2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理课堂训练含解析新人教B版必修第二册

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第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册

(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)，所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)，则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，

高中数学第六章平面向量及其应用之平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)(必修第二册)

6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)思维导图考法一平面向量的基本定理【例1-1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．()()120,0,1,2e e==B．()()121,2,5,7e e=-=C．()()123,5,6,10e e==D．()12132,3,,24e e⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【例1-2】(2020·怀仁县大地学校高一月考)如图在梯形ABCD中，2BC AD=，DE EC=，设BA a=，BC b=，则BE=( )A．1124a b B．1536a b+C．2233a b D．1324a b+【例1-3】(2020·全国高一课时练习)在三角形ABC中，M为AC的中点，若(),AB BM BCλμλμ=+∈R，则下列结论正确的是( )常见考法A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【例1-4】(2020·全国高一课时练习)在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若3AF x AB y AD =+，则x y +=( )A ．1B ．59C ．13-D ．59-【举一反三】1．(2020·上海)下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是( )． A ．()()122,1,6,3e e =-=- B ．()()122,1,6,3e e =-= C ．()()122,1,6,3e e =-=-D ．()()122,1,0,0e e =-=2．(2020·河南高一其他模拟)如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=( )A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 3．(2020·湖北高一期末)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF =( )A ．1588AB AC + B ．5188AB AC - C ．1588AB AC -D ．5188AB AC +4．(2021·甘肃)设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=() A ．3-B ．3C ．2-D ．25．(2020·株洲市九方中学高一期末)如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=( )A ．14B ．34C ．92 D ．296．(2020·全国高一课时练习)ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内(包括边界)的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A ．332B ．37C ．39D ．41考法二加减数乘的坐标运算【例2】(1)(2020·北京高一期末)已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =( ) A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2(2)(2020·陕西省商丹高新学校高一期中)已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =( ) A ．2B ．10C ．4D ．210(3)(2020·河南开封市·高一期中)已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(3，2)B ．(3，-1)C ．(7，0)D ．(1，0)(4)(2021·黑龙江)已知向量()1,2a =，()2,3b =，()3,4c =，且12c a b λλ=+，则1λ，2λ的值分别为( )A ．2-，1B ．1，2-C ．2，1-D ．1-，2【举一反三】1．(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点M (－3，3)，N (－5，－1)，那么MN 等于( ) A ．(－2，－4)B ．(－4，－2)C ．(2，4)D ．(4，2)2．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为( )A ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭3．(2020·全国高一)已知向量(1,2)a =，(2,1)b =-，则a b +等于( )A ．(3,1)--B ．(1,3)-C ．(1,3)D ．(3,1)4．(2020·北京二十中高一期末)已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为( ) A ．-4B ．4C ．-1D ．1考法三共线定理的坐标表示【例3-1】(多选)(2020·三亚华侨学校高一月考)已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是( )A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-2】(2020·全国高一课时练习)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =( ) A ．4B ．-4C ．14D ．14-【例3-3】(2020·全国高一)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【举一反三】1．(2020·北京昌平区)下列各组向量中不平行．．．的是( ) A ．()1,1,2a =-，()2,2,4b =- B ．()1,0,0c =，()3,0,0d =- C ．()1,1,0e =，()0,0,0f =D ．()2,3,5g =-，()2,3,5h =2．(2020·浙江杭州市·高一期末)与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( ) A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(2,3,22)--3．(2020·全国高一)已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2020·全国高一课时练习)已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=( ) A ．8B ．8-C ．2D ．2-5．(2020·全国高一单元测试)已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________.考法四向量与三角函数的综合运用【例4-1】(2021·湖南)已知向量(cos 2sin ,2)a θθ=-，(sin ,1)b θ=，若a //b ，则tan 2θ的值为( ) A ．14B ．34C ．815D ．415【例4-2】(2020·本溪市燕东高级中学高一月考)设向量(4cos ,sin )a αα=，(sin ,4cos )b，(cos ,4sin )c ββ=-．(1)若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c +的最大值；(3)若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．【举一反三】1．(2021·新疆)已知平面向量()sin ,2019a θ=，()cos ,2020b θ=，若//a b ，则tan θ=( ) A ．20192020B ．20202019C ．20192020-D ．20202019-2．(2020·全国高一课时练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量2(2m =，2)2-，(sin ,cos )n x x =，(0,)x π∈，若//m n ，则tan x 的值( )A ．4B ．3C ．1-D ．03．(2020·山东省五莲县第一中学高一月考)设0≤θ<2π，已知两个向量1OP ＝(cos θ，sin θ)，2OP ＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量12PP 长度的最大值是( ) A ．2B ． 3C ．32D ．23考法五奔驰定理解三角形面积【例5】(1)(2020·衡水市第十四中学高一月考)若点M 是ABC 所在平面内的一点，且满足53=+AM AB AC ，则ABM 与ABC 的面积比为( ).A ．15B ．25C ．35D ．45(2)(2020·江西宜春市·高一期末)已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=( ) A ．12B ．14C ．34D ．32【举一反三】1．(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为( )A ．16B ．13C ．12D ．232．(2020·怀仁市第一中学校云东校区)ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为( )A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:53．(2020·山西朔州市)已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =( ) A ．310 B ．38C ．25D ．4214．(2020·全国高三专题练习)点P 是ABC 所在平面上一点，若2355A APB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是( )A ．35B ．52C ．32D ．235．(2021·山西)M 是ABC ∆所在平面上一点，满足2MA MB MC AB ++=，则ABMABCS S ∆∆为( ) A ．1:2 B ．1:3 C ．1:1 D ．1:4。

2020-2021人教版数学第二册教师用书：第6章 6.26.2.1向量的加法运算含解析

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第6章6.2 6.2.1向量的加法运算含解析6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点）3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）1。

教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法,给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养。

有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航班,因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再从香港到拉萨．问题:这两次位移之和是什么?1．向量加法的定义(1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2）对于零向量与任意向量a,规定0＋a＝a ＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b，则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量错误!＝a＋b.[提示]不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．3．｜a＋b|与｜a|、|b｜之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤｜a｜＋|b｜,当且仅当a，b方向相同时等号成立．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(）(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．（)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()（4)|a｜＋|b｜＞｜a＋b|. （)［答案]（1）√（2)×(3）×（4）×2。

2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

第六章平面向量及其应用(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2．6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．7．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．8．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积9.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0<常用结论>1．五个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(3)若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．(4)在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：①GA →＋GB →＋GC →＝0；(5)若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．基底需要的关注三点(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．4．共线向量定理应关注的两点示为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．5．两个结论<解题方法与技巧>一、辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．典例1：设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.典例2：设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是()A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：选C.因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b|b |，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故“a ＝2b ”是“a |a |＝b|b |”成立的充分条件．典例3：给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是错误的，|a |＝|b |，但a ，b 方向不确定，所以a ，b 的方向不一定相等或相反．③是正确的，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形．④是错误的，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．答案：③二、平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．典例4：（1）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝()A.34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC→C.34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC→(2)在四边形ABCD 中，BC →＝AD →，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则()A.AF →＝13AC →＋23BD→B ．AF →＝23AC →＋13BD→C.AF →＝14AC →＋23BD→D ．AF →＝23AC →＋14BD→【解析】(1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12→＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.(2)在四边形ABCD 中，如图所示，因为BC →＝AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．由已知得DE →＝13EB →，由题意知△DEF ∽△BEA ，则DF →＝13AB →，所以CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)＝23×BD →－AC →2＝BD →－AC →3，所以AF →＝AC→＋CF →＝AC →＋BD →－AC →3＝23AC →＋13BD →，故选B.【答案】(1)A(2)B典例5：如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】法一：由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB→＋23(AD →＋14AB →)＝12AB →＋23AD →.因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝1，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二：因为BE →＝2EC →，所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一．法三：如图，延长AD ，BC 交于点P ，则由DC →＝14AB →得DC ∥AB ，且AB ＝4DC .又BE →＝2EC →，所以E 为PB 的中点，且AP →＝43AD →.于是，AE →＝12(AB →＋AP →)＋43AD ＝12AB →＋23AD →.以下同法一．法四：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，m ＝4mr ＋3ms ，h ＝3hs ，＝12，＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.【答案】C三、共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[注意]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．典例6：设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a k b 共线．【解】(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0.所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.四、平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[提醒]在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．典例7:如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝()A.23AB →－13AD →B ．13AB →－23AD→C ．－23AB →＋13AD→D ．－13AB →＋23AD→(2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．【解析】(1)法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →－12AB ＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＋23AD AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE→＝－AB →＋12AB →＋＝－AB →＋12AB →＋13CB ＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.(2)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.【答案】(1)C(2)45五、平面向量的坐标运算(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．典例8：(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝()A ．(－23，－12)B ．(23，12)C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C (－1，c )(c >0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．【解析】(1)3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝0，故x ＝－23，y ＝－12，故选A .(2)因为|OC →|＝2，所以|OC →|2＝1＋c 2＝4，因为c>0，所以c ＝ 3.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.【答案】(1)A(2)3－1典例9：(1)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．(2)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为________．【解析】(1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝AO →＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)．因为c ＝λa ＋μb ，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，λ＋6μ＝－1，＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.(2)以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD →＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →＝(λ，2μ)，1＋255cos θ＝λ，＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2.【答案】(1)4(2)3六、平面向量共线的坐标表示(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②已知b ≠0，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb (λ∈R )．(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解．典例10：(1)已知平面向量a ，b ，c ，a ＝(－1，1)，b ＝(2，3)，c ＝(－2，k )，若(a ＋b )∥c ，则实数k ＝________．(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．【解析】(1)由题意，得a ＋b ＝(1，4)，由(a ＋b )∥c ，得1×k ＝4×(－2)，解得k ＝－8.(2)因为在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，所以DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )，AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，－x ＝2，－y ＝－2，＝2，＝4，故点D 的坐标为(2，4)．【答案】(1)－8(2)(2，4)典例11：已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是()A ．－23B ．43 C.12D ．13【解析】AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.【答案】A 七、平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．[提醒]解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．典例12：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________．【解析】法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →.因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →|·|AD →|cos π4，化简得|AD →|＝22.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n ，0)，其中m ＞0，n ＞0，则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n ，0)·(m ＋2，m )＝2(n ，0)·(m ，m )，所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12.【答案】12八、求向量的模的方法(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．典例13：(1)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于()A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA→＋3PB →|的最小值为__________．【解析】(1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b ·a ＋b 2)＝4－2×2×3×cos π6＋4，则|AD →|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.【答案】(1)A (2)5九、平面向量的夹角(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向求解．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．典例14：(1)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________．(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【解析】(1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝21×4＋5＝23.(2)因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，所以(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，所以4k －6－6<0，所以k <3.【答案】(1)23(2)(－∞，3)十、两向量垂直问题(1)当向量a 与b 是坐标形式时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .典例15：(1)已知a ＝(1，1)，b ＝(2，m )，a ⊥(a －b )，则|b |＝()A ．0B ．1C.2D ．2(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】(1)由题意知a －b ＝(－1，1－m )．因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝－1＋1－m ＝0，所以m ＝0，所以b ＝(2，0)，所以|b |＝2.故选D.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0.又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】(1)D (2)712十一、平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．典例16：已知两个不共线的向量a ，b 满足a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，θ∈R .(1)若2a －b 与a －7b 垂直，求|a ＋b |的值；(2)当θ∈0，π2时，若存在两个不同的θ，使得|a ＋3b |＝|m a |成立，求正数m 的取值范围．【解】(1)由条件知|a |＝2，|b |＝1，又2a －b 与a －7b 垂直，所以(2a －b )·(a －7b )＝8－15a ·b ＋7＝0，所以a ·b ＝1.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝4＋2＋1＝7，故|a ＋b |＝7.(2)由|a ＋3b |＝|m a |，得|a ＋3b |2＝|m a |2.即|a |2＋23a ·b ＋3|b |2＝m 2|a |2，即4＋23a ·b ＋3＝4m 2，7＋23(cos θ＋3sin θ)＝4m 2.所以43sin 4m 2－7.由θ∈0，π2，得θ＋π6∈π6，2π3，因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知43sin[6，43)，即6≤4m 2－7＜43，即134≤m 2＜7＋434，又m ＞0，所以132≤m ＜2＋32.即实数m 的取值范围为132，十二、向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．典例17：(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA→＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．【解析】(1)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →＝2AD →(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.(2)在平行四边形ABCD 中，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CD →＝AD →－12AB →，又因为AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×1×12|AB →|－12|AB →|2＝1.|AB →|＝0，又|AB →|≠0，所以|AB →|＝12.【答案】(1)C (2)12十三、平面向量与函数、不等式的综合应用通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算，再结合函数、不等式的知识解决，同时也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用．典例18：(1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是()A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)已知向量a ，b a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为________．【解析】(1)设g (t )＝(a ＋t b )2＝b 2t 2＋2t a ·b ＋a 2，当且仅当t ＝－2a ·b 2b 2＝－|a |cos θ|b |时，g (t )取得最小值1，所以b 2×|a |2cos 2θ|b |2－2a ·b ×|a |cos θ|b |＋a 2＝1，化简得a 2sin 2θ＝1，所以当θ确定时，|a |唯一确定．(2)法一：因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，所以a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2，因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，所以|a ＋c |≥32，所以|a ＋c |的最小值为32.法二：因为向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b －12，则a ＋b 因为向量c 与a ＋b 共线，所以可设c ＝t ∈R )，所以a ＋c ＋t 2，所以|a ＋c |＝t 2＋t ＋1≥32，所以|a ＋c |的最小值为32.【答案】(1)D (2)32十四、平面向量与解三角形的综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．典例19：已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .【解】(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.十五、向量在解析几何中的2个作用典例20：(1)若点O 和点F 分别为椭圆x 4＋y 3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3FA →，则此双曲线的离心率为________．【解析】(1)由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)，点O (0，0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.(2)由F (－c ，0)，A (0，b )，得直线AF 的方程为y ＝b cx ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝b ax 相交，＝b c x ＋b ，＝b a x ，消去x 得，y B ＝bc c －a .由AB →＝3FA →，得y B ＝4b ，所以bc c －a＝4b ，化简得3c ＝4a ，所以离心率e ＝43.【答案】(1)6(2)43。

高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册

6。

1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。

例1。

在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。

相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。

通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版

类型二向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ，求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
2

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册作业：6.3.1平面向量基本定理

第六章平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示第7课时平面向量基本定理
课时基作础训业练设计
——作业目标——
1.了解平面向量基本定理的概念. 2.通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量. 3.能运用平面向量的基本定理处理简单的几何问题.
——基础巩固——
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足
→ AP
＝Байду номын сангаас(
→ AB
＋
→ AC
)，
B→P＝(1－2μ)B→C(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝
3 4
.
解析：因为B→P＝(1－2μ)B→C，所以B→A＋A→P＝(1－2μ)(B→A＋A→C)，
故A→P＝(1－2μ)(－A→B＋A→C)＋A→B＝2μA→B＋(1－2μ)A→C.
∴xy＝＝2－＋22λ，λ，消去λ得x＋y＝2.
7．(多选)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD， BC上，E→F＝λA→B＋μD→C(λ，μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合条件的是( BD )
A.A→E＝14A→D，B→F＝34B→C B.A→E＝12A→D，B→F＝12B→C C.A→E＝13A→D，B→F＝23B→C D.A→E＝23A→D，B→F＝23B→C
解：由A→N＝3N→C，知N为AC的四等分点． M→N＝M→C＋C→N＝12A→D－14A→C＝12A→D－14(A→B＋A→D)＝－14A→B＋14A→D ＝－14a＋14b.
13．(10分)如图所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点， BF与DE交于点G，设A→B＝a，A→D＝b.
因为A→B，A→C不共线，A→P＝λ(A→B＋A→C)，

新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第

新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习（含解析）新人教B 版必修第二册知识点一共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍答案 D解析由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线，所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]，整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________．答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案三解析由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线．证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线．又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →，又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →，则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →，又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。

【新教材】高中数学必修第二册知识点

【新教材】高中数学必修第二册三部分知识点课本目录知识点目录章节思维导图新人教版高中数学必修（第二册）课本目录第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念6.2平面向量的运算6.3平面向量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用第七章复数7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3复数的三角表示第八章立体几何初步8.1基本立体图形8.2立体图形的直观图8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.5空间直线、平面的平行8.6空间直线、平面的垂直第九章统计9.1随机抽样9.2用样本估计总体9.3统计分析案例第十章概率10.1随机事件与概率10.2事件的相互独立性10.3频率与概率新人教版高中数学必修（第二册）知识点目录§6.1平面向量的概念 (5)§6.2平面向量的运算 (6)6.2.1向量的加法运算 (6)6.2.2向量的减法运算 (7)6.2.3向量的数乘运算 (8)6.2.4向量的数量积(一) (9)6.2.4向量的数量积(二) (10)§6.3平面向量基本定理及坐标表示 (11)6.3.1平面向量基本定理 (11)6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (11)6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 (11)6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (12)6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (12)§6.4平面向量的应用 (12)6.4.1平面几何中的向量方法 (12)6.4.2向量在物理中的应用举例 (12)6.4.3余弦定理、正弦定理 (13)第1课时余弦定理 (13)第2课时正弦定理(一) (13)第3课时正弦定理(二) (13)第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 (14)第5课时余弦定理、正弦定理的应用 (14)§7.1复数的概念 (15)7.1.1数系的扩充和复数的概念 (15)7.1.2复数的几何意义 (15)§7.2复数的四则运算 (16)7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 (16)7.2.2复数的乘、除运算 (17)§8.1基本立体图形 (18)第1课时棱柱、棱锥、棱台 (18)第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 (20)§8.2立体图形的直观图 (21)§8.3简单几何体的表面积与体积 (22)8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (22)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (22)§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (23)8.4.1平面 (23)8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 (25)§8.5空间直线、平面的平行 (26)8.5.1直线与直线平行 (26)8.5.2直线与平面平行 (26)8.5.3平面与平面平行 (27)§8.6空间直线、平面的垂直 (28)8.6.1直线与直线垂直 (28)8.6.2直线与平面垂直 (29)8.6.3平面与平面垂直 (31)§9.1随机抽样 (32)9.1.1简单随机抽样 (32)9.1.2分层随机抽样 (33)9.1.3获取数据的途径 (33)§9.2用样本估计总体 (34)9.2.1总体取值规律的估计 (34)9.2.2总体百分位数的估计 (35)9.2.3总体集中趋势的估计 (36)9.2.4总体离散程度的估计 (37)§10.1随机事件与概率 (38)10.1.1有限样本空间与随机事件 (38)10.1.2事件的关系和运算 (39)10.1.3古典概型 (40)10.1.4概率的基本性质 (40)§10.2事件的相互独立性 (40)§10.3频率与概率 (40)知识点一向量的概念及表示1．向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．2．向量的表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(2)向量的表示①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，向量AB →的大小称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.②字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案错误．理由是：①向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段．知识点二向量的相关概念向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量；向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量．6.2.1向量的加法运算知识点一向量加法的定义及其运算法则1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内取任意一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC →(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．思考|a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案(1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.知识点二向量加法的运算律向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )知识点一相反向量1．定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2．性质(1)零向量的相反向量仍是零向量．(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.知识点二向量的减法1．定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．减法法则：已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．几何意义：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．思考若a ，b 是不共线向量，则|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？答案如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，即分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．知识点一向量数乘的定义一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)当λ>0时，与a的方向相同；当λ<0时，与a的方向相反.特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识点二向量数乘的运算律1．设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识点三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.思考向量共线定理中为什么规定a≠0?答案若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.知识点一两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向．2．垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点二向量数量积的定义已知两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a |·|b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考若a ≠0，且a ·b ＝0，是否能推出b ＝0?答案在实数中，若a ≠0，且a ·b ＝0，则b ＝0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ·b ＝0，不能推出b ＝0.因为其中a 有可能垂直于b .知识点三投影向量1．如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下的变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1——→，我们称上述变换为向量a 向向量b 的投影，A 1B 1——→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．2．如图，在平面内任取一点O ，作OM →＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→与e ，a ，θ之间的关系为OM 1→＝|a |cos θe .知识点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b ||b|，a与b同向，|a||b|，a与b反向.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.6.2.4向量的数量积(二)知识点一平面向量数量积的运算律对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．思考若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案不可以．已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cosβ＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cosα＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a§6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知识点二平面向量的坐标表示1．基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底．2．坐标：对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．3．坐标表示：a ＝(x ，y )．4．特殊向量的坐标：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)．思考点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系？答案区别表示形式不同向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点A (x ，y )中间没有等号意义不同点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y )联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示知识点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．知识点二平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cosθ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.§6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．知识点二向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量m v是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab思考在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？答案a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理．知识点二解三角形一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．第2课时正弦定理(一)知识点正弦定理条件在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c结论a sin A ＝b sin B ＝csin C文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等第3课时正弦定理(二)知识点三角形中边与角之间的关系1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化(1)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.(2)2R sin A ＝a ，2R sin B ＝b ，2R sin C ＝c ，(其中R 为△ABC 外接圆的半径)2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a 2>b 2＋c 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，△ABC 为钝角三角形；(2)若a 2＝b 2＋c 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝0，△ABC 为直角三角形；(3)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca >0，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，△ABC 为锐角三角形．第4课时余弦定理、正弦定理应用举例知识点一基线的概念与选择原则1．定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．2．性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．知识点二测量中的有关角的概念1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？答案东南方向．第5课时余弦定理、正弦定理的应用知识点三角形的面积公式1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积公式为(1)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ；(2)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 表示a ，b ，c 边上的高)．2．△ABC 中的常用结论(1)A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(2)大边对大角，即a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．§7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念知识点一复数的有关概念1．复数(1)定义：我们把形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．知识点二复数的分类1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)b＝0，b≠0当a＝0时为纯虚数2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.7.1.2复数的几何意义知识点一复平面思考实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．知识点二复数的几何意义1．复数z＝a＋b i(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．2．复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.知识点三复数的模1．定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值．2．记法：复数z ＝a ＋b i 的模记作|z |或|a ＋b i|.3．公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.知识点四共轭复数1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．表示：复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，那么z ＝a －b i.§7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义知识点一复数加法与减法的运算法则1．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则(1)z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有(1)z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二复数加、减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1——→与复数z 1－z 2对应．思考类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是什么？答案|z －z 0|(z ，z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离．7.2.2复数的乘、除运算知识点一复数乘法的运算法则和运算律1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1z 2＝z 2z 1结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3思考|z |2＝z 2，正确吗？答案不正确．例如，|i|2＝1，而i 2＝－1.知识点二复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)是任意两个复数，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a ＋b i 型，则分子、分母同乘a －b i ；若分母为a －b i 型，则分子、分母同乘a ＋b i ，即分子分母同乘以分母的共轭复数．§8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台知识点一空间几何体、多面体、旋转体的定义1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体、旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的结构特征棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′相关概念：底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三棱锥的结构特征棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S —ABCD相关概念：底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥知识点四棱台的结构特征棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD —A ′B ′C ′D ′相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点．第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________．答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边思考圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？答案圆锥的轴截面有无穷多个，母线有无穷多条，圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线．知识点三圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O相关概念：球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．§8.2立体图形的直观图知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴．(2)画底面：平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．§8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝2πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l )圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l )圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝π(r ′l ＋rl )表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )。

高中数学第六章平面向量初步 6.2.1 向量基本定理学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B

6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理素养目标·定方向课程标准学法解读1.掌握共线向量基本定理． 2．掌握平面向量基本定理．1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．2．借助平面向量基本定理，培养学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．必备知识·探新知知识点共线向量定理如果__a ≠0__，且b ∥a ，则存在__唯一__的实数λ，使得b ＝λA ．如果A ，B ，C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得AB →＝λAC →．思考：(1)定理中的条件“a ≠0”能否省略，为什么？ (2)这里的“唯一”的含义是什么？提示：(1)不能．如果a ＝0，b ≠0，不存在实数λ，使得b ＝λA ．如果a ＝0，b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λA ．(2)如果还有b ＝μa ，则有λ＝μ．知识点平面向量基本定理(1)定理：如果平面内的两个向量a ，b __不共线__，则对该平面内的__任意一个__向量c ，__存在唯一__的实数对(x ，y )，使得c ＝x a ＋y B ．(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a ，b 组成的集合{a ，b }称为该平面上向量的__一组基底__．思考：(1)定理中的“不共线”能否去掉？ (2)平面内的每一个向量都能用a ，b 唯一表示吗？提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．关键能力·攻重难题型探究题型共线向量定理的应用┃┃典例剖析__■典例1 已知向量m ，n 不是共线向量，a ＝3m ＋2n ，b ＝6m －4n ，c ＝m ＋x n ．(1)判断a ，b 是否平行； (2)若a ∥c ，求x 的值．[解析] (1)显然a 为非零向量，若a ∥b ，则存在实数λ，使得b ＝λa ，即6m －4n ＝λ(3m ＋2n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3λ，－4＝2λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，λ＝－2，∴λ不存在．∴a 与b 不平行．(2)∵a ∥c ，∴存在实数r ，使得c ＝r A ． ∴m ＋x n ＝r (3m ＋2n )∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3r ，x ＝2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝13，x ＝23，x ＝23．规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e 1＋μ1e 2＝λ2e 1＋μ2e 2，其中e 1，e 2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b ＝λa 时，b ∥a ”． 3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件． ┃┃对点训练__■1．已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． [解析] 要使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2.由于e 1与e 2不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1．题型平面向量基本定理的理解┃┃典例剖析__■典例2 (1)设e 1、e 2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是( C )①e 1和e 1＋e 2 ②e 1－2e 2和e 2－2e 1 ③e 1－2e 2和4e 2－2e 1 ④e 1＋e 2和e 1－e 2 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么( A ) A ．若实数λ1、λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1、λ2是实数C ．对实数λ1、λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对 [分析] (1)根据基底的构成条件判断． (2)由平面向量基本定理的内容理解判断．[解析] (1)③中，∵4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C ． (2)平面α内任一向量都可写成e 1与e 2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B 不正确；对任意实数λ1、λ2，向量λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a ，实数λ1、λ2是唯一的．规律方法：对平面向量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝x a ＋y b ，且x ＝y ＝0．(2)对于固定的不共线向量a ，b 而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．┃┃对点训练__■2．已知平面向量e 1，e 2是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝__3__．[解析] 因为平面向量e 1，e 2是一组基底，所以向量e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得x －y ＝3．题型用基底表示向量┃┃典例剖析__■典例3 如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP→＝13AB →，若AB ＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．[解析] NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13B ．PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．规律方法：平面向量基本定理的作用及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．┃┃对点训练__■3．如图，在△AOB 中， OA →＝a ，OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a ，b 表示向量OP →．[解析] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23B ．因为OP →与OM →共线，令OP →＝tOM →，则OP →＝t (13a ＋23b )．又设OP →＝(1－m )ON →＋mOB → ＝34a ·(1－m )＋m B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧t 3＝341－m ，23t ＝m ，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，t ＝910，所以OP →＝310a ＋35B ．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设A D →＝a ，A B →＝b ，若A B →＝2D C →，则A O →＝__23a ＋13b __(用a 和b 表示)．[错解] 2a ＋b 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．∵D 、O 、B 三点共线，∴λ－12λ＝1，∴λ＝2．∴A O →＝2A D →＋A B →＝2a ＋B ．[辨析] 不能正确应用直线的向量参数方程致错．[正解] 23a ＋13a 设A O →＝λAC →，则A O →＝λ(A D →＋D C →)＝λ(A D →＋12A B →)＝λAD →＋12λAB →．因为D 、O 、B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23，所以A O →＝23A D →＋13A B →＝23a ＋13B ．。

人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课教学课件复习(向量基本定理)

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和 e1＋ke2
共线？
解：设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，所以存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
因为 e1 与 e2 不共线，所以只能有kλ－kλ－＝10＝，0，则 k＝±1.
栏目导引
第六章平面向量初步
用基底表示向量
＝a－23b.
第六章平面向量初步
栏目导引
第六章平面向量初步
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总
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第六章平面向量初步
4．直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量 a，b 的坐标分别为 x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔__x_1_＝__x_2___; a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)_e__．
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D→F＝D→E＋E→F＝－16b＋13b－a＝16b－a. 课件

2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.1平面向量的概念含解析

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.1平面向量的概念含解析第六章平面向量及其应用6．1平面向量的概念[目标] 1。

记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念,并能找共线向量．[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念,会表示向量．[难点］向量的概念，平行向量．要点整合夯基础知识点一向量的概念和表示方法[填一填］1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具—-有向线段．有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．(2)表示方法:向量可以用有向线段错误!表示,向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或称模），记作｜错误!|。

向量可以用字母a,b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：错误!，错误!.［答一答]1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．2．两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．知识点二向量的长度（或称模）与特殊向量[填一填］1．向量的长度定义：向量的大小．2．向量的长度表示:向量错误!的长度记作：|错误!｜;向量a的长度记作：|a｜.3．特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．［答一答］3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗?提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．知识点三相等向量与共线向量［填一填]1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b。

2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果向量a，b 平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此，平行向量也叫做共线向量．3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。

6.2.1向量基本定理教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

一、教材内容分析6.2.1平面向量基本定理本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 2 第六章第 2 节向量基本定理与向量的坐标的第一课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”。

平面向量的基本定理是在共线向量基本定理的基础上，由一维直线向二维平面推广的结果。

定理实际上又是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，为学生后续学习向量坐标表示及空间向量基本定理打下基础。

定理的学习也提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标1、知识和能力：1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。

2、掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式3、能用平面向量基本定理进行简单的应用。

2、过程和方法：通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。

通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。

3、情感态度价值观目标：经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

三、学习者特征分析（1）本节课的授课对象是高一学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）学生学习了向量的概念和向量的运算后，对向量的几何表示及几何运算有了初步的认知。

同时共线向量的基本定理使学生认识到只要由一个非零向量和一个参数就可控制所有与之共线的向量，这些都是学生接受新知识的基础。

（3）学生有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.（4）让学生通过对课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高，所以这部分将作为本节课的重点内容四、教学重点、难点教学重点：（1）掌握判断基底的方法和用基底表示向量的方法；（2）掌握并记忆直线的向量参数方程式和线段中点向量表达式；教学难点：平面向量的基本定理探究以及理解；五、教学方法探究式，小组合作学习六、教学过程1共线向量基本定理【设计意图】知识的复习回顾不但巩固了上几节课所学，也给学生留下了思维空间，为本节课知识的学习和应用做好充分的铺垫，探究：小组讨论下列问题，然后交流分享成果。

向量基本定理

一非零向量线性表示,可以用来求参数λ,它是轴上向量坐标化的依据.
3.做一做:若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=
b.
5
答案:-
7
5
解析:由题意知 a=- b.
7
课前篇自主预习
一
二
二、平面向量基本定理
1.填空.
条件如果平面内两个向量 a 与 b 不共线
对该平面内任意一个向量 c,存在唯一的实数对(x,y),使得
断地向基底靠拢.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:由题意,得
1
1
= + = + 2 = + 2 ( − )
1
1
1
2
2
2
=a+ (b-a)= a+ b,
1
2
1
2
1
2
3
3
3
= + =a+3(b-a)=3a+3b,
= + =a+ (b-a)= a+ b.
组求解.
解:(1)因为=a+b,=a+2b,=a+3b.
则 = − =a+2b-(a+b)=b,
而 = − =a+3b-(a+b)=2b,
于是=2,所以 A、B、C 三点共线.
(2)因为 ka+b 与 a+kb 共线,则存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb),
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
方程思想在向量中的应用——数学方法

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算同步课件新人教A版

【补偿训练】
在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
① A DA B=
.
② C D A C D O =
.
③ A B A D C D =
.
④ A C B A D A =
.
类型三向量加法的应用(逻辑推理、直观想象) 角度1 与平面几何知识综合应用【典例】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 A O O C ， D O O B . 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证 A BD C .
【补偿训练】
1.在矩形ABCD中,| A B |=4,| B C |=2,则向量 A B A D A C 的长度等于 ( )
A.2 5
B.4 5
C.12
D.6
【解析】选B.因为 A B A D A C ，所以 A B A D A C 的长度为 A C 的模的2倍,
即为4 5 .
2.如图,已知▱ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
A . O H B . O G C . F O D . E O
3.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b; (2)用三角形法则作出向量a+b.
【解题策略】 1.应用三角形法则应注意的问题使用三角形法则求两个向量的和时,应注意“首尾相连,起点指终点”,即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 2.应用平行四边形法则应注意的问题 (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. (2)基本步骤可简述为:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点的对角线对应的向量.

高中数学第6章平面向量初步 6.2.1 向量基本定理课时31 平面向量基本定理练习(含解析)新

课时31 平面向量基本定理知识点一平面向量基本定理的理解1.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是( )①λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使得λe 1＝μe 2，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．② 答案 B解析由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．2．若{e 1，e 2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )A ．{e 1－e 2，e 2－e 1}B ．{2e 1＋e 2，e 1＋12e 2}C ．{2e 2－3e 1,6e 1－4e 2}D ．{e 1＋e 2，e 1－e 2} 答案D解析对于选项A ，e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，所以(e 1－e 2)∥(e 2－e 1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e 1＋e 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋12e 2，所以(2e 1＋e 2)∥⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1＋12e 2，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e 2－3e 1＝－12(6e 1－4e 2)，所以(2e 2－3e 1)∥(6e 1－4e 2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D ，显然e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．知识点二用基底表示向量3．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 答案 B解析取第Ⅲ部分内一点画图易得a ＞0，b ＜0.4．如图，在△ABC 中，P 为BC 边上一点，且BP →＝32PC →.(1)用基底{AB →，AC →}表示A P →＝________； (2)用基底{AB →，PC →}表示A P →＝________. 答案 (1)25AB →＋35AC → (2)AB →＋32PC →解析 (1)∵AP →＝AB →＋BP →，BP →＝32PC →＝35BC →，BC →＝AC →－AB →，∴AP →＝AB →＋35(AC →－AB →)＝AB →＋35AC →－35AB →＝25AB →＋35AC →.(2)AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋32PC →.5. 在△ABC 中，AD →＝14AB →，过点D 作DE ∥BC ，与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE相交于点N ，如图所示．设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底{a ，b }表示DN →.解 ∵M 为BC 的中点，∴BM →＝12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．∵DN ∥BM ，AN 与AM 共线，∴存在实数λ，μ，使得DN →＝λBM →＝12λ(b －a )．AN →＝μAM →＝12μ(a ＋b )＝μ2a ＋μ2b .∵AN →＝AD →＋DN →＝14a ＋12λ(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－λ2a ＋λ2b ，∴根据平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧14－λ2＝μ2，λ2＝μ2，∴λ＝μ＝14，∴DN →＝18(b －a )＝－18a ＋18b .知识点三平面向量基本定理的应用6.已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →，实数λ∈(1,2)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线答案 B解析由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →. 又λ∈(1,2)，所以点B 在线段AM 上．故选B.7．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若A C →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案43解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b .又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(A E →＋A F →)，即λ＝μ＝23.∴λ＋μ＝43.8．已知a ，b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a ，12b ，t (a ＋b )三个向量的终点在一条直线上，则实数t ＝________.答案13解析如图，∵a ，12b ，t (a ＋b )三个向量的终点在一条直线上，∴存在实数λ使t (a ＋b )－12b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ，即(t －λ)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12λ－t b . 又∵a ，b 不共线，∴t －λ＝0且12－12λ－t ＝0，解得t ＝13.9．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)设AD 与BC 交于点E ，试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明L ，M ，N 三点共线．解 (1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴存在实数x ，使OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .① 同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴存在实数y ，使OE →＝y a ＋3(1－y )b .②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3(1－y )，解得x ＝25，y ＝45.∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM →＝6a ＋12b 10＝3a ＋6b5，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b 10，∴MN →＝6ML →，∴L ，M ，N 三点共线. 易错点忽略两个向量作为基底的条件10.已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0 C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0易错分析若认为e 1，e 2是一组基底，则会得到如下解析：设a ＝k b (k ∈R )，则e 1＋λe 2＝2k e 1，所以(1－2k )e 1＋λe 2＝0，所以1－2k ＝0，且λ＝0，选A.事实上，e 1，e 2并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e 1，e 2共线的情况．答案 D正解当e 1∥e 2时，a ∥e 1，又b ＝2e 1，所以b ∥e 1，又e 1≠0，故a 与b 共线；当λ＝0时，a ＝e 1，又b ＝2e 1，e 1≠0，故a 与b 共线．一、选择题1．设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．{e 1＋e 2，e 1－e 2} B ．{3e 1－2e 2,4e 2－6e 1} C ．{e 1＋2e 2，e 2＋2e 1} D ．{e 2，e 1＋e 2} 答案B解析因为B 中3e 1－2e 2和4e 2－6e 1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B. 2．{e 1，e 2}为基底向量，已知向量AB →＝e 1－k e 2，CB →＝2e 1－e 2，CD →＝3e 1－3e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是()A ．2B ．－3C ．－2D ．3 答案A解析根据题意得AB →＝e 1－k e 2，BD →＝CD →－CB →＝3e 1－3e 2－2e 1＋e 2＝e 1－2e 2，∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即e 1－k e 2＝λ(e 1－2e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－k ＝－2λ，∴k ＝2.3．若点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝() A ．AO →B ．CO → C ．BO →D ．DO →答案C解析 3e 2－2e 1＝12BC →－12AB →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝BO →.4．在△ABC 中，设M 是边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 答案 A解析解法一：设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋12tBC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝12－t 2，μ＝t 2，故λ＋μ＝12. 解法二：(特殖值法)设M 为BC 的中点，所以AN →＝12AM →＝12×12(AB →＋AC →)＝14AB →＋14AC →，所以λ＝μ＝14，故λ＋μ＝12.5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则A F →＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.12a ＋23b答案 C解析 ▱ABCD 中，△DEF ∽△BEA ，故DE BE ＝DF BA ＝13，再由AB ＝CD 可得DF DC ＝13.故DF →＝13DC →，∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴DC →＝OC →－OD →＝12AC →－12BD →＝12a －12b ，∴DF →＝16a －16b ，∵AD →＝OD →－OA →＝12BD →－12CA →＝12b ＋12a ，∴AF →＝AD →＋DF →＝23a ＋13b .二、填空题6．▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AC →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MB →，则MB →＝________. 答案12a －b解析 MB →＝12DB →＝DM →＝AM →－AD →＝12AC →－AD →＝12a －b .7．设{e 1，e 2}是平面内的一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可表示为另一组向量a ，b 的线性组合，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .答案23 －13解析设e 1＋e 2＝λa ＋μb ，则e 1＋e 2＝λe 1＋2λe 2＋(－μe 1)＋μe 2，整理得e 1＋e 2＝(λ－μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2，又e 1与e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，2λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝－13.8．设{e 1，e 2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a ＝e 1＋λe 2与向量b ＝－e 1＋2e 2共线的条件是________．答案λ＝－2解析向量a ，b 共线，即存在x ∈R 使b ＝x a ，即－e 1＋2e 2＝x (e 1＋λe 2)，整理得(x ＋1)e 1＋(λx －2)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，λx －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，λ＝－2.三、解答题9．如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(BA →＋AC →)＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(BA →＋AC →)＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AC →)＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式．解 (1)证明：设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b .11．如图所示，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．word - 11 - / 11解如图所示．以OC 为对角线，作平行四边形OECF ，且OA ，OB 在这个四边形的两邻边上．∵∠COF ＝∠EOF －∠EOC ＝120°－30°＝90°.在Rt △COF 中，|OC →|＝23，∠OCF ＝30°，∴CF ＝OCcos30°＝4. ∴OF ＝2.又|OA →|＝|OB →|＝1.∴OE →＝4OA →，OF →＝2OB →.∴OC →＝OE →＋OF →＝4OA →＋2OB →.由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.∴λ＋μ＝6.。