2018届中考数学复习第二部分空间与图形第二十五课时圆的有关概念和性质练习
初三《圆》章节知识点总结
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆的概念 弧、圆心角、圆周角、弦 知识点+例题+练习(分类全面)
例题
1：圆的性质应用
例 1 如图，CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦，DC、EB 的延长线相交于点 A．若∠A＝25°， AB＝OC，求∠EOD 的度数．
2：利用圆的性质进行证明
例1如图，⊙O 的半径OA、OB 分别交弦C D 于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF 与∠OFE 的关系．
例 2 如图，O为AB所在圆的圆心，已知OA⊥OB，M为弦AB的中点，且MC∥OB交AB于点C．求AC的度数．60
延长CM交OA于E,OE=1/2 OA=1/2 OC
3：圆的性质和矩形性质综合
例 1 如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 为矩形，设 BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )
A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a
4：点与圆的位置关系中分类讨论思想
例1若⊙O 所在平面上的一点P到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为
5：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明
例1、已知：如图，BD、CE 是△ABC 的高，M 为B C 的中点，试说明点B、C、D、E 在以点M为圆心的同一个圆上．
例2、如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且A E⊥BC，AF⊥CD． (1)求证：A、E、C、F 四点共圆；
(2)设线段B D 与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．。
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习
中考数学《圆的有关概念及性质》专题复习【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】5、垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心, 且___________∴ , , .【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，_______∴ , .∵在圆O中，________∴ , .∵在圆O中，________∴ , .【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例1、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 8例2、绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB 为_________考点二：圆心角定理例3、如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°例4、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55° B．60°C．65° D．70°考点三：圆周角定理例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P 是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．例6、如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于_____________对应训练6、△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．考点四：圆内接四边形的性质例3 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5 C．3 D．3对应训练【聚焦中考】1．如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2 （B）3 （C）4 （D）62．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）． A． B． C． D．3．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120° D．140°6．如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=______7．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A. 135°B. 122.5°C. 115.5°D.112.5°8．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2AB·AEC.△ADE是等腰三角形D. BC＝2AD.9．如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF²=EF.EB（1）求证：CB=CF （2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．【备考真题过关】一、选择题1．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（）A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化3．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3 B．4 C．3 D．44．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．205．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BE B．C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°7．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题8．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．111314．如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；15．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．19．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．。
【三年模拟精选】2018版中考数学：5.1-圆的带关概念与性质(带答案)
第五章 圆§5.1 圆的有关概念与性质一、选择题1. (2014·浙江杭州朝晖中学三模，7，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析 ∵∠AOC ＝130°，∴∠BOC ＝180°－∠AOC ＝180°－130°＝50°.∵∠BOC 和∠D 分别是BC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠D ＝12∠BOC ＝12×50°＝25°.故选A. 答案 A2．(2015·浙江湖州模拟(17)，5，3分)如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝75°，∠C ＝45°，那么sin ∠AEB 的值为( )A.12B.33C.22D.32解析 ∵∠B 和∠C 是同弧对应的圆周角，∴∠B ＝∠C .∵∠A ＝75°，∠C ＝45°， ∴∠B ＝∠C ＝45°，∠AEB ＝180°－∠A －∠B ＝60°，∴sin∠AEB＝32.答案 D3．(2015·浙江模拟，8，3分)如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是()A．AE＝OE B．CE＝DEC．OE＝12CE D．∠AOC＝60°解析根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE＝DE，即可得出答案．根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，∴CE＝DE.答案 B4．(2014·浙江杭州江干一模，9，3分)已知⊙O半径为3 cm，下列与⊙O不是．．等圆的是()A．⊙O1中，120°圆心角所对弦长为3 3 cmB．⊙O2中，45°圆周角所对弦长为32cmC．⊙O3中，90°圆周角所对弧长为32πcmD．⊙O4中，圆心角为60°的扇形面积为32πcm解析A中，如图1，作O1D⊥AB，则AD＝332，cos 30°＝ADAO1，AO1＝3，与⊙O是等圆，故A不符合要求；B中，如图2，∠B＝45°，则∠AO2C＝90°，AO2＝32sin 45°＝32×22＝3，与⊙O是等圆，故B不符合要求；C中，设半径为r，90°圆周角所对弧长为32πcm，可得πr＝32π，r＝32，与⊙O的半径不等，不是等圆，故C符合要求；D中，设半径为r，则60πr2360＝3π2，解得r＝3，与⊙O是等圆，故D不符合要求．故选C.答案 C5．(2013·浙江湖州中考模拟试卷一，10，3分)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③AE ︵＝BE ︵；④CE ·AB ＝2BD 2.其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 连结AD ，ED ，OE ，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC .∵CD ＝BD ，∴AD 垂直平分BC ，∴AC ＝AB ，故②正确；∵∠B ＝∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－70°－70°＝40°，故①错误；∵四边形AEDB 为圆O 的∽△CAB ，∴CD CA ＝CECB ，内接四边形，∴∠CED ＝∠B ，∠CDE ＝∠BAC ，∴△CDE即CA ·CE ＝CD ·CB ，又CA ＝AB ，CD ＝BD ＝12BC ，则CE ·AB ＝2BD 2，故④正确；∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠OAE ＝40°，∴∠EOB ＝80°，∠EOA ＝100°，∴AE ︵≠BE ︵.故③错误，则其中正确的有2个．故选B. 答案 B 二、填空题6．(2013·浙江湖州中考模拟八，14，4分)如图，点A ，B ，C 在圆O 上，且∠BAC＝40°，则∠BOC ＝________．解析∠BAC与∠BOC分别是BC︵所对的圆周角与圆心角，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°.答案80°7．(2014·浙江杭州朝晖中学三模，14，4分)如图，⊙O的直径AB＝12，CD 是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为__________．CP＝OC2－OP2＝解析连结OC，由题意可得OC＝6，OP＝4，∴62－42＝25，∴CD＝2CP＝4 5.答案4 58．(2015·浙江宁波北仑区一模，16，4分)如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30°，则∠ABD等于________．解析连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝30°，∴∠ABD＝90°－∠A＝60°.答案60°9．(2013·浙江湖州中考模拟七，11，3分)一条弦把圆分成2∶3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为________．解析如图，∠AOB＝25×360°＝144°，∴∠ACB＝72°.由圆内接四边形的对角互补可得∠ADB＝108°.∵∠ACB和∠ADB都是弦AB所对的圆周角，∴这条弦所对的圆周角为72°或108°.答案72°或108°三、解答题10．(2015·浙江温州模拟(2)，19，8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.证明连结AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD ＝∠ACE ＝90°. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＋∠ABC ＝180°. 又∠ABC ＋∠EBC ＝180°， ∴∠EBC ＝∠D . ∵C 是弧BD 的中点， ∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°， ∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ， ∴BC ＝EC .11．(2015·浙江衢州一模，19，6分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C . (1)求证：CB ∥PD ；(2)若BC ＝3，sin ∠P ＝35，求⊙O 的直径． (1)证明 ∵∠C ＝∠P ，又∵∠1＝∠C ， ∴∠1＝∠P ，∴CB ∥PD . (2)解 连结AC . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD ⊥AB ， ∴BC ︵＝BD ︵，∴∠P ＝∠CAB . 又∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠CAB ＝35， 即BC AB ＝35， 又知，BC ＝3， ∴AB ＝5， ∴⊙O 的直径为5.。
(完整word版)2018中考数学专题复习圆
《圆》专题复习第一讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫_____ 线段0A叫做__________⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于__________ 的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的________ 叫做弦弧：圆上任意两点间的________ 叫做弧，弧可分为 ____ 、_______ 、 _____ 三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 ______ 条对称轴， ________________ 的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 _________【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 _________ 半径决定圆的________2、直径是圆中 _____ 的弦，弦不-3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转_________ 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径___________ ，并且平分弦所对的______________ 。
2、推论：平分弦（ _______ ）的直径___________ ，并且平分弦所对的______________ 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的_______ 线（即弦心距）。
3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 _________ 的角叫做圆心角2、定理：在 _______ 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量___________ 它们所对应的其余各组量也分别一【名师提醒：注意：该定理的前提条件是在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 _______ 并且两边都和圆 ______ 的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的_____________ 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 __________ 那么它们所对的弧 ___________推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 _________ ，90°的圆周角所对的弦是 ____________【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有_________ 个，是____ 类，它们的关系是_________ ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做_______________ ，这个圆叫做_____________________ 性质：圆内接四边形的对角____________ 。
2018年中考数学复习第6单元圆第25课时圆的基本概念与性质课件湘教版
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考向探究
第六单元┃ 圆
考向探究
探究1 确定圆的条件 命题角度 (1)点和圆的位置关系与数量关系的互逆判断； (2)求三角形的外接圆的半径或确定三角形的外心． 例1 如图25－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝ 4，CP、CM分别是AB边上的高和中线，如果圆A是以点A为圆 心，以2为半径的圆，那么下列判断正确的是( C )
52－42＝3，
设 OH＝x，则 OD＝OB＝x＋3，在 Rt△ODH 中，OD2＝OH2＋
DH2，∴(x＋3)2＝x2＋42，解得 |针对训练|
7 x＝6，即
7 OH＝6.故选
D.
[2017·长沙]如图25－13，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点 E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为____5____．
图 25－3
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第六单元┃ 圆
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考点1 圆的有关概念
圆的定 义
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，
另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫作___圆_____，固 定的端点叫作__圆__心____，线段 OA 叫作圆的__半_径_____
等圆 半径相等的圆叫作__等__圆____
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 总结 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意
两条结论成立，那么其他的结论也成立
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第六单元┃ 圆 考点8 确定圆的条件及相关概念
条件 外心 外心性质 防错提醒
经过不在同一直线上的三点有__且__只__有__一个圆 三角形三边的垂__直__平__分__线有且只有一个交点，这 一点叫作三角形的外接圆的圆心，即三角形的 外心 三角形的外心到三角形_三__顶__点___的距离相等 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角 形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形 的外心在三角形的外部
数学中考复习 圆的相关知识点及习题
圆专题一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1.圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．（2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．F EBA CDOr a 2d O CBA所对的两圆心角相等所对的两条弦相等 所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等EO D B A【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【例2】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例3】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例4】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ ∠的大小为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒【例5】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例6】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于ON MHG FE DC BA（ ） A ．60°B ．100°C ．80°D ．130°【例7】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．【例8】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例9】 如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【例10】 如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．DCA BBA【例11】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例12】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5【例13】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例14】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．2. 圆内接四边形【例15】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．【例16】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，BAPEC BAP DCBAAB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．【例17】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．一、点与圆的位置关系4. 确定圆的条件（5） 圆心(定点)，确定圆的位置； （6）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 5. 点与圆的位置关系（7） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定． （8） 设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <.如下表所示：C二、过已知点的圆1. 过已知点的圆（1） 经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． （2） 经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1. 三角形的外接圆（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例18】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7二、过三点的圆【例19】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例20】 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．三、三角形的外接圆及外心【例21】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC = .【例22】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍． ABCD ．12【例23】 ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例24】 已知如图，ACD ∆的外角平分线CB 交其外接圆于B ，连接BA 、BD ，求证：BA BD =．N【例25】 已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ． ⑴ 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；⑴ 若30∠=︒BAC ，∆ABC 中BC边上的高为2+∆ABC 外接圆的面积．直线与圆的位置关系设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：6. 切线的性质（9） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（10） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB 过圆心，AB 过切点M ，则AB l ⊥． ②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB 过圆心，AB l ⊥，则AB 过切点M ． ③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l ⊥，AB 过切点M ，则AB 过圆心．7. 切线的判定（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； （3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．AB CD El8. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-．二、切线的性质及判定【例1】 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =，O 是底边BC 的中点，O ⊙与腰AB 相切于点D ，求证AC 与O ⊙相切．lcb acbaO F ED CACBAB A【例2】 已知：如图，ABC ∆内接于O ，AD 是过A 的一条射线，且B CAD ∠=∠．求证：AD 是O 的切线．【例3】 已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例4】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【例5】 已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．【例6】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．C【例7】 如图，已知AB 为⑴O 的弦，C 为⑴O 上一点，⑴C =⑴BAD ，且BD ⑴AB 于B ．（1）求证：AD 是⑴O 的切线．（2）若⑴O 的半径为3，AB =4，求AD 的长．【例8】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．【例9】 如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD OC ∥，弦DF AB⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点； （2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例10】 如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．一、切线长定理1.如图，PA PB ，分别是O 的切线，A B ，为切点，AC 是O 的直径，已知35BAC ∠=︒，P ∠的度数为（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．70︒2.如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B ，两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．3.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线PA PB ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠=，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．8C．D．P则OP =（ ）A ．50cm B．cm Ccm D．cm5.如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 为5，则该梯形的周长是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．146.等腰梯形ABCD 外切于圆，且中位线MN 的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．7.如图，PA PB DE 、、分别切O ⊙于A B C 、、，若10PO =，PDE ∆周长为16，求O ⊙的半径．8.如图，PA PB ，切O 于AB ，，MN 切O 于C ，交PA PB ，于M N ，两点，已知8PA =，求PMN ∆的周长．PB P于G，交AB AC、于MN，则BMN∆的周长为______________．10.如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA=，且6AD OC+=，求CD的长．补充讲义两圆的公切线（选讲自己了解）9.两圆的外公切线（11）求两圆外公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形．如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的外公切线长为：l=，sin2R rdα-=（12）求两圆内公切线长：构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形．10.两圆的内公切线如图，设大圆的半径为R，小圆的半径为r，两圆的圆心距为d，两外公切线的夹角为α，则两圆的内公切线长l=，sin2R r dα+ =CB AP圆与相似三角形经典证明题1.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3 点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系为．2．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．4．．Rt．ABC．．．ACB=90°．D．AB．．．．．．．BD．．．．．O．AC．．E．．．DE．．．．．BC．．．．．．．F．．BD=BF．．1．．．．AC．．O．．．．2．．BC=6．AB=12．．．O．．．．5．．．．AB．．O．．．．．．A．．O．．．．．．．．．．C．．．OC．．O．．D．BD．．．．．AC．E．．．AD．．1．．．．．CDE．．CAD．．2．．AB=2．AC=2．．AE．．．6. 已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB 于点E．．1．．．．AC•AD=AB•AE．．2．．．BD．⊙O．．．．D．．．．E．OB．．．．．BC=2．．．AC．．．7．如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.8. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．9. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．10.．．．．．O．．AB．．．．OC．AB．．CD．OB．．．F．．AB．．．．．．．E．．EF=ED．．1．．．．DE．．O．．．．．2．．OF．OB=1．3．．O．．．R=3．．．．．11．．．．AB ．⊙O ．．．．．D ．．．．．．∠BDE =∠CBE ．BD ．AE ．．．F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DF •DB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB ：PC =1：2． （1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD =3，求△ABC 的面积．13．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB =∠AEC . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：2CE EH EA =⋅； （3）若⊙O 的半径为5，3sin 5A =，求BH 的长.第13题图FH EOC B A。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--巩固练习(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°，AC∥OD，则∠AOC 的度数 （ ）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°3．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED ．»»BDBC第2题 第3题 第5题 第6题4．（2015•黑龙江）如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°5．如图所示，△ABC 内接于圆O ，∠A ＝50°；∠ABC ＝60°，BD 是圆O 的直径，BD 交AC 于点E ，连接DC ，则∠AEB 等于( )A ．70°B ．110°C ．90°D ．120°6．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块二、填空题7．（2015•雁江区模拟）如图，MN 是半径为2的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为 .8．如图所示，⊙O的直径AC＝8 cm，C为⊙O上一点，∠BAC＝30°，则BC＝________cm．第8题第9题9．两圆有多种位置关系，图中(如图所示)不存在的位置关系是__________．10．如图所示，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝______．11．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．第10题第11题第12题12．如图所示．B是线段AC上的一点，且AB:AC＝2:5．分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为________．三、解答题13．已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB．OA、OB与⊙O分别交于点D、E.(1) 如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长(结果保留根号)；(2)如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形．求ODOA的值．14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．(1)求证：△AOC≌△AOD；(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．15．（2015•上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．l16. 如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、Cl的动点，直线BF与相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使CD，请说明你的理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；O O=7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切.【解析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距122.【答案】D；【解析】由AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，知OA＝OC，根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，得∠AOC＝180°－2∠OAC.由AC∥OD，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠OAC＝∠AOD.由AB是⊙O的直径，∠BOD=110°，根据平角的定义，得∠AOD＝180°－∠BOD=70°.∴∠AOC＝180°－2×70°＝40°.故选D.3.【答案】C；【解析】由垂径定理知A、B、D都正确．4.【答案】C；【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．5.【答案】B；【解析】∵∠A=50°，∴∠D=50°，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°-50°=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∴∠BEC=50°+20°=70°，∴∠AEB=180°-70°=110°.6.【答案】B；【解析】因为第②块含有圆周的一部分，可以找到圆心，量出半径.其他块都不行.二、填空题7．【答案】2；【解析】如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵B为弧AN的中点，∴∠NOB′=×60°=30°，∴∠AOB′=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∵⊙O的半径为2，∴AB′=2，即PA+PB的最小值为为2．8．【答案】4；【解析】因为AC为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得∠ABC＝90°，则BC＝AC·sin∠BAC＝4(am)．9．【答案】相交；【解析】认真观察、判断可发现每两圆间不存在的位置关系是：相交．10．【答案】27°；【解析】如图，连结OB，由AB与⊙O相切于点B，得∠ABO＝90°，因为∠A＝36°，所以∠AOB＝54°，所以∠C＝27°.11．【答案】4；【解析】连接OC，则由直线PC是圆的切线，得OC⊥PC.设圆的半径为x，则在Rt△OPC中，PC=3，OC= x，OP=1＋x，根据地勾股定理，得OP2=OC2＋PC2，即（1＋x）2= x2＋32，解得x=4.即该半圆的半径为4.12．【答案】4:25；三、解答题13.【答案与解析】(1) 如图①，连接OC ，则OC=4.∵AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥AB. ∴在△OAB 中，由OA=OB ，AB=10得1AC AB 52==.∴ 在△RtOAB 中，OA ===.(2)如图②，连接OC ，则OC=OD.∵四边形ODCE 为菱形，∴OD=DC.∴△ODC 为等边三角形.∴∠AOC=60°.∴∠A=30°.∴1OC 1OD 1OC OA 2OA 2OA 2===，，即.14.【答案与解析】解：（1）∵ AB 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AB ．在Rt △AOC 和Rt △AOD 中，,.OC OD AO AO =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AOC ≌Rt △AOD(HL)．(2)设半径为r ，在Rt △ODB 中，，解得r ＝4．2223(1)r r +=+ 由(1)有AC ＝AD ，∴，2229(3)AC AC +=+ 解得AC ＝12，∴．22111112945482222S AC BC r πππ=-=⨯⨯-⨯=-g 15.【答案与解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC ，又∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴∠CBF=∠BCF ，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD ，∴∠ACD=∠ACB ，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD ⊥DF ．16.【答案与解析】解：（1）∵直线与以BC 为直径的圆O 相切于点C ，l ∴∠BCE=90°，又∵BC 为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BCE.∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC.∴CE EF BE EC =.∵BE=15，CE=9，即：9EF 159=，解得：EF=275.（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD.同理：∠AFB=∠CFD.∴△CDF∽△BAF.②∵△CDF∽△BAF，∴CF CD BF BA =.又∵△CEF∽△BCF，∴CF CE BF BC =.∴CD CE BA BC=.又∵AB=BC，∴CE=CD.（3）当F 在⊙O 的下半圆上，且»»2BF BC 3=时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使CD.理由如下：CE.在Rt△BCE 中，tan∠CBE=CEBC =，∴∠CBE=30°，∴»CF所对圆心角为60°.∴F 在⊙O 的下半圆上，且»»2BF BC 3=.。
中考数学复习 第二部分 空间与图形 第二十五课时 圆的有关概念和性质课件
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【考点变式】 1.(2017·黔东南)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°, 半径为2,则弦CD的长为 ( A )
A.2
B.-1
C. 2
D.4
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2.(2017·金华)如图,在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为 ( C )
4.知道三角形的内心和外心.
1.题型:选择题、填空题和一 些简单解答题
2.难度:中、低档题 3.分值:3~6 分 4.热点和趋势: (1)利用有关概念和性质进行 真假命题的判定; (2)利用有关定理进行角度和 线段的求值; (3)利用心、外心知识进行 角度计算或尺规作图.
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1.圆的概念:圆:(1)在一个平面内,线段OA绕它 固定的 一个端点 O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫圆 心,线段OA叫半径;以点O为圆心的圆记作“☉O”,读作“圆O”.圆心和 半径是确定一个圆的两个要素. (2)能够重合的两个圆叫 等圆 (半径相等). 弧:(1)圆上 任意两点间 的部分叫做弧. (2)能够重合的两弧叫 等弧 . 弦:(1)连接圆上任意两点的线段叫做 弦 . (2)经过圆心的弦叫做直径, 直径 是圆中最长的弦. 圆心角: 顶点 在圆心的角叫做圆心角. 圆周角:顶点在 圆上 ,并且 两边 都与圆相交的角叫圆周角.
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2.圆的基本性质:(1)一个圆的半径都 相等 .
(2)经过 不在 同一直线上的 三个点 确定一个圆.
(3)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ;
圆也是中心对称图形, 圆心 就是它的对称中心.
(中考考点梳理)圆的性质及与圆有关的位置关系-中考数学一遍过
考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．学-科网（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r 由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16 cm，则球的半径为A．cm B．10 cmC．cm D．cm【答案】B【点睛】解本题的关键是作辅助线弦心距，构造直角三角形，这个直角三角形的斜边是半径，另两条边分别为弦心距和弦的一半，再根据解直角三角形解题．典例3 如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为A ．2 cmB cmCD 【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD 的长，再根据垂径定理得AB 的长． 作OD ⊥AB 于D ，连接OA ．根据题意得OD =12OA =1cm ，再根据勾股定理得：AD cm ，根据垂径定理得AB ． 故选C ．3．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，则弦AB 的长是A ．3B ．6C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB 大棚顶点C离地面的高度为2．3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1．70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，若弧DE为40°的弧，则∠BOC=A．110° B．80°C．40° D．70°【答案】A【解析】连接OE，如图所示：∵弧DE 为40°的弧，∴∠DOE =40°．∵OD =OE ，∴∠ODE =180402︒-︒=70°． ∵弦DE ∥AB ，∴∠AOC =∠ODE =70°，∴∠BOC =180°–∠AOC =180°–70°=110°．故选A ．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 典例5 如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB =120°，P 为弧AB 上一点，则∠APB 度数是A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°【答案】C【解析】如图，在优弧AB 上取点C ，连接AC 、BC ，由圆周角定理得由圆内接四边形的性质得到，180120APB ACB ∠=︒-∠=︒，故选C ． 【点睛】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠OCA =50°，AB =4，则 BC的长为A ．103π B ．109π C ．59π D ．518π 6．如图，AB 是⊙O 的直径， =BCCD DE =，∠COD =38°，则∠AEO 的度数是A．52° B．57° C．66° D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6 已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7 在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．学_科网考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8 如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B 的度数是A．40° B．50°C．25° D．115°【答案】C【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．连接OA，∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，∴∠B=∠BAO=12∠AOC=25°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．典例9 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B9．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD<BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是A．大于B．等于C．小于D．不能确定10．如图，以等腰△ABC的腰AB为⊙O的直径交底边BC于D，DE AC于E．；（2）DE为⊙O的切线．求证：（1）DB DC1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是 AB上的点，E是 AC上的点，若∠BAC=50°，则∠D+∠E=A．220° B．230°C．240° D．250°3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A BC ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，点O 是△ABC 的内心，∠A =62°，则∠BOC =A ．59°B ．31°C ．124°D ．121°6．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且 34AB AMC ∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边， DE的度数为__________．11．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是__________°．12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上两点，且点C 为弧BF 的中点，过点C 作AF 的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；学_科网（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线．1．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=A．8cm B．5cmC．3cm D．2cm2．（2018•甘孜州）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是A．AC=AB B．∠C=12∠BODC．∠C=∠B D．∠A=∠BOD3．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸4．（2018•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于A BC．2 D．1 25．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是A．58B．78C．710D．456．（2018•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为A．4 B．C D ．7．（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD =120°，则∠BOD 的大小是A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°8．（2018•宜宾）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE =4，EF =3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为A B ．192C ．34D ．109．（2018•牡丹江）如图，△ABC 内接于⊙O ，若sin ∠BAC =13，BC ，则⊙O 的半径为A ．B ．C ．D ．10．（2018•湘西州）已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定11．（2018•常州）如图，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为N ，如果∠MNB =52°，则∠NOA 的度数为A．76° B．56°C．54° D．52°12．（2018•广元）如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB=8cm、点C 与 AB的中点D的距离CD=2cm．则此圆环形士片的外圆半径为__________cm．13．（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为__________．14．（2018•牡丹江）如图，在⊙O中， AB=2 AC，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．15．（2018•湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．16．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE，∠BCD=120°，A为 BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．17．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE 的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2，∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211ππ416S r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴22211π116π16rS S r ==.故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤.故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=， ∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm，根据题意可得：DO2+BD2=BO2，则（x–2．3）2+12）2=x2，解得x=3．答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN=1.7米，则过点N作NF⊥CO于点F，可得：DF=1.7米，则FO=2.4米，NO=3米，故FN=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米．5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC=∠OCA=50°，则∠BOC=2∠OAC=100°，则弧BC的长度为故选B．7．【答案】A【解析】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA5=<．∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．8．【答案】2【解析】连接OA．∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2=4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5–3=2（cm）．故答案是：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d=R．9．【答案】B【解析】如图，连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．∵AD是切线，∴OF⊥AD，易证四边形AHOF是矩形，∴AH=OF=OE，∵S△AOB=12•OB•AH=12•AB•OE，∴OB=AB，同理可证：CD=CO，∴AB+CD=BC，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．学科_网1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】如图，连接OA 、OB 、OC ，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠BOC =100°，得出∠AOB +∠AOC =260°，由圆周角定理得出∠D =12（∠BOC +∠AOC ），∠E =12（∠BOC +∠AOB ），即可得出∠D+∠E=12（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=12（260°+100°+100°）=230°．故选B．3．【答案】C【解析】如图，延长CA，交⊙A于点F，∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC8=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】D【解析】∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°–62°=118°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×118°=59°，∴∠BOC=180°–59°=121°．故选D．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB =BC 可得：弧AB 的度数和弧BC 的度数相等，则弧AMC 的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴ DE的度数为84°．故答案为：84°．11．【答案】120【解析】∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5， ∴设∠A =4x ，则∠B =3x ，∠C =5x ．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°–60°=120°．故答案为：120．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）如图，连接CD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴ BD= CD，∴BD=CD，∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．1．【答案】A【解析】∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=12CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE=3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选A．2．【答案】B【解析】A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴ AD= BD，∵ AD对的圆周角是∠C， BD对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；故选B．3．【答案】C【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r–1，OA=r，则有r2=52+（r–1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．4．【答案】D【解析】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DAB=tan∠DEB=12．故选D．5．【答案】D【解析】如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO=810=45，故选D．6．【答案】D【解析】如图，∵OA⊥BC，∴CH=BH， AC= AB，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB BC=2BH D．7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°–∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．8．【答案】D【解析】如图，设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=12DE=2，∴NP=MN–MP=EF–MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选D．9．【答案】A【解析】如图：连接OB ，O C ．作OD ⊥BC 于D∵OB =OC ，OD ⊥BC ，∴CD =12BC ，∠COD =12∠BOC ，又∵∠BOC =2∠A ，BC ，∴∠COD =∠A ，CD ，∵sin ∠BAC =13，∴sin ∠COD =CD OC =13，∴OC ，故选A ． 10．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，∴直线和圆相切．故选B ． 11．【答案】A【解析】∵MN 是⊙O 的切线，∴ON ⊥NM ，∴∠ONM =90°，∴∠ONB =90°–∠MNB =90°–52°=38°，∵ON =OB ，∴∠B =∠ONB =38°，∴∠NOA =2∠B =76°．故选A ． 12．【答案】5【解析】如图，连接OA ，∵CD =2cm ，AB =8cm ， ∵CD ⊥AB ，∴OD ⊥AB ，∴AC =12AB =4cm ，∴设半径为r ，则OD =r –2， 根据题意得：r 2=（r –2）2+42，解得：r =5． ∴这个玉片的外圆半径长为5cm ．故答案为：5．13．【答案】30°【解析】如图，连接OC ．∵AB是直径， AC= CD= BD，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A=60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=90°–60°=30°．故答案为30°．14．【解析】如图，延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴ AE=2 AC，AE=2AD，∵ AB=2 AC，∴ AE= AB，∴AB=AE，∴AB=2AD．15．【解析】（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；16．【解析】（1）连接DE，如图，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°–120°=60°，∵BE为直径，∴∠BDE=90°，在Rt △BDE 中，DE =12BE =12×，BD DE ； （2）连接EA ，如图， ∵BE 为直径，∴∠BAE =90°，∵A 为 BE的中点，∴∠ABE =45°， ∵BA =AP ，而EA ⊥BA ， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB =90°，∴PE ⊥BE ， ∴直线PE 是⊙O 的切线．17．【解析】（1）∵OA =OB ，DB =DE ，∴∠A =∠OBA ，∠DEB =∠DBE ，∵EC ⊥OA ，∠DEB =∠AEC ，∴∠A +∠DEB =90°， ∴∠OBA +∠DBE =90°，∴∠OBD =90°， ∵OB 是圆的半径，∴BD 是⊙O 的切线；（2）如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，连接OE ， ∵点E 是AB 的中点，AB =12， ∴AE =EB =6，OE ⊥AB ，又∵DE =DB ，DF ⊥BE ，DB =5，DB =DE ，∴EF =BF =3，∴DF =4， ∵∠AEC =∠DEF ，∴∠A =∠EDF ，∵OE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠AEO =∠DFE =90°，∴△AEO ∽△DFE ，∴EO AE FE DF =，即634EO =，得EO =4.5， ∴△AOB 的面积是：12 4.522AB OE ⋅⨯==27．。
圆的概念、垂径定理练习题
圆的基本概念、垂径定理复习一、圆的相关概念知识扫描:1、圆的定义:(1 在同一平面内, 线段 OP 绕它固定的一个端点 O , 另一端点 P 所经过的叫做圆,定点 O 叫做 ,线段 OP 叫做圆的 ,以点 O 为圆心的圆记作 ,读作圆O 。
(2动点到定点等于定长的点的轨迹叫做圆。
2、弦和直径:连接圆上任意叫做弦,其中经过圆心的弦叫做 , 是圆中最长的弦。
3、弧:圆上任意叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧,每一条弧都叫做。
小于半圆的弧叫做 , 用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来,大于半圆的弧叫做 ,用弧两端的字母和中间的字母,再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆:半径相等的两个圆叫做等圆;也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、过一点可作过两点可作个圆; 过的三点确定一个圆。
对应练习:1、有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④长度相等的两段弧是等弧。
其中正确的有(A.4个B.3个C.3个D.2个2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm, AD=4cm, 若以 A 点为圆心作⊙ A , 使 B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外, 则⊙ A 的半径 r 的取值范围是3、如图, AB 为⊙ O 的直径, CD 为⊙ O 的弦, AB 、 CD 的延长线交于点 E ,已知 AB=2DE,∠ E=18°,求∠ AOC 的度数4、已知⊙ O 的半径为 1, 点 P 与圆心 O 的距离为 d , 且方程 x 2-2x+d=0有实数根, 则点 P 在⊙ O 的5、若线段 AB=6,则经过 A 、 B 两点的圆的半径 r 的取值范围是6、在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,两直角边 a 、 b 是方程 x 2-7x+12=0的两根,则△ABC 的外接圆面积为127、如图,点 A 、 D 、 G 、 M 在半圆上,四边形 ABOC , DEOF 、 HMNO 均为矩形, 设 BC=a, EF=b, NH=c,则 a , b , c 的大小关系是二、垂径定理知识扫描:1、轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线直线 , 直线两旁的部分能够 ,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴。
圆的有关性质练习课
·O B
∴ ∠ A+ ∠ C=180°,
C
∠ B+ ∠ D=180°.
活动2 练习精析，巩固深化
1、如图，A、B、C是⊙O上的三点， ∠CAO=25°，∠BCO=35°，则 ∠AOB=__1_2_0___度。
C
35° 25°
O A
B
考点：圆周角定理
2、 求下列带“？”的角.
∠PAB在60°-75°之间的任意 数．
考点：圆周角定 理；垂径定理．
活动3 总结反思 ,拓展升华
C
O
AE BD垂来自定理 及推论轴 对 称 性
旋
转
圆
不 变
性
A
D
O
B
C
内接四边形 的性质
主要解决 与弦有关 的计算
C DO
AB
圆周角定理 及推论
CD A OB
主要解决与 角有关的计 算
主要解决 有关角的 计算
辅助线， 莫乱添，
规律方法记心间； 圆半径， 不起眼，
角的计算常要连， 构成等腰解疑难；
弦与弦心距， 亲密紧相连；
交点和圆心， 连结要领先； 遇到直径想直角， 灵活应用才方便。
交⊙O于点C,交AB于E.
D
（1）当AB=8，OE=3时，求半径.
O （2）当AB=8，DE=6时，求半径.
A
E C
B （3）当AB=8，CE=3时，求半径.
考点：垂径定理
7、如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直
径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连
接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出
一个即可）
C
C
A 40° O
2018届中考数学复习 第二部分 空间与图形 第二十五课时 圆的有关概念和性质练习
第25课时圆的有关概念和性质备考演练一、精心选一选1.(2016·自贡)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( C )A.15°B.25°C.30°D.75°2.(2016·乐山)如图,C、D是以线段AB为直径的☉O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=( B )A.10°B.20°C.30°D.40°第1题图第2题图第3题图3.(2016·娄底)如图,已知AB是☉O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为( C )A.20°B.40°C.50°D.70°二、细心填一填4.(2016·长沙)如图,在☉O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则☉O的半径长为.第4题图第5题图第6题图5.( 2016·巴中)如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A= 35°.6.(2016·永州)如图,在☉O中,A,B是圆上的两点,已知∠AOB=40°,直径CD∥AB,连接AC,则∠BAC=35度.三、用心解一解7.(2015·永州)如图,已知△ABC内接于☉O,且AB=AC,直径AD交BC 于点E,F是OE上的一点,CF∥BD.(1)求证:BE=CE;(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.解:(1)证明:∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,∵在Rt△ABD和Rt△ACD中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴BE=CE;(2)四边形BFCD是菱形,理由如下:∵AD是☉O的直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BE=CE,∵CF∥BD,∴∠FCE=∠DBE,∵在△BED和△CEF中,∴△BED≌△CEF,∴CF=BD,∴四边形BFCD是平行四边形, ∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴四边形BFCD是菱形;(3)∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,BE=CE,∴△CED∽△CEA,∴CE2=DE·AE,设DE=x,∵BC=8,AD=10,∴42=x(10-x),解得:x=2或x=8(舍去)在Rt△CED中,CD==2.。
2018年中考数学复习 第6单元 圆 第25课时 圆的基本概念与性质检测 湘教版
课时训练(二十五)圆的基本概念与性质|夯 实 基 础|一、选择题 1．[2017·衡阳]如图K25－1，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB 的度数是( )A ．26°B ．30°C ．32°D ．64°K25－12．[2016·娄底]如图( ) A ．20° B ．40° C ．3．[2017·株洲]A ．正三角形 B ．正方形C ．正五边形 D 4．[2017·泸州]如图，则弦CD 的长是( ) A.7 B ．2 7 C ．5．[2017·宜昌]如图K25－4，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是( ) A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C.AB ︵＝DA ︵D ．∠BCA ＝∠ACD图K25－56．[2017·陕西]如图K25－5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为( )A ．5 B.5 32C ．5 2D ．5 3 7．[2017·西宁]如图K25－6，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°.则CD 的长为( ) A.15 B ．2 5 C ．2 15 D ．8K25－68．[2016·连云港]如图个格点(格线的交点称为格点)．如果以A 为圆心，r ( )A ．2 2＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5 D ．5＜r ＜29二、填空题9．[2016·岳阳]如图K25－8，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝________°.K25－8K25－910．[2017·义乌]如图K25－9，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD的度数为________．11．[2017·庆阳]如图K25－10，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________．图K25－1012．如图K25－11所示，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.K25－11K25－1213．[2017·十堰]如图K25－12，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D，若AC＝6，BD＝5 2，则BC的长为________．三、解答题14．[2016·宁夏]如图K25－13，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝2 3，求CD的长．图K25－1315．[2017·安徽]如图K25－14，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC 的外接圆O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K25－14|拓展提升|图K25－1516．如图K25－15，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以1 cm/s的速度从点A出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t s(0≤t＜16)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．(填出一个正确的即可)17．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图K25－16①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图K25－16②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．参考答案1．C2．C [解析] ∠D＝40°，根据圆周角性质则有∠B＝∠D＝40°.又AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－40°＝50°.3．A [解析] 正三角形的边所对的圆心角是120°；正方形的边所对的圆心角是90°；正五边形的边所对的圆心角是72°；正六边形的边所对的圆心角是60°.故选A.4．B [解析] 连接OC，则OC＝4，OE＝3，在Rt△OCE中，CE＝OC2－OE2＝42－32＝7.因为AB⊥CD，所以CD ＝2CE＝2 7.5．B [解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．6．D [解析] 连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D，由题意可知OB⊥AP；易知△OAB为等边三角形，再运用解直角三角形的知识可求出AP的长为5 3.故选D.7．C [解析] 作OH⊥PD 于H ，AP ＝2，BP ＝6PO ＝2，又∠HPO＝∠APC＝30°，∴OH ＝1，OD＝OB ＝4，在Rt △HOD 中，HD ＝OD 2－OH 2＝15，∴CD ＝2HD ＝2 15.8．B [解析] 根据图形中网格与勾股定理可知，AD ＝2 2，AE ＝AF ＝17，AB ＝3 2，∴AB ＞AE ＞AD.以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则必须满足17＜r ＜3 2.9．7010．90° [解析] 根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，得到∠EOD＝2∠A＝2×45°＝90°. 11．58° [解析] 连接OB.在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB＝32°，∴∠OBA ＝32°.∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.而∠C＝12∠AOB，∴∠C ＝58°.12．8 [解析] 设钢珠的圆心为O ，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD.在Rt △AOD 中，利用勾股定理得AD ＝OA 2－OD 2＝52－32＝4(mm)，所以AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)．13．8 [解析] 连接DA ，因为∠ACB＝90°，所以AB 为直径，所以∠ADB＝90°，因为CD 平分∠ACB，所以BD ＝AD ，在△ABD 中AB ＝AD 2＋BD 2＝（5 2）2＋（5 2）2＝10，在△ABC 中BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.14．解：(1)证明：∵ED＝EC ，∴∠CDE ＝∠C. 又∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形， ∴∠CDE ＝∠B， ∴∠B ＝∠C， ∴AB ＝AC.(2)连接AE ，则AE⊥BC，∴BE ＝EC ＝12BC.在△ABC 与△EDC 中，∵∠C ＝∠C，∠CDE ＝∠B， ∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE ＝BC DC ，∴DC ＝BC·DE AB ＝BC 22AB. 由AB ＝4，BC ＝2 3，∴DC ＝（2 3）22×4＝32.15．证明：(1)根据圆周角定理知∠E＝∠B， 又∵∠B＝∠D， ∴∠E ＝∠D， 又∵AD∥CE，∴∠D ＋∠DCE＝180°， ∴∠E ＋∠DCE＝180°， ∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，连接OE ，OB ，由(1)得四边形AECD 为平行四边形， ∴AD ＝EC ，∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC ，∵OC ＝OC ，OB ＝OE ，∴△OCE ≌△OCB(SSS)， ∴∠ECO ＝∠BCO，即CO 平分∠ECB.16．答案不唯一，如4 [解析] ∵AB 是⊙O∴∠C ＝90°.∵∠ABC ＝60°，BC ＝4 cm ， ∴AB ＝2BC ＝8 cm. ∵F 是弦BC 的中点，∴当EF∥AC 时，△BEF 是直角三角形， 此时E 为AB 的中点，即AE ＝AO ＝4 cm ， ∴t ＝4÷1＝4(s)，或t ＝4＋81＝12(s)．当FE⊥AB 时，∵FB ＝12BC ＝2(cm)，∠B ＝60°，∴BE ＝12FB ＝1(cm)，∴AE ＝AB －BE ＝8－1＝7(cm)，∴t ＝71＝7(s)．或t ＝7＋1＋11＝9(s)．17．解：(1)∴OP ⊥AB ，∵tan30(2)如图②，连接OQ 取最小值，此时OP⊥BC，∵∠ABC ＝30°，∴OP ＝12OB。
圆的有关概念及性质练习卷
圆的有关概念练习题（一）练习1 圆【练习题】1. 要确定一个圆，需要知道_________和___________.2．到定点Ｏ的距离等于２cm 的点的集合是以_________为圆心，_________为半径的圆．3. 在同圆中，如果B A=2D C ，那么弦AB 、CD 的关系为AB____2CD.4.正方形ABCD 的边长为1，以A 为圆心，1为半径做⊙A ，则点B 在⊙A ________,C 点在⊙A ________,D 点在⊙A ________.5、 Ａ、Ｂ是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是_________6、圆是轴对称图形，它有____条对称轴，是_________直线；圆还是中心对称图形，对称中心是_____7、 弧分为_________，_________，_________8、 一个圆的最长弦长为１０cm ，则此圆的半径是_________ 9、 判断：（１）直径是弦．（ ） （２）弦是直径．（ ） （３）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）（４）半径相等的两个半圆是等弧．（ ） （５）长度相等的两条弧是等弧．（ ） （６）周长相等的圆是等圆．（ ） （７）面积相等的圆是等圆．（ ）。
（8）优弧一定比劣弧长。
（ ） 10.如图，半圆的直径AB ＝___ ．11.如图(1)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______， ∠ABC =______．12．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，则∠C=______，∠AOC=______．第10题13．已知⊙O 的半径为5厘米,A 为线段OP 的中点,当OP ＝6厘米时,点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点A 在⊙O 内B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 外D.不能确定14．过⊙内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为（ ）（A ）3cm （B ）6cm （C ）cm （D ）9cm15．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A 、AB ⊥CD B 、∠AOB ＝4∠ACD C 、D 、PO ＝PD16．如图所示,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB 的延长线交大圆于C ,若AB =3,BC =1,则与圆环的面积最接近的整数是( ) A.9B.10C.15D.13D(第13题) (第14题) (第15题)17．下图中BOD ∠的度数是（ ）A 、550B 、1100C 、1250D 、15018．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点． (1)求证：∠AOC =∠BOD ；(2)试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．19、如图：AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC。
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第25课时圆的有关概念和性质
备考演练
一、精心选一选
1.(2016·自贡)如图,☉O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是( C )
A.15°
B.25°
C.30°
D.75°
2.(2016·乐山)如图,C、D是以线段AB为直径的☉O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=( B )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
第1题图第2题图
第3题图
3.(2016·娄底)如图,已知AB是☉O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为( C )
A.20°
B.40°
C.50°
D.70°
二、细心填一填
4.(2016·长沙)如图,在☉O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,
则☉O的半径长为.
第4题图第5题图
第6题图
5.( 2016·巴中)如图,∠A是☉O的圆周角,∠OBC=55°,则∠A= 35°.
6.(2016·永州)如图,在☉O中,A,B是圆上的两点,已知∠AOB=40°,直径CD∥AB,连接AC,则∠BAC=35度.
三、用心解一解
7.(2015·永州)如图,已知△ABC内接于☉O,且AB=AC,直径AD交BC 于点E,F是OE上的一点,CF∥BD.
(1)求证:BE=CE;
(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
解:(1)证明:∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=∠ACD=90°,
∵在Rt△ABD和Rt△ACD中,,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴∠BAD=∠CAD,∵AB=AC,∴BE=CE;
(2)四边形BFCD是菱形,理由如下:
∵AD是☉O的直径,AB=AC,∴AD⊥BC,BE=CE,
∵CF∥BD,∴∠FCE=∠DBE,
∵在△BED和△CEF中,
∴△BED≌△CEF,∴CF=BD,∴四边形BFCD是平行四边形,
∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,∴四边形BFCD是菱形;
(3)∵AD是☉O的直径,AD⊥BC,BE=CE,
∴△CED∽△CEA,∴CE2=DE·AE,设DE=x,
∵BC=8,AD=10,∴42=x(10-x),解得:x=2或x=8(舍去)
在Rt△CED中,CD==2.。