高中数学抽象函数常见题型及解法

抽象函数常见题型及解法综述一、函数的基本概念问题 1．抽象函数的定义域问题例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域． 定义域是[1，4]．例2 已知函数)(x f 的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log 21x f -的定义域．定义域是[1，411]． 2．抽象函数的值域问题例4 设函数f (x) 定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f (x + y) =f (x)f (y)总成立，且存在x 1≠x 2，使得f (x 1)≠f ( x 2)，求函数f (x)的值域．答案f (x)＞0．评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．3．抽象函数的解析式问题例5 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数f (x) 满足f (x) +f (xx 1-) = 1 + x ，求f (x) 的解析式．评析：如果把x 和xx 1-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略．二、寻觅特殊函数模型问题 1．指数函数模型例6 设)(x f 定义于实数集R 上，当x ＞0时，)(x f ＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =)(x f ·)(y f ，同时f (1) = 2，解不等式f (3x －x 2)＞4．联想：因为a y x += a x ·a y (a ＞0，a≠1)，因而猜测它的模型函数为)(x f = a x (a ＞0，a≠1)(由f (1) = 2，还可以猜想)(x f = 2x )．1＜x ＜2． 2.幂函数模型例8 已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f =)(x f ·)(y f ，且)1(-f =1，)27(f =9，当0≤x ＜1时，0≤)(x f ＜1时．⑴判断)(x f 的奇偶性；⑵判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； ⑶若a≥0且)1(+a f ≤39，求a 的取值范围．联想：因为n x ·n y = (x·y)n ，因而猜测它的模型函数为)(x f =n x (由)27(f =9，还可以猜想)(x f = x 32)．0≤a≤2．三、研究函数的性质问题 1．抽象函数的单调性问题例9 设f (x) 定义于实数集上，当x ＞0时，f (x)＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =f (x) ·f (y)，求证：f (x) 在R 上为增函数．评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．2．抽象函数的奇偶性问题例10 已知函数f (x) (x ∈R ，x≠0）对任意不等于零实数x 1、x 2 都有f (x 1·x 2) =f (x 1) +f (x 2)，试判断函数f (x) 的奇偶性．3．抽象函数的周期性问题例11 函数)(x f 定义域为全体实数，对任意实数 a 、b ，有f (a ＋b)＋f (a－b) =2f (a) ·f (b)，且存在C ＞0 ，使得)2(Cf = 0 ，求证f (x) 是周期函数．联想：因为cos(a ＋b)＋cos(a －b) = 2cosacosb ，且cos 2π= 0，因而得出它的模型函数为y = cosx ，由y = cosx 的周期为π2，可猜想2C 为)(x f 的一个周期．四、抽象函数中的网络综合问题例13 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()f m n +=()f m ·()f n ，且当x ＞0时，0＜()f x ＜1．⑴判断()f x 的单调性；⑵设A = {(x ，y)|2()f x ·2()f y ＞(1)f }，B = {(x ，y)|(f ax y -= 1，a ∈R}，若A B =φ，试确定a 的取值范围．－1≤a≤1．解决抽象函数问题的常用方法一、赋值法观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的方法 1、赋特殊值例1. 设函数)0x R x )(x (f y ≠∈=且，对任意实数1x 、2x 满足)x x (f )x (f )x (f 2121=+。

（1）求证：0)1(f )1(f =-=； （2）求证：)x (f y =为偶函数；（3）已知)x (f y =在),0(+∞上为增函数，解不等式0)21x (f )x (f <-+。

解得4171x 4171+<<-且21,0x ≠。

2、赋特殊函数例 2. 对于任意的函数)x (f y =，在同一个直角坐标系中，函数)1x (f y -=与函数)x 1(f y -=的图像恒（ B ）（A ）关于x 轴对称（B ）关于直线1x =对称 （C ）关于直线1x -=对称 （D ）关于y 轴对称 二、递推法根据题目中所给出的或推出的函数方程，运用递推的思想，逐步递推，达到目的。

例 3. 已知)x (f 是定义在R 上的函数，1)1(f =，且对于任意R x ∈都有1)x (f )1x (f ,5)x (f )5x (f +≤++≥+，若=-+=)2002(g ,x 1)x (f )x (g 则__1______。

三、比较，转化法有些抽象函数与函数的单调性、奇偶性、对称性等性质联系密切，求解这类问题应充分理解题意，综合运用函数知识和函数思想，将其转化到熟悉的问题中来。

例 5. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足：（1）对于任意R y x∈、都有)y (f )x (f )y x (f +=+；（2）当0x >时，0)x (f <，且2)1(f -=。

求)x (f 在]3,3[-上的最大值和最小值。

6；-6例6. 设函数)x (f 的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有)n (f )m (f )n m (f =+，且1)x (f 0,0x <<>时。

（1）求)0(f 的值；（2）判断)x (f 在R 上的单调性，并证明你的结论；（3）设)}1(f )y (f )x (f |)y ,x {(A 22>=，}1)c by ax (f |)y ,x {(B =+-=，a 、b 、c R ∈，a 、b 不同时为零，若Φ=⋂B A ，确定实数a 、b 、c 三者之间的关系。

2008山东（21）（本小题满分12分）已知函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数.（Ⅰ）当n =2时，求函数f (x )的极值；（Ⅱ）当a =1时，证明：对任意的正整数n , 当x ≥2时，有f (x )≤x -1. 证（放缩法）：当a =1时，1()ln(1).(1)nf x x x =+-- 当x ≥2，时，对任意的正整数n ，恒有1(1)nx -≤1，故只需证明1+ln(x -1) ≤x -1.令[)()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞ 则12()1,11x h x x x -'=-=-- 当x ≥2时，()h x '≥0，故h (x )在[)2,+∞上单调递增， 因此 当x ≥2时，h (x )≥h (2)=0，即1+ln(x -1) ≤x -1成立.故 当x ≥2时，有1ln(1)(1)nx x +--≤x -1.即f （x ）≤x -1. 2011湖北21．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12121n kkkn a a a ≤ ； （2）若12b b ++…n b =1，则1n≤121222212.n k k k n n b b b b b b ≤+++由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即 ,0k k a b > ，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)k k k k k b a a b b k n ≤-= ， 求和得1111ln .nn nk kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑2111,l n 0,nnnk kk kkk k k ab b a===≤∴≤∑∑∑即1212ln()0,n k k kn a a a ≤ 1212 1.n kkkn a a a ∴≤ （2）①先证12121.n kkkn b b b n≥ 令1(1,2,,),k ka k n nb == 则11111,nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111()()()1n k k k n nb nb nb ≤ ，即1212121,nnk k k k k k nn n b b b +++≤= 12121.n kk kn b b b n∴≥②再证122221212.n kkkn n b b b b b b ≤+++记21,(1,2,,)nkk k k b S b a k n S====∑ 令， 则2111111nn nk k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()() 1.n k k k n b b b S S S≤ 即121212,n nkk k k kkn b b b SS +++≤=122221212.n kkkn n b b b b b b ∴≤+++ 综合①②，（2）得证。