2020高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_3等比数列及其前n项和课件理新人教A版
跟踪训练 (1)(2018·永定区校级月考)在正项等比数列{an}中，a1a13＝100，则lg a4
＋lg a7＋lg a10的值是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：∵a1a13＝100，∴a27＝100，∴a7＝10，
∴a4a7a10＝a37＝1 000，∴lg a4＋lg a7＋lg a10＝lg (a4a7a10)＝3，故选D.
第三节 等比数列及其前n项和
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考情考向分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数
以考查等比数列的通项、前n项和及 性质为主，等比数列的证明也是考查
列的通项公式与前n项和公式．
的热点．本节内容在高考中既可以以
2．能在具体的问题情境中识别数列 选择题、填空题的形式进行考查，也
＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝33n2－1，
从而S2n－1＝S2n－a2n＝33n2－1－2×3n－1＝32(5×3n－2－1)． 综上所述，Sn＝323253× n2－3n1－2，3n－是1偶，数n是 . 奇数， [答案] (1)C
名师点拨 1.等比数列求和问题，用求和公式时，要注意分q＝1或q≠1讨论． 2．对于项数的奇偶性影响求an或Sn时，要分n的奇偶性讨论． 3．等比数列的单调性的判断要分a1与q的取值讨论．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以
an＋1 2n－1
－
an 2n－2
＝3.所以数列
2an－n 2
是公差为3，
首项为2的等差数列．所以
an 2n－2
＝2＋(n－1)×3＝3n－1.所以an＝(3n－1)·2n－2，所
以cn＝2n－2. 所以ccn＋n 1＝22nn－ －12＝2.
2020版高考数学一轮复习 第5章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和讲义 理(含解析)
（2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足 a1＝1,nan＋1＝2（n＋1)an,设 bn＝ ann.
(1）求 b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由； (3)求｛an｝的通项公式． 解 (1）由条件可得 an＋1＝错误!an。 将 n＝1 代入，得 a2＝4a1，而 a1＝1,所以 a2＝4。 将 n＝2 代入，得 a3＝3a2，所以 a3＝12. 从而 b1＝1,b2＝2，b3＝4。 （2）｛bn｝是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由题设条件可得na＋n＋11 ＝ 错误!，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1，所以｛bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数 列． （3）由（2）可得错误!＝2n－1，所以 an＝n·2n－1. 条件探究 1 将举例说明条件改为“a1＝1，a2，n－（2an＋1－1)an－2an＋1 ＝0，且 an>0"，求｛an｝的通项公式．
答案 6
解析 因为 a1＝2,an＋1＝2an，所以 an≠0,故aan＋n 1＝2.
所以数列{an}是公比为 2 的等比数列，因为 Sn＝126，所以错误!＝126, 所以 2n＝64，故 n＝6.
题型 错误! 等比数列基本量的运算
1．已知等比数列{an｝满足 a1＋a2＝6,a4＋a5＝48,则数列｛an}前 8 项的 和 S8＝（ ）
第 3 讲 等比数列及其前 n 项和
［考纲解读］ 1。理解等比数列的概念及等比数列与指数函数的关系． 2。掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并熟练掌握其推导方法，能 在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决 相应的问题．(重点) 3。熟练掌握等比数列的基本运算和相关性质．(难点）
2020版高考数学大一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和理解析版新人教A版
第3节 等比数列及其前n 项和考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；通项公式的推广：a n ＝a m qn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q.3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n）1－2＝126，解得n ＝6. 答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73. 答案 (1)B (2)73[思维升华]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. [易错防范]1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.2.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2. 又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d . 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q nS m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 (1)2 (2)3116基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A.16B.8C.2 2D.4解析 因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8. 答案 B3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A.1B.5C.3148D.1116解析 由题意得a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116. 答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则ab＝( )A.－3B.－1C.1D.3解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3， ∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a b＝－3.答案 A 二、填空题6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.解析 设{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3，则a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 则a 13＋a 14a 14＋a 15＝1q＝2－1.答案2－17.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 答案12n 8.(2018·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2(1－29)1－2＝1 022. 答案 1 022 三、解答题9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n1－3＝3n－12.T n ≤S n 即3n－12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6.答案 C12.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n－1)2B.12(9n－1)C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25， ∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 8314.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n－1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，②①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ×2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n＝(n－1)2n＋1＋2.新高考创新预测15.(创新思维)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3.若a1>1，则下列选项可能成立的是( )A.a1<a2<a3<a4B.a1＝a2＝a3＝a4C.a1>a2>a3>a4D.以上结论都有可能成立解析构造函数f(x)＝e x－x－1，f′(x)＝e x－1＝0，x＝0，得极小值f(0)＝0，故f(x)≥0，即e x≥x＋1恒成立(x＝0取等号).a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3>a1＋a2＋a3＋1⇒a4>1⇒q>0，且a2>1，a3>1，若公比q∈(0，1]，则4a1≥a1＋a2＋a3＋a4＝e a1＋a2＋a3>e2＋a1>7e a1>7a1＋7>4a1，产生矛盾.所以公比q>1，故a1<a2<a3<a4.故选A.答案 A。
高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和习题课件
3．[2018·江西九江一模]已知单调递增的等比数列{an}
中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝( )
A．2n－2－14 B．2n－1－12
C．2n－1
D．2n＋1－2
解析 因为 a2·a6＝16，所以 a3·a5＝16，又 a3＋a5＝10，
等比数列{an}单调递增，所以 a3＝2，a5＝8，所以公比 q＝
∴Sn＝2n＋nn－2 1·2＝n(n＋1)．故选 A.
5．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋ a3＋a5＝21，则 a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42 C．63 D．84
解析 设等比数列{an}的公比为 q，则 a1(1＋q2＋q4)＝ 21，又 a1＝3，所以 q4＋q2－6＝0，所以 q2＝2(q2＝－3 舍 去)，所以 a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以 a3＋a5＋a7＝42. 故选 B.
2，a1＝12，所以 Sn＝1211－－22n＝2n－1－12.故选 B.
4．[2018·延庆模拟]等差数列{an}的公差为 2，若 a2，
a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( ) A．n(n＋1) B．n(n－1)
nn＋1 C. 2
nn－1 D. 2Fra bibliotek解析 ∵a2，a4，a8 成等比数列， ∴a24＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)， 将 d＝2 代入上式，解得 a1＝2，
7．[2018·昆明模拟]设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，
若SS42＝3，则SS64＝(
)
A．2
7 B.3
3 C.10
D．1 或 2
高考数学一轮复习配套讲义：第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲等比数列及其前n项和[最新考纲]1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3．了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2)，q为常数．(2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 若等比数列{a n }的第m 项为a m ，公比是q ，则其第n 项a n 可以表示为a n ＝a m q n －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 3．等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .(4)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．辨 析 感 悟1．对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×) (3)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为aq ，a ，aq .(√) 2．通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.(×)(5)(·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n＝3－2a n.(√)3．等比数列性质的活用(6)如果数列{a n}为等比数列，则数列{ln a n}是等差数列．(×)(7)(·兰州模拟改编)在等比数列{a n}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝25.(√)(8)(·江西卷改编)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于－2或0.(×)[感悟·提升]1．一个区别等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以有两个值．如(1)中的“常数”，应为“同一非零常数”；(2)中，若b2＝ac，则不能推出a，b，c成等比数列，因为a，b，c为0时，不成立．2．两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误，如(4)．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制，如(6)中当a n＋1a n＝q＜0时，ln a n＋1－ln a n＝ln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】(·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有S n＝2a n－3n，设b n＝a n＋3.求证：数列{b n}是等比数列，并求a n.证明由S n＝2a n－3n对于任意的正整数都成立，得S n＋1＝2a n＋1－3(n＋1)，两式相减，得S n＋1－S n＝2a n＋1－3(n＋1)－2a n＋3n，所以a n＋1＝2a n＋1－2a n－3，即a n＋1＝2a n＋3，所以a n＋1＋3＝2(a n＋3)，即b n＋1b n＝a n＋1＋3a n＋3＝2对一切正整数都成立，所以数列{b n}是等比数列．由已知得：S 1＝2a 1－3，即a 1＝2a 1－3，所以a 1＝3， 所以b 1＝a 1＋3＝6，即b n ＝6·2n －1. 故a n ＝6·2n －1－3＝3·2n －3.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法：一是定义法，证明a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数)；二是等比中项法，证明a 2n ＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练1】 (·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． ∴假设不成立，∴{a n ＋1}不是等比数列．考点二 等比数列基本量的求解【例2】 (·湖北卷)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解．(2)分两种情况，由a n ⇒1a n ⇒再用等比数列求和求∑n ＝1m 1a n⇒得到结论．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎨⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列． 从而∑n ＝1m 1a n ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故∑n ＝1m 1a n<1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1成立．规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析 (1)显然公比q ≠1，由题意可知9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5＝3116.(2)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎨⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.答案 (1)3116 (2)314考点三 等比数列性质的应用【例3】 (1)(·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )．A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，则S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. 答案 (1)D (2)－12规律方法 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．【训练3】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为 ( )． A ．－3 B ．±3 C ．－3 3D ．±3 3(2)(·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )．A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2解析(1)由等比中项知y2＝3，∴y＝±3，又∵y与－1，－3符号相同，∴y＝－3，y2＝xz，所以xyz＝y3＝－3 3.(2)由等比数列性质，得a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a23＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案(1)C(2)C1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：a n＋1a n＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：a n＝cq n－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．(3)等比中项法：a2n＋1＝a n·a n＋2(a n·a n＋1·a n＋2≠0，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，a n，S n五个量中，知三求二．3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．教你审题6——如何确定数列中的项【典例】(·山东卷)在等差数列{a n}(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*列{b m}的前m项和S m.[审题]一审条件❶：根据性质转化为先求a4，再结合a9求a1和d.二审条件❷：转化为求{b m}的通项公式，尽而再求S m.三审结构：由9m ＜a n ＜92m 得9m －1＋1≤n ≤92m －1.解 (1)由a 3＋a 4＋a 5＝84，可得3a 4＝84，即a 4＝28，而a 9＝73，则5d ＝a 9－a 4＝45，即d ＝9.又a 1＝a 4－3d ＝28－27＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×9＝9n －8，即a n ＝9n －8(n ∈N *)．(2)对任意m ∈N *,9m ＜9n －8＜92m ，则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8， 即9m －1＋89＜n ＜92m －1＋89，而n ∈N *，所以9m －1＋1≤n ≤92m －1. 由题意，可知b m ＝92m －1－9m －1.于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝91＋93＋…＋92m －1－(90＋91＋…＋9m －1)＝9－92m ＋11－92－1－9m 1－9＝92m ＋1－980－9m －18＝92m ＋1－10×9m ＋180，即S m ＝92m ＋1－10×9m ＋180.[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列，这是对考生数学能力的挑战，由通项公式及已知区间建立不等式求项数，进而得到所求数列{b m }的通项公式是解答该问题的核心与关键． 【自主体验】(·许昌模拟)已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }前2 013项中的第3项，第6项，…，第3k 项删去，求数列{a n }前2 013项中剩余项的和．解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x ，得a ＝2. ∴S n ＝f (n )－1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，经验证可知n ＝1时，也适合上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知数列{a n }为等比数列，公比为2，故其第3项，第6项，…，第2 013项也为等比数列，首项a 3＝23－1＝4，公比23＝8，a 2 013＝22 102＝4×8671－1为其第671项，∴此数列的和为4(1－8671)1－8＝4(22 013－1)7，又数列{a n }的前2 013项和为S 2 103＝1×(1－22 013)1－2＝22 013－1，∴所求剩余项的和为(22 013－1)－4(22 013－1)7＝3(22 013－1)7.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(·六安二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，n ∈N *，则 ( )．A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 解析 ∵S n ＝3n －2，∴S n －1＝3n －1－2，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝2×3n －1(n ≥2)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1不适合上式，但a 1＜a 2＜a 3＜…. 答案 B2．(·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )． A.312 B.632 C ．63D.1272解析 S 3＝a 1(1－23)1－2＝7a 1＝72，所以a 1＝12.所以S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1＝632.答案 B3．(·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A.13 B ．－13 C.19D ．－19解析 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19. 答案 C4．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为 ( )． A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 答案 C5．(·浙江十校联考)若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 值为 ( )．A.14B.12 C ．2D ．4解析 设方程x 2－5x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，方程x 2－10x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝m ，⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝10，x 3·x 4＝n ，由题意知x 1＝1，x 2＝4，x 3＝2，x 4＝8，∴m ＝4，n ＝16，∴m ∶n ＝14. 答案 A 二、填空题6．(·江西九校联考)实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．解析 首先q ≠1，因为若q ＝1，则S 10S 5＝2，当q ≠1时，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1－q 101－q 5＝(1－q 5)(1＋q 5)1－q 5＝3132，q 5＝－132，q ＝－12. 答案 －127．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________. 解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240. 答案 2408．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析 由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.答案 －2 三、解答题9．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .(1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n ，即b n ＋1＝2b n .由已知得a 2＝－3，于是b 1＝a 2－a 1＋3＝1≠0.所以数列{a n ＋1－a n ＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1， 即2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1， ∴a n ＝2n －1－3n ＋1(n ∈N *)， 于是S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)－3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝1－2n 1－2－3×n (n ＋1)2＋n＝2n－3n 2＋n 2－1.10．(·济南期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 3＋a 4＝17. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2，证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题意知⎩⎨⎧a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝17，a 2＝a 1＋d ＝4， 解得a 1＝1，d ＝3， ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)证明：由题意知，b n ＝2a n ＋2＝23n (n ∈N *)， b n －1＝23(n －1)＝23n －3(n ∈N *，n ≥2)，∴b n b n －1＝23n 23n －3＝23＝8(n ∈N *，n ≥2)，又b 1＝8， ∴{b n }是以b 1＝8，公比为8的等比数列， T n ＝8(1－8n )1－8＝87(8n －1)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(·兰州模拟)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )． A ．－15 B ．－5 C ．5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1an ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5. 答案 B2．(·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值是( )．A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析 由题意知a 4·a 14＝(22)2＝a 29，即a 9＝2 2.设公比为q (q ＞0)，所以2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2＝42q 2＋22q 2≥ 242q 2×22q 2＝8，当且仅当42q2＝22q 2，即q ＝42时取等号，其最小值为8. 答案 B 二、填空题3．(·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析 由已知条件得12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)， a n ＝a 5qn －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5>，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12. 答案 12 三、解答题4．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤S n－1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56，最小项的值为－712.。
2020高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版
【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版1．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的( )B．必要不充分条件A．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件C．充要条件解析：选A.显然，n∈N*，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….2．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( )B．64A．32D．－64C．－32 解析：选 A.易知数列a1，，，，，…，，…的通项为＝(－)n－1，故a5＝a1····＝1×(－)×2×(－2)×4＝32. 3．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )B．－1A.5C．5D．－5解析：选D.由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列．设等比数列{an}的公比为q，又a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3(a2＋a4＋a6)]＝log(33×9)＝－5. 4．(2016·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*，若数列{cn}满足cn＝ban，则c2 016＝( )A．92 015B．272 015D．272 016C．92 016 解析：选D.由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，所以c2 016＝33×2 016＝272 016. 5．(2016·开封一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝2n(n∈N*)，则下列数列中一定为等比数列的是( )B．{an－1}A．{an}D．{Sn}C．{an－2} 解析：选C.由Sn＋an＝2n(n∈N*)，①可得Sn－1＋an－1＝2(n－1)(n≥2，n∈N*)，②，①－②得an＝an－1＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－2＝(an－1－2)(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，a1－2＝－1≠0，所以{an－2}一定是等比数列，故选C. 6．(2016·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( )B．256A．512C ．81D ．16解析：选 A.由题意可知，a3a4a7q ＝a3a7a4q ＝a3a7a5＝a ＝8，Ⅱ9＝a1a2a3 (9)(a1a9)·(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a ，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.7．(2015·高考广东卷)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋2，c ＝5－2，则b ＝________．解析：因为 a ，b ，c 成等比数列，所以b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，所以b ＝1.答案：18．(2016·北京××区高三检测)已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m ，n ∈N*，都有＝an ，则a3＝________；{an}的前n 项和Sn ＝________．解析：因为＝an ，所以an ＋m ＝an·am，所以a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；令m ＝1，则有an ＋1＝an·a1＝2an ，所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以Sn ＝＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－29．(2016·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q ，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q ＝，所以a1＝4.a2a3＝＝a1a2，anan ＋1＝＝an －1an(n≥2)．设bn ＝anan ＋1，可以得出数列{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1为数列{bn}的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝＝(1－4－n)．答案：(1－4－n)10．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn 为前n 项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________．解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.答案：15011．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n 项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d ， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝2，a1＋4d ＝8，所以a1＝0，d ＝2. 所以an ＝a1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设等比数列{bn}的公比为q ，则由已知得q ＋q2＝a4.因为a4＝6，所以q ＝2或q ＝－3.因为等比数列{bn}的各项均为正数，所以q ＝2.所以{bn}的前n 项和Tn ＝＝＝2n －1.12．(2016·太原模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证Sn<.解：(1)设等比数列{an}的公比为q.因为S1，2S2，3S3成等差数列，所以4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，所以a2＝3a3，所以q ＝＝.又S4＝，即＝，解得a1＝1，所以an ＝.(2)证明：由(1)得Sn ＝＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13 ＝<.1．设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai 是边长为ai ，ai ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )A ．{an}是等比数列B ．a1，a3，…，a2n －1，…或a2，a4，…，a2n ，…是等比数列C ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列D ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：选D.因为Ai ＝aiai ＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，….所以a1，a3，a5，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则＝＝q ，从而{An}为等比数列．2．(2016·太原模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝－1，Sn ＝2an ＋n(n ∈N*)，则an ＝________．解析：因为Sn ＝2an ＋n①，所以Sn ＋1＝2an ＋1＋n ＋1②，②－①，可得an ＋1＝2an －1，即an ＋1－1＝2(an －1)，又因为a1＝－1，所以数列{an －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以an －1＝(－2)·2n－1＝－2n ，所以an ＝1－2n.答案：1－2n3．(2016·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n 项和为Sn ，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an 与an ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn.解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q ＋1＝0，因为q≠1，所以q ＝，所以等比数列{an}的通项公式为an ＝.(2)bn ＝·3n＝， Tn ＝×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝.4．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q ，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求an 与bn ；(2)设cn ＝3bn －λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a2＝12，3＋a2＝q2， 所以q2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a2＝6， 所以an ＝3n ，bn ＝3n －1. (2)由(1)知，cn ＝3bn －λ·2＝3n －λ·2n. 由题意，cn ＋1>cn 对任意的n∈N*恒成立， 即3n ＋1－λ·2n＋1>3n －λ·2n 恒成立， 亦即λ·2n<2·3n 恒成立，即λ<2·恒成立．由于函数y ＝是增函数，所以＝2×＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.3 等比数列及其前n项和 Word版含解析.docx
5．3 等比数列及其前n 项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0.(2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n＝a 1q n －1；可推广为a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.3．等比数列的相关性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)． (3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n，T 3nT 2n，…成等比数列．(7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .[诊断自测] 1．概念思辨(1)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) (3)在等比数列{a n }中，如果m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，那么a m ·a n＝a 2k .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 53T 1)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( )A ．1B ．2C ．－2D ．4 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝20，a 1q ＋a 1q 3＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝2.故选B.(2)(必修A5P 56例1)设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．答案 127解析 a 5＝a 1q 4得q ＝2， 所以S 7＝1－271－2＝127.3．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2 答案 A解析 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1.故选A.(2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.故选C.题型1 等比数列基本量的运算典例1(2017·广东惠州第二次调研)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7方程组法．答案 D解析 由a 5a 6＝a 4a 7，得a 4a 7＝－8，解⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6 ＝4－12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝－7；当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 4q 6 ＝－2－2＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D. 典例2(2017·金凤区四模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝10，S 10＝50，则S 20等于( )A ．90B ．250C ．210D ．850方程思想即“知三求二”．答案 D解析 由题意数列的公比q ≠1，设首项为a 1，则 ∵S 5＝10，S 10＝50，∴a 1(1－q 5)1－q ＝10，a 1(1－q 10)1－q＝50，∴两式相除可得1＋q 5＝5，∴q 5＝4， ∴a 11－q＝－103， ∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q ＝－103·(1－256)＝850.故选D.方法技巧等比数列的基本运算方法及数学思想1．等比数列的基本运算方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x q ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q ，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．2．基本量计算过程中涉及的数学思想方法 (1)方程思想，即“知三求二”．(2)分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．(3)整体思想．应用等比数列前n 项和时，常把q n，a 11－q当成整体求解．见典例2.冲关针对训练(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，显然不符合题意，舍去；当q ≠1时，由等比数列前n 项和公式可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.题型2 等比数列的判断与证明典例 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有an ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．本题用定义法．解 (1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝12. 又由 a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得 a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1. ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1.∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)． ∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1.∴2c n ＋1＝c n (n ≥2)． 又c 1＝a 1＝12，a 2＋a 1＋a 2＝2，∴a 2＝34. ∴c 2＝34－12＝14，c 2＝12c 1.∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .[条件探究] 将典例条件“a n ＋S n ＝n ”变为“a 1＝1，S n ＋1＝4a n＋2，若b n ＝a n ＋1－2a n ”，(1)求证{b n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝a n3n －1，证明{c n }为等比数列．解 (1)a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝(4a n ＋1－4a n )－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n＝2，∴数列{b n }是公比为2的等比数列，首项为a 2－2a 1. ∵S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋12n －1－a n2n －2＝3. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1. ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.(2)证明：由(1)知a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n＝2n －12n －2＝2.又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列． 方法技巧等比数列的判定方法1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．见典例．2．等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．4．前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．冲关针对训练(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1. 题型3等比数列前n项和及性质的应用角度1 等比数列性质的综合应用典例(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．方程组法．答案 2n －1解析 由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1＜a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝2n －1.角度2 等比数列的前n 项和典例各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16q ≠1，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n－S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.角度3等差数列与等比数列的综合典例(2015·湖南高考)设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则a n＝________.采用方程思想方法．答案3n－1解析设等比数列{a n}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，解得q＝3(q＝0舍去)．所以a n＝a1q n－1＝3n－1.方法技巧1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m q n－m；(2)等比中项的推广与变形：a2p＝a m·a n(m＋n＝2p)及a k·a t＝a m·a n(k ＋t＝m＋n)(m，n，p，k，t∈N*)．见角度1典例．2．对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为－1的等比数列前n项和的性质：S n，S2n－S n，S3n－S2n 仍成等比数列比较简便．见角度2典例．3．等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，就不难解决这类问题．冲关针对训练(2017·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ，求S n .解 (1)根据等比数列的性质，可得a 3·a 5·a 7＝a 35＝512，解之得a 5＝8.设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2，由题设可得⎝⎛⎭⎪⎫8q 2－1＋(8q 2－9)＝2(8－3)＝10，解之得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，解得a 1＝2.(2)由(1)得{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，∴a 2n ＝[(2)n ＋1]2＝2n ＋1，可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－2n)1－2＝2n ＋2－4.1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 答案 B解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B.2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.故选B.3．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.答案 1解析 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3， 由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋db 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．答案 64解析 等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5， 可得q (a 1＋a 3)＝5，解得q ＝12. a 1＋q 2a 1＝10，解得a 1＝8.则a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋3＋…＋(n －1)＝8n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n －1)2＝23n－n 2－n 2＝27n －n 22，当n ＝3或4时，表达式取得最大值2122＝26＝64. 故答案为64.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( )A ．9或－9B ．9C ．27或－27D ．27答案 B 解析依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a 5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2 答案 D解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33.故选D. 6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032 答案 B解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4B.4027或4C.4027D.158 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120， 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，② 解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在 答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2，∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21， ∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(m ＋n ) ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20) ＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.答案 12－13n ＋1－1解析 由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n－1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析 由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255.当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25.∴抽出的应是第6项． 三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值． 解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4， ∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)． 设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2.则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1. ∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)． (2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项．由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n －4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)． 当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3； 当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78. (2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)，∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)，∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12n －1.。
2020高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列及其前n项和课件
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等 比数列，公比为 qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan· qbn}和 pan {qb }(其中 b，p，q 是非零常数)也是等比数列． n (4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时， Sk ， S2k－Sk， S3k－S2k， …是等比数列． 当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
12 3 12
2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单B．源自22f D．123
2f
5
27f
[解析]
本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用．
12
由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为 数列为{an}，则 a8＝
12
2的等比数列，设此
2 f，即第八个单音的频率为
7
12
27f，故选 D．
G (2) 等比中项：如果 a， G，b 成等比数列，那么________ 叫做a与 b的等比中 ab 项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝________. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足 ab>0时，a、 b 才有等比中项，且有互为相反数的两个．
2．等比数列的有关公式 a1qn－1 amqn－m (1)通项公式：an＝________＝________.
等比数列的判定方法 an＋1 an * (1)定义法：若 a ＝q(q 为非零常数，n∈N )或 ＝q(q 为非零常数且 n≥2， an－1 n n∈N*)，则{an}是等比数列．
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和知能训练轻松闯关理北师大版1．已知数列{an}，则“an ，an ＋1，an ＋2(n ∈N*)成等比数列”是“a ＝anan ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.显然，n∈N*，an ，an ＋1，an ＋2成等比数列，则a ＝anan ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1，0，0，0，….2．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( )A ．32B ．64C ．－32D ．－64 解析：选A.易知数列a1，，，，，…，，…的通项为＝(－)n －1，故a5＝a1····＝1×(－)×2×(－2)×4＝32.3．已知数列{an}满足1＋log3an ＝log3an ＋1(n ∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )A. 15．－BC ．5D ．－5 解析：选D.由1＋log3an ＝log3an ＋1(n∈N*)，得an ＋1＝3an ，即数列{an}是公比为3的等比数列．设等比数列{an}的公比为q ，又a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3(a2＋a4＋a6)]＝log(33×9)＝－5.4．(2016·莱芜模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an ＋1－an ＝＝3，n ∈N*，若数列{cn}满足cn ＝ban ，则c2 016＝( )A ．92 015B ．272 015C ．92 016D ．272 016 解析：选D.由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an ＝3n ，bn ＝3n.又cn ＝ban ＝33n ，所以c2 016＝33×2 016＝272 016.5．(2016·开封一模)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＋an ＝2n(n ∈N*)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A ．{an}B ．{an －1}C ．{an －2}D ．{Sn} 解析：选C.由Sn ＋an ＝2n(n∈N*)，①可得Sn －1＋an －1＝2(n －1)(n≥2，n∈N*)，②，①－②得an ＝an －1＋1(n≥2，n∈N*)，所以an －2＝(an －1－2)(n≥2，n∈N *)，且a1＝1，a1－2＝－1≠0，所以{an －2}一定是等比数列，故选C.6．(2016·福州质检)已知等比数列{an}的前n 项积记为Ⅱn ，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．16 解析：选 A.由题意可知，a3a4a7q ＝a3a7a4q ＝a3a7a5＝a ＝8，Ⅱ9＝a1a2a3 (9)(a1a9)·(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝a ，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.7．(2015·高考广东卷)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋2，c ＝5－2，则b ＝________．解析：因为 a ，b ，c 成等比数列，所以b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，所以b ＝1.答案：18．(2016·北京××区高三检测)已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m ，n ∈N*，都有＝an ，则a3＝________；{an}的前n 项和Sn ＝________．解析：因为＝an ，所以an ＋m ＝an·am，所以a3＝a1＋2＝a1·a2＝a1·a1·a1＝23＝8；令m ＝1，则有an ＋1＝an·a1＝2an ，所以数列{an}是首项为a1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以Sn ＝＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－29．(2016·沈阳质量监测)数列{an}是等比数列，若a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝________．解析：设等比数列{an}的公比为q ，由等比数列的性质知a5＝a2q3，求得q ＝，所以a1＝4.a2a3＝＝a1a2，anan ＋1＝＝an －1an(n≥2)．设bn ＝anan ＋1，可以得出数列{bn}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1为数列{bn}的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝＝(1－4－n)．答案：(1－4－n)10．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn 为前n 项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________．解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.答案：15011．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n 项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d ， ⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝2，a1＋4d ＝8，则由已知得 所以a1＝0，d ＝2.所以an ＝a1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{bn}的公比为q ，则由已知得q ＋q2＝a4.因为a4＝6，所以q ＝2或q ＝－3.因为等比数列{bn}的各项均为正数，所以q ＝2.所以{bn}的前n 项和Tn ＝＝＝2n －1.12．(2016·太原模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S1，2S2，3S3成等差数列，且S4＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证Sn<.解：(1)设等比数列{an}的公比为q.因为S1，2S2，3S3成等差数列，所以4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，所以a2＝3a3，所以q ＝＝.又S4＝，即＝，解得a1＝1，所以an ＝.(2)证明：由(1)得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝＝Sn ＝<.1．设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai 是边长为ai ，ai ＋1的矩形的面积(i ＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )A ．{an}是等比数列B ．a1，a3，…，a2n －1，…或a2，a4，…，a2n ，…是等比数列C ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列D ．a1，a3，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：选D.因为Ai ＝aiai ＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝，＝，….所以a1，a3，a5，…，a2n －1，…和a2，a4，…，a2n ，…均成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则＝＝q ，从而{An}为等比数列．2．(2016·太原模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝－1，Sn ＝2an ＋n(n ∈N*)，则an ＝________．解析：因为Sn ＝2an ＋n①，所以Sn ＋1＝2an ＋1＋n ＋1②，②－①，可得an ＋1＝2an －1，即an ＋1－1＝2(an －1)，又因为a1＝－1，所以数列{an －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以an －1＝(－2)·2n－1＝－2n ，所以an ＝1－2n.答案：1－2n3．(2016·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n 项和为Sn ，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，在an 与an ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn.解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，即2a6－3a5＋a4＝0，所以2q2－3q ＋1＝0，因为q≠1，所以q ＝，所以等比数列{an}的通项公式为an ＝.(2)bn ＝·3n＝， 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝×Tn ＝.4．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q ，且满足：a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求an 与bn ；(2)设cn ＝3bn －λ·2，若数列{cn}是递增数列，求λ的取值范围． ⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a2＝12，3＋a2＝q2，由已知可得(1)解： 所以q2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍去)，从而a2＝6，所以an ＝3n ，bn ＝3n －1.(2)由(1)知，cn ＝3bn －λ·2＝3n －λ·2n.由题意，cn ＋1>cn 对任意的n∈N*恒成立，即3n ＋1－λ·2n＋1>3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n<2·3n 恒成立，即λ<2·恒成立．由于函数y ＝是增函数，所以＝2×＝3，故λ<3，即λ的取值范围为(－∞，3)．。