三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结

三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值

2.

角度制与弧度制

设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S

角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)

角度与弧度的换算

①360°=2π rad ②1°=π/180rad

③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°

弧长公式 l a R =

扇形的面积公式 12

s lR =

3.

诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）

所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：

①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了

4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）

①：

三角函数 x y sin = x y cos =

x y tan = cot y x =

函 数 图 象

定义域 R R 2

x k π

π≠+

x k π

≠

值域 [-1,1]

[-1,1]

R

R

周期 2π

2π

π

π

奇偶性 奇

偶

奇

非奇非偶

单 调 性 2,222k k ππππ⎡

⎤-+↑⎢⎥⎣

⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦

[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓

,22k k ππππ⎡

⎤-+↑⎢⎥⎣⎦

[],k k πππ+↓

对 称 性 :2

x k π

π=+

对称轴

对称中心:(,0)k π

:x k π

=对称轴

:

对称中心(+

,0)

2k π

π

:

对称中心(

,0)2

k π

零值点 πk x =

2

π

π+

=k x

πk x =

2

π

π+

=k x

最 值 点

2

π

π+

=k x ,1max

=y

2

π

π-

=k x ,1min

-=y

πk x 2=，1max =y ；

2y k ππ=+，1min -=y

②：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：

（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω

π2=T

（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω

π=T

5.三角函数尺度变换

sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）

的步骤（先平移后伸缩）： 1

sin sin sin sin y x y x y x y x ϖ

ϕ

ϖ

ϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍

向左或向右纵坐标不变

平移个单位

纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变

（）A （）

6.三角函数的对称变换：

① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）

② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）

③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）

④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局

部翻动）

7.反三角函数的图像与性质：

名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx

定义y=sinx

((,))

22

x

ππ

∈-的

反函数，叫做反

正弦函数

y=cosx

((0,))

xπ

∈的反

函数，叫做反余

弦函数

y=tanx

((,))

22

x

ππ

∈-的反

函数，叫做反正切

函数

y=cotx((0,))

xπ

∈

的反函数，叫做反

余切函数

性质图像

定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)

值域［-

2

π，

2

π］

［0，π］(-

2

π，

2

π) (0，π)

单调性[]

1,1

-增函数[]1,1

-减函数()

,

-∞+∞增函数()

,

-∞+∞减函数

奇偶性

arcsin()arcsin

θθ

-=-

arccos()arccos

θπθ

-=-

arctan()arctan

θθ

-=-

arccot()arccot

θπθ

-=-

周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数

7.三角函数公式：

（1）倒数关系：（2）平方关系：