九年级上学期第21-27章教、学案分工
新人教版九年级数学上册《二十一章 一元二次方程 数学活动》精品课教案_4
《解一元二次方程（公式法）》教学设计（新人教版第二十一章第二节）内容解析：公式法是解一元二次方程的基本方法，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结果，省略了配方过程，使计算更加直接，且具有普适性。
课标要求“能用公式法解数字系数的一元二次方程”，“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两2 取值的讨个实数根是否相等”。
在用配方法进行公式推导时，学生往往忽视对acb4论，而此讨论又是分类思想的重要渗透，判别式的应用也在此得以体现，应加以强化。
学情分析：①学生认识基础：学生通过前几节课的学习，了解了一元二次方程的概念和一般形式,并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在本章第二节学生又学习了利用配方法解一元二次方程，这为本节课理解求根公式的应用条件奠定了基础。
②学生活动经验基础：学生在前几册已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等的方法，同时积累了一些解方程的经验，并且在学习中学习中不断强化着转化的思想，这些都为本节课的学习奠定了基础，同时教材又提供了丰富的实际问题情境，有利于激发学生的参与热情与兴趣。
教学目标知识与技能1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；3、熟练地使用求根公式解一元二次方程。
过程与方法1、通过探究一元二次方程的求根公式，提高学生的观察能力、分析问题能力，同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力；2、通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力；3、通过探究求根公式的推导及应用过程，获得成功的数学体验，增强信心。
情感态度与价值观1、探究公式的过程中，通过沟通交流进一步发展学生的合作意识和能力，让学生体验数学活动充满着创造和乐趣；2、发展学生独立思考、用于探究的创新精神，向学生渗透转化思想，让学生感受数学中的内在美。
教学重难点【重点】理解一元二次方程的求根公式的推导过程；认知根的判别式和求根公式；应用公式法解一元二次方程。
部编版人教初中数学九年级上册《第二十一章(一元二次方程)全章每课教学设计(表格版)》精品教案
学生独立完成，教师巡 使学生巩固提 视指导，了解学生掌握 高， 情况，并集中订正 了解学生掌握
情况 ④
3x2- 5 =0
x
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2）.关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a
师生分析概念和一般形
式.
全面理解和掌
握
○2 .方程左边各项之间的运算关系是什么？关于 x 的一元二
次方程 ax2 bx c 0a 0 的各项分别是什么？各项系数
是什么？
3.特殊形式： ax2 bx 0a 0 ； ax2 c 0a 0 ；
ax2 0a 0
学生根据相关概念作 识记、理解相关
教学时间
教学媒体
知识 教
技能
学
过程 目
方法
标 情感 态度
课 题 21.1 一元二次方程
新 课型
授
多媒体
1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为
一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
教学难点
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到 一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
一、复习引入
导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元 点题，板书课题.
一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式
方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问
新人教版九年级数学上册《二十一章 一元二次方程 数学活动》精品课教案_4
1、知识目标:在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式;能运用根与系数的关系解决一些简单的问题;能由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的平方和与倒数和。
2、能力目标:通过一元二次方程根与系数的关系的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标:通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心。
2学情分析评论1.本课的教学对象是九年级学生,学生对事物的认识多是直观、形象的,他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
2.学生已学习过用求根公式法解一元二次方程。
3.在教学初始,出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西,结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
3重点难点评论1、重点:一元二次方程根与系数的关系。
2、难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及能灵活应用一元二次方程解决具体问题。
4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【讲授】一元二次方程根与系数的关系评论教学环节教师活动预设学生行为设计意图复习1、本章学了哪些一元二次方程的解法?学生集体回答2、写出一元二次方程的一般式与求根公式一个学生上黑板写出问题导入解下列方程:x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2+5x+6=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c 之间的关系:____________。
问题5.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《配方法》教案
22.2.1 配方法教学目标1．了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．会正确运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是一种重要的数学方法．3．体会由未知向已知转化的思想方法．教学重难点重点是用配方法解一元二次方程；难点是正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式．教学过程导入新课引例：市政府计划两年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积的增长率．如果我们设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；两年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2，由此可得10(1＋x)2＝14.4，你会解这个方程吗？前面我们已经学过有关平方根的内容．当x2＝a(a≥0)时，x叫做a的平方根，根据平方根的含义就可以求出x＝±a.本节课将继续深入研究像x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)这样的一元二次方程的求解方法．推进新课一、新知探究1．形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的解法做一做：请完成引例的求解过程．解：设每年人均住房面积增长率为x，则10(1＋x)2＝14.4.(1＋x)2＝1.44.直接开平方，得1＋x＝±1.2.即1＋x＝1.2，或1＋x＝－1.2.所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2.因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.我们把以上求方程解的方法称为直接开平方法．想一想：具有怎样特征的一元二次方程可以用直接开平方法求解？结论：形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程可利用直接开平方法．它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式，右边是一个非负数，且不含一次项．2．配方法解一元二次方程议一议：怎样解方程x2＋6x－16＝0？能否把它转化为(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，然后用直接开平方法呢？提示：移项：x2＋6x＝16.配方：x2＋6x＋9＝16＋9(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)．写成完全平方式：(x＋3)2＝25.采用直接开平方法降次：x＋3＝±5.解一元一次方程：x1＝2，x2＝－8.像上边那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．强调：无论是直接开平方法还是配方法，其本质都是先降次，化成一元一次方程解决问题．想一想：配方法解一元二次方程的步骤是什么？提示：配方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；(5)求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根．议一议：运用配方法解一元二次方程的关键是什么？提示：运用配方法的关键是在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方．二、应用迁移1．直接开平方法解方程解下列方程：(1)4(2x －1)2－9＝0；(2)9(3x －2)2＝(1－2x )2.分析：(1)方程可化为(2x －1)2＝94，用直接开平方法即可求解． (2)方程可化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2，因而方程转化为3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0两个一元一次方程求解．解：(1)原方程化为(2x －1)2＝94. 开平方得2x －1＝±32， 即2x －1＝32或2x －1＝－32. 所以x 1＝54，x 2＝－14. (2)原方程化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2.所以3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0.所以x 1＝711，x 2＝57. 点拨：形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)型的一元二次方程用直接开平方法解较简单．注意两边开平方时不要漏掉负号的情况．2．配方法解方程用配方法解下列方程：(1)x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x .分析：(2)中方程的二次项系数不是1，需要在方程的两边同除以2.解：(1)移项，得x 2－8x ＝－1.配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42.即(x －4)2＝15.直接开平方，得x －4＝±15.所以x 1＝4＋15，x 2＝4－15. (2)移项，得2x 2－3x ＝－1.二次项系数化为1，得x 2－32x ＝－12. 配方，得x 2－32x ＋(34)2＝－12＋(34)2. 即(x －34)2＝116. 直接开平方，得x －34＝±14. 所以x 1＝1，x 2＝12. 三、巩固提高1．解下列方程：(1)2x2－8＝0；(2)9x2－5＝3；(3)(x＋6)2－9＝0.2．解下列方程：(1)x2＋2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.本课小结本节课应掌握：1．会用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．2．会用配方法解一元二次方程．。
九年级数学上册第21章一元二次方程教案(新版)新人教版
bx2=a (a、b同号，b≠0)
③ （x-b）2=a (a＞0)
④ m(x-b)2=a (a、m同号,m≠0)
⑤ m(nx-b)2=a (a、m同号,m、n≠0)
（2）配方法（2课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。教学中对配方法及化归思想应充分重视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。
3. 结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。
（1）直接开平方法（1课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题：
2. 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作用，逐步养成主动探究和应用的习惯。
解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时，可用公式法，一定要注意b2-4ac的取值问题。
新人教版九年级数学上册 第21章 《一元二次方程》全章教学设计
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项. 2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？二、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材2~3页问题2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到12·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析，掌握新知例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知，深化理解1.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.五、师生互动，课堂小结教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？1.布置作业：教材“习题21.1”第1,2,3题21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm. 【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=5,即55.③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±223,即x1=223,x2=-223.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=±5,∴x1=2+5,x2=2-5.（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：教材“习题21.2”第1题.21.2.1配方法（第2课时）教学过程教学反思:21.2.2 公式法教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 解: （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-76x=-16配方，得：x 2-76x+（712）2 = -16+（712）2（x-712）2 = 25144x-712= ±512 x 1=512+712=7512+=1 , x 2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a≠0）且b 2-4ac≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a--分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2ba ）2即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0== ∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2 b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9 b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯ ∴x 1=116+x 2=116-（3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习教材P 12 练习1 第1题21.2.3 因式分解法【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）想一想你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课.二、思考探究，获取新知学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：x(10-4.9 x)=0.∴x =0或10-4.9 x =0,∴x 1=0, x 2=10049≈2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?通过学生的讨论、交流可归纳为：当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.三、典例精析，掌握新知例1 解下列方程：（1）x (x -2)+ x -2=0; (2)5 x 2-2 x -14= x 2-2 x +34.解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2, x2=-1. （2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x +1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12, x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.四、运用新知，深化理解1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（）A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0B. (x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1C.（x+2)(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2D. x(x+2)=0,∴x+2=02.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.（注：4~5题为教材第14页练习）4.解下列方程：（1）x2+x=0; （2）x2-23x=0;（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.五、师生互动，课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?【教学说明】设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.布置作业：教材“习题21.2”第6题.。
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程教学设计
人教版九年级上册第二十一章一元二次方程教学设计一、教学目标本节课的教学目标包括：1.了解一元二次方程的定义与性质；2.掌握一元二次方程的解法；3.能够运用一元二次方程解题。
二、教学内容本课程主要包括以下内容：1.一元二次方程的定义；2.一元二次方程的性质；3.一元二次方程的解法；4.运用一元二次方程解题。
三、教学重难点本课程的教学重难点包括：1.理解一元二次方程的定义及性质；2.掌握如何解一元二次方程。
四、教学方法本课程的教学方法包括：1.讲授法：主要讲授一元二次方程的定义、性质和解法；2.演示法：通过例题演示如何解一元二次方程；3.练习法：通过多种练习形式，巩固学生的掌握情况。
五、教学过程1.导入（5分钟）在课堂开始前，教师可以先进入一些简单的数学题目，以引起学生的兴趣，并渐进地将这些问题与一元二次方程联系起来。
2.学生介绍（5分钟）教师请同学们自我介绍，并简单了解同学们对一元二次方程的了解程度。
3.讲授一元二次方程（20分钟）教师通过讲解讲授一元二次方程的定义和性质，以及求一元二次方程解的方法、公式等知识点。
4.演示解题例子（10分钟）教师通过1-2个例子，演示解一元二次方程的方法，并提示同学们在解题时要注意的问题。
5.实际操作（10分钟）教师布置一些练习题，让学生在课堂上自行解题，巩固所学内容，同时教师提供必要的解题指导。
6.课堂辅导（10分钟）教师可以进行课堂辅导，帮助学生解决在实际操作中出现的问题。
7.小结（5分钟）教师帮同学们回顾了本节课的重要内容，并让同学们总结所学内容。
8.作业布置（5分钟）教师布置一些与本节课内容相关的作业，以巩固学生的所学知识。
六、教学评价在教学过程中，教师需要对学生的学习情况进行评价。
可以通过学习笔记、课堂练习情况、课堂提问等方式进行评价。
七、教学反思教学反思是指对本次教学过程进行总结和分析，检查是否达到了教学目标，找出教学不足之处，并找出改进的方法和措施，为下一次教学做好准备。
九年级数学上册第21章教案
学 校 班 级 授课教师 授课时间 备课教师集体备课时间课题： 21.1 一元二次方程 （1） 序号：学习目标： 1、知识和技能：理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、过程和方法：经历自主学习的过程，会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
3、情感、态度、价值观：进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
学习难点：由实际问题列出一元二次方程。
导学方法： 课 时： 导学过程一、课前预习：阅读课本P25-27的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学： 1、导入在前面的学习中，我们已经认识了一些方程，并体会到利用方程可以分析和解决一些实际问题。
这节课我们带着具体的问题再来认识一种新的方程。
2、出示任务 自主学习阅读课本的有关内容，回答下列问题：1）尝试用方程分析解答课本中的问题1、2，并思考题中的等量关系是什么？ 2）观察化简后的方程有什么共同的特点？ 3）什么叫一元二次方程？4）一元二次方程的一般形式是什么？有什么规定？为什么这样规定？对b 、c 有要求吗？5）方程a x 2+bx +c=0(a ≠0)是一元二次方程吗？为什么？什么条件下它是一元二次方程？什么条件下它是一元一次方程？由此反思一个方程是否是一元二次方程应注意什么？6)认真阅读课本例题的解题过程，尝试完成课后练习1，并反思将方程转化为一般形式的方法。
3、合作探究 1）要使是一元二次方程，则k=_______.2）已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。
问当k 为何值时，方程为一元二次方程？当k 为何值时，方程为一元一次方程？三、展示与反馈：检查预习情况，解决学生疑惑。
四、学习小结：1、一元二次方程的定义只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元教学设计
-对于解法的学习，先从简单的直接开平和因式分解法开始，逐步过渡到配方法和公式法。通过大量例题和练习，让学生在反复实践中掌握每种方法的解题技巧。
-判别式的教学，可以通过数学史的引入，让学生了解判别式的历史背景，增加学习的趣味性。同时，通过具体的例子，让学生观察判别式的变化与方程根的关系，从而深刻理解判别式的意义。
3.例题演示：通过典型例题，展示一元二次方程的求解过程，让学生观察、思考、总结解题方法。
4.知识拓展：介绍一元二次方程在现实生活中的应用，如物理、几何等领域，增强学生的数学应用意识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，以达到以下目的：
1.深化理解：让学生在小组内交流对一元二次方程概念和求解方法的理解，互相借鉴、补充，提高对知识的掌握程度。
2.提高题：设置一些综合性的题目，考察学生对一元二次方程求解方法的灵活运用。
3.应用题：结合实际问题，让学生运用一元二次方程的知识解决问题，提高学生的数学应用能力。
（五）总结归纳
在课程结束时，我将引导学生进行以下总结归纳：
1.知识梳理：让学生回顾本节课所学的一元二次方程的定义、求解方法、判别式等知识，加深印象。
3.提高题：设置一些综合性较强的题目，考察学生对一元二次方程求解方法的灵活运用和综合运用能力。
例题：已知一元二次方程x²-4x+3=0，请用因式分解法、配方法和公式法分别求解该方程。
4.探究题：鼓励学生通过查阅资料、小组讨论等方式，探究一元二次方程在科学、技术、工程等领域中的应用，提高学生的探究能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生面对数学问题时的自信心和勇气，使学生感受到数学学习的乐趣，激发学生的学习内驱力。
人教版九年级上册全书第21章至第26章 单元教案
《人教版九年级上册全书教案》第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）．（3a≥0，b≥0）a≥0，b>0）a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，•并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0）（a≥0）•及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1a≥02＝a（a≥0（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时第二十二章一元二次方程单元要点分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程7课时22．3 实际问题与一元二次方程4课时教学活动、习题课、小结3课时第二十三章旋转单元要点分析教学内容1．主要内容：图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计．2．本单元在教材中的地位与作用：学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用．教学目标1．知识与技能了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质．了解中心对称的概念并理解它的基本性质．了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法．2．过程与方法（1）让学生感受生活中的几何，•通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题．（2）•通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题．（3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，•不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类．（4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，•通过知识迁移讲授中心对称图形和对称中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容．（5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩固．（6）复习中心对称图形和对称中心的有关概念，然后提出问题，让学生观察、•思考，老师归纳得出中心对称图形和对称中心的有关概念，最后用一些例题、练习来巩固这个内容．（7）复习平面直角坐标系的有关概念，•通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．（8）通过复习平移、轴对称、旋转等有关概念研究如何进行图形设计．3．情感、态度与价值观让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．教学重点1．图形旋转的基本性质．2．中心对称的基本性质．3．两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系．教学难点1．图形旋转的基本性质的归纳与运用．2．中心对称的基本性质的归纳与运用．教学关键1．利用几何直观，经历观察，产生概念；2．利用几何操作，通过观察、探究，•用不完全归纳法归纳出图形的旋转和中心对称的基本性质．单元课时划分本单元教学时间约需10课时，具体分配如下：23．1 图形的旋转 3课时23．2 中心对称 4课时23．3 课题学习；图案设计 1课时教学活动、习题课、小结 2课时第二十四章圆单元要点分析教学内容1．本单元数学的主要内容．（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标1．知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，•让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，•使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．（5）探索弧长、扇形的面积、•圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．6．直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线L 和圆相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r 及其运用．7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．10．两圆的位置关系：d 与r 1和r 2之间的关系：外离⇔d>r 1+r 2；外切⇔d=r 1+r 2；相交⇔│r 2-r 1│<d<r 1+r 2；内切⇔d=│r 1-r 2│；内含⇔d<│r 2-r 1│．11．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2360n R π及其运用这两个公式进行计算．13．圆锥的侧面积和全面积的计算． 教学难点1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，•并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用． 4．点与圆的位置关系的应用． 5．三点确定一个圆的探索及应用．6．直线和圆的位置关系的判定及其应用． 7．切线的判定定理与性质定理的运用． 8．切线长定理的探索与运用．9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．10．正多边形和圆中的半径R 、边心距r 、中心角θ的关系的应用．11．n 的圆心角所对的弧长L=180n R π及S 扇形＝2360n R π的公式的应用．12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、•性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，•发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．单元课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：24．1 圆5课时24．2 与圆有关的位置关系6课时24．3 正多边形和圆2课时24．4 弧长和扇形面积3课时教学活动、习题课、小结2课时第二十五章“概率初步”简介从《数学标准》看，本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。
最新人教版九年级数学上册第二十一章教案
第二十一章二次根式21.1二次根式教学对象：九年级（4）、（6）班备课时间：2016/9/1教学用具：PPT课件、教案、课本等教学目标：1、知识与技能：理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义，知道a(a≥0)是非负数，并会运用，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简。
2、过程与方法：通过探究()2a和2a所含运算、运算顺序、运算结果分析，小结并掌握性质。
3、情感态度与价值观：培养学生观察、猜想、探究、小结的习惯和能力，体验数学发现的乐趣。
教学重点:a有意义的条件，a≥0时a≥0的应用，()2a和2a的运算、化简。
教学难点:a<0时2a的化简。
教学过程:一、新课引入我们在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算，那么我们本课只学习二次根式的三个运算性质及其概念。
二、新知讲解A.非负性1、完成课本思考1h65，S，2，52、观察被开方数的共同点，说明各式所表示的意义.3、老师通过PPT展示二次根式的定义，并介绍二次根式的读法，强调标准性.4、思考并完成下列问题①定义中为什么要加a≥0？若a<0，a表示什么？有无意义？②当 a=0时，a表示什么？结果是什么？当 a>0时，a表示什么？可不可能为负数？a(a≥0)是什么样的数呢？③9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？例1、下列二次根式中x 为怎样的实数时二次根式有意义？在有意义的情况下，其运算结果是怎样的？32+x ，11+x， 2-x训练：二次根式中x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ a 、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？b 、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. B.两个运算性质1、对()2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，小结出：一个非负数先开方再平方，结果不变.训练：以课本中例2为主讲解2、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，小结出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.训练：化简：2)4(-π，2)32(-；3、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2c 与式子2)(c a -有什么关系？三、当堂提升1、m m =-1 成立的条件是_______.2、m m =+1成立的条件是_______. 四、总结二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质；二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”；简单介绍代数式的概念。
九年级数学上册教第21章学案 (3)
教学环节一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知 探究课本问题2 分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x 概念归纳： 1.一元二次方程定义： 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： ○1.为什么规定a ≠0？○2.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0 （3）x 2-3x=0 （4）0122=++x x 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？ 归纳：○1一元二次方程的根的情况 ○2一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2）.关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 范围________．3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根. 五、作业设计 必做：P28：1-7选做：.P29：8、9一、复习引入导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知探究课本问题1分析：1.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程 x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程x2+6x-16=0化为像 x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？○1完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2○2方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？归纳：用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习:P31页练习，P34页练习1，2（1）四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计必做：P42：1、2、3（1）（2）选做：下面补充作业补充作业：1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？D ．（x-13）2=109 3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（12x-a ）2=a 4.解决课本练习2（2）到（6） 5.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 6. a ，b ，c 是ABC ∆的三条边 ○1当bc c ab a 2222+=+时，试判断ABC ∆的形状. ○2证明02222<-+-ac c b a 四、小结归纳 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式， 2.把常数项移到方程右边； 3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； 4.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 5.原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； 6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m ）2=n 的形式后，若n 为0，原方程有两个相等的实数根；若n 为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n 为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计 必做：P42：3（3）（4）选做：P43：8、9 情况，对于好的做法，加以鼓励表扬.并集体进行交流评价，体会方法，形成规律.学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.板书设计 教学反思章节（课题）名称 公式法 学时 1 总课时教学目标知识 技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 过程 方法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；板书设计教学反思一、复习引入导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知探究课本30页问题1分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？探究课本38页问题分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．课本46页探究2分析：设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？如何回答课本46页思考？归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 分析：设平均增长率是x ，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？ 归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型． 三、课堂训练 补充练习： ○1．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）． A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B ．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1-70%）a 元 D ．（1+25%+70%）a 元 ○2．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（ ）． A ．100p p + B ．p C ．1001000p p- D ．100100p p +○3． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）．A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题 五、作业设计必做：P48：1、2、3 选做：P49：9 补充作业：上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?教学环节一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知课本45页探究1分析：○1设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.○2第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？○3第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？○4本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.课本47页探究3分析：○1正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？○2上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？○3若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝教学目标知识技能巩固所学知识过程方法通过复习，体会解决问题的方法情感态度与价值观养成良好的学习习惯教学方法教学重点知识点结构归纳教学难点知识点的灵活应用教学过程设计教学环节师生活动设计意图教学札记一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2018人教版九年级数学上册教案：第21章数学活动
2.培养学生的数据分析与概率统计能力，使学生能够运用数学工具对实际问题进行数据收集、整理、分析，并作出合理判断。
3.培养学生的创新意识和实践能力，鼓励学生将数学知识应用于生活实际，解决现实问题。
4.培养学生的空间想象力和几何直观，通过相似图形、方程与不等式的学习，提高对现实世界中几何关系的理解和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《数学活动》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算距离或面积的情况？”（如测量房间大小、计算三角形面积等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索数学在生活中的应用。
难点突破：通过分类讲解、典型例题分析，帮助学生掌握方程与不等式的求解技巧，提高应用能力。
（5）数据分析与统计方法的应用：学生需要学会运用统计学原理和方法，解决实际问题。
难点突破：结合实际案例，引导学生掌握数据分析与统计的方法，培养学生的数据分析能力。
在教学过程中，教师要注重对重点和难点的讲解与强调，通过丰富多样的教学方法和实例，帮助学生理解核心知识，突破难点，确保学生学以致用。
2018人教版九年级数学上册教案：第21章数学活动
一、教学内容
2018人教版九年级数学上册教案：第21章数学活动
1.活动一：勾股定理的实际应用
-利用勾股定理解决实际问题，如测量距离、计算直角三角形的面积等。
2016新九年级上册第21章教学活动学案设计
1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n= .
问题3:三角点阵中前n行的点数和能是300吗?如果能,求出n,如果不能,试用一元二次方程说明道理.
问题4:三角点阵中前n行的点数和能是600吗?如果能,求出n,
如果不能,试用一元二次方程说明道理.
二、拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗?这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说
明道理.
三、练习
1.作一个圆柱,使它的高等于10 cm,表面积等于48π cm
2.
提示:先作出符合要求的圆柱展开图,再将展开图围成圆柱.
2.用一根长120 cm的细绳分别围出满足下列条件的矩形:
(1)面积为500 cm2;(2)面积为675 cm2;(3)面积为900 cm2;(4)试一试,你能围出面积大于900 cm2的矩形吗?
参考答案
一、探究活动
1.(1)x1=6,x2=-3(2)x1=0.5,x2=3.
2.5 050
活动:
问题1:n
问题2:n(n+1)
2
问题3:略
问题4:略
问题5:24
问题6:不能
二、拓展延伸
n2+n.
三、练习
1.所做的圆柱的底面圆的半径为2 cm.
2.(1)长为50 cm,宽为10 cm;(2)长为45 cm,宽为15 cm;(3)长和宽都为30 cm;(4)不能.。
2018人教版九年级数学上册全册(第二十一章)教案
2018人教版九年级数学上册（第二十一章）教案二十一章一元二次方程第1课时 21．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，长为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：略注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：略三、巩固练习教材练习1、2补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0x2+7x列表：老师点评（略）二、探索新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？老师点评：（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．回过头来看：x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．解：略三、巩固练习教材思考题练习1、2．四、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（1）一元二次方程根的概念；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义)六、布置作业1．教材复习巩固3、4 综合运用5、6、7 拓广探索8、9．2．选用课时作业设计．第3课时 21.2.1配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+____）2．问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3即2t+1=3，2t+1=-3方程的两根为t1=1，t2=--2例1：解方程：(1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2 (3)x2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=±即x+3=，x+3=-所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解六、布置作业1．教材复习巩固1、2．第4课时 22.2.1配方法(1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略三、巩固练习教材P38讨论改为课堂练习，并说明理由．教材P39练习1 2．（1）、（2）．四、应用拓展例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B 两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：（8-x）（6-x）=××8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．六、布置作业1．教材复习巩固2．3(1)(2)第5课时 21.2.1配方法(2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x2-4x+7=0 （2）2x2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略. (2)与(1)有何关联?二、探索新知讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略三、巩固练习教材P 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．四、归纳小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。
人教版九年级数学上册教案：第21章章末复习
章末复习一、复习导入1.导入课题：通过对一元二次方程这章的学习，你记得学习了哪些知识吗？各知识点间有什么联系呢？如何运用这些知识解决问题呢？(板书课题)2.复习目标：(1)梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.(2)能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.(3)列一元二次方程解决实际问题.(4)进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想(即降次)的理解与运用.3.复习重、难点：重点：(1)一元二次方程的解法；(2)列一元二次方程解决实际问题.难点：列一元二次方程解决实际问题.二、分层复习1.复习指导：(1)复习内容：教材第1页到第26页(第二十一章一元二次方程).(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识结构网络.(4)复习参考提纲：①知识点搜集：A. 一元二次方程的概念，一般形式分别是什么？如何验根？B. 一元二次方程有哪几种解法？一般情况下如何选择最优解法？C. 若一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，则其求根公式是根与系数的关系是：x1+x2＝-，x1x2＝D. 判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定b2-4ac的符号:当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根;当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时，方程没有实数根.e.列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答.②根据上述知识点，试画出本章知识结构框图：2.自主复习：学生可结合复习指导来复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：明了学生对本章知识结构框图的构建情况.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生：同桌交流，小组合作，组组研讨.4.强化：本章的知识结构框图.1.复习指导：(1)复习内容：典例剖析.(2)复习时间：10分钟.(3)复习方法：观察、思考、归纳.(4)复习参考提纲：①用适当的方法解下列方程.④某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若以每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg.由题意，得(x-40)［500-10(x-50)］=8000，解得x1=60,x2=80，又40［500-10(x-50)］≤10000.解得x≥75,∴x=80.答：销售单价应为80元.2.自主复习：学生可结合复习提纲进行复习.3.互助复习：(1)师助生：①明了学情：明了学生对复习提纲中四道题的答题情况.②差异指导：根据学情，个别或分类指导，解决易错点.(2)生助生：同桌交流，小组讨论.4.强化：(1)一元二次方程的解法，选用合适的方法解一元二次方程.(2)点评易混点、易错点.(3)运用一元二次方程知识解决实际问题的一般思路.(4)本章所涉及的主要数学思想：方程思想、分类思想、转化思想(即降次).三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：通过复习你弥补了以前学习中的哪些不足？有哪些新的收获和新问题？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习参与性、小组协作情况及学习效果和不足之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思)：(1)本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容.(2)本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它在中考试题中占有一定的比例.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是(C)A. x2－2x=5B. 2x2－4x=5C. x2+4x=5D. x2+2x=52.(10分) 一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有(C )A. 12人B. 18人C. 9人D. 10人3.(10分) 某超市一月份的营业额为200万元,一、二、三月份的总营业额为1000万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为(D)A. 200+200×2x=1000B. 200(1+x)2=1000C. 200+200×3x=1000D. 200［1+(1+x)+(1+x)2］=10004.(10分)方程(2x＋1)(x－3)＝x2+1化成一般形式为x2-5x-4=0，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-5，-4.5.(10分)若x1，x2是方程x2-5x+3＝0的两根，则.6.(20分)解下列方程：(1)x2-4x-3＝0; (2)(x-3)2+2x(x-3)＝0.解：x2-4x+4=7，解：(x-3)(x-3+2x)=0，(x-2)2=7，3(x-3)(x-1)=0,x-2=±，x1=3，x1=2+, x2=1.x2=2-.二、综合应用(20分)7.(10分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，且个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数.解：设十位数字是x,则个位数字是x+3,根据题意，得(x+3)2=10x+x+3.整理，得x2-5x+6=0.解得x1=2，x2=3.当x=2时，x+3=5；当x=3时，x+3=6.∴这个两位数是25或36.8.(10分)用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？能围成一个面积为101cm2的矩形吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：设矩形的长为x cm，则矩形的宽为(20-x)cm.令x(20-x)=75，解得x1=5,x2=15.∴围成的面积为75cm2的矩形的长为15cm,宽为5cm.令x(20-x)=101.化简得(x-10)2+1=0.方程无实数根，∴不能围成面积为101cm2的矩形.三、拓展延伸(10分)9.(10分)一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽.解：设各边垂下的长度为x米.依题意(6+2x)(4+2x)=6×4×2，解得x1=1，x2= -6(舍去)，∴x=1，台布长为6+2×1=8(米)，宽为4+2×1=6(米).。
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26.3 实际问题与二次函数（第 1 课时） 26.3 实际问题与二次函数（第 2 课时） 26.3 实际问题与二次函数（第 3 课时） 第二十六章二次函数小结 第二十六章二次函数复习（第 1 课时） 第二十六章二次函数复习（第 2 课时） 27.1 图形的相似（第 1 课时） 27.1 图形的相似（第 2 课时） 27.2.1 相似三角形的判定（第 1 课时） 27.2.1 相似三角形的判定（第 2 课时） 27.2.1 相似三角形的判定（第 3 课时） 27.2.2 相似三角形应用举例（第 1 课时） 27.2.2 相似三角形应用举例（第 2 课时） 27.2.3 相似三角形的周长与面积 27.3 位似（第 1 课时） 27.3 位似（第 2 课时） 第二十七章相似小结 第二十七章相似复习（第 1 课时） 第二十七章相似复习（第 2 课时） 时晓天 郑尚华
九年级上学期第 21~27 章教、学案编写（修订）分工
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 课题 21.1 二次根式（第 1 课时） 21.1 二次根式（第 2 课时） 21.2 二次根式的乘除（第 1 课时） 21.2 二次根式的乘除（第 2 课时） 21.3 二次根式的加减（第 1 课时） 21.3 二次根式的加减（第 2 课时） 第二十一章 二次根式复习（第 1 课时） 第二十一章 二次根式复习（第 2 课时） 22.1 一元二次方程（第 1 课时） 22.1 一元二次方程（第 2 课时） 22.2.1 配方法（第 1 课时） 22.2.1 配方法（第 2 课时） 22.2.2 公式法 22.2.3 因式分解法 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 22.1-22.2 一元二次方程及其解法（复习课） 22.3 实际问题与一元二次方程（第 1 课时） 22.3 实际问题与一元二次方程（第 2 课时） 22.3 实际问题与一元二次方程（第 3 课时） 22.3 实际问题与一元二次方程复习 第二十二章一元二次方程复习（第 1 课时） 第二十二章一元二次方程复习（第 2 课时） 23.1 图形的旋转（第 1 课时） 23.1 图形的旋转（第 2 课时） 23.2.1 中心对称 23.2.2 中心对称图形 23.2.3 关于原点对称的点的坐标 23.3 图案设计 第二十三章旋转复习（第 1 课时） 第二十三章旋转复习（第 2 课时） 24.1.1 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 林存才 杜宝春 张志胜 编者
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
24.1.3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角 24.1 圆的有关概念与性质（复习） 24.2.1 点与圆的位置关系 24.2.2 直线与圆的位置关系（第 1 课时） 24.2.2 直线与圆的位置关系（第 2 课时） 24.2.2 直线与圆的位置关系（第 3 课时） 24.2 直线与圆的位置关系（复习） 24.2.3 圆与圆的位置关系 24.2 圆与圆的位置关系（复习） 24.3 正多边形和圆（第 1 课时） 24.3 正多边形和圆（第 2 课时） 24.4 弧长和扇形面积（第 1 课时） 24.4 弧长和扇形面积（第 2 课时） 第二十四章圆（小结） 第二十四章圆复习（第 1 课时） 第二十四章圆复习（第 2 课时） 25.1.1 随机事件（第 1 课时） 25.1.1 随机事件（第 2 课时） 25.1.2 概率 25.2 用列举法求概率（第 1 课时） 25.2 用列举法求概率（第 2 课时） 25.2 用列举法求概率（第 3 课时） 25.3 用频率估计概率（第 1 课时） 25.3 用频率估计概率（第 2 课时） 25.4 键盘上字母的排列规律 第二十五章概率初步复习（第 1 课时） 第二十五章概率初步复习（第 2 课时） 26.1.1 二次函数 26.1.2 二次函数 y ax 2 的图象 26.1.3 二次函数 y (ax h) 2 k 的图象（第 1 课时） 26.1.3 二次函数 y (ax h) 2 k 的图象（第 2 课时） 26.1.3 二次函数 y (ax h) 2 k 的图象（第 3 课时） 26.1.4 二次函数 y ax2 bx c 的图象 26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式 26.1 二次函数（习题） 26.2 用函数的观点看一元二次方程 张莹 刘刚 张莹 孙士洋
九年级上学期第 21~27 章教、学案编写（修订）说明
次备课” ； 2. 在“教后反思”后面添加“问题最佳解决方案” ； 3. 删去教案中的【当堂达标自测题】 。 《学案》的编写体例与以前一样，编写过程一定要紧扣《课标》 ，难度不要太大。 交稿时间：2011 年 5 月 31 日前，发至 pydbc@ 或 pydbc@