高等数学期末复习资料

（2019至2020学年第一学期）
一、 单项选择题（15分，每小题3分）
1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ）
（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx
（C ）121-x （D ）x x )11(+
2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f
4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点
），（b a ∈ξ使（ ）成立。

（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf
（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞
+a dx
a
x p
当（ ）时收敛。

（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p
二、填空题（15分，每小题3分）
1、 若当0→x 时，22~11x ax --，则=a ；
2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则
=dy ；
3、函数)0(8
2>+
=x x
x y 在区间 单减；
在区间 单增；
4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ；
5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=1
01
02)()(，则=a ；
三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）
1、x
x x
x )1(lim +∞→ 2、 2
00
)1(lim x
dt
e x
t x ⎰-→
四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）
1、241
x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t
t y t x arctan )
1ln(2 ，求22dx y d
五、计算下列积分（18分，每小题6分）
1、dx x
x
x ⎰+++2
1arctan 1 2、
dx x x ⎰-
-22
3cos cos π
π
3、设dt t
t
x f x ⎰=2
1sin )(，计算dx x xf ⎰10)(
六、讨论函数⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>-=2,
22,cos 2)(π
π
π
πx x x x x x f 的连续性，若有间断点，
指出其类型。

（7分）
七、证明不等式：当0>x 时，2
)1ln(2
x x x ->+ （7分）
八、求由曲线)1(2,4
,22
≥===x x y x y xy 所围图形的面积。

（7分）
九、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且0)0()1(==f f .
证明：至少存在一点)1,0(∈ξ使
四川理工学院试题（A ） 参考答案及评分标准
（2019至2020学年第一学期）
课程名称：高等数学
一、单项选择题（15分，每小题3分）
1.B
2.A
3.C
4.A
5.A
二、填空题（15分，每小题3分） 1. a=2 2.dx x
y
2dy -= 3. (0, 2)单减，
（，+∞）单增。

4.2
1
=
λ 5. a=2 三、计算下列极限。

（12分，每小题6分
1.解。

原式=()
1111lim 1lim --⋅∞
→-∞
→=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e x x x x x x
x （6分）
1.解。

原式=2
1
2lim 21lim
00==-→→x x x e x x x （6分） 四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）
1 解。

()()()
()
分
分
64424214y 3
22
32
212x
x x x x -=-⋅--='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-
-
2.解。

分
分6411212d 32
12111dy 2
2
22
2t t dt
dx dx dt t dt d dx
y t t t t dx +=⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==++-
=
五、计算下列积分（18分，每小题6分）
1 解。

原式=
()
分
分
6arctan 2
1
1ln 21arctan 31arctan 1dx x 1122222c
x x x dx
x x dx x x ++++=+++++⎰⎰⎰
2.解。

原式=
(
)
()分
分
63
4cos 3
4
3cos cos 2cos 1cosx 220
2320
20
2
=
-
=-=-⎰⎰π
π
π
x x
d x dx x
()()()()()()()分
分
分
显然有：解611cos 2
1
cos 21sin 21sin 22142121212sin 22sin ,
01.31022
10
221021
021
22
10
1
2
2
2-==-=-=-==
=
⋅='=⎰⎰⎰⎰⎰
x dx x dx x x x x df x x f x dx x f dx x xf x x x x x x f f
六、讨论函数
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤>-=2,22
,cos 2)(ππ
π
π
x x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分）
分
又：解：31
21
cos 2lim 021
2lim 02020
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=⎪⎭⎫
⎝⎛+==⎪⎭⎫
⎝⎛-+→-→ππ
πππππf x x
f x f x x
所以当2
π=
x 时，函数连续。

当z k k k x ∈≥+
=22
π
π时，0cos =x ，所以z k k k x ∈≥+
=22
π
π
是函数的间断点。

5分
且
()∞=-=+
→+
→x
x
x f k x k x cos 2lim
lim 2
2
π
π
ππ
π，所以z k k k x ∈≥+=22ππ是函数的无穷间
断点。

7分
七、证明不等式：当0>x 时，2
)1ln(2
x x x ->+ （7分）
()()()()0
0111122
1ln 2
2
=+=
+-+='+
-+=f x
x x x x f x x x x f 且
分
证明：设
x 当＞0时 ()x f '＞0，所以()x f 单增。

5分 x 当＞0时 ()x f ＞()00=f ，即：
2
)1ln(2
x x x ->+ 证毕。

7分
八、求由曲线)1(2,4
,22
≥===x x y x y xy 所围图形的面积。

（7分）
解：如图所示：（略）
()
分
分分所求面积72
ln 221612ln 2342228
2
3
221
2
8222
1
-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=⎰⎰
x x x
x
dx x x dx x x A 九、设
)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导且
0)0()1(==f f .
证明：至少存在一点)1,0(∈ξ使)()(ξξf f '= （7分）
证明：设 ()()x
e
x f x F -=，显然()x F 在在]1,0[上连续，在)1,0(内可导（3分）
并且 ()()010==F F ,由罗尔定理：至少存在一点()1,0∈ξ使()0='ξF 而 ()()()[]x f x f e
x F x
-'='- ，0≠-x e （6分）
()0='ξF 即：
)()(ξξf f '= 证毕。