现代数值分析 第2章线性方程组的直接法
数值分析 张铁版 第2章 解线性方程组的直接方法
(k )
(k )
m a x a ik
k i n
(k )
, 则 ai
(k )
0
j
a k j , bi
(k )
(k )
0
bk
(k )
, j k , , n
例2 P.17例2-1
解线性方程组列主元Gauss消去算法
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
2
1 例 3 .例 1 中 ， A 1 3
2 2 2
1 3 ， 将 A作 L U 分 解 。 5
解：由Gauss消去法
1 A 1 3 2 2 2 1 m 1 3 m 2 1 3 31 5 1 0 0 2 4 8 1 m 32 2 2 8 1 0 0 2 4 0 1 2 U 12
(1 )
其中
a ij
(2)
a ij
m i1 a 1 j , ( i , j 2 , 3 , , n )
bi
(2)
bi
(1 )
m i1 b1
(2)
(1 )
, ( i 2 ,3 , , n )
第二步：若 … …
a 22 0 ,
用… ….
第k步：若
a (1 ) 11
其中
a ij
bi
( k 1)
a ij
bi
(k )
m ik a kj , ( i , j k 1, , n )
m ik b k
(k )
(k )
( k 1)
计算方法2线性方程组直接法
04
矩阵的三角分解法
LU分解法
定义：将系数矩阵A分解为一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A=LU。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别 适用于中小型稠密矩阵。
迭代法收敛性判断
在迭代法求解方程组时，可以通过观察迭代过程中解向量的范数的变化情况来判断迭代法 是否收敛。如果解向量的范数逐渐减小并趋于零，则表明迭代法收敛。
方程组性态分析
方程组的性态是指方程组解的存在性、唯一性和稳定性等方面的性质。通过分析方程组的 系数矩阵的范数，可以对方程组的性态进行初步的判断。例如，如果系数矩阵的谱半径（ 即最大特征值的模）较小，则方程组往往具有较好的性态。
03
线性方程组在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广 泛的应用。
直接法的定义与分类
1
直接法是一种通过有限步四则运算求解线性方程 组的方法，具有计算精度高、稳定性好的特点。
2
直接法可分为高斯消元法、列主元消元法、全主 元消元法等多种方法，其中高斯消元法是最基本 的方法。
3
各种直接法的主要区别在于选主元和消元的过程 中采用不同的策略，以达到提高计算精度和稳定 性的目的。
对系数矩阵A进行Crout分解，得到下三角矩阵L和单位 上三角矩阵U。
利用后向代入法求解Ux=y，得到向量x。
求解步骤
利用前向代入法求解Ly=b，得到向量y。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别适用于中小型稠 密矩阵。与LU分解法和Doolittle分解法相比，Crout 分解法在某些情况下具有更高的计算效率。
性质
第二章 线性方程组的直接解法
a i(kk ) l ik = ( k ) a kk a ( k +1) = a ( k ) − l a ( k ) ij ik kj ij ( k +1) = 0 a ik b ( k +1) = b ( k ) − l b ( k ) i ik k i
( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i , j = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n )
定理2 定理2.1 高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系 n- 阶顺序主子式不为零； Ax=b 能用高斯消元 数阵A的 数阵 A 的 1 到 n-1 阶顺序主子式不为零 ； Ax=b能用高斯消元 法解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零 的各阶顺序主子式不为零. 法解的充要条件是 的各阶顺序主子式不为零.
(i=2,3,⋯,k) )
(i ) 显然, Di ≠ 0 ↔ a ii ≠ 0 , 可知,消元过程能进行到底的充 显然, 可知, 要条件是D 要条件是 i≠0 ,(i=1,2,⋯,n-1),若要回代过程也能完成,还应 , 若要回代过程也能完成, 加上D ｜ ｜ ,综合上述有: 加上 n=｜A｜≠0,综合上述有:
⋯
( a kkk )
⋮
( a nkk )
⋯ a 1(1 ) b1(1 ) n (2) (2) ⋯ a 2 n b2 ⋯ ⋯ ⋯ (k ) (k ) ⋯ a kn b k ⋯ ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ a nn b n
7
结束
本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处 ( (k 消掉第k+1到第 个方程中的 k项,即把 akk ) ,k到 ank ) 化 到第n个方程中的 理,消掉第 到第 个方程中的x +1 为零.计算公式如下: 为零.计算公式如下:
(整理)线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法在近代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题。
例如，样条插值中形成的关系式，曲线拟合形成的法方程等，都落实到解一个元线性方程组，尤其是大型方程组的求解，即求线性方程组（2.1）的未知量的数值。
（2.1）其中ai j，bi为常数。
上式可写成矩阵形式Ax = b，即（2.2）其中，为系数矩阵，为解向量，为常数向量。
当detA=D0时，由线性代数中的克莱姆法则，方程组的解存在且惟一，且有为系数矩阵的第列元素以代替的矩阵的行列式的值。
克莱姆法则在建立线性方程组解的理论基础中功不可没，但是在实际计算中，我们难以承受它的计算量。
例如，解一个100阶的线性方程组，乘除法次数约为（101·100！·99），即使以每秒的运算速度，也需要近年的时间。
在石油勘探、天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。
研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。
解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。
从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。
但是，这只是理想化的假定，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束由有限位算术运算带来的舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。
迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，像第2章中非线性方程求解一样，计算极限过程是用迭代过程完成的，只不过将迭代式中单变量换成向量而已。
在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度要求的方程组的近似解。
在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。
一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。
一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。
对于中等规模的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。
线性方程组的直接法和迭代法
线性方程组的直接法 直接法就就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。
线性方程组迭代法 迭代法就就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.该方法具有 对讣算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等 优点,就是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法.迭代法不就是用有限步运算求 精确解，而就是通过迭代产生近似解逼近精确解•如Jacobi 迭代、Gauss- Seidel 迭代、S0R 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法直接法就就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方 法。
1.1 Cramer 法则Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。
当 方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。
如果方程组无解或者有 两个不同的解时，则系数行列式必为零。
如果齐次线性方程组的系数行列式不等 于零，则没有非零解。
如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。
定理1如果方程组Ax = b 中»= A 工0,则Ax = b 有解，且解事唯一的， 解为X 严 ¥，/岸,..％ 理,D 就是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。
Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件:1、 未知数的个数等于方程的个数。
2、 系数行列式不等于零例1 a 取何值时，线性方程组X] + 兀2 + 兀3 = adX] +兀2 +些=1有唯一解。
內+花+ 0勺=1所以当a 丰1时，方程组有唯一解。
定理2当齐次线性方程组Av = O, |4|乂0时该方程组有唯一的零解。
定理3齐次线性方程组Ar = 0有非零解＜=＞同=0。
1.2 Gauss 消元法Gauss 消元法就是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出 矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出 一 1 1 11 1 1解:|牛 a 1 1= () 1-6/ 1-« 1 1 a 00 G-1 =_(。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
数值分析(本科)线性方程组直接法
线性方程组的直接解法
一、引言
求解线性方程组是数值计算的核心问题之一 两类解法：直接解法和迭代解法 满矩阵 ------ 直接法
大规模稀疏矩阵 ------- 迭代法 特殊形式的矩阵 ------- 追赶法 本章主要介绍直接法(包括追赶法)。
二、高斯消去法
求解线性方程组
注：本章所考虑的线性方程组的未知量个数与方程个数相等，
注：
利用三角分解的方法求解时，三角分解（消去过程）只需要计 算一次。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
利用高斯消去法进行计算时，消去过程一般需要多次计算。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
由于消去过程的计算量要远大与回代过程的计算量， 所以对于这类问题，应采用三角分解的方法求解。
四、三角分解之杜利脱尔分解
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程 组
解：（列主元高斯消去法）
四、三角分解之杜利脱尔分解
引入如下矩阵
例如,
四、三角分解之杜利脱尔分解
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
高斯消去法的 消去过程
上三角阵
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
说明： 1）条件”所有顺序主子式均不等于零”：保证在消去的过程中主 元非零，即消去过程可以完成。
且方程组有唯一解，即系数矩阵为可逆方阵。
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
(完整版)2.1,2.2线性方程组的直接法
第二章线性方程组的直接法一、 教学目标及基本要求通过对本章的学习，使学生掌握线性方程组的直接法求解。
二、 教学内容及学时分配本章主要介绍线性方程组的直接法。
具体内容如下：第 第31-32学时讲授内容：追赶法、误差分析。
三、 教学重点难点1. 教学重点：消去法、追赶法。
2. 教学难点：消去法。
四、 教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
五、正文直接法所谓直接法，就是经过有限步算术运算，可求出方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的 近似解，如何避免舍入误差的增长是设计直接法时必须考虑的问题。
本章将介绍这类方法中最基本的高斯（Gauss ）消去法和矩阵分解法。
由于其准确性和可靠性，这类方法是解除稠 密线性方程组的有效方法。
最近直接法在求解较高阶稀疏线性方程组方面也取得了较大的进 展。
§2.1 消去法1约当消去法例1运用消去法求解方程组4x 1 2X 2 5X 34 (1)X 1 2X 2 71）将方程（1）的第一个方程中 X 1的系数化为1,并从方程组（1）的其余方程中消去 X 1 , 得:29-30学时讲授内容：消去法。
2x 1 x 2 3x3 1(7)x 1 0.5X 2 1.5x 3 0.54 X 2 X 32 （2）2.5X 21 .5X 3 6.52）将（2）中的第二个方程中 X 2的系数化为1,从其余方程中消去 X 2X 1 1 .375X 3 0.75X 2 0.25X 3 0.5（3）0.875X 3 5.25最后将方程（3）中第三个方程中X 3的系数化为1，从其余方程中消去X 3X 1 9 X 21 X 36上述算法就是所谓的约当消去法， 特点：每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其余各个方程中消去这个变元，最后，每个方程都变为仅含一个变元的形式， 从而得出所求的解。
chap02-解线性方程组的直接法
a
(i ) pi
max a
j
(i ) ji
, j i , i 1, , n
2.1 GAUSS消元法
[求解过程]
1.消元（找列主元素交换消元） (1) 确定列主元素所在行 (记行号=p)。 方法--按定义，若列主元素为0，则选不出。 (2) 将列主元素所在的第p行与第i行元素交换
2. 回代过程的计算量
除法次数 乘法、加法、减法的次数：
2.1 GAUSS消元法
GAUSS列主元法的计算实例
[例] 求解方程组
x1 x 2 x 3 6 12 x1 3 x 2 3 x 3 15 18 x1 3 x 2 x 3 15
(正定) (正定) (>0) (>0) (>0)
(简记: 二个“正定”，三个“>0”)
2.2.5 平方根法和改进平方根法
2.平方根法的算式推导
A LL
l11 l 21 L l n1
T
L 为下三角矩阵
l ii
l 22 l n , n 1
(i ) ni
(i ) (i ) n
a ( i 1 ) ? jk ( i 1 ) ? b j
j ?, k ?
, , a nn ; b
2.1 GAUSS消元法
2. 回代求解xi：
(n) bn xn (n) a nn n (i) (i ) bi a ij x j j i 1 x i n 1, n 2 , ,1 i (i ) a ii
数值分析所有常考例题及详细答案
数值分析所有常考例题及详细答案第二章线性方程组的直接解法 (2)第三章解线性方程组的迭代法 (4)第五章非线性方程和方程组的数值解法 (7)第六章插值法与数值微分 (11)第七章数据拟合与函数逼近 (16)第八章数值积分 (20)第九章常微分方程的数值解法 (25)第二章 线性方程组的直接解法1、用LU 分解法求如下方程组的解（1）3351359059171⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪X = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2）3235220330127X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：（1）13351124522133A L U ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭4(101)(1,1,)339(,,2)22T TTL Y Y UX Y X =⇒=-=⇒=-（2）132332352222012333301271313b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦15521133371311y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 3235121123321313X X ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2121311()21()44254213142541425421310212127127350624r r r r r r +-↔+-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→ 32344254102127210084r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→得同解方程组1232334254121272184x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-=⎪⎩回代求解得(9,1,6)TX =--②212131112312323111011323231110523523111011323032323122112215747012323r r r r r r +↔+⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦→→323252()57231110231110574757470101232323235235193223030023235757r r r r +-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦→→得同解方程组12323323110574701232319322300()5757x x x x x x ⎧⎪-++=⎪⎪++=-⎨⎪⎪++-=⎪⎩回代得(0.212435,0.549222, 1.15544)T X =-4、用Jordan 消去法解矩阵方程，AX B =其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112221111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011001B 解：容易验证0A ≠，故A 可逆，有1X A B -= .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得111101111011110122010111101111211100313000263---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦100211002110111101022330013001322⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦121122332X A B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∴==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦5、用LU 分解法求解如下方程组12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：100256210037341004A LU -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12312311021193413010,19201,34304(10,1,4)TLy by y y y y y y =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦==-=-=-==-(1)解得即 123321(2)25610371441,2,3(3,2,1)T Ux yx x x x x x x =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦====解解得：所以方程组的解为。
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用且直接的方法。
它的基本思想是通过一系列的代数运算，将方程组化为一个三角方程组，然后从最后一行开始，逐步回代求解未知数。
下面以一个二元一次方程组为例，说明高斯消元法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂其中，a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂,b₁,b₂为已知系数。
1.检查a₁₁的值是否为0，若为0则交换第一行与非零行。
2.将第一行的每个元素除以a₁₁，使a₁₁成为13.将第一行乘以(-a₂₁)并加到第二行上，使第二行的第一个元素变为0。
4.引入一个新的未知数y₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂，并代入第二行，化简方程组。
5.使用回代法求解方程组。
高斯消元法的优势在于其直接的解题思路和较高的计算精度，但是其缺点是计算复杂度较高，对于大规模的方程组不太适用。
二、逆矩阵法逆矩阵法是解线性方程组的另一种直接方法，它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，并将其与方程组的常数向量相乘，得到方程组的解向量。
下面以一个三元一次方程组为例，说明逆矩阵法的具体步骤：例如，给定方程组：a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃其中，a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₃₁,a₃₂,a₃₃,b₁,b₂,b₃为已知系数。
1.计算系数矩阵A的行列式D=，A。
2. 求解系数矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
3. 计算逆矩阵A⁻¹=Adj(A)/D。
4.将常数向量b用列向量表示。
5.计算解向量x=A⁻¹b。
逆矩阵法的优势在于其求解过程相对简单，计算量较小，并且不需要对系数矩阵进行消元操作。
但是逆矩阵法的限制在于当系数矩阵不可逆时无法使用。
三、克莱姆法则克莱姆法则是解线性方程组的另一种直接方法，它通过定义克莱姆行列式和克莱姆向量，利用行列式的性质求解方程组的解向量。
计算机数值方法 第二章 解线性方程组的直接法
第二章 解线性方程组的直接法
即
Ax b
同解
A( n ) x b( n ) ------------(2)
以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法
如果将线性方程组Ax b 的系数矩阵A分解成 两个三角形矩阵 L和U ,即 都是三角
A LU
则
形方程组
Ax b
LUx b
Ly b Ux y
第二章 解线性方程组的直接法
如果在求解时将1,2行交换,即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 0 1.00 1.00
m21 0.0001
0.9999
回代后得到
x1 1.00 , x2 1.00
(i ) 可知 aii 0
i 1,2,, n
因此, 上三角形方程组A( n) x b( n) 有唯一解
因此可得线性方程组 Ax b 的解：
第二章 解线性方程组的直接法
(n ) bn x n (n ) ann
n (i ) (i ) b a i ij x j j i 1 xi (i )
第二章 解线性方程组的直接法
u11 x1 u12 x2 u1n xn b1 i ,i 1 xi 1 uin xn bi uii xi u un1 ,n1 xn1 un1 ,n xn bn1
unn xn bn
n2 n ( n i 1) 2 2 i 1
n
于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为
3 n3 n n n2 O( n 2 ) MD 3 3 3
研_第2章 线性方程组的直接解法
( i = k + 1, ..., n)
( ( ( 以及 aijk ) = aijk −1) − lik akjk − 1) ( i = k + 1, ,n; j = k + 1, ..., n + 1) ...
(0) a11 0 ... ri − l ik rk 0 i = k + 1, ..., n 0 ... 0 (0) a12 (1) a22 ... 0
(0) a1,k +1 (0) a2,k +1
... ... ...
(0) a1n (0) a2 n
记
A(0)
... (0) ak 2
(0) ak +1,2
... (0) akk ... (0) ank
...
(0) ak , k + 1 (0) ak +1,k +1
... (0) akn ... (0) ann
2 1 1 7 r2 − 2 r1 → 0 3 −3 −3 r3 − 0.5 r1 5 1 7 0 − 2 2 − 2
2 1 1 7 0 3 −3 −3 → 0 0 −2 −6
r3 + 5 r 3× 2 2
x3 = −6 /( −2) = 3 Step2:回代 x2 = ( −3 + 3 × 3) / 3 = 2 回代 x = ( 7 − 1 × 3 − 1 × 2) / 2 = 1 1
下面研究它的计算规律： 下面研究它的计算规律：
-4-
1) 消元
(0) a11 (0) a21 ... (0) = ak 1 a (0) k +1,1 ... a (0) n1 (0) a12 (0) a22
chapter2解线性方程组的直接法
=>
m ik =
(k) a ik
a (k) kk
( ( ( a ijk + 1 ) = a ij k ) a kjk ) m ik ( b i( k + 1 ) = b i( k ) b k k ) m ik
i , j = k + 1,..., n i = k + 1,..., n
11
Guass消元法例 Guass消元法例
7
Guass消元法 Guass消元法
Gauss消元法 2,Gauss消元法 基本思想:对方程组逐个消元, 基本思想:对方程组逐个消元,化为一个同解 上三角方程组——消元过程;然后用回代法求 消元过程; 上三角方程组 消元过程 —回代过程 回代过程. 解—回代过程.
8
Guass消元法 Guass消元法
4
2.2 Guass消元法
1,三角形方程组的解—回代法 三角形方程组的解— 上三角方程组的一般形式: 上三角方程组的一般形式:
a11 x1 + a12 x 2 + + a1 n x n = b1 a 22 x 2 + + a 2 n x n = b 2 a nn x n = b n
3
解线性方程组的方法
线性方程组的数值解法分为直接法和 线性方程组的数值解法分为直接法和迭代法 直接法 直接法:经过有限步计算就能得到方程组" 直接法:经过有限步计算就能得到方程组"准 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 确解"的方法.如消元法及其派生方法. 迭代法:是一种逐次逼近法,从一个假设解开 迭代法:是一种逐次逼近法, 通过一系列的迭代求解, 始,通过一系列的迭代求解,最后产生满足精度要 求的近似解的方法. Jacobi迭代法 Seidel迭代 迭代法, 求的近似解的方法.如Jacobi迭代法,Seidel迭代 法. 本章主要学习解线性方程组的直接法. 本章主要学习解线性方程组的直接法.
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二、选主元消去法
在高斯消去法消去过程中可能出现
a(k) kk
0
的情况，
这时高斯消去法将无法进行；即使主元素
a(k) kk
0
但很小，其作除数 ，也会导致其它元素数量级的严
重增长和舍入误差的扩散
为避免这种情况的发生, 可通过交换方程的次序，选 取绝对值大的元素作主元. 基于这种思想导出了主元 素法
❖ 列主元消去法
i
=
0
L
1
i 1,i
M
M MO
0
l ni
1
i列
L1 i
1
0
1
M O
M
1
0
l1 i 1,i
M
M O
0
l ni
1
i列
A L L L A (n)
Lห้องสมุดไป่ตู้
n1 n2
(1) 1
b L L L b (n)
L
n1 n2
(1) 1
A 的 LU 分解
( LU factorization )
l32=(a32- l31u12)/u22, ···, ln2=(an2- ln1u12)/u22
一般地：
对 k 3, L , n 计算
k 1
u a l u
kj
kj
kr rj
r 1
jk, L ,n
k 1
l a l u u (
ik
ik
)/ i k 1 , L , n
ir rk kk
r 1
1
A L A b L b 记：
(3)
(2) ,
2
(3)
(2) 2
1
0
1
L l 0 2
32 L
1 L
0 l n2 0 L
l a a
i2
(2) (2)
i2
22
i 3, 4,L ,n
1
A L L A b L L b (3)
(1) ,
21
(3)
(1)
21
1
0
1
M
1
l L
在第k 步消去前， 在系数矩阵右下角的n- k+1阶主 子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。
| ak pq
|
max
k i, jn
|
aikj
|0
(1) If p k then 交换第 k 行与第p 行; If q k then 交换第 k 列与第 q 列;
(2) 消元
注：列交换改变了xi 的顺序，须记录交换次序， 解完后再换回来。
u a
1j
, j 1, L ,n
1j
l a u
i1
i1
, i 2, L , n
11
L第二行乘U 每一列：
l 21u12+ u22=a22, ···, l21u1n+ u2n=a2n
L每一行乘U 第二列：
l31u12+ l32u22=a32, ···, ln1u12+ ln2u22=an2
u22=a22 - l21u12, ···, u2n=a2n- l21u1n
注：该公式的特点：U 的元素按行求, L 的元素按列求; 先求
U 的第k 行, 再求 L 的第k 列, U 和 L 一行一列交叉计算. 计算
量与 Gauss 消去法同.
LU 分解求解线性方程组
AX b LY b , UX Y
1
l
21
1
l l LY
31
1
32
LL
l l
n1
n2
l n(n1)
N=(n+1)(n-1)n!+n.
（2） 高斯消去法:
在第1个消去步, 计算 li1(i=2,3,…,n), 有n-1次除法运算. 使aij(1)变为 aij(2) 以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算 和 n(n-1)次加(减)法运算. 在第k个消去步, 有n-k次除法运算, (n-k+1)(n-k)次乘 法运算和相同的加(减)法运算.
3
4.9 4.6
l311/10 0 1/ 2 1.525 4.9
40 1 20 4
c2 c3 0
4.9
3 4.6
0 1.525 0.5 4.9
40 1 20
4
l32 15.25/ 49 0 4.9
3
4.6
0 0 1.43366 6.33161
回代：x1 4.41640, x3 1.76514, x2 2.35233
n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2= n(n-1)(2n+5)/6， 加(减)法运算次数为: n(n-1)(2n+5)/6 通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶,记为O(n3)
全主远消去法:
比 高斯消去法多出
O
n3 3
, 保证稳定, 但费时.
列主元消去法:
比
高斯消去法只多出
的
O
y1
y2
b1
b2
b
1 yn bn
u u 11 u
L
12
L
22
u1n u 2n
x1
x2
y1
y2
UX
Y
LL
L
u
nn
xn
yn
(1)
解
Y：
y 1
b1
i-1
y i
bi
l
ij
y
j
,
i 2, 3, L , n
j 1
10 7 0 7
0.1 6 6.1
2.5 5 2.5
10 7 0 7
2.5 5 2.5
6.2 6.2
第二列的后两个数中选出主元 2.5
x3=6.2/6.2=1 x2=(2.5-5x3)/2.5= -1 x1=(7+7x2-0x3)/10=0
x1=0 x2= -1 x3=1
❖ 全主元消去法
例2.1.2 列主元法
3 2 6 x1 4
10
7
0
x2
7
5 1 5 x3 6
第一列中绝对值最大是10，取10为主元
3 2 6 4
10
7
0
7
5 1 5 6
10 7 0 7 3 2 6 4 5 1 5 6
n阶方程组第k 轮消元时，选第k 列的后( n – k + 1 )个 元素中绝对值最大作主元。
(i n 1, ...,1)
定理2.1：若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯 消去法能顺序进行消元，得到唯一解。
a11 det(Ai ) ...
ai1
... a1i ... ... ... aii
例2.1.1 高斯消元法
2 x1 3 x2 4 x3 6
3
x1
5 x2
2x3
5
4 x1 3 x2 30x3 32
2 3 4 6 A 0 0.5 4 4
0 3 22 20
2 3 4 6
A 3 5 2
5
4 3 30 32
2 3 4 6 0 0.5 4 4
0 0 2 4
2x1 3x2 4x3 6
0.5x2 4x3 4
2x3 4
x1 = -13 x2 = 8 x3 = 2
n
n
矩阵表示记为 AX b
这里 a A [ ]ij nn , X (x1 , L , xn )T , b (b1 , L ,bn )T
解线性方程组的两类方法:
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 (不计舍入误差!)
迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)
( 2)
解
x：x n
y n
u nn
x y u x u
n
i
i j i 1
ij
j
,
ii
i n 1, L , 1
例2.2.1 求矩阵的Doolittle分解
2 4 4 2
2 4 4 2
A 3 2
3 4
12 1
6 2
3 / 2 1
3 4
12 1
6 2
4 2 1 1
2
2 1 1
2 4 4 2
a11 ... a1n 1
...
...
an1
...
... ... ann
l
21
ln...1
1 ... ...
u11 ...
...
1
min( i , j )
ai j
li k uk j
k 1
u1n
...
...
unn
一般计算公式
L第一行乘U 每一列： a11= u11, ···, a1n= u1n L每一行乘U 第一列： a21 = l 21u11, ···, an1 = ln1u11
a (1) 12
a(2) 22
... ... ...
a (1) 1n
a(2) 2n
...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代过程：
xn
b(n) n
/
a(n nn
)
n
b( i ) i
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
I ✓ U1
U