第一章 §6 第2课时 垂直关系的性质 高中数学必修2精品教学课件(北师大版)

讲一讲 2．已知平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE ⊥平面 PBC，E 为垂足． (1)求证：PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．
[尝试解答] (1)如图，在平面 ABC 内取一点 D， 作 DF⊥AC 于点 F， 平面 PAC⊥平面 ABC， 且交线为 AC，
解析：∵l
α，且 l 与 n 异面，∴n α.
又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.
答案：A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论： ①过P与l垂直的直线在α内； ②过P与β垂直的直线在α内；
③过P与l垂直的直线必与α垂直；
④过P与β垂直的平面必与l垂直． 其中正确的命题是( A．② B．③ )
第2课时 垂直关系的性质
[核心必知] 1．直线与平面垂直的性质定理
2．平面与平面垂直的性质定理
[问题思考] 1．由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条
直线平行，试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？ 提示：可能平行，也可能相交．如图．
2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一
个平面一定垂直吗？
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以 下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在 一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
练一练 2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形 ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ，求证：BG⊥平面PAD；
线面垂直的性质除了线面垂直的性质定理外，常用的还 有：①若线垂直于面，则线垂直于面内的线．②若一条直线 同时垂直于两个平面，则这两个平面平行．③若一条直线垂 直于一个平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平
面．利用这些性质可以证明线线平行、线线垂直、面面平行
及线面垂直．
练一练 1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一 点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M是AB的中点．
(2)求证：AD⊥PB.
讲一讲 3.如图，ABCD 是正方形，SA⊥平面 ABCD，BK ⊥SC 于点 K，连接 DK.求证：
(1)平面 SBC⊥平面 KBD； (2)平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
[尝试解答] (1)连接 AC.∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD.又 SA⊥平面 ABCD， ∴SA⊥BD， ∴BD⊥平面 SAC， ∴SC⊥BD. 又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B， ∴SC⊥平面 KBD. 又 SC 平面 SBC， ∴平面 SBC⊥平面 KBD.
∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G， 同理可证 DG⊥AP， DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的
直线才能垂直于另一个平面．
讲一讲 1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 EF⊥A1D，EF⊥AC.求证： EF∥BD1.
[尝试解答] 证明：如图所示，连接 AB1，B1C，BD. ∵DD1⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面 垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是 从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转 化关系如下：
练一练
3．如图PAB⊥
平面PBC.求证：BC⊥AB.
4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD
(2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB， 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
∴DD1⊥AC. 又∵AC⊥BD 且 BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1.
∵BD1 平面 BDD1B1，∴BD1⊥AC. 同理 BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C， ∴EF⊥B1C.又 EF⊥AC 且 AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面 A B1C.∴EF∥BD1.
[尝试用另外一种方法解题] 法三：如图(2)，在平面 α 内作直线 m⊥BC， ∵α⊥γ，α∩γ＝BC，∴m⊥γ. 同理在平面 β 内作直线 n⊥BD，则 n⊥γ.∴m∥n. ∵n β，∴m∥β. 又 m α， α∩β＝AB，∴m∥AB，∴AB⊥γ. 法四：过 A 作 AB1⊥γ 于 B1. ∵α⊥γ，且点 A∈α，∴AB1 α，同理 AB1 β. ∴AB1 α∩β，∴AB1 与 AB 重合，即 AB⊥γ.
＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA 的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
已知：平面α∩平面β＝AB，α⊥γ，β⊥γ，求证：AB⊥γ.
法二：假设 AB 不垂直于 γ， ∵α⊥γ 于 BC，在 α 内作 AB1⊥BC， 则 AB1⊥γ，在 β 内作 AB2⊥BD， 又 β⊥γ 于 BD，∴AB2⊥γ. 上述作法与过一点作平面的垂线有且只有一 条矛盾， 故 AB 不垂直于 γ 是不可能的，因此 AB⊥γ.