高考数学二轮复习专题强化训练选填题常用解法理
高考数学(理)二轮专题练习：填空题的解法(含答案)
填空题的解法【题型特色概括】1．填空题的特色填空题是不要求写出计算或推理过程，只要要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的差别：第一，填空题没有备选项，所以，解答时有不受诱误扰乱之利处，但也出缺少提示之不足；第二，填空题的结构常常是在一个正确的命题或断言中，抽出此中的一些内容(既能够是条件，也能够是结论)，留下空位，让考生独立填上，考察方法比较灵巧．从历年高考成绩看，填空题得分率向来不是很高，因为填空题的结果一定是数值正确、形式规范、表达式最简，稍出缺点，即是零分．所以，解填空题要求在“快速、正确”上下功夫，由于填空题不需要写出详细的推理、计算过程，所以要想“快速”解答填空题，则千万不行“小题大做”，而要达到“正确”，则一定合理灵巧地运用适合的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基根源则解填空题的基根源则是“小题不可以大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法：直接法、特例法、数形联合法、结构法、归纳推理法等．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法例等知识，经过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要擅长透过现象看本质，自觉地、存心识地采纳灵巧、简捷的解法．例 1已知椭圆 C：x2＋y2＝ 1 的左，右焦点分别为F1， F2，椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F1F2 .若43→ →)点 P 是椭圆 C 上的动点，则 F1P·F2A的最大值为 (分析由椭圆方程知 c＝4－ 3＝1，所以 F1 (－1,0)，F2(1,0)，因为椭圆 C 上点 A 知足 AF2⊥ F 1F2，则可设 A(1， y0)，代入椭圆方程可得y02＝9，所43以 y0＝±2.设 P(x1， y1)，→→→ →则 F 1P＝ (x1＋1， y1)，F 2A＝ (0，y0)，所以 F 1P·F2A＝ y1y0，因为点 P 是椭圆 C 上的动点，所以－ 3≤y1≤→ → 3 3. 3， F1P·F2A的最大值为2答案33 2思想升华直接法是解决心算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要依据题目的要求灵巧办理，多角度思虑问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵巧应用，将计算过程简化进而获得结果，这是快速正确地求解填空题的重点．已知复数 z＝ a＋ (a－ 1)i(a∈R，i 为虚数单位 )为实数，则复数zi 在复平面上所对应的点的坐标为 ________．答案(0,1)分析因为复数 z＝a＋ (a－ 1)i( a∈R，i 为虚数单位 )为实数，所以 a－1＝ 0，解得 a＝1.所以复数 z＝ 1，所以 zi ＝i.所以复数 zi在复平面上所对应的点的坐标为 (0,1)．方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确立的量，但填空题的结论独一或题设条件中供给的信息暗示答案是一个定值时，能够将题中变化的不定量选用一些切合条件的适合特别值(或特别函数，或特别角，特别数列，图形特别地点，特别点，特别方程，特别模型等)进行办理，进而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例 2以下图，在平行四边形ABCD中， AP⊥ BD，垂足为 P，且→ →AP＝ 3，则 AP ·AC＝ ________.分析方法一→ →→→→→→ →→∵ AP·AC＝ AP·(AB ＋BC) ＝ AP·AB＋ AP·BC→ →→→→→ →→ →＝ AP·AB＋AP ·(BD ＋ DC )＝ AP·BD ＋2AP·AB，→ →∵ AP⊥ BD ，∴AP·BD ＝ 0.→ →→ →→ 2又∵ AP·AB＝ |AP||AB|cos∠ BAP＝ |AP|，→ →→ 2∴ AP·AC＝2|AP| ＝ 2×9＝ 18.方法二把平行四边形 ABCD 当作正方形，则 P 点为对角线的交点，→ →AC＝ 6，则 AP·AC＝ 18.答案18思想升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特别值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或许有多种答案的填空题，则不可以使用该种方法求解．此题中的方法二把平行四边形看作正方形，进而减少了计算量．→→ →→ →(1) 如图，在△ ABC 中，AD ⊥ AB，BC＝ 3 BD，|AD|＝ 1，则 AC·AD＝________.(2)cos2α＋ cos2(α＋120 °)＋ cos2( α＋ 240 °)的值为 ________________ ．3答案(1) 3(2)→分析(1) 不如取 |BD |＝ 2，→π则 |BC|＝ 23，∠ ADB＝，3→ →→ → →→→ →→∴ AC·AD＝ (BC－ BA ) ·AD＝ BC·AD － BA·ADπ＝ 2 3×1×cos ＋0＝ 3.3(2) 令α＝0°，则原式＝2223 cos 0°＋ cos 120 °＋ cos 240 °＝ 2.方法三数形联合法 (图解法 )对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则常常能够借助图形的直观性，快速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例 3已知函数f(x)＝ x|x－ 2|，则不等式f(2－ x) ≤f(1)的解集为 ________．分析函数 y＝ f(x)的图象如图，由不等式f( 2－ x)≤f(1) 知， 2－x≤ 2＋ 1，进而获得不等式f(2－ x)≤f(1) 的解集为 [－ 1，＋∞)．答案[－1，＋∞)思想升华图解法本质上就是数形联合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并联合所学知识即可直接获得相应的结论，这也是高考命题的热门．正确运用此类方法的重点是正确掌握各样式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的有关结论求出结果．x≥0，(2013 ·北京 )设 D 为不等式组 2x－ y≤0，表示的平面地区．地区 D 上的点与点 (1,0)x＋ y－3≤0之间的距离的最小值为 ________．答案255分析作不等式组表示的平面地区，以下图 (△OAB 及其内部 )，易察看知，所求最小值为点 P(1,0)到 2x－ y＝0|2 ×1－ 0|＝2 5 .的距离 d＝22＋－25方法四结构法结构型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特别性结构出新的数学模型，进而简化推理与计算过程，使较复杂的数学识题获得简捷的解决，它根源于对基础知识和基本方法的累积，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，踊跃联想，横向类比，从以前碰到过的近似问题中找寻灵感，结构出相应的函数、概率、几何等详细的数学模型，使问题快速解决．例 4 (1)如图，已知球O 的球面上有四点 A ， B ，C ， D ， DA ⊥平面 ABC ，AB ⊥BC ， DA ＝ AB＝ BC ＝ 2，则球 O 的体积等于 ________．e 4 ， e 5， e 6(2) 16 25 36(此中 e 为自然对数的底数 )的大小关系是 ________． 分析 (1) 如图，以 DA ，AB ，BC 为棱长结构正方体，设正方体的外接球球 O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以 |CD|＝2 2＋2 2＋2 2＝ 2R ，所以 R ＝6，故球 O 的体积V ＝4πR 323＝ 6π.e 4 e 4 e 5 e 5 e 6 e 6e xe 4，f(5)＝ e 5，f(6)＝ e 6(2) 因为 16 ＝ 42，25 ＝ 52， 36 ＝ 62，故可结构函数 f(x)＝ x 2，于是 f(4) ＝ 16 25 36.e x e x ·x 2－ e x ·2x e x x 2－ 2x 而f ′(x)＝ ( x 2) ＝′ x 4＝x 4，令 f ′(x)>0 得 x<0 或 x>2，即函数 f(x)在 (2，＋ ∞)上单一递加，所以有f(4)< f(5)< f(6)，即e 4e 5 e 616<25<36.e 4 e 5 e 6答案(1) 6π (2)16<25<36思想升华 结构法本质上是化归与转变思想在解题中的应用，需要依据已知条件和所要解决的问题确立结构的方向，经过结构新的函数、不等式或数列等新的模型，进而转变为自己熟习的问题．第 (1)题奇妙地结构出正方体，而球的直径恰巧为正方体的体对角线，问题很简单获得解决．1 －1 ， b ＝ ln1 － 1， c ＝ ln1 －1，则 a ， b ，c(1)已知 a ＝ ln 2 013 2 0132 0142 014 2 015 2 015的大小关系为 ________．(2) 已知 a 、b 为不垂直的异面直线， α是一个平面，则 a 、b 在 α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上边的结论中，正确结论的序号是________( 写出全部正确结论的序号 )．答案 (1) a>b>c (2) ①②④分析(1) 令 f(x)＝ ln x － x ，则 f ′(x)＝ 1－ 1＝1－xxx.当 0<x<1 时， f ′(x)>0 ，即函数 f(x)在 (0,1)上是增函数．∵1>111， ∴ a>b>c. 2 013>2 014>2 015>0(2) 用正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 例 明 A 1 D 1 与 BC 1 在平面 ABCD 上的投影 相互平行， AB 1 与 BC 1 在平面ABCD上的投影相互垂直， BC 1 与DD 1 在平面ABCD上的投影是一条直 及其外一点．故①②④ 正确．方法五推理法做对于 推理的填空 的 候，一般是由 目的已知能够得出几个(或直接 出了几个)，而后依据 几个 能够 出一个更一般性的 ，再利用 个一般性的 来解决 ． 推理是从个 或特别 到一般性 的推演 程， 里能够勇敢地猜想．例 5察以下算式： 13 ＝1,23＝ 3＋ 5,33＝ 7＋ 9＋ 11,43＝ 13＋ 15＋ 17＋ 19，⋯ ，若某数 m 3按上述 律睁开后， 等式右 含有“2 015 ”个数，m ＝ ________.分析由 意可得第n 个算式的左 是 n 3，右 是n 个 奇数的和， 第 n 个算式的第一个数 a n ， 有 a 2－ a 1＝3－ 1＝ 2，a 3－ a 2＝ 7－ 3＝ 4，⋯，a n － a n － 1＝2(n － 1)，以上 n － 1 个式n －＋n －＝ 1 981，a 46＝ 2 071，子相加可得a n － a 1＝，故 a n ＝ n 2－ n ＋ 1，可得 a 452故可知 2 015 在 453 的睁开式中，故 m ＝45.答案 45思 升 推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的 中，一般在数列的推理中常波及．即通 前几个等式或不等式出 ，找出其 律，即找出一般的 与 数之 的关系，一般的有平方关系、立方关系、指数 化关系或两个相 的自然数或奇数相乘基本关系，需要 相 的数字的 律 行 察、 ，一般 等式或不等式中的 的 构保持一致．(1) 古希腊 达哥拉斯学派的数学家研究 各样多 形数，如三角形数 1,3,6,10，⋯，第 n 个三角形数nn ＋＝ 1n 2＋ 1n ， 第 n 个 k 形数 N(n ， k)( k ≥ 3)，以以下出了部分222k 形数中第 n 个数的表达式：三角形数1 21N(n,3)＝n＋ n ，22正方形数 N(n,4)＝ n 2，五 形数3 21N(n,5)＝n－ n ，22六 形数N(n,6)＝ 2n 2－ n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯能够推N(n ， k)的表达式，由此 算N(10,24)＝ ____________.(2) 用火柴棒 “金 ”，如 所示：依据上边的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ________．答案(1)1 000 (2)6n＋ 2分析22k－ 22＋4－ k(1) 由 N(n,4)＝ n ，N(n,6)＝ 2n － n，能够推断：当 k 为偶数时， N(n，k)＝n2n，2∴ N(10,24)＝24－2×100＋4－ 24×1022＝ 1 100－ 100＝ 1 000.(2) 察看题图①，共有 8 根火柴，此后挨次增添 6 根火柴，即组成首项为8，公差为6 的等差数列，所以，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋ 2.1．解填空题的一般方法是直接法，除此之外，对于带有一般性命题的填空题可采纳特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形联合法．解题时，经常需要几种方法综合使用，才能快速获得正确的结果．2．解填空题不要求求解过程，进而结论是判断能否正确的独一标准，所以解填空题时要注意以下几个方面：(1)要仔细审题，明确要求，思想谨慎、周祥，计算有据、正确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的查验及书写的规范性．。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练14(附解析)
强化训练14立体几何——大题备考第二次作业1．[2022·广东深圳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PC D.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2．[2022·河北唐山二模]如图，△ABC是边长为43的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是△ABC的中心，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PG⊥平面AB C.(1)证明：PB⊥AC；(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．3.[2022·山东淄博三模]已知如图，在多面体ABCEF 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，D 为AB 的中点，EF ∥CD ，EF ＝1，BF ⊥平面AEF .(1)证明：四边形EFDC 为矩形； (2)当三棱锥A - BEF 体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值．4．[2022·山东德州二模]《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P - ABCD ，底面为边长为2的正方形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，E 、F 为边BC 、CD 上的点，CE → ＝λCB → ，CF → ＝λCD →，点M 为AD 的中点．(1)若λ＝12，证明：平面PBM ⊥平面P AF ；(2)是否存在实数λ，使二面角P - EF - A 的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM 与平面PEF 所成角的正弦值．强化训练15 统计、统计案例与概率——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东潍坊三模]某省新高考改革方案推行“3＋1＋2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为( )A ．12B ．13C ．16D ．1122．[2022·山东威海三模]甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到共有840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1 260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为( )A ．88%B ．89%C ．91%D ．92% 3．[2022·辽宁葫芦岛一模]有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本众数相同C ．两组样本数据的样本平均数相同D ．两组样本数据的样本中位数相同 4．[2022·辽宁辽阳二模]为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为( )A ．40%B ．50%C ．60%D ．65% 5．[2022·河北保定二模]某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y (单位：分)与每周课外阅读时间x (单位：分钟)是否存在线性关系，搜集了100组数据(∑i ＝1100x i ＝3 000，∑i ＝1100y i ＝7 900)，并据此求得y 关于x 的回归直线方程为y ＝0.3x ＋a.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为()A ．70.6B ．100C ．106D ．110 6．[2022·山东青岛一模]甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )A ．0.36B ．0.352C ．0.288D ．0.648 7．[2022·湖北武汉模拟]通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），则以下结论正确的是(A .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”8．[2022·湖南长沙模拟]第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件).甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X ，则下列结论正确的是( )A .甲与乙相互独立B ．甲与乙互斥C .X ～B(10，0.02)D ．E(X)＝0.2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·辽宁大连二模]为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量(单位：kg )互不相等，且从小到大分别为x 1，x 2，…，x 10，则下列说法正确的有( )A .x 1，x 2，…，x 10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B .x 1，x 2，…，x 10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C .x 10－x 1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D .x 1，x 2，…，x 10的中位数为x 5 10．[2022·山东枣庄三模]下列结论正确的有( ) A .若随机变量ξ，η满足η＝2ξ＋1，则D(η)＝2D(ξ)＋1B .若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.84，则P(3<ξ<6)＝0.34C .若样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n)线性相关，则用最小二乘估计得到的回归直线经过该组数据的中心点(x － ，y －)D .根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712.依据α＝0.05的独立性检验(x 0.05＝3.841)，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.0511．[2022·福建福州三模]某质量指标的测量结果服从正态分布N(80，σ2)，则在一次测量中( )A .该质量指标大于80的概率为0.5B .σ越大，该质量指标落在(70，90)的概率越大C .该质量指标小于60与大于100的概率相等D .该质量指标落在(75，90)与落在(80，95)的概率相等 12．[2022·山东淄博三模]甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A .事件B 与事件A i (i ＝1，2，3)相互独立B .P(A 1B)＝522C .P(B)＝25D .P(A 2|B)＝845三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2022·河北石家庄二模]某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200、1 000、800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为________．14．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．15．[2022·山东济南二模]2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数强化训练14 立体几何1．解析：（1）证明：因为AM ⊥平面PCD ， 所以AM ⊥CD ，又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥CD ，又AD∩AM ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ， 则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB ＝2，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （－1，2，0），P （0，0，3 ），D （－1，0，0），M （－12) ，0，32 ），所以AM→ ＝（－32 ，0，32 ），PB → ＝（1，2，－ 3 ），PC → ＝（－1，2，－3 ），设平面PBC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0PC →·n ＝0 ，即⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0－x ＋2y －3z ＝0 ，令z ＝ 3 ，则y ＝32 ，x ＝0，则n ＝（0，32 ，3 ）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n||AM →|·|n| ＝323·212＝77 .2．解析：（1）证明：连接BF ，由△ABC 为等边三角形，F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，由PG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PG ⊥AC ，又PG∩BF ＝G ，PG ，BF ⊂平面PBF ，所以AC ⊥平面PBF ， 又PB ⊂平面PBF ，所以PB ⊥AC ；（2）依题意PF ＝2 3 ，GF ＝2，在Rt △PFG 中，PG ＝22 ， 以F 为坐标原点，以FB→ 为x 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则A （0，－2 3 ，0），C （0，2 3 ，0），B （6，0，0），E （3，－ 3 ，0），P （2，0，2 2 ）FP→ ＝（2，0，2 2 ），FE → ＝（3，－ 3 ，0），由（1）可知，AC → ＝（0，4 3 ，0）是平面PBF 的一个法向量，设平面PEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧n·FP →＝2x ＋22z ＝0n·FE →＝3x －3y ＝0 ，令x ＝2 ，则n ＝（ 2 ， 6 ，－1），所以cos 〈AC → ，n 〉＝AC →·n |AC →|·|n | ＝63 ，所以sin 〈AC→ ，n 〉＝1－cos2〈AC→，n 〉 ＝33，所以平面PEF 与平面PBF 所成二面角的正弦值为33 .3．解析：（1）证明：因为∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 为AB 的中点， 所以CD ⊥AB ，且CD ＝BC sin30°＝1，又因为EF ＝1，所以CD ＝EF ，因为EF ∥CD ， 所以四边形EFDC 为平行四边形，因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥EF ，所以CD ⊥BF ，因为BF∩AB ＝B ，BF ，AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF, DF ⊂平面ABF ， 所以CD ⊥DF ，所以四边形EFDC 为矩形．（2）由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥AF ，AB ＝2BC2 - CD2 ＝2 3 ，所以三棱锥A - BEF 的体积V ＝13 S △ABF·EF ＝16 AF·BF≤112 （AF2＋BF2）＝112 AB2＝1， 当且仅当AF ＝BF 时等号成立，此时FD ⊥AB ，据（1），以D 为坐标原点，分别以DA ，CD ，DF 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D - xyz 如图所示.由已知可得下列点的坐标：A （ 3 ，0，0），B （－ 3 ，0，0），F （0，0，3 ），E （0，－1， 3 ），所以AB→ ＝（－2 3 ，0，0），AE → ＝（－ 3 ，－1， 3 ）， 设平面ABE 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧m·AE →＝0m·AB →＝0 ，即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0－23x ＝0，取y ＝ 3 ，则x ＝0，z ＝1， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝（0， 3 ，1）， 因为BF→ ＝（ 3 ，0， 3 ）是平面AEF 的法向量， 设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则cos θ＝|m·BF →||m|·|BF →| ＝32·6 ＝24 ，故平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值为24 .4．解析：（1）证明：λ＝12 时，点E 、F 为BC 及CD 的中点． 连接AF 与BM 交于点G ，在△ABM 和△DAF 中，AB ＝AD ，AM ＝DF ，∠BAM ＝∠ADF ＝90°， 所以△ABM ≌△DAF ，于是∠ABM ＝∠FAD. 而∠FAD ＋∠BAF ＝90°， 所以∠ABM ＋∠BAF ＝90°，故∠AGB ＝90°，即BM ⊥AF.又PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BM.因为BM ⊥PA ，BM ⊥AF ，PA ⊂平面PAF ，AF ⊂平面PAF ，PA∩AF ＝A ， 所以BM ⊥平面PAF.又因为BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAF.（2）连接AC ，交EF 于点Q ，连接PQ ，记BD 与AC 交于点O ，如图：因为CE→ ＝λCB → ，CF → ＝λCD → ， 所以EF ∥BD ， 因为AC ⊥BD ，所以AC ⊥EF ，从而PQ ⊥EF ， 所以∠AQP 为二面角P - EF - A 的一个平面角．由题意，∠AQP ＝45°，从而AQ ＝PA ＝2， 所以CQ ＝2 2 －2，于是λ＝CE CB ＝CQ CO ＝22－22 ＝2－ 2 ，所以CF ＝CE ＝4－2 2 ，BE ＝DF ＝2 2 －2.如图，以AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，于是P （0，0，2），E （2，2 2 －2，0），F （2 2 －2，2，0），B （2，0，0），M （0，1，0）BM → ＝（－2，1，0），PE → ＝（ 2 ，2 2 －2，－2），PF →＝（2 2 －2，2，－2），设平面PEF 的一个法向量是n ＝（x ，y ，z ），由⎩⎪⎨⎪⎧n·PE →＝2x ＋（22－2）y －2z ＝0n·PF →＝（22－2）x ＋2y －2z ＝0 ，得：⎩⎨⎧x ＝y z ＝2x ，取x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2 ，则n ＝（1，1， 2 ）. 所以直线BM 与平面PEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BM → 〉|＝|n·BM →||n|·|BM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋14×5 ＝510 .。
高考二轮数学步步高专题 填空题的解法答案
高考二轮数学步步题 高考填空题的常用方法答案1解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
2解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
3解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。
4．解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。
5．解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。
6．分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。
7．解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。
8．解：=+)21arctan3sin(π)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为21arctan ，从而 .51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为101525+。
9．解：1-x y 可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y 最大，最大值为3tan =θ。
2024年高考数学二轮技巧02 填空题的答题技巧(精讲精练)(解析版)
技巧02 填空题的答题技巧【命题规律】高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法（筛选法）等．【核心考点目录】核心考点一：特殊法速解填空题核心考点二：转化法巧解填空题核心考点三：数形结合巧解填空题核心考点四：换元法巧解填空题核心考点五：整体代换法巧解填空题核心考点六：坐标法巧解填空题核心考点七：赋值法巧解填空题核心考点八：正难则反法巧解填空题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝,8A ⎛ ⎝，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．2．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e .．3．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．【答案】 8 2-【解析】含2x 的项为：()()3232222244C 12C 14128x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-+=，故28a =；令0x =，即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，故答案为：8；2-．4．（2022·全国·统考高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-，当且仅当311mm +=+即1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m .1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练1(附解析)
强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·全国甲卷]设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}2．[2022·全国乙卷]设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则( )A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M3．[2022·湖南常德一模]已知集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，若A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{－1，0，1，2}D ．{x |－1≤x ≤2}4．[2022·山东潍坊二模]十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n >2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )A ．对任意正整数n ，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 都没有正整数解B ．对任意正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解C.存在正整数n ≤2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解D ．存在正整数n ＞2，关于x ，y ，z 的方程x n ＋y n ＝z n 至少存在一组正整数解5．[2022·江苏南京模拟]设a 、b 均为非零实数，且a <b ，则下列结论中正确的是( ) A ．1a >1bB ．a 2<b 2C ．1a 2 <1b 2D ．a 3<b 3 6．[2022·山东潍坊一模]已知a >0，则“a a >a 3”是“a >3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．[2022·广东汕头三模]下列说法错误的是( )A ．命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”B ．在△ABC 中，sin A ≥sin B 是A ≥B 的充要条件C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“a >0，且b 2－4ac ≤0”D ．“若sin α≠12 ，则α≠π6”是真命题 8．[2022·河北保定二模]已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a 2＋3ab ＋4b 2＝7，则a ＋2b 的最大值为( ) A.2 B ．3C ．22D ．32二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·湖北武汉二模]已知集合A ＝{1，4，a }，B ＝{1，2，3}，若A ∪B ＝{1，2，3，4}，则a 的取值可以是( )A ．2B ．3C ．4D ．510．[2022·广东汕头二模]已知a ，b ，c 满足c <a <b ，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是( )A ．ac (a －c )>0B ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ab >ac11．[2022·江苏南京三模]设P ＝a ＋2a，a ∈R ，则下列说法正确的是( ) A ．P ≥22B ．“a ＞1”是“P ≥22 ”的充分不必要条件C.“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件D ．∃a ∈(3，＋∞)，使得P ＜312．[2022·辽宁葫芦岛二模]已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b＝5，则下列不等式成立的是( )A.1<a ＋b <4B ．(1a ＋b )(1b＋a )≥4 C ．(1a ＋b )2>(1b＋a )2 D ．(1a ＋a )2>(1b＋b )2 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·南京师大附中模拟]命题“∀x >1，x 2≥1”的否定是____________．14．[2022·福建三明模拟]已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－ax ＋a <0，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．[2022·湖南怀化一模]已知a ∈R ，且“x >a ”是“x 2>2x ”的充分不必要条件，则a 的取强化训练1 集合、常用逻辑用语、不等式1．解析：由题意，B ＝{x|x2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U （A ∪B ）＝{－2，0}．答案：D2．解析：由题知M ＝{2，4，5}，对比选项知，A 正确，BCD 错误． 答案：A3．解析：解不等式x2≤1得：－1≤x≤1，于是得A ＝{x ∈Z|－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，因A∩B ＝{1}，即1∈B ，解得m ＝3，则B ＝{1，2}，所以A ∪B ＝{－1，0，1，2}．答案：C4．解析：命题的否定形式为全称量词命题的否定是存在量词命题．故只有D 满足题意．答案：D5．解析：对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a ＝－1，b ＝1，则a2＝b2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a2 ＝1b2 ，C 错误；对于D ，因a<b ，则b3－a3＝（b －a ）（b2＋ab ＋a2）＝（b －a ）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（b ＋12a ）2＋34a2 >0，即a3<b3，D 正确． 答案：D6．解析：若0<a<1，由aa>a3可得a<3，此时0<a<1； 若a ＝1，则aa ＝a3，不合乎题意；若a>1，由aa>a3可得a>3，此时a>3.因此，满足aa>a3的a 的取值范围是{a|0<a<1或a>3}，因为{a|0<a<1或a>3}{a|a>3}，因此，“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件．答案：B7．解析：A.命题“∀x ∈R ，cos x≤1”的否定是“∃x0∈R ，cos x0>1”，正确；B ．在△ABC 中，sin A≥sin B ，由正弦定理可得a 2R ≥b 2R （R 为外接圆半径），a≥b ，由大边对大角可得A≥B ；反之，A≥B 可得a≥b ，由正弦定理可得sin A≥sin B ，即为充要条件，故正确；C.当a ＝b ＝0，c≥0时满足ax2＋bx ＋c≥0，但是得不到“a>0，且b2－4ac≤0”，则不是充要条件，故错误；D ．若sin α≠12 ，则α≠π6 与α＝π6 则sin α＝12 的真假相同，故正确．答案：C8．解析：7＝（a ＋2b ）2－ab ＝（a ＋2b ）2－12 a·2b≥（a ＋2b ）2－12 （a ＋2b 2 ）2＝7（a ＋2b ）28， 则（a ＋2b ）2≤8，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，又a ，b ∈（0，＋∞），所以0<a ＋2b≤2 2 ，当且仅当a ＝2b ＝ 2 时，“＝”成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2 . 答案：C9．解析：因为A ∪B ＝{1，2，3，4}，所以{1，4，a}{1，2，3，4}，所以a ＝2或a ＝3.答案：AB10．解析：因为a ，b ，c 满足c<a<b ，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a －c>0，b －a>0，所以ac （a －c ）<0，c （b －a ）<0，cb2<ab2，ab>ac.答案：BCD11．解析：A 错误，当a<0时，显然有P 小于0；B 正确，a>1时，P ＝a ＋2a ≥2a·2a ＝2 2 ，当且仅当a ＝2a 时，即a ＝ 2 时等号成立．故充分性成立，而P≥2 2 只需a>0即可；C 正确，P ＝a ＋2a >3可得0<a<1或a>2，当a>2时P>3成立，故C 正确；D 错误，因为a>3有a ＋2a >3＋23 >3，故D 错误． 答案：BC12．解析：a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，即a ＋b ＋a ＋b ab ＝5，所以ab ＝a ＋b 5－（a ＋b ），因为a>b>0，所以由基本不等式得：ab<（a ＋b ）24 ，所以a ＋b 5－（a ＋b ） <（a ＋b ）24， 解得：1<a ＋b<4，A 正确；（1a ＋b ）（1b ＋a ）＝1ab ＋ab ＋2≥21ab ·ab ＋2≥4，当且仅当1ab ＝ab 时等号成立，故B 正确；（1a ＋b ）2－（1b ＋a ）2＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1a ＋b －1b －a ）＝（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ），因为a>b>0，所以（1a ＋b ＋1b ＋a ）（1ab ＋1）（b －a ）<0，所以（1a ＋b ）2<（1b ＋a ）2，C 错误；（1a ＋a ）2－（1b ＋b ）2＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1a ＋a －1b －b ）＝（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ），因为a>b>0，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以（1a ＋a ＋1b ＋b ）（1ab －1）（b －a ）符号不确定，所以D 错误．答案：AB13．解析：因为命题“∀x>1，x2≥1”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 “∃x>1，x2<1”．答案：“∃x>1，x2<1”14．解析：根据题意，∀x ∈R ，x2－ax ＋a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0⇒a ∈[0，4].答案：[0，4]15．解析：x2>2x 等价于x<0或x>2，而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2.答案：[2，＋∞）16．解析：因为第一象限的点M （a ，b ）在直线x ＋y －1＝0上，所以a ＋b ＝1，a>0，b>0，所以1a ＋2b ＝（a ＋b ）（1a ＋2b ）＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 2 ，当且仅当a ＝ 2 －1，b ＝2－ 2 时等号成立．答案：3＋2 2。
2022年高考数学二轮复习教案：第二部分 专题一 选择、填空题常用的10种解法 Word版含答案
专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练8(附解析)
强化训练8 等差数列与等比数列——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东威海三模]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 9＝18，则公差d ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－22．[2022·湖南常德一模]设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 4＝4，S 3＝S 2＋2，则a 1＝( )A ．12B ．1C ．2D ．23．[2022·湖南岳阳一模]已知等差数列{a n }满足a 2＝4，a 3＋a 5＝4(a 4－1)，则数列{a n }的前5项和为( )A ．10B ．15C ．20D ．304．[2022·湖南师大附中二模]设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则“a 1<0，且0<q <1”是“对于任意N *都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．[2022·辽宁鞍山二模]设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，若S n T n＝2n 3n ＋7，则 a 3b 3 ＝( ) A ．1 B ．511C ．2217D ．386．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( )A ．2n －1B ．(n ＋1n)n ＋1 C ．n 2 D ．n7．[2022·河北邯郸一模]“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为( )A ．132B ．133C ．134D ．1358．[2022·北京北大附中三模]已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2，其中n ＝1，2，3，…，则数列{a n }( )A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．在数列{a n }中，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1 是公比为2的等比数列，设S n 为{a n }的前n 项和，则( )A ．a n ＝12n －1B ．a n ＝12n ＋12C ．数列{a n }为递减数列D ．S 3>7810．[2022·湖南永州三模]已知等差数列{a n }是递减数列，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 8，则( )A ．d ＞0B ．a 8＝0C ．S 15>0D ．S 7、S 8均为S n 的最大值11．[2022·山东枣庄三模]给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第n (n ∈N *)次得到数列1，x 1，x 2，…，x k ，1，记a n ＝1＋x 1＋x 2＋…＋x k ＋1，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A.a 4＝81B ．a n ＝3a n －1－1C ．a n ＝3n ＋1D ．S n ＝12 ×3n ＋1＋n －3212．[2022·河北沧州二模]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝(－1)n ＋1(a n －n )＋n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．a 48＋a 50＝100B ．a 50－a 46＝4C ．S 48＝600D ．S 49＝601三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁丹东一模]在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 7＝15，则a 2＋a 8＝________．14．[2022·广东潮州二模]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则a 4＝________．15．[2022·山东泰安二模]已知数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 1＝2，且a 3＋2，a 4，a 6－4成等比数列，则a 10＝________．16．[2022·河北唐山二模]已知数列{a n }满足a 1＝a 5＝0，|a n ＋1－a n |＝2，则{a n }前5项和的最大值为________．强化训练8 等差数列与等比数列1．解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝49a1＋9×82·d ＝18 ⇒⎩⎨⎧a1＝6d ＝－1 . 答案：B2．解析：由已知a3＝S3－S2＝2，q ＝a4a3 ＝42 ＝2，所以a1＝a3q2 ＝222 ＝12 .答案：A3．解析：等差数列{an}中，2a4＝a3＋a5＝4（a4－1），解得a4＝2，于是得公差d ＝a4－a24－2＝－1，a1＝5， 所以数列{an}的前5项和为S5＝5a1＋5（5－1）2d ＝15. 答案：B4．解析：若a1<0，且0<q<1，则an ＋1－an ＝a1qn －a1qn －1＝a1qn －1（q －1）>0，所以an ＋1>an ，反之，若an ＋1>an ，则an ＋1－an ＝a1qn －a1qn －1＝a1qn －1（q －1）>0， 所以a1<0，且0<q<1或a1>0，且q>1，所以“a1<0，且0<q<1”是“对于任意N*，都有an ＋1>an”的充分不必要条件． 答案：A5．解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别是Sn ，Tn ，所以a3b3 ＝a1＋a52b1＋b52 ＝5（a1＋a5）25（b1＋b5）2＝S5T5 ＝1015＋7＝511 . 答案：B6．解析：由an ＝n （an ＋1－an ），得（n ＋1）an ＝nan ＋1，即an ＋1an ＝n ＋1n ，则an an －1 ＝n n －1 ，an －1an －2 ＝n －1n －2 ，an －2an －3 ＝n －2n －3，…，a2a1 ＝21 ，n≥2， 由累乘法可得an a1 ＝n ，所以an ＝n ，n≥2，又a1＝1，符合上式，所以an ＝n.答案：D7．解析：因为由1到2 022这2 022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为14，公差为15的等差数列{an}，所以该数列的通项公式为an ＝14＋15（n －1）＝15n －1.令an ＝15n －1≤2 022， 解得n≤134，即该数列的项数为134.答案：C8．解析：依题意，因为a1a2a3…an ＝n2，其中n ＝1，2，3，…，当n ＝1时，a1＝12＝1，当n≥2时，a1a2a3…an －1＝（n －1）2，a1a2a3…an ＝n2，两式相除有an ＝n2（n －1）2 ＝（1＋1n －1）2，n≥2，易得an 随着n 的增大而减小，故an≤a2＝4，且an>1＝a1，故最小项为a1＝1，最大项为a2＝4.答案：A9．解析：因为a1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋1 是公比为2的等比数列，所以1an ＋1＝2·2n －1＝2n ，所以an ＝12n －1，故A 正确，B 错误； 因为y ＝2x －1，（x≥1）是单调增函数，故y ＝12x －1，（x≥1）是单调减函数，故数列{an}是减数列，故C 正确；S3＝a1＋a2＋a3＝1＋13 ＋17 >78 ，故D 正确．答案：ACD10．解析：因为等差数列{an}是递减数列，所以an ＋1－an<0，所以d<0，故A 错误；因为S7＝S8，所以a8＝S8－S7＝0，故B 正确；因为S15＝15（a1＋a15）2＝15a8＝0，故C 错误； 因为由题意得，⎩⎨⎧a7>0a8＝0a9<0，所以S7＝S8≥Sn （n ∈N*），故D 正确． 答案：BD11．解析：由题意得：a1＝4，a2＝10＝3×4－2，a3＝28＝3×10－2，a4＝82＝3×28－2，所以有an ＝3an －1－2，因此选项AB 不正确；an ＝3an －1－2⇒an －1＝3（an －1－1），所以数列{an －1}是以a1－1＝3为首项，3为公比的等比数列，因此有an －1＝3·3n －1＝3n ⇒an ＝3n ＋1，因此选项C 正确；Sn ＝3（1－3n ）1－3＋n ＝12 ×3n ＋1＋n －32 ，所以选项D 正确． 答案：CD12．解析：因为a1＝1，an ＋2＝（－1）n ＋1（an －n ）＋n ，所以当n 为奇数时，an ＋2＝an ＝a1＝1；当n 为偶数时，an ＋an ＋2＝2n.所以a48＋a50＝96，选项A 错误；又因为a46＋a48＝92，所以a50－a46＝4，选项B 正确；S48＝a1＋a3＋a5＋…＋a47＋[（a2＋a4）＋（a6＋a8）＋…＋（a46＋a48）]＝24×1＋2×（2＋6＋…＋46）＝24＋2×（2＋46）×122＝600，故C 正确； S49＝S48＋a49＝600＋1＝601，选项D 正确．答案：BCD13．解析：由题意在等差数列{an}中，设公差为d ，则a1＋2a7＝3a1＋12d ＝3a5＝15，所以a5＝5，于是a2＋a8＝2a5＝10.答案：1014．解析：设等比数列{an}的公比为q ，由已知S3＝a1＋a1q ＋a1q2＝1＋q ＋q2＝34 ，即q2＋q ＋14 ＝0，解得q ＝－12 ，所以a4＝1·（－12 ）3＝－18 .答案：－1815．解析：设公差为d ，则a 24 ＝（a3＋2）（a6－4），即（2＋3d ）2＝（2＋2d ＋2）（2＋5d －4），化简得d2＋4d －12＝0，解得d ＝2或d ＝－6，又d>0，故d ＝2，则a10＝a1＋9d ＝20.答案：2016．解析：∵a1＝a5＝0，|an ＋1－an|＝2，∴|a2－a1|＝|a2|＝2，∵求an 前5项和的最大值，∴取a2＝2，∵|an ＋1－an|＝2，∴|a3－a2|＝|a3－2|＝2.∵求an 前5项和的最大值，∴取a3＝4，∵|a4－a3|＝|a4－4|＝2①|a5－a4|＝|0－a4|＝|a4|＝2②结合①和②，∴a4＝2时前5项和可有最大值．∴{an}前5项和的最大值为：0＋2＋4＋2＋0＝8.答案：8。
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(一)函数与方程思想理+Word版含答案
专题强化训练(一)函数与方程思想一、选择题1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A (a,2)，B (3，b )，C (2,3)，O 为坐标原点，若向量OB →⊥AC →，则a 2＋b 2的最小值为( )A.125B.185C ．12D ．18解析：由题意得OB →＝(3，b )，AC →＝(2－a,1)， ∵OB →⊥AC →，∴OB → ·AC →＝3(2－a )＋b ＝0，∴b ＝3a －6，∴a 2＋b 2＝a 2＋9(a －2)2＝10a 2－36a ＋36＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －952＋185，所以当a ＝95时，a 2＋b 2取得的最小值，且最小值为185，故选B.答案：B2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( ) A.3132 B.3116 C.318D.314解析：易知q >0且q ≠1，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝18，a 1(1－q 3)1－q －a 1＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝12，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1－1321－12＝3116，故选B.答案：B3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x >0，不等式mx ≤x 2＋2x ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，6]C ．[－2,6]D ．[6，＋∞)解析：∵x >0，∴mx ≤x 2＋2x ＋4⇔m ≤x ＋4x ＋2对任意实数x >0恒成立．令f (x )＝x ＋4x＋2，则m ≤f (x )min ，因为f (x )＝x ＋4x＋2≥2x ·4x＋2＝6，当且仅当x ＝2时取等号，所以m ≤6，故选B.答案：B4．[2019·河北唐山一模]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.32C.13D.33解析：由题意可得2c ＝32×2b 2a ，所以2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，由e∈(0,1)，解得e ＝33，故选D. 答案：D5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]解析：不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立．令t ＝yx∈[1,3]，所以a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，又y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，所以a ≥－1，故选C.答案：C6．[2019·河南十所名校联考]已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 6＝25，S 5＝40，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由a 3＋a 6＝25，S 5＝40得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝25，5a 1＋5×42d ＝40，解得d ＝3，故选B.答案：B7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N ，连接MF 2，NF 2，若MF 2→·NF 2→＝0，|MF 2→|＝|NF 2→|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：由MF 2→·NF 2→＝0，知MF 2→⊥NF 2→.又|MF 2→|＝|NF 2→|，则|MF 2→|＝|NF 2→|＝22|MN →|，且∠F 1NF 2＝45°.由双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 2→|－|MF 1→|＝2a|NF 1→|－|NF 2→|＝2a，两式相加，得|MF 2→|－|NF 2→|＋|MN →|＝4a ，即|MN →|＝4a ，则|NF 2→|＝22a ，所以|NF 1→|＝2a ＋|NF 2→|＝(2＋22)a .在△NF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2→|2＝|NF 1→|2＋|NF 2→|2－2|NF 1→|·|NF 2→|cos ∠F 1NF 2，即4c 2＝(22a )2＋(2＋22)2a 2－2×22a ×(2＋22)a ×22，整理，得c 2＝3a 2，所以e 2＝3，即e ＝3，故选B. 答案：B8．[2019·河南期末联考]已知－π2<α－β<π2，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝( ) A.33 B.63 C.36D.66解析：由sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，将两个等式两边平方相加，得5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－12，因为－π2<α－β<π2，所以α－β＝－π6，即α＝β－π6，代入sin α＋2cos β＝1，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝33，故选A.答案：A9．[2019·新疆昌吉月考]若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ，在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－13B.13C.23D ．1解析：1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令t ＝cos x ∈[－1,1]，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，令f (t )＝4t 2－3at －5，t ∈[－1，1]，则应满足条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝4＋3a －5≤0，f (1)＝4－3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，故选B.答案：B10．[2019·河南郑州质检二]函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，f (0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f ′(x )为其导函数，若xf ′(x )＋f (x )＝e x(x －2)且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)解析：令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＝e x(x －2)，可知当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，又f (3)＝0，f (0)＝0，则g (3)＝3f (3)＝0，且g (0)＝0，则不等式f (x )<0的解集就是xf (x )<0的解集，所以不等式的解集为{x |0<x <3}，故选B.答案：B11．[2019·山东荷泽一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O为坐标原点，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，直线AF 2交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝6|OM |，则该椭圆的离心率为( )A.13B.33C.58D.104解析：由题意，可知|F 1F 2|＝2c ，则|OM |＝c 3，则tan ∠MF 2C ＝13，又AF 1→·AF 2→＝0，则∠F 1AF 2＝90°，所以|AF 1||AF 2|＝13，设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝3x ，所以2a ＝3x ＋x ＝4x,4c 2＝(3x )2＋x 2＝10x 2，所以e ＝c a ＝104，故选D.答案：D12．[2019·山东泰安期末]定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )>1，f (2)＝52，则关于x 的不等式f (x )<3－1x的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(0,1)D ．(0,2)解析：令g (x )＝f (x )＋1x (x >0)，则g ′(x )＝f ′(x )－1x 2＝x 2f ′(x )－1x2>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (2)＝52，则g (2)＝f (2)＋12＝3，所以f (x )<3－1x ⇔f (x )＋1x<3⇔g (x )<g (2)．又因为g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以0<x <2，故选D.答案：D13．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝－55，则nS n 的最小值为( )A ．－343B ．－324C ．－320D ．－243解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，5(a 1＋2d )＝－55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－19，d ＝4，所以S n ＝－19n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－21n ，nS n ＝2n 3－21n 2，设f (x )＝2x 3－21x 2(x >0)，则f ′(x )＝6x (x －7)，当0<x <7时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >7时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以nS n 的最小值为f (7)＝－343，故选A.答案：A14．[2019·陕西咸阳二模]已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x∈(0，π)，有f ′(x )sin x >f (x )cos x ，且f (x )＋f (－x )＝0，设a ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，b ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．a <c <bD ．c <b <a解析：构造函数g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x>0，x ∈(0，π)，所以g (x )在(0，π)上单调递增．又f (x )＋f (－x )＝0，则f (x )为奇函数，从而g (x )为偶函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.又因为0<π6<π4<π2<π，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sinπ6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sinπ2，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，故选A.答案：A15．[2019·河南十所名校联考]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P 使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：依据题意作出如下图象，其中四边形OPFQ 为矩形，如图所示．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，所以直线OQ 的方程为y ＝ab x ，直线QF 的方程为y ＝－b a(x －c )， 联立直线OQ 与直线QF 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a bx ，y ＝－b a (x －c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2c，y ＝abc ，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ，ab c ，又点Q 在双曲线C ： x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c 2b2＝1，整理得c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝c 2a 2＝3，故选A. 答案：A 二、填空题16．[2019·湖南怀化一模]已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________．解析：以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系因为正方形ABCD 的边长为2，所以A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)． 设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )， PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(2－x,2－y )，PD →＝(－x ，2－y )，所以PA →＋PB →＝(2－2x ，－2y )，PC →＋PD →＝(2－2x,4－2y )，所以(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(2－2x )2－2y (4－2y )＝4(x －1)2＋4y (y －2)＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，故(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为－4.答案：－417．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]过点M (－1,0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴交于A ，B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝________.解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at ＋a )，y ′＝6x 2＋a ，则由题意得6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，整理得2t 3＋3t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32.因为|MA |＝|MB |，所以两条切线的斜率互为相反数，故2a ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝0，解得a ＝－274.答案：－27418．[2019·湖北黄冈八模]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，点A为双曲线C 右支上一点，AF 1交左支于点B ，△AF 2B 是等腰直角三角形，∠AF 2B ＝π2，则双曲线C 的离心率为________．解析：设|AF 2|＝x ，∵△AF 2B 为等腰直角三角形，∠AF 2B ＝π2，∴|BF 2|＝x ，|AB |＝2x ，∠F 2AB ＝π4，由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝22，|BF 2|－|BF 1|＝22，∴|AF 1|＝22＋x ，|BF 1|＝x －2 2.又|AF 1|＝|AB |＋|BF 1|，∴22＋x ＝2x ＋x －22，解得x ＝4，∴|AF 1|＝22＋4，|AF 2|＝4.在△AF 2F 1中，由余弦定理得4c 2＝42＋(4＋22)2－2×(4＋22)×4×22，解得c ＝6， ∴e ＝c a＝ 3. 答案： 319．[2019·安徽六校联考改编]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点(5，t )到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆(x －6)2＋y 2＝1上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点在x 轴上，准线方程x ＝－p2，则点(5，t )到焦点的距离为d ＝5＋p2＝6，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，由圆M ：(x －6)2＋y 2＝1，知圆心为(6,1)，半径为1，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1. 答案：25－120．[2019·广东深圳调研改编]若关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x λx ≤19有正整数解，则实数λ的最小值为________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1x λx ≤19，得x λx ≥9，两边取对数得λ·ln x x ≥ln 9.因为x ∈N *，所以λ>0，所以ln xx≥ln 9λ.令f (x )＝ln xx(x >0)，则f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．因为2<e<3，所以只考虑f (2)和f (3)的大小关系．因为f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (2)<f (3)，所以只需f (3)＝ln 96≥ln 9λ，即λ≥6，所以实数λ的最小值为6. 答案：6。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：等差数列与等比数列含解析
第一部分 一 9一、选择题1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6 ＝12，则S 7的值是( )A ．21B ．24C ．28D ．7[答案] C[解析] ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴2a 4＝a 1＋a 7＝8，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×82＝28.[方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式． 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系用累加法可求出通项； 3．形如a n ＋1＝a n f (n )的递推关系可考虑用累乘法求通项a n ；4．形如a n ＋1＝ka n ＋b (k 、b 为常数)可通过变形，设b n ＝a n ＋bk －1构造等比数列求通项a n .(理)在等比数列{a n }中，a 1＝a ，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}成等差数列，则S n 等于( ) A ．a n ＋1－a B ．n (a ＋1) C ．na D ．(a ＋1)n －1[答案] C[解析] 利用常数列a ，a ，a ，…判断，则存在等差数列a ＋1，a ＋1，a ＋1，…或通过下列运算得到：2(aq ＋1)＝(a ＋1)＋(aq 2＋1)，∴q ＝1，S n ＝na .2．(文)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53 D ．4[答案] A[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.[方法点拨] 下标成等差的等差、等比数列的项或前n 项和的问题，常考虑应用等差、等比数列的性质求解．3．(2015·浙江理，3)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0 [答案] B[解析] 考查等差数列的通项公式及其前n 项和；等比数列的概念． ∵{a n }为等差数列，且a 3，a 4，a 8成等比数列， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒ a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，dS 4＝－23d 2＜0，故选B.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9， 又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1， 又a 3＝9a 1，故a 1＝19.[方法点拨] 求基本量的问题，熟记等差、等比数列的定义、通项及前n 项和公式，利用公式、结合条件，建立方程求解．5．(2015·江西省质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2015项的和S 2015等于( )A ．31008－2B ．31008－3C ．32015－2D ．32015－3[答案] A[解析] 因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3， 所以S 2015＝(a 1＋a 3＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2014)＝1－310081－3＋3(1－31007)1－3＝31008－2.6．(文)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，对任意正整数n ，有a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，又a 1＝2，则S 101的值为( )A ．2B ．200C ．－2D ．0[答案] A[解析] 设公比为q ，∵a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0，∴a 1＋2a 2＋a 3＝0，∴a 1＋2a 1q ＋a 1q 2＝0，∴q 2＋2q ＋1＝0，∴q ＝－1，又∵a 1＝2，∴S 101＝a 1(1－q 101)1－q ＝2[1－(－1)101]1＋1＝2.(理)(2014·哈三中二模)等比数列{a n }，满足a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3，a 21＋a 22＋a 23＋a 24＋a 25＝15，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5的值是( )A ．3 B. 5 C ．－ 5 D ．5[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q＝3a 21(1－q10)1－q2＝15，∴a 1(1＋q 5)1＋q＝5，∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝a 1[1－(－q )5]1－(－q )＝a 1(1＋q 5)1＋q＝5.7．(文)在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．600[答案] B[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87得， a 1＋a 20＝30，∴S 20＝20×(a 1＋a 20)2＝300.(理)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 [答案] C[解析] 由条件知a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0， ∵q >0，∴q ＝1＋2， ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2＝3＋2 2. 8．(2015·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p ＋q ＝9，选D.9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝2，n ∈N ＋，则数列{ba n }的前10项的和为( )A.43(49－1) B.43(410－1) C.13(49－1) D.13(410－1) [答案] D[解析] 由a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2得，a n ＝2n －1， 由b n ＋1b n＝2，b 1＝1得b n ＝2n －1， ∴ba n ＝2a n －1＝22(n －1)＝4n －1，∴数列{ba n }前10项和为1×(410－1)4－1＝13(410－1)．10．(文)若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1等于( )A ．1－14nB.23(1－14n ) C ．1－12nD.23(1－12n ) [答案] B[解析] 因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1， 所以1a n a n ＋1＝12×(14)n －1，所以{1a n a n ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12×1×(1－14n )1－14＝23(1－14n )，故选B.(理)(2014·唐山市一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1[答案] C[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12)＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 11．给出数列11，12，21，13，22，31，…，1k ，2k －1，…，k1，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号．．是( ) A ．4900 B ．4901 C ．5000 D ．5001[答案] B[解析] 根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：199，298，397，…，5050，5149，…，991，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝98(1＋98)2＋50＝4901.[点评] 本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．二、填空题12．(文)(2015·广东理，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25 即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(理)(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] 考查等差数列与等比数列的性质．∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴4S 2＝3S 1＋S 3，∴4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3⇒a 3＝3a 2⇒q ＝3.又∵{a n }为等比数列，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.[方法点拨] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．13．(文)(2015·安徽理，14)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．[答案] 2n －1[解析] 考查1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式．由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.(理)(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．[答案]2011[解析] 考查数列通项，裂项求和．由题意得：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2(1n －1n ＋1)，S n ＝2(1－12)＋2(12－13)＋…＋2(1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1，S 10＝2011.三、解答题14．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)， 则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1.[方法点拨] 证明数列是等差(等比)数列时，应用定义分析条件，结合性质进行等价转化． (理)(2015·河南高考适应性测试)已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝2，a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2.(1)令b n ＝log 2(a n ＋2)，证明：数列{b n }是等比数列． (2)设c n ＝nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n .[解析] (1)由a n ＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋2，得a n ＋2＝a 2n ＋1＋4a n ＋1＋4＝(a n ＋1＋2)2.因为a n >0，所以a n ＋2＝a n ＋1＋2. 因为b n ＋1b n ＝log 2(a n ＋1＋2)log 2(a n ＋2)＝log 2a n ＋2log 2(a n ＋2)＝12，又b 1＝log 2(a 1＋2)＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝2·⎝⎛⎭⎫12n －1，则c n ＝2n ⎝⎛⎭⎫12n －1. S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋4×⎝⎛⎭⎫121＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －2＋2n ⎝⎛⎭⎫12n －1，① 12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫121＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2(n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1＋2n ⎝⎛⎭⎫12n .② ①－②得：12S n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋2×⎝⎛⎭⎫121＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝21－⎝⎛⎭⎫12n1－12－2n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝4－(4＋2n )⎝⎛⎭⎫12n . 所以S n ＝8－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －2.15．(2015·南昌市一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．[解析] (1)等差数列{a n }，a 1＝1，S 3＝6，∴d ＝1，故a n ＝n⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n (1)b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1 (2)，(1)÷(2)得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， b 1＝2S 1＝21＝2，满足通项公式，故b n ＝2n(2) 设λb n >a n 恒成立⇒λ>n 2n 恒成立，设c n ＝n 2n ⇒c n ＋1c n ＝n ＋12n当n ≥2时，c n <1，{c n }单调递减， ∴(c n )max ＝c 1＝12，故λ>12.16．(文)(2014·湖北理，18)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[分析] (1)设数列{a n }的公差为d ，利用等比数列的性质得到a 22＝a 1·a 5，并用a 1、d 表示a 2、a 5，列等式求解公差d ，进而求出通项，注意对公差d 分类讨论；(2)利用(1)的结论，对数列{a n }的通项分类讨论，分别利用通项公式及等差数列的前n 项和公式求解S n ，然后根据S n >60n ＋800列不等式求解．[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立， 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2，令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.[方法点拨] 存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．(理)(2014·新课标Ⅰ理，17)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n＋1＝S n＋1－S n用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a1，a2，a3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n＋2－a n＝λ推证{a n}为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练11(附解析)
强化训练11 空间几何体的表面积与体积——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东临沂一模]已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )A ．3πB ．3π3C ．3 πD ．2π2．[2022·山东潍坊一模]以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为( )A ．2πB ．8πC ．2π3D ．8π33．在三棱锥P - ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且P A ＝AB ＝2，AC ＝23 ，则三棱锥P - ABC 外接球的体积等于( )A ．2033 πB ．203π C ．2053π D ．20π 4．[2022·湖北黄冈中学模拟]已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为( )A ．3πB ．6πC ．62 πD ．32 π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为( )A ．6 πB ．2πC ．3πD ．22 π6．[2022·河北唐山二模]如图，圆锥的轴为PO ，其底面直径和高均为2，过PO 的中点O 1作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为( )A ．2∶1B ．5∶3C ．3∶1D ．8∶37．已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为BC 上一点，则三棱锥B 1 - AC 1E 的体积为( ) A.12 B ．13C ．14D ．168．[2022·山东济宁三模]若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．7∶3D ．7∶4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为1∶4B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶2610．[2022·湖北武汉模拟]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为4πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．球的体积是圆锥体积的两倍11．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A．半径是3B．体积为18πC．表面积为27πD．表面积为18π12．[2022·山东滨州二模]在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P-AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是()A．P A⊥EFB．三棱锥M -AEF的体积为4C．三棱锥P -AEF外接球的表面积为24πD．过点M的平面截三棱锥P -AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东济南一模]已知圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________．14．[2022·广东惠州一模]若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1<r2)，则r22－r21＝________．15．一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为________．16．[2022·山东烟台三模]某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为________．强化训练11 空间几何体的表面积与体积1．解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ＝2，则l2＝r2＋h2＝4，底面周长2πr ＝12 ×（2π×2）⇒r ＝1，所以h ＝4－12 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为13 ×π×12× 3 ＝3π3 .答案：B2．解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体积公式得：V ＝π×22×2＝8π，所以所得到的几何体的体积为8π.答案：B3．解析：PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，因此以AP ，AB ，AC 为棱构造一个长方体，此长方体的外接球即为三棱锥P - ABC 的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，由已知长方体对角线长为22＋22＋（23）2 ＝2 5 ，所以外接球半径为R ＝5 ，外接球体积为V ＝43 π·（ 5 ）3＝2053 π.答案：C4．解析：由题意知圆台母线长为12＋（2－1）2 ＝ 2 ，且上底面圆周为2π，下底面圆周为4π，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为12＋12 ＝ 2 ，则圆环所在的大圆半径为2 2 ，所以侧面展开图的面积S＝12×4π×2 2 －12×2π× 2 ＝3 2 π.答案：D5．解析：如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD - MENF，则正方体GBCD - MENF的棱长GB＝22 BD＝ 2 ，此正方体的体对角线长为6 ，正四面体BDMN与正方体GBCD - MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R＝6 2，所以正四面体BDMN的外接球体积为V＝43πR3＝43π·（62）3＝ 6 π.答案：A6．解析：圆锥的体积为V1＝13π×12×2＝2π3，圆柱的体积为V2＝π×（12）2×1＝π4，所以V1∶V2＝2π3∶π4＝8∶3.答案：D7．解析：由ABCD - A1B1C1D1为正方体，显然AB为A到平面EB1C1的距离，所以VB1 - AC1E＝VA - EB1C1＝13 S△EB1C1·AB＝13 ×12 ×1×1×1＝16 .答案：D8．解析：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝ 3 ，即内切球的半径r＝ 3 ，OA2＝OO21＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝7 ，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3. 答案：C9．解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.答案：BD10．解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都等于2R，∴圆柱的侧面积S1＝2πR·2R＝4πR2故A正确；对于B，∵圆锥的底面直径和高等于2R，∴圆锥的侧面积为S2＝πR·R2＋4R2 ＝ 5 πR2，故B错误；对于C，∵圆柱的侧面积为S1＝4πR2，球的表面积S3＝4πR2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1＝43πR3，圆锥的体积为V2＝13πR2·2R＝23πR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．答案：ACD11．解析：如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为 2 r，棱锥体积为V＝13 ×（ 2 r）2×r＝23 r3＝18，r＝3，半球体积为V ＝23 πr3＝23 π×33＝18π，表面积为S ＝2π×32＋π×32＝27π.答案：ABC12．解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示：对A ：因为AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE∩PF ＝P ，所以AP ⊥平面PEF ，所以PA ⊥EF ，故选项A 正确；对B ：因为M 为BE 的中点，所以VM - AEF ＝12 VP - AEF ＝12 ×13 ×12 ×2×2×4＝43 ，故选项B 错误；对C ：三棱锥P - AEF 外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R ）2＝22＋22＋42＝24，所以三棱锥P - AEF 外接球的表面积为S ＝4πR2＝24π，故选项C 正确；对D ：过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为πR2＝π（ 6 ）2＝6π，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径r ＝R2－OM2 ＝6－5 ＝1，截面圆的面积为πr2＝π，所以过点M 的平面截三棱锥P - AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]，故选项D 正确．答案：ACD13．解析：因圆锥的轴截面是一个顶角为2π3 ，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h ，因此，h ＝2cos π3 ＝1，圆锥底面圆半径r ＝22－h2 ＝ 3 ，所以圆锥的体积为V ＝13 πr2h ＝13 π×（ 3 ）2×1＝π.答案：π14．解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为2πr2π －2πr1π ＝2r2－2r1，圆台的侧面积为2πr1＋2πr22×（2r2－2r1）＝2π（r 2 －r 21 ）＝4π， 所以r 22 －r 21 ＝2.答案：215．解析：设该正四棱锥为P - ABCD ，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为O ，底面中心为E ，因为底面是正方形，所以DE ＝12 102＋102 ＝5 2 ，在直角三角形ODE 中，OD2＝OE2＋DE2，设球的半径为r ，所以有r2＝（7－r ）2＋50⇒r ＝9914 .答案：991416．解析：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG 的中心，因为MN ＝6，所以△MNG 内切圆的半径r ＝OH ＝13 MH ＝13 MN2－HN2 ＝3 ，即内切球的半径R ＝ 3 ，所以内切球的表面积S ＝4πR2＝12π，又正三棱柱的高AA1＝2R ＝2 3 ，所以OM ＝23 OH ＝2 3 ，所以AO ＝OM2＋AM2 ＝（23）2＋（3）2 ＝15 ，所以A 到球面上的点的距离最小值为AO －R ＝15 － 3答案：12π 15 － 3。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练2(附解析)
强化训练2 复数、平面向量一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·北京卷]若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．252．[2022·山东潍坊三模]已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为( )A.－1 B ．1 C ．0 D ．23．[2022·山东淄博一模]若复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34．[2022·河北保定二模]已知向量AB → ＝(2，－1)，BC → ＝(1，－3)，则|AC → |＝( )A ．3B ．4C ．5D ．65．[2022·山东临沂三模]向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，0)，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．2π36．[2022·福建福州三模]已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则b ·(4a －3b )＝( )A ．－3B ．3C ．－5D ．57．如图，在▱ABCD 中，M 为BC 的中点，AC → ＝mAM → ＋nBD → ，则m ＋n ＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2 8．[2022·湖南师大附中一模]在△ABC 中，已知∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB → ·PC → 的最大值为( )A ．165B ．365C ．465D ．565二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·山东日照二模]已知向量m ＝(2，0)，n ＝(1，1)，则( )A ．m ∥nB ．(m －n )⊥nC ．m ⊥nD ．|m |＝2 |n |10．[2022·广东广州三模]若z ＋|z |＝8－4i ，其中i 为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是( )A ．|z |＝5B ．z 的虚部为－4iC ．z̅＝－3＋4iD ．z 在复平面内对应的点位于第四象限11．[2022·山东淄博三模]已知复数z 1，z 2，满足|z 1|·|z 2|≠0，下列说法正确的是( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 22B ．|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|C ．若z 1z 2∈R ，则z 1z 2∈R D ．|z 1z 2|＝|z 1||z 2|12．[2022·山东聊城三模]在平面四边形ABCD 中，|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝DA → ·DC → ＝1，BA → ·BC → ＝12，则( ) A.|AC → |＝1B ．|CA → ＋CD → |＝|CA → －CD → |C ．AD → ＝2BC →D ．BD → ·CD → ＝2＋32三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·辽宁鞍山二模]已知i 为虚数单位，则3＋i 1－i＝________(写成最简形式). 14．[2022·河北张家口一模]已知向量a ＝(－1，－2)，b ＝(－x ，3)，若a ∥b ，则x ＝________．15．[2022·广东茂名二模]已知向量a ＝(t ，2t )，b ＝(－t ，1)，若(a －b )⊥(a ＋b )，则t ＝________．16．[2022·山东师范大学附中模拟]边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM → ·PN→ 的取值范围是________．强化训练2 复数、平面向量1．解析：方法一 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ）＝－3i ＋4i2－i2＝－4－3i ，所以|z|＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B. 方法二 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z|＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B. 答案：B2．解析：∵（i －1）z ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i －1＋i ＝（1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2i 2 ＝－i ， ∴z ＝i ，即z 的虚部为1.答案：B 3．解析：z ＝2＋i a ＋i ＝（2＋i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ） ＝2a ＋1＋（a －2）i a2＋1， 因为复数z ＝2＋i a ＋i的实部与虚部相等， 所以2a ＋1＝a －2，解得a ＝－3，故实数a 的值为－3.答案：A4．解析：由题意可得AC→ ＝AB → ＋BC → ＝（3，－4），所以|AC → |＝32＋（－4）2 ＝5.答案：C5．解析：由题意得：cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b| ＝－12＝－22 ，则a 与b 的夹角为3π4 . 答案：C6．解析：由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b ＝0，则b·（4a －3b ）＝4a·b －3b2＝－3b2＝－3.答案：A7．解析：AM → ＝AB → ＋12 BC → ＝AB → ＋12AD → ，而BD → ＝AD → －AB → ， 故AC → ＝m （AB → ＋12 AD → ）＋n （AD → －AB → ）＝（m －n ）AB → ＋（m 2＋n ）AD → ，而AC → ＝AB → ＋AD → 且AB → ，AD → 不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1m 2＋n ＝1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝43n ＝13⇒m ＋n ＝53 . 答案：C8．解析：设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径r ＝AP ＝2×44＋16＝455 ， 设E 为斜边BC 的中点，〈PA → ，AE → 〉＝θ，因为|PA → |＝455，|AE → |＝ 5 ， 则PB → ·PC → ＝（PA → ＋AB → ）·（PA→ ＋AC → ） ＝PA → 2＋PA → ·（AB→ ＋AC → ） ＝165 ＋PA → ·2AE →＝165 ＋2×455 ×5 cos θ＝165 ＋8cos θ，所以PB → ·PC → 的最大值为165 ＋8＝565 .答案：D9．解析：由m ＝（2，0），n ＝（1，1），m －n ＝（1，－1），对于A ，若m ∥n ，由2×1≠0×1，故A 错误；对于B ，若（m －n ）⊥n ，则1×1＋（－1）×1＝0，符合题意，故B 正确； 对于C ，若m ⊥n ，由m·n ＝2×1＋0×1＝2≠0，故C 错误；对于D ，|m|＝2，|n|＝12＋12 ＝ 2 ，故D 正确．答案：BD10．解析：设z ＝a ＋bi ，则|z|＝a2＋b2 ，z ＋|z|＝a ＋bi ＋a2＋b2 ＝8－4i ，则⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝8b ＝－4，即得⎩⎨⎧a ＝3b ＝－4 ，即z ＝3－4i ， |z|＝9＋16 ＝5，A 正确；z 的虚部为－4，B 错误；z ̅＝3＋4i ，C 错误；z 在复平面内对应的点为（3，－4），位于第四象限，D 正确．答案：AD11．解析：对选项A ，设z1＝1＋i ，z2＝ 2 i ，则|z1|＝|z2|＝ 2 ，z 21 ＝（1＋i ）2＝2i ，z 2 ＝（ 2 i ）2＝－2，不满足z 21 ＝z 2 ，故A 错误． 对选项B ，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为z1，z2，且z1，z2≠0， 当z1，z2方向相同时，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，当z1，z2方向不相同时，|z1＋z2|<|z1|＋|z2|，综上|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，故B 正确．对选项C ，设z1＝1＋i ，z2＝1－i ，z1z2＝（1＋i ）（1－i ）＝2∈R ，z1z2 ＝1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ） ＝i ∉R ，故C 错误．对选项D ，设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d≠0，z1z2＝（a ＋bi ）（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ，则|z1z2|＝（ac －bd ）2＋（ad ＋bc ）2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ，|z1||z2|＝a2＋b2 ·c2＋d2 ＝（ac ）2＋（bd ）2＋（ad ）2＋（bc ）2 ＝|z1z2|，故D 正确．答案：BD12．解析：因为|AB → |＝|BC → |＝|CD → |＝1，BA → ·BC → ＝|BA → ||BC → |cos B ＝12，可得B ＝π3 ，所以△ABC 为等边三角形，则|AC→ |＝1 ，故A 正确； 因为|CD → |＝1，所以CD → 2＝1，又DA → ·DC → ＝1，所以CD → 2＝DA → ·DC→ ， 得DC → 2－DA → ·DC → ＝DC → ·（DC → －DA → ）＝DC → ·AC→ ＝0， 所以AC ⊥CD ，则|CA→ ＋CD → |＝|CA → －CD → |，故B 正确； 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则B （－12 ，0），C （12 ，0），D （1＋32 ，12 ），BD → ＝（2＋32 ，12 ），CD → ＝（32 ，12）， 所以BD → ·CD → ＝2＋32，故D 正确． 答案：ABD13．解析：3＋i 1－i ＝（3＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋3i ＋i ＋i22 ＝1＋2i. 答案：1＋2i14．解析：因为a ∥b ，所以2x ＝－3，解得x ＝－32. 答案：－3215．解析：因为（a －b ）⊥（a ＋b ），所以（a －b ）·（a ＋b ）＝0，所以a2－b2＝0，则|a|＝|b|，所以t2＋4t2＝t2＋1，所以t ＝±12 .答案：±1216．解析：如图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM → ·PN → ＝（PO → ＋OM → ）·（PO → －OM → ）＝|PO → |2－|OM → |2＝|PO → |2－14， 当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，|OP → |min ＝12 ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，|OP → |max ＝22， 即12 ≤|OP → |≤22 ，因此，PM → ·PN → ＝|PO → |2－14 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14。
高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(五)选填题常用解法理
专题强化训练(五) 选填题常用解法一、选择题1．[2019·山西八校联考]已知集合A ＝{x |x 2－1>0}，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R }，则A ∩B＝( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：A ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x <－1或x >1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R }＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(1，＋∞)．答案：B2．[2019·广东六校联考]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( )A ．6B ．7C ．8D ．10解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3，故a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10，故选D.优解：因为S 5＝2S 4，所以a 5＝S 4＝12S 5.因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝8，所以S 5＝(a 1＋a 5)×52＝8×52＝20，所以a 5＝12S 5＝12×20＝10，故选D. 答案：D3．[2019·湖南四校调研]计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B ．－12C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.答案：B4．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA＝2，则球面面积是( )A.169π B.83π C ．4πD.649π 解析：(估算法)∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π，选D.答案：D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：(极限法)当∠PF 1F 2＝60°时，△PF 1F 2为正三角形，边长为2c ，而|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴2a ＝4c ，e ＝12.当∠PF 1F 2＝120°时，|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝23c ，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (3＋1)． ∴e ＝2c 2a ＝13＋1＝3－12.∴当60°<∠PF 1F 2<120°时，3－12<e <12，故选B. 答案：B6．[2019·安徽示范高中联考]函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：解法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f (－x )＝e －x＋1－x (e －x －1)＝－1＋e x x (1－e x )＝e x＋1x (e x －1)＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A ，C.又f (x )＝e x ＋1x (e x －1)＝(e x－1)＋2x (e x －1)＝1x ＋2x (e x －1)，∴f ′(x )＝－1x 2－2[(x ＋1)e x－1]x 2(e x －1)，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B ， 故选D.解法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A ，C.当x →＋∞时，1x →0，e x＋1e x －1→1，所以e x＋1x (e x －1)→0，则可排除B ，故选D. 答案：D7．[2019·唐山一中摸底]已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|＝( ) A ．1 B. 3 C ．1或 3D ．2解析：设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ， 因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝(λ＋cos θ)2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时， |e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，得cos θ＝±12， 故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或3，故选C. 答案：C8．[2019·福建五校联考]已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 的图象易知b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14∈(0,1)，故c >a >b ，故选D.答案：D9．[2019·山西一模]某公司安排甲、乙、丙、丁4人到A ，B ，C 三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲1人去的概率为( )A.15B.14C.13D.16解析：由题意知，其中一个城市必须有2人去，即把4人分成3组，每组分别有2人，1人，1人，共有C 24种分法，再将他们分到三个城市，共有C 24A 33种分法．若A 城市恰好只有甲1人，则把剩下的3人分成2组，每组分别有2人，1人，共有C 23种分法，再将他们分到B ，C 两城市，共有C 23A 22种分法，因此所求概率P ＝C 23A 22C 24A 33＝16.故选D.答案：D10．[2019·武汉武昌调研]已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：解法一：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.解法二：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B. 答案：B11．[2019·江西五校联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1,0)，A (0，－2,0)，B (0,2,0)，C (0,0,22)，AD →＝(3，3,0)，BC →＝(0，－2,22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.答案：B12．[2019·河南洛阳联考]某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有( )A ．900种B ．600种C ．300种D ．150种解析：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C 25×A 44＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C 46×A 44＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.答案：B13．[2019·广州调研]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋2解析：如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以a 2＋b 2＝p 24 ①.因为AF ⊥x 轴，所以由点A 在抛物线上可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p (取A 在第一象限)，又点A 在双曲线上，所以p ＝b 2a ②.将②代入①得a 2＋b2＝b 44a 2，即b 4＝4a 4＋4a 2b 2，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 4＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－1＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2－12，从而e 2＝c 2a 2＝2－1＋22－1＝(2＋1)2，故e ＝2＋1.故选A.答案：A14．[2019·长沙四校一模]已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，在双曲线的右支上存在一点P ，使|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2＋5，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[4,2＋5]D ．[2＋3，＋∞)解析：解法一：令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，得m 2＝n |F 1F 2|.又m －n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以m 2＝2(m －2a )c ，即m 2－2mc ＋4ac ＝0，则Δ＝4c 2－16ac ，且m ＝c ＋c 2－4ac .根据Δ>0，得e >4.由m ≥c ＋a ，得c 2－4ac ≥a ，c 2－4ac ≥a 2，e 2－4e －1≥0，所以e ≥2＋ 5.故选A.解法二：令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，得m 2＝n |F 1F 2|.又m －n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(n ＋2a )2＝2nc ，即n 2＋(4a －2c )n ＋4a 2＝0，则Δ＝4c 2－16ac ，且n ＝c －2a ＋c 2－4ac .根据Δ>0，得e >4.由n ≥c －a ，得c 2－4ac ≥a ，c 2－4ac ≥a 2，e 2－4e －1≥0，所以e ≥2＋ 5.故选A.答案：A15．[2019·济南质量评估]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为(sin α)sin α，(sin α)cos α，(cos α)sin α，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则输出的x 为( )A ．(cos α)cos αB ．(sin α)sin αC ．(sin α)cos αD ．(cos α)sin α解析：该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中的最大者．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，0＜cos α＜sin α＜1.由指数函数y ＝(cos α)x 可得，(cos α)sin α＜(cos α)cos α.由幂函数y ＝xcos α可得，(cos α)cos α＜(sin α)cos α，所以(cos α)sin α＜(sin α)cos α.由指数函数y ＝(sin α)x可得，(sin α)sin α＜(sin α)cos α.所以a ，b ，c 中的最大者为(sin α)cos α，故输出的x 为(sin α)cos α，正确选项为C.答案：C16．[2019·石家庄质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <04x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则对于函数g (x )＝[f (x )]2－f (x )＋a 有下列四个命题：命题1 存在实数a 使得函数g (x )没有零点； 命题2 存在实数a 使得函数g (x )有2个零点； 命题3 存在实数a 使得函数g (x )有4个零点； 命题4 存在实数a 使得函数g (x )有6个零点． 其中，正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设h (x )＝4x 3－6x 2＋1(x ≥0)，则h ′(x )＝12x (x －1)(x ≥0)，∴x >1时，h ′(x )>0,0<x <1时，h ′(x )<0，∴函数h (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴h (x )的极小值为h (1)＝－1，又h (0)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴函数f (x )的大致图象如图1所示．设f (x )＝t (t ≥－1)，则u ＝g (x )＝[f (x )]2－f (x )＋a ，u ＝t 2－t ＋a ，令t 2－t ＋a ＝0，则a ＝－t 2＋t (t ≥－1)，作出函数y ＝－t 2＋t (t ≥－1)的图象如图2所示．当a >14时，方程t 2－t ＋a ＝0无解，∴函数g (x )没有零点．当0<a <14时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1，t 2，若t 2>t 1，则0<t 1<t 2<1，由图1得函数g (x )有6个零点．当a ＝0时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1＝0，t 2＝1，由图1得函数g (x )有4个零点．当a ＝－2时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1＝－1，t 2＝2>1，由图1得函数g (x )有2个零点．∴4个命题全部正确．故选D.图1图2答案：D 二、填空题17．[2019·广州综合测试]若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,4)，则a ＝________.解析：f ′(x )＝a ＋3x2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2,4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2.答案：218．[2019·洛阳统考二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C的值是________． 解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (C ＋A )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B， ∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：5319．[2019·福州质检](1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为________．解析：设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ①，令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7 ②，②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)．答案：320．[2019·郑州质量预测一]如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )的值域是[0,1]；⑤⎠⎛02f(x)d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．解析：当－2≤x≤－1时，P 的轨迹是以A(即(－1，0))为圆心，1为半径的14圆；当－1<x≤1时，P 的轨迹是以B(即(0,0))为圆心，2为半径的14圆；当1<x≤2时，P 的轨迹是以C(即(1,0))为圆心，1为半径的14圆；当2<x≤3时，P 的轨迹是以A(即(3,0))为圆心，1为半径的14圆．所以函数f(x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y ＝f(x)是偶函数，所以①正确；因为f(x)的周期为4，所以②正确；函数f(x)在[2,3]上单调递增，所以③不正确；函数f(x)的值域为[0，2]，所以④不正确；根据定积分的几何意义可知⎠⎛02f(x)d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以⑤正确．故判断正确的序号为①②⑤.答案：①②⑤。
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练4(附解析)
强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知角α的顶点与原点θ重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (m ，4)(m ≠0)，且cos α＝m5，则tan α＝( )A ．±43B ．43C ．±34D ．342．[2022·湖南宁乡模拟]将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 图象上的所有点向左平移π4个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x3．[2022·河北张家口三模]已知tan α2 ＝5 －2，则cos αcos 2αsin α－cos α＝( )A ．－65B ．－35C ．35D ．654．[2022·湖南师大附中三模]某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)，已知噪音的声波曲线y ＝A sin (ωx＋φ)(其中A >0，ω>0，0≤φ<2π)的振幅为1，周期为2，初相位为π2，则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A ．y ＝sin πxB ．y ＝cos πxC ．y ＝－sin πxD ．y ＝－cos πx5．[2022·全国甲卷]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．126．[2022·湖北襄阳二模]函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象可以由y ＝2 sin ωx 的图象( )A ．向左平移π3 个单位长度得到B ．向左平移5π6 个单位长度得到C ．向右平移5π3 个单位长度得到D ．向右平移5π6个单位长度得到7．[2022·山东潍坊三模]设函数f (x )＝|sin x |，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (log 132)，c ＝f (312)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c8．[2022·山东泰安二模]已知函数f ()x ＝sin ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象，如图所示，则( )A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在(π2 ，π)上单调递减C ．曲线y ＝f (x ＋π12 )关于直线x ＝－π2 对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，4π3 上的最小值是－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．下列四个函数中，以π为周期且在(0，π2)上单调递增的偶函数有( )A ．y ＝cos |2x |B ．y ＝sin 2xC ．y ＝|tan x |D ．y ＝lg |sin x |10．[2022·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的一条对称轴方程为x ＝π6 ，与其相邻对称中心的距离为π4，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．φ＝π6D ．φ＝π311．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将y ＝sin (2x ＋π4)的图象( )A ．先将图象向右平移π8 ，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍B ．先将图象向右平移π2，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍C ．先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移π4D ．先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移π812．[2022·山东济南三模]将函数f (x )＝cos (2x －π3 )图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )图象的一个对称中心为(7π12 ，0)C ．g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π (k ∈Z ) D ．g (x )的图象与函数y ＝－sin (2x －π6)的图象重合三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东枣庄三模]已知α为锐角，且sin α＝34，则cos (π－α)的值为________．14．[2022·山东日照三模]已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________．15．[2022·辽宁沈阳一模]函数f (x )＝2cos x －cos 2x 的最大值为________．16．[2022·北京海淀二模]已知f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向右平移a (a >0)个单位后得到g (x )的图象，则函数g (x )的最大值为________；若f (x )＋g (x )的值域为{0}，则a 的最小值为________．强化训练4 三角函数的图象与性质 1．解析：cos α＝m m2＋42＝m 5 ，解得：m ＝±3，故tan α＝4m ＝±43 .答案：A2．解析：将函数f （x ）＝sin （x －π4 ）图象上的所有点向左平移π4 个单位长度，则所得图象的函数解析式是f （x ）＝sin （x －π4 ＋π4 ）＝sin x. 答案：A3．解析：tan α＝2（5－2）1－（5－2）2 ＝12 ，所以cos αcos 2αsin α－cos α ＝cos α（cos2α－sin2α）sinα－cos α＝cos α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）sin α－cos α ＝－cos α（cos α＋sin α）＝－cos2α＋sinαcos αsin2α＋cos2α ＝－1＋tanα1＋tan2α ＝－65 .答案：A4．解析：由题意，A ＝1，φ＝π2 且T ＝2πω ＝2，则ω＝π， 所以y ＝sin （πx ＋π2 ）＝cos πx ，则降噪的声波曲线为y ＝－cos πx. 答案：D5．解析：通解 将函数f （x ）＝sin （ωx ＋π3 ）的图象向左平移π2 个单位长度得到y ＝sin （ωx ＋π2 ω＋π3 ）的图象．由所得图象关于y 轴对称，得π2 ω＋π3 ＝kπ＋π2 （k ∈Z ），所以ω＝2k ＋13 （k ∈Z ）.因为ω>0，所以令k ＝0，得ω的最小值为13.故选C.快解 由曲线C 关于y 轴对称，可得函数f （x ）＝sin （ωx ＋π3 ）的图象关于直线x ＝π2 对称，所以f （π2 ）＝sin （πω2 ＋π3 ）＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C. 答案：C6．解析：由图可知A ＝ 2 ，T ＝π，则ω＝2，所以f （x ）＝ 2 sin （2x ＋φ）.由2×7π12 ＋φ＝3π2 ＋2kπ（k ∈Z ），|φ|<π2 ，得φ＝π3 ，所以f （x ）＝ 2 sin （2x ＋π3 ）.函数y ＝ 2 sin 2x 的图象向右平移5π6 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝ 2 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －5π6） ＝ 2 sin （2x －5π3 ）＝ 2 sin （2x ＋π3 ）＝f （x ），所以D 正确． 答案：D7．解析：函数f （x ）＝|sin x|为偶函数且x ＝π2 为其一条对称轴，故b ＝f （log 132）＝f （log32），显然0<log32＝ln 2ln 3 <ln 2<1，故b<a.因为1.7<312 <1.8，1.5<π2 <1.6，ln 2<1<π2 ，所以a<c ，所以b<a<c. 答案：D8．解析：由图可知，14 T ＝5π12 －π6 ＝π4 ，∴T ＝π ，ω＝2πT ＝2 ， sin （2×π6 ＋φ）＝0 ，φ＝－π3 ， ∴f （x ）＝sin （2x －π3 ） ，对于A ，T ＝π ，故错误；对于B ，当x ∈（π2 ，π） 时，2x －π3 ∈（2π3 ，5π3 ） ，由函数y ＝sin x 的性质可知当x ∈（π2 ，3π2 ） 时，单调递减，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π 时单调递增，2π3 ∈（π2 ，3π2 ），5π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π ，故B 错误；对于C ，f （x ＋π12 ）＝sin （2x ＋π6 －π3 ）＝sin （2x －π6 ） ，将x ＝－π2 带入上式得f （－π2 ＋π12 ）＝sin （－π－π6 ）＝sin π6≠±1，故C 错误；对于D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，4π3 时，2x －π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，7π3 ，∴当2x －π3 ＝3π2 ，即x ＝11π12 时，f （x ） 取最小值－1，故D 正确． 答案：D9．解析：y ＝cos |2x|在（0，π2 ）上不单调，故A 错误；y ＝sin 2x 为奇函数，故B 错误； y ＝|tan x|图象如图：故最小正周期为π，在（0，π2 ）上单调递增，且为偶函数，故C 正确； y ＝|sin x|最小正周期为π，在（0，π2 ）上单调递增，且为偶函数，则y ＝lg |sin x|也是以π为周期且在（0，π2 ）上单调递增的偶函数，故D 正确． 答案：CD10．解析：因为f （x ）图象相邻的对称中心与对称轴的距离为π4 ，所以最小正周期T ＝π，故A 正确，B 不正确；因为ω＝2πT ＝2，且2×π6 ＋φ＝π2 ＋kπ（k ∈Z ），|φ|<π2 ，所以φ＝π6 ，故C 正确，D 不正确． 答案：AC11．解析：y ＝sin （2x ＋π4 ）＝sin [2（x ＋π8 ）]向右平移π8 个单位长度，得y ＝sin 2x ，再将横坐标扩大2倍得到y ＝sin x ，故A 正确，B 错误；y ＝sin （2x ＋π4 ）横坐标扩大2倍，得到sin （x ＋π4 ）再向右平移π4 个单位长度得到y ＝sin x ，故C 正确，D 错误． 答案：AC12．解析：根据题意，g （x ）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π6）－π3 ＝cos （2x －2π3 ），则周期T ＝2π2 ＝π，A 正确；对B ，令2x －2π3 ＝π2 ＋kπ（k ∈Z ）⇒x ＝7π12 ＋kπ2（k ∈Z ），B 正确；对C ，令2kπ≤2x －2π3 ≤π＋2kπ（k ∈Z ）⇒π3 ＋kπ≤x≤5π6 ＋kπ（k ∈Z ），即函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ （k ∈Z ），C 正确；对D ，因为y ＝－sin （2x －π6 ）＝－sin （2x －2π3 ＋π2 ）＝－cos （2x －2π3 ），D 错误． 答案：ABC13．解析：因为α为锐角，且sin α＝34 ，则cos α＝1－sin2α ＝74 ，因此，cos （π－α）＝－cos α＝－74 .答案：－7414．解析：由T 2 ＝5π12 －（－π12 ）＝π2 知，T ＝π，ω＝2ππ ＝2，由五点法可知，2（－π12 ）＋φ＝0＋2kπ（k ∈Z ），即φ＝π6 ＋2kπ（k ∈Z ），又|φ|<π，所以φ＝π6 .答案：π615．解析：因为f （x ）＝2cos x －cos 2x ，所以f （x ）＝－2cos2x ＋2cosx ＋1，令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，所以函数f （x ）＝2cos x －cos 2x 等价于y ＝－2t2＋2t ＋1，t ∈[－1，1]，又y ＝－2t2＋2t ＋1＝－2（t －12 ）2＋32 ，t ∈[－1，1]，当t ＝12 时，ymax ＝32 ，即函数f （x ）＝2cos x －cos 2x 的最大值为32 .答案：3216．解析：第一空：由f （x ）＝sin x ＋cos x ＝ 2 sin （x ＋π4 ）可得g （x ）＝2 sin （x －a ＋π4 ），易得g （x ）的最大值为 2 ；第二空：若f （x ）＋g （x ）的值域为{0}，则f （x ）＋g （x ）＝ 2 sin （x ＋π4 ）＋ 2 sin （x －a ＋π4 ）＝0恒成立，即sin （x ＋π4 ）＝－sin （x －a ＋π4 ），又sin （x ＋π4 ）＝－sin （x ＋π4 ＋π＋2kπ），k ∈Z ，故x －a ＋π4 ＝x ＋π4 ＋π＋2kπ，解得a ＝－π－2kπ，又a>0，故当k ＝－1时，a 的最小值为π. 答案： 2 π。
高考数学二轮专题复习 选择题与填空题解答策略
选择题与填空题解答策略【考纲解读】1.熟练掌握函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.2.能够对所学知识进行分类或归纳,能应用数学思想方法分析和解决问题,系统地把握知识间的内在联系.【考点预测】1．近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。
高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型.2．填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。
近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％.【要点梳理】1.准确是解答选择题的先决条件。
选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。
高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分的一大因素。
对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。
历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。
它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个选项A、B、C、D组成。
3.一般地，解答选择题的策略是：①熟练掌握各种基本题型的一般解法。
②结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。
③挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
高考数学统考第二轮专题复习方法篇选填题的特殊解法课件理
用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.
(1)使用前提:满足当一般性结论成立时,对符合条件的特殊化情况也一定
成立.
(2)使用技巧:找到满足条件的合适的特殊例子,有时甚至需要两次或两次以
上特殊例子才可以确定结论.
(3)常见问题:
(2)使用技巧:当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显
与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾,这样逐步
筛选,直到得出正确的答案,它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用
方法.
(3)常见问题:函数图像的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解
的问题.
解法关键
真题示例
解法关键
取S={1,2,4},排除C;
取S={2,4,8},排除D;
取S={2,4,8,16},排除
B.答案:A.
真题示例
[2019·浙江卷] 设三棱锥V-ABC的底面是正三
角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),
记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平
面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为
γ,则 (
)
A.β<γ,α<γ
B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α
D.α<β,γ<β
解法关键
真题示例
[2018·全国卷Ⅰ]
则 (
解法关键
2
2
已知函数f(x)=2cos x-sin x+2,
)
当sin x=0,cos x=1时,函数
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
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专题强化训练(五) 选填题常用解法一、选择题1．[2019·山西八校联考]已知集合A ＝{x |x 2－1>0}，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R }，则A ∩B＝( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：A ＝{x |x 2－1>0}＝{x |x <－1或x >1}＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈R }＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(1，＋∞)．答案：B2．[2019·广东六校联考]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( )A ．6B ．7C ．8D ．10解析：通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝3，故a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10，故选D.优解：因为S 5＝2S 4，所以a 5＝S 4＝12S 5.因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝8，所以S 5＝(a 1＋a 5)×52＝8×52＝20，所以a 5＝12S 5＝12×20＝10，故选D.答案：D3．[2019·湖南四校调研]计算sin133°cos197°＋cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B ．－12C.22D.32解析：sin133°cos197°＋cos47°cos73°＝－sin47°cos17°＋cos47°cos73°＝－sin47°sin73°＋cos47°cos73°＝cos(47°＋73°)＝cos120°＝－12，故选B.答案：B4．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.169π B.83π C ．4πD.649π 解析：(估算法)∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr2＝163π>5π，选D. 答案：D5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1B.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：(极限法)当∠PF 1F 2＝60°时，△PF 1F 2为正三角形，边长为2c ，而|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴2a ＝4c ，e ＝12.当∠PF 1F 2＝120°时，|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝23c ，∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (3＋1)． ∴e ＝2c 2a ＝13＋1＝3－12.∴当60°<∠PF 1F 2<120°时，3－12<e <12，故选B. 答案：B6．[2019·安徽示范高中联考]函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：解法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f (－x )＝e －x＋1－x (e －x －1)＝－1＋e x x (1－e x )＝e x＋1x (e x －1)＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A ，C.又f (x )＝e x ＋1x (e x －1)＝(e x－1)＋2x (e x －1)＝1x ＋2x (e x －1)，∴f ′(x )＝－1x 2－2[(x ＋1)e x－1]x 2(e x －1)，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B ， 故选D.解法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A ，C.当x →＋∞时，1x →0，e x＋1e x－1→1，所以e x＋1x (e x －1)→0，则可排除B ，故选D. 答案：D7．[2019·唐山一中摸底]已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|＝( ) A ．1 B. 3 C ．1或 3D ．2解析：设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ， 因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝(λ＋cos θ)2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时， |e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，得cos θ＝±12， 故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或3，故选C. 答案：C8．[2019·福建五校联考]已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 的图象易知b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14∈(0,1)，故c >a >b ，故选D.答案：D9．[2019·山西一模]某公司安排甲、乙、丙、丁4人到A ，B ，C 三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲1人去的概率为( )A.15B.14C.13D.16解析：由题意知，其中一个城市必须有2人去，即把4人分成3组，每组分别有2人，1人，1人，共有C 24种分法，再将他们分到三个城市，共有C 24A 33种分法．若A 城市恰好只有甲1人，则把剩下的3人分成2组，每组分别有2人，1人，共有C 23种分法，再将他们分到B ，C 两城市，共有C 23A 22种分法，因此所求概率P ＝C 23A 22C 24A 33＝16.故选D.答案：D10．[2019·武汉武昌调研]已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：解法一：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.解法二：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B. 答案：B11．[2019·江西五校联考]如图，圆锥的底面直径AB ＝4，高OC ＝22，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD ＝2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A.π6B.π3C.5π12D.π2解析：如图，过点O 作OE ⊥AB 交底面圆于E ，分别以OE ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为∠AOD ＝23π，所以∠BOD ＝π3，则D (3，1,0)，A (0，－2,0)，B (0,2,0)，C (0,0,22)，AD →＝(3，3,0)，BC →＝(0，－2,22)，所以cos 〈AD →，BC →〉＝－612＝－12，则直线AD 与BC 所成的角为π3，故选B.答案：B12．[2019·河南洛阳联考]某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有( )A ．900种B ．600种C ．300种D ．150种解析：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C 25×A 44＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C 46×A 44＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.答案：B13．[2019·广州调研]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.5＋1D.2＋2解析：如图，结合题意画出图形，因为抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以由题设知双曲线的右焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以a 2＋b 2＝p 24 ①.因为AF ⊥x 轴，所以由点A 在抛物线上可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p (取A 在第一象限)，又点A 在双曲线上，所以p ＝b 2a ②.将②代入①得a 2＋b 2＝b 44a 2，即b 4＝4a 4＋4a 2b 2，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 4＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－1＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2－12，从而e 2＝c 2a 2＝2－1＋22－1＝(2＋1)2，故e ＝2＋1.故选A.答案：A14．[2019·长沙四校一模]已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，在双曲线的右支上存在一点P ，使|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2＋5，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[4,2＋5]D ．[2＋3，＋∞)解析：解法一：令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，得m 2＝n |F 1F 2|.又m －n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以m 2＝2(m －2a )c ，即m 2－2mc ＋4ac ＝0，则Δ＝4c 2－16ac ，且m ＝c ＋c 2－4ac .根据Δ>0，得e >4.由m ≥c ＋a ，得c 2－4ac ≥a ，c 2－4ac ≥a 2，e 2－4e －1≥0，所以e ≥2＋ 5.故选A.解法二：令|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则由|PF 2|，|PF 1|，|F 1F 2|成等比数列，得m 2＝n |F 1F 2|.又m －n ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以(n ＋2a )2＝2nc ，即n 2＋(4a －2c )n ＋4a 2＝0，则Δ＝4c 2－16ac ，且n ＝c －2a ＋c 2－4ac .根据Δ>0，得e >4.由n ≥c －a ，得c 2－4ac ≥a ，c 2－4ac ≥a 2，e 2－4e －1≥0，所以e ≥2＋ 5.故选A.答案：A15．[2019·济南质量评估]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为(sin α)sin α，(sin α)cos α，(cos α)sin α，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则输出的x 为( )A ．(cos α)cos αB ．(sin α)sin αC ．(sin α)cos αD ．(cos α)sin α解析：该程序框图的功能是输出a ，b ，c 中的最大者．当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，0＜cos α＜sin α＜1.由指数函数y ＝(cos α)x 可得，(cos α)sin α＜(cos α)cos α.由幂函数y ＝xcos α可得，(cos α)cos α＜(sin α)cos α，所以(cos α)sin α＜(sin α)cos α.由指数函数y ＝(sin α)x可得，(sin α)sin α＜(sin α)cos α.所以a ，b ，c 中的最大者为(sin α)cos α，故输出的x 为(sin α)cos α，正确选项为C.答案：C16．[2019·石家庄质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <04x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则对于函数g (x )＝[f (x )]2－f (x )＋a 有下列四个命题：命题1 存在实数a 使得函数g (x )没有零点； 命题2 存在实数a 使得函数g (x )有2个零点； 命题3 存在实数a 使得函数g (x )有4个零点； 命题4 存在实数a 使得函数g (x )有6个零点． 其中，正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设h (x )＝4x 3－6x 2＋1(x ≥0)，则h ′(x )＝12x (x －1)(x ≥0)，∴x >1时，h ′(x )>0,0<x <1时，h ′(x )<0，∴函数h (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，∴h (x )的极小值为h (1)＝－1，又h (0)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，∴函数f (x )的大致图象如图1所示．设f (x )＝t (t ≥－1)，则u ＝g (x )＝[f (x )]2－f (x )＋a ，u ＝t 2－t ＋a ，令t 2－t ＋a ＝0，则a ＝－t 2＋t (t ≥－1)，作出函数y ＝－t 2＋t (t ≥－1)的图象如图2所示．当a >14时，方程t 2－t ＋a ＝0无解，∴函数g (x )没有零点．当0<a <14时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1，t 2，若t 2>t 1，则0<t 1<t 2<1，由图1得函数g (x )有6个零点．当a ＝0时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1＝0，t 2＝1，由图1得函数g (x )有4个零点．当a ＝－2时，方程t 2－t ＋a ＝0有2个不相等的实根t 1＝－1，t 2＝2>1，由图1得函数g (x )有2个零点．∴4个命题全部正确．故选D.图1图2答案：D 二、填空题17．[2019·广州综合测试]若函数f (x )＝ax －3x的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,4)，则a ＝________.解析：f ′(x )＝a ＋3x2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y －(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2,4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2.答案：218．[2019·洛阳统考二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C的值是________． 解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (C ＋A )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B， ∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：5319．[2019·福州质检](1＋ax )2(1－x )5的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为________．解析：设(1＋ax )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6＋a 7x 7，令x ＝1得0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ①，令x ＝－1得(1－a )225＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7 ②，②－①得：(1－a )225＝－2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)，又a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－64，所以(1－a )225＝128，解得a ＝3或a ＝－1(舍)．答案：320．[2019·郑州质量预测一]如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )的值域是[0,1]；⑤⎠⎛02f(x)d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．解析：当－2≤x≤－1时，P 的轨迹是以A(即(－1，0))为圆心，1为半径的14圆；当－1<x≤1时，P 的轨迹是以B(即(0,0))为圆心，2为半径的14圆；当1<x≤2时，P 的轨迹是以C(即(1,0))为圆心，1为半径的14圆；当2<x≤3时，P 的轨迹是以A(即(3,0))为圆心，1为半径的14圆．所以函数f(x)的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y ＝f(x)是偶函数，所以①正确；因为f(x)的周期为4，所以②正确；函数f(x)在[2,3]上单调递增，所以③不正确；函数f(x)的值域为[0，2]，所以④不正确；根据定积分的几何意义可知⎠⎛02f(x)d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以⑤正确．故判断正确的序号为①②⑤.答案：①②⑤。