2.3.3-2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

PAB 内，作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB， ∴BC⊥AB.
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系？


B C
D aP
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β
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α 内一定存在 α 内所有直 α 内一
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（c ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
P
A Q B N
• 正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在 平面相交于CD，AE垂直于平面CDE，且 AE=3.AB=6 • (1)求证AB垂直于平面ADE(2)求三棱锥A_ BDE的体积。
一、证线线平行：
1.三角形（或梯形）的中位线与底边平行、比例 2.平行四边形
平行于同一条直线的两条直线互相平行 3.平行传递性：
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
温故知新
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直 ，我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l ．
1.直线与平面垂直的定义
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
a l b a b A
l
la l b
l
b

A
a
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a b
α
符号语言：
a ，b a // b
小试牛刀
练习： 1.判断下列命题是否正确： （ 1 ）垂直于同一条直线的两个平面互相平行 （ . √） （ 2 ）垂直于同一个平面的两条直线平行 （ .√） （ 3 ）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互相垂直 （ .√ ） b a
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③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线 必垂直于另一个平面。 A 3 B 2 C 1 D 0
3.下列命题中，正确的是 ( ) A. 过平面外一点，可作无数条直线和这 个平面垂直 B. 过一点有且仅有一个平面和一条定直 线垂直 C. 若a、b异面，过a一定可作一个平面 与b垂直 D. 若a、b异面，过不在a、b上的点，一 定可以作一个平面和a、b都垂直.
5.平移
a⊥b,b∥c，则 a⊥c
6.利用三垂线定理或其逆定理
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
P
O
A
a

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直
P
O
A
a

D1 A1 O D N C M B C1
B1
A
如图，在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中，
EF 与异面直线 AC、A1D 都垂直相交．
求证：EF∥BD1.
证明
如图所示，连接 AB1、B1D1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面 ABCD， AC⊂平面 ABCD， ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，∴AC⊥平面 BDD1B1， 又 BD1⊂平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC，EF⊥A1D， 又 A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. ∴EF⊥平面 AB1C，∴EF∥BD1.
4.线面平行的性质：
如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面和这个平面 相交，则这条直线和交线平行
5.面面平行的性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
6.线面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行
二、证线线垂直：
1. 等腰三角形 2.勾股定理的逆定理 3.直径所对的圆周角 4.线面垂直 a⊥α,b α，则 a⊥b
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得 出怎样的结论呢？
例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直 的直线？
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得 出怎样的结论呢？
例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直 的直线？
定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直.
思考
设平面⊥平面β，点P在平面内，
2.已知直线a , b和平面 , 且a b, a ，则b与 b // , 或b ___ . 的位置关系是 __________

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB 上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC 求证： (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点.
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2BC ， 2 ，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
A
E
D
B
C
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平 面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：
4. 如图，P是△ABC所在平面外一点，
PA＝PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，
N是AB上的点，AN＝3NB.
求证：MN⊥AB.
M C B N
P
A
练习5. 如图，P是△ABC所在平面外一点，
PA＝PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，
N是AB上的点，AN＝3NB.
求证：MN⊥AB.
M C