《数列》章末目标测试题(A)

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数列章末测试题(周考)

第二章数列章末测试题（满分：100分时间：120分钟）姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知a n ＝cos n π，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列2.等差数列{a n }中，a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是（） A.15B.30C.31D.303.若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n=（）A ．13B ．14C ．15D ．14或15 4.若12+，a,b,c,12-成等比数列，则b=（） A ．1 B ．－1 C ．1± D ．21 5.已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有 57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A6.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8C ．15 D ．167.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9。

A ．98B ．99C ．96D ．978.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（）A ．1B ．0或32C ．32D ．5log 29.在等比数列｛n a ｝中，,60,482==n n S S 则n S 3等于（）63.62.27.26.D C B A10.数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n }为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.1211.如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )A ．2n ＋1－1B ．2n －1C ．2n －1D ．2n ＋112.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5+2a 3a 5+a 3a 7=25，则 a 3＋a 5＝______。

2015届高考数学第一轮复习第六章数列章末检测(新人教A版)

第六章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2013·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，则S 2 010等( ) A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 4．(2013·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．(2013·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．6 8．(2013·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2013·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π2 12．(2013·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )213．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．(2013·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2013·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2013·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设p ，q ∈N *，试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2013·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)(2013·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2013·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2013年底，将当地沙漠绿化了40%，从2013年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2. ∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.] 3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5， ∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.]4．B [因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，所以a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n＋3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.]6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式， ∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164.∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6， ∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7.故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，若tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－2tan B1－tan A tan C≠0，所以tan A tan C ＝3.又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.]12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．] 13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624. 14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.15．34 950解析由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.16．①②解析由S 6>S 7得a 7<0，由S 6>S 5得a 6>0，由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大．故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分) 解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9 ＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分) 18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12， ∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分)又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n.＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分)20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分)即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分)当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，② ①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分)在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分)∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解设该地区总面积为1,2013年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2013年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)．∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n.………………………………………………………………………(9分)∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12.∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。

数列测试题及答案

数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。

答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。

答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。

答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。

答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。

答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。

答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。

数列测试题及答案

数列测试题及答案数列测试题及答案数列测试题及答案：⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q，则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤．此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个．故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________．解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092，则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时，由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n，因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车．设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0，解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ．代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。

【数学】2020高中数学人教A版必修5第二章数列章末测试题A

【关键字】数学【高考调研】2015年高中数学第二章数列章末测试题（A）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知an＝cosnπ，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列答案 D2．在数列2,9,23,44,72，…中，第6项是( )A．82 B．107C．100 D．83答案 B3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )A．12 B．18C．24 D．42答案 C解析思路一：设公差为d，由题意得解得a1＝，d＝.则S6＝1＋15d＝24.思路二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.4．数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a3…an＝n2，则a3＋a5＝( )A. B.C. D.答案 A5．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )A．4 B．5C．6 D．7答案 C解析由等差数列的性质可知a2、a5、a8也成等差数列，故a5＝＝6，故选C.6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( )A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln nC．2＋n ln n D．1＋n＋ln n答案 A解析依题意得an＋1－an＝ln，则有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，a4－a3＝ln ，…，an－an－1＝ln ，叠加得an－a1＝ln(···…·)＝ln n，故an＝2＋ln n，选A.7．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n 项和，则使得Sn达到最大值的n是( )A．21 B．20C．19 D．18答案 B解析∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴3＝105,4＝99，即a3＝35，a4＝33.∴a1＝39，d＝－2，得an＝41－2n.令an＝0且an＋1<0，n∈N*，则有n＝20.故选B.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．9答案 A解析设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1＜0，a7＝1＞0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.9．等比数列{an}的前n项和为Sn，且1,2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( ) A．7 B．8C．15 D．16答案 C解析由1＋a3＝2⇒4＋q2＝4q⇒q＝2，则S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.10．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝( )A．2n＋1－1 B．2n－1C．2n－1 D．2n＋1答案 B11．含2n＋1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A.2n＋1nB.n＋1nC.n－1nD.n＋12n答案 B12．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为( )A.1210 B.129 C.110D.15答案 D 解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，∴{a n ·a n －1a n －1－a n}为常数列．∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2，∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴{1a n }为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2.∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案－9解析由题意得a 23＝a 1a 4，所以(a 1＋6)2＝a 1(a 1＋9)，解得a 1＝－12.所以a 2＝－12＋3＝－9.14．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________．答案n 22－n2＋3(n ≥3)解析该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n ≥3)行的最后一个数n －11＋n －12＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋3(n ≥3)．15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②，①－②，得3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.16．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.答案 4 解析 ∵a 1＝19，∴a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89.∴a 36＝a 18＋a 18＝2a 18＝2(a 9＋a 9)＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4(19＋89)＝4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两实数根，求此数列的通项公式．答案 a n ＝2＋(n －1)×2＝2n18．(12分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解析设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d .a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26. 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7. 于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.19．(12分)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的13？答案 (1)1 458辆 (2)2011年底20．(12分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若{c n }是1,1,2，…，求数列{c n }的前10项的和．解析 ∵c 1＝a 1＋b 1，即1＝a 1＋0，∴a 1＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，a 3＋b 3＝c 3，即⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1， ①q 2＋2d ＝2. ②②－2×①，得q 2－2q ＝0. 又∵q ≠0，∴q ＝2，d ＝－1.c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 10＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10)＝a 11－q 101－q ＋10b 1＋10×92d＝210－1＋45·(－1)＝978.21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解析 (1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝(－12)n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋(－12)＋…＋(－12)n －2＝1＋1－－12n －11－－12＝1＋23[1－(－12)n －1]＝53－23(－12)n －1，当n ＝1时，53－23(－12)1－1＝1＝a 1.∴a n ＝53－23(－12)n －1(n ∈N *)．22．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项； (2)求{nS n }的前n 项和T n . 解析 (1)a n ＝12n ，n ＝1,2，…(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝121－12n1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n2n . 则数列{nS n }的前n 项和T n ＝(1＋2＋…＋n )－(12＋222＋…＋n2n )， ①T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1)，② ①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )－(12＋122＋…＋12n )＋n 2n ＋1 ＝nn ＋14－121－12n 1－12＋n2n ＋1，即T n ＝n n ＋12＋12n －1＋n2n －2.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学《数列》测试卷与答案

高中数学《数列》测试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则序号n 等于( D ) A ．667 B ．668 C ．669D ．673[解析] 由题意可得，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴2 017＝3n －2，∴n ＝673.2．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( B )A ．2B ．4C ． 2D ．2 2 [解析] 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24[解析] 由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( B ) A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．－10[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )， ∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8.∴a 2＝a 1＋d ＝－8＋2＝－6.5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( C )A ．1514B ．1213C ．1316D ．1516[解析] 由题意，得a 23＝a 1a 9， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， ∴a 1＝d . ∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝13a 116a 1＝1316.6．等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列{1a n}的前n 项和，则S 5S 2＝( A ) A ．－11 B ．－8 C ．5D ．11[解析] 由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知{1a n}是等比数列，公比为－2，首项为1a 1，所以S 2＝1a 1[1－－22]1－－2＝－1a 1，S 5＝1a 1[1－－25]1－－2＝11a 1，所以S 5S 2＝－11，故选A ．7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( C )A ．3(3n－2n) B ．3n ＋2nC ．3nD ．3·2n －1[解析] 由S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)可得S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减可得a n＝32a n －32a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝S 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，则a n ＝3n.8．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由表格知，第三列为首项为4，公比为12的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数得第四列前两个数字分别为5，52，故第四列所成的等比数列的公比为12，∴y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，∴x ＋y ＋z ＝2.9．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的天数为( D )A ．815 B ．1615 C ．2031D ．4031[解析] 设该女第n 天织布为a n 尺，且数列为公比q ＝2的等比数列，由题意，得a 11－251－2＝5，解得a 1＝531.故该女第4天所织布的尺数为a 4＝a 1q 3＝4031，故选D ．10.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则该数列的公比q 为( D )A ．2B ．1C ．14D ．12[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q 2＝10①a 41＋q 2＝54②，②①得q 3＝18，∴q ＝12. 11．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 8b 10＝( B )A ．1B ．8C ．4D ．2[解析] 设{a n }的公差为d ，则由条件式可得，(a 7－3d )－2a 27＋3(a 7＋d )＝0，解得a 7＝2或a 7＝0(舍去)． ∴b 3b 8b 10＝b 37＝a 37＝8.12．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 1 007＋a 1 008>0，a 1 007·a 1 008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( C )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015[解析] ∵a 1 007＋a 1 008>0， ∴a 1＋a 2 014>0，∴S 2 014＝2 014a 1＋a 2 0142>0，∵a 1 007·a 1 008<0，a 1>0， ∴a 1 007>0，a 1 008<0， ∴2a 1 008＝a 1＋a 2 015<0， ∴S 2 015＝2 015a 1＋a 2 0152<0，故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于__218__.[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 11－q61－q＝－18[1－－26]1＋2＝218. 14．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__n 2＋n ＋22__.[解析] ∵a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3， a 4－a 3＝4，…a n －a n －1＝n (n ≥2)．将上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝2＋nn －12，∴a n ＝2＋2＋nn －12＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．又a 1＝2满足上式，∴a n ＝n 2＋n ＋22.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝__676__.[解析] 利用分组求和法求解．当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676. 16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__n 2＋n __.第1列第2列第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … ……………[解析] 设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .[解析] 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．18．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)．求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c .[解析] (1){a n }为等差数列， ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4.∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c， ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20．(本题满分12分)已知数列{b n }是首项为1的等差数列，数列{a n }满足a n ＋1－3a n －1＝0，且b 3＋1＝a 2，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵a n ＋1－3a n －1＝0，∴a n ＋1＝3a n ＋1， ∴a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)，又a 1＋12＝32.∴数列{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．∴a n ＋12＝32·3n －1＝3n2，∴a n ＝3n－12.(2)由(1)知，b 3＝a 2－1＝3，设等差数列{b n }的公差为d ，∴d ＝1， ∴b n ＝1＋n －1＝n ，∴c n ＝a n ·b n ＝n ·3n－12＝n ·3n2－n2.∴T n ＝12(1×3＋2×32＋…＋n ×3n )－12(1＋2＋3＋…＋n )＝12(1×3＋2×32＋…＋n ×3n)－n n ＋14.令S n ＝1×3＋2×32＋…＋n ×3n① ∴3S n ＝1×32＋…＋(n －1)×3n ＋n ×3n ＋1②①－②得－2S n ＝3＋32＋…＋3n －n ×3n ＋1＝31－3n1－3－n ×3n ＋1＝32(3n －1)－n ×3n ＋1 ＝3n ＋12－32－n ×3n ＋1＝3n ＋1(12－n )－32，∴S n ＝3n ＋1(n 2－14)＋34＝2n －13n ＋1＋34， ∴T n ＝2n －13n ＋1＋38－n n ＋14.21．(本题满分12分)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3. 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n.(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2，得T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1.上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1＝12×1－2n1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16，所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.22．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n)(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .[解析] (1)依题意得：S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，满足上式．所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)． (2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝36n －5[6n ＋1－5]＝12(16n －5－16n ＋1)，故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)．因此，使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.。

(完整版)数列测试题及标准答案

必修5《数列》单元测试卷一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2± 4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是A B ．C ．D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．12 10、在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（） A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482nn ++++……的前n 项和是． 15、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．参考答案12、3．2n-1 13、51014、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、495117、d=32，n=50 18、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5．19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n(2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。

第四章数列章末检测试卷一(第四章)(含解析)高中数学人教A版选择性必修第二册

章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析　根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析　∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析　函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解　(1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解　(1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明　因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解　因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解　因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解　(1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解　(1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。

(完整版)数列测试题及标准答案

必修5《数列》单元测试卷一、选择题（每小题3分,共33分）1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是A ．12)1(3++-=n nn a nnB ．12)3()1(++-=n n n a nnC ．121)1()1(2--+-=n n a n nD ．12)2()1(++-=n n n a nn 2、已知数列｛a n ｝的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ). A 1 B 2 C 3 D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ( )A 4-B 4±C 2-D 2±4、已知等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( ) A 4- B 6- C 8- D 10-5、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A ．－2B ．1C ．－2或1D ．2或－16、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（）．A ．245B ．12C ．445 D ．67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（）．A ．7B ．16C ．27D ．648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是A B ．C ． D ．不确定 9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边数为A ．6B ．8C ．10D ．12 10、在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是A ．14B ．16C ．18D ．2011、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（）A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元二、填空题（每小题4分,共20分）12、已知等比数列｛n a ｝中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a = 13、等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于 14、数列11111,2,3,,,2482n n ++++……的前n 项和是． 15、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝三、解答题17、（本小题满分8分）等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值18、（本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．19、（本小题满分10分）已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S ．（1）求n a ；（2）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n 2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G ．20、（本小题满分10分）某城市2001年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，则从2002年起，每年平均需新增住房面积为多少万m 2，才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2？(可参考的数据 1.0118=1.20，1.0119=1.21，1.0120=1.22).21、（本小题满分11分）已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意自然数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值．参考答案12、3．2n-1 13、51014、n （n+1）+1-2n 15、4n+2 16、495117、d=32，n=5018、解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得 12a =．将12a =代入②得()21324213n =-－，即 3243n =，解得 n ＝5．∴ 数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5．19、解析：(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩ ∴ 11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩ 153a d =⎧⎨=⎩ 23+=∴n a n (2)、设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=n n bn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20．解设从2002年起，每年平均需新增住房面积为x 万m 2，则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答设从2002年起，每年平均需新增住房面积为605万m 2.21、解：（1）由题意得（a 1+d ）(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.（2）当n =1时，c 1=3 当n ≥2时，,1n n n n a a b c -=+ 132-⋅=n n c ，⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。

2021-2022人教A版必修5数学【课时作业与单元检测】第2章数列章末检测(A)

其次章章末检测（A ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，假如a n ＝2 011，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．671 答案 D解析由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 答案 B解析由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案 B解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20) ＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18) ＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54， ∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180.5．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不肯定存在答案 B解析依题意，b n ＝b 1·⎝⎛⎭⎫127n －1＝13·⎝⎛⎭⎫133n －3＝⎝⎛⎭⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝⎛⎭⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13， ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对答案 A解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－2 答案 C解析依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， ∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 答案 A解析明显等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.1516 答案 C解析由于a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .。

人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷A(含答案)

第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。

高中数学：《数列》章末检测(含答案)

章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn + 11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明．（1）2462211n n a a a a a +++++=-；（2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c 的值．（3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．【章末检测A 参考答案】1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.C9.D10．C 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为3576a a a ++=，所以536a =，即52a =，又118a =，所以1151115a a d -==-，所以5(5)3n a a n d n =+-=-，因此数列n 11n n++-+C ． 11．B12．C )∈*N ，所以2121a =-=-，3112a =+=5121a =-=-，6112a =+=……故数列{}n a 是周期为3的周期数列，且每个周期内的三个数的和为3，所以当198366k ==⨯时，12319836699100a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=<，故使12100k a a a +++<成立的最大正整数k 的值为200，故选C ． 13．8 14．12n - 15．616．0【解析】因为21n nn a a a +=+，所以21111(1)n n n n n a a a a a +===++111n n a a -+，即11111n n n a a a +=-+；所以23201820192011220189121111111111[][()()()][1]111a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-+++；因为11a =，210n n n a a a +=+>，所以数列{}n a 单调递增，所以20191a >，所以2019101a <<，所以20191011a <-<，所以12201820191111[][1]0111a a a a +++=-=+++．17．【解析】（1）由21n n n a a a ++=+，可得12n n n a a a ++=-，所以24623153752121()()()()n n n a a a a a a a a a a a a +-++++=-+-+-++-211n a a +-=211n a +=-．（2）由（1）得12n n n a a a ++=-，所以21121n n n n n a a a a a ++++=-，所以2222212312312342311()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +-++++=+-+-++-21112n n a a a a a +=+- 21111n n a a +=+-⨯1n n a a +=．18．【答案】（1）n a n =；（2）1)12(nn T n -+=．19．【答案】（1）12n n b -=；（220．【答案】（1）31n a n =-，（2【解析】（1）因为点(,)n n S 在抛物线2y x x =+上，所以2122n S n n =+，当2n ≥，所以131n n n a S S n -=-=-，当1n =时，112a S ==，也符合上式；所以31n a n =-．设等比数列{}n b 的公比为q ，4116b =，所以14q 2=，又数列{}n b 的各项均为正数，所以12q =，112a =（2）由（1）可得3(31)194n a a n n =--=-，311()2n n a b -=，所以31194()n n n n a a C a b n -=+=-+，21．【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）11()322n n T n =-⋅+．【解析】（1）当1n =时，1113112a S -===；当2n ≥时，111313()132n n n n n n a S S ------=-==，综上可得13n n a -=．设数列{}n b 的公差为d ，由题意可得1161451030b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b =，2d =，故2n b n =．（2）由（1）可得123n n n a b n -=⋅，所以01221234363(22)323n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①，12313234363(22)323n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ②，①－②得，1212(13)222323232323(12)3113n n nn n n T n n n ---=+⨯+⨯++⨯-⋅=-⨯=-⨯--，所以11()322nn T n =-⋅+． 22．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-；（3）存在，M 的最小值为2．强化训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn +11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明．（1）2462211n n a a a a a +++++=-；（2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c =+，求非零常数c 的值．（3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．。

高中数学--《数列》测试题(含答案)

高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知等比数列{an}中，a5=4，a7=6，则a9等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得q2，由等比数列的通项公式可得a9=a7q2，代入求解可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．2.等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A． B． C．2 D．﹣【答案解析】A【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．3.+2与﹣2两数的等比中项是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【答案解析】C【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解： +2与﹣2两数的等比中项==±1．故选：C．【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知数列{an}中，an=3n+4，若an=13，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】A【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】由an=3n+4=13，求得n的值即可．【解答】解：由an=3n+4=13，解得 n=3，故选A．【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．5.在各项均为正数的等比数列，若，数列的前项积为，若，则的值为A．4 B．5 C．6 D．7【答案解析】B6.已知等比数列的首项为，公比为，给出下列四个有关数列的命题：：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列；：如果且，那么数列是递增的等比数列；：如果且，那么数列是递减的等比数列．其中为真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案解析】C7.等差数列的前项和为，若，则的值A．21 B．24 C．28 D．7【答案解析】C8.等差数列中，若，则的值为A．250 B．260 C．350 D．360D9.等差数列中，若，则等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案解析】C10.在等比数列中,则( )A． B． C． D．【答案解析】A.11.已知数列满足：>0，，则数列{ }是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 不确定【答案解析】B由等比数列的定义可知根据条件>0，可确定数列{ }是等比数列，并且是递减数列.12.在等差数列中，，则此数列前13项的和为（）A．36 B．13 C．26 D．52【答案解析】C13.数列前n项的和为（）A．B．C．D．B14.已知是等比数列，，则公比=（）A B C 2 D【答案解析】D15.数列的一个通项公式是（）A．B．C． D．【答案解析】B16.设是等差数列，若,则数列{an}前8项的和为（）A.128B.80C.64D.56【答案解析】C17.等比数列{an}中，若a5＝5，则a3a7＝．A. 5B. 10C. 25D.【答案解析】C18.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A19.在等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝________ 【答案解析】20.已知，则数列是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案解析】A。

第四章数列章末测试(解析版)

第四章：数列章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2019·浙江·温州中学高二开学考试）已知数列{}n a 的前4项为：1，12-，14，18-，则数列{}n a 的通项公式能为（）A．12n a n=B．112n n a -=C．1(1)2n n na --=D．112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】正负相间用1(1)n --表示，∴111(1)122n n n n a ----⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故选：D2．（广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题）在等差数列{}n a 中，38a =，712a =，则12a =（）A．19B．18C．17D．20【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1128612a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=⎩，所以1211161117a a d =+=+=，故选：C.3．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21nn S n T n =+，则66ab =（）A．113B．1123C．1011D．2【答案】B【解析】∵数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，则11611611,11T S a b ==，∴6611116611211121113111a a T b b S ====⨯+，即661123ab=.故选：B.4．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且122n n a S +=+N n *∈（），则下列说法中错误．．的是（）A．112a =B．4792S =C．{}n a 是等比数列D．{}1n S +是等比数列【答案】C【解析】由题意数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且122n n a S +=+，则2122a S =+，即11322,12a a =+∴=，即选项A 正确；∵122n n a S +=+①，∴当2n ≥时，122n n a S -=+②，①-②可得，12n n n a a a +-=，即13n n a a +=，2113,2a a ==，不满足213a a =，故数列{}n a 不是等比数列，故C 错误，由2n ≥时，13n n a a +=可得，21333n n n a --=⨯=，则349,27a a ==，故4139272792S ==+++，故B 正确；由122n n a S +=+得：1122,32n n n n n S S S S S ++=+∴=+-,则113(1)n n S S ++=+，即1131n nS S ++=+，故{}1n S +是首项为113112S a +=+=，公比为3的等比数列，D 正确，故选︰C．5．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））数列{}n a 满足111n na a +=-，且12a =，则2020a 的值为（）A．12B．1-C．2D．1【答案】C【解析】由题意，数列{}n a 满足+11=1(N )n na n a *-∈，且1=2a ，可得234511,1,2,,22a a a a ==-==，可得数列{}n a 是以12,,12-三项为周期的周期数列，所以20206733112a a a ⨯+===.故选：C.6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知等比数列{}n a 的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（）A．12B．22C．26D．32【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ,则212412342,8S a a S a a a a =+==+++=,则346a a +=，而2223412(),62,3a a a a q q q +=+∴=∴=，故25634()6318a a a a q +=+=⨯=，所以数列前6项和为12345681826a a a a a a +++++=+=，故选：C.7．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列{}n a 满足12a =，12(N )n n a a n *+=∈，设()()*N n n b n a n λ=-⋅∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．()3-∞，B．()3+∞，C．(]3-∞，D．[)3+∞，【答案】A【解析】由题意数列{}n a 满足12a =，12(N )n n a a n *+=∈可知，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nna =，所以()()2nn n b n a n λλ⋅==--⋅,因为数列{}n b 是递增数列，所以1n n b b +>，对于任意的N n *∈恒成立，即()()1122n nn n λλ++-⋅>-⋅,即2n λ<+恒成立,因为1n =时,2n +取得最小值3，故3λ<，即实数λ的取值范围是()3-∞，，故选：A,8．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011【答案】A【解析】∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N (*)，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n n a a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，∴数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n n S n n +==+，()111111nSn n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）下列说法中，正确的有（）A．数列{}n a 的通项212n a n n=+，则{}n a 中最大项为第2项；B．已知数列{}n a 中，1(2)n a n n =+，那么1120是这个数列的第10项;C．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24S =，410S =，则618S =；D．已知13n n a a +=+，则数列{}n a 是递增数列．【答案】BCD【解析】对于A，因为11=3a ，218a =，故{}n a 中最大项不是第2项，故错误；对于B，令()112120n n =+，解得10n =，故1120是{}n a 的第10项，故正确；对于C，已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则24264,,S S S S S --成等差数列，所以()422642S S S S S -=+-,即612410S =+-，解得618S =，故正确；对于D，由13n n a a +=+可得130n n a a +-=>，即1n n a a +>，所以数列为递增数列，故正确，故选：BCD10．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()123nn naa n a ++=∈+N ，则（）A．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C．{}n a 为递增数列D．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--【答案】AD 【解析】因为112323n n n n a aa a ++==+，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n n a +=-，所以1123n n a +=-，所以{}n a 为递减数列，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()231232323n n T +=-+-+⋅⋅⋅+-()122222n =++⋅⋅⋅+-212322323412nn n n n +-=⨯⨯-=---．故选：AD．11．（2022·黑龙江·富锦市第一中学高二阶段练习）已知数列{}n a ，n S 为{}n a 的前n 项和，其中11010a =-，13,1,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，则下列结论正确的是（）A．{}1n n a a ++是等差数列B．{}21n a -是等差数列C．20212021S =D．20223033S =【答案】ABD【解析】设n 为奇数，则1n +是偶数，2n +是奇数，则13n n a a +=+，①211n n a a ++=-，②①+②得：1212n n n n a a a a +++=+++，即22n n a a +=+，所以{}n a 的奇数项是首项为11010a =-，公差为2的等差数列，同理{}n a 的偶数项是首项为21007a =-，公差为2的等差数列，故A，B 正确；所以()()202113520212462020S a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()()101110111101010101101010112100710102202022⨯-⨯-=-⨯+⨯+-⨯+⨯=，故C 错误；又2022220222110132a a ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，∴202220212022202010133033S S a =+=+=，故D 正确.故选：ABD.12．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A 使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”，则以下结论正确的是（）A．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C．若12(1)2n n n a n n -+=+，则数列{}n a 是“T 数列”D．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列”【答案】BC【解析】对于A，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无穷大时，n S 也无穷大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 选项错误；对于B，若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，所以()11111112111111n n n n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-≤+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确；对于C，若()121211(1)2212n n n n n a n n n n ---+==-+⋅+⋅，所以()()12110011111111221222222312212n n n n n n n S ----=-+++=<⨯⨯⨯--⋅+⋅+⋅⨯，所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 选项正确；对于D，若22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222211111441142143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯-⨯--⎝⎭，当n 无穷大时，n S 也无穷大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 选项错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·陕西·西安市西光中学高二阶段练习）数列{}n a 中，()110,(21),2n n a a a n n -==+-≥，则n a =________【答案】21n -【解析】由()1(21),2n n a a n n -=+-≥，可得()1(21),2n n a a n n --=--≥，∴()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，∴()()()()2321121233012n n n a n n n+--=------+=-=-，当1n =时，10a =显然符合上式，所以21n a n =-.故答案为：21n -14．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列{}n a 满足10()13nn a n =，则数列{}n a 的最大项为第________项．【答案】4【解析】由题意，10()013nn a n =>，故1110(1)()101131013()13n n n n n a n a n n +++⨯+==⨯⨯，令1101113n n a n a n ++=⨯≥，解得103n ≤；令1101113n na n a n ++=⨯<，解得103n >；故3n ≤时，+1n n a a >；4n ≥时，1n n a a +<，故数列{}n a 的最大项为第4项.故答案为：415．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，且1202001,1a a <<=，能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立最大正整数=m ________．【答案】4039【解析】由已知201911201911a q a q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立则1212111m m a a a a a a +++≤+++，即()111111111mm a q a q q q⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：4039m q q ≤又1q >，可知4039m ≤，故最大正整数4039m =.故答案为：403916．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）如果数列1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第9个六边形数为______．【答案】153【解析】因为：1，615=+，15159=++，2815913=+++，451591317=++++；即这些六边形数是由首项为1，公差为4的等差数列的和组成的；所以：2(1)1422n n n c n n n -=⋅+⨯=-；∴第9个六边形数为：2299153⨯-=．故答案为：153．四、解答题：本小题共6小题，共70分。

新教材2023年秋高中数学章末综合测评1数列新人教A版选择性

章末综合测评(一) 数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，，3，，…，，…，则是这个数列的( ) A．第10项B．第11项C．第12项D．第21项2．已知数列{a n}，a n＝2n＋1，S n为其前n项和，则点(n，S n)在下列________函数的图象上( )A BC D3．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列第6项a6＝( )A．6 B．8C．12 D．164．在等比数列{a n}中，已知a4a7＝8，a2a5a6＝24，则a2＝( )A．6 B．4C．3 D．25．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则该数列第18项为( )A．200 B．162C．144 D．1286．设{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n＝( )A．＋B．＋C．＋D．n2＋n7．已知数列{a n}满足a1＝，a n＋1＝(n∈N*)，则a2 022＝( )A．－1 B．C．＋1 D．28．数列{a n}是正项等比数列，满足a n a n＋1＝4n，则数列的前n项和T n＝( )A．B．C．D．二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．在等比数列{a n}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为( )A．8 B．12C．－8 D．－1210．满足下列条件的数列{a n}(n∈N*)是递增数列的为( )A．a n＝B．a n＝n2＋nC．a n＝1－2n D．a n＝2n＋111．在等差数列{a n}中，a66<0，a67>0，且a67>|a66|，S n为数列{a n}的前n项和，则( ) A．公差d<0B．a66＋a67<0C．S131<0D．使S n>0的n的最小值为13212．已知两个等差数列和的前n项和分别为S n和T n，且＝，则使得为整数的正整数n的值为( )A．2 B．3C．4 D．14三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上)13．若等比数列{a n}的前n项和S n＝m·4n1＋t(其中m，t是常数)，则＝________．14．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”．其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为________．15．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．16．如图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯．在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{a n}的前4项，则数列{a n}的一个通项公式为__________．四、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等差数列{a n}中，a2＋a5＝24，a17＝66．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a2 018；(3)2 022是否为数列{a n}中的项？若是，则为第几项？18．(本小题满分12分)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2．20．(本小题满分12分)已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n＋1＝3a n－b n＋4，4b n＋1＝3b n－a n－4．(1)证明：{a n＋b n}是等比数列，{a n－b n}是等差数列；(2)求{a n}和{b n}的通项公式．21．(本小题满分12分) (2021·全国乙卷)设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n ＝．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n＜．22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m表示)．章末综合测评(一)1．B[观察可知项公式为a n＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n＝11，故选B．]2．C[由等差数列的求和公式可得S n＝＝＝n2＋2n，所以点(n，S n)在函数y＝x2＋2x上．]3．B[因为数列{a n}是等差数列，由等差数列的性质得2a6＝a4＋a8＝16，所以a6＝8．故选B．]4．C[由题设可得⇒a1q＝3，由此可得a2＝3，故应选C．]5．B[偶数项分别为2，8，18，32，50，即2×1，2×4，2×9，2×16，2×25，即偶数项对应的通项公式为a2n＝2n2，则数列的第18项为第9个偶数，即a18＝a2×9＝2×92＝2×81＝162．]6．A[设公差为d，则a1(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，把a1＝2代入可解得d＝．∴a n＝2＋(n－1)×＝n＋．∴S n＝＝n2＋．故选A．]7．C[因为a1＝，a n＋1＝(n∈N*)，所以a2＝a1－1＝－1，a3＝＝＝＋1，a4＝a3－1＝，a5＝a4－1＝－1，a6＝＝＋1，…所以数列{a n}的周期为3，因为2 022＝3×674，所以a2 022＝a3＝＋1．]8．A[数列{a n}是正项等比数列，公比设为q(q>0)，由a n a n＋1＝4n，可得a1a2＝q＝4，a2a3＝q3＝16，解得a1＝，q＝2，则a n＝a1q n1＝·2n1＝．则＝＝＝＝2，则T n＝2＝2＝．故选A．]9．AC[∵＝＝q2⇒q＝±2，当q＝2时，a6＝a5q＝4×2＝8，当q＝－2时，a6＝a5q＝4×(－2)＝－8，故选AC．]10．BD[根据题意，依次分析选项：对于A，a n＝，a1＝1，a2＝，不是递增数列，不符合题意；对于B，a n＝n2＋n，a n－a n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n>0，是递增数列，符合题意；对于C，a n＝1－2n，a n－a n－1＝(1－2n)－[1－2(n－1)]＝－2，不是递增数列，不符合题意；对于D，a n＝2n＋1，函数y＝2x＋1为递增函数，则a n＝2n＋1是递增数列，符合题意．] 11．CD[因为a66<0，a67>0，且a67>|a66|，所以d>0，a67>－a66，即a67＋a66>0，所以S132＝66(a1＋a132)＝66(a66＋a67)>0，S131＝＝131a66<0，所以使S n>0的n的最小值为132．]12．ACD[由题意可得＝＝＝，则＝＝＝＝3＋，由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n的可能取值有2，4，14．故选ACD．]13．－4 [S n＝m·4n1＋t＝·m·4n＋t，因为{a n}为等比数列，∴t＝－m，∴＝－4．] 14．[设第n天织布的尺数为a n，可知数列为等差数列，设等差数列的公差为d，前n项和为S n，则a1＝5，a n＝1，S n＝90，则S n＝＝3n＝90，解得n＝30，∴a30＝a1＋29d＝5＋29d＝1，解得d＝－，因此，每天比前一天少织布的尺数为．]15．25 [法一：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2＋a6＝2得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．法二：设等差数列{a n}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×(－2)＋×1＝25．]16．a n＝[根据题中图形可知，a1＝1，a n＋1－a n＝8n，当n≥2时，a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1＋8＋82＋…＋8n1＝．] 17．解: (1)因为等差数列{a n}中，a2＋a5＝24，a17＝66．所以解得a1＝2，d＝4，所以a n＝4n－2．(2)由(1)可得a2 018＝8 070．(3)令a n＝4n－2＝2 022，所以n＝506，所以2 022是数列{a n}中的第506项．18．解: (1)设{a n}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{a n}的公比为－2．(2)记S n为{na n}的前n项和．由(1)及题设可得，a n＝(－2)n1．所以S n＝1＋2×(－2)＋…＋n×(－2)n1，－2S n＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n1＋n×(－2)n．可得3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n1－n×(－2)n＝－n×(－2)n．所以S n＝－．19．解: (1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，所以等式成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝k(k＋1)2＋(k＋1)(3k ＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即n＝k＋1时，命题成立，由(1)(2)知等式对任意的n∈N*均成立．20．解: (1)[证明]由题设得4(a n＋1＋b n＋1)＝2(a n＋b n)，即a n＋1＋b n＋1＝(a n＋b n)．又因为a1＋b1＝1，所以{a n＋b n}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(a n＋1－b n＋1)＝4(a n－b n)＋8，即a n＋1－b n＋1＝a n－b n＋2．又因为a1－b1＝1，所以{a n－b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n＋b n＝，a n－b n＝2n－1．所以a n＝[(a n＋b n)＋(a n－b n)]＝＋n－，b n＝[(a n＋b n)－(a n－b n)]＝－n＋．21．解: (1)设{a n}的公比为q，则a n＝q n1．因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故a n＝，b n＝．(2)证明: 由(1)知S n＝＝，T n＝＋＋＋…＋①，T n＝＋＋＋…＋＋②，①－②得T n＝＋＋＋…＋－，即T n＝－＝－，整理得T n＝－，则2T n－S n＝2－＝－＜0，故T n＜．22．解: (1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，a n＋1＝a n(1＋50%)－d＝a n－d．(2)由(1)得a n＝a n－1－d＝－d＝·a n－2－d－d＝…＝a1－d．整理得a n＝(3 000－d)－2d＝·(3 000－3d)＋2d．由题意知a m＝4 000，所以(3 000－3d)＋2d＝4 000，解得d＝＝．故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。

数列章末测试题

高三数学复习资料数列测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至6页，满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、（2004，全国3，3）设数列{}n a 是等差数列，26,a =- 86a =，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则（） A.S 4＜S 5 B.S 4＝S 5 C.S 6＜S 5 D.S 6＝S 52、等差数列{}n a 满足s m =k,s k =m,则s m+k =( ) (A) m (B) n (C) m+n (D) -(m+n)3、若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（）A 4005B 4006C 4007D 40084、已知数列}{n a 满足01a =，011n n a a a a -=+++ （1n ≥），则当1n ≥时，n a ＝（）（A ）2n （B ）(1)2n n + （C ）2n －1 （D ）2n －1 5、→∞--+-+-+++++ 123212lim n n nn n n n n （）的值为 ( ) A. –1 B.0 C. 12D.16、现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为 ( )(A)9 (B)10 (C)19 (D)297、等比数列｛a n ｝它的各项均为正，项数为偶数，全部各项的和是偶数项的和的4倍，又第二项与第四项积是第三项与第四项和的9倍，数列｛lga n ｝前多少项和开始小于零（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10 8、、在数列1、3、2、6、5、15、14、x 、y 、z 、122……中x 、y 、z 、的值依次为（）A.42、41、123 、B.13、39、123、C.24、23、123、D.28、27、123 9、给出序列｛1｝｛2、3｝｛4、5、6｝……设Sn 为第n 个集合元素总和，则S 21（A ）4010 （B ）2321 （C ）4641 （D ）609510、等比数列的前n 项和Sn ＝K ·3n +1，则K 值为（A ） 2（B ） -1（C ） 1（D ）-211、数列a 1、a 2、a 3……a n ……的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第29项是原数列的第项（A ） 7（B ） 8（C ） 9（D ）1012、已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11 =+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（） A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列 B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列二. 填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13、有两个等差数列{}n a ，{}n b ，他们的前n 项和分别为s n ,T n,若有=++=77,125b an n T s n n 则——— 14、数列1、2、2、3、3、3、4、4、4、4……第100项是15、｛a n ｝中a 1=1，a n =1222-n n S S （n>1）则a n =16、已知数列｛a n ｝满足 a 1=1, a n+1＝nna a 31+，则a n ＝答题卷13、 14、 15、 16、17、（本小题满分12分）设数列{}n a 满足*13221,3333N n na a a a n n ∈=+⋯+++- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n b =na n，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

(完整版)数列章末检测卷(含答案)

数列章末检测卷(时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分)1.{ a n} 是首项为1，公差为 3 的等差数列，假如a n＝ 2 014，则序号n 等于 ( )答案 D分析由 2 014＝ 1＋ 3(n－ 1)，解得n＝ 672.2.等差数列{ a n} 中， a1＋ a5＝10， a4＝ 7，则数列{ a n} 的公差为( )答案 B分析∵ a1＋ a5＝ 2a3＝ 10，∴ a3＝ 5，∴d＝ a4－ a3＝ 7－ 5＝ 2.3.公比为 2 的等比数列 { a } 的各项都是正数，且 a ·a ＝ 16，则 a 等于()n 3 11 5答案 A27 5 a7 4 ＝ 1.分析∵ a3 11 7 ＝·a ＝ a ＝ 16，∴ a ＝ 4，∴ a ＝q2 224.等差数列 { a n} 的公差为 d，前 n 项和为 S n，当首项 a1和 d 变化时， a2＋ a8＋ a11是一个定值，则以下各数也为定值的是( )A. S7 8 13 D. S15答案 C分析∵ a2＋ a8＋ a11＝ (a1＋ d)＋ (a1＋ 7d) ＋ (a1＋ 10d)＝ 3a1＋ 18d＝3(a1＋6d)为常数，∴a1＋ 6d 为常数 .∴ S13 1 13× 12 1＋6d)也为常数 .＝ 13a ＋ 2 d＝ 13(a5.在等差数列 { a } 中，已知 a ＋ a ＝ 16，则该数列前11项和 S 等于()n 4 8 11答案 B分析S11＝11 a1＋ a11＝11 a4＋ a8 ＝11×16＝ 88.2 2 26.等比数列 { a } 中， a ＝ 9， a ＝ 243，则 { a } 的前 4 项和为 ( )n 2 5 n答案 B分析由 a5＝ a2q3得 q＝ 3.2 a1 1－ q4＝3 1－34∴ a1＝a＝ 3， S4＝1－ q ＝ 120.q 1－ 37.数列 {( － 1)n·n} 的前 2 015 项的和 S2 015为 ( )A.－2 013B.－1 008C.2 013D.1 008答案 B分析S2 015＝－ 1＋ 2－ 3＋ 4－ 5＋＋ 2 014－ 2 015＝(－ 1)＋ (2－ 3)＋(4－5)＋＋ (2 014－ 2 015)＝(－ 1)＋ (－ 1)×1 007＝－ 1 008.8.若 { a n} 是等比数列，其公比是q，且－a5，a4， a6成等差数列，则q 等于 ( )或2 或－ 2C.－1 或 2D.－1或－2答案 C分析依题意有2a4＝ a6－ a5，即 2a4＝a4q2－ a4q，而 a4≠ 0，∴q2－ q－ 2＝ 0， (q－ 2)(q＋ 1) ＝0.∴q＝－ 1 或 q＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7 项开始为负数，则它的公差是()A.－2B.－3C.－4D.－6答案 C分析由题意，知a6≥ 0，a7<0.a1＋5d＝ 23＋5d≥ 0，∴a1＋6d＝ 23＋6d<0，2323∴－5≤ d<－6 .∵d∈ Z ，∴ d＝－ 4.10.设 { a n} 是等差数列， S n是其前 n 项和，且S5<S6， S6＝ S7>S8，则以下结论错误的选项是()A.d<0B.a7＝09>S56与 S7均为 S n的最大值答案 C分析由S5 6 665 677＝0，所以 d<0.<S ，得 a ＝S － S >0. 又 S ＝ S ? a由 S7>S8? a8<0，所以， S9－S5＝a6＋ a7＋ a8＋ a9＝ 2(a7＋ a8)<0 即S9 <S5.11.在等比数列1{ a n } 中， a1＝ 1,9S3＝ S6，则数列 {} 的前a n5 项和为( )15和 5 A. 8 31C.16答案C分析若 q ＝ 1，则 9S 31 6 ＝6a 1＝ 27a ，S ， ∵ a 13 6，矛盾，故 q ≠ 1.≠0，∴9S ≠ S由 9S 3＝S 6 得 9×a 1 1－ q 3 ＝a 1 1－ q 6，1－ q 1－ q解得 q ＝ 2，故 a n ＝ a 1q n －1＝ 2n －1.31B. 和 515D. 8∴ 1＝(1)n －1.a n 21 5 ∴ {151－2 ＝31a n } 的前 5 项和S ＝116.1－ 212.某工厂月生产总值的均匀增加率为 q ，则该工厂的年均匀增加率为 ()A. qC.(1 ＋q)12D.(1 ＋ q)12－ 1答案 D分析设第一年第 1 个月的生产总值为 1，公比为 1＋ q ，该厂第一年的生产总值为12＋＋ (1＋ q)11S ＝ 1＋ (1＋q)＋ (1＋ q). 则第 2 年第 1 个月的生产总值为(1＋ q)12，第 2 年整年生产总值S 2＝ (1＋ q)12＋ (1＋ q)13＋＋ (1＋ q)23＝ (1＋ q)12S 1，∴ 该厂生产总值的年均匀增加率为S 2－ S 1 2 S 1＝S －1S 1＝ (1＋ q)12－ 1.二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分 )13.{ a n } 是递加等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是 ________.答案2分析设前三项分别为a － d ， a ， a ＋ d ，则 a －d ＋ a ＋ a ＋ d ＝ 12 且 a(a － d)(a ＋ d)＝ 48，解得 a ＝ 4 且 d ＝ ±2，又 { a n } 递加， ∴ d>0 ，即 d ＝ 2，∴ a 1＝ 2.14.已知等比数列 { a n } 是递加数列， S n 是{ a n } 的前 n 项和 .若 a 1，a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两个根，则 S 6＝ ____________.答案63分析∵ a 1， a 3 是方程 x 2－ 5x ＋4＝ 0 的两根，且 q ＞ 1，∴ a 1＝ 1， a 3＝ 4，则公比 q ＝ 2，所以 S 6＝1× 1－ 26＝ 63.1－ 215.假如数列 { a } 的前 n 项和 S ＝ 2a －1，则此数列的通项公式a ＝ ________.nnnn答案2n －1分析当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 1，∴ a 1＝ 2a 1 －1， ∴ a 1＝ 1.当 n ≥2 时， a n ＝S n － S n －1＝ (2a n － 1)－ (2a n －1 －1)，∴ a n ＝ 2a n －1，经检测 n ＝ 1 也切合， ∴ { a n } 是等比数列，∴ a n ＝ 2n －1， n ∈ N * .16.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________.5－1 答案2分析设三边为 a ， aq ，aq 2(q>1) ，则 (aq 2)2＝ (aq)2＋a 2， ∴ q 2＝5＋ 1. 2较小锐角记为 θ，则 sin θ＝ 12＝ 5－1 .q 2 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17.(10 分) 已知等差数列 { a n } 中， a 3a 7＝－ 16， a 4＋ a 6＝ 0，求 { a n } 的前 n 项和 S n .解设{ a n } 的公差为 d ，则a 1＋ 2d a 1＋ 6d ＝－ 16， a 1＋ 3d ＋ a 1＋ 5d ＝ 0，2 2a 1 ＋8da 1＋ 12d ＝－ 16，即a ＝－ 4d.1解得a 1＝－ 8， a 1＝ 8， d ＝ 2，或d ＝－ 2.所以 S n ＝－ 8n ＋ n(n －1)＝ n(n － 9)，或 S n ＝ 8n － n(n － 1)＝－ n(n － 9).18.(12 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， n ∈N * ， a 3＝ 5，S 10＝ 100.(1)求数列 { a n } 的通项公式；(2)设 b n ＝ 2a n ＋ 2n ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，a ＋ 2d ＝ 5，1a 1＝ 1，由题意，得10a 1＋ 10× 9 d ＝100，解得2 d ＝ 2，所以 a n ＝2n － 1.1n(2)由于 b n ＝ 2a n ＋2n ＝ 2× 4 ＋ 2n ，所以 T n ＝ b 1＋ b 2＋＋ b n＝ 1(4＋ 42＋＋ 4n )＋ 2(1＋ 2＋＋ n) 2＝4n ＋1－4＋ n 2＋n ＝2× 4n ＋ n 2＋n －2.63319.(12 分) 已知数列 2n *)为等差数列，且13＝ 9. {log (a － 1)}( n ∈N a ＝3， a(1) 求数列 { a } 的通项公式；n(2)证明： 1＋ 1 ＋＋ 1<1.－ aa － aa1 2 a － a23 n ＋ 1n(1)解设等差数列 {log 2 (a n － 1)} 的公差为 d.由 a 1＝ 3， a 3＝ 9，得 log 2(9－ 1)＝ log 2(3－ 1)＋ 2d ，则 d ＝ 1.所以 log 2(a n － 1)＝ 1＋ (n －1)× 1＝ n ，即 a n ＝ 2n ＋ 1.(2)证明由于111n ＋ 1＝n ＋1n ＝ n ，an2 － 22－ a所以 1 ＋1 ＋＋ 1a 3－ a 2 a n ＋ 1－ a n a 2－a 1＝1 ＋ 1 ＋ 1＋＋ 1n2 1 232221－ 1n ×11222＝1 ＝ 1－2n <1.1－ 220.(12 分) 某商铺采纳分期付款的方式促销一款价钱为每台 6 000 元的电脑 .商铺规定，购置时先支付货款的 1，节余部分在三年内按每个月尾等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.3已知欠款的月利率为 0.5%，到第一个月尾，货主在第一次还款以前，他欠商铺多少元？假定货主每个月还商铺 a 元，写出在第 i(i ＝ 1,2，， 36)个月底还款后，货主对商铺欠款数的表达式 .2解 (1) 由于购置电脑时，货主欠商铺3的货款，即 6 000× 2＝ 4000(元 )， 3又按月利率 0.5%，到第一个月尾的欠款数应为4 000(1 ＋0.5%)＝ 4 020(元 ).(2)设第 i 个月尾还款后的欠款数为y 1＝ 4 000(1 ＋0.5%) － a ，y i ，则有y 2＝ y 1(1＋ 0.5%) － a＝ 4 000(1＋ 0.5 %) 2－ a(1＋ 0.5%) － a ，y 3＝ y 2(1＋ 0.5%) － a＝ 4 000(1＋ 0.5%) 3－ a(1＋ 0.5%) 2－ a(1＋ 0.5%) － a ，y i ＝ y i －1(1＋ 0.5%)－ a ＝4 000(1 ＋ 0.5%) i －a(1＋ 0.5%) i －1 －a(1＋ 0.5%)i －2 －－ a ，由等比数列的乞降公式，得y i ＝ 4 000(1＋ 0.5%)i － a 1＋ 0.5% i － 10.5% (i ＝1,2，， 36).21.(12 分) 在数列 { a n } 中， a 1＝ 1， a n ＋ 1＝ 2a n ＋2n .a n(1)设 b n ＝ 2n －1 .证明：数列 { b n } 是等差数列；(2)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . (1)证明由已知 a n ＋1＝ 2a n ＋ 2n ，n ＋ 1 nna n得 b n ＋ 1＝ a＝2a ＋ 2＝＋ 1＝ b n ＋ 1. 2 n 2 nn －12∴ b n ＋ 1－ b n ＝ 1，又 b 1＝ a 1＝ 1.∴ { b n } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 .a n 1(2)解由 (1)知， b n ＝ n ， n －n － 1＝b n ＝n.∴ a n ＝ n ·2 .2∴ S 1 n －1＋3·2＋＋ n ·2 ，n ＝ 1＋ 2·2 两边同时乘以 2 得：n1n －1n＋ 2·2＋＋( n － 1) ·2 ＋ n ·2，2S ＝ 1·2两式相减得：－ S n ＝ 12n －1n1＋ 2 ＋2 ＋＋2－n ·2nnn＝ 2 － 1－ n ·2＝(1－ n)2 － 1，∴ S n n＋ 1.＝ (n － 1) ·222.(12 分) 已知等比数列 { a } 知足： |a － a |＝ 10，a a a＝125.n231 2 3(1)求数列 { a n } 的通项公式；1 ＋1＋＋ 1≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说(2)能否存在正整数 m ，使得 a 1a 2a m明原因 .解 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则由已知可得a 3q 3＝ 125，1|a 1q － a 1q 2|＝ 10，解得 a 1＝ 5a 1 ＝－ 5， 3，或q ＝ 3q ＝－ 1.5 n －n－1.故 a n ＝ ·31 或 a n ＝－ 5·(－1)35n－11 3 1n－1(2)若 a n ＝ 3·3 ，则 a n ＝ 5(3)，则数列 { 1 } 是首项为 3，公比为 1的等比数列 .a n 5 33 1 mm 1 5[1－ 3] 9 1 m 9进而＝1＝]< 10<1. n ＝1 a n1－ 10· [1－ (3)3若 a n ＝－ 5·(－1)n －1，则 1 ＝－ 1(－1) n －1，a n 5故数列 { 1 } 是首项为－1，公比为－ 1 的等比数列，a n5m－ 1， m ＝ 2k － 1 k ∈N *，进而1 ＝5n ＝1 a n0， m ＝ 2k k ∈ N * ，m 1故 a n <1.＝n 1综上，对任何正整数 m ，总有m1 <1. n ＝ 1an故不存在正整数 m ，使得 1 ＋1＋＋1≥1建立.a 1 a 2a m。

数列多选题专项训练单元期末复习综合模拟测评检测试卷

一、数列多选题1．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--答案：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC2．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 3．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =答案：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意，，A 正确，，C 正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B 错；，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．4．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 5．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+答案：BD 【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：，符合题设；选项C ：，不符合题设；选项D ：，符合题设解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.6．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0答案：AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误，所以，，所以C 正确，D 错误，故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC7．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（） A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =答案：AD 【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和，进而可得，由此可知，故不正确；对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.8．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值答案：BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.9．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <答案：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则，那么.故A 不正确； B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.10．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <答案：AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：，所以，，由于，，所以，，所以，中最大，由于，所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<，由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.。

第四章数列章末测试卷(解析版)

第4章数列章末测试卷考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选择(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等比数列a n中，a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=4，则a10+a11+a12=（）A．16B．32C．12D．18【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出公比，代入计算即可.【详解】由题，a4+a5+a6a1+a2+a3=q3=42=2则a10+a11+a12=(a1+a2+a3)q9=2×(q3)3=16故选：A.2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）已知数列a n的通项公式为a n（n∈N*），数列的前2022项和为（）A．20192020B．20222023C．20202021D．20212022【答案】B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】a n1n−1n+1，则数列的前2022项和为S2022=1−12+12−13+⋯+12022−12023=1−12023=20222023.故选：B3．（2020·北京市第四中学顺义分校高二期中）等差数列a n中，a1，a2，a4这三项构成等比数列，则公比q=（）A．1B．2C．1或2D．1或12【答案】C【分析】由等比数列的性质列方程求得d与a1关系后可得．【详解】设{a n}的公差为d，显然a1≠0，易知d=0时，q=1，d≠0时，由a22=a1a4得(a1+d)2=a1(a1+3d)，d=a1，q=a2a1=2a1a1=2．所以q=1或2．故选：C．4．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）已知数列a n满足a1=1，a n+1=2a n+1n≥1，则S5=（）A．57B．31C．32D．33【答案】A【分析】因为a n+1=2a n+1，所以a n+1+1=2(a n+1)，可知{a n+1}为等比数列，从而求出a n，最后求和即可.【详解】因为a n+1=2a n+1n≥1，所以a n+1+1=2(a n+1)，a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以a n+1=2×2n−1=2n，所以a n=2n−1，S5=(21+22+23+24+25)−5=2(1−25)1−2−5=57.故选：A5．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知数列a n的通项公式a n=9n−90，记S n 为数列a n的前n项和，若使S n取得最小值，则n=（）A．5B．5或6C．10D．9或10【答案】D【分析】由a n的通项公式可知其时等差数列，等差数列判断其前n项和S n最值得方法有两种：利用a n得通项公式判断或者利用前n项和判断；题中已知通项公式，利用通项公式判断即可.【详解】显然a n是一个等差数列，且a1<0,d>0，所以要使S n取得最小值，只需将a n的所有负数项或者等于0的项加完即可，显然a10=9×10−90=0，所以a n的前九项为负数，且S9=S10，所以当n=9或10时S n取得最小值.故选：D6．（云南省名校2023届高三上学期第二次月考数学试题）一个礼堂的座位分左、中、右三组，左、右两组从第一排到最后一排每排依次增加1个座位，中间一组从第一排到最后一排每排依次增加2个座位，各组座位具有相同的排数，第一排共有16个座位，最后一排共有52个座位，则该礼堂的座位总数共有（）A．442个B．408个C．340个D．306个【答案】C【分析】根据题意可知是等差数列，可得a1=16，公差d=4，a n=52，求出n=10，然后用等差求和公式即可【详解】设该礼堂从第一排到最后一排的座位数构成一个数列a n，共n排座位，故得到首项a1=16，公差d=4，a n=52，由a n=16+4n−1=52可得n=10，所以座位总数为S10，故该礼堂的座位总数共有340个，故选：C. 7．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））在公比q为整数的等比数列a n中，S n是数列a n的前n项和，若a1+a4=18，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A．q=2B．数列S n+2是等比数列C．数列lg a n是公差为2等差数列D．S8=510【答案】C【分析】A选项：根据a1+a4=18，a2+a3=12，再结合等比数列的通项公式即可得到数列a n 的公比q；B选项：利用求和公式得到S n，再利用等比数列的定义证明S n+2是等比数列即可；C选项：利用等差数列的定义证明lg a n为等差数列即可；D选项：根据S n求S8即可.【详解】A选项：因为若a1+a4=18，a2+a3=12，所以a11+q3=18，a1q+q2=12，所以1+q3=1812=32，所以q=2，q=12（舍），故A正确；q+q2=2，且S1+2=a1+2=4，B选项：由A知，q=2，所以a1=2，a n=2n，S n n+1−2，所以S n+1+2S n+2所以S n+2是以4为首项，2为公比的等比数列，故B正确；C选项：由B知，lg a n+1−lg a n=lg a n+1a n=lg2，且lg a1=lg2，所以数列lg a n是以lg2为首项，lg2为公差的等差数列，故C错误；D选项：由B知，S8，故D正确；故选：C.8．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知等差数列a n满足a2=2，a3+a6=1+a8，数列b n满足b n a n+1a n=a n+1−a n，记b n的前n项和为S n，若对于任意的a∈−2,2，n∈N*，不等式S n <2t 2+at −3恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．−∞,−2∪2,+∞B ．−∞,−2∪1,+∞C ．−∞,−1∪2,+∞D ．−2,2【答案】A【分析】由等差数列通项公式可得a n ，进而由递推关系可得b n =1n −1n +1，借助裂项相消法得到S n ，又S n <1，问题等价于对任意的a ∈−2,2,n ∈N *，2t 2+at −4≥0恒成立.【详解】由等差数列的性质知a 3+a 6=a 8+a 1=a 8+1，则a 1=1，又a 2=2，则等差数列a n 的公差d =a 2−a 1=1，∴a n =1+n −1=n .由b n a n +1a n =a n +1−a n ，得b n =1a n−1a n +1=1n−1n +1，∴S n =+++⋯++=1−1n+1则不等式S n <2t 2+at −3恒成立等价于1−1n +1<2t 2+at −3恒成立，而1−1n +1<1，∴问题等价于对任意的a ∈−2,2,n ∈N *，2t 2+at −4≥0恒成立．设f a =2t 2+at −4，a ∈−2,2，则f 2≥0f −2≥0，即t 2+t −2≥0t 2−t −2≥0，解得：t ≥2或t ≤−2.故选：A【点睛】思路点睛：本题考查等差数列的通项公式，递推关系式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查函数与方程的思想方法，以及运算能力，属于中档题．二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=6，a n +1+2=a n ，则（）A ．a n 是等差数列B ．a n 是等比数列C ．a n 是递增数列D ．a n 是递减数列【答案】AD【分析】依题意可得a n +1−a n =−2，即可得到a n 是递减的等差数列；【详解】解：因为a n +1+2=a n ，所以a n +1−a n =−2，又a 1=6，所以a n 是由6为首项，−2为公差的等差数列，因为公差小于0，所以a n 是递减数列；故选：AD10．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）设等差数列a n 中，a 1=3，公差d =−5，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列b n，则（）A．b1=7B．b2=−27C．b3=−47D．b2022=a8087【答案】BCD【分析】先利用等差数列的通项公式求出a n=−5n+8，再由题意逐一判断即可【详解】因为a1=3，d=−5，所以a n=a1+n−1d=3+n−1×−5=−5n+8，数列a n中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，⋯，所以b1=a3=−7,b2=a7=−27,b3=a11=−47,故A错误，BC正确；设数列a n中的第m项是数列b n中的第k项，则m=3+4k−1=4k−1，所以当k=2022时，m=4×2022−1=8087，故b2022=a8087，所以D正确，故选：BCD11．（2022·重庆市广益中学校高二阶段练习）下列说法中，正确的有（）A．数列a n的通项a n=1n2+2n，则a n中最大项为第2项；B．已知数列a n中，a n=1n(n+2)，那么1120是这个数列的第10项;C．已知等差数列a n的前n项和为S n，S2=4，S4=10，则S6=18；D．已知a n+1=a n+3，则数列a n是递增数列．【答案】BCD【分析】对于A，算出a1,a2即可判断；对于B1120，计算出n=10，即可判断；对于C，利用等差数列前n项和的性质即可判断；对于D，由a n+1−a n=3>0，即可判断【详解】对于A，因为a1=13，a2=18，故a n中最大项不是第2项，故错误；对于B1120，解得n=10，故1120是a n的第10项，故正确；对于C，已知等差数列a n的前n项和为S n，则S2,S4−S2,S6−S4成等差数列，所以2S4−S2=S2+S6−S4,即12=4+S6−10，解得S6=18，故正确；对于D，由a n+1=a n+3可得a n+1−a n=3>0，即a n+1>a n，所以数列为递增数列，故正确，故选：BCD12．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习）已知数列a n，b n均为递增数列，其前n 项和分别为S n 和T n ，若数列a n +a n +1是3为首项，3为公差的等差数列，数列b n b n +1是3为首项，3为公比的等比数列，则下列结论正确的是（）A ．0<a 1<32B ．1<b 1<2C ．S 2n =3n 2+nD ．T 2n >3(3n −1)【答案】AD【分析】根据题意，明确a n +a n +1和b n ⋅b n +1的通项公式，对于A 、B ，根据数列单调性，结合数列的通项公式，列出不等式，可得答案；对于C 、D ，根据求和的定义，利用分组求和，根据等差数列与等比数列的求和公式以及基本不等式，可得答案.【详解】由题意，可得a n +a n +1=3+n −1×3=3n ，b n b n +1=3×3n −1=3n ，对于A ，因为数列a n 为递增数列，所以a 1<a 2<a 3，所以a 1+a 2>2a 1a 2+a 3>2a 2，又因为a n +a n +1=3n ，所以a 1+a 2=3a 2+a 3=6，则3>2a 16>2a 2=6−2a 1，解得0<a 1<32，故A 正确；对于B ，因为b n ⋅b n +1=3n ，所以b 1b 2=3①b 2b 3=9②，由①得b 2=3b 1，由①②得b 3=3b 1，又数列b n 为递增数列，所以b 1<b 2<b 3，所以3b 1>b 13b 1>3b 13b 1>b 1，解得1<b 1<3，故B 不正确；对于C ，S 2n =a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 2n −1+a 2n =3+9+15+⋯+32n −1=n ⋅3+32n 2=3n 2，故C 不正确；对于D ，由b n ⋅b n +1=3n ，则b n +1⋅b n +2=3n +1，两式作比可得：b n +2b n=3，所以数列b n 的奇数项和偶数项构成首项分别为b 1,b 2，公比都为3的等比数列，所以T 2n =b 1+b 2+b 3+⋯+b 2n =b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n −1+b2+b 4+b 6+⋯+b 2nn −1b 1+b 2>b 1b 23n −1=33n −1，因为b 1≠b 2，故取不到等号，则T 2n >33n −1，故D 正确.故选：AD.【点睛】等差数列与等比数列的公式法的应用，根据未知数列的单调性，建立不等式组，求得未知数列的前n 项和时，首先要根据定义，一一写出求和式，观察规律，判断其使用合适的求和方式，若分组可得特殊数列，则利用分组求和法；若数列的通项可分为一个等比数列与等差数列相乘，则利用错位相减法；若数列可列成两项相减，则利用裂项相消法.第II卷（非选择题）三.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题）已知等差数列a n的前n项和为S n，若S2=2，S4=6，则S6=______．【答案】12【分析】由等差数列的性质求解【详解】由题意得S2,S4−S2,S6−S4成等差数列，则S6−6+2=2×(6−2)，得S6=12故答案为：1214．（2022·福建省华安县第一中学高二阶段练习）若数列a n满足1an+1−1an=d（n∈N*，d为常数），则称数列a n为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1+b2+⋯+b2022=20220，则b2b2021的最大值是________.【答案】100【分析】先判定正项数列b n为等差数列，利用等差数列的性质得到b2+b2021=20，再利用均值定理即可求得b2b2021的最大值“调和数列”，则可令b n+1−b n=d（d为常数），则正项数列b n为等差数列，公差为d则b1+b2+⋯+b2022则b1+b2022=20，则b2+b2021=20则b2b2021=100（当且仅当b2=b2021=10时等号成立）则b2b2021的最大值是100故答案为：10015．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知数列满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2n−1⋅3n，设b n=4n a n，S n为数列b n前n项和，若S n<λ（λ为常数），则λ最小值为__________.【答案】3112【分析】由前n 项和与通项的关系可求得a n ，再利用错位相减法即可求得S n .【详解】n =1时，a 1=3，因为a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =2n −1⋅3n ①所以a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n −1)a n −1=2n −3⋅3n −1②①−②得：na n =4n ⋅3n −1，即a n =4⋅3n −1（n ≥2），不符合a 1=3，所以a n =3，n =14⋅3n −1，n ≥2，b n n =1n ≥2，所以S n =43+23+332+⋯+n3n −1=13+130+231+332+⋯+n3n −1③13S n =19+131+232+333+⋯+n3n ④③−④得：23S n =29+130+131+⋯+13n −1−n 3n =29+1−13n 1−13−n3n .化简得：S n =3112−6n +94×3n <3112，因为S n <λ，所以λ的最小值是3112.故答案为：3112.16．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列a n 中3a 1,12a 3,2a 2成等差数列，则a 2022+a2021a 2020+a 2019=__________．【答案】9【分析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【详解】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，因为3a 1,12a 3,2a 2成等差数列，所以2×12a 3=3a 1+2a 2，即a 1q 2=3a 1+2a 1q ，又a 1>0，∴q 2−2q −3=0所以q =3或q =−1（不符合题意，舍去）.所以a 2022+a 2021a 2020+a 2019=a 1q 2021+a 1q 2020a 1q 2019+a 1q 2018=q 3+q 2q +1=q 2=9，故答案为：9.四.解答题(本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2020·北京市第四中学顺义分校高二期中）已知数列a n 的前n 项和S n =n 2+n ，其中n ∈N +．(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=2n+1，求数列b n的前n项和T n．【答案】(1)a n=2n(2)T n=4n+1−43+n【分析】（1）利用a n=S n−S n−1，即可求出a n的通项公式（2）求出b n，利用等比数列求和公式即可求解.（1）当n=1时，S1=12+1=2当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2+n−n−12+n−1=2n．当n=1时，也成立∴a n=2n．（2）b n=22n+1=4n+1令数列c n=4n，∴数列c n是一个以4为首项，4为公比的等比数列．∴数列c n的前n4n+1−43∴T n=4n+1−43+n．18．（河南省豫南名校2022-2023学年高三上学期10月质量检测数学试题）设等比数列a n 的前n项和为S n，且a2=9，S3−a1=36．(1)求a n的通项公式；(2)若b n=a n+log3a n，求数列b n的前n项和T n．【答案】(1)a n=3n(2)3n+1+n2+n−32【分析】（1）结合题干条件求解基本量a1,q，利用等比数列的通项公式求解即可；（2）分组求和即可得解.（1）设数列a n的公比为q，则a2=a1q=9,S3-a1=a2+a3=a1q+a1q2=36,解得a1=3，q=3．故a n=a1q n−1=3×3n−1=3n．（2）由（1）可得b n=3n+log33n=3n+n．则T n=(3+1)+32+2+⋯+3n+n=3+32+⋯+3n+(1+2+⋯+n)(1+n)n2=3n+1+n2+n−32．19．（广东省湛江市2023届高三上学期调研测试数学试题）设数列a n的前n项和为S n，已知a12的等差数列．(1)求a n的通项公式；(2)设b n =1a n a n +1，求数列b n 前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n −5；(2)T n =−n6n −9.【分析】（1）利用等差数列通项公式求出S n ，再利用前n 项和求数列a n 的通项作答.（2）由（1）求出b n ，再利用裂相消法求解作答.（1）依题意，2S 11=2a 1=−6，因此2S nn=−6+2(n −1)=2n −8，即S n =n 2−4n ，当n ≥2时，a n =S n −S n −1=n 2−4n −[(n −1)2−4(n −1)]=2n −5，而a 1=−3满足上式，所以数列a n 的通项公式是a n =2n −5.（2）由（1）知，b n =1(2n −5)(2n −3)=12(12n −5−12n −3)，因此T n =12[(1−3−1−1)+(1−1−11)+(11−13)+(13−15)+⋯+(12n −5−12n −3)]=12(−13−12n −3)=−n6n −9，所以数列b n 前n 项和T n =−n6n −9.20．（云南省名校2023届高三上学期第二次月考数学试题）设数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n −2，数列b n 满足b 1=1a 1，且b n +1=bn 3b n+1.(1)证明：数列a n a n ，b n 的通项公式；(2)n 项和为T n ，求T n .【答案】(1)证明见解析，a n =2n ，b n =13n −1(2)T n =8+3n −4⋅2n +1【分析】（1）根据题意，a n +1=S n +1−S n 整理判定数列a n 是等比数列，根据等差数列定义证（2）由（1）an b n=3n −1×2n ，再根据错位相减法求解即可.（1）证明：当n =1时，a 1=2a 1−2，即a 1=2.因为S n =2a n −2，所以S n +1=2a n +1−2，则a n +1=S n +1−S n =2a n +1−2a n ，即a n +1=2a n .以数列a n 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n =2n .又因为b n +1=b n 3b n +1，b 1=12，所以1b n +1−1b n =32为首项，公差为3的等差数列，所以1b n=2+3n −1=3n −1，所以b n =13n −1.（2）解：由（1），an b n=3n −1×2n ，所以T n =2×21+5×22+8×23+⋯+3n −4×2n −1+3n −1×2n ①，2T n=2×22+5×23+8×24+⋯+3n−4×2n+3n−1×2n+1②，所以①−②得，−T n=4+3×22+23+24+…+2n−3n−1×2n+13n−1×2n+1=−8−3n−4×2n+1所以T n=8+3n−4⋅2n+1.21．（2020·北京市第四中学顺义分校高二期中）设a n是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(1)求数列a n的通项公式；(2)记a n的前n项和为S n，求S n的最小值．【答案】(1)a n=2n−12(2)-30【分析】（1）根据已知求出公差d，即可求得通项公式（2）根据S n是关于n的二次函数，利用二次函数的性质结合n的范围求解即可（1）解：设a n的公差为d∵a2+10，a3+8，a4+6成等比数列∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)即：d2−4d+4=0解得：d=2∴a n=−10+2(n−1)=2n−12故数列a n的通项公式为a n=2n−12（2）解：S n=−10n n2−11n=n−1214∴n=5或n=6时，S n取得最小值当n=5或n=6时，求得S5=S6=−30故S n的最小值为-3022．（辽宁省大连市滨城联盟2022-2023学年高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题）已知a n 的前n项和为S n，a1=2，且满足______，现有以下条件：①2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2n a n=4n+1−43；②S n=2a n−2；③S n+1−2S n=2请在三个条件中任选一个，补充到上述题目中的横线处，并求解下面的问题：(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=n log2a n+1n项和T n，并证明：34≤T n<1．【答案】(1)a n=2n；(2)T n=1−1(n+1)2；证明见解析.【分析】（1）根据a n与S n的关系结合等比数列的定义即得；=1n2−1(n+1)2，然后根据裂项相消法即得.（2）由题可得b n=n(n+1)，2n+1bn2（1）若选择条件①：因为2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2n a n=4n+1−43，当n≥2时，2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2n−1a n−1=4n−43，两式相减得2n a n=4n+1−43−4n−43=4n，所以当n≥2时a n=2n，当n＝1时符合，∴a n=2n；若选择条件②：因为S n=2a n−2，当n≥2时S n−1=2a n−1−2，两式相减得a n=2a n−1，a1=2≠0，∴a n是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n；若选择条件③：∵S n+1−2S n=2，∴n≥2时，S n−2S n−1=2，两式相减得a n+1=2a n，当n＝1时，S2−2S1=2，可得a2=4，a2=2a1，∴n∈N*时a n+1=2a n成立，∴a n是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n=2n；（2）由（1）可知b n=n log2a n+1=n log22n+1=n(n+1)，则2n+1bn2=2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2，所以T n=1−122+122−132+⋯+1n2−1(n+1)2=1−1(n+1)2，因为2n+1bn2=2n+1n2(n+1)2>0，T n≥T1=34，又因为T n=1−1(n+1)2<1，所以34≤T n<1．。

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第三章《数列》章末目标测试题（A ）
（做1-20题时间90分钟，满分120分；做1-22题，时间120分钟，满分150分）
一、选择题（在每小题的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项的代号填在题后的括号內.每小题5分，共60分）
1、下列说法：①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列，②数列1，2，3与数列1，2，3……是同一数列，③数列a,b,c 与数列c,b,a 一定不是同一数列，④-1，8，4，-13，1000不是数列，其中正确的个数为（）
（A ） 3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个
2、若a n =n 2+n,则下列四个数中属于{a n }的是（）
（A ）78 （B ）72 （C ）68 （D ）62
3、数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n +2,a 10=( )
（A ）15 （B ）17 （C ）19 （D ）21
4、在ΔABC 中，“∠B=600”是“∠B 为∠A 、∠C 的等差中项”的（）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
5、数列{a n }为等差数列，则下列关系式能使{b n }也是等差数列的是（）
（A ）b n =| a n | （B ） b n =n
a 1 （C ）
b n =- a n （D ）b n = a n 2 6、数列{a n }为等差数列，若a 7=3,则S 13=( )
（A ）39 （B ）20 （C ）19.5 （D ）18
7、数列{a n }为等比数列，若a 3、a 9是方程3x 2
-11x+9=0的两根，则a 6=( )
（A ） 3 （B ）±3 （C ）±3 （D ）3
8、数列{a n }是以2为公比的等比数列，若a 1+a 4+a 7+…+a 28=100,则a 3+a 6+a 9+…+a 30=( )
（A ）25 （B ）50 （C ）125 （D ）400
9、已知-9，a 1,a 2,-1四数成等差数列，-9，b 1,b 2,b 3,-1五数成等比数列，则b 2(a 2-a 1)=( )
（A ）8 （B ）-8 （C ）±8 （D ）8
9 10、公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为（）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11、若a,b,c 成等差数列，且公差不为0，则二次函数f(x)=ax 2+2bx+c 的图象与x 轴的交点个数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定
12、设a,b,c,d 是等比数列，则a+b,b+c,c+d 一定是（）
（A ）等差数列（B ）等比数列
（C ）既是等差数列又是等比数列（D ）既不是等差数列又不是等比数列
二、填空题（把答案填在题中的橫线上,每小题4分，共16分）
13、24是数列11,22,5,2…的第项.
14、三个数成等比数列，它们的积是216，如果中间一个数加上4则构成等差数列，这三个数依次是 .
15、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n= .
16、已知3
log 1log 23=x ，则=+++n x x x x 32 . 三、解答题（写出必要的解题步驟和文字说明）
17、(10分)在公差不为0的等差数列{a n }中，若a 1,a 2为方程x 2-a 3x+a 4=0的
二实数根，求数列的通项公式a n .
18、（10分在等比数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3+…a n =2n -1,(n *N ∈),试求数列{a n 2}
的前n 项和.
19、（12分）求数列1，211+，3211++，4
3211+++，……的通项公式n a 及前n 项和n S .
20、（12分）某放射性物质，它的质量每天衰减3%，若此物质衰变到质量的一半以下，至少需要多少天？（lg0.97=-0.0132,lg0.5=-0.3010）
21、（15分）数列{a n }的前n 项和为,1002
n n S n -=数列{b n }的每项
||n n a b =，求{b n }的前n 项和n T n
22、（15分）在等差数列}{n a 中，2a =4，6a 是第一个比10大的项，
（1）求公差d 的范围，
（2）若公差d Z ∈，求数列}3
{n n a 前n 项和n S .。

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