初中数学疑难习题

初中数学难题
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，P,Q分别是AC,AB上的点，AP=PQ＝QB＝BC，求角ACQ的度数。

解：过Q作QE//BC，使得QE=QB，连接EP,EC
则四边形BCEQ为菱形，由EC//AB得出∠ECP=∠A=∠PQA
PC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ
故△ECP≌△PQA
故PE=AP=PQ=QE，∴△PQE为等边三角形，
故图中的x=20°，因此∠ACQ=30°.
2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN 都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三
角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
又∵点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．
∴△FBM ≌△MDH．∴FM = MH
∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM
（2）证明：连接MB、MD，如图23-2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，
且MB=CD=DH
∴四边形BCDM是平行四边形．∴∠CBM =∠CDM
又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．∴△FBM ≌△MDH
∴FM = MH，且∠MFB =∠HMD
又∵MD∥BC，∴∠FMD＝∠APM，
∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．
∴△FMH是等腰直角三角形
（3）解：△FMH是等腰直角三角形…
3 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．
（1）FG与DC的位置关系是
FG⊥CD
，FG与DC的数量关系是
FG=$\frac{1}{2}$CD
；
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然
成立？请证明你的结论．
解析（1）证FG和CD的大小和位置关系，我们已知了G是CD的中点，猜想应该是FG⊥CD，
FG=$\frac{1}{2}$CD．我们可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过证明全等三角形来证明，延长DE交AC于M，连接EM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，这样就构成了三角形DEF和EMC的全等的所有条件，DF=FC这样就得出三角形DFC是等腰三角形了，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，
FG=$\frac{1}{2}$CD的结论了．
（2）和（1）的证法完全一样．
（1）FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．
（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，
∴四边形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三
角形，
∴ED=BD=CM．
∵∠E=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中点，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45°．
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD，FG⊥CD．
如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？
解析（1）由题意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠
DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．
解答（1）四边形ADEF为平行四边形，
证明：∵△ABD和△EBC时等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC；
∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
∴∠DBE=∠ABC；
∵在△BDE和△BAC中
BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC
，
∴△BDE≌△BAC
∴DE=AC=AF
同理可证：△ECF≌△BCA，
∴EF=AB=AD
∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形．
理由是：∵AB=AC，
∴AD=AF．
∴ADEF是菱形．
∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF
=∠BCA+60°+∠CBA
=180-∠BAC+60°
=240°-∠BAC，
∴∠BAC=150°．。