数学北师大选修2-3课件：第一章 计数原理 1-2
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第一章 计数原理 本章小结 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-3
× □× □ ×□ ×□ ×□ ×□ ×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间即图中“”的位置这样
相当于7个“”选4个来排，一共有A74＝840种排法.
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，
根据分步乘法计数原理，
一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
例2 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的
节目安排顺序？
插空法
解 第一步将6个演唱节目排成一行如图中的“ ”，一共有A66＝720(种)排法.
北师大版 高中数学 选修2—3 第一章 计数原理
本章小结
一、
知 识 网 络
两个原理
分类加法计算原理 分步乘法计数原理
排列与组合 简单计数问题
排列 组合
Anm 的意义及计算 Cnm 的意义及计算 组合数的性质
二项式定理
二项式定理 二项展开式的系数
二、 要点归纳
1.两个计数原理
有n类
完
办法
成
一
件 事
第三类：用2种颜色涂，对角区域各涂一色有A42＝4 3＝12(种). 共有24＋48＋12＝84(种).
(2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老 师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车 工修理一台机床，则有多少种选派方法？
分析
钳工 5
2
题型三 二项式定理及其应用
高中数学第一章计数原理1.3组合1.3.1组合与组合数公式课件北师大版选修2_3
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型一
题型二
题型三
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
12345
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知识梳理
典例透析
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
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题型二
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解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
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【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
高中数学选修2-3第一章计数原理精品课件 两个原理01
远古人“结而计 之” “数而计之”
复杂的计数问题，怎么办？ “算而计之”
狐狸想 从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路 走水路有2艘船，走陆路有3辆车子，问：乘坐这些交通 工具,一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到小岛 （安全地）
引例1:
水路
2种 车路
草地
安全地
狐狸总共有多少种 方法逃到安全地？
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 小岛逃回到自己的房子（安全地）
狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从 草地逃回到自己的房子（安全地）
引例2:
草地
a1 a2
a3 a4 a5
5 种 方 法
b1
小岛
b2
2 种
方
安全地
4 种
方
别 墅
法
法
问题剖析 要我们做什么事情 完成这个事情要分几步 每步方法能否独立完成这件事情
0到9,这10 个数字一共可以组成多少个７ 位数码，即可产生多少种可能的中奖号码？
两 例２：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 个 位数若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖 基 号码所有可能的种数是多少？ 本 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位 原 理 的 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 例 =10７ 题 变１：这十个数一共可以组成多少７位数字？ 和 练 百万 十万 万 千 百 十 个 习
分步乘法计数原理的特点：
1、每一步的方法只能完成整个事情的一部分，所 有的步骤能完成整个事情。 2、每一步的方法都是互相联系、但互不干扰的。
大家谁能模仿：引例1 狐狸从草地到家的 此类的路线问题,举几个发生在我们实践中, 可以用分类计数原理解决的问题吗？
高中数学第一章计数原理1.3组合课件北师大版选修2_3
m = ������ n -m m = ������ m + ������ m -1 ������n , ������ n+1 n n n 0 ①n, m∈N+且 m≤n ②规定:C������ =1
一
二
名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具 体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数, 它是一个数. 2. 利用排列数公式和组合数公式进行计算, 证明时, 要正确地选用
一
二
【做一做1】 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法? (2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法? (3)从1,2,3,„,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位 数共有多少个? (4)从1,2,3,„,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个?
一
二
一、组合的概念 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
一
二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关. 2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时,就是不同的组合. 3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中 任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排 列要求元素“按照一定的顺序排成一列”.因此区分某一问题是组合 还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序 就是组合.
一
二
名师点拨1.“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是一个具 体的事件,不是一个数;而“组合数”是符合条件的所有组合的个数, 它是一个数. 2. 利用排列数公式和组合数公式进行计算, 证明时, 要正确地选用
一
二
【做一做1】 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从50个人中选3个人去参加同一种劳动,有多少种不同的选法? (2)从50个人中选3个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种选法? (3)从1,2,3,„,9九个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位 数共有多少个? (4)从1,2,3,„,9九个数字中任取3个,然后把这三个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个?
一
二
一、组合的概念 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
一
二
名师点拨1.组合的概念中有两个要点:(1)取出元素,且要求n个元 素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关. 2.两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素 的顺序如何,都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即 使只有一个元素不同)时,就是不同的组合. 3.组合与排列的异同:组合与排列的相同点是,“从n个不同元素中 任取出m个元素”;不同点是,组合“不管元素的顺序并成一组”,而排 列要求元素“按照一定的顺序排成一列”.因此区分某一问题是组合 还是排列,关键是看取出的元素有无顺序,有顺序就是排列,无顺序 就是组合.
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
复习课件
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学 第一章 计数原理 1-3-1 组合与组合数公式课件 北师大版选修2-3
§3 组 合
第一课时 组合与组合数公式
1．组合的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一 组，叫做从n不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表 示．
＝
11·（y－1）（！3y（）2！y＋1）！，化简得y2－5y＝0.
∴y＝0(舍)或y＝5，∴x＝15.
∴方程组的解为xy＝＝51.5，
(2)∵2Cx＋1x－2<3Cx＋12，∴2Cx＋13<3Cx＋12，即 2×（x＋11×）x2×（x3－1）<3×（x1＋×12）x. ① ∵x＋1≥3，x≥2，∴(x＋1)x>0. ①式两边同除以(x＋1)x，得x－1<92，∴x<121. ∴x＝2，3，4，5.即不等式的解集为{2，3，4，5}．
探究3 (1)Cn＋1m＝Cnm＋Cnm－1⇔Cnm－1＝Cn＋1m－Cnm； (2)C11＝C22＝C33＝…＝Cnn； (3)公式的灵活运用，体现了思维的灵活性．
◎思考题4 (1)计算①C31＋C32＋C43＋C54＋C65； ②C55＋C65＋C75＋C85＋C95＋C105； (2)计算C201198＋C200196＋C200197.
题型一 组合的概念
例1 判断下列问题是不是组合问题？ (1)从10人中选4人
①参加，6中任取两数
①构成对数或指数；②相加或相乘．
(3)三个人互相 ①问好；②送礼品．
(4)由正四面体4个顶点 ①可形成多少个向量；②形成多少对异面直线．
高中数学第一章计数原理1.2排列课件北师大版选修2_3
§1.2 排列
学 习 目 标 思 维 脉 络 1. 理解并掌握排列、排 列数的概念. 2. 掌握排列数公式, 并 运用排列数公式熟练 地进行相关计算. 3. 掌握有限制条件的 排列应用题的一些常 用方法, 并能运用排列 的相关知识解一些简 单的排列应用题.
排列及有关概念 排列、排列数与排列数公式
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序,有顺序 且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素的问题就是排 列,否则就不是排列. 解(1)不是.因为加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加 法时与两元素位置无关. (2)是.做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样. (3)是.“入座”问题同“排队”一样,与顺序有关,故选3个座位安排3 位客人是排列问题.
探究三
思维辨析
4 解(1)2A3 4 + A4 =2×4×3×2+4×3×2×1=72. ������ -1 (2)原方程 3A������ = 4 A 8 9 可化为
即
������ ≤ 8, 由题意知 ������-1 ≤ 9, 解得 x≤8. 所以原方程的解为 x=6.
3×8! ( 8-������)!
=
4×9×8! , 化简, 得 x2 -19x+78=0, 解得 x1 =6, x2 =13. (10-������)( 9-������)(8-������)!
3×8! ( 8-������)!
=
4×9! , (10-������)!
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 排列数公式的应用 (1)排列数的第一个公式 ������������ ������ =n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以 及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要 注意它的特点. ������! ������ = A (2)排列数的第二个公式 ������ (������- ������)! ,适用于与排列数有关的证 明、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同 时还要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N+”的运用.
学 习 目 标 思 维 脉 络 1. 理解并掌握排列、排 列数的概念. 2. 掌握排列数公式, 并 运用排列数公式熟练 地进行相关计算. 3. 掌握有限制条件的 排列应用题的一些常 用方法, 并能运用排列 的相关知识解一些简 单的排列应用题.
排列及有关概念 排列、排列数与排列数公式
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序,有顺序 且是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素的问题就是排 列,否则就不是排列. 解(1)不是.因为加法运算满足交换律,所以选出的两个元素做加 法时与两元素位置无关. (2)是.做除法时,两元素谁做除数,谁做被除数不一样. (3)是.“入座”问题同“排队”一样,与顺序有关,故选3个座位安排3 位客人是排列问题.
探究三
思维辨析
4 解(1)2A3 4 + A4 =2×4×3×2+4×3×2×1=72. ������ -1 (2)原方程 3A������ = 4 A 8 9 可化为
即
������ ≤ 8, 由题意知 ������-1 ≤ 9, 解得 x≤8. 所以原方程的解为 x=6.
3×8! ( 8-������)!
=
4×9×8! , 化简, 得 x2 -19x+78=0, 解得 x1 =6, x2 =13. (10-������)( 9-������)(8-������)!
3×8! ( 8-������)!
=
4×9! , (10-������)!
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 排列数公式的应用 (1)排列数的第一个公式 ������������ ������ =n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以 及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式,在运用该公式时要 注意它的特点. ������! ������ = A (2)排列数的第二个公式 ������ (������- ������)! ,适用于与排列数有关的证 明、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同 时还要注意隐含条件“m≤n且m,n∈N+”的运用.
高中数学选修2-3精品课件1：第一章 计数原理
第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·同步课件
教学目标
1.理解两个原理，并会应用解题； 2.掌握排列组合的概念并且会灵活运用； 3.掌握二项式定理的内容和熟练运用解题.
知识梳理
1.排列的概念及排列数公式； 2.组合的概念及组合数公式； 3.二项式定理及二项式系数的性质；
(2)二项展开式的通项 Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中 Crn叫做二项式系数． (3)二项式系数的性质 ①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等， 即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，…. ②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当 n 为奇 数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
(1)它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； (，b 的指数和为 n 且 a，b 不能随便颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (5)对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
题型二 排列与组合 例 2 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？ 分析： (1)确定一个空盒→将四个球放入 3 个盒内→选 2 个球放入一 个盒内． (2)与(1)的含义相同． (3)4 个球放入 2 个盒子，可以平均放也可以不平均放．
b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
高中数学(北师大版,选修23)第一章 计数原理+课件+同步练习+章末归纳总结+综合测试(12份)第1章 3
[解析] (1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就 是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁 先谁后，没有顺序的区别，组合数为 C210＝45.
(3)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合 数为 C310＝120.
判断下列问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位 数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数 字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ [分析] 取出元素后，在安排这些元素时，与顺序有关 则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．
叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
有关求组合的个数的问题叫作组合问题．
Amn
nn－1n－2…n－m＋1
2．组合数公式 Cnm＝_A_mm___＝___________m_！_____________，
规定 C0n＝1.
因为 An！nm＝n－n！m！，所以，上面的组合数公式还可以写成 Cnm＝_m_！___n_－__m__！.
②性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合 数．
③性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的具体应用．
思路方法技巧
排列问题与组合问题的辨别
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求 出相应的排列数或组合数．
知能目标解读
1．通过实例，理解组合的概念． 2．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实 际问题． 本节重点：组合的概念． 本节难点：组合数的两个性质．
高中数学北师大版选修2-3第一章计数原理2排列之排列与排列数教学课件
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2、排列数：
从n个不同的元素中取范出德蒙m(德m（≤1n73)5个-1元79素6）的所有 排列的个数，叫做从n个不Va同nd的erm元o素nd中e法取国出数m学个元素
A 的排列数。用符号 m 表家示，。于1772年发明排列 n 数符号，高等代数方面
“排列”和“排列数”有有什重么要区的分贡和献联，是系行？列
排列
【学习目标】 1.了解排列、排列数的定义． 2.掌握排列数公式的推导方法． 3.能用排列数公式解决简单的排列问题．
【重点、难点】 排列概念的理解．(难点) 排列的简单应用．(重点) 排列与排列数的区分．(易混点)
新课导入
2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！
讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？
A44 43 21 24
思考题： (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3个并按顺序排列”
A3 5 = 5×4×3= 60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
位数？
1
树状图： 2 3 4
2
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
1 34 1 24 1 23
34242 3 34141 3 241412 23131 2
思维启发
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排 法？
思维启发
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的 赣州市和南昌市上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个 不同的数字排成一个三位数。
2、排列数：
从n个不同的元素中取范出德蒙m(德m（≤1n73)5个-1元79素6）的所有 排列的个数，叫做从n个不Va同nd的erm元o素nd中e法取国出数m学个元素
A 的排列数。用符号 m 表家示，。于1772年发明排列 n 数符号，高等代数方面
“排列”和“排列数”有有什重么要区的分贡和献联，是系行？列
排列
【学习目标】 1.了解排列、排列数的定义． 2.掌握排列数公式的推导方法． 3.能用排列数公式解决简单的排列问题．
【重点、难点】 排列概念的理解．(难点) 排列的简单应用．(重点) 排列与排列数的区分．(易混点)
新课导入
2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子 4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌 组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚 洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！
讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？
A44 43 21 24
思考题： (1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3个并按顺序排列”
A3 5 = 5×4×3= 60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
位数？
1
树状图： 2 3 4
2
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1 34 1 24 1 23
34242 3 34141 3 241412 23131 2
思维启发
问题3： 6名同学站成一排照相，有多少种不同的排 法？
思维启发
问题1：从红、黄、蓝3种颜色选出两种给地图上的 赣州市和南昌市上色。 问题2：从1、2、3、4这四个数字中，每次取出3个 不同的数字排成一个三位数。
2015年秋高二北师大版数学选修2-3课件：第1章 计数原理 §2
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修2-3
第一章
计数原理
第一章
计数原理
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第一章
§2 排 列
第一章
计数原理
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m∈N＋，且 m≤n；(2)阶乘表示式：Am n＝ n！ ，其中 n、m n－m！
∈N＋，且 m≤n. 6．阶乘：n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1
n！ 表示，即 A n 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 _______ n＝
n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1 ＝____ n！ ______________________________ ，特别规定 0！＝1.
顺序无关，就不是排列. 2．定义中规定m≤n，如果m<n，则称为选排列．如果m＝
n，则称为全排列．
第一章
§2
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3． 要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念： 一个 排列是指从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序排成一列的一种具体排法，它不是数；而排列数是指从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素的所有不同排列的种数，它 是一个数． 4．排列数公式的应用 (1)排列数的第一个公式 Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)适用于具 体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式；在运 用该公式时要注意它的特点．
第一章
§2
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计数原理
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m∈N＋，且 m≤n；(2)阶乘表示式：Am n＝ n！ ，其中 n、m n－m！
∈N＋，且 m≤n. 6．阶乘：n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数 1
n！ 表示，即 A n 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 _______ n＝
n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1 ＝____ n！ ______________________________ ，特别规定 0！＝1.
顺序无关，就不是排列. 2．定义中规定m≤n，如果m<n，则称为选排列．如果m＝
n，则称为全排列．
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3． 要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念： 一个 排列是指从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序排成一列的一种具体排法，它不是数；而排列数是指从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素的所有不同排列的种数，它 是一个数． 4．排列数公式的应用 (1)排列数的第一个公式 Am n ＝n(n－1)„(n－m＋1)适用于具 体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方程和不等式；在运 用该公式时要注意它的特点．
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§2
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P(B|A)=���������(������(���������������)) .
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专题一
专题二
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2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合” (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质; 第二步,判断事件的运算; 第三步,运用公式. (2)概率问题常常与排列组合问题相结合. 3.求解相互独立事件同时发生的概率时,要注意以下几个问题: (1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是 解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间 的相互关系. (3)公式“P(A∪B)=1-P(������ ������)” 常应用于求相互独立事件至少有一 个发生的概率.
P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与������, ������与 B,������与������也都相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
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第2课时 概率
-1-
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①超几何分布;②二项分布;③均值;④方差;⑤正态分布;⑥3σ原则.
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1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
(2)条件概率具有的性质:①0≤P(B|A)≤1;②若 B 和 C 是两个互
斥事件,则 P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A).
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3.事件的相互独立性 (1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互 独立事件. (2)若A与B相互独立,则
两两互斥,因此所求概率为
P(M3)=P(A)P(������)P(������)+P(������)P(B)P(������)+P(������)P(������)P(C)=25 ×
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跟踪训练1在某次1 500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过
测试的概率分别为
2 5
,
3 4
,
13,求:
(1)3人都通过体能测试的概率;
(2)恰有2人通过体能测试的概率;
������ =1
量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度,其算术平方根 ������������为随机变量 X
的标准差.
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7.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX(a,b为常数). 8.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p). (2)若X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).
=
1 12
,
������(������·������)
=
2 9
,
������(������)·������(������)
=
2 9
,
得 27(P(C))2-51P(C)+22=0,
解得 P(C)=23或 P(C)=191(舍去). 所以 P(A)=13,P(B)=14,P(C)=23.
即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分
2630 .
(3)设 M3 表示事件“甲、乙、丙 3 人中只有 1 人通过体能测试”,
则 M3=A������ ������ + ������������������ + ������������C,
由于事件 A,B,C,������, ������, ������均相互独立,并且事件 A������ ������, ������������������, ������ ������C
相互独立,并且事件 AB������,A������C,������BC 两两互斥,因此所求概率为
P(M2)=P(A)P(B)P(������
)+P(A)P(������
)P(C)+P(������)P(B)P(C)=25
×
3 4
×
1-
1 3
+
2 5
×
1-
3 4
×
1 3
+
1-
2 5
×
3 4
×
1 3
=
(3)恰有1人通过体能测试的概率.
解设 A 表示事件“甲通过体能测试”,B 表示事件“乙通过体能测
试”,C 表示事件“丙通过体能测试”.由题意得,P(A)=25,P(B)=34,P(C)=13.
(1)设 M1 表示事件“甲、乙、丙 3 人都通过体能测试”,即 M1=ABC.
由事件 A,B,C 相互独立,可
得,P(M1)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25
×
3 4
×
1 3
=
1 10
.
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(2)设 M2 表示事件“甲、乙、丙 3 人中只有 2 人通过体能测试”,
则 M2=AB������+A������C+������BC,由于事件 A,B,C 彼此相互独立,则������, ������, ������也
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.( )
(3)在离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于
1.( )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服
从超几何分布.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√
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×
3 4
×
1 3
=
5 6
,
即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品
的概率为56.
反思感悟 1.条件概率的求法 (1)利用定义,分别求出 P(A)和 P(AB),解得 P(B|A)=������������((���������������)���); (2)借助古典概型公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在 事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB),得
别为1
3
,
1 4
,
23.
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(2)记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一
个一等品的事件.
P(D)=1-P(������)=1-(1-P(A))·(1-P(B))·(1-P(C))=1-23
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称 EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学
期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
������
称 DX= ∑ (������������ − ������������)2������������为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变
称正态曲线.
(2)正态曲线的性质:
①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交;
②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
③曲线在
x=μ
处达到峰值
������
12π.
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6.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
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解设 A,B,C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零
件是一等品的事件,
������(������·������)
=
1 4
,
������(������)·(1-������(������))
=
1 4
,
依题意得
������(������·������)
=
1 12
,即
������(������)·(1-������(������))
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质:
①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.
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