圆锥曲线解题方法技巧总结附答案(供参考)
圆锥曲线解题十招全归纳
《圆锥曲线解题十招全归纳》招式一：弦的垂直平分线问题 (2)招式二：动弦过定点的问题 (4)招式四：共线向量问题 (6)招式五：面积问题 (13)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (16)招式七：直线问题 (20)招式八：轨迹问题 (24)招式九：对称问题 (30)招式十、存在性问题 (33)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 。
AB =21k =+2d k=21k +=k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
圆锥曲线解题方法与题型(含解析)
代入 y2=4x 得 x= 1 ，∴Q( 1 ,1 )
4
4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例 2、F 是椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆 43
一动点。
（1） PA + PF 的最小值为 （2） PA + 2 PF 的最小值为
+9 4 x02
= (4x02
+ 1) + 9 −1 4x02 + 1
≥ 2 9 −1 = 5,
y0
≥
5 4
当 4x02+1=3
即
x0 = ±
2 2
时， ( y0 ) min
=
5 4
此时 M (±
2 , 5) 24
法二：如图， 2 MM 2 = AA2 + BB2 = AF + BF ≥ AB = 3
即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为( 1 ,− 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点， 2
舍去）
3
圆锥曲线解题方法与题型（解析）
（2）（ 1 ,1 ） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ + QF = BQ + QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，
y AP
F0 F ′
上
H x
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF ′ 或准线作出来考虑问题。
解：（1）4- 5 设另一焦点为 F ′ ，则 F ′ (-1,0)连 A F ′ ,P F ′ PA + PF = PA + 2a − PF ′ = 2a − ( PF ′ − PA ) ≥ 2a − AF ′ = 4 − 5
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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圆锥曲线解题方法技巧总结[附答案解析]
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（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。
（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为_____（答： ）；
（4）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）；
（5）抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为______（答：2）；
教学
难点
掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法
教学过程
名称
椭圆
双曲线
图象
定义
平面内到两定点 的距离的和为常数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆 即
当2 ﹥2 时，轨迹是
当2 ＝2 ，轨迹是
当2 ﹤2 时，轨迹
平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线 即
当2 ﹤2 时，轨迹是
当2 ＝2 时，轨迹是
10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：抛物线焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用定义求解。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
【技巧】圆锥曲线解题技巧和方法综合经典供参考
【关键字】技巧圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率②点到直线的距离③夹角公式：（3）弦长公式直线上两点间的距离：或（4）两条直线的位置关系①=-1 ②2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：距离式方程：参数方程：(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：距离式方程：(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（）A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：（其中）(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。
一旦设直线为，就意味着k 存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y 轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD笔直BC于D，试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。
圆锥曲线解题技巧和方法综合全
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
x 2y 2如：（1）2+2=1(a >b >0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有a b x 0y 0+2k =0。
2a b x 2y 2（2）2-2=1(a >0,b >0)与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有a b x 0y0-2k =02a b （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.y 2=1。
典型例题给定双曲线x -过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P 2，22求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
x 2y 2典型例题设P(x,y)为椭圆2+2=1上任一点，F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)为焦点，a b ∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β。
（1）求证离心率e=sin(α+β)；sinα+sinβ3（2）求|PF1|+PF2|的最值。
3（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程y2=p(x+1)(p>0)，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解题技巧和方法综 合
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。
（4）充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题． 这也是我们常说的三角代换法。 典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最 大值及此时点P的坐标。
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0， 8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解
简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于的方程. 由于，所以，从而有 于是关于的方程
由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于
. 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全 局观念与整体思维的优越性. 例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线
直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 （2） 设直线BC方程为，得 ， 代入（2）式得 ，解得或
直线过定点（0，，设D（x,y），则，即 所以所求点D的轨迹方程是。
4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过 C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和
圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，)则有k=p.及，求线段的中点P的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
（1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。
或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
最值问题的处理思路：1、建立目标函数。
用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；A、B1典型例题已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。
若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
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圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+bya x （0ab >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有02020=+k by a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020=-k by a x （3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(完整版)圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, )② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax 0 By 0 CA 2B 2tan3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y 1), B( x 2 , y 2 )间的距离： AB 1 k 2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2)2 4x 1x 2] 或 AB 1 k 12 y 1 y 2 (4)两条直线的位置关系①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1 //l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y1(m 0,n 0且 m n) mn 距离式方程：(x c)2 y 2 (x c)2 y 22a 参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k21222标准方程：x y1(m n 0)mn距离式方| (x c)2 y 2 (x c) 2 y 2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b；双曲线：2b；抛物线：2 p aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2tan2 P 在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c 2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F 1PF 2,cos |PF 1||PF 1||P |F P 2F |2 | 4c ,u P u F ur1?u P u Fuur 2|u P uu F r 1 ||uu P u Fur2|cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x 0 | a(3) 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 | 2p ,焦点在 y 轴上时为 | y 1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2y1的弦 AB 中点则有3如： 已知 F 1、 22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点， 平面内一个动点 M 足 MF 1MF 2 2 则动点 M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时， S F 1PF 2设 A x 1, y 1B x 2,y 2 ， M a,b 为椭圆 x42 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1， x 2 y 2 1；两式相减得 x 1 x 2y 1 y 24 3 4 3 4 3x 1 x 2 x 1 x 2y 1 y 2 y 1 y 23a4 3kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 ○1 ○2 两个式子，然后 ○1-○2 ，整体消元······，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C+=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)_PDF
关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O，焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y = x + 1相交于 P、Q 两点，且 OP⊥OQ ，| PQ|= 10 ，求此椭圆方程。
+
y2 b2
= 1上任一点， F1 (−c,0) ， F2 (c,0) 为焦点，
∠PF1 F2 = α ， ∠PF2 F1 = β 。
（1）求证离心率
e
=
sin(α + β sinα + sin
) β
；
（2）求 | PF1|3 + PF2 |3 的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
1
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方 程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的 思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大 曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程y2 = p(x + 1) (p > 0)，直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。
典型例题
已知直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，
0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点 Q（2，0）和圆 C：x2+y2=1, 动
M
点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ（ λ >0）,
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x（3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(完整word版)圆锥曲线解题技巧方法总结(教师版)
圆锥曲线解题技巧方法总结1。
圆锥曲线的两定义:第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于｜F 1F 2｜，定义中的“绝对值"与2a ＜｜F 1F 2|不可忽视.若2a ＝｜F 1F 2｜，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥｜F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支.例：8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2。
圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：(1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A,B ，C 同号,A≠B）。
例: 若R y x ∈,，且62322=+y x ,则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___(2）（2)双曲线：焦点在x 轴上:2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1(0,0a b >>).方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0,且A ，B 异号）。
例：设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
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姓名学生姓名填写时间2013-12-29 学科数学年级高二教材版本人教版阶段第（1 ）周观察期：□维护期：□
课题名称圆锥曲线解题方法技巧总结课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间2014-1-3
教学目标大纲教学目标圆锥曲线知识点及题型回顾整理
个性化教学目标培养学生分析能力和逻辑思维能力．
教学
重点
圆锥曲线知识点的综合应用
教学
难点
掌握圆锥曲线的综合问题的处理方法
教学过程名称椭圆双曲线
图象
定义
平面内到两定点的距离的和
为常数（大于）的动点的轨迹叫
椭圆即
当2﹥2时，轨迹是
当2＝2，轨迹是
当2﹤2时，轨迹
平面内到两定点的距离的差的绝
对值为常数（小于）的动点的轨
迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是
当2＝2时，轨迹是
当2﹥2时，轨迹
标准
方程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：根据判断焦
点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：根据来判断焦
点在哪一坐标轴上
常数
的关
系
，，
最大，
，
最大，可以
第一部分：知识梳理
渐近线
焦点在轴上时：
焦点在
轴上时：
共焦点方程
抛物线
图形
方程
焦点
准线
1.圆锥曲线的两个定义：
定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程2222(6)(6)8x y x y -+-++=表示的曲线是___ __（答：双曲线的左支）
第二部分：题型方法技巧总结
,2
-）若y x ∈,5,2）
的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点P 是抛物线122
+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→
−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3
1
62-
=x y ）； ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。
（答：2
2
||x y a y +=）；
（2）若点),(11y x P 在圆12
2
=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：
21
21(||)2
y x x =+≤）；
（3）过抛物线y x 42
=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：2
22x y =-）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1
（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （1）设x 为点P 的横坐标，证明
x a
c
a P F +
=||1；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2
b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：
AC λ是直角,给出=⋅m MB MA 0>=⋅m MB MA 的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
)
+
AB AC
||||
c
+OC
OB等于已知
,0
=
⋅
D）3
3
++
+=
3(x
P的轨迹是以(,0)为焦点以x=-
试求点M的轨迹方程。
0，AC
∴
为直径的圆，除去坐标原点。
即点。