高中数学 第三章 函数概念与性质 课件 新人教A版 必修第一册

合集下载

新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件

新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件

对于任一时刻t,都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t, 按照对应关系S 3,50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天,至多不超过6天,公司确定工资标准 是每人每天350元,而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时,求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数?
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时,两个函数才相同.
牛刀小试:下列各组中的两个函数是否为 相同的函数?

y1
(
x
3)( x
(4)问题1和问题2中函数的对应关系相同,你 认为它们是同一个函数吗?你认为影响函数的要 素有哪些?
对于 数集A2中 任一个工作天数d, 按照对应关系W 3,50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图,如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况

高中数学(新人教A版)必修第一册:第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】

高中数学(新人教A版)必修第一册:第3章章末 函数概念与性质 课件【精品课件】

②如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变
量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那
减函数 .
么就说函数f(x)在区间D上是
(2)单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那
么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格
的) 单调性 ,区间D叫做y=f(x)的 单调区间 .
需要在此处列出满足题意的关系式,求出a的限制条件.
例6 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+ )上是减函数
1 2 8
1 2 1
2
而2a a 1 2(a ) 0, 3a 2a 1 3( a ) 0
1
【解】 (1)当 a=0 时,f(x)=x ,显然是奇函数;
当 a≠0,f(1)=a+1,f(-1)=a-1,f(1)≠f(-1)且 f(1)+f(-1)≠0,
所以此时 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设∀x1<x2∈[1,2],

x2-x1
1
则 f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)(x1+x2)+ x x =(x1-x2)ax1+x2-x x ,
1 2
第三章 函数的概念与性质
章末总结
教学目标及核心素养
教学目标
1.掌握函数的概念;
2.了解分段函数,会画分段函数的图像;
3.理解函数性质并且熟练运用;
x 即x

x 1
所以,
6时,等号成立。

人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件

人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件

在下列四个图形中,y=x-12的图象大致是( ) 解析:选 D.函数 y=x-21的定义域为(0,+∞),是减函数.
若 y=mxα+(2n-4)是幂函数,则 m+n=________.
解析:因为 y=mxα+(2n-4)是幂函数, 所以 m=1,2n-4=0,即 m=1,n=2,所以 m+n=3. 答案:3
已知幂函数 y=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,求满足不等式(a+1) -m3< (3a-2) -m3的实数 a 的取值范围.
解:若幂函数 y=x3m-9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,则为偶函 数,即 m 为奇数,又在 x∈(0,+∞)上为减函数,因而 3m-9 <0,即 m<3.又 m∈N*,从而 m=1.故不等式(a+1) -m3<(3a -2) -m3可化为(a+1) -31<(3a-2) -13. 函数 y=x-31的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)与(0, +∞)上均为减函数,因而 a+1>3a-2>0,或 0>a+1>3a-2, 或 a+1<0<3a-2,解得 a 的取值范围为a|a<-1或23<a<32.
B.1
1 C.2
D.0
解析:选 A.因为 f(x)=ax2a+1-b+1 是幂函数,所以 a=1,-b
+1=0,
即 a=1,b=1,所以 a+b=2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)=xα的图象过点 P2,14,试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间.
【解】 因为 f(x)=xα 的图象过点 P2,14, 所以 f(2)=14,即 2α=14, 得 α=-2,即 f(x)=x-2,f(x)的图象如图所示,定义域为(-∞, 0)∪(0,+∞),单调减区间为(0,+∞),单调增区间为(-∞,0).

2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册

2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册

解析 由已知得,该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y=m2mx,x-0≤ 10xm≤,1x0>,10. 由 y=16m,得 x>10,所以 2mx-10m=16m.解 得 x=13.故选 A.
7.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y
4x,1≤x<10,x∈N, =2x+10,10≤x<100,x∈N,
1.5x,x≥100,x∈N,
其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人
数,若面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( ) A.15 B.40 C.25 0,若 4x=60,则 x=15>10,不符合题意;若 2x+10= 60,则 x=25,满足题意;若 1.5x=60,则 x=40<100,不符合题意.故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最 大利润是多少?
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售,利润为 y 元,由表格中的 数据可知,价格每上涨 1 元,日销售量就减少 40 桶,所以涨价 x 元后,日 销售桶数 480-40(x-1)=520-40x>0,∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为 L =-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1292+30+1492,∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元.
4.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元,每 桶水进价为 5 元,销售单价与日销售量的关系如下表:

高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件

高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件

4、若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时,函数f (x)的值,是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1) y=|x|
(2)|y|=x
(3) y=x 2
(4)y2 =x
(5) y2+x2=1 (6)y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法:解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a<x<b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间(年)y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间(年)y的关系。
对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对
应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数, 记作 y=f(x) , x∈A

人教高中数学A版必修一课件 第3章 第1课时 函数的单调性

人教高中数学A版必修一课件  第3章 第1课时 函数的单调性

第三章 函数的概念与性质
求函数的单调区间 画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图象,并指出函数的单调 区间. 【解】 y=-x2+2|x|+3=- -( (xx- +11) )22+ +44, ,xx≥ <00. ,函数图象 如图所示.
第三章 函数的概念与性质
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,函数在[-1,0],[1, +∞)上是减函数.所以函数的单调递增区间是(-∞,-1]和[0, 1],单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞).
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
解析:选 D.y=x2-6x=(x-3)2-9,故减区间为(-∞,3].
第三章 函数的概念与性质
2.设(a,b),(c,d)都是 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2
∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( )
函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数.
【证明】 ∀x1,x2∈(2,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=x1+x41-x2-x42 =(x1-x2)+4(xx21-x2x1)
第三章 函数的概念与性质
=(x1-x2)x1(x2x1x2-4). 因为 2<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1x2>4,x1x2-4>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函数.
■名师点拨 (1)增减函数定义中 x1,x2 的三个特征 ①任意性:定义中符号“∀”不能去掉,应用时不能以特殊代 替一般; ②有大小:一般令 x1<x2; ③同区间:x1 和 x2 属于同一个单调区间. (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2,f(x1)<f(x2),符号一致⇔增函数; ②x1<x2,f(x1)>f(x2),符号相反⇔减函数.

高中数学人教A版 必修第一册 函数的概念 课件

高中数学人教A版 必修第一册  函数的概念 课件
x3
而 g(x) x 5 的定义域为 R. 两个函数的定义域不同, 所以不是相同的函数.
(2) f (x) x 1 x 1∣的定义域为{x∣x 1}, 而 g(x) (x 1)(x 1) 的定义域为{x∣x 1或x 1},两个函数的定义域不同, 所以两个函数不是相同的函数.
练一练
1.若购买某种铅笔 x 支,所需钱数为 y 元,若每支 0.5 元,用解析法将 y 表示成 x( x {1,2,3,4} ) 的函数为( )
探究四 函数的定义域
例题
已知函数 f (x) x 5 1 .
x2
(1)求函数的定义域;
(2)求
f
(4) ,
f
2 3
的值.
(1) 使根式 x 5 有意义的实数 x 的集合是{x | x 5} , 使分式 1 有意义的实数 x 的集合是{x | x 2} ,
x2
所以函数 f (x) 的定义域是{x | x 5 | {x∣x 2} {x∣x 5且x 2} .
二次函数: y ax2 bx c(a 0) 的定义域是 R,值域是 B.

a>0
时,
B
y
y
4ac b2 4a


a<0
时,
B
y
y
4ac b2 4a
.
对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x,对应到 B 中唯一确定的数 ax2 bx c(a 0) .
反比例函数: y k (k 0) 的定义域为x x 0 ,对应关系为“倒数的 k 倍”,值域为y y 0.
第 三 章 函数概念与性质
3.1.1 函数的概念
学习目标
通过具体教学实例,在体会两个变量之间依赖关系的基础上, 引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念.

高中数学 第三章函数的概念与性质函数的概念讲义 新人教A版必修一第一册

高中数学 第三章函数的概念与性质函数的概念讲义 新人教A版必修一第一册

3.1.1 函数的概念最新课程标准:在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.知识点一函数的概念1.函数的概念一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域和值域函数y=f(x)中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).显然,值域是集合B的子集.状元随笔对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时,符号“ f :A→B ”表示A到B的一个函数.(2)集合A中的数具有任意性,集合B中的数具有唯一性.(3)符号“f ”表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样.知识点二区间的概念1.区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]2.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”;“-∞”读作“负无穷大”;“+∞”读作“正无穷大”.3.无穷大的几何表示定义 符号 数轴表示{x |x ≥a } [a ,+∞) {x |x >a } (a ,+∞) {x |x ≤b } (-∞,b ] {x |x <b }(-∞,b )状元随笔 关于无穷大的2点说明 (1)“∞”是一个符号,而不是一个数.(2)以“-∞”或“+∞”为端点时,区间这一端必须是小括号. 知识点三 同一函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. [教材解难]1.教材P 60思考根据问题1的条件,我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况,所以上述说法不正确.显然,其原因是没有关注到t 的变化范围.2.教材P 63思考反比例函数y =kx(k ≠0)的定义域为{x |x ≠0},对应关系为“倒数的k 倍”,值域为{y |y ≠0}.反比例函数用函数定义叙述为:对于非空数集A ={x |x ≠0}中的任意一个x 值,按照对应关系f “倒数的k (k ≠0)倍”,在集合B ={y |y ≠0}中都有唯一确定的数k x和它对应,那么此时f :A →B 就是集合A 到集合B 的一个函数,记作f (x )=k x(k ≠0),x ∈A .3.教材P 66思考初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下:不同点:传统定义从变量变化的角度,刻画两个变量之间的对应关系;而近代定义,则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系.相同点:两种对应关系满足的条件是相同的,“变量x 的每一个值”以及“集合A 中的每一个数”,都有唯一一个“y 值”与之对应.[基础自测]1.下列从集合A 到集合B 的对应关系f 是函数的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A ={平行四边形},B =R ,f :求A 中平行四边形的面积解析:对B ,集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1,不符合函数的定义;对C ,集合A 中的元素0取倒数没有意义,在集合B 中没有元素与之对应,不符合函数的定义;对D ,A 集合不是数集,故不符合函数的定义.综上,选A.答案:A 2.函数f (x )=x -1x -2的定义域为( ) A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[1,2) D .[1,2)∪(2,+∞) 解析:使函数f (x )=x -1x -2有意义, 则⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x -2≠0,即x ≥1,且x ≠2.所以函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}.故选D. 答案:D3.下列各组函数表示同一函数的是( )A .y =x 2-9x -3与y =x +3B .y =x 2-1与y =x -1 C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0) D .y =x +1,x ∈Z 与y =x -1,x ∈Z解析:A 中两函数定义域不同;B 中两函数值域不同;D 中两函数对应法则不同. 答案:C4.用区间表示下列集合:(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12≤x <5=________; (2){x |x <1或2<x ≤3}=________.解析:(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应,则{x |-12≤x <5}=[-12,5). (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”,则{x |x <1或2<x ≤3}=(-∞,1)∪(2,3].答案:(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,5 (2)(-∞,1)∪(2,3]题型一 函数的定义[经典例题]例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数: (1)A ={1,2,3},B ={7,8,9},f (1)=f (2)=7,f (3)=8; (2)A ={1,2,3},B ={4,5,6},对应关系如图所示;(3)A =R ,B ={y |y >0},f :x →y =|x |;(4)A =Z ,B ={-1,1},n 为奇数时,f (n )=-1,n 为偶数时,f (n )=1. 【解析】 对于集合A 中的任意一个值,在集合B 中都有唯一的值与之对应,因此(1)(4)中对应关系f 是从集合A 到集合B 的一个函数.(2)集合A 中的元素3在集合B 中没有对应元素,且集合A 中的元素2在集合B 中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数.(3)A 中的元素0在B 中没有对应元素,故所给对应关系不是集合A 到集合B 的函数. 1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A ,但值域不一定是非空数集B ,也可以是集合B 的子集.2.判断从集合A 到集合B 的对应是否为函数,一定要以函数的概念为准则,另外也要看A 中的元素是否有意义,同时,一定要注意对特殊值的分析.方法归纳(1)判断一个集合A 到集合B 的对应关系是不是函数关系的方法:①A ,B 必须都是非空数集;②A 中任意一个数在B 中必须有并且是唯一的实数和它对应.[注意] A 中元素无剩余,B 中元素允许有剩余.(2)函数的定义中“任意一个x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ,y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”.跟踪训练1 (1)设M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A .0个B .1个C .2个D .3个 (2)下列对应是否是函数? ①x →3x,x ≠0,x ∈R ;②x →y ,其中y 2=x ,x ∈R ,y ∈R . 解析:(1)图号 正误 原因① × x =2时,在N 中无元素与之对应,不满足任意性② √ 同时满足任意性与唯一性③ × x =2时,对应元素y =3∉N ,不满足任意性 ④ ×x =1时,在N 中有两个元素与之对应,不满足唯一性(1)①x∈[0,1]取不到[1,2]. ③y∈[0,3]超出了N∈[0,2]范围.④可取一个x 值,y 有2个对应,不符合题意.(2)①是函数.因为任取一个非零实数x ,都有唯一确定的3x与之对应,符合函数定义.②不是函数.当x =1时,y =±1,即一个非零自然数x ,对应两个y 的值,不符合函数的概念.答案:(2)①是函数②不是函数 (2)关键是否符合函数定义.题型二 求函数的定义域 [经典例题] 例2 (1)函数f (x )=x +1x -1的定义域是( ) A.[-1,1)B .[-1,1)∪(1,+∞)C .[-1,+∞)D .(1,+∞)(2)求下列函数的定义域. ①y =x +2+1x 2-x -6;②y =(x -1)0|x |+x.【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,x -1≠0,解得x ≥-1,且x ≠1.所以所求函数的定义域为[-1,1)∪(1,+∞). 【答案】 (1)B(1)依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于等于0,列不等式组求定义域. 【解析】(2)①要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x +2≥0,x 2-x -6≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-2,x ≠-2且x ≠3,得x >-2且x ≠3.所以所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞). ②要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,|x |+x ≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1,x >0,所以x >0且x ≠1,所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞). 【答案】(2)见解析(2)依据分式的分母不为0,二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义,列不等式组求定义域.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y =x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.跟踪训练2 求下列函数的定义域: (1)f (x )=6x 2-3x +2;(2)f (x )=(x +1)|x |-x;(3)f (x )=2x +3-12-x+1x.解析:(1)要使函数有意义,只需x 2-3x +2≠0, 即x ≠1且x ≠2,故函数的定义域为{x |x ≠1且x ≠2}.(2)要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,|x |-x >0,解得x <0且x ≠-1.所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,0). (3)要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x <2,且x ≠0.故定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-32,0∪(0,2). (1)分母不为0(2)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0(x +1)0底数不为0(3)⎩⎪⎨⎪⎧偶次根式被开方数≥0分母不为0题型三 同一函数[教材P 66例3]例3 下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数? (1)y =(x )2;(2)u =3v 3;(3)y =x 2; (4)m =n 2n.【解析】 (1)y =(x )2=x (x ∈{x |x ≥0}),它与函数y =x (x ∈R )虽然对应关系相同,但是定义域不相同,所以这个函数与函数y =x (x ∈R )不是同一个函数.(2)u =3v 3=v (v ∈R ),它与函数y =x (x ∈R )不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数y =x (x ∈R )是同一个函数.(3)y =x2=|x |=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,x <0,x ,x ≥0,它与函数y =x (x ∈R )的定义域都是实数集R ,但是当x <0时,它的对应关系与函数y =x (x ∈R )不相同.所以这个函数与函数y =x (x ∈R )不是同一个函数.(4)m =n 2n=n (n ∈{n |n ≠0}),它与函数y =x (x ∈R )的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数y =x (x ∈R )不是同一个函数.教材反思判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点:①在化简解析式时,必须是等价变形; ②与用哪个字母表示无关.跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数.(1)f (x )=x 2-xx,g (x )=x -1;(2)f (x )=x x ,g (x )=x x; (3)f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2; (4)f (x )=|x |,g (x )=x 2. 解析:应关系来确定,因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可.题型四 求函数的值域[经典例题] 例4 求下列函数的值域. (1)y =3-4x ,x ∈(-1,3]. (2)y =2xx +1. (3)y =x 2-4x +5,x ∈{1,2,3}. (4)y =x 2-4x +5.【解析】 (1)因为-1<x ≤3,所以-12≤-4x <4,所以-9≤3-4x <7, 所以函数y =3-4x ,x ∈(-1,3]的值域是[-9,7). (2)因为y =2x x +1=2(x +1)-2x +1=2-2x +1≠2, 所以函数y =2xx +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}. (3)函数的定义域为{1,2,3}, 当x =1时,y =12-4×1+5=2,当x =2时,y =22-4×2+5=1,当x =3时,y =32-4×3+5=2, 所以这个函数的值域为{1,2},(4)因为y =x 2-4x +5=(x -2)2+1,x ∈R 时,(x -2)2+1≥1, 所以这个函数的值域为[1,+∞).状元随笔 (1)用不等式的性质先由x∈(-1,3]求-4x 的取值范围,再求3-4x 的取值范围即为所求.(2)先分离常数将函数解析式变形,再求值域. (3)将自变量x =1,2,3代入解析式求值,即可得值域. (4)先配方,然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察法得到. (2)配方法:是求“二次函数”类值域的基本方法.(3)换元法:运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f (x )=ax +b +cx +d (其中a ,b ,c ,d 为常数,且ac ≠0)型的函数常用换元法.(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.跟踪训练4 求下列函数的值域: (1)y =2x +1,x ∈{1,2,3,4,5}; (2)y =x +1; (3)y =1-x21+x2;(4)y =-x 2-2x +3(-5≤x ≤-2).解析:(1)将x =1,2,3,4,5分别代入y =2x +1,计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)因为x ≥0,所以x +1≥1, 即所求函数的值域为[1,+∞). (3)因为y =1-x 21+x 2=-1+21+x 2,所以函数的定义域为R , 因为x 2+1≥1,所以0<21+x 2≤2.所以y ∈(-1,1].所以所求函数的值域为(-1,1]. (4)y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4. 因为-5≤x ≤-2, 所以-4≤x +1≤-1. 所以1≤(x +1)2≤16. 所以-12≤4-(x +1)2≤3. 所以所求函数的值域为[-12,3]. (3)先分离再求值域 (4)配方法求值域一、选择题1.下列各个图形中,不可能是函数y =f (x )的图象的是( )解析:对于1个x 有无数个y 与其对应,故不是y 的函数.答案:A2.函数f (x )=x +3+(2x +3)3-2x 的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,-32解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x +3≥0,3-2x >0,2x +3≠0,解得-3≤x <32且x ≠-32,故选B.答案:B3.已知函数f (x )=-1,则f (2)的值为( )A .-2B .-1C .0D .不确定解析:因为函数f (x )=-1,所以不论x 取何值其函数值都等于-1,故f (2)=-1.故选B.答案:B4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .y =x +1和y =x 2-1x -1B .y =x 2和y =(x )2C .f (x )=x 2和g (x )=(x +1)2D .f (x )=(x )2x 和g (x )=x(x )2解析:只有D是相同的函数,A与B中定义域不同,C是对应法则不同.答案:D二、填空题5. 用区间表示下列数集.(1){x|x≥2}=________;(2){x|3<x≤4}=________;(3){x|x>1且x≠2}=________.解析:由区间表示法知:(1)[2,+∞);(2)(3,4];(3)(1,2)∪(2,+∞).答案:(1)[2,+∞)(2)(3,4] (3)(1,2)∪(2,+∞)6.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为________,值域为________.解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.答案:[-5,5] [-2,3]7.若A={x|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=________.解析:由A={x|y=x+1},B={y|y=x2+1},得A=[-1,+∞),B=[1,+∞),∴A∩B=[1,+∞).答案:[1,+∞)三、解答题8.(1)求下列函数的定义域:①y=4-x;②y=1|x|-x;③y=5-x+x-1-1x2-9;(2)将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的解析式,并写出此函数的定义域.解析:(1)①4-x≥0,即x≤4,故函数的定义域为{x|x≤4}.②分母|x|-x≠0, 即|x|≠x,所以x<0.故函数的定义域为{x|x<0}.③解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 5-x ≥0,x -1≥0,x 2-9≠0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤5,x ≥1,x ≠±3.故函数的定义域是{x |1≤x ≤5,且x ≠3}.(2)设矩形一边长为x ,则另一边长为12(a -2x ), 所以y =x ·12(a -2x )=-x 2+12ax ,函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧ x >012(a -2x )>0⇒0<x <a 2,定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2. 9.求下列各函数的值域:(1)y =x +1,x ∈{2,3,4,5,6};(2)y =x 2-4x +6;(3)y =x +2x -1. 解析:(1)因为当x 分别取2,3,4,5,6时,y =x +1分别取3,4,5,6,7, 所以函数的值域为{3,4,5,6,7}.(2)函数的定义域为R .因为y =x 2-4x +6=(x -2)2+2≥2,所以该函数的值域为[2,+∞).(3)设t =2x -1,则x =t 2+12,且t ≥0. 问题转化为求y =1+t 22+t (t ≥0)的值域. 因为y =1+t 22+t =12(t +1)2(t ≥0), 所以y 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. 故该函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. [尖子生题库]10.(1)已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求函数f (x -5)的定义域;(2)已知函数f (x -1)的定义域是[0,3],求函数f (x )的定义域.解析:(1)由-1≤x -5≤5,得4≤x ≤10,所以函数f (x -5)的定义域是[4,10].(2)由0≤x≤3,得-1≤x-1≤2,所以函数f(x)的定义域是[-1,2].。

高中数学 第三章函数的概念与性质函数的单调性讲义 新人教A版必修一第一册

高中数学 第三章函数的概念与性质函数的单调性讲义 新人教A版必修一第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准:借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x 1<x 2; (3)属于同一个单调区间. 知识点二 单调性与单调区间如果函数y =f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接. 如函数y =1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x 在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. [教材解难]1.教材P 77思考f (x )=|x |在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增; f (x )=-x 2在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.2.教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )=-1x,在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递增的,在整个定义域上不是单调递增的.(2)函数f (x )=x 在(-∞,+∞)上是单调递增的.f (x )=x 2在(-∞,0]上是单调递减,在[0,+∞)上是单调递增的. [基础自测]1.下列说法中正确的有( )①若x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),则y =f (x )在I 上是增函数; ②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1x在定义域上是增函数;④y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A .0个B .1个C .2个D .3个解析:由于①中的x 1,x 2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确. 答案:A2.函数y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则( ) A .m >12 B .m <12C .m >-12D .m <-12解析:使y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则2m -1<0,即m <12.答案:B3.函数y =-2x 2+3x 的单调减区间是( ) A .[0,+∞) B.(-∞,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞ 解析:借助图象得y =-2x 2+3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞,故选D.答案:D4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),则x1,x2的大小关系为________.解析:∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),∴x1>x2.答案:x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为( )A.(-3,1)∪(1,4) B.(-5,-3)∪(-1,1)C.(-3,-1),(1,4) D.(-5,-3),(-1,1)【解析】在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).【答案】 C观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间.跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示,则( )A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数解析:函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A.答案:A根据图象上升或下降趋势判断.题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.【证明】 ∀x 1,x 2∈(1,+∞), 且x 1<x 2,有y 1-y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2=(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1-1x 2=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1). 由x 1,x 2∈(1,+∞),得x 1>1,x 2>1. 所以x 1x 2>1,x 1x 2-1>0. 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0. 于是x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1)<0, 即y 1<y 2.所以,函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,再判断f(x 1)-f(x 2)的符号. 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注:作差变形是解题关键.跟踪训练2 利用单调性的定义,证明函数y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 证明:设x 1,x 2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+2x 1+1-x 2+2x 2+1=x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1), ∵-1<x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 1+1>0,x 2+1>0. ∴x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1)>0.即f (x 1)-f (x 2)>0,f (x 1)>f (x 2).∴y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 利用四步证明函数的单调性.题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a 的取值范围.【解析】 ∵f (x )=x 2-2(1-a )x +2=[x -(1-a )]2+2-(1-a )2, ∴f (x )的减区间是(-∞,1-a ]. ∵f (x )在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x =1-a 必须在直线x =4的右侧或与其重合. ∴1-a ≥4,解得a ≤-3. 故a 的取值范围为(-∞,-3].状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x =1-a ,利用对称轴应在直线x =4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I ,指的是函数递减的最大范围为区间I ,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.跟踪训练3 例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a 为何值?解析:由例3知函数f (x )的单调递减区间为(-∞,1-a ], ∴1-a =4,a =-3.求出函数的减区间,用端点值相等求出a.一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )a -b>0,则必有( )A .函数f (x )先增后减B .f (x )是R 上的增函数C .函数f (x )先减后增D .函数f (x )是R 上的减函数 解析:由f (a )-f (b )a -b>0知,当a >b 时,f (a )>f (b );当a <b 时,f (a )<f (b ),所以函数f (x )是R 上的增函数.答案:B2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A .y =-3x +2 B .y =3xC .y =x 2-4x +5D .y =3x 2+8x -10解析:显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数,排除;对C 项,函数在(-∞,2)上为减函数,也不符合题意;对D 项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,+∞上为增函数,所以在(0,2)上也为增函数,故选D.答案:D3.函数f (x )=x |x -2|的增区间是( ) A .(-∞,1] B .[2,+∞) C .(-∞,1],[2,+∞) D.(-∞,+∞)解析:f (x )=x |x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,2x -x 2,x <2,作出f (x )简图如下:由图象可知f (x )的增区间是(-∞,1],[2,+∞). 答案:C4.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-3) B .(0,+∞)C .(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:因为函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),所以2m >-m +9,即m >3.答案:C 二、填空题5.如图所示为函数y =f (x ),x ∈[-4,7]的图象,则函数f (x )的单调递增区间是____________.解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[5,6]6.若f (x )在R 上是单调递减的,且f (x -2)<f (3),则x 的取值范围是________. 解析:函数的定义域为R .由条件可知,x -2>3,解得x >5. 答案:(5,+∞)7.函数y =|x 2-4x |的单调减区间为________.解析:画出函数y =|x 2-4x |的图象,由图象得单调减区间为:(-∞,0],[2,4].答案:(-∞,0],[2,4] 三、解答题8.判断并证明函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上的单调性.解析:函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 2+1=x 1-x 2x 1x 2,由x 1,x 2∈(0,+∞),得x 1x 2>0, 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0, 于是f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.9.作出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象,并指出函数的单调区间.解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象如图所示.由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞). [尖子生题库]10.已知f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -2)<f (1-x ),求x 的取值范围. 解析:∵f (x )是定义在[-1,1]上的增函数, 且f (x -2)<f (1-x ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x -2≤1,-1≤1-x ≤1,x -2<1-x ,解得1≤x <32,所以x 的取值范围为1≤x <32.。

高中数学 第三章函数的概念与性质幂函数讲义 新人教A版必修一第一册

高中数学 第三章函数的概念与性质幂函数讲义 新人教A版必修一第一册

3.3 幂函数最新课程标准:通过具体实例,结合y =x ,y =1x,y =x 2,y =x ,y =x 3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.知识点一 幂函数的概念一般地,函数y =x α叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 状元随笔 幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量.知识点二 幂函数的图象与性质状元随笔 幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y =x α是增函数;当α<0时,y =x α是减函数.[教材解难]教材P 90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域,画出函数的图象;再利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题. [基础自测]1.在函数y =1x4,y =3x 2,y =x 2+2x ,y =1中,幂函数的个数为( )A .0B .1C .2D .3解析:函数y =1x4=x -4为幂函数;函数y =3x 2中x 2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y =x 2+2x 不是y =x α(α是常数)的形式,所以它不是幂函数; 函数y =1与y =x 0=1(x ≠0)不相等,所以y =1不是幂函数. 答案:B2.幂函数f (x )的图象过点(3,39),则f (8)=( ) A .8 B .6 C .4 D .2解析:设幂函数f (x )=x α(α为常数),由函数的图象过点(3,39),可得39=3α,∴α=23,则幂函数f (x )=x 23,∴f (8)=823=4. 答案:C3.已知幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m +1为偶函数,则m =( )A .1B .2C .1或2D .3解析:∵幂函数f (x )=(m 2-3m +3)xm +1为偶函数,∴m 2-3m +3=1,即m 2-3m +2=0,解得m =1或m =2.当m =1时,幂函数f (x )=x 2为偶函数,满足条件.当m =2时,幂函数f (x )=x 3为奇函数,不满足条件.故选A.答案:A4.判断大小:0.20.2________0.30.2. 解析:因为函数y =x 0.2是增函数,又0.2<0.3, ∴0.20.2<0.30.2. 答案:<题型一 幂函数的概念[经典例题]例1 (1)下列函数:①y =x 3;②y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ;③y =4x 2;④y =x 5+1;⑤y =(x -1)2;⑥y=x ;⑦y =a x(a >1).其中幂函数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4(2)若函数y =(m 2+2m -2)x m为幂函数且在第一象限为增函数,则m 的值为( ) A.1 B .-3 C .-1 D .3(3)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3,19,则f (4)=_____. 【解析】 (1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.(2)因为函数y =(m 2+2m -2)x m为幂函数且在第一象限为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m -2=1,m >0,所以m =1.(3)设f (x )=x α,所以19=3α,α=-2,所以f (4)=4-2=116.【答案】 (1)B (2)A (3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断. (2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)=x α,再将点(3,19)代入求α.方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.②如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.(2)求幂函数解析式的依据及常用方法①依据.若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.②常用方法.设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.跟踪训练1 (1)给出下列函数:①y=1x3;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=3x5;⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x.其中是幂函数的有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个(2)函数f(x)=(m2-m-1)·x23m m+-是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.解析:(1)可以对照幂函数的定义进行判断.在所给出的六个函数中,只有y=1x3=x-3和y=3x5=x53符合幂函数的定义,是幂函数,其余四个都不是幂函数.(2)根据幂函数定义得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不合要求.故f(x)=x3.答案:(1)B (2)f(x)=x3(1)利用幂函数定义判断.(2)由幂函数的系数为1,求m的值,然后逐一验证.题型二幂函数的图象及应用[经典例题]例2 幂函数y =x m ,y =x n ,y =x p ,y =x q的图象如图,则将m ,n ,p ,q 的大小关系用“<”连接起来结果是________.【解析】 过原点的指数α>0,不过原点的α<0,所以n <0,当x >1时,在直线y =x 上方的α>1,下方的α<1,所以p >1,0<m <1,0<q <1;x >1时,指数越大,图象越高,所以m >q ,综上所述n <q <m <p .【答案】 n <q <m <p依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断. 方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y =x -1或y =x 12或y =x 3)来判断.跟踪训练 2 当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,1,2,3时,幂函数y =x α的图象不可能经过第__________象限.解析:幂函数y =x -1,y =x ,y =x 3的图象经过第一、三象限;y =x 12的图象经过第一象限;y =x 2的图象经过第一、二象限.所以幂函数y =x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α=-1,12,1,2,3的图象不可能经过第四象限. 答案:四要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点. 题型三 幂函数的单调性质及应用[教材P 91例1] 例3 证明幂函数f (x )=x 是增函数. 【证明】 函数的定义域是[0,+∞). ∀x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2,有f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2=(x 1-x 2)(x 1+x 2)x 1+x 2=x 1-x 2x 1+x 2.因为x 1-x 2<0,x 1+x 2>0,所以f (x 1)<f (x 2),即幂函数f (x )=x 是增函数. 利用定义法证明幂函数的单调性. 教材反思幂函数当α>0时在第一象限单调递增,当α<0时在第一象限单调递减.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小. (1)3.11.3与2.91.3;(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 32-与⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-; (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1213与⎝ ⎛⎭⎪⎫3214.解析:(1)函数y =x 1.3在(0,+∞)上为增函数,又因为3.1>2.9,所以3.11.3>2.91.3.(2)方法一 函数y =x32-在(0,+∞)上为减函数,又因为14<13,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1432-=432,⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-=332.而函数y =x 32在(0,+∞)上单调递增,且4>3,所以432>332,即⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-. (3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫120=1;而⎝ ⎛⎭⎪⎫3214>⎝ ⎛⎭⎪⎫320=1; 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫3214.(1)利用函数y =x 1.3的单调性来判断.(2)利用函数y =x32-的单调性来判断.(3)找中间量判断.一、选择题1.下列结论正确的是( ) A .幂函数图象一定过原点B .当α<0时,幂函数y =x α是减函数 C .当α>1时,幂函数y =x α是增函数 D .函数y =x 2既是二次函数,也是幂函数解析:函数y =x -1的图象不过原点,故A 不正确;y =x -1在(-∞,0)及(0,+∞)上是减函数,故B 不正确;函数y =x 2在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故C 不正确.答案:D2.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,2,3,12,-1,则使函数y =x α的定义域为R 且函数y =x α为奇函数的所有α的值为( )A .-1,3B .-1,1C .1,3D .-1,1,3解析:y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x -1是常见的五个幂函数,显然y =x α为奇函数时,α=-1,1,3,又函数的定义域为R ,所以α≠-1,故α=1,3.答案:C3.在下列四个图形中,y =x12-的图象大致是( )解析:函数y =x 12的定义域为(0,+∞),是减函数.故选D.答案:D4.函数y =x 35在[-1,1]上是( ) A .增函数且是奇函数 B .增函数且是偶函数 C .减函数且是奇函数 D .减函数且是偶函数解析:由幂函数的性质知,当α>0时,y =x α在第一象限内是增函数,所以y =x 35在(0,1]上是增函数.设f (x )=x 35,x ∈[-1,1],则f (-x )=(-x ) 35=-x 35=-f (x ),所以f (x )=x 35是奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称,所以x ∈[-1,0)时,y =x 35也是增函数. 当x =0时,y =0,故y =x 35在[-1,1]上是增函数且是奇函数. 答案:A 二、填空题5.已知幂函数f (x )=x21m - (m ∈Z )的图象与x 轴,y 轴都无交点,且关于原点对称,则函数f (x )的解析式是________.解析:∵函数的图象与x 轴,y 轴都无交点, ∴m 2-1<0,解得-1<m <1; ∵图象关于原点对称,且m ∈Z , ∴m =0,∴f (x )=x -1. 答案:f (x )=x -16.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________. 解析:∵0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α, ∴y =x α在(0,+∞)上为减函数,故α<0. 答案:α<07.已知幂函数f (x )=x α的部分对应值如下表:则不等式f (|x |)≤2解析:由表中数据知22=⎝ ⎛⎭⎪⎫12α,∴α=12, ∴f (x )=x 12,∴|x |12≤2,即|x |≤4,故-4≤x ≤4. 答案:{x |-4≤x ≤4} 三、解答题8.已知函数f (x )=(m 2-m -1)x -5m -3,m 为何值时,f (x ):(1)是幂函数; (2)是正比例函数; (3)是反比例函数; (4)是二次函数.解析:(1)∵f (x )是幂函数, 故m 2-m -1=1,即m 2-m -2=0, 解得m =2或m =-1. (2)若f (x )是正比例函数, 则-5m -3=1,解得m =-45.此时m 2-m -1≠0,故m =-45.(3)若f (x )是反比例函数, 则-5m -3=-1,则m =-25,此时m 2-m -1≠0,故m =-25.(4)若f (x )是二次函数,则-5m -3=2, 即m =-1,此时m 2-m -1≠0,故m =-1. 9.比较下列各题中两个值的大小;(1)2.334,2.434;(2)(2)32-,(3)32-;(3)(-0.31)65,0.3565.解析:(1)∵y=x 34为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4,∴2.334<2.434.(2)∵y=x32-为(0,+∞)上的减函数,且2<3,∴(2)32->(3)32-.(3)∵y=x 65为R上的偶函数,∴(-0.31)65=0.3165.又函数y=x 65为[0,+∞)上的增函数,且0.31<0.35,∴0.3165<0.3565,即(-0.31)65<0.3565.[尖子生题库]10.已知幂函数f(x)=x21()m m-+(m∈N*)经过点(2,2),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.解析:∵幂函数f(x)经过点(2,2),∴2=221()m m-+,即212=221()m m-+.∴m2+m=2.解得m=1或m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1.∴f(x)=x 12,则函数的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1),11 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1,32.。

高中数学人教A版 必修第一册 奇偶性 课件

高中数学人教A版 必修第一册  奇偶性 课件

练一练
2.设函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数,则实数 a ( ) x
√A.-1
B.1
C.0
D.-2
根据题意,函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数,则有 f (x) f (x) 0 ,即 x
x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 0 ,变形可得 (a 1)x 0 ,则有 a 1.故选 A.
练一练
1
4. f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f (x) x3 1 ,则 f (8) ( )
√A.-1
B.0
C.1
D.2
本题考查根据函数的奇偶性求值.因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以
f
(8)
f
(8)
1 83
1
1 .故选
A.
1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
x
1 x
x
1 x
f
(x)

所以,函数 f (x) x 1 为奇函数.
x
(4)函数
f
(x)
1 x2
的定义域为 {x∣x
0} .因为 x {x∣x
0} ,
都有 x {x∣x
0} ,且
f (x)
1 (x)2
1 x2
f
(x) ,
所以,函数 f (x) 1 为偶函数.
x2
练一练
1.设函数 f (x) 的定义域为 R,且 f (x 2) 为偶函数, f (2x 1) 为奇函数,则( )
x
3
g(2) 1 g(2), g(1) 1 g(1). 2
实际上, xR 且 x 0 ,都有 g(x) 1 g(x) .

新教材高中数学第三章函数的概念与性质 单调性与最大小值第2课时函数的最大小值课件新人教A版必修第一册

新教材高中数学第三章函数的概念与性质 单调性与最大小值第2课时函数的最大小值课件新人教A版必修第一册

巩固训练2 求函数y=x−21在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解析:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x12−1

2=
x2−1
2 x2−x1 x1−1 x2−1
由于2<x1<x2<6, 得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2)
当a
2

12,即a≤1时,f(x)的最大值为f(1)=2-a;
当2a>12,即a>1时,f(x)的最大值为f(0)=1.
综上f(x)max=ቊ2
− 1,
a, a ≤ a>1
1.
方法归纳
求二次函数最值问题的解题策略 一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系,往往分三种情况: (1)定义域在对称轴左侧;(2)对称轴在定义域内;(3)定义域在对称轴 右侧.在讨论时可结合函数图象,便于分析、理解.
所以,函数y=x−21在区间[2,6]上单调递减.
x=2时取最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值为2.
5
题型 3 求二次函数的最值 例3 (1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值.
解析:∵函数f(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴x=1,∴f(x)在 [0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f(0)=f(2).
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
巩固训练1 的最大值为(
A.2 C.-1
若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)
) B.1 D.无最大值

高中数学人教A版 必修第一册 幂函数 课件

高中数学人教A版 必修第一册  幂函数 课件
请同学们举出几个体的幂函数?
1
y x2 , y x3 , y x5 等都是幂函数.
探究二 幂函数的图像
自己动手画出以下 5 个函数的图像,并观察图像.
1
幂函数 y x, y x2 , y x3, y x1, y x 2 的图象如下图.
探究三 幂函数的性质
教师引导学生通过观察图像完成系列表格.
3
练一练
3.已知幂函数 f (x) (2n 1)xm2 2m3 ,其中 mN ,若函数 f (x) 在 (0, ) 上是单调递增的,并且在
其定义域上是偶函数,则 m n ( )
√A.2
B.3
C.4
D.5
因为函数 f (x) 为幂函数,所以 2n 11 ,所以 n 1. 因为函数 f (x) 在 (0,) 上是单调递增的, 所以 m2 2m 3 0 ,所以 1 m 3. 又因为 mN ,所以 m 0 ,1,2. 当 m 0 或 m 2 时,函数 f (x) 为奇函数,不合题意,舍去; 当 m 1时, f (x) x4 ,为偶函数,符合题意. 故 m 1.所以 m n 11 2 .故选 A.
综上,实数 m 的值是 4,故选 A.
1.幂函数的定义. 2.幂函数的图像. 3.幂函数的性质.
练一练
m
4.已知幂函数 y m2 3m 3 x 3 是偶函数,则实数 m 的值是( )
√A.4
B.-1
C. 3 21
2
D.4 或-1
m
已知函数 y m2 3m 3 x 3 是幂函数,则 m2 3m 3 1,解得 m 1或 m 4 .

m
1时,
y
1
x3
不是偶函数;
4
当 m 4 时, y x3 是偶函数.

新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册

新教材高中数学第三章函数概念与性质 单调性与最大小值课件新人教A版必修第一册
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 或fxx11- -fx2x2>0.对减函数的判断,对任意 x1<x2,都 有 f(x1)>f(x2),相应地也可用一个不等式来替代:(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 或 fxx11- -fx2x2<0.
3.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y= .如果有最值, 则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 4.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是 求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处 取得.
(3)区间A一定是连续的,如果中间有断裂,则无法称 作单调递增或者单调递减.如图示的函数.
单调性的定义
函数单调性定义的等价形式(对于任意的
):
【1】
在D上为增函数;
【2】
在D上为减函数;
【3】
在D上为增函数;
【4】
在D上为减函数.
即自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为增函数; 自变量之差与函数值之差的乘积同号,函数为减函数;
反之,函数在区间端点处无定义时,书写单调区间时就 不能包括端点.
单调性的应用 【例题1】根据定义,研究函数
的单调性.
【解】函数 ,
的定义域是R,对于任意的



,所以:
①当
时,

新版高一数学必修第一册第三章全部课件

新版高一数学必修第一册第三章全部课件

(2)正比例函数
k
y , (k 0)
x
(3)反比例函数
y kx, (k 0)
(4)二次函数
y ax bx c,(a 0)
2
问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内,
列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示
思考:在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,你认为它们是同一个
函数吗?为什么?
不是。自变量的取值范围不一样。
问题3 如图,是北京市2016年
11月23日的空气质量指数变化
图。如何根据该图确定这一天
内任一时刻th的空气质量指数
的值I?你认为这里的I是t的函数
吗?
是,t的变化范围是 A3 {t | 0 t 24} ,I的范围是B3 {I | 0 I 150}
x( x 0) ,这个函数与y=x(x∈R)
对应一样,定义域不不同,所以和y=x (x∈R)不相等
(2) u
3
3
v
v(v R) ,这个函数和y=x (x∈R)
对应关系一样 ,定义域相同x∈R,所以和y=x (x∈R)相等
(3
y
2
x
x, x 0
| x |
x, x 0
f(a)与f(x)有什么区别?
一般地,f(a)表示当x=a时的函数值,是一个常量。
f(x)表示自变量x的函数,一般情况下是变量。
2、“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,
如“y=g(x)”,“y=h(x)”;
思考:函数的值域与集合B什么关系?请你说出上述四个问题的值域?
函数的值域是集合B的子集。

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数课件新人教A版必修第一册

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数课件新人教A版必修第一册

[对点练清]
1
1.函数 y=x 2 -1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是( )
1
解析:y=x 2 的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图
1
1
象是上升的,函数 y=x 2 -1 的图象可看作由 y=x 2 的图象
1
向下平移一个单位得到的(如选项 A 中的图所示),将 y=x 2
-1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B. 答案:B
()
(2)函数 y=x0(x≠0)是幂函数.
()
答案:(1)× (2)√
2.下列函数中不是幂函数的是
()
A.y= x
B.y=x3
C.y=3x
D.y=x-1
解析:只有 y=3x 不符合幂函数 y=xα 的形式,故选 C.
答案:C
3.已知幂函数的图象过点(2,4),则其解析式为 ( )
A.y=x+2
B.y=x2
答案:D
2.比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1)1.1
-
1 2
,0.9
-
1 2

(2)3
-
3 4
,12
3 4
.
解:(1)因为
y=x
-
1 2
为(0,+∞)上的减函数,又
1.1>0.9,
所以
-
1.1
1 2
<0.9
-
1 2
.
(2)因为
-
3
3 4
=13
3 4
,函数
y=x
3 4
为[0,+∞)上的增函数,
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:①在(0,1)上, 指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低);②在(1, +∞)上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高).
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

谢谢观赏!
Thanks!
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 第17课时 函数概念的应用
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 第16课时 函数的概念
课时作业基设础训计练(45分钟)
——作业目标—— 1.理解函数的概念; 2.正确理解函数的符号; 3.了解构成函数的基本要素; 4.能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域.
——基础巩固—— 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.下列图形中,可以作为y关于x的函数图象的是( D )
——能力提升——
14.(5 分)若函数 f(x)=ax2-1,a 为一个正常数,且 f[f(-1)]
=-1,那么 a 的值是( A )
A.1
B.0
C.-1
D.2
解析:∵f(-1)=a(-1)2-1=a-1, ∴f[f(-1)]=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a =0,∴a=1 或 a=0(舍去),故选 A.
6.函数f(x)= x1-1+ 2-x的定义域为( B ) A.{x|1≤x≤2} B.{x|1<x≤2} C.{x|1≤x<2} D.{x|1<x<2}
x-1≥0, 解析:要使函数有意义,只需 x-1≠0,
2-x≥0,
所以函数的定义域为{x|1<x≤2}.故选B.
解得1<x≤2.
7.已知函数f(x)=3x,则f1a=( D )
1
3
A.a
B.a
C.a
D.3a
解析:f1a=31=3a. a
8.下列图象中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N= {y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( C )
解析:由选项可知 B 不是函数,D 不是函数,A 的值域不是 N, 只有 C 符合题意,故选 C.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 9.若[a,3a-1]为一确定区间,则 a 的取值范围是
解析:A、B、C均存在取一个x值有两个y值与之对应,不是 函数.只有D中,对定义域内的任意x都有且只有一个y值与之对 应,故选D.
2.下列四组中的f(x)与g(x)表示相等函数的是( B )
A.f(x)=
x,g(x)t
C.f(x)=12,g(x)=2xx
D.f(x)=x,g(x)=|x|
15.(15 分)已知函数 f(x)=1+x2x2.
(1)求 f(2)与 f12,f(3)与 f13; (2)由(1)中求得的结果,你能发现 f(x)与 f1x有什么关系?证明 你的发现;
(3)求
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
014)+f12+f13+…+f2
1 014.
解:(1)∵f(x)=1+x2x2, ∴f(2)=1+2222=45,f12=1+12122 2=15, f(3)=1+3232=190,f13=1+13132 2=110.
解析:A、C项中两函数的定义域不同,D项中值域不同.故 选B.
3.函数f(x)= x+1+2-1 x的定义域为( A ) A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞) C.[-1,2) D.[-1,+∞)
解析:由x2+-1x≥ ≠00, , 解得x≥-1且x≠2.故选A.
4.下列各组函数表示同一函数的是( C ) A.y=xx2--39与y=x+3 B.y= x2-1与y=x-1 C.y=x0(x≠0)与y=1(x≠0) D.y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
三、解答题(共 25 分) 12.(12 分)已知 f(x)=1+1 x(x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x ∈R). (1)求 f(2),g(2)的值; (2)求 f[g(3)]的值; (3)求 g(a+1).
解:(1)∵f(x)=1+1 x,∴f(2)=1+1 2=13. ∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. (2)∵g(3)=32+2=11, ∴f[g(3)]=f(11)=1+111=112. (3)g(a+1)=(a+1)2+2=a2+2a+3.
12,+∞
.
解析:由题意
3a-1>a,则
1 a>2.
10.若函数 f(x)满足 f(2x-1)=x+1,则 f(3)= 3 . 解析:令 2x-1=3,则 x=2,故 f(3)=2+1=3.
11.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的定义域是 [-3,0]∪[1,3] ,值域是 [1,5]
(2)由(1)可发现 f(x)+f1x=1,证明如下:
1 f(x)+f1x=1+x2x2+1+x2x12=1+x2x2+1+1 x2=1.
(3)由(2)知 f(x)+f1x=1,
∴f(2)+f12=1,f(3)+f13=1,…,f(2
014)+f2
0114=1.
∴原式=f(1)+2
013=4
027 2.
解析:A项中两函数的定义域不同;B项中对应关系不同;D 项中也是两函数对应关系不同.故选C.
5.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( A )
A.{-1,0,3}
B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
解析:由对应关系y=x2-2x得,0→0,1→-1,2→0,3→3,所 以值域为{-1,0,3}.
(2)∵ x≥0,∴ x+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞). (3)y=3xx-+12=3x-x-11+5=3+x-5 1≠3. ∴函数的值域为{y|y≠3,y∈R}. (4)∵1≤x≤2,∴1≤x2≤4,14≤x12≤1. 故 2≤x82≤8,所以函数的值域为[2,8].
(5)设 t= x-1,则 t≥0,且 x=t2+1. 所以 y=2(t2+1)-t=2(t-14)2+185. 由 t≥0,可得函数的值域为[185,+∞).
13.(13 分)求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y= x+1; (3)y=3xx-+12; (4)y=x82(1≤x≤2); (5)y=2x- x-1.
解:(1)∵y=2x+1,且 x∈{1,2,3,4,5},∴y∈{3,5,7,9,11},所 以函数的值域为{3,5,7,9,11}.
相关文档
最新文档