计量经济学多元线性回归模型
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
计量经济学-3章：多元线性回归模型PPT课件
YXβ ˆe
Y ˆ Xβ ˆ
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.
17
2 模型的假定
(1) 零均值假设。随机误差项的条件期望为零，即 E(ui)=0 ( i=1,2,…,n)
其矩阵表达形式为:E(U)=0 (2)同方差假设。随机误差项有相同的方差，即
Var(ui)E(ui2) 2 （i=1,2,…,n）
(3)无自相关假设。随机误差项彼此之间不相关，即
（i=1,2,…,n）
上式为多元样本线性回归函数（方程）,简称样本回归函 数（方程）(SRF, Sample Regression Function).
ˆ j (j=0,1,…,k)为根据样本数据所估计得到的参数估计量。
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13
(4)多元样本线性回归模型
对应于其样本回归函数（方程）的样本回归模型:
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3
教学内容
一、模型的建立及其假定条件 二、多元线性回归模型的参数估计：OLS 三、最小二乘估计量的统计性质 四、拟合优度检验 五、显著性检验与置信区间 六、预测 七、案例分析
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4
回顾: 一元线性回归模型
总体回归函数 E (Y i|X i)01X i
总体回归模型 Y i 01Xiui
0 0
2 0 0 2
0
0
0 0 0 2
2I n
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.
u1un
u2un
un2
20
(4)解释变量X1,X2,…,Xk是确定性变量,不是随机 变量,与随机误差项彼此之间不相关,即
Cov(Xji,ui)0 j=1,2…k , i=1,2,….,n
计量经济学中的回归分析方法
计量经济学中的回归分析方法计量经济学是经济学中的一个重要分支，它主要是利用经济数据来进行定量分析。
而对于计量经济学来说，最重要的方法之一就是回归分析。
回归分析方法可以用来寻找变量之间的关系，进而预测未来的趋势和结果。
本文将介绍回归分析方法的基本原理及其在计量经济学中的应用。
回归分析的基本原理回归分析是一种利用数据来寻找变量之间关系的方法，其核心原理是利用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以描述多个自变量与一个因变量之间的关系，如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βkXk + ε其中，Y表示因变量，即需要预测的变量；X1、X2、 (X)表示自变量，即可以通过对它们的变化来预测Y的变化；β0、β1、β2、…、βk表示模型中的系数，它们可以反映每个自变量对因变量的影响；ε表示误差项，即预测结果与真实值之间的差异。
利用回归分析方法，我们可以通过最小化误差项来得到最佳的系数估计值，从而建立一个能够准确预测未来趋势和结果的模型。
回归分析的应用在计量经济学中，回归分析被广泛应用于各个领域。
下面我们以宏观经济学和微观经济学为例，来介绍回归分析在计量经济学中的具体应用。
1. 宏观经济学：用回归分析预测国内生产总值（GDP）国内生产总值是一个国家经济发展的重要指标，因此预测GDP 的变化是宏观经济学研究的重点之一。
在这个领域，回归分析可以用来寻找各种经济因素与GDP之间的关系，进而通过对这些因素的预测来预测GDP的变化。
例如，我们可以通过回归分析来确定投资、消费、进出口等因素与GDP之间的关系，进而利用这些关系来预测未来的GDP变化。
2. 微观经济学：用回归分析估算价格弹性在微观经济学中，回归分析可以用来估算价格弹性。
价格弹性可以衡量消费者对价格变化的敏感度，其计算公式为：价格弹性= %Δ数量÷ %Δ价格例如，如果价格变化1%，相应数量变化1.5%，那么价格弹性就是1.5 ÷ 1 = 1.5。
第3章 多元线性回归模型10301(计量经济学)PPT课件
第四节 多元线性回归模型检验
一、常用的检验方法
1. R（复相关系数）检验法
TSS (Yi Y)2 (Y (i Y ˆi)(Y ˆi Y))2 (Yi Y ˆi)22(Yi Y ˆi)Y (ˆi Y)(Y ˆi Y)2
5
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 . .k . X k 1 u 1 Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 . .k . X k 2 u 2 . . . . . . . Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n . .k . X k n u n
一、多元线性回归模型的定义
设所研究的对象（因变量Y）受多个因素X1,X2,…,Xk和随机 干扰项u的影响，假设各因素与Y的关系是线性的，这样就 可把一元线性回归模型自然推广到多元的情形。
Y i X 1 i1 2 X 2 i 3 X 3 i . .k . X k i u i (i1,,n)
ei
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数
中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ XBˆ
或
Y XBˆ E
其中：
ˆ 1
ˆ
Bˆ
2
e1
E
e2
ˆ
en
k
8
二、多元线性回归模型的基本假设条件
⑴Y与X之间的关系是线性的； ⑵所有观测值的随机干扰向量期望值为0：E（u）＝0 ⑶所有观测值的随机干扰项具有同方差：D (u)= E (uuT)=σu2I u ； ⑷不同观测值的随机干扰项之间相互独立： Cov(ui, uj) ＝0 (i≠j)； ⑸随机干扰项ui与解释变量xk不相关：Cov(ui, xj) = 0 (j=1,2,.....k)； ⑹ X不是随机变量，为确定矩阵，且在两个或多个自变量之间没有
3.1 多元线性回归模型及古典假定
第一节 多元线性回归模型及古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示 二、多元线性回归模型的古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示
1、在计量经济学中，将含有两个以上解释变量的回归模 型称为多元回归模型。相应地，在此基础上进行的回归分析 就叫多元回归分析。如果总体回归函数描述了一个应变量与 多个解释变量之间的线性关系，由此而设定的回归模型就称 为多元线性回归模型。例如：在生产理论中，C—D生产函 数描述了产量与投入要素之间的关系，其形式为： Y=AKαLβ (Y为产量，K、L分别为资本和劳动投入，α,β 为参数). 利用对数变换，可将其转化为：㏑Y=㏑A+α㏑K+β㏑L 在进行回归分析时，可设定如下形式的回归模型： (㏑Y)i= α0+α(㏑K)i+β(㏑L)i+μi （3.1.1） 回归模型3.1.1就是一个二元线性回归模型。
这就是多元线性回归模型的一般形式。（Yi,X2i,X3i,…,XKi ）为 第 i 次观测样本，βj(j=1,2, …,k) 为模型参数，μi为随机误差项。
在多元线性回归模型中，所有解释变量会同时对应变量Y的 变动发挥作用，所以，我们考察其中某个解释变量对应变量Y的 影响，必须是其它解释变量保持不变来进行。模型中的回归系 数βj(j=2, …,k) 就表示在其它解释变量不变的条件下，第 j 个解 释变量的单位变动对应变量Y的影响。由式3.1.3，可得Y的条件 期望函数：E(Y|X2i,X3i,…,XKi )= β1i+β2X2i+β3X3i+…+βKXKi
1 X 2n
X 31 X 32 X 3n
X K1
XK2
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
计量经济学多元线性回归
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
i=1,2…n
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
可以证明，随机误差项u的方差的无偏估 计量为：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
2、极大似然估计
• 对于多元线性回归模型
易知 Yi ~ N (Xiβ , 2 )
• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
L(βˆ , 2 ) Y1,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是 总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆ k
多元线性回归模型计量经济学
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系 数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图 形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性 和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理 非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索 其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回 归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一 步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解 释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体， 提供了大量关于多元线性回归模 型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成 部分，特别是硕士和博士论文， 对多元线性回归模型计量经济学 进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回 归模型计量经济学领域的最新进 展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描 述因变量与一个或多个自变量之 间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项 的均值为0，方差恒定；自变量与 误差项不相关；自变量之间不存在 完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价 与影响房价的因素之间的关系。
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood） 广义矩法（Generalized Method of Moments）
模型设定与设定误差 虚拟变量的使用 建立多元回归模型时应注意的问题
斜率(dY/dX)
β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 β1+2β2X β1+β2Z
弹性(dY/dX)(X/Y)
β1X/Y β1 β1X β1/Y
-β1/(XY) -β1/X
(β1+2β2X)X/Y (β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K； 该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式 为：
F q ,N k 1E ER U S S E R N S S U S K R q S R 1 U 2 R R U 2 R R 2R N qK
最大似未知的总体分布，样 本数据提供了有关概率分布参数的信息，估计方法建立在 样本来自哪个概率分布的可能性最大基础之上。
对估计系数的统计检验
利用前述的估计量方差矩阵可以得到每个 估计参数的标准差sj，估计参数与该标准差 的比值为相应的t统计值。
利用t统计表（或相应的软件）可以得到与 模型自由度相对应的显著性水平，据此可 以判断结果在统计意义上的可靠性。
对模型参数的联合检验
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间 关系的联合假设。
《计量经济学》第五章最新完整知识
第五章 多元线性回归模型在第四章中，我们讨论只有一个解释变量影响被解释变量的情况，但在实际生活中，往往是多个解释变量同时影响着被解释变量。
需要我们建立多元线性回归模型。
一、多元线性模型及其假定 多元线性回归模型的一般形式是i iK K i i i x x x y εβββ++++= 2211令列向量x 是变量x k ，k =1，2，的n 个观测值，并用这些数据组成一个n ×K 数据矩阵X ，在多数情况下，X 的第一列假定为一列1，则β1就是模型中的常数项。
最后，令y 是n 个观测值y 1, y 2, …, y n 组成的列向量，现在可将模型写为：εββ++=K K x x y 11构成多元线性回归模型的一组基本假设为 假定1. εβ+=X y我们主要兴趣在于对参数向量β进行估计和推断。
假定2. ,0][][][][21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n E E E E εεεε 假定3. n I E 2][σεε='假定4. 0]|[=X E ε我们假定X 中不包含ε的任何信息，由于)],|(,[],[X E X Cov X Cov εε= （1）所以假定4暗示着0],[=εX Cov 。
（1）式成立是因为，对于任何的双变量X ，Y ，有E(XY)=E(XE(Y|X))，而且])')|()([(])')((),(EY X Y E EX X E EY Y EX X E Y X Cov --=--=))|(,(X Y E X Cov =这也暗示 βX X y E =]|[假定5 X 是秩为K 的n ×K 随机矩阵 这意味着X 列满秩，X 的各列是线性无关的。
在需要作假设检验和统计推断时，我们总是假定： 假定6 ],0[~2I N σε 二、最小二乘回归 1、最小二乘向量系数采用最小二乘法寻找未知参数β的估计量βˆ，它要求β的估计βˆ满足下面的条件 22min ˆ)ˆ(ββββX y X y S -=-∆ （2）其中()()∑∑==-'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-nj Kj j ij i X y X y x y X y 1212ββββ，min 是对所有的m 维向量β取极小值。
计量经济学-多元线性回归模型
e e ˆ n k 1 n k 12e i2 3-21
*二、最大或然估计
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
易知
Yi ~ N ( X i β , 2 )
Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 ˆ, L (β 2 ) P (Y1 , Y2 , , Yn )
解该（k+1） 个方程组成的线性代数方程组，即
$ ,, 可得到(k+1) 个待估参数的估计值 j , j 012,, k 。
3-14
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 0 1 1 ˆ X 11 X 12 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k1 X k 2
ˆ 1 ˆ ˆ 2 β ˆ k
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
ˆ β ( x x) 1 x Y
ˆ ˆ ˆ 0 Y 1 X 1 k X k
3-20
随机误差项的方差2的无偏估计
可以证明:随机误差项 的方差的无偏估计量为：
第三章
多元线性回归模型
多元线性回归模型 多元线性回归模型的参数估计 多元线性回归模型的统计检验 多元线性回归模型的预测 回归模型的其他形式 回归模型的参数约束
3-1
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定
计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解
2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间 与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3
计量经济学复习笔记（四）：多元线性回归
计量经济学复习笔记（四）：多元线性回归⼀元线性回归的解释变量只有⼀个，但是实际的模型往往没有这么简单，影响⼀个变量的因素可能有成百上千个。
我们会希望线性回归模型中能够考虑到这些所有的因素，⾃然就不能再⽤⼀元线性回归，⽽应该将其升级为多元线性回归。
但是，有了⼀元线性回归的基础，讨论多元线性回归可以说是轻⽽易举。
另外我们没必要分别讨论⼆元、三元等具体个数变量的回归问题，因为在线性代数的帮助下，我们能够统⼀讨论对任何解释变量个数的回归问题。
1、多元线性回归模型的系数求解多元线性回归模型是⽤k 个解释变量X 1,⋯,X k 对被解释变量Y 进⾏线性拟合的模型，每⼀个解释变量X i 之前有⼀个回归系数βi ，同时还应具有常数项β0，可以视为与常数X 0=1相乘，所以多元线性回归模型为Y =β0X 0+β1X 1+β2X 2+⋯+βk X k +µ,这⾥的µ依然是随机误差项。
从线性回归模型中抽取n 个样本构成n 个观测，排列起来就是Y 1=β0X 10+β1X 11+β2X 12+⋯+βk X 1k +µ1,Y 2=β0X 20+β1X 21+β2X 22+⋯+βk X 2k +µ2,⋮Y n =β0X n 0+β1X n 1+β2X n 2+⋯+βk X nk +µn .其中X 10=X 20=⋯=X n 0=1。
⼤型⽅程组我们会使⽤矩阵表⽰，所以引⼊如下的矩阵记号。
Y =Y 1Y 2⋮Y n,β=β0β1β2⋮βk,µ=µ1µ2⋮µn.X =X 10X 11X 12⋯X 1k X 20X 21X 22⋯X 2k ⋮⋮⋮⋮X n 0X n 1X n 2⋯X nk.在这些矩阵表⽰中注意⼏点：⾸先，Y 和µ在矩阵表⽰式中都是n 维列向量，与样本容量等长，在线性回归模型中Y ,µ是随机变量，⽽在矩阵表⽰中它们是随机向量，尽管我们不在表⽰形式上加以区分，但我们应该根据上下⽂明确它们到底是什么意义；β是k +1维列向量，其长度与Y ,µ没有关系，这是因为β是依赖于变量个数的，并且加上了对应于常数项的系数（截距项）β0；最后，X 是数据矩阵，且第⼀列都是1。
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
E[e1e1 X] E[e1e2 X] ... E[e1en X] E[e2e1 X] E[e2e2 X] ... E[e2en X]
...
E[ene1 X] E[ene2 X] ... E[enen X]
利用方差分解公式可以得到： V a r [ e ] E [ V a r [ e X ] ] V a r [ E [ e X ] ]2 I
( X ' X )1 X '[ 2I ]X ( X ' X )1 2 ( X ' X )1
19
对多元回归方程估计结果的解释
多元回归方程估计结果可以表达为
y ˆˆ1 x 1ˆ2 x 2 .. .ˆK x K
由方程可知：
y ˆ ˆ 1 x 1 ˆ 2 x 2 . .ˆ .K x K
E ˆ S 2SY iˆ0ˆ1X 1 iˆ2X 2 i 0
0
E ˆ S 2S Y iˆ0ˆ1 X 1 iˆ2 X 2 iX 1 i 0
1
E ˆ S 2S Y iˆ0ˆ1 X 1 iˆ2 X 2 iX 2 i 0
ˆˆ1 0
N X1i
ˆ2 X2i
X1i X12i X1iX2i
XX 1iX 2i2i1 XY 1iiYi X2 2i X2iYi
思考：如果X1=2X2会出现什么情况？
最小二乘法估计
X' Xˆ X'Y
如果 X'X存在逆矩阵(这是满秩假定所要求的)，
那么其解为： ˆ(X'X)1X'Y
最小二乘法估计
（多元回归模型）
计量经济学第三章
多元线性回归模型及其古典假设 参数估计 最小二乘估计量的统计特性 统计显著性检验 解释变量的选择 中心化和标准化回归方程 利用多元线性回归方程进行预测
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
第一节 多元线性回归模型 及其古典假设
一、多元线性回归模型的一般形式 二、多元线性回归模型的基本假定
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
一、多元线性回归模型的一般形式
如果被解释变量（因变量）y与k个解释变量（ 自变量）x1, x2, … , xk 之间有线性相关关系，那么 他们之间的多元线性总体回归模型可以表示为：
y 0 1x1 2 x2 k xk u
(3.1)
(
k
1)1
en
n1
对样本回归模型的系统分量的系数进行估计可得样本回归
方程：
yˆi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki
yˆ i
其中， 是y的系统分量，即由自变量决定的理论值， ˆ0,ˆ1,ˆ2,,ˆk
分别是0 ,1 ,…,k的无偏估计量。
方程表示：各变量x值固定时y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，xj每变化1个单位时，y的均 值E(y)的变化;
或者说j给出了xj的单位变化对y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
总体回归模型n个随机方程的为：
y1 0 1x11 2 x21 k xk1 u1 y2 01x12 2x22 kxk2 u2 yn 0 1x1n 2 x2n k xkn un
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多元线性回归模型
一. 概述
当今农村农民人均纯收入与多个因素存在着紧密的联系，例如人均工资收入，人均农林 牧渔产值人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入等。
本次将以安徽
1995— 2009年
农村居民纯收入与人均工资收入，人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入等因素 的数据，通过建立计量经济模型来分析上述变量之间的关系，强调农村居民生活的重要 性，从而促进全国经济的发展。
二、
模型构建过程
1•变量的定义
被解释变量：农民人均纯收入y
解释变量：人均工资收入x1,人均农林牧渔产值x2
人均生产费用支出x3 人均转移性和财产性收入x4。
建立计量经济模型：解释农民人均纯收入与人均工资收入，人均生产费用支出，人均 转移性和财产性收入的关系 2. 模型的数学形式
设定农民人均纯收入与五个解释变量相关关系模型，样本回归模型为：
3•数据的收集
该模型的构建过程中共有四个变量,分别是中国从1995— 2009年人均工资收入, 人均农林牧
渔产值人均生产费用支出，人均转移性和财产性收入，因此为时间序列数据， 最后一个即2009年的数据作为预测对比数据，收集的数据如下所示：
4•用OLS 法估计模型
回归结果，散点图分别如下： Y
?=+X l +X 2X a X 4，R2=，
Se= t=
Y
i
2X 2i
+
X/e
4
三、模型的检验及结果的解释、评价
2•拟合优度检验及统计检验
R 2二，可以看到模型的拟合优度非常高，说明农民人均纯收入与上述四个解释变量之间总体线性关系显着。
模型总体性检验（F检验）：给定显着水平=，查自由度为（4,10）的F分布表，得
F（4,10）=,可见该模型的F值远大于临界值，因此该回归方程很明显是显着的。
但由于X3系数不显着且符号为负，与经济意义不符，因此我们认为解释变量之间存在多重共线性。
变量的显着性检验（t检验）：给定显着水平 =，查自由度为10的t分布表，得t /2 10 二，大于该临界值的的显着变量为x1,x2,x4 ; x3解释变量未通过检验，说明x3 与被解释变量之间不存在显着的线性相关关系。
3.多重共线性的检验
⑴相关系数检验法
上图是Eviews输出所有变量的相关系数矩阵，可发现丫与所有解释变量都是正相关的关系，所以进一步确定了上面的回归存在共线性问题。
另外，我们发现X1和X2的相关系
数很高，两变量很可能存在共线性。
⑵多个解释变量的相关性检验
由上面的分析可知，X1和X2有很高的相关性，那么我们这里就用X1做被解释变量，X2 和X3做解释变量，可得回归模型如下：
X i=+X2 +X3
t=
R2=，R2=，F=，DW^O
可以看到，回归模型的拟合优度非常高，F值也远大于临界值。
如果将显着水平扩大到 =10%勺话，X2系数显着，X3系数不显着。
因此x 1 ,x2 存在共线性。
四、模型的建立 这里我们用逐步回归法得到农民人均纯收入模型。
1•分别用四个解释变量对 丫进行回归，回归结果分别如下:
可以看出，丫与X 2拟合优度R 2最大，因此将这个方程作为基本方程，然后往里加入其他 变量。
2•引入第二个变量
临界值，其系数通不过显着性检验。
引入变量X 3后，t 值 < 临界值，其系数通不过显着性检验。
引入变量X 4后，t 值 < 临界值，其系
数通不过显着性检验。
综上所述，本次模型只引入变量X 2，其最终输出结果如下: 模型的最终结
果为
丫 = +X
2
() ()
R 2
=，R 2
=，F=, DW=
异方差检验(怀特检验)
2 n*R =< (2)=, 不存在异方差。
0.05
六、自相关检验及修正
引入变量X i 后，t 值 Vanable Coefficieni Std Error (Statistic Pr&b 口
C XI X2
-101 沖 G 744893 0B13743 198 734B 0 2U227 0 124561
o mazo 3 477123 5.1^088
0 B197 QJ046 0 OC02
R-sqinared
Adjusted R-squared S E of regressiofi Surn squared resid Log likebhood
Durbin-V^atsort stal
0994531 0 933619 75 69550 M757 71 S4 51128 0 677182
Mean dependent var S D
dependent var Akailce
info cntenon Schwarz
cntefion F-staiisti?
Prab(F-stahst»c^
2466 323 947
627?
11 SS&17
11 S0S73
1091C69
0 OODCQO
2 LWn*R2=< 0 05 (1 )=,模型不存在一阶自相关。
0. 05。