二元一次不等式(组)所表示的平面区域(人教B版必修5)

3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域
1．(2009年高考安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0x ＋3y ≥4
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43
D.34
解析：选C.不等式组表示的平面区域如图，为三角形，
又直线x ＋3y －4＝0与3x ＋y －4＝0的交点为(1,1)，所以S △＝12×(4－43)×1＝4
3.
2．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y －4≤0，
x ≥0，y ≥0
表示的平面区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤40≤y ≤52
，表示的平面
区域为B ，则A 与B 的关系为( )
A ．A ＝
B B ．A ∩B ＝∅
C ．B A
D ．A
B
解析：选C.分别画出两个不等式组表示的区域后即可求解．
3．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2
＋y 2
＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线
x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
kx －y ＋1≥0
kx －my ≤0，
y ≥0
所表示的平面区域的面积是( )
A.1
4 B.12 C ．1
D ．2
解析：选A.∵k MN ·(－1)＝－1，∴k MN ＝1，∴k ＝1， ∴圆心坐标为(－12，－m 2)，∴－12－m
2
＝0，∴m ＝－1，
∴不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，
y ≥0.
画出不等式组所表示的平面区域，可求得面积是1
4
.
4．如图，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0，3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组________表示．
解析：(0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0.
同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0，则可得所求不等式组为
⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y ＋3>0，x ＋y －2<0，x ＋2y ＋2>0，x －y －1<0.
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y ＋3>0，
x ＋y －2<0，
x ＋2y ＋2>0，
x －y －1<0.
5．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋5≥0x ＋y ≥0
x －y ≤3
表示的平面区域．
解：在直角坐标系中分别画出不等式2x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x －y ≤3表示的平面区域，如图所示，其中阴影部分就是不等式组表示的平面区域．
1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1)
C ．(0,2)
D ．(2,0)
解析：选D.代入检验：只有(2,0)不在平面区域内． 2．不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋5x ＋y ≥0
0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )
A ．三角形
B ．直角梯形
C ．等腰梯形
D ．矩形
解析：选C.原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
0≤x ≤3，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≤0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3，画出各不等式组表示的公共区域，即可看出图形的形状为等腰梯
形．
3．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |≤|y |，|x |<1，的点(x ，y )的集合用阴影表示为
图中的( )
解析：选C.法一：可以作出不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |≤|y |，
|x |<1，表示的平面区域与选项对照，选C.
法二：可以用排除法针对每一个选项，将一些特殊值代入验证．故选C. 4．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1>02x ＋3y －6<0x －y －1≥0x －2y ＋2≤0
B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1<02x ＋3y －6≥0x －y －1≥0
x －2y ＋2<0
C.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1>02x ＋3y －6≤0x －y －1≤0x －2y ＋2>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥02x ＋3y －6<0x －y －1<0
x －2y ＋2≥0
答案：C
5．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(
)
解析：选 A.由于x ，y,1－x －y 是三角形的三边长，那么由三角形边长的性质得
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >1－x －y
x ＋1－x －y >y y ＋1－x －y >x
x >0y >0
，
整理得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y >
1
2
0<x <
1
2
0<y <12
.
其表示的平面区域为A 选项．
6．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0x －1≤0，
ax －y ＋1≥0
(a 为常数)所表示的平面区域的面
积等于2，则a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D.如图得出的区域即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的平面区域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故可看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积为1，当a ＝2时，面积为3
2
，当a ＝3时，面积为2.
7．点(1,2)与点(－3,4)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意(1＋2＋a )(－3＋4＋a )＜0，解不等式得－3＜a ＜－1. 答案：(－3，－1)
8．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0y ≥0
y －x ≤2
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直
线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．
解析：直线x ＋y ＝a 扫过A 中的区域为四边形AOBC . ∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×22×22＝7
4.
答案：7
4
9．设a ，b 都是自然数，关于x 的二次方程x 2＋ax ＋b ＝0与x 2＋bx ＋a ＝0都没有实数根，那么以(a ，b )为坐标的点为________．
解析：Δ1<0，a 2
－4b <0，
Δ2<0，b 2
－4a <0.
如图阴影内整点有三个，(1,1)，(2,2)，(3,3) 答案：(1,1)，(2,2)，(3,3)
10．用不等式组表示以点(0,0)、(2,0)、(0，－2)为顶点的三角形内部，求该不等式组． 解：首先根据三个点的坐标在坐标系内画出相应的三角形，再根据三个点写出三边对应的直线方程，根据直线的位置即可写出对应的不等式组．
∴该不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0y ＜0
x －y －2<0.
11．画出不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域，并求区域面积． 解：先考虑第一象限(含x ，y 轴正向)，等价于 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，
易作出其表示的平面区域．由关系式的特征知该不等式所表示的平面区域如图所示，该区域是边长为2的正方形，面积为2.
12．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2x ≤0x ＋2y ＋3>0
5x ＋3y －5<0表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．
解：不等式y －2x ≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3>0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5<0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域(不含边界)，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC 区域．
可求得A (－35，－65)，B (511，1011)，C (197，－20
7)，
所以△ABC 区域内的点(x ，y )满足
－3
5
≤x<
19
7
，－
20
7
<y≤
10
11
.
∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z. 经检验，共有四个整点
(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．。