广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理(含解析).doc

广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分，每道题有且只有一个选项是正确的） 1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =（ ）A. {2,4}B. {2}C. {2,4,6}D.{5,3,2,4}--【答案】A 【解析】 【分析】计算出集合A ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}2|log 2A x x =≤，{}|04A x x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--，{}2,4A B ∴=.故选：A .【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.3.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（ ） A. 16 B. 17C. 19D. 21【答案】A 【解析】 【分析】设该女子第一天织布为1a ，利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1303030()3902a a S +==，13026a a +=，则3021a =，30116a a -=.故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．4.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是（ ）A. 56110x y +-=B. 6510x y --=C. 65110x y +-=D. 5610x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程.【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B.【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.5.如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图A. 1683π-B. 1643π-C. 84π-D. 843π+【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，利用体积公式即得解.【详解】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，211124424232V π=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯16=83π-故选：A【点睛】本题考查了组合体的三视图以及空间几何体的体积，考查了学生空间想象，数学运算的能力，属于中档题.6.若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A.12B. 12-C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值．【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数可能是（ ）A. sin xy x=B. cos xy x=C. cos xy x=D.sin x y x=【答案】B 【解析】 【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A 、C 中函数为偶函数排除，B 、D 选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数.A 选项，()()()sin sin x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误.B 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--==-=--，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当π02x <<时，()0f x >； 当π3π22x <<时，()0f x <； 当3π2π2x <<时，()0f x >，符合题意，B 正确. C 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误.D 选项，()()()sin sin x x f x f x xx--==-=--，且定义域()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当0x >时，()0f x ≥；当0x <时，()0f x ≤，不符合题意，D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.8.已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ） A. 3(1)5e - B.4(1)5e - C.1(1)2e - D.2(1)3e - 【答案】A 【解析】 【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -， 作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个， 设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-， 所以3(1)5e S -≈. 故选：A【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.10.在ABC 中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC 外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（ ）A. 1B.54C.43D. 2【答案】C 【解析】 【分析】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ， 由1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+， 51+=sin()62λμθφ∴++可得利用正弦函数的图像及性质即得解.【详解】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ，过点B 作 BD x ⊥轴42418sin ,6sin ,cos 555A AB BD AB A AD AB A ==∴====7724(,)555OD AO AD B ∴=-=∴-又1824(5,0),(5,0)(,),(10,0),(5cos 5,5sin )55A B AB AC AP θθ-∴===+1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+13125=cos sin ,sin 28224μθθλθ∴-+=12151+=cos +sin =sin()23262λμθθθφ∴+++当sin()=1θφ+时，max 514(+)623λμ=+= 故选：C【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11.已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A. 21[3,]3e -- B. 2[,)e +∞C. 21[,]3eD. 1[,)3+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数()(1)x f x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =， 可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ）D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 设121BF AF 3==m,由定义得2BF m 2a,AB 2m 2a,=+=+在三角形AB 2F 中由勾股定理，求得m=2a3，在B 12F F 中运用余弦定理即可求解. 【详解】设121BF AF 3==m,，由双曲线定义得2BF m 2a =+，又A 12F AF 2a,-=所以AB=2m+2a,22AF BF ⊥,∴22222AB BF AF =+,即()()()2222m 2a m 2a 3m +=++，解m=22222122a 8a 4c BF 2433a,cos ABF cos F BF ,2a 8a 3AB 5233∠∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===-=-⨯⨯解得故选B.【点睛】本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知(1,2)a =，(4,)b k =，若0a b ⋅=，则k =________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算即得解.【详解】由(1,2)a =，(4,)b k =，4202a b k k ∴⋅=+=∴=- 故答案为：-2【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.由方程||||2x y +=确定曲线所围成的区域的面积是________． 【答案】8 【解析】 【分析】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，为边长为22的正方形，即得解.【详解】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，如图所示，为边长为22的正方形， 故2(22)8S == 故答案为：8【点睛】本题考查方程的曲线围成的面积，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.15.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1A A AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C 到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是________. 【答案】23(2)3. 【解析】 【分析】设1AB =，1AA a =，利用等面积法和等体积法求出m ，n 关于a 的不等式，根据a 的范围得出mn的值． 【详解】设1AB BC ==，1(1)AA a a =>，则2AC =212AC a =+，211A B a =+B 到平面11ACC A 的距离为22． 1112122AC CC a m AC a ⋅∴==+，1211122A BCa S A B BC +=⨯⨯=， 1112113C A BCA BC a V S n -+∴=⋅=， 又1111111211223326C A BC B A C C A C C aV V S a --===⨯=， 21n a ∴=+，222222222m a n a a +∴==-++1a >，2422232a ∴<-<+， 232mn∴<<． 故答案为：23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝．【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．16.有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数M ，那么M =________．【答案】2816 【解析】 【分析】从第一行为1，2和1，2，3和1，2，3，4入手，结合图形归纳出结果，即得解. 【详解】若第一行为1，2，则()223212M -==+⨯；若第一行为1，2，3，则()328312M -==+⨯；若第一行为1，2，3，4，则()4220412M -==+⨯；…归纳可得：若第一行为1，2，3，4，…，n ，则()212n M n -=+⨯．当10n =时，“金字数”81122816M =⨯=．【点睛】本题考查了推理与证明中的归纳推理，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π=； （Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出,b c 边的不等量关系，再用余弦定理把AM 用,b c 表示，即可求解；或用向量关系把AM 用,AB AC 表示，转化为求||AM 的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.② 由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32. 方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==时，AM 取最大值32. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得13BC 结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，可求解. 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥．又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，13,22EM λλ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，221321122132424λλλ--∴=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,0)A -,且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22142x y +=（II ）存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程； （2）若存在点(,0)Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ， 等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4){142y k x x y =-+= ，得2222(21)163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，即可求得m 的值．试题解析：（I ）22142x y +=（II ）若存在点(),0Q m ，使得180PQM PQN ∠∠+=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.由()224{142y k x x y =-+=，得()222221163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222164213240k k k -+->，解得216k <. 设()11,M x y ，()22,N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，()()11224,4,y k x y k x =-=-令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210,x m y x m y -+-=当时，()()12122480x x m x x m -+++=，化简得，()281021m k -=+，所以1m =. 当0k =时，也成立.所以存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键．20.山东省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级.而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x ≈.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,12)N ξ.（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）【答案】(1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足()260,12N ，结合正态分布的对称性即可求得()72,84内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[]61,80内的概率为25，由二项分布即可求得X 的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解． 【详解】（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为x ，938490848281xx --=--，求得82.64x ≈.小明转换后的物理成绩为83分；（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布()260,12N ，所以(7284)(6084)(6072)P P P ξξξ<<=<<-<<11(3684)(4872)22P P ξξ=<<-<< ()10.9540.6822=- 0.136=.所以物理原始分在区间()72,84的人数为20000.136272⨯=（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[]61,80内的概率为25， 随机抽取4人，则2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31423216155625P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()421645625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.X 的分布列为数学期望()28455E X =⨯=. 【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题． 21.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】 【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证． 【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-， 则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10ga a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =， 所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->， 所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x =-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna ea lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<， 两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）2；（2）(]6,14.【解析】分析：（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，当0α=时，直线:2l y =，代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2-，从而可得2AB =；（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得，()24cos 2sin 30t t αα+++=，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭ 化为22sin 2cos )ρρθρθ=-，∴2222x y y x +=-曲线C 的方程为()()22112x y ++-=当0α=时，直线:2l y =代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2- ∴2AB =.（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得， ()24cos 2sin 30t t αα+++=由0∆>，得()24cos 2sin 120αα+-> 化简得()23sin 15αφ<+≤（其中tan 2φ=）， ∴()12124cos 2sin ,3t t t t αα+=-++= ∴()22222121212||2PA PB t t t t t t +=+=+- ()()224cos 2sin 620sin 6αααφ=+-=+- ∴22||PA PB + (]6,14∈. 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得()()f x g x +的最小值为12a a ++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤；当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++， ()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥.综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.。