2，使得△A 2B 2C 2的面积是△ABC 的面积的2倍，则AB B A 22= 2 ．（第9题）【答案】(1)图略 2(2)图略2 10.如图所示，在△ABC 中，P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上.已知BC=2，S △ABC =1.设BP=x ，平行四边形AFPE 的面积为y.（1）求y 关于x 的函数表达式.（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由.（第10题）【答案】(1)∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA.∴△BFP ∽△BAC.∴.∵S△ABC =1，∴S △BFP =42x .同理S △PEC =,∴y=. (2)上述函数有最大值，最大值为21.理由如下：∵y=-22x +x=-21（x -1）2+21，-21＜0， ∴y 有最大值.又∵0<x<2,∴当x=1时，y 有最大值，最大值为21.11.如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA =1∶9，则S ，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B ).A.1∶3B.1∶2C.1∶4D.1∶9（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）12.如图所示，D ，E ，F ，G 为△ABC 两边上的点，且DE ∥FG ∥BC ，若DE ，FG 将△ABC 的面积三等分，则下列结论正确的是(C ).13.如图所示，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG=42，则△EFC 的周长为(D ).A.11B.10C.9D.814.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，则△ABD 的面积为 13 ．15.如图所示，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 1211 . （第15题） （第16题）16.如图所示，M 是△ABC 内-点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9.则△ABC 的面积是 36 ．17.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点.过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED.（1）求证：ED ∥AC.（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S1，△ADC 的面积为S2，且S 21-16S 2+4=0，求△ABC 的面积.（第17题）【答案】(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD ，∴∠E=∠DAC. ∵BE ∥AD ，∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED ∥AC.(2)∵BE ∥AD ，∴∠EBD=∠ADC.又∵∠E=∠DAC ，∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k=DC BD =2.∴21S S =k 2=4，即S1=4S2.∵S12-16S 2+4=0，∴16S22-16S2+4=0，即(4S2-2)2=0.∴S 2=21. ∵=3，∴S △ABC =23. 18.如图1所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1，S 2，S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，请你确定S 1，S 2，S 3之间的关系并加以证明．（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，为使S 1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？请证明你的结论．（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．（第18题） 【答案】设直角三角形ABC 的三边BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，则c 2=a 2+b 2.(1)S 1=S 2+S 3.(2)S1=S2+S3.证明:∵S1=43c 2，S2=43a 2，S3=43b 2，∴S2+S3=43 (a 2+b 2)= 43c 2=S 1.∴S 1=S 2+S 3. (3)当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3.证明：∵所作的三个三角形相似，∴, ∴=1.∴S 1=S 2+S 3.(4)分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个相似图形，其面积分别用S 1，S 2，S 3表示，则S 1=S 2+S 3.19.【镇江】点E ，F 分别在ABCD 的边BC ，AD 上，BE=DF ，点P 在边AB 上，AP ∶PB=1∶n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1，S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3，S 4的两部分（如图所示）.有下列四个等式：①S 1∶S 3=1∶n ；②S 1∶S 4=1∶（2n+1）；③（S 1+S 4）∶（S 2+S 3）=1∶n ；④（S 3-S 1）∶（S 2-S 4）=n ∶（n+1）.其中成立的是(B ).A.①②④B.②③C.②③④D.③④（第19题） （第20题）20.【杭州】如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC 上，AD=5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于 78 .【解析】∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC=22AC AB =25，S △ABC =21AB ·AC=21×15×20=150.∵AD=5，∴CD=AC -AD=15.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠BAC=90°.又∵∠C=∠C ，∴△CDE ∽△CBA.∴AC CE =CB CD ，即20CE =2515，解得CE=12.∴BE=BC -CE=13.∵S △ABE ∶S △ABC =BE ∶BC=13∶25，∴S △ABE =2513×150=78.21.如图所示，在△ABC 中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC ≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿点B 到点C 方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M ．（1）求证：△ABE ∽△ECM ．（2）在△DEF 的运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．（3）当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．（第21题）【答案】(1)∵AB=AC ，∴∠B=∠C.∵△ABC ≌△DEF ，∴∠AEF=∠B.∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE ，∴∠CEM=∠BAE.∴△ABE ∽△ECM.(2)能.∵∠AEF=∠B=∠C ，∠AME ＞∠C ，∴∠AME ＞∠AEF.∴AE ≠AM.①当AE=EM 时，则△ABE ≌△ECM ，∴CE=AB=5.∴BE=BC -EC=1.②当AM=EM 时，则∠MAE=∠MEA ，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM ，即∠CAB=∠CEA.∵∠C=∠C ，∴△CAE ∽△CBA.∴AC CE =CB AC .∴CE=CB AC 2=625.∴BE=611.∴BE=1或611. (3)设BE=x.∵△ABE ∽△ECM ，∴.∴CM=-51（x -3）2+59.∴AM=5-CM=51（x -3）2+516.∴当x=3时，AM 最短为516.此时BE=21BC ，∴E 为BC 的中点.∴AE ⊥BC.∴AE=22BE AB =4.EF ⊥AC.∴EM=AE 2-AM 2=512.∴S △AEM =21×516×512=2596.。
浙教版九年级数学上册：4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习(含答案)
4.5 相似三角形的性质及其应用一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为米．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于．二．选择题（共10小题）6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．47．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：110．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，8514．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm215．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．参考答案一．填空题1．（2019•奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是1：2．【思路点拨】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，可得出答案．【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2．故答案为：1：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．2．（2019•南关区一模）利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为15米．【思路点拨】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴＝，即＝，∴AB＝15（米）．故答案为：15．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．3．（2019•曲阜市二模）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，BD 足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．【思路点拨】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得＝，将已知数据代入即可得．【答案】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，则＝，∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，∴＝，解得：CD＝0.4，∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．故答案为：0.4．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．4．（2019春•广陵区校级期末）如图，∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC斜边上的高，已知AB＝25cm，BC＝15cm，则BD＝9cm．【思路点拨】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CDB，∴，∴，解得：BD＝9cm，故答案为：9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2019春•滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于11．【思路点拨】利用三角形面积公式得到AF：FE＝3：2，再根据平行四边形的性质得到AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，则可判断△AFD∽△EFB，利用相似的性质可计算出S△AFD＝9，所以S△ABD＝S△CBD＝15，然后用△BCD的面积减去△BEF的面积得到四边形CDFE的面积．【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，∴AF：FE＝3：2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．二．选择题6．（2019春•海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【答案】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．（2018秋•嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm【思路点拨】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•新乐市二模）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（）A．1.2 里B．1.5 里C．1.05 里D．1.02 里【思路点拨】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．【答案】解：如图所示：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝，解得：FH＝1.05里．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形．9．（2018春•南票区期末）如图，在平行四边形ABCD中，O1、O2、O3分别是对角线BD上的三点，且BO1＝O1O2＝O2O3＝O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于点F，则AF：DF等于（）A．19：2 B．9：1 C．8：1 D．7：1【思路点拨】根据题意，易得△BO3E∽△DO3F和△BO1E∽△DO1A，利用相似的性质得出DF：BE的值，再求出BE：AD的值，进而求出AF：DF．【答案】解：根题意，在平行四边形ABCD中，易得△BO3E∽△DO3F∴BE：FD＝3：1∵△BO1E∽△DO1A∴BE：AD＝1：3∴AD：DF＝9：1∴AF：DF＝（AD﹣FD）：DF＝（9﹣1）：1＝8：1故选：C．【点睛】考查了平行四边形的性质，对边相等．利用相似三角形三边成比例列式，求解即可．10．（2018秋•秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；＝，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；＝（）2＝，④正确，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．11．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【思路点拨】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【答案】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．（2018秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．13．（2018秋•南岗区校级月考）两个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23，它们周长的差是40，则这两个三角形的周长分别为（）A．75，115 B．60，100 C．85，125 D．45，85【思路点拨】根据两个相似三角形的对应边的长，可求出它们的相似比，也就求出了它们的周长比，再根据它们的周长差为40，即可求出两三角形的周长．【答案】解：∵两相似三角形的一组对应边为15和23，∴两相似三角形的周长比为15：23，设较小的三角形的周长为15a，则较大三角形的周长为23a，依题意，有：23a﹣15a＝40，a＝5，∴15a＝75，23a＝115，因此这两个三角形的周长分别为75，115．故选：A．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：相似三角形周长的比等于相似比．14．（2019•毕节市）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【思路点拨】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【答案】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2018秋•襄州区期末）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝18米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．12米D．24米【思路点拨】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【答案】解：由题意知：∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴＝，∴CD＝＝12（米）．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问．三．解答题16．（2019•余杭区二模）如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG∥BC，交AD于点G．（1）求证：△FGE∽△FDB；（2）求的值．【思路点拨】（1）由GE∥BC，可得出∠GEF＝∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△FGE∽△FDB；（2）根据三角形中位线定理以及中线的定义得出GE＝BD、AG＝DG，再利用相似三角形的性质得出DF＝DG，进而即可得出＝．【答案】（1）证明：∵GE∥BC，∴∠GEF＝∠DBF．又∵∠GFE＝∠DFB，∴△FGE∽△FDB；（2）∵AD、BE是中线，EG∥BC，∴GE为△ADC的中位线，BD＝DC，∴GE＝DC＝BD，AG＝DG．∵△FGE∽△FDB，∴＝＝，∴DF＝DG，∴＝＝．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：（1）由GE（2）根据相似三角形的性质结合中位线定理得出DF＝DG、∥BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；AG＝DG．17．（2018秋•梁溪区校级期中）（1）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点P是边AB上一点，若△PAD∽△CBP，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点P；（2）在（1）的条件下，若AB＝8，AD＝3，BC＝4，则AP的长是2或6．【思路点拨】（1）先作CD中垂线得出CD的中点，再以中点为圆心，CD为半径作圆，与AB的交点即为所求；（2）证△APD∽△BPC得＝，即＝，解之可得．【答案】解：（1）如图所示，点P1和点P2即为所求．（2）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．∴∠ADP+∠APD＝90°，由（1）知，∠CPD＝90°，∴∠APD+∠BPC＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，∴△APD∽△BPC，∴＝，即＝，解得：AP＝2或AP＝6．故答案为：2或6．【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点．18．（2018秋•德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC•DB，且△PCD是等边三角形．（1）证明：△ACP∽△PDB；（2）求∠APB的度数．【思路点拨】（1）根据PC＝PD＝CD，以及CD2＝AC•DB，可得，又∠ACP＝∠PDB，则△ACP∽△PDB；（2）根据（1）的结论求出∠APC+∠BPD度数，最后加上∠CPD度数即可．【答案】（本小题8分）解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵CD2＝AC•DB，由PC＝PD＝CD可得：PC•PD＝AC•DB，即，∴△ACP∽△PDB；（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．19．（2018秋•昌图县期末）如图，路灯（点P）距地面6m，身高1.5m的学生小明从路灯的底部点O处，沿射线OH走到距路灯底部9m的点B处，此时小明的身影为BN，接着小明走到点N处，此时的身影为AM．求学生小明的身影长度变长了多少米．（小明如图中BD、AC所示）【思路点拨】根据相似三角形的性质解答即可．【答案】解：由题意知，∠PON＝∠DBN＝90°，△PON∽△DBN∴又∵OB＝9∴BN＝3，OA＝12由题意知，∠POM＝∠CAM＝90°，△POM∽△CAM∴又∵OA＝12∴AM＝4，OM＝16∴身影长BN＝3，AM＝4，AM﹣BN＝4﹣3＝1∴小明的身影长度变长了1米．【点睛】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的性质解答．20．（2018秋•番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．（1）写出x与y的关系式；（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．【思路点拨】（1）证明△AEF∽△ABC，利用相似比得到＝，从而得到y与x的关系式；（2）计算矩形的面积S＝xy＝﹣x2+120x，则S＝﹣（x﹣40）2+2400，根据二次函数的性质得到当x＝40时，S有最大值2400，由于y＝60，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；（2）这个同学的说法错误．理由如下：S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，此时y＝﹣×40+120＝60，即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长．也考查了二次函数的性质和矩形的性质．。
浙教版初三上册数学第四章相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习(解析版)
浙教版初三上册数学第四章41．[2021·重庆B 卷]已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△A BC 与△DEF 的面积比是( A )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】 依照相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.2．[2021·重庆A 卷]若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶9【解析】 因为△ABC ∽△DEF ，依照相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比”，故选A.3．如图4－5－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥B C ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 图4－5－10 图4－5－114．[2021·湘西]如图4－5－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8【解析】 由DE ∥BC ，DB ＝2AD ，得△ADE ∽△ABC ，AD AB ＝13. ∵S △ADE ＝1，S △ADE S △ABC ＝19，∴S △ABC ＝9. ∴S 四边形DBCE ＝SABC －S △ADE ＝8.故选D.5．[2021·连云港]如图4－5－12，已知，△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12 C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12图4－5－12 图4－5－136．[2021·莘县一模]如图4－5－13，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( A )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF.∵S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，∴DE AB ＝25，∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3.7．一副三角板叠放如图4－5－14，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．图4－5－148．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm2.(1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积． 解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)；(2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm2)． 9．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积．解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35 cm 和14 cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm. ∵它们的周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm ；(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25x cm2，较小的三角形的面积为4x cm2. ∵它们的面积相差588 cm2，∴(25－4)x ＝588，解得x ＝28，∴25x ＝25×28＝700，4x ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm2，较小的三角形的面积为112 cm2.10．如图4－5－15，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4图4－5－15 图4－5－1611．[2021·咸宁]如图4－5－16，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13.其中正确的个数有( C )A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个【解析】 ①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，即DE BC ＝12，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ， ∴S △DOE S △COB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故②错误； ③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ，∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ，∴AD AB ＝OE OB ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴O是△ABC的重心，依照重心性质，得BO＝2OE，△ABC的高线长＝3△BOC的高线长，∵△ABC与△BOC同底(BC)，∴S△ABC＝3S△BOC，由②和③，得S△ODE＝14S△COB，S△ADE＝14S△ABC，∴S△ODES△ADE＝13.故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.12．如图4－5－17，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(C)A．5 B．6 C．7 D．12图4－5－17 第12题答图【解析】如答图，可知△DEF∽△HMN，∴EFMN＝DFHN，即3x－4＝x－34，解得x＝7(x＝0舍去)．故选C.13．[2021·河北区校级模拟]如图4－5－18，AD＝DF＝FB，DE∥FG ∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．图4－5－18【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.14．如图4－5－19，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC ＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F.E是AB的中点，连结EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图4－5－19解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．又∵CF平分∠ACD，∴F 为AD 的中点．又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC ；(2)由(1)得EF ∥BC ，且EF BD ＝12，∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4，∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝3∶4.又∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92.15．如图4－5－20，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于E ，交⊙O 于D ，连结C D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图4－5－20 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)如答图，连结OD ，设⊙O 半径为r ， 在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又∵∠ABD ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ODC ＝45°，∴∠DOC ＝90°.∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD2＋OC2＝2r ， ∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 16．[2021·梅州改编] 如图4－5－21，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，动点M 从点B 动身，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 动身，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时刻为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.图4－5－21(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值与△MBN 和△ABC 的周长比；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？要求出最小值．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，∴A B ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意，得BM ＝2t(cm)，CN ＝3t(cm)，BN ＝(53－3t)cm ， 由BM ＝BN ，得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15； (2)①当△MBN ∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52， ∴MB AB ＝12，∴△MBN 和△ABC 的周长比为12；②当△NBM ∽△ABC 时， NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157， ∴BM BC ＝237，∴△MBN 和△ABC 的周长比为237. 综上所述，当t ＝52 s 或t ＝157 s 时，△MBN 与△ABC 相似，对应的△MBN 和△ABC 的周长比为12或237；(3)如答图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.第16题答图设四边形ACNM 的面积为y cm2，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×53－12×(53－3t)t＝32t2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋758 3. ∴依照二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．∴当t ＝52 s 时，四边形ACNM 的面积最小，最小为758 3 cm2.。
九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)
九年级下数学相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ,求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证:ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． (4）所有的等边三角形都相似．例5 如图,D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直,小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0。
1m)．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在，把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据．例11 已知：如图,在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处,这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米,50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图,为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少?（古代问题）例16 如图,已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1)求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ,BC 上,求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似,③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠． ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答:（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解:画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米,求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =,从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 (1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等; （5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2)要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC , 又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H (如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ，解得5.21=x （米)所以旗杆的高为21。
初中数学冀教版九年级上册第二十五章 图形的相似25.5 相似三角形的性质-章节测试习题(2)
章节测试题1.【题文】如图，△ABC的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．【答案】6 cm．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，易得四边形DEHQ为矩形，∴QH＝DE，∵△ABC的面积为36cm2，∴AH•BC＝36，∴AH6，设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x＝3，∴DG＝2x＝6，即DG的长为6cm．2.【答题】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B. 若AD＝2，BD＝3，则AC 等于（）A. 5B. 6C.D.【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD，∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∵AC＞0，∴AC，选D.3.【答题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，选D.4.【答题】已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（）A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 9：4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴则这两个三角形的对应高的比为4：9．选B.5.【答题】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，∴这两个三角形的相似比为：1：3．选B.6.【答题】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A. 5：3B. 25：9C. 3：5D. 9：25【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴两三角形的相似比为5：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是25：9．选B．7.【答题】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：①△OBE≌△OCF；②△OGF∽△OFC；③BE2+DF2＝2OG•OC.其中正确的结论有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠OBC＝90°，∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴①正确；∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°，∴∠GOF＝∠FOC，∠OFG＝∠OCF，∴△OGF∽△OFC；∴②正确；∵△OBE≌△OCF，∴BE＝CF，而CB＝CD，∴CE＝DF，∴BE2+DF2＝CF2+CE2＝EF2，∵△OEF为等腰直角三角形，∴EF2＝OE2+OF2＝2OF2，∵△OGF∽△OFC，∴OF2＝OG•OC，∴BE2+DF2＝2OG•OC．∴③正确．选D．8.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P是BC边上一点，若△ABP与△DCP相似，则BP＝______．【答案】2或8或5【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABP与△DCP相似，①当时，AB＝4，AD＝10，∴，解得，BP＝2或BP＝8；②当时，∴BP＝PC＝5，综上所述：BP＝2或BP＝8或BP＝5．故答案为2或8或5．9.【答题】如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为______．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为10．10.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE 交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】设DE＝x．∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∴，∴DF，AF＝4，∵△ABF与△CEF的面积相等，∴•AF•AB•EC•DF，∴（x+2），∴x1，x2（舍去），故答案为．11.【答题】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为．12.【题文】求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．【答案】见解答.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF 的角平分线．求证：k.证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG∠BAC，∠EDH∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABGC∽△DEH，∴k．13.【题文】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．（1）求证：△DFC∽△CBE；（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．【答案】（1）见解答；（2）.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFE+∠B＝180°，而∠DFE+∠DFC＝180°，∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，∴△DFC∽△CBE；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，BC＝AD＝4，∵DE⊥AB，∴DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，在Rt△DEC中，CE，∵△DFC∽△CBE，∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，∴．14.【答题】如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（）A. 2∶3B. 3∶4C. 9∶16D. 1∶2【答案】B【分析】本题考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案．【解答】∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，∴DE：BC=3：4，选B.15.【答题】如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（）A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 2：3【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】∵BD=2AD，∴AD：AB=1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，∴DE：BC=1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴，选B．16.【答题】已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】∵C是线段BD的中点，BD=4，∴BC=CD=2，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴，∴，∴AB=4，选C．17.【答题】如图，在中，若，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．由DE∥BC可证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求得结果．【解答】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得（cm）．选C．18.【答题】如图，、分别是的边、上的点，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，，选C．19.【答题】如图，中，点在边上，且满足，若，，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质及对应边长成比例，难点在于找对应边．由题意，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，可证△ABC∽△ACD，再根据相似三角形对应边成比例来解答即可．【解答】∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，，∵AC=2，AD=1，，解得DB=3．选C．20.【答题】已知：如图，中，于，下列条件：（1）；（2）∠B=∠DAC；（3）=；（4）AB2=BD BC. 其中一定能够判定是直角三角形的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD∽△CBA是解题的关键．对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．【解答】（1）∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC直角三角形；（3）=，则△ADC∽△BDA，∴∠CAD=∠ABD，又∵∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴该条件可以判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC，.∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；选D．。
九年级数学上册 22.3 相似三角形的性质课时练习 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级上册数学
相似三角形的性质一、精心选一选1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:12﹒在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A.8B.12C.16D.203﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍4﹒如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）A.AB2＝BC BDB.AB2＝AC BDC.AC BD＝AB ADD.AB AC＝AD BC第4题图第5题图第6题图第7题图5﹒如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD相交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB 5）A.m＝5B.m＝5m＝5m＝106﹒如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A.13B.14C.19D.1167﹒如图，在等边△ABC中，点D为边BC上一点，点E为边AC上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝43，则△ABC的面积为（）3338﹒如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A.34B.45C.56D.67第8题图第9题图第10题图9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、细心填一填11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.12.若两个相似三角形的周长之比为2：3，则它们的面积之比是___________.13.如图，△ABC和△A1B1C1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC与△A1B1C1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC∽△A1B1C1，那么△ABC与△A1B1C1的相似比是_____.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰好落在AB上的点C'处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在D C'的延长线上的A'△BED∽△ABC，则△BED与△ABC的相似比是__________.15.如图，在一块直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D放在AB边上，E、F分别在AC、BC上，当点D在AB边上移动时，DE始终与AB 垂直，若△CEF与△DEF相似，则AD＝____________.16.如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为____________.三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，E是BO的中点，连接AE并延长交BC于点F，求△BEF与△DEA的周长之比.18.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O.若AODACDSS∆∆＝13，S△BOC＝m.试求△AOD的面积.19.如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．23.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C C A B B D C B B D 1﹒若两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为（）A.1:3B.3:1C.3:3D.3:1解答：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，得它们的周长之比＝13＝3， 故选：C.2﹒在△ABC 中，D 、E 为边AB 、AC 的中点，已知△ADE 的面积为4，那么△ABC 的面积是（ ） A.8B.12C.16D.20解答：如图，∵D 、E 为边AB 、AC 的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝(DE BC)2＝(12)2＝14， ∴S △A BC ＝16， 故选：C.3﹒如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（ ）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍解答：由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍， 故选：A.4﹒如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ） A.AB 2＝BC BD B.AB 2＝AC BD C.AC BD ＝AB AD D.AB AC ＝AD BC 解答：∵△ABC ∽△DBA ， ∴AB BD ＝BC AB ＝ACAD， ∴AB 2＝BC BD ，AC BD ＝AB AD ，AB AC ＝AD BC ，故选：B.5﹒如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 相交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为5，则下列结论中正确的是（ ） A.m ＝5B.m ＝45C.m ＝35D.m ＝10 解答：∵AB ∥CD ， ∴△OCD ∽△OEB ， 又∵E 是AB 的中点， ∴2EB ＝AB ＝CD ， ∴OEB OCD S S ∆∆＝(BE CD)2，即5＝(12)2， 解得：m ＝45， 故选：B.6﹒如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE ＝1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ） A.13B.14C.19D.116解答：∵S △BDE ：S △CDE ＝1：3， ∴BE ：EC ＝1：3， ∴BE ：BC ＝1：4，∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△AOC ，∴DE AC ＝BEBC＝14，∴S △DOE ：S △AOC ＝(DE AC)2＝116，故选：D.7﹒如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝4，CE ＝43，则△ABC 的面积为（ ） A.83B.15C.93D.123解答：∵△ABC 是等边三角形，∠ADE ＝60°， ∴∠B ＝∠C ＝∠ADE ＝60°，AB ＝AC ， ∵∠ADB ＝∠DAC +∠C ，∠DEC ＝∠ADE +∠DAC ， ∴∠ADB ＝∠DEC ， ∴△ADB ∽△DCE ，∴AB DC ＝BDCE， 设AB ＝x ，则DC ＝x －4， ∴4xx -＝443，解得：x ＝6，即AB ＝6， 过点A 作AF ⊥BC 于F ，则BF ＝12AB ＝3， 在Rt△ABF 中，AF ＝22AB BF -＝33， ∴S △ABC ＝12BC AF ＝12×6×35＝93， 故选：C.8﹒如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF ＝（ ） A.34B.45C.56D.67解答：设AD ＝k ，则DB ＝2k ， ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝3k ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°， ∴∠EDA +∠FDB ＝120°， 又∠FDB +∠AED ＝120°，∴∠FDB ＝∠AED ，∴△AED ∽△BDF ， ∴ED FD ＝AD BF ＝AEBD， 设CE ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝3k －x ， 设CF ＝y ，则DF ＝y ，F B ＝3k －y ， ∴x y ＝3k k y -＝32k x k -，∴(3)2(3)ky x k y kx y k x =-⎧⎨=-⎩，∴xy＝45，∴CE：CF＝4：5，故选：B.9﹒如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高为米，那么路灯A 的高度AB是（）A.米B.6米C.米D.8米解答：由题意知：MC∥AB，∴△DCM∽△DAB，∴DCDB＝MCAB，即1.5AB＝11BC+，∵NE∥AB，∴△FNE∽△FAB，∴NEAB＝EFBF，即1.5AB＝232BC++，∴11BC+＝232BC++，解得：BC＝3，∴1.5AB＝113+，解得：AB＝6，即路灯A的高度AB为6米，故选：B.10.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF ∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFCF，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFCF＝12，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12BC，∴BM＝CM，∴＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴EFBF＝AEBC＝12，∴S△AEF＝12S△ABF，S△ABF＝16S矩形ABCD，∴S△AEF＝112S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝12S矩形ABCD﹣112S矩形ABCD＝512S矩形ABCD，∴S△ABF：S四边形CDEF＝2：5，故④正确；故选：D．二、细心填一填11.2：3； 12. 4：9；1；14. 23； 15.65或43； 16. y＝2x；△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________.解答：∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比为2：3，故答案为：2：3.2：3，则它们的面积之比是___________.解答：∵这两个相似三角形的周长之比为2：3，∴它们的相似比为2：3， ∴它们的面积之比为4：9，故答案为：4：9.13.如图，△ABC 和△A 1B 1C 1均在4×4的正方形网格图（每个小正方形的边长都为1）中，△ABC 与△A 1B 1C 1的顶点都在网格线的交点处，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△ABC与△A 1B 1C 1的相似比是_____.解答：由图可知：AC 与A 1C 1是对应边，A 1C 1＝1，再由勾股定理得：AC ＝2211+＝2，∴AC ：A 1C 1＝2：1，即△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比是2：1，故答案为：2：1. 14.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 沿BD 折叠，点C 恰好落在AB 上的点C ' 处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在D C '的延长线上的A '△BED ∽△ABC ，则△BED 与△ABC 的相似比是__________.解答：∵△BED ∽△ABC ，∴∠DBA ＝∠A ，又∠DBA ＝∠DBC ，∴∠A ＝∠DBA ＝∠DBC ＝30°，设BC 为x ，则AC ＝3x ，BD ＝233x ， BD AC ＝23，即△BED 与△ABC 的相似比是23， 故答案为：23． 15.如图，在一块直角三角板ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将另一个含30°角的△EDF 的30°角的顶点D 放在AB 边上，E 、F 分别在AC 、BC 上，当点D 在AB 边上移动时，DE 始终与AB 垂直，若△CEF 与△DEF 相似，则AD ＝____________.解答：∵∠EDF ＝30°，ED ⊥AB 于D ，∴∠FDB ＝∠B ＝60°，∴△BDF 是等边三角形； ∵BC ＝1，∴AB ＝2； ∵BD ＝BF ， ∴2－AD ＝1－CF ；∴AD ＝CF +1．①若∠FED ＝90°，△CEF ∽△EDF ，则CF EF ＝EF DF ，即2CF CF ＝21CF CF-， 解得，CF ＝15； ∴AD ＝15+1＝65； ②若∠EFD ＝90°，△CEF ∽△FED ，则CF FD＝CE FE ，即1CF CF -＝12； 解得，CF ＝13； ∴AD ＝13+1＝43． 故答案为：65或43． 16.如图，已知在Rt△OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD .若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为____________.解答：设OC ＝a ，∵点D 在y ＝k x 上，∴CD ＝k a， ∵△OCD ∽△ACO ，∴OC CD ＝AC OC，∴AC ＝2OC CD ＝2a k ， ∴点A （a ，2a k）， ∵点B 是OA 的中点，∴点B 的坐标为（2a ，32a k）， ∵点B 在反比例函数图象上，∴k ＝2a ×32a k，∴a 4＝4k 2，解得，a 2＝2k ， ∴点B 的坐标为（2a ，a ）， 设直线OA 的解析式为y ＝mx ，则m ×2a ＝a ， 解得m ＝2，所以，直线OA 的解析式为y ＝2x ．故答案为：y ＝2x ．三、解答题17.已知：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ， E 是BO 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求△BEF 与△DEA 的周长之比.解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ＝12BD ， ∵E 是BO 的中点，∴BE ＝EO ＝12BO ＝14BD ， ∴ED ＝EO +DO ＝14BD +12BD ＝34BD ， ∴BE ：ED ＝14BD ：34BD ＝1：3， ∵BF ∥AD ，∴△BEF ∽△DEA ，∴△BEF 的周长：△DEA 的周长＝BE ：ED ＝1：3.18.已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O .若AOD ACD S S ∆∆＝13，S △BOC ＝m ，试求△AOD 的面积.解答：过点D 作DE ⊥AC 于E ，则AODACD S S ∆∆＝1212AO DE AC DE ＝13， ∴AO AC ＝13，又∵AO +OC ＝AC ， ∴AO OC ＝12， ∵AD ∥BC ，∴AOD BOC S S ∆∆＝(AO OC)2＝14，即AOD S m ∆＝14， ∴S △AOD ＝4m . 19.如图，在△ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），平行四边形AFPE 的顶点F ，E 分别在AB ，AC 上．已知BC ＝2，S △ABC ＝1．设BP ＝x ，平行四边形AFPE 的面积为y ．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x 取何值时，y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．解答：（1）∵四边形AFPE 是平行四边形，∴PF ∥CA ，∴△BFP ∽△BAC ，∴BFP BAC S S ∆∆＝(2x )2， ∵S △ABC ＝1，∴S △BFP ＝24x ， 同理：S △PEC ＝(22x -)2＝2444x x -+， ∴y ＝1－24x －2444x x -+， ∴y ＝－12x 2+x ； （2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下：∵y ＝－12x 2+x ＝－12(x ﹣1)2+12，又－12＜0， ∴y 有最大值，∴当x ＝1时，y 有最大值，最大值为12． 20.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，E 为直角边AC 的中点，过D ，E 作直线交AB 的延长线于F .求证：AB AC＝DF AF .解答：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAC＝∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝∠ABD，∴△CBA∽△ABD，∴∠C＝∠FAD，ABBD＝ACAD，∴ABAC＝BDAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED＝EC＝12 AC，∴∠C＝∠EDC，又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴BDAD＝DFAF，∴ABAC＝DFAF.21.已知，如图，在△ABC中，P是边AB上一点，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5.求证：（1）Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）AC⊥BC.解答：（1）∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠E＝∠ADC＝90°，∵AC＝3，BC＝35，BE＝5，DC＝5，∴ACCB＝DCBE＝5,∴Rt△ACD∽Rt△CBE；（2）∵Rt△ACD∽Rt△CBE，∴∠ACD＝∠CBE，∵∠CBE+∠ECB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，即∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.22.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE＝EF＝FD．连接BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H．（1）求EG：BG的值；（2）求证：AG＝OG；（3）设AG＝a，GH＝b，HO＝c，求a：b：c的值．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝12AC，AD＝BC，AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EGGB＝AGGC＝AEBC，∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，∴GC＝3AG，GB＝3EG，∴EG：BG＝1：3；（2）∵GC＝3AG，∴AC＝4AG，∴AO＝12AC＝2AG，∴GO＝AO﹣AG＝AG；（3）∵AE＝EF＝FD，∴BC＝AD＝3AE，AF＝2AE．∵AD∥BC，∴△AFH∽△CBH，∴AHHC＝AFBC＝23AEAE＝23，∴AHAC＝25，即AH＝25AC．∵AC＝4AG，∴a＝AG＝14AC，b＝AH－AG＝25AC－14AC＝320AC，c＝AO－AH＝12AC－25AC＝110AC，∴a：b：c＝14：320：110＝5：3：2．1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.图1 图2（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值.解答：（1）证明：GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理GD＝GC，在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC.（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，GA GBGD GC=，∠AGB＝∠DGC.，∴△AGB∽△DGC，∴AG EG DG FG=，又∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF.（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90º，∴∠AGE ＝12∠AGB ＝45º，∴AG EG ， 又△AGD ∽△EGF ，∴AD AG EF EG ==。
北京市2014届九年级数学下册 相似三角形的性质课后练习二 新人教版
专题：相似三角形的性质重难点易错点解析题一：题面：如图，把△ABC沿着AB的方向平移到△A′B′C′的位置，使它们重叠部分的面积（图中阴影）是△ABC面积的四分之一，若AB=2，则此三角形移动的距离AA′等于。
金题精讲题面：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为．满分冲刺题一：题面：如图，在Rt△ABC内画有边长依次为a，b，c的三个正方形，则a，b，c之间的关系是（）题二：题面：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，DE⊥AC于E点．（1）△ABC与△EDA相似吗？说明理由；（2）若AB=6，BC=10，AD=DC，求线段DE的长．题三：题面：如图，点E是线段BC的中点，分别以B、C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．（1）AE和ED的数量关系为，AE和ED的位置关系为；（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD得到图2．在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：1．详解：∵把△ABC沿着AB的方向平移到△A′B′C′的位置，∴AC∥A′C′，∴△A′OB∽△ACB，∵重叠部分的面积A′OB是△ABC面积的四分之一，2AB ∵AB =2，∴A ′B =1．AA ′是1．金题精讲答案：AB =3．详解：∵∠AED =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ．∴2()ADEACBS AES AB ∆∆=．∵△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，∴△ABC 的面积为9． 又∵AE =2，∴242()9AB =，解得：AB =3．满分冲刺题一：答案：b 2=ac ．详解：根据条件可以得到△EFG ∽△GHD ， 得到：EF ：HG =FG ：HD而EF =a b ，FG =b ，HG =b c ，HD =c ，则(a b )：(b c )=b ：c ，则得到：b 2=ac ．a ，b ，c 之间的关系是b 2=ac ．题二：答案：△ABC ∽△EDA ；DE =3．详解：（1）△ABC 与△EDA 相似，理由是：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACB ，∵∠BAC =90°，DE ⊥AC ，∴∠AED =∠BAC =90°，∴△ABC ∽△EDA ；（2）①在Rt △BAC 中，AB =6，BC =10，由勾股定理得：AC =8， ∵AD =DC ，DE ⊥AC ，∴AE =CE =12AC =4，∵△ABC ∽△EDA ，AB AC∴4 68 DE=，∴DE=3题三：答案：（1）AE=ED，AE⊥ED；（2）GH=HD，GH⊥HD．详解：（1）AE=ED，AE⊥ED．（2）由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，∵△EGF与△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=12AB，EF=12EB．∴∠GFE=∠C．∴EH=HC=12 EC．∴GF=HC，FH=FE+EH=12EB+12EC=12BC=EC=CD．∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°．∴∠GHD=90°．∴GH⊥HD．。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
初中数学相似三角形的判定与性质专题练习
初中数学相似三角形的判定与性质专题练习1．定义各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．当相似比为1时，两个三角形就称为全等．2．判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；3．性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．4.相似三角形中常见的基本图形：条件：DE∥BC，∠1=∠B，∠1=∠B条件：AB∥DE ∠A=∠D CD是斜边AB上的高如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）【答案】∠ADE=∠ACB,答案不唯一【名师指南】此类问题是开放型问题，考查了相似三角形的判定，答案不唯一，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【例1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）①② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④【答案】C【解析】试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；210由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，25∴，，22222=225210=即，22222=5210=∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C ．考点: 相似三角形的判定．【例2】在直角坐标系中，已知点A （－2，0）、B （0，4）、C （0，3），过点C 作直线交x 轴于点D ，使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线最多可以作（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条【答案】C ．考点：1．坐标与图形性质；2．相似三角形的判定．【名师指南】此类问题实际上考查了相似三角形的判定，学生容易错误选2条或3条，一般三角形满足条件的直线最多可以作4条，直角三角形满足条件的直线最多可以作3条.【例3】如图，下列条件中不能判定的是（）A ．B．C ．D．【答案】A考点：三角形相似的判定．【例4】如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且,（1）∠1与∠2相等吗？为什么？（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．【答案】（1）∠1=∠2；（2）△ABE∽△ACD．【解析】试题分析：（1）由，得到△ABC∽△AED，推出∠BAC=∠EAD，即可得到∠1=∠2；（2）由，得，根据两边对应成比例且夹角相等得到△ABE∽△ACD．试题解析：（1）∠1与∠2相等．在△ABC和△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠1=∠2．（2）△ABE与△ACD相似．由，得，在△ABE和△ACD中，∵，∠1=∠2，∴△ABE∽△ACD．考点：相似三角形的判定与性质．【例5】如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=________.【答案】8.5【解析】试题分析：因为△ADE∽△ABC，所以, 又因为AD=3，DC=4，AE=2，所以,解得BE=8.5.考点：相似三角形的性质.【例6】如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）9．考点：1．等边三角形的性质；2．相似三角形的判定与性质．【名师指南】备考兵法：1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定， 要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题， 关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置， 用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．注意问题：1.在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：（1）寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．（2）构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．（3）学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．2.在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：（1）比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．（2）利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．（3）应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．（4）在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
初中苏科版九年级数学下册 6-5 相似三角形的性质 同步课时提优训练【含答案】
初中苏科版九年级数学下册6-5 相似三角形的性质同步课时提优训练一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）1.若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A. 30°B. 50°C. 40°D. 70°2.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1 4.若BC＝1，则EF的长是（）A. 2B. 2C. 4D. 163.已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（）A. B.C. 相似比为D. 相似比为4.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为4厘米，6厘米和9厘米，另一个三角形的最长边是18厘米，则它的最短边是（）A. 2厘米B. 4厘米C. 8厘米D. 12厘米5.已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（）A. 90B. 180C. 270D. 36006.平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数y= 象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△CDF：S四边等于（）形ABFEA. 1：3B. 2：5C. 3：5D. 4：98.如图所示，△ABC是等边三角形，若被一边平行于BC的矩形所截，AB被截成三等份，则图中阴影部分的面积是△ABC面积的( )A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB=3BD。
则S△ADE：S△EFC的值为( )A. 4：1B. 3：2C. 2：1D. 3：110.如图，矩形ABCD中，AB=2, AD=2 ，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为- ; ③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积:④在运动过程中，点H的运动路径的长为, 其中正确的有（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）11.已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝________．12.已知△ABC的三边分别是4，5，6，则与它相似△A′B′C′的最长边为12，则△A′B′C′的周长是________.13.已知点G是的重心，，那么点G与边中点之间的距离是________．14.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝________．15.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.16.如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为________.17.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为________18.如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=________．三、解答题（本大题共10题，共84分）19.如图，已知在ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.20.如图，已知，，，求的度数．21.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长.22.如图，，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．23.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．24.如图，在□ABCD中，AE：EB=3：2，DE交AC于点F.（1）求证：△AEF∽△CDF.（2）求△CDF与△AEF周长之比.（3）如果△CDF的面积为50cm2，直接写出四边形BCFE的面积.25.如图，在中点D，E，F分别在，，边上，，.（1）求证：；（2）若，的面积是20，求的面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．27.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB 向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F 先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q 从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．（1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ ∽△ABC，求t的值；（2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1. C【考点】三角形内角和定理，相似三角形的性质解：∵∠A=30°，∠C=110°，∴∠B=40°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B=40°，故C.分析：根据三角形内角和定理求出∠B=40°，根据相似三角形的对应角相等解答即可.2. B【考点】相似三角形的性质解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4，∴（BC：EF）2=1：4，解得BC：EF=1：2，∵BC=1，∴EF=2.故B.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解.3. D【考点】相似三角形的性质解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或，B不一定成立；同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，∴相似比为，∴D一定成立，故D ．分析：根据相似三角形的性质找到对应边及对应角，再逐项判定即可。
中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题
AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。
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相似三角形的性质综合、拓展练习
综合练习
1．选择题
（1）如图5-92，DE ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 把△ABC 的面积三等分，若BC ＝12，则FG 的长是（ ）．
图5-92
A ．8
B ．6
C ．64
D ．34
（2）如图5-93，正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上，其余两个顶点A 、D 分别在PQ 、PR 上，则PA ∶AQ ＝（ ）．
A ．1∶2
B ．1∶2
C ．1∶3
D ．2∶3
图5-93
（3）如图5-94，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，EF 是对角线BD 的垂直平分线，则
EF 的长为（ ）．
图5-94
A ．
cm 415 B ．cm 315 C ．cm 2
15
D ．8cm （4）如图5-95，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AOD S ∆∶ACD S ∆＝1∶3，则AOD S ∆∶BOC S ∆＝（ ）．
图5-95
A ．
61 B ．31 C ．41 D ．6
6 2．如图5-96，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ．求证：2
BC ＝CD CA ⋅2．
图5-96
3．已知：如图5-97，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC
于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2
．
图5-97
4．如图5-98，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：
FC FB FD ⋅=2．
图5-98
5．如图5-99，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2
．
图5-99
6．已知：△ABC 中，∠BAC ＝135°，D 、E 在BC 上（D 在B 、E 之间），且AD ＝AE ，∠DAE
＝90°，求证：（1）CE BD DE ⋅=22
，（2）2
AB ∶2
AC ＝BD ∶CE ．
7．已知：△ABC 中，∠BAC ＝120°，D 、E 在BC 上（D 在B 、E 之间），且∠DAE ＝60°，
AD ＝AE ．求证：（1）CE BD DE ⋅=2，（2）BC BD AB ⋅=2
参考答案 综合练习
1．（1）C （2）B （3）C （4）C
2．略 3．略 4．略 5．略 6．略 7．略。