[教学]数学f1初中数学新定义运算1

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初中数学新定义运算教案

教案：初中数学新定义运算教学目标：1. 理解并掌握新定义的运算方法及其应用。

2. 能够运用新定义运算解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学内容：1. 新定义运算的定义及运算规则。

2. 新定义运算在实际问题中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新定义运算的概念，让学生猜测新定义运算的可能形式。

2. 引导学生思考新定义运算的实际意义和应用场景。

二、新课讲解（20分钟）1. 给出新定义运算的具体定义和运算规则。

2. 通过示例题目，解释新定义运算的运算过程和结果。

3. 引导学生总结新定义运算的规律和特点。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置一些有关新定义运算的练习题目，让学生独立完成。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。

四、应用拓展（10分钟）1. 给出一些实际问题，让学生运用新定义运算进行解决。

2. 引导学生思考新定义运算在实际问题中的应用价值和意义。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的新定义运算的概念和运算规则。

2. 强调新定义运算在实际问题中的应用方法和注意事项。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些有关新定义运算的练习题目，让学生巩固所学知识。

2. 鼓励学生自主探索新定义运算的其他应用场景。

教学反思：本节课通过引入新定义运算，让学生了解了新定义运算的概念和运算规则，并通过练习和应用拓展，使学生掌握了新定义运算的实际应用方法。

在教学过程中，要注意引导学生思考新定义运算的实际意义和应用场景，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

同时，要加强课堂练习的讲解和分析，及时发现和纠正学生的错误，提高学生的学习效果。

新定义教案初中数学

新定义教案初中数学1. 让学生理解并掌握新定义的概念，能够运用新定义解决相关问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 新定义的概念及性质。

2. 新定义的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：新定义的概念及性质。

2. 难点：运用新定义解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过复习相关基础知识，引导学生思考与新定义相关的问题，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：（1）介绍新定义的背景和意义。

（2）讲解新定义的定义及性质，引导学生通过观察、思考、归纳，理解并掌握新定义。

（3）通过例题，演示新定义的应用，让学生体会新定义在解决实际问题中的作用。

3. 课堂练习：（1）设计一些具有代表性的练习题，让学生运用新定义解决问题。

（2）引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。

4. 拓展与应用：（1）引导学生运用新定义解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）鼓励学生发挥创新意识，探索新定义的推广和应用。

5. 课堂小结：回顾本节课的学习内容，总结新定义的概念及性质，强调新定义在解决实际问题中的应用。

6. 课后作业：布置一些有关新定义的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用新定义解决实际问题的能力。

五、教学策略1. 采用直观演示、讲解、练习、交流等多种教学方法，让学生充分理解新定义。

2. 设计具有针对性和代表性的练习题，让学生在实践中掌握新定义。

3. 注重个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助。

4. 鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。

2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，评估学生对新定义的掌握程度。

3. 综合测试：通过阶段性的测试，了解学生对新定义的运用情况，为下一步教学提供依据。

总之，本节课的教学目标是让学生理解并掌握新定义的概念及性质，能够运用新定义解决相关问题。

初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析

初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。

而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2022年中考数学试题中的一个热点。

“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。

现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例1、（2022年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A 与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的1，4311均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．AB0 1 21 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （例3图）1311，均变成，变成1，∴在第二次操作后，44221313原线段AB上的，均变成1，∴点所对应的数之和是??1。

4444解：∵在第一次操作后，原线段AB上的【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。

解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。

第一次操作后，在拉长后1处为对折点，均匀21131变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。

第二次操作后，2442113在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，24413在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。

4413解：??1。

中考数学新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)

专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ．【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=．（1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ．【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203．【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=．故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ．【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-，解得：7m =；故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=，即2(2)419n n -++=，解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32，则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ．【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=，解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=，解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =，则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值；（2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<．故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+．根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）计算：(2)(34)i i +⨯-；（3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=，故答案为：i -，1；（2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-．（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）(7)(7)i i +-；（3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式．【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1；（2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由．（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论．【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=，故答案为：4；163；（2）555log 5log 25log 125+=，理由如下：根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=，故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个，故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题：（1）请你计算3574-的值．（2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时，原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=．例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-．（2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数，又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为和；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？（填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2．（1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和；（2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5，故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==．（1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”，对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =；（2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6，又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +，又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =，此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =，此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是（填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值．【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能（选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=，联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+，则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==．（1）判断236 不是（选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数，根据题意，321123(321)1811G -==；故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==．（1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数）（2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值．（3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =．故答案为：23；1；1．（2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+，又21010(2)1011f x x +=，所以101021011x x =+，解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-；综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩．根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”．（2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =；解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ．【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--，由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-，根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数），由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩，解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）；当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”．（2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=．例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-．（1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数），根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=，将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=，同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除），即20d c =⎧⎨=⎩；当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去），即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==．（1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值．【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==；（2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴，此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----，当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”．又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值．【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”；（3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数，当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =，当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =，综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。

初中数学新定义运算

初中数学新定义运算在初中数学中，我们学习了加减乘除四则运算，但是在实际应用中，有时候需要用到其他的运算。

因此，我们需要引入新的定义运算。

一、绝对值运算绝对值运算是指将一个数的正负号去掉，得到它的非负值。

例如，|-3|=3，|5|=5。

二、取整运算取整运算是指将一个实数取整到最接近它的整数。

例如，[3.2]=3，[4.8]=5。

三、取余运算取余运算是指将一个整数除以另一个整数，得到的余数。

例如，7÷3=2余1，所以7 mod 3=1。

四、阶乘运算阶乘运算是指将一个正整数n乘以比它小的所有正整数的积。

例如，5!=5×4×3×2×1=120。

五、幂运算幂运算是指将一个数乘以自己若干次。

例如，2³=2×2×2=8，5²=5×5=25。

六、根号运算根号运算是指将一个数的平方根或者立方根等根号表示出来。

例如，√9=3，∛8=2。

七、比例运算比例运算是指将两个数的比值表示出来。

例如，1:2表示第一个数是第二个数的一半。

八、百分数运算百分数运算是指将一个数乘以100，表示成百分数的形式。

例如，0.5表示成百分数的形式是50%。

九、平均数运算平均数运算是指将一组数的和除以它们的个数，得到它们的平均值。

例如，1、2、3、4、5的平均数是(1+2+3+4+5)/5=3。

十、最大值和最小值运算最大值和最小值运算是指在一组数中找到最大值和最小值。

例如，1、2、3、4、5中最大的数是5，最小的数是1。

以上就是初中数学中常见的新定义运算。

通过学习这些运算，我们可以更好地理解数学知识，更好地应用数学知识。

初中数学新定义

初中数学中的“新定义”问题，通常是指定义了一些初中数学中未涉及的新概念、新运算或新符号，要求学生结合已有知识进行理解，并运用这些新定义进行运算、推理或迁移。

这类问题旨在考查学生的阅读理解能力、数学应用能力和思维灵活性。

具体来说，初中数学中的“新定义”问题可以分为以下几种类型：
定义新运算：例如绝对值运算、取整运算、取余运算和阶乘运算等。

定义初、高中知识衔接的“新知识”：例如将一些能与初中知识相衔接的高中数学知识，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些新知识与已学知识联系起来，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题。

定义新概念：例如将某个特征的图形或运算方式、代数式等数学元素赋予一个新的名字，形成新的概念。

解决这类问题时，学生需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

同时，还需要具备良好的阅读理解能力和思维灵活性，能够理解并运用这些新定义进行运算和推理。

初中数学《定义新运算》讲义及练习

第四讲定义新运算知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。

【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。

由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。

6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。

由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】设a△2b a a b=⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 【解析】56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】P、Q表示数，*P Q表示P与Q的平均数，求3*(6*8)【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。

2019年中考数学专题知识突破(二)新定义型问题

专题知识突破二新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 （2019•济南）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）思路分析：根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择．考点二：运算题型中的新定义例2 （2019•铜仁）定义一种新运算：a⊗b=b2-ab，如：1⊗2=22-1×2=2，则（-1⊗2）⊗3=_______.思路分析：先根据新定义计算出-1⊗2=6，然后计算再根据新定义计算6⊗3即可．考点三：探索题型中的新定义例3 （2019•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．考点四：开放题型中的新定义例4 （2019•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意考点五：阅读材料题型中的新定义例5 （2019•乐山）对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），称|x1-x2|+|y1-y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d（P1，P2）．若P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=kx+b上的一动点，称d（P0，Q）的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0（2，-3），O为坐标原点．则：（1）d（O，P0）=_________；（2）若P（a，-3）到直线y=x+1的直角距离为6，则a=__________．思路分析：（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；（2）先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．四、中考真题演练一、选择题1．（2019•大庆）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（）A．|AB|≥‖AB‖ B．|AB|＞‖AB‖ C．|AB|≤‖AB‖ D．|AB|＜‖AB‖2．（2019•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a ＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是（）A ．12B ．12C ．1D ．0 3．（2019•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A ．1，2，3B ．1，1C ．1，1D ．1，24．（2019•常德）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O ，引一条有方向的射线Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定，有序数对（θ，m ）称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox 上，则正六边形的顶点C 的极坐标应记为（）A ．（60°，4）B ．（45°，4）C ．（50°，５．（2019•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°6．4．（2019•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a ，b ），定义f ，g 两种变换：f （a ，b ）=（a ，-b ）．如f （1，2）=（1，-2）；g （a ，b ）=（b ，a ）．如g （1，2）=（2，1）．据此得g （f （5，-9））=（）A ．（5，-9）B ．（-9，-5）C ．（5，9）D ．（9，5）7．5．（2019•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题8．（2019•临沂）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A 与集合B 中的所有元素组成的集合称为集合A 与集合B 的和，记为A+B ．若A={-2，0，1，5，7}，B={-3，0，1，3，5}，则A+B=___________．910．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P （-y+1，x+1）叫做点P ′伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…．若点A 1的坐标为（3，1），则点A 3的坐标为______，点A 2019的坐标为_______；若点A 1的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 __________．11．（2019•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将0.3∙12．（2019•塘沽区二模）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…，已知标准纸的短边长为a ．（说明：①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…都是矩形；②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．）（Ⅰ）如图2，把上面对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：第一步：将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B ′处，铺平后得折痕AE ；第二步：将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ．则AD ：AB 的值是；（Ⅱ）求“2开”纸长与宽的比；（Ⅲ）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E ，F ，G ，H 分别在“16开”纸的边AB ，BC ，CD ，DA 上，则DG 的长 .13．（2019•连云港）如图1，折线段AOB 将面积为S 的⊙O 分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S 1、S 2，若 121S S S S ==0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 _______．（精确到0.1）14．（2019•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．三、解答题15．（2019•厦门）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，mn）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若，求△MBC的面积．16．（2019•白银）阅读理解：17．（2019•漳州）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是_____度和______度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有____个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．18．（2019•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（12，12），E（0，-2），F（0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．20．（2019•黔西南州）已知点P （x 0，y 0）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 例如：求点P （-2，1）到直线y=x+1的距离．解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1，b=1．根据以上材料，求：（1）点P（1，1）到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，-1）到直线y=2x-1的距离；（3）已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离．21．（2019•抚州）【试题背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．【探究2】（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为．（直接写出结果即可）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．【拓展】（4）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，AB⊥k于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、点M、点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明此时BC∥DE的理由．22．（2019•顺义区一模）设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=12x2-2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．23．（2019•佛山）我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B=30米，∠B1=22°，∠ABC=30°，求AC（精确到1）；（2）如图2，若∠ABC=30°，B 1B=AB ，计算tan15°的值（保留准确值）；24．（2019•安徽）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数y 1=2x 2-4mx+2m 2+1和y 2=ax 2+bx+5，其中y 1的图象经过点A （1，1），若y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求出当0≤x ≤3时，y 2的最大值．25．（2019•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =；（2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究 BCHG AGHS S V 四边形的最大值．专题二新定义型问题参考答案三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1解：A 、∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；B 、∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；C 、3只有1个，∴不可以作为S 1，故选项错误D 、符合定义的一种变换，故选项正确．故选：D ．考点二：运算题型中的新定义例2解：-1⊗2=22-（-1）×2=6，6⊗3=32-6×3=-9．所以（-1⊗2）⊗3=-9．故答案为-9．考点三：探索题型中的新定义例3解：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．当x=b 时，y=-b+1．则2b 12b a a 1-≤-+≤⎧⎪⎨⎪-⎩＞＝，∴-1＜b ≤3；（3）若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数值小于-1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1．当x=-1时，y=1 即过点（-1，1）四、中考真题演练一、选择题1．C2．A3．D4．A5．D6．D7．C二、填空题8. {-3，-2，0，1，3，5，7}9．２10．（-3，1），（0，4）；-1＜a＜1且0＜b＜211．45 9912：113．137.5 14．30°三、解答题15．解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴mn+1=m，即mn=m-1，∴P（m，m-1），即“完美点”P在直线y=x-1上，∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=-x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由y x1 y x5＝＝-⎧⎨-+⎩解得x3y2＝＝⎧⎨⎩，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x 平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，∴直线AM与直线y=x-1垂直，∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x-1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴，∵，∴，又∵∴BC=1，∴S △MBC =12 16．解：由题意得2x-（3-x ）＞0，去括号得：2x-3+x ＞0，移项合并同类项得：3x ＞3，把x 的系数化为1得：x ＞1．17．解：（1）如图1所示：∵AB=AC ，∠A=36°，∴当AE=BE ，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC 中画n 条线段，则图中有2n 个等腰三角形，其中有n 个黄金等腰三角形．故答案为：2n ，n ．18．解：（1）①如图1所示，过点E 作⊙O 的切线设切点为R ，∵⊙O 的半径为1，∴RO=1，∵EO=2，∴∠OER=30°，根据切线长定理得出⊙O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，∴E 点是⊙O 的关联点，∵D （12，12），E （0，-2），F （0）， ∴OF ＞EO ，DO ＜EO ，∴D 点一定是⊙O 的关联点，而在⊙O 上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，故在点D 、E 、F 中，⊙O 的关联点是D ，E ；故答案为：D ，E ；②由题意可知，若P 要刚好是⊙C 的关联点，需要点P 到⊙C 的两条切线PA 和PB 之间所夹的角为60°，由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC ，则PC=sin BC CPB∠=2BC=2r ， ∴若P 点为⊙C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足0≤d≤2r ；由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，如图3，点P 到原点的距离OP=2×1=2，过点O 作l 轴的垂线OH ，垂足为H ，tan ∠OGF=FO OG = ∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°sin ∠OPH=OH OP = ∴∠OPH=60°，可得点P 1与点G 重合，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于点M ，可得∠P 2OM=30°，∴OM=OP 2cos30°从而若点P 为⊙O 的关联点，则P 点必在线段P 1P 2上，∴（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=12EF=2，此时，r=1，故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．19．解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角线垂直平分另一条对角线；④一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半；不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形；（2）如图所示：．（3）在直线y=-x+1任意取一点P，当x=0时，y=1．∴P（0，1）．∵直线y=-x+3，∴k=-1，b=3，21．解：（1）∵l∥k，BE⊥l，∴∠BFC=∠BEA=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC．∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF，∵d1=d3=1，d2=2，∴BE=3，AE=1，在直角△ABE中，AB=＝，；（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F．则BE=1，BF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，∴△AEB∽△BFC，当AB是较短的边时，如图（a），AB=12BC，则AE=12BF=32，在直角△ABE中，=当AB是长边时，如图（b），同理可得：；故答案为：（3）证明：如解答图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，且∠ADC=60°，∴AC=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∵AE⊥k，∠AFD=90°，∴∠AEC=∠AFD=90°，∴直角△AEC≌直角△AFD，∴EC=DF；（4）当2＜DH＜4时，BC∥DE．理由如下：如图2，当2＜DH＜4时，点D在线段CM上，连接AM．∵∠ABM=∠ACM=90°，AB=AC，AM=AM，∴Rt△ABM≌Rt△ACM，∴∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，又∵AD=AE，AB=AC，∴Rt△ABE≌Rt△ACD，∴∠BAE=∠CAD，∴∠EAM=∠DAM，∴AM⊥ED．∴BC∥DE．22．解：（1）反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=2014x在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2019；当x=2019时，y=1，所以，当1≤x≤2019时，有1≤y≤2019，符合闭函数的定义，故反比例函数y=2014x是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，km b m? kn b n＝＝+⎧⎨+⎩，解得k1b0＝＝⎧⎨⎩．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，km b n? k n b m＝＝+⎧⎨+⎩，解得k1b m n ＝＝-⎧⎨+⎩．∴此函数的解析式是y=-x+m+n；（3）∵y=12x2-2x=12(x2-4x+4)-2=12(x-2)2-2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是-2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x ＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=12x2-2x的最小值是-2=c，根据“闭函数”的定义知，d=12c2-2c或d=12d2-2d；Ⅰ）当d=12c2-2c时，由于d=12×（-2）2-2×（-2）=6＞2，符合题意；Ⅱ）当d=12d 2-2d 时，解得d=0或6，由于d ＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y 随x 的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，22122122c c cd d d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得，66c d =⎧⎨=⎩， ∵c ＜d ，∴66c d =⎧⎨=⎩不合题意，舍去．综上所述，c ，d 的值分别为-2，6．24.解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2-2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞-2．∴b42(a2) 8(a2)1--+⎧⎨++⎩＝＝．解得：a5b10⎧⎨-⎩＝＝．∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．∴y2=5x2-10x+5=5（x-1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0-1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．25．解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=12 AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴AO ACOD DE=2，∵AD=AO+OD，∴AOAD=23．（2）答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，AOAD=23，而AOAD=23，∴点Q与点O重合（是同一个点），∴点O是△ABC的重心．（3）如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知AOAD=23，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．∴S 四边形BCHG =S △ABC -S △AGH =（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S ． ∴BCHG AGHS S V 四边形=(6-24)(22)x k S k S ++=3-21x k k ++ ① 如答图3，过点O 作OF ∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，则OF ∥GE ． ∵OF ∥BC ， ∴23OF AO CD AD ==， ∴OF=23CD=13BC ； ∵GE ∥BC ， ∴11GE AG BC AB x ==+， ∴GE=1BC x +； ∴131BC OF BC GEx =+=13x +， ∴13(1)OF x GE OF x +=--+=12x x+-． ∵OF ∥GE ， ∴OH OF GH GE=， ∴1-2-OH OF x OG GE OF x+==， ∴k=12-x x+，代入①式得： BCHG AGH S S V 四边形=13-23-22-1112-x x x k x x k x +++=+++=-x 2+x+1=-（x-12）2+54， ∴当x=12时，BCHG AGHS S V 四边形有最大值，最大值为54．。

初中数学新定义运算题解析

初中数学新定义运算题解析福建省泉州市永春吾峰中学张锦汉一、说知识点：本节的知识点部分是华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，属于一种新定义运算题，在中考、竞赛中经常出现，能较全面地考查学生解决问题的能力。

二、说目标：新定义运算作为新课标所引来的一种新题型，根据课程标准的要求，结合学生实际特征，通过观察和动手操作，经历和体验变化过程，培养实验操作的能力，主动探究，敢于实践，勇于发现，合作交流。

三、说教法：数学是一门培养人的思维活动的课程。

要使学生“知其然，知所以然”。

体现知识的认知规律，对于新定义运算题，我由华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的一小段阅读材料，引申出了新定义运算的三种类型，定义一种新法则; 定义一种新数; 定义一种新图形。

一一举例说明，并引适当的中考题，加以比较。

四、说学法：数学做为基础教育的核心课程之一，转变学生的学习方式，不仅有助于提高学生的数学素养，还有助于培养学生整体学习方式的转变。

本课我注重探索研究的学习方式，根据认知水平，以及十几年的教学经验，根据往年的中考出题习惯，以华师大版《数学》八年级下册第16章第17页的阅读材料，引出中考新定义运算的几种常见类型，并讲解试题的分析过程，解决过程，试题的变式分析，试题的价值及反思，五、说过程：新定义运算的特点是给出新的一种定义，再提出新的问题，通过实验、探究、猜想、在新概念下解决新的问题。

新定义运算的几种常见类型：（1）定义一种新法则; （2）定义一种新数;（3）定义一种新图形。

本次说课主要是通过定义一种新法则; 定义一种新数; 定义一种新图形;三种为主线一一阐述，具体如下：类型一：定义一种新法则例1：华东师范大学出版的《数学》八年级下册第16章第17页的一点内容：你知道吧吗？The symbol 5! is called five factorial(阶乘)and means 5·4·3·2·1；thus5!=120. What’s the result of !)!1(n n Do you know?【学找切入点】5!=5×4×3×2×1，引伸到（n-1）!，n!【解】由于n!=n ×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1;（n-1）!=（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1 所以!)!1(n n -=()()()()()()123321123321n n n n n n n ---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=1n【拓展延伸】课本只给出了，5!=120.在解决这个问题，在上课的过程中我先引入如下的例题：先问学生2!、3!、4!、5！各个值是多少？后书写如下的例题并做适当的延伸。

初中数学中考复习专题五新定义型

专题五新定义型【专题精讲】“新定义型”问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念，新运算，新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识和能力进行理解，根据新的定义进行运算，推理，迁移。

最近几年是考试热点。

“新定义型”关键要把握两点：一是掌握问题的原型特点及其解决问题的思想方法，二是根据问题背景变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。

“新定义型”问题的类型：规律题型中的新定义，运算题中的新定义，探索题中的新定义，开放题中的新定义，阅读材料题中点的新定义，等等。

【典型例题讲解】考点一规律题中的新定义例1若自然数n使得三个数的加法运算“)2++nnn”产生进位现象,则称n为“连加进位数”。

+(+()1例如：2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象。

如果从0,1,2, (99)100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是()A. 0.88B. 0.89C. 0.90D. 0.91考点二运算中的新定义定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”。

理解(1)如图1,已知A. B 是⊙O 上两点,请在圆上找出满足条件的点C ,使△ABC 为“智慧三角形”(画出点C 的位置,保留作图痕迹)；(2)如图2,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CD CF 41=，试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点Q 是直线3=y 上的一点，若在⊙O 上存在一点P ，使得OPQ ∆为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标。

中考数学新定义题型专题03 函数中的新定义问题(老师版)

专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数）．系列抛物线的顶点分别为1M ，2M ，3M ，⋯，n M ．（1）下列结论正确的序号是 ①②④ ． ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-；②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1)； ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；（2）对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =，与系列抛物线的交点分别为1N ，2N ，3N ，⋯，n N ．①当0a =时，1n n N N -= ；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -；若不相等，说明理由；③以1n n N N -为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a 的值．【解答】解：（1）系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-，故①正确； 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+，令2340x x +-=．解得4x =-或1x =，∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-，(1,1)，故②正确；系列抛物线二次项的系数为14n -，与抛物线214y x =-的系数不同，∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得，故③错误；2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++，∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-，251)16n +． 12516n n M M -∴=，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516，故④正确；综上，正确的有①②④，故答案为：①②④；（2）当x a =时，213144n y na na n =--++，2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++，21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-；①当0a =时，11n n N N -=；故答案为：1；②相邻两点之间的距离相等，距离为2113144n n N N a a -=+-；③系列抛物线的对称轴是直线32x =-；当32a <-时，由题意得：21331442a a a +-=-+；整理得2720a a ++=．解得a =a = 当32a >-时，整理得2100a a --=，解得a =a =综上，a 的值为72-或12+ 2．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”．（1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的是 ②③ （填序号）； ①6y x=；②|4|y x =；③225y x x =--．（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （3）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，5B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且1212y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）解：根据定义，函数关于直线(x n n =为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象，不符合题意： ②|4|y x =，③225y x x =--的图象是轴对称图形，符合题意．故答案为：②③．（2）||y x h =-是“X （3）”函数， 3h ∴=，如图，3y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(3,0)C ∴，(0,3)D -， 45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒， AM CM ∴=，BN CN =， 5B A x x -=，5MN ∴=，设CN x =，则5MC x =-， (3,)B x x ∴+，(2,5)A x x --， (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=， 1x ∴=，(4,1)B ∴， 4m ∴=；（3）由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，54t ∴=（舍)； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+， x t =时，2224y t t =-++，22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=， 74t ∴=（舍)； ⑧当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=，又312t <，2t ∴=． ④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，22y t =-十24t +，221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=，1t ∴=，又因为322t <，1t ∴=．综上所述：22t =-或12t =+． 3．我们知道，对于二次函数2()y a x m k =++的图象，可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数2y ax =为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”．左右、上所学的函数：二次函数2y ax =，函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数，由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向左平移1个单位，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为．（2）探究二：已知函数263y x x =-+，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．（3）探究三：为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．【解答】解：（1）2(1)7y x =+-，∴向左平移1个单位；=故答案为：向左平移1个单位；（2）2263(3)6y x x x =-+=--，∴基本函数为2y x =；原抛物线的顶点坐标为(0,0)，新抛物线的顶点坐标为(3,6)-，∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移6个单位；=；（3）函数341x y x +=+可化为131y x =++，∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．．4．定义：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点，若满足1y ，2y ，3y 中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且1y ，2y ，3y 都大于0，则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”．（1）①函数2(12)y x x =的最小值是m ，最大值是n ，则2m < n ；（填写“>”，“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是” )（2）若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，求a 的取值范围；（3）若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，求m 的取值范围．【解答】解：（1）①12x ，∴当1x =时，函数的最小值为1m =，当4x =时，函数的最大值为4n =， 2m n ∴<，故答案为：<；②当 1.1x =时，函数的最小值为1.21，当2x =时，函数的最大值为4，当1x =时，函数值为1， 1.2114+<，∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”；故答案为：不是；（2）当1x =时，3y a =-+，当2x =时，3y =，①当0a >时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩，解得：302a<； ②当0a <时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，则233a ⨯-+，30a ∴-<；综上所述，a 的取值范围为302a <或30a -<；（3）2222()y x mx x m m =-=--，∴函数最小值为2m -，当1x =时，12y m =-； 32x =时，934y m =-； ①当1m 时，1x =时120y m =-<，不满足题意； ②当1m <时，函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩，解得：14m -；综上所述：若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -． 5．定义：当x a =时，其对应的函数值为y f =（a ），若f （a ）a =成立，则称a 为函数y 的不动点．例如：函数234y x x =-+，当2x =时，y f =（2）223242=-⨯+=，因为f （2）2=成立，所以2为函数y 的不动点．对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-，（1）当0t =时，分别判断1-和0是否为该函数的不动点，并说明理由；（2）若函数有且只有一个不动点，求此时t 的值；（3）将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度，4t -时，判断平移后函数不动点的个数．【解答】解：（1）1-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点；理由如下：当0t =时，23y x x =--，当1x =-时，1y x =-=，当0x =时，30y =-≠，1∴-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点．（2）由不动点的定义可知，函数的不动点在y x =上，当1t =-时，函数3y x =-，此时函数没有不动点；当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x =+-+-，整理得，2(1)(22)30t x t x +-+-=，函数有一个不动点，∴△2(22)12(1)0t t =+++=，整理得4(1)(4)0t t ++=，1t ∴=-（舍)或4t =-；综上可知，符合题意的t 的值为4-；（3）向下平移后的函数为：2(1)(21)3y t x t x m =+-+--，当1t =-时，3y x m =--，函数没有不动点；当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--，整理得，2(1)(22)30t x t x m +-+--=，∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=，整理得△4(1)(4)t t m =+++，0m >，4t -，40t m ∴++>，当41t -<-时，△0<，平移后函数不动点的个数为0个；当1t =-时，不是二次函数；当1t >-时，△0>，平移后函数不动点的个数为2个．综上可知，当41t --时，平移后函数不动点的个数为0个；当1t >-时，平移后函数不动点的个数为2个．6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-，二次函数234y x x =-+的图象如图所示．（1）点A 为图象与y 轴的交点，点(1,)B b -在该二次函数的图象上，求(,)d A B 的值．（2）点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点，记点C 的横坐标为m ． ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t +时，(,)d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．【解答】解：（1）把0x =代入234y x x =-+，得4y =，∴点A 坐标为(0,4)，把(1,)b -代入234y x x =-+，得1348b =++=，∴点B 坐标为(1,8)-，(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=．（2）①223734()24y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为3(2，7)4，74y∴，点C 在抛物线上，2(,34)C m m m ∴-+，2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-，0m ，27344m m -+， (d O ∴，22)24(1)3C m m m =-+=-+，∴当1m =时，(,)d O C 最小值为3，此时点C 坐标为(1,2)． ②(d O ，2)(1)3C m =-+，∴当01m <时，(,)d O C 随m 增大而减小，当1m 时，(,)d O C 随m 增大而增大，把m t =代入(d O ，2)(1)3C m =-+得(d O ，2)(1)3C t =-+，把1m t =+代入入(d O ，2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+，当111t t +-=-时，12t =，当102t<时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值2(1)3p t =-+， 23(1)4p q t -=-=，解得312t =+（不符合题意，舍去），312t =-，当112t <时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值23p t =+， 234p q t -==，解得32t =，32t =-（不符合题意，舍去）．当1t >时，(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+，最大值23p t =+， 223(1)4p q t t -=--=，解得78t =（不符合题意，舍去），综上所述，312t =-或32． 7．定义：如图，已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点，M 的半径为2，线段OM 与M 交于点A ．若点P 在M 上，且满足2PA =，则称点P 为M 的“等径点”．（1）若点M 的横坐标为3时，M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ；（2）若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，求圆心M 的坐标；（3）若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上，求点P 的坐标．【解答】解：（1）点M 在一次函数3y x =图象上，∴可设点M 的坐标为(3)a a ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，则||ON a =，|3|MN a =， 2||OM a ∴=，30OMN ∴∠=︒，60MON ∠=︒．①点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 左侧时，如下图所示，2PA PM AM ===， PAM ∴∆是等边三角形，60PMA MON ∴∠=∠=︒， //PM x ∴轴， (2,3)P a a ∴-；②点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 右侧时，如下图所示，设AP '与MN 交于点Q ，此时60P AM MON ∠'=∠=︒， //P A x ∴'轴， MN AP ∴⊥'，90MQP ∴∠'=︒，30QMP ∠'=︒，1QP ∴'=，MQ =(P a ∴'+．当点M 横坐标为3时，3a =，则M 的“等径点”是或(4,；故答案为：或(4,；（2）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，则点P 的横坐标为0， 20a ∴-=或10a +=，解得2a =或1a =-，∴点M 的坐标为(2,或(1,-；（3）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．令2x a =-，y =，则y =+；令1x a =+，y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++，解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+．令2y x =++-，方程无解．综上所述：点P 的坐标为(0,或(3-+．8．定义：若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++．同时满足214a a =-且2114k k =-，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．（1）已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，求1y 的解析式；（2）如图1，将一副边长为2的形式，若以BC 中点为原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，设经过点A ，E ，D 的抛物线为1y ，经过A 、B 、C 的抛物线为2y ，请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【解答】解：（1）22223(1)4y x x x =--=--， 21a ∴=，1h =-，24k =-，抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，21144a a ∴==--，1h =-且21164k k ==-， 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++．（2）由题意可得，42DF AF ==4AG GF DG GF ====， 2EG =，2HG =，4BC =，2OF =，点O 为BC 的中点， 2BO OC ∴==，(2,0)B ∴-，(2,0)C ，(4,6)A -，(4,6)D ，(0,8)E ，∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+，与抛物线22(2)(2)y a x x =+-，11668a ∴-+=，2(42)(42)6a -+--=，解得：118a =-，212a =，∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+，抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-，118a ∴=-，0h =，18k =，212a =，0h =且22k =-， 11(2)82-⨯-=，1824-⨯=-， ∴满足214a a =-且2114k k =-，1y ∴、2y 是一对共轭抛物线．9．阅读理解：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k 表示．一般的，直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率，则有tan k α=．探究发现：某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为：2121PQ y y k x x -=-．启发应用：（1）应用以上结论直接写出过(3,2)A ，(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ；深入探究：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）①已知(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，当直线CD 与直线EF 互相垂直时，请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积；②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由①可知这个定值为．③如图，M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆．已知(1,2)M ，(3,5)N ，请结合（2）中的结论，求出过点N 的M 的切线l 的解析式．【解答】解：（1）根据题目中的新概念可知：22213k --==-．故答案为：2．（2）①(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，∴直线CD 的斜率为：9(1)52(6)4CD k --==--，直线EF 的斜率为：6241005EF k --==--， 1CD EF k k ∴⋅=-，∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-，②由①可得这个定值为：1-，故答案为：1-．③设直线MN 的解析式为：11y k x b =+，切线的解析式为y kx b =+， ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩，132k ∴=，112b =， ∴直线MN 的解析式为：3122y x =+，圆的切线与过切点的半径垂直， 11k k ∴=-，132k =， 23k ∴=-，把(3,5)N 代入y kx b =+，得：35k b +=，把23k =-代入35k b +=，得：7b =，∴切线的解析式为273y x =-+．10．在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ； ②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC长．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段335A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)，此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-，此时2m =，故答案为：3或2；（2）直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，2253()()722B C '=+=；∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线33y x b =-+中， 3403b -⨯+=，解得：433b =，过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，2273()()1322B C '=+=，b ∴的最大值为433，13BC =；最小值为233，7BC =．11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”．（1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“()X n 函数”的打“⨯”． ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （2）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，4B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且122y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-，令2x n a =-，则2my n a=-，若2m m n a a=-，则a n =， ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”； ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -，令2x n a =-，则|2(2)||42|y n a n a =-=-，若|42||2|n a a -=，则a n =或0n =，|2|y x ∴=是“(0)X 函数”； ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-，令2x n a =-，则2(2)2(2)5y n a n a =-+--，若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--，则有n a =或1n =-，225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”；故答案为：⨯，√，√；（2）|y x =一|h 是“X （2）”函数， 2h ∴=，如图，2y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(2,0)C ∴，(0,2)D -，45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒，AM CM ∴=，BN CN =，4B A x x -=，4MN ∴=，设CN x =，则4MC x =-，(2B ∴十x ，)x ，(2,4)A x x --，(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=，1x ∴=，(3,1)B ∴，3m ∴=；（3）由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，12t ∴=； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+，x t =时，2224y t t =-++，1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=，52t ∴=； ③当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=±（舍去）:④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，2224y t t =-++，22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=，12t ∴=±（舍去），综上所述：12或52．12．定义：我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”．例如求21y x =-的“不动点”：联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则21y x =-的“不动点”为(1,1)．（1）由定义可知，一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ；（2）若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，求m 、n 的值；（3）若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线3y kx =-上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得3ABP ABO S S ∆∆=，求满足条件的P 点坐标．【解答】解：（1）联立32y x y x =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--，故答案为：(1,1)--；（2）一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，12n ∴-=，3n ∴=，∴ “不动点”为(2,2)，223m ∴=+，解得12m =-；（3）直线3y kx =-上没有“不动点”，∴直线3y kx =-与直线y x =平行，1k ∴=，3y x ∴=-，(3,0)A ∴，(0,3)B -，设(,0)P t ，|3|AP t ∴=-，1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯， 1332ABO S ∆=⨯⨯， 3ABP ABO S S ∆∆=，|3|9t ∴-=，12t ∴=或6t =-，(6,0)P ∴-或(12,0)P ．13．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．【解答】解：（1）①2221(1)0y x x x =++=+，∴①无上确界；②23(2)y x x =-，1y ∴，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）2y x =-+，y 随x 值的增大而减小，∴当a x b 时，22b y a -+-+，上确界是b ，2a b ∴-+=，函数的最小值不超过21a +，221b a ∴-++，1a ∴-，b a >，2a a ∴-+>，1a ∴<，a ∴的取值范围为：11a -<；（3）222y x ax =-+的对称轴为直线x a =，当1a 时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=（舍)；当5a 时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=（舍)；当13a <时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=；当35a <<时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=，综上所述：a 的值为2.4．14．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值y ，都满足m y m -，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足9542n 时，则t 的取值范围是 1324t 或5342t ．【解答】解：由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时，函数最大值或最小值为n ，9542n ， 0t >，抛物线21y x t =-++开口向下，顶点坐标为(0,1)t +，1t ∴+为函数最大值，当512t +=时，32t =， 302t ∴<，当2t =时，直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称， 302t ∴<时，直线2x =-与抛物线交点为最低点，把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+，当532t -+=-时，12t =， 12t ∴，当95142t +时，5342t ，当59324t --+-时，1324t ， ∴1324t 或5342t 满足题意．故答案为：1324t 或5342t ． 15．定义：若实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”．例如，点(1,2)-满足：2123=-+，2(2)13-=+，则点(1,2)-是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)A m n ．（1）1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中，点 2A 是“轮换点”；（2）若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当1x =时，8y =，②241b ac -=，求二次函数解析式；（3）若点A 是“轮换点”，用含t 的代数式表示m n ⋅，并求t 的取值范围．【解答】解：（1）根据实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”，1(3,2)A -，则23211=-+，此时2(2)311-≠+，1(3,2)A ∴-不是轮换点；2(2,3)A -，则2237=-+，此时2(3)27-=+，2(2,3)A ∴-是轮换点．故答案为：2A ；（2）设点(,)m n 是轮换点，由题意可知：2m n t =+①，且2n m t =+②，①-②得到：22m n n m -=-，即：(1)()0m n m n ++-=， 10m n ∴++=或0m n -=；当m n =时，则2am bm c m ++=，即：2(1)0am b m c +-+=，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”， 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根，即：2(1)40b ac --=，又241b ac -=，22211b b b ∴-+=-，解得：b l =，40ac ∴=，且0a ≠，0c ∴=，当1x =时，8y =，8a b c ∴++=，7a ∴=，217y x x ∴=+；当10m n ++=时，21am bm c m ∴++=--，即：2(1)10am b m c ++++=，同理得：2(1)4(1)0b a c +-+=，241b ac -=，21b a ∴=-；8a b c ++=，93c a ∴=-，241b ac -=，216400a a ∴-=，解得：52a =或0a = （舍去）， 4b ∴=，32c =， 2153422y x x ∴=++，综上所述，二次函数解析式为：217y x x =+或2153422y x x =++；（3）点(,)A m n 是“轮换点”，2m n t ∴=+①，2n m t =+②，①-②得：220m n m n -+-=，()(1)0m m m n ∴-++=，由“轮换点“定义可知：m n ≠，10m n ∴++=，1m n ∴+=-，①+②得：222m m n n t -+-=，222()21m n t m n t ∴+=++=-，2()221m n mn t ∴+-=-，1221mn t ∴-=-，1mn t ∴=-，m n ≠，2()0m n ∴->，2220m mn n ∴-+>，2()40m n mn ∴+->，把1m n +=-代入，得：140mn ->，14mn ∴<， 114t ∴-<， 34t ∴>，故1mn t =-，34t >． 16．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．其中定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线． ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ，准线为14y a =-，例如，抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ；准线是34y =-；抛物线23y x =-的焦点是是1(0,)12- 准线是； ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>，可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠；因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +，准线为14y k a =-+．例如，抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ，准线是14y =；抛物线21(1)2y x =+的焦点是准线为．根据以上材料解决下列问题：（1）完成题中的填空；（2）已知二次函数的解析式为221y x x =+-．①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式；②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标． ③抛物线上一点P ，点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形，求POF ∆周长的最小值，以及P点的坐标．【解答】解：（1）①根据新定义，可得11144(3)12y a ===-⨯-，所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-；故答案是：1(0,)12-；112x =-； ②根据新定义，可得1h =-，111014242k a +=+=⨯，所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-，准线是12y =-；故答案是：1(1,)2-；12y =-；（2）①将221y x x =+-化为顶点式得：2(1)2y x =+- 根据新定义，可得1h =-，11724414k a +=-=-⨯，所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --，准线解析式为94y =-；②由①知7(1,)4F --，所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-，将74y =-代入221y x x =+-得：27214x x -=+-，解得：12x =-或32x =-，所以，过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--． ③二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线．P ∴点坐标为(0,1)-．OPF ∴∆周长OF OP PF =++，PF PQ =，OP PQ OQ +=，OPF ∆周长OF PQ =+． OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-．|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+． P ∴点的坐标为(0,1)-，OPF ∆周长的最小值为2+．17．将抛物线2y ax =的图象（如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2)，记为21:C y x a=．【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：1:C 214y x =；2:C ．【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点(,0)M x 在x 轴正半轴上，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线1C 于点A 、B ，交抛物线2C 于点C 、D ，如图3所示．（1）填空：当1x =时，AB CD = ；当2x =时，ABCD= ；（2）猜想：对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．【探究与应用】（3）利用上面的结论，可得AOB ∆与COD ∆面积比为；（4）若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时，求COD ∆与AOB ∆面积之差；【联想与拓展】（5）若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线3C 于点A 、B ，交抛物线4C 于点C 、D ．过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F ．对于x 轴上任取一点P ，均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是．【解答】解：【概念与理解】根据题中的定义可知：211:4C y x =；22:C y x =；故答案为：214y x =；2y x =；【猜想与证明】（1）把1x =代入1C 中，得214y =， 12y ∴=±，1(1,)2A ∴，1(1,)2B -．1AB ∴=；把1x =代入2C 中，得21y =， 1y ∴=±，(1,1)C ∴，(1,1)D -． 2CD ∴=．∴12AB CD =．把2x =代入1C 中，得212y =，y ∴=2A ∴，(1,2B ．AB ∴=；把2x =代入2C 中，得22y =，y ∴=C ∴，(1,D ．CD ∴=∴12AB CD ==．故答案为：12；12．（2）成立，理由如下： 211:4C y x =，0x >，1y ∴=；2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=；22:C y x =，0x >，1y ∴=2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=12AB CD ==．【探究与应用】（3）AOB ∆的面积12h AB =⋅；COD ∆的面积12h CD =⋅，111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=．故答案为：12．（4）①AOB ∆是直角三角形时，AM BM == OM AM ∴=，x ∴=，解得14x =或0x =（舍去）； 14OM ∴=，12AB =，1CD =，11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=；当COD ∆中有一个是直角三角形时，CM DM =OM AM ∴=，则x =1x =或0x =（舍去）； 1OM ∴=，1AB =，2CD =，1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=．∴面积差为116或12；【联想与拓展】（5）由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，当x k =时，2y mk =，2y nk =，解得y =或y =(A k ∴，(,B k ，(C k ，(,D k ，//AE x 轴，//DF x 轴，(mk E n ∴，(nkF m，， mk AE k n ∴=-，nkDF k m=-， 1()2PAE mk S k n ∆∴=-，1()2PDF nk S k m∆=-， PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=，整理得，339n m =．故答案为：339n m =．18．阅读下面的材料，再回答问题．我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程，分解因式等等，还可以求函数的解析式等．一般地，函数解析式表达形式为：1y x =+，223y x x =+-，3y x =．还可以表示为：()1f x x =+，2()23f x x x =+-，3()f x x=的形式．我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的．举个例子：2(1)f x x +=，设1x t +=，则1x t =-，2()(1)f t t =-，即2()(1)f x t =-．已知：函数2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式．分析：我们可以用换元法设1x t +=来进行求解．解：设1x t +=，则1x t =-，所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+．所以2()43f x x x =-+．看完后，你学会了这种方法了吗？亲自试一试吧！（1）若()1f x x =-，求(3)f x -；（2）(21)1f x x +=+，求()f x 的解析式；（3）若2(1)32f x x x -=-+，求(2)f x +的解析式．【解答】（1）令3t x =-，则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- （2）令21x t +=，则12t x -=，所以11()122t t f t -+=+=，所以1()2x f x += （3）同理（2），可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-，再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，2()0a b -，20a ab b ∴-，2a b ab ∴+，只有当a b =时，等号成立．结论：在2(a b ab a +、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p（1）根据上述内容，回答下列问题：若0m >，只有当m = 3 时，9m m+有最小值．（2）探索应用：如图，已知(3,0)A -，(0,4)B -，P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值．（3）判断此时四边形ABCD 的形状，说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，992m m m m +⋅9m m=．当9m m=时，解得：3m =或3-（不合题意舍去），故当3m =时，9m m+有最小值，其最小值是6．故答案是：3；6；（2）P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点， ∴不妨可设12(,)p x x ，则(,0)C x ，12(0,)D x． ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形．∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++．又90,0xx>>，∴由阅读理解中的结论可知：9926x x x x+⋅=，所以当9(0)x x x=>时，即当3x =时，261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值；（3）此时四边形ABCD 是菱形，理由如下：由（2）可知：当3x =时，此时点P 的坐标为(3,4)P ，∴5AB ==，5BC ==，5CD =，5DA =，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．另解：证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形，再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形．20．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 左侧），若ABC ∆是等腰三角形，则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”．（1）判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”，并说明理由；（2）已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”．①若点1(2,)P k y -，(1Q k -，211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点，满足当4k >时，PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ，求此抛物线的解析式；②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，且502n <？若存在，求出所有满足条件的整数c 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线24y x =-+是“理想抛物线”，理由如下：抛物线24y x =-+的对称轴为直线：0x =，∴该抛物线是关于y 轴对称，则点A 、B 关于y 轴对称，OC ∴垂直平分AB ，ABC ∴∆为等腰三角形，24y x ∴=-+是为“理想抛物线”；（2）①要满足ABC ∆是等腰三角形，则AB 可能为底边，也可能为腰；当AB 为底边时，AC AB =，点A 、B 关于y 轴对称，此时(3,0)B ，(3,0)A -，当4k >时，22k -<-，13k ->， 2P x ∴<-，3Q x >，AC 的垂直平分线恰好经过点B ，6BC AB ∴==，又ABC ∆是等腰三角形， 6AC AB BC ∴===， ABC ∴∆是等边三角形；又132OA AB ==，OC ∴=，(0,C ∴-；∴抛物线的交点式为：(3)(3)y a x x =+-，把点C 坐标代入，(03)(03)a -=+-．a ∴=（负值舍去），∴此时抛物线的解析式为：3)(3)y x x =+-；当AB 为腰时，AB CB =，仍满足2P x <-，3Q x >， 120y y ⋅>，0a >，0P y ∴>，0Q y >，∴必有点P 在A 点上方，则(2,0)A -，对称轴直线12x =， 5CB AB ∴==， 3OB =，4OC ∴=，(0,4)C -，4c =-，又A B c x x a ⋅=，得23a =，32b =-；∴此时抛物线的解析式为：223432y x x =--； ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，理由如下：OC 是ABC ∆的高，且0a >，开口向上，抛物线与x 轴有两个交点，1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=， 1||(3)2A n x ∴=⋅-， 502n<， 150(3)22A x ∴<⋅-，解得23A x -<，则需要分两种情况，当20A x -<时，0c <，此时BA BC =，|3|A x ∴-=，解得22(3)9A c x =--，20A x -<，20(3)916A x ∴<--，即2016c <，此时，存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意；当03A x <<时，0c >，此时，AB AC =，|3|A x ∴-296A c x =-，03A x <<，9969A x ∴-<-<，即209c <<，此时，存在1c =或2c =满足题意；综上可知，存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=，且502n <，此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2．21．对某一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ，函数值y 满足m y n ，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 系和谐函数”．（1）已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”，请求出k 的值；（2）若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”，求p 的值；（3）已知二次函数22242y x ax a a =-+++，当11x -时，y 是“k 系和谐函数”，求k 的取值范围．【解答】解：（1）14x ，520y ∴，205(41)k ∴-=-，5k ∴=；（2）14x ，当0p >时，343p y p --，(43)(3)33p p ∴---=⨯，3p ∴=；当0p <时，433p y p --，3(43)33p p ∴---=⨯，3p ∴=-；综上所述：3p =±；（3）22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++，当1x =时，262y a a =+-，当1x =-时，222y a a =--，当x a =时，232y a a =+，①当1a <-时，226222a a y a a +---，22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+，4k a ∴=-，4k ∴>；②当1a >时，226222a a y a a +---，22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+，4k a ∴=，4k ∴>；③当10a -<时，226232a a y a a +-+，22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+，2(1)k a ∴=-，14k ∴；④当01a 时，222232a a y a a --+，22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+，2(1)k a ∴=+，14k ∴；综上所述：1k ．22．【阅读理解】已知关于x ，y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+，它的顶点坐标为(,2)a a ，故不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】（1）若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于x ，y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+，完成下列问题： ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ，求点P 到x 轴的最小距离，并求出此时m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-，∴该抛物线的顶点为(1,4)--；2243(2)1y x x x =---=-++，∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-．设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+，∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩，。

中考数学难题突破专题--新定义问题

中考数学难题突破专题--新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题1、我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34. (1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F (m )＝________＝________；(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x 与y 的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t )的最大值即可．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题2、如图Z3－1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．图Z3－1(1)将▱ABCD纸片按图Z3－2①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________．(2)▱ABCD纸片还可以按图Z3－2②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．(3)如图Z3－2③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．图Z3－2例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG∶S▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD＝________，FC＝______，∠AHE＝12______，∠CFG＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH≌△CGF，可得________，进而求得AD的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD，BC的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．专题训练1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )图Z 3－3A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z 3－4，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．图Z 3－45．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3<5，求x 的取值范围．6．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图Z 3－5①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图Z 3－5②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．图Z 3－57．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图Z 3－6①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图Z 3－6②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图Z 3－6③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．图Z 3－6参考答案类型1 新法则、新运算型例1 【例题分层分析】 (1)m ＝n ×n nn 1(2)10y ＋x y ＝x ＋4解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，∵|n －n |＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝nn＝1.(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝10y ＋x ， ∵t 是“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝36， ∴y ＝x ＋4，∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.(3)F (15)＝35，F (26)＝213，F (37)＝137，F (48)＝68＝34，F (59)＝159.∵34>35>213>137>159，∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值是34.类型2 新定义几何概念型例2 【例题分层分析】 (1)1∶2(2)13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC ＝AH 解：(1)AE ，GF ；1∶2.提示：由折叠的性质，得AD ＝2AG . ∵S 矩形AEFG ＝AE ·AG ，S ▱ABCD ＝AE ·AD ， ∴S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝AE·AGAE·AD＝1∶2.(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH ＝90°， ∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.由折叠的性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝12∠AHF ，∠CFG ＝12∠CFH .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，∴∠AHF ＝∠CFH ，∴∠AHE ＝∠CFG . ∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ，∴FC ＝AH ， ∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13. (3)本题有以下两种基本折法，如图①，图②.①按图①的折法的解法：由折叠的性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG . ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4， ∴CG ＝3，∴FG ＝CG ＝3，∴BF ＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7， ∴AD ＝1，BC ＝7. ②按图②的折法的解法：设AD ＝x .由折叠的性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH . 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝12CD ＝5.∵四边形EFGN 是叠合正方形， ∴EF ＝FG ＝GN ＝5，∴MF ＝BF ＝3， ∴FC ＝FH ＝x ＋3.∵∠B ＝∠EFG ＝∠CGF ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△GFC ∽△BEF ， ∴FG BE ＝FC EF ，即54＝x ＋35，解得x ＝134， ∴AD ＝134，BC ＝BF ＋FC ＝3＋134＋3＝374.专题训练1．A [解析] 由函数图象可知，当－2≤x ＜－1时，y ＝－2，即有[x ]＝－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y ＝－1，即有[x ]＝－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y ＝0，即有[x ]＝0，此时方程为0＝12x 2，解得x ＝0；当1≤x＜2时，y ＝1，即有[x ]＝1，此时方程为1＝12x 2，解得x ＝2或x ＝－2(不在x 的取值范围内，舍去)．综上可知，方程[x ]＝12x 2的解为0或 2.2．D [解析] 当2x －1≥－x ＋3时，x ≥43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，x <43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝2x －1，y 的值都小于53.综上，该函数的最大值为53.3．－43 [解析] A ，B 两点在直线y ＝－x ＋1上，设A (a ，－a ＋1)，B (b ，－b ＋1)，∴AB 2＝(a －b )2＋(－a ＋1＋b －1)2＝2(a －b )2＝(2 2)2，∴(a －b )2＝4，∴a －b ＝±2.A ，B 两点的“倒影点”分别为A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)． ∵点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴1a ·11－a ＝k ＝1b ·11－b ，∴a (1－a )＝b (1－b )，变形得(a －b )(1－a －b )＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴k ＝1a ·11－a ＝23×(－2)＝－43；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，∴k ＝1a ·11－a ＝(－2)×23＝－43.综上，k ＝－43.4．113°或92° [解析] ∵△CBD 和△ABC 相似， ∴∠BCD ＝∠A ＝46°.设∠ACB ＝x ，则∠ACD ＝x －46°.∵△ACD 是等腰三角形，又∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD . ①若AC ＝AD ，则∠ACD ＝∠ADC ＝x －46°， ∵46°＋x －46°＋x －46°＝180°， ∴x ＝113°.②若AD ＝CD ，则∠ACD ＝∠A ，即46°＝x －46°， ∴x ＝92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°. 5．解：(1)根据题意，得2×3－x ＝－2011，解这个方程，得x ＝2017. (2)根据题意，得2x －3＜5，解得x ＜4，即x 的取值范围是x ＜4.6．解：(1)①∵AB ＝CD ＝1且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴BD ＝AC ＝12＋12＝ 2. ②证明：如图①中，连结AC ，BD . ∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD ＝CD .(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件．若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE ＝AB ＝5.②当BF ＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF ＝AB ＝5，∵DE ∥BF ，BP ＝2PD ，∴BF ∶DE ＝2∶1，∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.7．解：(1)在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，∴3∠B ＋3∠C ＝360°，∴∠B ＋∠C ＝120°，即∠B 与∠C 的度数之和为120°. (2)证明：在△BED 和△BEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BO ，∠EBD ＝∠EBO，BE ＝BE ，∴△BED ≌△BEO (SAS )， ∴∠BDE ＝∠BOE .又∵∠BCF ＝12∠BOE ，∴∠BCF ＝12∠BDE .如图，连结OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°－∠AFE ＝180°－2α. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α， ∴∠AOC ＝180°－2α， ∴∠ABC ＝12∠AOC ＝12∠EFC ，∴四边形DBCF 是半对角四边形． (3)如图，作OM ⊥BC 交BC 于点M . ∵四边形DBCF 是半对角四边形，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°， ∴BC ＝2BM ＝3BO ＝3BD . ∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°.∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴△DBG的面积△ABC的面积＝(BD BC )2＝13.∵DH ＝BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝3HG ， ∴△BHG的面积△BDG的面积＝13，∴△BHG的面积△ABC的面积＝19.。

定义新运算-中考数学命题点及重难题型分类(全国通用)

类型一定义新运算“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。

“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法．运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题． 1．定义运算:m ☆n =21mn mn .例如: 4☆2=4×22-4×2-1=7.则1☆x =0方程的根的情况为( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根【答案】A【解析】由定义新运算可得210x x ，∴△=411-14-1-2+=⨯⨯）（）（=5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选A ． 2．对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（） A ．x ＝4 B ．x ＝5 C ．x ＝6 D ．x ＝7 【答案】B【解析】根据新定义运算，把方程转化为分式方程．因为211(2)(2)4x x x ⊗-==---，所以原方程可转化为12144x x =---，解得x ＝5．经检验，x ＝5是原方程的解．3.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为"幸福数"．下列数中为"幸福数"的是（）A.205B.250C.502D.520【答案】 D【解析】设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意列出方程，求出解判断即可．设较小的奇数为x ，较大的为x +2，根据题意得：（x +2）2﹣x 2＝（x +2﹣x ）（x +2+x ）＝4x +4，若4x +4＝205，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝250，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝502，即x ，不为整数，不符合题意；若4x +4＝520，即x ＝129，符合题意．故选：D ．4．在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（）． A. 1- B. 1C. 0D. 2【答案】C【解析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．5.对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b a b a b +-3⊕23232+-512⊕4＝______．2【解析】依题意可知12⊕4124124+-482．6．（乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2，那么：（1）当－1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是________；（2）当－1≤x ＜2时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方，则实数a 的范围是________．【答案】（1）0≤x ≤3；（2）a ＜－1或a ≥32．【解析】（1）根据符号[x ]表示不大于x 的最大整数，得到－1＜[x ]≤2时[x ]＝0，1，2；当[x ]＝0时，0≤x ＜1；当[x ]＝1时，1≤x ＜2；当[x ]＝2时，2≤x ＜3；从而x 的取值范围是0≤x ＜3；（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．令y 1＝x 2－2a [x ]＋3，y 2＝[x ]＋3，y 3＝y 2－y 1，由题意可知：y 3＝－x 2＋(2a ＋1)[x ]＞0时，函数y ＝x 2－2a [x ]＋3的图象始终在函数y ＝[x ]＋3的图象下方．①当－1≤x ＜0时，[x ]＝－1，y 3＝－x 2－(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而增大，故当x ＝－1时，y 3有最小值－2a －2＞0，得a ＜－1； ②当0≤x ＜1时，[x ]＝0，y 3＝－x 2，此时y 3≤0；③1≤x ＜2时，[x ]＝1，y 3＝－x 2+(2a ＋1)，此时y 3随x 的增大而减小，故当x ＝2时，y 3有最小值2a －3≥0，得a ≥32；综上所述，a ＜－1或a ≥32．7.对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值；（2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值．8.对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6．（1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．9.我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)ky k x=≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【解析】（1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.10.定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④11.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝a，请用含a的代数式表示∠E.（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积.【解析】（1）根据外角的性质及角平分线的概念求解；（2）根据圆内按四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角的性质分别证明BE、CE为△ABC的内角及外角平分线即可；（3）①连结CF，根据遥望角的性质及同弧所对圆周角的性质证明∠BEC＝∠FAD，再由△FDE≌△FDA证明AD＝DE，最后由等腰直角三角形的性质求得∠AED的度数；②作AG⊥BE于点G，FM⊥CE于点M，根据相似三角形的判定证明△EGA∽△ADC，由相似三角形的性质及勾股定理求得△ACD边长，进而求得△DEF的面积．【答案】24.解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD．∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝12(∠ACD－∠ABC)＝12∠A＝12a（2）如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°，又∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵AD＝BD，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.（3）①如图，连结CF.∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC ＝∠BAC ，∴∠BFC ＝2∠BEC ，∵∠BFC ＝∠BEC ＋∠FCE ，∴∠BEC ＝∠FCE ，∵∠FCE ＝∠FAD ，∴∠BEC ＝∠FAD ，又∵∠FDE ＝∠FDA ，FD ＝FD ，∴△FDE ≌△FDA(AAS)， ∴DE ＝AD ，∵∠AED ＝∠DAE ，∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＋∠DAE ＝90°，∴∠AED ＝∠DAE ＝45°. ②如图，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠FAC ＝∠EBC ＝12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠FAC ，∵∠FED ＝∠FAD ，∴∠AED －∠FED ＝∠FAC －∠FAD ， ∴∠AEG ＝∠CAD ，∴∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE ：AC ＝AG:CD ∵在Rt △ABG 中，AG ＝22AB ＝42，在Rt △ADE 中，AE ＝2AD ，∴AD:AC ＝45，在Rt △ADC 中，AD2＋DC2＝AC2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有(4x)2＋52＝(5x)2，∴x ＝53，∴ED ＝AD ＝203，∴CE ＝CD ＋DE ＝353，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM ＝12CE ＝356，∴DM ＝DE －EM ＝56，∵∠FDM ＝45° ,∴FM ＝DM ＝56，∴S △DEF ＝12DE ·FM ＝259.12.若记y =f （x ）=221x x+，其中f （1）表示当x =1时y 的值，即f （1）=22111+=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=22111212512f ==+（）（）（）；…；则f （1）+f （2）+f （22111212512f ==+（）（）（））+f （3）+f （13）+…+f （2011）+f （12011）=．【解析】解：∵y =f （x ）=221x x+，∴f （1x ）=22111x x+（）（）=211x +，∴f （x ）+f （1x）=1， ∴f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （12）+…+f （2011）+f （12011）=f （1）+[f （2）+f （12）]+[f （3）+f （13）]+…+[f （2011）+f （12011）]=12+1+1+…+1 =12+2010 =201012．故答案为：201012． 13.定义在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围；（2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？【解析】解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义，等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1 ⇔ax a x a a ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1 对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0192654 69 144 a a a a a a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的． 14.定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC ，则△BCP ∽△ABC ，故点P 是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M 是曲线y ＝3 3x(x ＞0)上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP ＝∠M ，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M 的坐标是( 3,3),点N 的坐标是( 3,0)时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是(3, 3),点N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）∵∠ONP ＝∠M ，∠NOP ＝∠MON ，∴△NOP ∽△MON ，∴点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD ＝MN ON ＝3,∴∠MON ＝60°，∵当点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(3,0),∴∠MNO ＝90°，∵△NOP ∽△MON ，∴∠NPO ＝∠MNO ＝90°，在Rt △OPN 中，OP ＝ON cos60°＝32, ∴OD ＝OP cos60°＝32×12＝34,PD ＝OP ﹒sin60°＝32×32＝34,{{dbc 5494c .png }} ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,34; （2）作MH ⊥x 轴于H ，如图3所示：∵点M 的坐标是(3,3),点N 的坐标是(2，0)， ∴OM ＝32＋(3)2＝23,直线OM 的解析式为y ＝33x ,ON ＝2，∠MOH ＝30°，分两种情况：①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO ＝PN ，OQ ＝12ON ＝1， ∵P 的横坐标为1，∴y ＝33×1＝33,{{eb 10936e .png }} ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫1,33; ②如图4所示：由勾股定理得：MN ＝(3)2＋12＝2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN ON ＝MNMO ,即PN 2＝223, 解得：PN ＝233, 即P 的纵坐标为233,代入y ＝33得：233＝33x , 解得：x ＝2，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,33或⎝ ⎛⎭⎪⎫2,233; （3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点,M (3,3),N (23,0);理由如下： ∵M (3,3),N (23,0),∴OM ＝23＝ON ，∠MON ＝60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点． 15.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 32，求证：△ABC 是“好玩三角形”；（3））如图2，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC 和AD-DC 向终点C 运动，记点P 经过的路程为s ．①当β=45°时，若△APQ 是“好玩三角形”，试求a s的值； ②当tan β的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”．请直接写出tan β的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P ，Q 的运动过程中，tan β的取值范围与△APQ 是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）【解析】解：（1）如图1，①作一条线段AB ，②作线段AB 的中点O ，③作线段OC ，使OC=AB ，④连接AC 、BC ，∴△ABC 是所求作的三角形．（2）如图2，取AC 的中点D ，连接BD∵∠C=90°，tanA=32，∴BC AC =32，∴设BC=3x ，则AC=2x ，∵D 是AC 的中点，∴CD=12AC=x∴BD=22223CD BC x x +=+=2x ，∴AC=BD∴△ABC 是“好玩三角形”；（3）①如图3，当β=45°，点P 在AB 上时，∴∠ABC=2β=90°，∴△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P 在BC 上时，连接AC 交PQ 于点E ，延长AB 交QP 的延长线于点F ，∵PC=CQ ，∴∠CAB=∠ACP ，∠AEF=∠CEP ，∴△AEF ∽△CEP ，∴2AE AF AB BP sCE PC PC a s +===-．∵PE=CE ，∴2AEsPE a s =-．Ⅰ当底边PQ 与它的中线AE 相等时，即AE=PQ 时，2AE sPE a s =-，∴as =34，Ⅱ当腰AP 与它的中线QM 相等，即AP=QM 时，作QN ⊥AP 于N ，如图4∴MN=AN=12MP ．∴QN=15MN ，∴tan ∠APQ=153QNMNPN MN ==153，∴tan ∠APE=2AEs PE a s =-=153，∴a s =1510+12。

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中考数学中“新定义”型的问题教学策略探究数学课程标准（2011年版）指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。

近几年各省、市数学中考题中不断出现“新定义”型问题，主要在考查学生对新概念（公式）特性的理解和认识，以及知识的综合运用能力、知识迁移能力，对培养学生的思维能力和创新能力就有很好的促进作用。

综观“新定义”问题的解答，发现学生作答效果并不是很理想，普遍出现“题没看清、没看懂”、“理解错了”等状况，究其原因是学生阅读理解能力太弱。

这就要求我们在平时教学中关注学生读理解能力的培养，使学生具备客观、全面的分析解决问题的能力，从而使学生综合分析解决问题的能力得到提升。

1. “新定义”问题的概念及特征“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型。

“新定义”题型特点突出、取材广泛，材料源于课本又有创新，不仅可以考查学生的阅读理解能力、分析综合能力、辨别判断能力以及生活经验是否丰富等，而且可以综合考查学生的数学思维能力和创新意识，此类问题能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，达到从预设到生成的跨越，符合学生的认知规律，既实现了对学生知识与能力考查的结合，又体现了素质教育的本质，还为学生进入高一级学校的学习做了良好的铺垫。

初中数学新定义运算

初中数学新定义运算初中数学中，我们学过了加减乘除四则运算，但是在实际生活中，我们还会遇到一些特殊的运算，例如绝对值、取整、取余等。

在这篇文章中，我们将介绍新定义的一些运算。

一、平均数平均数是指一组数据的总和除以数据个数，常用符号“x̄”表示。

例如，如果我们要求一组数据：2，4，6，8，10的平均数，我们可以先将这组数据相加得到30，然后除以5，得到6，因此这组数据的平均数就是6。

二、中位数中位数是指一组数据中，位于中间位置的数，常用符号“Me”表示。

例如，如果我们要求一组数据：1，3，5，7，9的中位数，我们可以将这组数据从小到大排列，得到1，3，5，7，9，因此中位数就是5。

三、众数众数是指一组数据中出现次数最多的数，可以有一个或多个。

例如，如果我们要求一组数据：1，2，2，3，3，3，4，4的众数，我们可以看出3出现了最多，因此这组数据的众数就是3。

四、幂运算幂运算是指将一个数自乘若干次的运算，常用符号“aⁿ”表示。

例如，2³表示2自乘3次，即2×2×2=8。

五、根号运算根号运算是指找到一个数的平方等于另一个数的运算，常用符号“√”表示。

例如，√9=3，因为3²=9。

六、组合数组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的方案数，常用符号“C(n,m)”表示。

例如，C(5,2)表示从5个元素中取出2个元素的方案数，计算公式为：C(5,2)=5!/(2!×3!)=10。

七、异或运算异或运算是指两个二进制位相同则结果为0，不同则结果为1的运算，常用符号“⊕”表示。

例如，1⊕1=0，1⊕0=1，0⊕0=0。

以上就是初中数学中的一些新定义的运算，它们在实际生活中有着广泛的应用。

我们应该掌握它们的概念和运用方法，为以后的学习奠定坚实的基础。

初中数学新定义运算题解析

三、说教法：数学是一门培养人的思维活动的课程。

要使学生“知其然，知所以然”。

一一举例说明，并引适当的中考题，加以比较。

四、说学法：数学做为基础教育的核心课程之一，转变学生的学习方式，不仅有助于提高学生的数学素养，还有助于培养学生整体学习方式的转变。

新定义运算的几种常见类型：（1）定义一种新法则; （2）定义一种新数;（3）定义一种新图形。

本次说课主要是通过定义一种新法则; 定义一种新数; 定义一种新图形;三种为主线一一阐述，具体如下：类型一：定义一种新法则例1：华东师范大学出版的《数学》八年级下册第16章第17页的一点内容：你知道吧吗The symbol 5! is called five factorial(阶乘)and means 5·4·3·2·1；thus5!=120.What’s the result of!)!1(n n -Do you know【学找切入点】5!=5×4×3×2×1，引伸到（n-1）!，n!【解】由于n!=n×（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1;（n-1）!=（n ﹣1）×（n ﹣2）×…×2×1所以!)!1(n n -=()()()()()()123321123321n n n n n n n ---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯---⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=1n【拓展延伸】课本只给出了，5!=120.在解决这个问题，在上课的过程中我先引入如下的例题：先问学生2!、3!、4!、5！各个值是多少后书写如下的例题并做适当的延伸。

初一数学新定义运算方法

初一数学新定义运算方法
初一数学新定义运算方法主要包括以下步骤：
1. 正确理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

2. 新定义的算式中有括号的，需要先算括号里面的。

3. 注意运算的顺序，遵循先乘除后加减的原则。

4. 运算过程中，注意运算的准确性，避免出现计算错误。

5. 掌握基本的数学运算符号，如加号、减号、乘号、除号等。

总的来说，初一数学新定义运算方法主要是对基本的数学概念和符号的理解和运用。

需要同学们在学习过程中多加练习，逐步掌握。

初中数学新定义题型习题1含答案

新定义题型习题1一．解答题（共23小题）1．阅读与理解：已知关于x的方程kx＝5﹣x有正整数解，求整数k的值．解：kx+x＝5，（k+1）x＝5，x＝因为关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以k+1＝1或k+1＝5，所以k＝0或k＝4；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程kx＝6+x有正整数解，求整数k 的值．2．已知方程（2a+1）x＝3ax﹣2有正整数解，求整数a的值．3．设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．4．已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．5．已知关于x的方程4（x﹣2）＝ax的解为正整数，求整数a的所有可能取值．6．若有理数a，b满足条件：（m是整数），则称有理数a，b为一对“共享数”，其中整数m是a，b的“共享因子”．（1）下列两对数中：①3和5，②6和8，是一对“共享数”的是______；（填序号）（2）若7和x是一对“共享数”，且“共享因子”为2，求x的值；（3）探究：当有理数a，b满足什么条件时，a，b是一对“共享数”．7．阅读下列材料，规定一种运算＝ad﹣bc．例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）＝______，＝______（只填结果）；（2）若＝0，求x的值．（写出解题过程）8．请阅读下列材料：让我们来规定一种运算：＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2．按照这种运算的规定，请回答下列的问题：（1）求的值；（2）若＝，试用方程的知识求x的值．9．对于任意有理数，我们规定：＝ad﹣bc．例如＝1×4﹣2×3＝﹣2（1）按照这个规定，当a＝3时，请你计算：；（2）按照这个规定，若＝1，求x的值．10．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：＝ad﹣bc，当＝10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．11．定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，除新运算“⊗”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行．（1）直接写出b⊗a的结果为______（用含a、b的代数式表示）；（2）化简：[（2x+y）⊗（x﹣y）]⊗3y；（3）解方程：2⊗（1⊗x）＝⊗x12．对于任意有理数a和b，我们规定：a*b＝a2﹣2ab，如3*4＝32﹣2×3×4＝﹣15．（1）求（﹣5）*6的值；（2）若（﹣3）*x＝10，求x的值．13．我们定义一种新的运算“⊗”，并且规定：a⊗b＝a2﹣2b．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2，2⊗（﹣a）＝22﹣2（﹣a）＝4+2a．请完成以下问题：（1）求（﹣3）⊗2的值；（2）若3⊗（﹣x）＝2⊗x，求x的值．14．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）2﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．15．若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．（1）试求（﹣2）※3的值；（2）若（﹣2）※x＝﹣1+x，求x的值．16．用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．如：1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16（1）求2⊗（﹣1）的值；（2）若（a+1）⊗3＝32，求a的值；（3）若m＝2⊗x，n＝（x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．17．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab2+2ab+a．如：1※2＝1×22+2×1×2+1＝9（1）（﹣2）※3＝______；（2）若※3＝16，求a的值；（3）若2※x＝m，（x）※3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．18．设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x、y，运算“⊕”满足x⊕y＝y⊕x，则称此运算具有交换律．x⊕y＝（1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x＝0，求x的值．19．（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝______．②若有理数对（﹣3，x•1）★（2，2x+1）＝15，则x＝______．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．20．我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x ＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝______．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝______．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．21．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x＝﹣8______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m）2﹣m]﹣的值．22．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程5x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．23．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．新定义题型习题1参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．解：kx＝6+x，kx﹣x＝6，（k﹣1）x＝6，x＝因为关于x的方程kx＝6+x有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以k﹣1＝6或k﹣1＝3或k﹣1＝2或k﹣1＝1，解得k＝7或k＝4或k＝3或k＝2．故整数k的值为7或4或3或2．2．解：（2a+1）x＝3ax﹣2，移项，合并同类项得：（﹣a+1）x＝﹣2，因为方程有解，所以（﹣a+1）≠0，即x＝，因为方程有正整数解，且a取整数，所以a﹣1＝1或a﹣1＝2，解得：a＝2或a＝3，答：整数a的值为2或3．3．解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，，（2）当m≠5时，方程有解，，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．4．解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．5．解：去括号，得：4x﹣8＝ax，移项、合并同类项，得：（4﹣a）x＝8，系数化成1得：x＝，∵x是正整数，∴4﹣a＝8或4或2或1，∴a＝﹣4或0或2或3．即整数a的所有可能取值为﹣4或0或2或3．6．解：（1）根据题中的新定义得：+＝+2，即3和5是一对“共享数”；+＝+，即6和8不是一对“共享数”，故答案为：①；（2）根据题中的新定义得：+＝+2，去分母得：14+2x＝7+x+8，解得：x＝1．7．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝6+10＝16，原式＝﹣2x﹣3（x﹣3）＝﹣2x﹣3x+9＝﹣5x+9；故答案为：16；﹣5x+9；（2）依题意得：2（x+3）﹣5x＝0，去括号得：2x+6﹣5x＝0，解得：x＝2，则x的值为2．8．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝3﹣28＝﹣25；（2）根据题中的新定义化简得：2x+x﹣＝，移项合并得：3x＝2，解得：x＝．9．解：（1）当a＝3时，＝2a×5a﹣3×4＝10a2﹣12＝10×32﹣12＝90﹣12＝78（2）∵＝1，∴4（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1，去括号，可得：4x+8﹣6x+3＝1，移项，合并同类项，可得：2x＝10，解得x＝5．10．解：根据题中的新定义运算方法得：6x﹣4（3x﹣2）＝10，去括号得：6x﹣12x+8＝10，解得：x＝，∴2（x﹣2）﹣3（x+1）＝2x﹣4﹣3x﹣3＝﹣x﹣7＝﹣（）﹣7＝．∴代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值是．11．解：（1）根据题意得：b⊗a＝b﹣2a；故答案为：（b﹣2a）；（2）根据题中的新定义得：原式＝[（2x+y）﹣2（x﹣y）]⊗3y＝（x+3y）⊗3y＝x+3y﹣6y＝x﹣3y；（3）已知等式利用题中的新定义化简得：2⊗（1⊗x）＝2﹣2（1﹣2x）＝﹣2x，解得：x＝．12．解：（1）根据题意得：（﹣5）*6＝（﹣5）2﹣2×（﹣5）×6＝85，（2）根据题意得：（﹣3）*x＝（﹣3）2﹣2×（﹣3x）＝10，整理得：9+6x＝10，解得：x＝．13．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝9﹣4＝5；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：9+2x＝4﹣2x，移项合并得：4x＝﹣5，解得：x＝﹣．14．解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×72﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）2﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x＝﹣．15．解：（1）（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4﹣12＝﹣8；（2）∵（﹣2）※x＝﹣1+x，∴（﹣2）2+2×（﹣2）×x＝﹣1+x，即4﹣4x＝﹣1+x，解得：x＝1．16．解：（1）2⊗（﹣1）＝2×（﹣1）2+2×2×（﹣1）+2＝2﹣4+2＝0，（2）（a+1）⊗3＝（a+1）×32+2（a+1）×3+（a+1）＝16（a+1）＝32，解得：a＝1，（3）m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝x×32+2×x×3+x＝4x，m﹣n＝2x2+2＞0，即m＞n．17．解：（1）原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32，故答案为：﹣32．（2）因为※3＝×32+2××3+＝8a+8，所以8a+8＝16，解得a＝1；（3）根据题意，得m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝x×32+2×x×3+x＝4x，则m﹣n＝2x2+2＞0，所以m＞n．18．解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x＞y时，x⊕y＝2x+3y﹣7，y⊕x＝3y+2x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x当x＝y时，x⊕y＝2x+3y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x当x＜y时，x⊕y＝3x+2y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x＝0，2×2+3x﹣7＝0解得x＝1当x＞2时，2⊕x＝03×2+2x﹣7＝0解得x＝（舍去）答：x的值为1．19．解：（1）∵A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），∴5A﹣4B＝5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝36+18＝54；（2）①根据题中的新定义得：原式＝10+9＝19；②根据题中的新定义得：﹣3（2x+1）﹣2x＝15，去括号得：﹣6x﹣3﹣2x＝15，移项合并得：﹣8x＝18，解得：x＝﹣；③根据题中的新定义化简得：2（2x+k）﹣k（x﹣1）＝4x+2k﹣kx+k＝（4﹣k）x+3k，由结果与x取值无关，得到4﹣k＝0，即k＝4．故答案为：①19；②﹣20．解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．21．解：（Ⅰ）：∵5x＝﹣8，∴x＝﹣，∵﹣8﹣5＝﹣13，﹣，∴5x＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a＝3，∴x＝b﹣3，∴，∴，即b＝时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m＝4，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m）2﹣m]﹣＝﹣5（m﹣n）﹣22+3（mn+m）2﹣（mn+n）2，＝＝﹣，＝﹣．22．解：（1）∵关于x的一元一次方程5x＝m是“和解方程”，∴5+m是方程5x＝m的解．∴5（5+m）＝m∴m＝﹣．（2）∵关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，∴mn+n﹣3是方程﹣3x＝mn+n的解．又∵x＝n是它的解，mn+n﹣3＝n．∴mn＝3．把x＝n代入方程，得﹣3n＝mn+n．∴﹣3n＝3+n．∴﹣4n＝3．n＝﹣．∴m＝﹣4．23．解：（1）方程2x﹣4＝x+1的解为x＝5，将x＝﹣5代入方程5x+m＝0得m＝25；（2）另一解为﹣n．则n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，∴n＝4或n＝﹣4；（3）方程2x+3m﹣2＝0的解为，方程3x﹣5m+4＝0的解为，则，解得m＝2．所以，两解分别为﹣2和2．。

初中数学流程图、新定义运算、阅读理解题型(1)

初中数学流程图、新定义运算、阅读理解题型一、流程图运算1.按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（）A.1B. 2C.3D.42.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（）A.1B.－1C.2D.－23.按下面的程序计算，如果输入－1，则输出的结果为_________.4.有一数值转换器，原理如图所示.（1）若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去...，第2022次输出的结果是___；（2）若输入的x值为整数，且第二次输出的结果与开始输入的数值相等，则x的值为_____.5.解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作:魔术师能立刻说出观众想的那个数.（1）如果小玲想的数是－2，那么她告诉魔术师的结果应该是______;（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是____;（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，若设观众心想的数为a，请通过计算解密这个魔术的奥妙，6.如图，按下面的步骤进行数值运算，规定运行到“判断结果是否大于35”为一次运算.若某运算进行了两次才停止，则x的取值范围是（）A.x≤19B.x>11C.11<x≤19D.11≤x≤19二、新定义运算1.定义一种新的运算“※”，规定它的运算法则为：a※b＝a2＋2ab，例如：3※（－2）＝32＋2×3×（－2）＝－3．（1）求（－2）※3的值；（2）若1※x＝3，求x的值；（3）若（－2）※x≥（－2）＋x，求x的取值范围．2.对于x，y定义一种新运算“φ”，xφy＝ａx＋by，其中a，ｂ是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3φ5＝15，4φ7＝28，求1φ1的值.3.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝a－2b，比如3⊕（－2）＝3－2×（－2）＝3－（－4）＝3＋4＝7（1）求（－2）⊕3的值．（2）若（x－3）⊕（x＋1）＝－1，求x的值．4.有一个数学运算符号“○X”，使下列算式成立：4○X8＝16，10○X6＝26，6○X10＝22，18○X14＝50.求7○X3＝？5.设a，b表示两个不同的数，规定aΔb＝3a＋4b.求（8△7）△6.6.设x，y为两个不同的数，规定x□y＝（x＋y）÷4.求a□16＝10中a的值.7. 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f （x ）来表示．例如f （x ）＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f （某数）来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f （－1）＝（－1）2＋3×（－1）－5＝－7．（1）已知g （x ）＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g （－1）和g （－2）值．（2）已知h （x ）＝ax 3＋2x 2－x －14，h （12）＝a ，求a 的值．8. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号|a c b d |的意义是|a c b d|＝ad −bc . 例如：|1324|＝1×4−2×3＝−2，|−1536|＝−1×6−3×5＝−21.按照这个规定，解答下列问题：（1）计算|56−7−8|的值. （2）计算：当 5x 2＋y ＝7 时，|x 2＋y 2x 2−y −1−3|的值. （3）若|x ＋223x −1−3|＝0.5，求x 的值.9. 定义一种法则“○×”如下：a ○×b ＝{a ，a >bb ，a ≤b ，如：1○×2＝2.若（2m －5）○×3＝3，则m 的取值范围是______.三、阅读理解1. 选阅读下列解题过程，再解方程组.解方程组{x −y −1＝0， ①4(x −y )＝5＋y.②解：由①，得：x －y ＝1 ③把③代入②，得：4×1＝5＋y解得：y ＝－1把y ＝－1代入③，得：x ＝0所以原方程组的解为{x ＝0y ＝−1上面这种结题的方法称为“整体代入法”.请用上述方法解下面的方程组：{2x −3y −2＝0， ①2x−3y ＋57＋2y ＝9. ②是点M 的“m 倍相关点”.例如，点A （2，1）的“2倍相关点”的横坐标为：2＋1x2＝4，纵坐标为2×2＋1＝5，所以点B （4，5）是点A 的“2倍相关点”.（1）若点C （－6，3）的“一倍相关点”是点D （a ，b ），求2a ＋b 的值；（2）若点P （3，2n ）的“－3倍相关点”是点Q ，且点Q 在y 轴上，求点Q 到x 轴的距离.3. 有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x ＋2|x|＝3解：当x ≥0时，方程可化为：x ＋2x ＝3解得x ＝1，符合题意．当x ＜0时，方程可化为：x －2x ＝3解得x ＝－3，符合题意．所以，原方程的解为：x ＝1或x ＝－3．仿照上面解法，解方程：x ＋3|x －1|＝7．4. 【背景知识】数轴上A 点、B 点表示的数为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB ＝|a －b |；线段AB 的中点M 表示的数为a ＋b 2．【问题情境】已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为－40和20，点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为_____；线段AB 的中点M 所表示的数为_____．（2）它们按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t 为多少时，线段AB 的中点M 表示的数为－5？并直接写出在这一运动过程中点M 的运动方向和运动速度．5. 试验与探究：我们知道分数1写为小数即0.3．，反之，无限循环小数0.3．写成分数即1一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在就以0.7．为例进行讨论:设0.7．＝x ，由0.7．＝0.7777…，可知，10x －x ＝7.77…－0.777…＝7，即10x －x ＝7，解方程得x ＝79，于是得0.7．＝79. 请仿照上述例题完成下列各题:（1）请你把无限循环小数0.5．写成分数，即0.5．＝_______（2）你能化无限循环小数0.7．3．为分数吗?请仿照上述例子求解之.6. 我们知道：|a |表示数轴上，数a 的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a |＝|a －0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a 的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a －1|？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探究吧!步骤一：实验与操作：步骤二：观察与猜想：（2）观察上表：猜想 A 、B 两点之间的距离可以表示为___________（用 a 、b 的代数式表示）步骤三：理解与应用：（3）动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动．运动到 3 秒时，两点相距 15 个单位长度．已知动点 A 、 B 的速度之比是 3：2（速度单位：1 个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度；②A 、B 两动点运动到 3 秒时停止运动，请在数轴上标出此时 A 、B 两点的位置；③若 A 、B 两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A 、B 两动点之间相距 4 个单位长度．7.小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H点．（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CEH的度数．小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：请问小丽的提示中理由①是；提示中②是：度；提示中③是：度；提示中④是：，理由⑤是．提示中⑥是度；8.我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的.例如：(1)请仿照上例化简.①。

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