kmeans(k均值聚类算法,c均值算法)复习课程
常见的六大聚类算法
常见的六大聚类算法六大常见的聚类算法包括K-means聚类算法、层次聚类算法、DBSCAN 算法、OPTICS算法、谱聚类算法和高斯混合模型聚类算法。
1. K-means聚类算法：K-means聚类算法是一种基于距离的聚类算法，它通过最小化数据点与聚类中心之间的欧氏距离来划分数据点。
算法的步骤如下：a.随机选择K个聚类中心。
b.将每个数据点分配到距离最近的聚类中心。
c.更新聚类中心为选定聚类的平均值。
d.重复步骤b和c直到聚类中心不再改变或达到最大迭代次数。
2.层次聚类算法：层次聚类算法是一种自底向上或自顶向下递归地将数据划分成不同的聚类的方法。
它通过计算数据点之间的距离或相似度来判断它们是否应该被合并到同一个聚类中。
算法的步骤如下：a.初始化每个数据点为一个单独的聚类。
b.计算两个最近的聚类之间的距离或相似度。
c.合并两个最近的聚类，形成一个新的聚类。
d.重复步骤b和c直到所有数据点都被合并到一个聚类中。
3.DBSCAN算法：DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applicationswith Noise）算法是一种基于密度的聚类算法，它通过寻找具有足够密度的数据点来划分聚类。
算法的步骤如下：a.随机选择一个未被访问的数据点。
b.如果该数据点的密度达到预设的阈值，则将其归为一个聚类，同时将其相邻且密度达到阈值的数据点添加到聚类中。
c.重复步骤a和b直到所有数据点都被访问。
4.OPTICS算法：OPTICS（Ordering Points To Identify the Clustering Structure）算法是一种基于密度的聚类算法，它通过将数据点按照密度排序来划分聚类。
算法的步骤如下：a.计算每个数据点的可达距离和局部可达密度。
b.根据可达距离和局部可达密度排序所有数据点。
c.根据可达距离和阈值划分聚类。
d.重复步骤b和c直到所有数据点都被访问。
k均值聚类算法 r语言
k均值聚类算法r语言k-means聚类算法是一种常用的无监督学习方法，通常用于将数据集分成多个簇（cluster）。
在本文中，我们将使用R语言实现k-means聚类算法，并详细介绍其原理、步骤和应用。
第一步：初始化在k-means算法中，需要首先选择簇的数量k。
这个k值可以通过经验法则或者使用聚类评估指标如轮廓系数来确定。
接下来，我们需要随机选择k个数据点作为初始质心。
第二步：分配数据点在k-means算法的分配步骤中，所有的数据点将被分配到与其最近的质心所代表的簇。
这个最近的质心可以通过计算数据点与所有质心之间的距离来确定。
常用的距离度量有欧氏距离和曼哈顿距离。
第三步：更新质心在更新步骤中，根据分配结果计算新的质心位置。
对于每一个簇，我们计算簇内所有数据点的平均值，将这个平均值作为新的质心位置。
第四步：迭代重复执行步骤二和步骤三，直到质心位置不再改变或者达到了预先设定的最大迭代次数。
第五步：输出结果最终的聚类结果是得到的簇标签，表示每个数据点属于哪个簇。
可以通过可视化手段将同一簇的数据点标记为同一种颜色或者形状，以便于分析和解释。
接下来，我们将使用R语言来实现k-means聚类算法。
假设我们有一个包含n 个数据点的数据集X，每个数据点有d个属性。
我们首先需要导入相关的R包和数据集。
R# 导入相关的R包library(stats)# 导入数据集data <- read.csv("data.csv")在R中，可以使用kmeans()函数来实现k-means聚类算法。
kmeans()函数的参数包括数据集、簇的数量k和最大迭代次数等。
R# 设置簇的数量和最大迭代次数k <- 3max_iterations <- 100# 执行k-means聚类算法result <- kmeans(data, centers = k, iter.max = max_iterations)执行完kmeans()函数后，可以通过以下代码获取聚类结果和质心位置。
k-means算法例题
k-means算法例题
K-means算法是一种基于迭代的聚类算法，它利用距离公式将数据集分为K个不同的聚类，每个聚类具有最相似的数据点。
以下是使用K-means算法的一个简单案例：
题目：使用K-means算法将下列数据点进行聚类（这里使用欧式距离作为度量，K取值为2）
数据点：P1(1,2), P2(2,3), P3(5,6), P4(7,8), P5(9,10), P6(15,14), P7(16,13), P8(18,17), P9(20,19)
解题步骤：
1. 选择聚类的个数K=2。
2. 任意选择两个数据点作为初始聚类中心，例如选择P1和P6。
3. 计算每个数据点到两个聚类中心的距离，并将每个数据点分配到距离最近的聚类中。
4. 重新计算每个聚类的中心点，即将该聚类中所有数据点的坐标求平均值得到新的聚类中心。
5. 重复步骤3和4，直到聚类中心不再发生变化或达到最大迭代次数。
6. 输出最终的聚类结果。
根据以上步骤，可以得到该数据集的聚类结果为：{P1, P2, P3, P4, P5}和{P6, P7, P8, P9}。
其中，第一个聚类中心为(3,4)，第二个聚类中心为(17,16)。
K-均值聚类算法
4.重复分组和确定中心的步骤，直至算法收敛；
2.算法实现
输入：簇的数目k和包含n个对象的数据库。 输出：k个簇，使平方误差准则最小。
算法步骤：
1.为每个聚类确定一个初始聚类中心，这样就有K 个初始 聚类中心。
2.将样本集中的样本按照最小距离原则分配到最邻近聚类
给定数据集X，其中只包含描述属性，不包含 类别属性。假设X包含k个聚类子集X1,X2,„XK；各 个聚类子集中的样本数量分别为n1，n2,„,nk;各个 聚类子集的均值代表点（也称聚类中心）分别为m1， m2,„,mk。
3.算法实例
则误差平方和准则函数公式为：
k
2
E p mi
i 1 pX i
单个方差分别为
E1 0 2.52 2 22 2.5 52 2 22 12.5 E2 13.15
总体平均误差是： E E1 E2 12.5 13.15 25.65 由上可以看出，第一次迭代后，总体平均误差值52.25~25.65， 显著减小。由于在两次迭代中，簇中心不变，所以停止迭代过程， 算法停止。
示为三维向量（分别对应JPEG图像中的红色、绿色 和蓝色通道） ； 3. 将图片分割为合适的背景区域（三个）和前景区域 （小狗）； 4. 使用K-means算法对图像进行分割。
2 015/8/8
Hale Waihona Puke 分割后的效果注：最大迭代次数为20次，需运行多次才有可能得到较好的效果。
2 015/8/8
例2：
2 015/8/8
Ox y 102 200 3 1.5 0 450 552
数据对象集合S见表1，作为一个 聚类分析的二维样本，要求的簇的数 量k=2。
聚类分析及k-means算法
举例应用
中国男足近几年到底在亚洲处于几流水平？下 图是采集的亚洲15只球队在2005年-2010年间大 型杯赛的战绩
对数据做了如下预处理：对于世界杯，进入决赛 圈则取其最终排名，没有进入决赛圈的，打入预 选赛十强赛赋予40，预选赛小组未出线的赋予50。 对于亚洲杯，前四名取其排名，八强赋予5，十六 强赋予9，预选赛没出现的赋予17。这样做是为了 使得所有数据变为标量，便于后续聚类。
处理后的数据如下：
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现 抽取日本、巴林和泰国的值作为三个类的种子， 即初始化三个类的中心为
A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
相似性度量指标
空间距离 相似系数（similarity coefficient）
空间距离
假使每个样品有p个变量，则每个样品都 可以看成p维空间中的一个点，n个样品 就是p维空间中的n个点，则第i样品与第
j 样品之间的距离记为 dij
样品距离必须满足的条件
➢ 对称性 dij d ji 0 ➢ 三角不等式 dij dik d jk ➢ dij 0 则样品i与样品j不相等
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰
国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类 的中心点。
斜交空间距离
相似系数
K-means
d M 2 , O3
0 1.52 2 02 2.5
0 1.52 0 02 1.5
显然 d M 2 , O3 d M 1 , O3 ，故将O3分配给C 2 ；同理，将O4 分配 O 给 C 2 ， 4 分配给 C1 。 更新，得到新簇 C1 O1 ,O5 和 C1 O1 ,O5 计算平方误差准则，单个方差为 2 2 2 2 E2 27.25 E1 0 0 2 2 0 5 2 2 25
划分聚类方法对数据集进行聚类时包括如下 三个要点： （1）选定某种距离作为数据样本间的相似性度 量 上面讲到，k-means聚类算法不适合处理离散型 属性，对连续型属性比较适合。因此在计算数据样 本之间的距离时，可以根据实际需要选择欧式距离、 曼哈顿距离或者明考斯距离中的一种来作为算法的 相似性度量，其中最常用的是欧式距离。下面我给 大家具体介绍一下欧式距离。
k-means算法的改进方法——k-中心点算法
k-中心点算法：k -means算法对于孤立点是敏感的。为 了解决这个问题，不采用簇中的平均值作为参照点，可以 选用簇中位置最中心的对象，即中心点作为参照点。这样 划分方法仍然是基于最小化所有对象与其参照点之间的相 异度之和的原则来执行的。
总体平均方差是： E E1 E2 25 27.25 52.25 （3）计算新的簇的中心。
M 2 0 1.5 5 3, 0 0 0 3 2.17,0
M1 0 5 2, 2 2 2 2.5,2
重复（2）和（3），得到O1分配给C1；O2分配给C2，O3分配 给C2 ，O4分配给C2，O5分配给C1。更新，得到新簇 C1 O1 ,O5 ，
kmeans聚类公式
kmeans聚类公式
Kmeans聚类方法是一种常用的无监督学习算法，它将数据集分
成K个不同的类别。
其核心思想是将数据点分配到最近的聚类中心，并不断更新聚类中心的位置，直到达到最优解。
下面是Kmeans聚类
的公式：
1. 初始化聚类中心
在开始Kmeans算法之前，需要先选择初始的聚类中心。
可以随
机从数据集中选择K个点作为初始聚类中心，也可以利用其他聚类初始化方法。
2. 计算数据点到聚类中心的距离
对于每个数据点，需要计算它们到每个聚类中心的距离。
这里使用欧几里得距离公式来计算数据点i到聚类中心j的距离：
distance(i, j) = sqrt( (x(i)-c(j))^2 + (y(i)-c(j))^2 + ... + (z(i)-c(j))^2 )
其中，x(i), y(i), z(i)代表数据点i的坐标值，c(j)代表聚类中心j的坐标值。
3. 将数据点分配到最近的聚类中心
对于每个数据点，将其分配到距离最近的聚类中心所在的类别中。
4. 更新聚类中心的位置
对于每个类别，计算该类别中所有数据点的坐标平均值，作为新的聚类中心坐标。
如下所示：
c(j) = (1/n) * SUM(x(i))
其中，n代表该类别中数据点的个数，SUM(x(i))代表该类别中所有数据点的坐标值之和。
5. 重复以上步骤
重复以上步骤2-4，直到聚类中心的位置不再改变为止，或者达到最大迭代次数。
最终的聚类结果即为数据集被分成的K个不同的类别。
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类
2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类一、概述研究生数学建模竞赛一直是我国研究生数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学建模能力和创新思维起到了至关重要的作用。
2023年研究生数学建模竞赛的e题涉及到k-means聚类问题，k-means聚类作为一种经典的数据聚类方法，具有广泛的应用价值和理论研究意义。
本文将对2023年研究生数学建模竞赛e题k-means聚类进行深入分析和讨论。
二、k-means聚类的原理和算法1. k-means聚类的原理k-means聚类是一种基于样本的无监督学习方法，其原理是将n个样本分成k个簇，使得每个样本点都属于离它最近的均值所对应的簇。
具体而言，k-means聚类的目标是最小化簇内点与簇中心的距离的平方和，即最小化目标函数：\[J = \sum_{i=1}^{k}\sum_{x∈C_i}||x-μ_i||^2\]其中，μ_i是第i个簇的均值向量，C_i是第i个簇的样本集合。
2. k-means聚类的算法k-means聚类的算法主要包括以下几个步骤：1）初始化簇中心：随机选择k个样本点作为初始的簇中心。
2）分配样本点：对每个样本点，计算其与各个簇中心的距离，并将其分配到离它最近的簇中心所对应的簇。
3）更新簇中心：对每个簇，重新计算其均值向量作为新的簇中心。
4）重复步骤2和步骤3，直至簇中心不再发生变化或达到最大迭代次数。
三、k-means聚类的应用领域k-means聚类作为一种简单而有效的聚类方法，在各个领域中都有着广泛的应用，主要包括但不限于以下几个方面：1. 图像分割：将图像中相似的像素点聚类到同一簇，从而实现图像的分割和分析。
2. 文本聚类：将文本数据按照其语义和主题进行聚类分析，用于信息检索和文本分类。
3. 生物信息学：基因序列、蛋白质结构等生物学数据的聚类分析。
4. 社交网络分析：对社交网络中的用户行为、关系等进行聚类研究，挖掘其中的规律和特征。
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10 2 20 0 3 1.5 0
M1 0 5 2,2 2 2 2.5,2 M 2 0 1.5 5 3,0 0 0 3 2.17,0
45 0 55 2
重复（2）和（3），得到O1分配给C1；O2分配给C2，O3分配
输入：簇的数目k和包含n个对象的数据库。
输出：k个簇，使平方误差准则最小。 算法步骤： 1.为每个聚类确定一个初始聚类中心，这样就有K 个 初始聚类中心。 2.将样本集中的样本按照最小距离原则分配到最邻 近聚类 3.使用每个聚类中的样本均值作为新的聚类中心。 4.重复步骤2.3直到聚类中心不再变化。 5.结束，得到K个聚类
三个要点：
• （1）选定某种距离作为数据样本间的相似性度 量
上面讲到，k-means聚类算法不适合处理离散型 属性，对连续型属性比较适合。因此在计算数据样 本之间的距离时，可以根据实际需要选择欧式距离 、曼哈顿距离或者明考斯距离中的一种来作为算法 的相似性度量，其中最常用的是欧式距离。下面我 给大家具体介绍一下欧式距离。
将样本分配给距离它们最近的中心向量，并使目
标函数值减小
n
i1
min
j{1, 2 ,...,k }
||
xi
p
j
|| 2
更新簇平均值
xi
1 Ci
x
xCi
计算准则函数E
E
k i 1
2
xCi x xi
2020/3/7
K-means聚类算法
划分聚类方法对数据集进行聚类时包括如下
n2,…,nk;各个聚类子集的均值代表点（也称聚类中
心）分别为m1，m2,…,mk。则误差平方和准则函数
公式为：
k
2
E p mi
i 1 pX i
• （3）相似度的计算根据一个簇中对象的平均值
来进行。
• （1）将所有对象随机分配到k个非空的簇中。
• （2）计算每个簇的平均值，并用该平均值代表相 应的簇。
2.13.2 The k-Means Algorithm (K-均值聚类算法）
主讲内容
算法简介 算法描述 算法要点
算法实例
算法性能分析
算法改进
ISODATA算法
gapstatistics
算法应用
算法简介
• k-means算法，也被称为k-平均或k-均 值，是一种得到最广泛使用的聚类算法。 它是将各个聚类子集内的所有数据样本 的均值作为该聚类的代表点，算法的主 要思想是通过迭代过程把数据集划分为 不同的类别，使得评价聚类性能的准则 函数达到最优，从而使生成的每个聚类 内紧凑，类间独立。这一算法不适合处 理离散型属性，但是对于连续型具有较 好的聚类效果。
显然 dM 2 ,O3 dM1,O3 ，故将O3分配给C2
• 对于 O4 ： d M1,O4 0 52 2 02 29
Ox y 10 2
20 0
d M 2 , O4 0 52 0 02 5
3 1.5 0
• 因为 d M2,O4 d M1,O4 所以将 O4 分配给 c2 4 5 0
• （3）根据每个对象与各个簇中心的距离，分配给 最近的簇。
• （4）然后转（2），重新计算每个簇的平均值。 这个过程不断重复直到满足某个准则函数才停止 。
例子
Ox 10 20 3 1.5 45 55
数据对象集合S见表1，作为一个聚类分析的二维
y
样本，要求的簇的数量k=2。
(1)选择 O10,2 ，O2 0,0 为初始的簇中心，
Байду номын сангаас • 算法描述
1. 为中心向量c1, c2, …, ck初始化k个种子 2. 分组:
✓ 将样本分配给距离其最近的中心向量 ✓ 由这些样本构造不相交（ non-overlapping ）
的聚类
3. 确定中心: ✓ 用各个聚类的中心向量作为新的中心
4. 重复分组和确定中心的步骤，直至算法收敛
算法 k-means算法
E1 0 02 2 22 0 52 2 22 25 M1 O1 0,2
E2 27.25 M2 O2 0,0
Ox y
总体平均方差是： E E1 E2 25 27.25 52.25
（3）计算新的簇的中心。
• 对于 ： O5 d M1, O5 0 52 2 22 5
55 2
d M 2 , O5 0 52 0 22 29
• 因为 d M1,O5 d M2,O5 所以将 O5 分配给 C1
• 更新，得到新簇 C1 O1,O5 和 C2 O2,O3,O4 • 计算平方误差准则，单个方差为
2
即M1 O1 0,2 ， M 2 O2 0,0 。
(2)对剩余的每个对象，根据其与各个簇中心的距
0
离，将它赋给最近的簇。
0
对 O3 ：
dM1,O3 0 1.52 2 02 2.5
0
2
dM 2 ,O3 0 1.52 0 02 1.5
欧式距离公式如下：
d
d xi , x j
xik x jk 2
k 1
• （2）选择评价聚类性能的准则函数
k-means聚类算法使用误差平方和准则函数来
评价聚类性能。给定数据集X，其中只包含描述属
性，不包含类别属性。假设X包含k个聚类子集
X1,X2,…XK；各个聚类子集中的样本数量分别为n1，
假设给定的数据集 X xm | m 1,2,...,total，X中
的样本用d个描述属性A1,A2…Ad来表示，并且d个描 述属性都是连续型属性。数据样本
xi=(xi1,xi2,…xid), xj=(xj1,xj2,…xjd)其中， xi1,xi2,…xid和xj1,xj2,…xjd分别是样本xi和xj对应d 个描述属性A1,A2,…Ad的具体取值。样本xi和xj之 间的相似度通常用它们之间的距离d(xi,xj)来表示 ，距离越小，样本xi和xj越相似，差异度越小；距 离越大，样本xi和xj越不相似，差异度越大。