2010届高三一轮复习数学精品资料：2.3-函数的单调性与最大(小)值

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函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习

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f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结单调递增
论当函数 f(x)在它的定义域上单调当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

3.2.1高中数学必修第一册知识点总结函数的单调性与最大(小)值-

函数的单调性与最大（小）值知识点总结与例题讲解一、本节主要知识点（1）函数的单调性. （2）函数的最值. （3）单调函数的运算性质. （4）复合函数的单调性. 知识点一函数的单调性 1.增函数与减函数名称定义图象表示几何意义增函数一般地,设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数.函数)(x f 的图象在区间D 上从左到右是上升的. 减函数一般地,设函数)(x f 的定义域为I :如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ,当21x x <时,都有()()21x f x f >,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.x y f x 2()f x 1()x 2x 1y = f x ()O函数)(x f 的图象在区间D 上从左到右是下降的.增函数、减函数定义中两个自变量的值21,x x 的三个特征:（1）任意性自变量的值21,x x 必须是在区间D 上任意选取的,不可以随便取两个特殊值.（2）有序性一般要对21,x x 的大小作出规定,通常规定21x x <.（3）同区间性即21,x x 要属于同一个单调区间. 2.单调性、单调区间和单调函数如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做函数)(x f y =的单调区间.单调函数如果函数)(x f y =在整个定义域上具有单调性,那么就称函数)(x f y =为单调函数.对函数单调性和单调区间的理解:（1）区间D 必为函数定义域I 的子集,即I D ⊆.所以单调性是函数的局部性质. （2）区间D 可以是整个定义域,此时函数为单调函数.如函数1+=x y 在整个定义域()+∞∞-,上是增函数,函数x y -=在整个定义域()+∞∞-,上是减函数.（3）区间D 可以是定义域的真子集.如函数2x y =在整个定义域()+∞∞-,上没有单调性,但在区间()0,∞-上是减函数,在区间()+∞,0上是增函数.（4）函数在某个区间上单调,但在整个定义域上不一定单调. 如函数xy 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但在整个定义域上不具有单调性（反比例函数的图象是不连续的）. （5）不是所有的函数都具有单调性.如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(,它的定义域是R ,但不具有单调性.（6）若函数)(x f 在区间D 上为增函数,则称区间D 为函数)(x f 的增区间;若函数)(x f 在区间D 上为减函数,则称区间D 为函数)(x f 的减区间.正确书写单调区间（1）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数x y 1=在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.（2）函数的单调性是对某个区间而言的.对于单独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性.因此在书写单调区间时,对区间端点的开闭不作要求,可以包括区间端点,也可以不包括.但对于函数式无意义的点,单调区间一定不能包括.单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021<-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121>--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x <,都有()()021>-x f x f ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x x x f x f ;⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()()[]02121<--x f x f x x ; ⇔任取[]b a x x ,,21∈,且21x x ≠,()()02121<--x f x f x x .3.常见函数的单调性确定函数的单调性,有一种方法叫做直接法:对于我们所熟悉的基本初等函数,如正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数等,可以直接利用它们的性质判断单调性.说明:（1）由单调函数的定义可知,一次函数为在R 上的单调函数（单调增函数或顶点减函数）.（2）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,所以:①当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数; ②当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数.例 1. 若函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且满足()()()321f f f <<,则函数)(x f 在()+∞,0上【】（A ）是增函数（B ）是减函数（C ）先增后减（D ）单调性不能确定解:函数单调性的定义强调了自变量的值21,x x 的任意性,仅凭区间内有限个函数值的大小关系,不能作为判断函数单调性的依据.选择【 D 】.提示:（1）判断函数的单调性时,不能根据21,x x 的两个特殊值,对函数的单调性进行判断;（2）若要说明函数)(x f 在某个区间上不是增函数（减函数）时,只需在该区间上找到两个自变量的值21,x x ,证明当21x x <时,)(1x f ≥)(2x f （)(1x f ≤)(2x f ）成立即可.例2. 下列说法中正确的个数为:①定义在()b a ,上的函数)(x f ,如果有无穷多个()b a x x ,,21∈,当21x x <时,有()()21x f x f <,那么)(x f 在()b a ,上为增函数;②如果函数)(x f 在区间1I 上为减函数,在区间2I 上也为减函数,那么)(x f 在区间1I 2I 上就一定是减函数;③对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()02121<--x x x f x f 时,)(x f 在()b a ,上是减函数;④对任意的()b a x x ,,21∈,且21x x ≠,当()()()[]02121>--x f x f x x 时, )(x f 在()b a ,上是增函数.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ①不正确,函数单调性的定义强调了21,x x 的任意性,“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”;②不正确,一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“ ”连接,而应该用“和”或“,”连接.以反比例函数xy 1=为例,函数在区间()0,∞-和()+∞,0上都是减函数,但不能认为函数xy 1=的减区间为()0,∞- ()+∞,0,其单调减区间在书写时应该写成“()0,∞-和()+∞,0”或“()0,∞-,()+∞,0”.③正确, 因为()()02121<--x x x f x f ,等价于()()⎩⎨⎧>-<-002121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<->-002121x f x f x x ,所以()()⎩⎨⎧><2121x f x f x x 或()()⎩⎨⎧<>2121x f x f x x ,即)(x f 在()b a ,上是减函数;④正确,同③.故正确的结论有两个.选择【 B 】.例3. 下列四个函数中,在()+∞,0上为增函数的是【】（A ）x x f -=3)( （B ）x x x f 3)(2-= （C ）x x f 2)(= （D ）xx f 1)(=解:对于函数x x f -=3)(,因为01<-=k ,所以其图象在R 上从左到右是下降的,为R 上的单调减函数,在()+∞,0上肯定也是减函数;对于函数49233)(22-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x f ,在 ⎝⎛⎥⎦⎤23,0上为减函数,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上为增函数;对于函数x x f 2)(=,因为02>=k ,所以其图象在R 上从左到右是上升的,为R 上的增函数,在()+∞,0上肯定也是增函数; 对于函数xx f 1)(=,在()+∞,0上为减函数. 综上,选择【 C 】.注意:（1）对于一次函数()0≠+=k b kx y ,当0>k 时,在R 上单调递增;当0<k 时,在R 上单调递减.（2）对于反比例函数()0≠=k xky ,当0>k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递减;当0<k 时,在()0,∞-和()+∞,0上单调递增.（3）在确定二次函数()02≠++=a c bx ax y 的单调性时,常把二次函数化为顶点式()k h x a y +-=2()0≠a ,当0>a 时,在](h ,∞-上为减函数,在()+∞,h 上为增函数,当0<a 时,在](h ,∞-上为增函数,在()+∞,h 上为减函数. 应熟练掌握以上常见函数的单调性.4.定义法判断和证明函数的单调性用定义法判断函数单调性的一般步骤:取值、作差、变形、判号、定论. （1）取值设21,x x 是给定区间上的任意两个值,且21x x <; （2）作差计算()()21x f x f -;（3）变形对()()21x f x f -进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、通分、有理化等;（4）判号即判断()()21x f x f -的符号,当符号不确定时,需要进行分类讨论; （5）定论根据函数单调性的定义得出结论,即确定函数在给定区间上的单调性. 在以上步骤中,作差是基础,变形是关键,判号是目的.例4. 讨论函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上的单调性. 分析:对于一些简单的具体函数,常用定义法确定函数的单调性.定义法分为取值、作差、变形、判号和定论五步. 解:任取()+∞∈,2,21x x ,且21x x <,则有:()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-21212211214444x x x x x x x x x f x f ()()()()()21212121212112214414x x x x x x x x x x x x x x x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=∵()+∞∈,2,21x x ,且21x x < ∴04,0,0212121>-<->x x x x x x ∴()()04212121<--x x x x x x ,即()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f <∴函数函数xx x f 4)(+=在()+∞,2上为增函数.例5. 求函数()01)(>+=x xx x f 的单调区间. 解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有:()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-22112111x x x x x f x f()()()()()2121212121211221212111111x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x --=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x <∴0,02121<->x x x x ,对()121-x x 的符号的判断,分为两种情况: ①当()1,0,21∈x x 时,1021<<x x ,∴0121<-x x ∴()()021>-x f x f ,即()()21x f x f > ∴函数xx x f 1)(+=在()1,0上为减函数; ②当)[∞+∈,1,21x x 时,121>x x ,∴0121>-x x ∴()()021<-x f x f ,即()()21x f x f <∴函数xx x f 1)(+=在)[∞+,1上为增函数. 综上所述,函数()01)(>+=x x x x f 的单调递减区间为()1,0,单调递增区间为)[∞+,1.注意:（1）变形后若结果中的某一项的符号不能确定,则应进行分类讨论.（2）对于()021>-p p x x 的符号的判断,可取21x x =,由021=-p x x 得到临界数p x x ±==21.5. 对勾函数及其单调性形如xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的函数,称为对勾函数. 对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）在](p -∞-,和)[∞+,p 上为增函数,在()0,p -和()p ,0上为减函数.对勾函数有两条渐近线,一条是y 轴（0≠x ,图象无限接近于y 轴,但不相交）,另一条是直线x y =（当x 趋近于无穷大时,xp趋近于0,y 趋近于x ,因为0≠x p ,所以x y ≠）.对勾函数xpx y +=（0>p ,且p 为常数）的图象如下图所示.)如例4中的函数x x x f 4)(+=和例5中的函数xx x f 1)(+=都是对勾函数.例6. 讨论函数1)(2-=x axx f 在()1,1-上的单调性,其中a 为非零常数. 分析:本题函数解析式中含有参数a ,若变形后结果的符号不能确定,则需要对a 的符号进行讨论.解:任取()1,1,21-∈x x ,且21x x <,则有:()()()()()()111111222121222122221121-----=---=-x x x ax x ax x ax x ax x f x f ()()()()11122212112--+-=x x x x x x a∵()1,1,21-∈x x ,且21x x <∴01,01,01,022212112<-<->+>-x x x x x x ∵a 为非零常数,∴分为两种情况:①当0>a 时,()()021>-x f x f ,∴()()21x f x f > ∴()x f 在()1,1-上是增函数;②当0<a 时,()()021<-x f x f ,∴()()21x f x f < ∴()x f 在()1,1-上是减函数.6. 单调函数的运算性质利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性,则在区间D 上具有以下性质: （1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性. （2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时,)(x af 与)(x f 具有相同的单调性;当0<a 时,)(x af 与)(x f 具有相反的单调性.（4）若)(x f ≥0,则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值,则当0>a 时,)(x f 与)(x f a具有相反的单调性;当0<a 时,)(x f 与)(x f a具有相同的单调性. （6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:7. 复合函数的单调性对于复合函数))((x g f y =,其单调性如下表所示,简记为“同增异减”:确定复合函数单调性的步骤: （1）求出复合函数的定义域;（2）分解复合函数为几个基本初等函数; （3）判断每一个分解函数的单调性;（4）根据复合函数单调性的确定方法确定函数的单调性.例7. 求函数228)(x x x f --=的单调区间.分析:在确定函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则. 解:由题意可知:228x x --≥0,解之得:4-≤x ≤2. ∴函数)(x f 的定义域为[]2,4-. 设u y =,228x x u --=∴()912++-=x u ,其单调增区间为](1,-∞-,单调减区间为()+∞-,1∴函数)(x f 的单调增区间是[]1,4--,单调减区间是(]2,1-.例8. 已知函数)(x f 在定义域[)+∞,0上单调递减,求函数()21x f -的递减区间. 分析:判断复合函数的单调性时,要注意在定义域内进行. 解:∵函数)(x f 的定义域为[)+∞,0 ∴21x -≥0,解之得:1-≤x ≤1 ∴()21x f -的定义域为[]1,1-. 令21x u -=,则()()u f x f =-2121x u -=的单调递增区间为[]0,1-,单调递减区间为(]1,0 ∴函数()21x f -的递减区间为[]0,1-.★例8. 已知函数32)(2--=x x x f ,)5()(2x f x g -=,试求()x g 的单调区间. 分析:求复合函数的单调区间的方法是“同增异减”.函数()25x f -可以看成是由25x t -=与32)(2--=t t t f 复合而成的. 解:令25x t -=,则32)(2--=t t t f .()4132)(22--=--=t t t t f 在(]1,∞-上单调递减,在[)+∞,1上单调递增由25x -≥1得:x ≤2-或x ≥2;由25x -≤1得:2-≤x ≤2 函数25x t -=在(]0,∞-上单调递增,在[)+∞,0上单调递减∴函数()x g 的单调递增区间为[]0,2-和[)+∞,2;单调递减区间为(]2,-∞-和[]2,0.xt +∞∞例9. 函数541)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________.分析:先求出函数)(x f 的定义域,在其定义域内确定单调递增区间.解:由题意可知:0542≠--x x ,解之得:1-≠x 且5≠x ∴函数)(x f 的定义域为()()()+∞--∞-,55,11, . 函数541)(2--=x x x f 是由函数ty 1=和函数542--=x x t 复合而成的. 函数ty 1=在()0,∞-和()+∞,0上单调递减函数542--=x x t 在(]2,∞-上单调递减,在[)+∞,2上单调递增 ∴函数)(x f 的单调递增区间为()1,-∞-和(]2,1-.注意:若函数的定义域内不包含某端点,则该端点必须表示为开区间.例10. 已知函数)(x f y =在R 上是减函数,则()3-=x f y 的单调减区间是【】（A ）()+∞∞-, （B ）[)+∞,3 （C ）[)+∞-,3 （D ）(]3,∞-分析:本题涉及到绝对值函数x x f =)(,其图象如下图所示.把函数x x f =)(的图象向右平移3个单位长度,即可得到函数3-=x y 的图象.3f (由图象可知,函数3-=x y 在(]3,∞-上为减函数,在[)+∞,3上为增函数. 雅慧,你要掌握绝对值函数图象的特征.解:函数()3-=x f y 可以看成是由函数3-=x t 和函数)(t f y =复合而成的. 由题意可知,函数)(t f y =在R 上为减函数. 函数3-=x t 的单调增区间为[)+∞,3∴由复合函数的单调性可知,函数()3-=x f y 的单调减区间为[)+∞,3.选【 B 】.8.抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数. 判断抽象函数单调性的方法:（1）凑凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .例11. 已知函数)(x f 对于任意的∈y x ,R ,总有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,()0<x f .求证:)(x f 在R 上为减函数.分析:本题为“和型”抽象函数问题.注意到条件“当0>x 时,()0<x f ”,若设21x x <,则012>-x x ,所以()012<-x x f .这样就充分利用了题目所给的条件. 证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()0<x f ∴()012<-x x f ,∴()()()()()()()()0)(121112111212<-=-+-=-+-=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上为减函数.注:本题也可以这样变形:()()()()()()()()0)(121121112121>--=---=+--=-x x f x f x x f x f x x x f x f x f x f ∴()()21x f x f >例12. 已知函数)(x f 对于任意的∈b a ,R ,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,()1>x f .求证:)(x f 是R 上的增函数.证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∵当0>x 时,()1>x f ∴()112>-x x f ,∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f ∴()()21x f x f < ∴)(x f 是R 上的增函数.例13. 设)(x f 是定义在R 上的函数,对∈n m ,R ,恒有()()()n f m f n m f ⋅=+,（()()0,0≠≠n f m f ）,且当0>x 时,()10<<x f . （1）求证1)0(=f ;（2）求证∈x R 时,恒有0)(>x f ; （3）求证)(x f 在R 上是减函数.分析:（1）通过赋值求)0(f ;（2）通过()()()1)()0(=-⋅=-+=x f x f x x f f 证明0)(>x f ;（3）利用单调性的定义证明函数)(x f 的单调性.（1）证明:令0=m ,则有()()()n f f n f ⋅=+00 ∴()()()n f f n f ⋅=0 ∵()0≠n f ∴1)0(=f ;（2）令0<x ,则0>-x ∵当0>x 时,()10<<x f ∴()10<-<x f∵()()()()1)(0=-⋅=-+=x f x f x x f f ∴()()01>-=x f x f 综上,∈x R 时,恒有0)(>x f ;（3）任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x ∴()1012<-<x x f∴()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-()()()()()[]11211112--=-⋅-=x x f x f x f x f x x f∵∈x R 时,恒有0)(>x f ,()1012<-<x x f ∴()()01,0121<-->x x f x f ∴()()012<-x f x f ∴()()21x f x f > ∴)(x f 在R 上是减函数.例14. 已知定义在()+∞,0上的函数)(x f 对任意()+∞∈,0,y x ,恒有()()()y f x f xy f +=,且当10<<x 时,0)(>x f ,判断函数)(x f 在()+∞,0上的单调性.分析:本题为“积型”抽象函数问题.注意到条件“当10<<x 时,()0>x f ”,任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则1021<<x x ,所以021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .这样就充分利用了题目所给的条件.解:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有1021<<x x ∵当10<<x 时,0)(>x f∴021>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0212212221221>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减.例15. 定义在()+∞,0上的函数)(x f ,满足()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）,且当1>x 时,()0>x f . （1）求()1f 的值;（2）求证:()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;（3）求证:)(x f 在()+∞,0上是增函数; （4）若()12=f ,解不等式()()222>-+x f x f ;（5）比较⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f 与()()2n f m f +的大小. （1）解:令1==n m ,则由题意可知:()()()1111f f f +=⨯ ∴()01=f ;（2）证明:∵()()()n f m f mn f +=（0,>n m ）∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n m f n f n m n f m f ∴()()n f m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛;证法二:由（1）可知:()01=f∴()011=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅n f n f n n f ∴()n f n f -=⎪⎭⎫⎝⎛1∴()()()n f m f n f m f n m f n m f -=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛11. （3）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则有112>x x ∵当1>x 时,()0>x f∴012>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f .∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数;（4）解:∵()12=f （利用函数的单调性解不等式） ∴()()()()()24222222==⨯=+=f f f f f ∵()()222>-+x f x f∴()422f x x f >⎪⎭⎫⎝⎛+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>+422022xx xx ,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x ; 解法二:∵()()222>-+x f x f ∴()()()422f x f x f +>+ ∴()()x f x f 82>+∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+xx x x 820802,解之得:720<<x∴不等式()()222>-+x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<720x x .（5）()()()mn f n f m f 212=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+222122212n m f n m f n m f n m f ∵2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m mn n m ≥0（这里在作差比较22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 与mn 的大小）当且仅当n m =时取等号.∴22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m ≥mn ∵函数)(x f 在()+∞,0上是增函数∴⎪⎭⎫⎝⎛+2n m f ≥()()2n f m f +.例16. 已知函数()x f y =的定义域为R ,且221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,对任意∈n m ,R ,都有1)()()(-+=+n f m f n m f ,当21->x 时,()0>x f .（1）求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值;（2）求证()x f y =在定义域R 上是增函数.分析:本题第（2）问具有较大的难度,前面提到判断抽象函数的单调性时,要凑定义或凑已知,即要充分利用题目所给的条件.条件“当21->x 时,()0>x f ”不好利用,若设∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ,∴212112->--x x ,02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f .（1）解:∵221=⎪⎭⎫⎝⎛f ,∴()31221212121211=-+=-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f f ∴()112112121-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f f ∴()0132112121=+-=+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ; （1）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则有012>-x x∵当21->x 时,()0>x f ,∴212112->--x x ,∴02112>⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()02122211121211212111212121212>⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x f x x f f x x f x x f x x f ∴()()21x f x f <∴()x f y =在定义域R 上是增函数.9. 图象法确定函数的单调性（适用于比较容易画出图象的函数）一般通过已知条件作出函数图象的草图,若函数的图象在某个区间从左到右上升,则函数在这个区间上是增函数;若函数的图象在某个区间上从左到右下降,则函数在这个区间上是减函数.虽说是画出函数图象的草图,但还是要注意画图的准确性,如正确画出函数图象上的一些关键点.例17. 已知函数4)(-=x x x f .（1）在坐标系内画出函数()x f 的大致图象; （2）指出函数()x f 的单调递减区间.分析:函数()x f 为含有绝对值的函数,先转化为分段函数的形式,再分段作图.解:（1）4)(-=x x x f ()()⎩⎨⎧<+-≥-=444422x x x x x x ,其大致图象如下图所示;xy–1123456–1–21234（2）由图象可知,函数()x f 的单调递减区间为[]4,2.当然了,这是用几何画板软件绘制的图象,手画草图如图所示. 例18. 画出函数322++-=x x y 的图象,并指出函数的单调区间.解:()()⎩⎨⎧<+--≥++-=++-=03203232222x x x x x x x x y ,其图象如下页图所示.由图象可知,函数322++-=x x y 的单调递增区间是(]1,-∞-和[]1,0,单调递减区间是[]0,1-和[)+∞,1.xyO–1–2–3–41234–1–212345例19. 求函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.分析:用图象法确定函数32)(2-+=x x x f 的单调区间.由函数图象的翻折变换:要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可解:先作出函数322-+=x x y 的图象,然后保留其在x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方,即可得到函数32)(2-+=x x x f 的图象,如下图所示.由图象可知,函数32)(2-+=x x x f 的单调递增区间是[]1,3--和[)+∞,1;单调递减区间是(]3,-∞-和[]1,1-.xyOf x () = x 2 + 2∙x 3–1–2–3–4123–1–2–3–41234例20. 求函数()21-++=x x x f 的单调区间.解:()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=-+--=-++=2122131122121x x x x x x x x x x f ,其图象如图所示.+ 1 + x 2由图象可知,函数()21-++=x x x f 的单调递减区间为(]1,-∞-,单调递增区间为[)+∞,2.10. 性质法确定函数的单调性利用单调函数的运算性质,可以方便、快捷地确定某些由几个基本初等函数构成的函数的单调性.)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:例21. 求函数()034)(3<+-=x x x x x f 的单调区间. 解:()03434)(23<+-=+-=x xx x x x x f ∵函数42-=x y 与函数xy 3=在()0,∞-上都是减函数 ∴函数xx x x f 34)(3+-=在()0,∞-上是减函数.∴函数()034)(3<+-=x xx x x f 的单调递减区间为()0,∞-,无增区间.例22. 求函数x x y 23-=的单调区间.解:函数xx y 23-=的定义域为()()+∞∞-,00, .∵函数x y 3=与函数xy 2-=在()0,∞-和()+∞,0上均为增函数∴函数x x y 23-=在()0,∞-和()+∞,0上是增函数∴函数xx y 23-=的单调递增区间为()0,∞-和()+∞,0,无减区间.11. 判断函数单调性的方法总结判断或证明函数的单调性的方法有: （1）定义法; （2）直接法; （3）图象法; （4）性质法.判断抽象函数单调性的方法:（1）凑凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. 注意①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ,判断符号时要变形为:()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ,判断符号时要变形为:()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=- 或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .12.一道有代表性的判断函数单调性的题目例23. 求函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调区间. 分析:先确定函数的定义域,记住“定义域优先”的原则. 解法一:函数bx ax x f ++=)(的定义域为()()+∞--∞-,,b b . 任取()+∞-∈,,21b x x ,且21x x <,则有:()()()()()()()()()()()()b x b x x x b a b x b x b x a x b x a x bx a x b x a x x f x f ++--=++++-++=++-++=-2112211221221121.∵21,0x x b b a <<->>∴()0,0,0,021112>+>--=+>->-b x b x b x x x b a ∴()()021>-x f x f ∴()()21x f x f >∴函数()x f 在()+∞-,b 上为减函数,即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()+∞-,b ;同理可证函数()x f 在()b -∞-,上为减函数. 综上所述,函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 解法二:（利用单调函数的运算性质）bx ba b x b a b x x f +-+=+-++=1)(,函数的定义域为()()+∞--∞-,,b b ∵0>>b a ,∴0>-b a∴函数b x ba y +-=在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数 ∴函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在()b -∞-,和()+∞-,b 上为减函数即函数()0)(>>++=b a bx ax x f 的单调递减区间为()b -∞-,和()+∞-,b . 注意:本题中函数b x b a y +-=和函数()0)(>>++=b a b x ax x f 在相同的单调区间()b -∞-,和()+∞-,b 上具有相同的单调性.例24. 已知()a x ax xx f ≠-=)(. （1）若2-=a ,试证明)(x f 在()2,-∞-上单调递增; （2）若0>a 且)(x f 在()+∞,1内单调递减,求a 的取值范围. 解:（1）当2-=a 时2212222)(+-=+-+=+=x x x x x x f ,函数的定义域为()()+∞-∞-,22, . ∵函数22+-=x y 在()2,-∞-上单调递增∴函数2)(+=x xx f 在()2,-∞-上单调递增;（2）ax aa x a a x a x x x f -+=-+-=-=1)( ∵0>a ,∴函数a x ay -=在()a ,∞-和()+∞,a 上为减函数∴函数a x xx f -=)(在()a ,∞-和()+∞,a 上单调递减∵)(x f 在()+∞,1内单调递减 ∴a <0≤1,即a 的取值范围为(]1,0.知识点二函数的最值 1.函数的最大（小）值的定义2.对最值的理解（1）最值指的是函数值,即存在一个自变量0x ,使得()0x f 等于最值;（2）对于定义域内的任意一个x ,都有)(x f ≤()0x f 或)(x f ≥()0x f .“任意”两个字不可以省略;（3）使函数取得最值的自变量的值可能不止一个;（4）函数的最值是函数值域的元素.反映的是函数的整体性质（定义域内）,具有非常明显的几何意义;（5）函数)(x f 的最大值记作max )(x f ,最小值记作min )(x f . 3.函数的最值和值域的关系（1）联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域,而函数的单调性反映的却是函数的局部性质. （2）区别:①函数的值域一定存在,但函数的最值不一定存在;（另外,在定义域上,函数可能既没有最大值,也没有最小值;可能有最大值,但没有最小值;可能有最小值,但没有最大值）②函数的最值若存在,则最值是值域的元素;③若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.由以上函数的最值和值域的关系,我们可以可以函数的值域来确定函数的最值. 3.求函数最值的常用方法（1）单调性法; （2）图象法.4.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递增,在区间[]c b ,上单调递减,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最大值)()(max b f x f =.如下页图所示;（2）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如下页图所示.f x ()max = f b ()f x ()min = f b ()知识点三二次函数的最值问题求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一闭区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧若m abx <-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内若m ≤a b2-≤n ,则)(x f 的最小值为a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线abx 2-=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧若n abx >-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤ab2-≤n 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2min-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:区间[]n m ,的中点为2nm +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2nm +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;②当a b n m 22-<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.二次函数的最值的图象说明对称轴在区间的左侧对称轴在区间的右侧对称轴在区间内靠近左端点对称轴在区间内靠近右端点常见的二次函数最值问题类型类型1 定轴定区间例25. 已知函数5123)(2+-=x x x f ,当自变量在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.（1）R ; （2）[]3,0; （3）[]1,1-分析:这是定轴定区间上的最值问题,应结合抛物线的开口方向和对称轴的位置进行解答,在必要时可画出函数图象的简图来辅助解答.对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ,当0>a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递减,在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a b 上单调递增;当0<a 时,在 ⎝⎛⎥⎦⎤-∞-a b 2,上单调递增,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上单调递减.解:()7235123)(22--=+-=x x x x f（1）当∈x R 时,函数的最小值为()()72min -==f x f ,无最大值; （2）当∈x []3,0时,对称轴2=x 在区间[]3,0内,且32230<<+,所以函数在0=x 时取得最大值,最大值为()()50max ==f x f ;在2=x 时取得最小值,最小值为7-; （3）当∈x []1,1-时,函数在区间[]1,1-上为减函数,所以()()201max =-=f x f ,()()41min -==f x f .类型二动轴定区间例26. 已知函数22)(2+-=ax x x f ,[]1,1-∈x ,求函数)(x f 的最小值.分析:本题抛物线的开口方向确定,对称轴不确定,需要根据对称轴与定区间的相对位置关系进行讨论,必要时画出函数图象的简图,用数形结合思想解决问题. 解:()222222)(a a x ax x x f -+-=+-=,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.当1-<a 时,函数()x f 在[]1,1-上是增函数,所以()()321min +=-=a f x f ; 当1-≤a ≤1时,()()2min 2a a f x f -==;当1>a 时,函数()x f 在[]1,1-上是减函数,所以()()321min +-==a f x f .综上所述,函数)(x f 的最小值为()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=132112132)(2min a a a a a a x f .例27. 求函数12)(2--=ax x x f 在区间[]2,0上的最大值和最小值.解:()112)(222---=--=a a x ax x x f ,其图象的开口方向向上,对称轴为直线a x =.（1）当0<a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是增函数,所以1)0()(min -==f x f ,()()342max +-==a f x f ;（2）当0≤a ≤2时,()()12min --==a a f x f : ①若0≤a ≤1220=+,则()()342max +-==a f x f ; ②若1＜a ≤2,则()()10max -==f x f .（3）当2>a 时,函数()x f 在区间[]2,0上是减函数,所以34)2()(min +-==a f x f ,()()10max -==f x f .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=234201012mina a a a a x f ,()()()⎩⎨⎧>-≤+-=11134maxa a a x f . 类型三定轴动区间例28. 求函数22)(2+-=x x x f 在区间[]1,+t t 上的最小值()t g . 解:()1122)(22+-=+-=x x x x f ,其开口方向向上,对称轴为直线1=x .当1>t （此时对称轴在给定区间的左侧）时,函数()x f 在区间[]1,+t t 上为增函数,所以()()222+-==t t t f t g ;当t ≤1≤1+t ,即0≤t ≤1时,()()11==f t g ;当11<+t ,即0<t 时,函数()x f 在[]1,+t t 上为减函数,所以()()112+=+=t t f t g .综上所述,()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110112222t t t t t t t g .例29. 若函数34)(2-+-=x x x f 的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-,则实数t 的取值范围是【】（A ）(]4,0 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 （C ）[)+∞,2 （D ）[]4,2分析:若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则函数的最值在值域的端点处取得.解:()1234)(22+--=-+-=x x x x f ,其图象开口向下,对称轴为直线2=x .当2=x 时,1=y ;当3342-=-+-x x 时,4,021==x x . ∵函数的定义域为[]t ,0,值域为[]1,3-∴2≤t ≤4,即实数t 的取值范围是[]4,2.选择【 D 】.类型四动轴动区间例30. 求函数()a x x y --=在∈x []a ,1-上的最大值.分析:本题要结合对称轴（含参数）与给定闭区间（含参数）之间的相对位置关系进行讨论,并结合函数的单调性确定最大值.解:()4222a a x a x x y +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=,其图象开口向下,对称轴为直线2a x =. 由题意可知:1->a .（区间的左端点必小于右端点）（见区间的表示）当12-≤a,即2-≤a 时,与1->a 矛盾,舍去; 当21a <-≤a ,即a ≥0时,422max a a f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=;当a a>2,即01<<-a 时,函数在区间[]a ,1-上是增函数,所以()0==a f y mzx .综上所述,()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≥=010042maxa a ay . 例31. 已知函数12)(2++=ax ax x f 在区间[]2,1-上有最大值4,求实数a 的值. 分析:本题未指明函数是二次函数,所以要对a 是否等于0展开讨论.二次函数)(x f 的对称轴为直线122-=-=aax ,对称轴在区间[]2,1-的左侧,但抛物线的开口方向不确定,取得最大值的条件也就不确定,所以还要对a 的符号进行讨论. 解:当0=a 时,1)(=x f ,不符合题意,舍去;当0≠a 时,函数12)(2++=ax ax x f 为二次函数,其对称轴为直线122-=-=aax . ∵函数在[]2,1-上有最大值4 ∴分为两种情况:①当0>a 时,函数在区间[]2,1-上为增函数 ∴()()41442max =++==a a f x f ,解之得:83=a ; ②当0<a 时,函数在区间[]2,1-上为减函数 ∴()()4121max =+-=-=a a f x f ,解之得:3-=a .综上所述,实数a 的值为83或3-.知识点四求函数最值的方法求函数最值的常用方法有:（1）配方法主要用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围. （2）换元法用换元法时一定要注意新元的取值范围. （3）图象法即数形结合的方法.（4）单调性法利用函数的单调性求最值的方法,要注意函数的单调性对函数最值的影响. 利用函数的单调性求最值例32. 求函数xx x f +=1)(的最小值.解:由题意可知函数的定义域为()+∞,0.。

高考数学一轮总复习课件：函数的单调性和最值

时，此函数均为减函数，故单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，
－1)．
(2)由11－＋xx≥0，得x∈(－1，1]，此即为单调递减区间．
5．函数f(x)＝log 1 (－2x2＋x)的单调增区间是_14_，__12____；f(x)
2
的值域是_[_3_，_＋__∞_) _．
6．函数y＝ x＋ x＋4的最小值是____2____．
【解析】由题设知，当x<1时，f(x)单调递减；当x≥1 时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，所以f32＝f1＋12＝f1－12 ＝f12，
又13<12<23<1，所以f13>f12>f23，即f13>f32>f23.
状元笔记利用单调性可以比较函数值的大小，但需将各自变量的值化到同一单调区间中．
【解析】 (1)f(x)＝x42－－x42（（x－≥22<或x<x2≤）－，2），其图象如图所示，
∴函数f(x)的单调递增区间为[－2，0]，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2]，[0，2]．
(2)令u＝3－2x－x2，则y＝log0.3u. ∵u>0，∴－3<x<1，且当x∈(－3，－1]时，u为增函数，当 x∈[－1，1)时，u为减函数，又y＝log0.3u在(0，＋∞)上为减函数，故f(x)的单调递增区间为[－1，1)，单调递减区间为(－3，－1]．
方法二：对f(x)＝ x2＋1－2x求导，得f′(x)＝12· x22x＋1－2＝ x2x＋1－2， ∵x≥0，∴ x2x＋1<1，∴f′(x)<0. 故f(x)在[0，＋∞)上是减函数．【答案】证明见解析
题型三单调性的应用(微专题)

函数的单调性与最值课件高三数学一轮复习

3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
第2课时函数的单调性与最值
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
1
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

(× )
(2)若函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f (x)的单调递增区间是[1，
(1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k＞0，则kf (x)与f (x)单调性相同；若k＜0，则kf (x)与f (x)单调性相反；
1

(3)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝
的单调性相反；
(4)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
2
5
－
－2
2
－，f
5
2
在区间[2，6]上单调递增，所以f
1−
[可判断函数f (x)＝
(x)min＝f (2)＝－2．]
(x)max＝f (6)＝
第2课时
第2课时函数的单调性与最值
函数的单调性与最值
典例精研核心考点
考点一确定函数的单调性(单调区间)
考向1 图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]
第2课时函数的单调性与最值
考向2
a 1+
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]
[解]

高考数学一轮复习讲义第二章 2.3 函数的单调性与最值课件

∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1， ∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
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(3)解任取 1≤x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
x21＋x11＋＋x2x22＋1－a，
∵f(x)单调递增，所以 f(x1)－f(x2)<0.
(1)对于任意 x∈I，都有 (3)对于任意 x∈I，都有
条件
f(x)≤M；
f(x)≥M
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0) (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)
＝M
＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
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[难点正本疑点清源] 1．函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；
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如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3．单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
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函数单调性的判断及应用
例 1 已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax，其中 a>0. (1)若 2f(1)＝f(－1)，求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数 f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求 a 的取值范围．

高三数学一轮复习第二章函数函数的单调性与最值课件文

和准确的效果.
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x∈I,使得f(x)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
1.(2011年浙江宁海模拟)四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 (
)
(A)y=-log2x.
1 x (C)y=( ). 2
(4)判断函数单调性的方法: ①定义证明抽象函数的单调性. ②概念分析法:利用x增大,逐步推出函数值y是增大还是减少来判断函数的单调性. ③导数法.
④函数图象法(涉及平移,对称问题等). ⑤复合函数的单调性.
⑥函数的性质法. 2.函数的最值
(1)函数的最大值的定义: 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; ②存在x∈I,使得f(x)=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值. (2)函数的最小值的定义:
1.函数的单调性 (1)函数的单调性定义: 一般地,设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x
2
时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x
)
3 【解析】函数f(x)的对称轴为x= ,开口向上, 2
∴f(x)在[2,4]上为增函数, ∴f(x)max=f(4)=16-12=4,故选B. 【答案】B
1.定义法与导数法均可以用来判断函数的单调性,定义法可以分析
抽象函数的单调性,如果能求导,导数法对函数的单调性分析更加形
象直观,也比较简洁,显示出导数的优越性. 2.只要把握住了函数的单调性或者单调区间,那就可以分析函数的值域与最值. 3.复合函数的单调性的性质与判定,对解决某些问题可以起到迅速

高考一轮复习新课标数学(理)配套教材：2.2 函数的单调性与最大(小)值

§2.2函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.掌握简单函数单调性的判断和证明方法.3.能将函数单调性、最大(小)值的定义、图象、求导等紧密结合，并能综合应用，解决函数单调性问题.函数的单调性、最值一直是高考的热点.1.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是.(2)单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做y＝f(x)的.2.函数的最值(1)最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值.(2)最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：①对于任意的x∈I，都有；②存在x0∈I，使得.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值.【自查自纠】1.(1)①任意两个增函数②任意两个减函数(2)单调性单调区间2.(1)①f(x)≤M②f(x0)＝M(2)①f(x)≥m②f(x0)＝m(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12xD．y＝x＋1x解：易知选项中4个函数均在区间(0，＋∞)上有意义，由y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)可知：y ＝ln(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数．故选A.若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0解：当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C.下列区间中，函数f(x)＝||ln（2－x）在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43C.⎣⎡⎭⎫0，32D．[1，2)解：f(x)的定义域为(－∞，2)，f(1)＝0，当x∈[1，2)时，f(x)＝－ln(2－x)，由复合函数的单调性特征知f(x)为增函数．故选D.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是____________.解：f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.∵u＝2x＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，且u∈(0，＋∞)，y＝log5u在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增．故填⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.(2012·上海)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数).若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________.解：图象法，根据函数f(x)＝e|x-a|＝⎩⎪⎨⎪⎧e x-a，x≥a，e-x+a，x＜a.画出函数f(x)的图象如图所示，由图象知当x≥a 时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a 的取值范围为(－∞，1]．故填(－∞，1]．类型一判断函数的单调性，求函数的单调区间(1)(2013·重庆模拟)求下列函数的单调区间：①y ＝－x 2＋2|x |＋3； ②y ＝1－x 2－3x ＋2； ③y ＝x 3－3x .解：①依题意，可得当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4. 由二次函数的图象知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]；单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．②由x 2－3x ＋2≥0，得x ≥2或x ≤1，设u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝1－u ，当x ∈(－∞，1]时，u 为减函数，当x ∈[2，＋∞)时，u 为增函数，而u ≥0时，y ＝1－u 为减函数．∴y ＝1－x 2－3x ＋2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[2，＋∞)．③y ′＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令y ′＞0，得x ＞1或x ＜－1，由y ′＜0，得－1＜x ＜1，∴y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1，1)．(2)证明f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上为单调增函数.证法一：(定义法)设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 1－x 22－1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 因为1＜x 1＜x 2，x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞2，x 1x 2＞1，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f (x )＝x 2＋1x(x ＞1)，所以f ′(x )＝2x －1x 2＝2x 3－1x2.又x ＞1，所以2x 3－1＞0且x 2＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝x 2＋1x在(1，＋∞)上是增函数．【评析】求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f (g (x ))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间；(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．特别注意：单调区间必为定义域的子集．(1)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是________.①f (x )＝sin x; ②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝log 12(x ＋3); ④f (x )＝|x ＋1|.解：结合函数性质及图象分析可知：①，④不满足题意．对于②，f ′(x )＝1－1x2，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，1)上递减；对于③，令u ＝x ＋3，在(0，1)上递增，而y ＝ log 12u 为减函数，由复合函数单调性知，f (x )＝log 12(x ＋3)在(0，1)上单调递减．综上可知，②③在(0，1)上为减函数．故填②③.(2)求证：函数f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数.证法一：(定义法)任取x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(x 31＋x 1)－(x 32＋x 2)＝(x 31－x 32)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋12x 22＋34 x 22＋1＜0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上是增函数．证法二：(导数法)因为f ′(x )＝3x 2＋1>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．类型二函数单调性的应用若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围.解：设u ＝x 2－ax ＋3a >0，且函数u 在⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞上是单调增函数．又y ＝log 2u 是单调增函数，根据复合函数的单调性，要使函数y ＝log 2(x 2－ax＋3a )在[2，＋∞)上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧[2，＋∞）⊆⎣⎡⎭⎫a 2，＋∞，u ＝x 2－ax ＋3a >0（x ∈[2，＋∞））恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u min ＝u （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，4－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4.所以实数a 的取值范围是(－4，4]．【评析】利用函数单调性讨论参数的取值范围一般要弄清三个环节：(1)考虑函数的定义域，保证研究过程有意义．本题中，不能忽视u ＝x 2－ax ＋3a >0； (2)弄清常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的关系．如本题中，⎣⎡⎭⎫a2，＋∞是单调增区间，[2，＋∞)是它的子集；(3)注意恒成立不等式的等价转化问题．是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2，4]上是单调增函数？证明你的结论.解：设u ＝ax 2－x >0.假设符合条件的a 存在．当a >1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调增函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，u min ＝u （2）＝4a －2＞0. 解得a >12，于是a >1；当0<a <1时，由复合函数的单调性知，只需u ＝ax 2－x 在[]2，4上是单调减函数，所以a 满足⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u ＝ax 2－x ＞0在[2，4]上恒成立.即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，u min ＝u （4）＝16a －4＞0，解得a ∈∅.综上，当a ∈(1，＋∞)时，函数f ()x ＝log a (ax 2－x )在区间[]2，4上是单调增函数．类型三抽象函数的单调性已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值.解：(1)证法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．证法二：在R 上任取x 1，x 2且x 1>x 2，则x 1－x 2＞0.则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3，3]上也是减函数，∴f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值分别为 f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2. 【评析】对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f （x 1）f （x 2）与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．另外，深挖已知条件，也是求解此类题的关键．(2013·南昌模拟)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2.解：(1)f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫x x ＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0. (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (6)＝f ⎝⎛⎭⎫366＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1， ∴f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.1.证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可运用函数单调性的定义，具体方法为差式比较法或商式比较法.注意单调性定义还有如下的两种等价形式：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么(1)f（x1）－f（x2）x1－x2＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；f（x1）－f（x2）x1－x2＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.需要指出的是(1)的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.2.函数单调性的判断(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；(4)复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f[g(x)]是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f[g(x)]是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.(5)在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程.3.函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m；(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.4.自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2).在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可以利用函数单调性的“可逆性”，脱去“函数符号f”，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.。

高三数学函数的单调性及最值知识点归纳.doc

高三数学函数的单调性及最值知识点归纳.doc高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点(一)单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1，x2 D，当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f(x)的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x I，都有f(x) ②存在x0 I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x I，都有f(x) ②存在x0 I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最小值判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法：(1)定义法：其步骤是：①任取x1，x2 D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

(2)复合法：利用基本函数的单调性的复合。

(3)图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

高三数学函数的单调性、最值知识点(二)函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。

注:在单调性中有如下性质(增函数) (减函数)(增函数)+ (增函数)= (增函数) (增函数)- (减函数)= (增函数) (减函数)+ (减函数)= (减函数) (减函数)- (增函数)= (减函数) 用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1 x22作差变形即求f(x1)-f(x2)，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x1)-f(x2)的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2 D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。

高考理科数学《函数的单调性与最大(小)值》课件

所以函数 y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单
调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(5)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单
调性．
解法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝（x1a－（1x）2－（xx12）－1），
解：先作出函数 y＝x2－4x＋3 的图象，由于绝对值的作用，把图象在 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y＝|x2－4x＋3|的图象，
如图所示．
由图可知 f(x)在(－∞，1]和[2，3]上为减函数，在[1，2]和[3，＋∞)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调
递减区间为(－∞，1]，[2，3]．
(5)已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax.证明：当 a≥1 时，
函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x12＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x112－＋x22x22＋1－a(x1－x2)
2
＝x2－3x＋2，y＝log1u(u>0)，由于内层函数 u＝x2－3x＋2
2
在 x∈(－∞，1)上单调递减，外层函数 y＝log1u 在 u∈(0，
2
＋∞)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 y＝log1(x2
2
－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选 A.
(3)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )

(广东专用)高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最大(小)值配套课件文

和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则．
(1) 函数 f(x) ＝ log5(2x ＋ 1) 的单调增区间是 ________． (2)用定义法判断函数 y＝ x2－1在定义域上的单调性．
1 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(－，＋∞)， 2 令 t＝2x＋1，因为 y＝log5t 在 t∈(0，＋∞)上是增函数，t＝ 1 2x＋1 在 x∈(－，＋∞)上为增函数，所以函数 f(x) 2 1 ＝log5(2x＋1)的单调递增区间为(－，＋∞)． 2 1 【答案】 (－，＋∞) 2
(2)函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，设 x1＜x2，则
2 f(x1)－f(x2)＝ x2 1－1－ x2－1 2 x2 － x 1 2 ＝ 2 2 x1－1＋ x2 －1
（x1－x2）（ x1＋x2）＝ . 2 2 x1－1＋ x2－1 ∵x1－x2＜0, x2 1－1＞0, x2 2－1＞0， ∴当 x1，x2∈(－∞，－1]时， x1＋x2＜0，
第二节
函数的单调性与最大(小)值
1．增函域为I，区间DI，如果对于
任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有： f(x1)＜f(x2) ； (1)f(x)在区间D上是增函数_____________ f(x1)＞f(x2) (2)f(x)在区间D上是减函数______________ ． 2．单调性、单调区间的定义增函数若函数 f(x) 在区间 D 上是 __________ 或减函数 __________ ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做单调区间 f(x)的 _____________．
1
【解析】 3 3 ＋ ≥ ， 4 4

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2010届高三一轮复习数学精品资料：2.3-函数的单调性与最大(小)值§2.3 函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数，则f (x )=0的根（）A .有且只有一个B .有2个C .至多有一个D .以上均不对答案C2.（2008·保定联考）已知f (x )是R 上的增函数，若令F （x ）=f （1-x ）-f （1+x ），则F （x ）是R 上的（）A .增函数B .减函数C .先减后增的函数D .先增后减的函数答案B3.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是（）A .［-3，-1］B .（-∞，-3］∪［-1，+∞）C .［1，3］D .（-∞，1］∪［3，+∞）答案 C4.函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，其中a 、b 、c ∈R ，则a 2-3b ＜0时，f (x )是（）A .增函数B .减函数C .常数函数D .单调性不确定的函数答案A5.（2009·成都检测）已知函数f (x )=x 2-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为（）A .［1，+∞）B .［0，2］C .（-∞，-2］D .［1，2］答案D例1 已知函数f (x )=a x +12+-x x (a ＞1).证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, 12x x a -＞1且1x a ＞0,∴0)1(12112>-=--x xx x x a a a a，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x＞0,于是f (x 2)-f (x 1)=12xx a a-+12121122+--+-x x x x＞0,故函数f (x )在（-1,+∞）上为增函数.方法二 f (x )=a x +1-13+x (a ＞1),求导数得)(x f '=a x ln a +2)1(3+x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a x ln a ＞0,2)1(3+x ＞0,)(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f (x )在（-1,+∞）上为增函数.方法三 ∵a ＞1,∴y =a x 为增函数，又y =13112+-+=+-x x x ，在（-1，+∞）上也是增函数.∴y =a x +12+-x x 在（-1，+∞）上为增函数. 例2 判断函数f (x )=12-x 在定义域上的单调性.解函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1}, 则f (x )=12-x ,可分解成两个简单函数.f (x )=)(,)(x u x u =x 2-1的形式.当x ≥1时，u (x )为增函数，)(x u 为增函数.∴f （x ）=12-x 在［1，+∞)上为增函数.当x ≤-1时，u （x )为减函数，)(x u 为减函数，∴f (x )=12-x 在（-∞,-1］上为减函数.例3 求下列函数的最值与值域：（1）y =4-223x x -+; (2)y =x +x4;(3)y =4)2(122+-++x x .解（1）由3+2x -x 2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t =3+2x -x 2=4-(x -1)2. ∴t ∈［0，4］，t∈［0，2］，从而，当x =1时，y min =2，当x =-1或x =3时，y max =4.故值域为［2，4］.(2)方法一函数y =x +x4是定义域为{x |x ≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x ＞0时,即可知x ＜0时的最值.∴当x ＞0时,y =x +x4≥2xx 4⋅=4，等号当且仅当x =2时取得.当x ＜0时，y ≤-4,等号当且仅当x =-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值. 方法二任取x 1,x 2,且x 1＜x 2, 因为f (x 1)-f (x 2)=x 1+14x -(x 2+24x )=,)4)((212121x x x x x x--所以当x ≤-2或x ≥2时，f (x )递增,当-2＜x ＜0或0＜x ＜2时，f (x )递减.故x =-2时，f (x )最大值=f (-2)=-4,x =2时， f (x )最小值=f (2)=4,所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （3）将函数式变形为y =2222)20()2()10()0(++-+-+-x x ,可视为动点M （x ,0）与定点A （0，1）、B （2，-2）距离之和，连结AB ，则直线AB 与x 轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.y min =|AB |=13)21()20(22=++-，可求得x=32时，y min =13.显然无最大值.故值域为［13，+∞）.例4 (12分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R,都有f (a +b )=f (a )+f (b )-1,并且当x ＞0时，f (x )＞1.（1）求证：f (x )是R 上的增函数；（2）若f (4)=5,解不等式f (3m 2-m -2)＜3.解（1）设x 1,x 2∈R ，且x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2-x 1)＞1.2分f (x 2)-f (x 1)=f ((x 2-x 1)+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-1-f (x 1)=f (x 2-x 1)-1＞0. 5分 ∴f （x 2）＞f (x 1).即f (x )是R 上的增函数. 6分（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3， 8分 ∴原不等式可化为f (3m 2-m -2)＜f (2),∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2-m -2＜2, 10分解得-1＜m ＜34,故解集为（-1,34）. 12分1.讨论函数f （x ）=x +xa （a ＞0）的单调性.解方法一显然f （x ）为奇函数，所以先讨论函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性，设x 1＞x 2＞0,则 f (x 1)-f (x 2) =（x 1+1x a ）-（x 2+2x a ）=(x 1-x 2)·（1-21x x a）.∴当0＜x 2＜x 1≤a 时，21x x a ＞1,则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f (x 1)＜f (x 2),故f （x ）在（0，a］上是减函数.当x 1＞x 2≥a时，0＜21x x a ＜1，则f （x 1）-f （x 2）＞0,即f (x 1)＞f (x 2),故f （x ）在［a，+∞）上是增函数.∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）分别在（-∞，-a］、［a ，+∞）上为增函数；f （x ）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数.方法二由)(x f '=1-2x a=0可得x =±a当x ＞a或x ＜-a时，)(x f '＞0∴f （x ）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数.同理0＜x ＜a或-a＜x ＜0时，)(x f '＜0即f （x ）分别在（0，a］、［-a，0）上是减函数. 2.求函数y =21log （4x -x 2）的单调区间.解由4x -x 2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t =4x -x 2，则y =21log t .∵t =4x -x 2=-（x -2）2+4，∴t =4x -x 2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y =21log t 在（0，+∞）上是减函数，∴函数y =21log （4x -x 2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).3.在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf （x ）=f （x +1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x -20x 2 (单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x +4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？解（1）P （x ）=R （x ）-C （x ）=（3 000x -20x 2）-（500x +4 000）=-20x 2+2 500x -4 000（x ∈［1，100］且x ∈N ,MP （x ）=P （x +1）-P （x ）=-20（x +1）2+2 500（x +1）-4 000-（-20x 2+2 500x -4 000） =2 480-40x （x ∈［1，100］且x ∈N ）.（2）P （x ）=-20(x -)21252+74 125，当x =62或63时，P (x )max =74 120（元）. 因为MP （x ）=2 480-40x 是减函数，所以当x =1时，MP (x )max =2 440(元）. 因此，利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）不具有相同的最大值.4.（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f (x )满足f ()21x x =f (x 1)-f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.（1）求f (1)的值；（2）判断f (x ）的单调性；（3）若f (3)=-1,解不等式f (|x |)＜-2.解（1）令x 1=x 2＞0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0. （2）任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＞x 2,则21x x ＞1,由于当x ＞1时，f (x )＜0,所以f )(21x x ＜0,即f (x 1)-f (x 2)＜0,因此f (x 1)＜f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）由f (21x x )=f (x 1)-f (x 2)得f ()39=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.由于函数f (x )在区间（0,+∞）上是单调递减函数，由f (|x |)＜f (9),得|x |＞9,∴x ＞9或x ＜-9.因此不等式的解集为{x |x ＞9或x ＜-9}.一、选择题1.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是（）A .（-∞,23］B .［23，+∞）C .（-1，23］ D .［23，4）答案D2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上（）A .至少有一实根B .至多有一实根C .没有实根D .必有惟一的实根答案D 3.函数y =lg(x 2+2x +m )的值域是R,则m 的取值范围是（）A .m ＞1B .m ≥1C .m ≤1D .m ∈R答案C4.函数f (x )(x ∈R)的图象如下图所示，则函数g (x )=f (log a x ) (0＜a ＜1)的单调减区间是（）A .［0,21］ B .（-∞,0）∪［21，+∞）C .［a,1］ D .［a,1+a ］答案C5.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x x x ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（）A .（0，1）B .（0，31）C .［71，31）D .［71，1）答案C6.已知函数f (x )=3-2|x |,g (x )=x 2-2x .构造函数y =F (x ),定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )=g (x );当f (x )＜g (x )时，F (x )=f (x ),那么F (x ) ( )A .有最大值3，最小值-1 B.有最大值3，无最小值 C .有最大值7-27，无最小值 D .无最大值，也无最小值答案 C二、填空题7.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .答案 (-)32,218.已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则-f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )=)(1x f 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ,b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间（a ,b ）上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ,b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则)()(x g x f 在（a ,b )上是递增函数.其中正确命题的序号是 . 答案 ① 三、解答题9.已知f (x )在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,试解不等式f (x )+f (x -8)≤2.解根据题意，由f (3)=1,得f (9)=f (3)+f (3)=2. 又f (x )+f (x -8)=f ［x (x -8)］,故f ［x (x -8)］≤f (9).∵f （x ）在定义域（0,+∞）上为增函数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤->->,9)8(080x x x x ，，解得8＜x ≤9.10.函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m +n )=f (m )+f (n ),且当x ＞0时有f (x )＞0.（1）求证：f (x )在（-∞,+∞)上为增函数；（2）若f (1)=1,解不等式f ［log 2(x 2-x -2)］＜2.（1）证明设x 2＞x 1,则x 2-x 1＞0.∵f (x 2)-f (x 1)=f (x 2-x 1+x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)+f (x 1)-f (x 1)=f (x 2-x 1)＞0, ∴f (x 2)＞f (x 1),f (x )在（-∞,+∞)上为增函数. （2）解 ∵f (1)=1,∴2=1+1=f (1)+f (1)=f (2).又f ［log 2(x 2-x -2)］＜2,∴f ［log 2(x 2-x -2)］＜f (2).∴log 2(x 2-x -2)＜2,于是⎩⎨⎧<-->--.060222x x x x ，∴⎩⎨⎧<<->-<,32,21x x x 或即-2＜x ＜-1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集为{x |-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}. 11.（2008·青岛调研）已知f (x )=ax x -(x ≠a ).（1）若a =-2,试证f (x )在（-∞,-2）内单调递增；（2）若a ＞0且f (x )在（1,+∞）内单调递减，求a 的取值范围.（1）证明任设x 1＜x 2＜-2,则f (x 1)-f (x 2)=.)2)(2()(22221212211++-=+-+x x x x x x x x∵(x 1+2）(x 2+2)＞0,x 1-x 2＜0,∴f (x 1)＜f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增.（2）解任设1＜x 1＜x 2,则f (x 1)-f (x 2)=.))(()(21122211a x a x x x a a x x a x x ---=---∵a ＞0,x 2-x 1＞0,∴要使f (x 1)-f (x 2)＞0,只需(x 1-a )(x 2-a )＞0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0＜a ≤1.12.已知函数y =f (x )对任意x ,y ∈R 均有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x ＞0时，f (x )＜0,f (1)=-32.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性；（2）求f (x )在［-3，3］上的最值. 解（1）f (x )在R 上是单调递减函数证明如下：令x =y =0,f (0)=0,令x =-y 可得：f (-x )=-f (x ),在R 上任取x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0, ∴f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1).又∵x ＞0时，f (x )＜0, ∴f (x 2-x 1)＜0,即f (x 2)＜f (x 1).由定义可知f (x )在R 上为单调递减函数.（2）∵f (x )在R 上是减函数，∴f （x ）在［-3，3］上也是减函数.∴f （-3）最大，f (3)最小.f (3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=3×（-)32=-2.∴f (-3)=-f (3)=2.即f (x )在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.。